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7/21/2019 CAPITULO 1 probabilidad
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CAPITULO 1
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
CONJUNTOS
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
CONJUNTOS
Leyes de conjuntos.
Diagrama de Venn.
Induccin matemtica.
Medidas de posicin: media de una muestra.
Medidas de variabilidad.
Datos discretos y continuos.
Modelado estadstico
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS- Leyes de conjuntos
1. Definicin de Conjunto
La palabra conjunto generalmente la asociamos con la ideade agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de
libros, de plantas de cultivo, es decir la palabra conjuntodenota una coleccin de elementos claramente entre s,que guardan alguna caracterstica en comn.
La caracterstica esencial de un conjunto es la de estar biendefinido, es decir que dado un objeto particular,
determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplosi se considera el conjunto de los nmeros dgitos, sabemosque el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
Los objetos que forman un conjunto sonllamados miembros o elementos.Por ejemplo elconjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y,z. que se puede escribir as:
{ a, b, c, ..., x, y, z}
Como se muestra el conjunto se escribe entrellaves ({}) , o separados por comas (,).
El detallar a todos los elementos de un conjuntoentre las llaves, se denomina forma tabular,extensino enumeracin de los elementos.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
Dos conjuntos son igualessi tienen los mismoselementos, por ejemplo:
El conjunto { a, b, c } tambin puede escribirse:
{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }
En teora de conjuntos se acostumbra no repetiralos elementos por ejemplo:
El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente ser { b, d }.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
MEMBRESIA
Los conjuntos se denotan por letras maysculas : A, B, C,...por ejemplo:
A={ a, c, b }
B={ primavera, verano, otoo, invierno } El smbolo indicar que un elemento pertenece o es
miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar queun elemento no pertenece al conjunto de referencia,bastar cancelarlo con una raya inclinada /quedando el
smbolo como . Ejemplo:
Sea B={ a, e, i, o, u }, a B y c B
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
SUBCONJUNTO
Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }
En este caso decimos que B esta contenido en A, o queB es subconjunto de A. En general si A y B son dos
conjuntos cualesquiera, decimos que B es unsubconjunto de A si todo elemento de B lo es de Atambin.
Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe
B
A. Si B no es subconjunto de A se indicar con unadiagonal.
Note que se utiliza solo para elementos de unconjunto y solo para conjuntos.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibeel nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que seestudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).
Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros nmeros naturales el
conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 }
Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:
Conjunto de nmeros naturales (enteros mayores que cero) representados por laletra Ndonde
N={ 1, 2, 3, .... } Conjunto de nmeros enteros positivos y negativos representados por la
letra ZdondeZ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL
Conjunto de nmeros racionales (nmeros que serepresentan como el cociente de dos nmerosenteros {fracciones }). Estos nmeros serepresentan por una Q
Conjunto de nmeros irracionales (nmeros queno puedan representarse como el cociente de dosnmeros enteros) representados por la letra I.
Conjunto de los nmeros reales que son losnmeros racionales e irracionales es decir todos,representados por R.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
Todos estos conjuntos tienen un nmero infinito de elementos, la formade simbolizarlos por extensin o por enumeracin es de gran utilidadcuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementospara poder trabajar con ellos se emplean la notacinllamada comprehensin.
Por ejemplo, la denotar el conjunto de los nmeros naturales menores
que 60. Aqu Ues el conjunto Ny se tiene una propiedad que caracteriza alos elementos del conjunto: ser menores que 60.
Para indicar esta situacin empleamos la simbologa del lgebra deconjuntos:
{ x/x N ; x
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
OPERACIONES CON CONJUNTOSUNION
La unin de dos conjuntos A y B la denotaremos porA B y es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al menos a uno de ellos a los dos. Lo quese denota por:
A B = { x/x A x B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10,11, 12 }
A B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
INTERSECCION
Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A esteconjunto se le llama interseccin de A y B; y se denota por A B,algebraicamente se escribe as:
A B = { x/x A y x B } Y se lee el conjunto de elementos x que estn en A y estn en B.
Ejemplo:
Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q P={ a, b, o, r, s, y }
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
CONJUNTO VACIO
Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjuntovaco conjunto nulo lo que denotamos por el smbolo.
Por ejemplo: Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B.
A B= { }
El resultado de A B= { } muestra que no hay elementosentre las llaves, si este es el caso se le llamar conjuntovaco nulo y se puede representar como:
A B=
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
CONJUNTOS AJENOS
S la interseccin de dos conjuntos es igual al
conjunto vaco, entonces a estos conjuntos les
llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A B = entonces A y B son ajenos.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo Ues el conjunto de elementos de U que no pertenecen aA y se denota como A' y que se representa por
comprehensin como:A'={ x U/x y x A }
Ejemplo:
Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U El complemento de A estar dado por:
A'= { 2, 4, 6, 8 }
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B yes el conjunto de los elementos de A que no estn en B y serepresenta por comprehensin como:
A - B={ x/x A ; X B } Ejemplo: Sea A= { a, b, c, d } y
B= { a, b, c, g, h, i }
A - B= { d }
En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos
del conjunto A que no estn en B. Si la operacin fuera B - A elresultado es
BA = { g, h, i }
e indica los elementos que estn en B y no en A.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
Diferencia simtricaentre A y B al conjuntoA B:= (A - B) (B - A)
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
Si A y B son subconjuntos de un cierto
conjunto universal U, entonces es fcil ver que
A - B = A B'.
En este caso, la llamadas operacionesbooleanas(unin e interseccin) verifican lassiguientespropiedades :
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos
PROPIEDADES UNION INTERSECCION
1.- Idempotencia AA = A AA = A
2.- Conmutativa AB = BA AB = B A
3.- AsociativaA( B C ) = ( A B
)CA( BC ) = ( A B )C
4.- Absorcin A( A B ) = A A( AB ) = A
5.- DistributivaA( B C ) = ( A B )(
AC )
A( BC ) = ( A B )(
AC )6.- Complementariedad AA' = U AA' =
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -DIAGRAMAS DE VENN
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn que de deben al filsofoingls John Venn (1834-1883) sirven para
encontrar relaciones entre conjuntos de maneragrfica mediante dibujos diagramas.
La manera de representar el conjunto Universales un rectngulo, bien la hoja de papel con que
se trabaje. Un ejemplo de la representacin del conjunto
universal se muestra como:
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -DIAGRAMAS DE VENN
AB
A BAB
AB A -B
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -DIAGRAMAS DE VENN
A B
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS- ejercicios
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS- ejercicios
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS- ejercicios
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Induccin Matemtica
Definicin:
Una proposicin p(n) es verdadera para todos losvalores de la variable n si se cumplen las siguientescondiciones:
Paso 1.- La proposicin p(n) es verdadera para n = 1 , obien, p(1) es verdadera.
Paso 2.- Hiptesis de Induccin . Se supone que p(k) esverdadera , donde k es un numero natural cualesquiera.
Paso 3.- Tesis de Induccin. Se demuestra que p(k + 1) esverdadera, o bien,
p(k) verdadera ) p(k + 1) verdadera:
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Ejemplos:
Demuestra que para cualquier numero natural n
se cumple que:
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Induccin Matemtica
Demuestre utilizando induccin matemtica:
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de posicin
DEFINICIONES PRELIMINARES
Estadstica.- Ciencia inductiva que permiteinferir caractersticas cualitativas y cuantitativas
de un conjunto mediante los datos contenidos
en un subconjunto del mismo.
Poblacin Objetivo.- Conjunto total deindividuos u objetos con alguna caracterstica
que es de inters estudiar.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de posicin
Parmetro.- Es alguna caracterstica de la poblacinen estudio y que es de inters conocer.
Muestra.- Es un subconjunto de la poblacin y
contiene elementos en los cuales debe estudiarse lacaracterstica de inters de la poblacin.
Variable.- Representacin simblica de alguna
caracterstica observable de los elementos de unapoblacin y que puede tomar diferentes valores
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de posicin
Observatorio o Dato.- Cada uno de los valoresobtenidos para los elementos incluidos en la
muestra. Son el resultado de algn tipo de
medicin.
Modelo.- Descripcin simblica o fsica de unasituacin o sistema que se desea estudiar.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de Tendencia
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de Tendencia
MODA MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de Tendencia
MEDIANA MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Dispersin
MEDIDAS DE DISPERSIN
Son nmeros que proveen informacin adicional
acerca del comportamiento de los datos,
describiendo numricamente su dispersin
RANGO.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Dispersin
VARIANZA MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Dispersin
DESVIACIN ESTANDAR MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Posicin
MEDIDAS DE POSICIN
Son nmeros que distribuyen los datos
ordenados de la muestra en grupos de
aproximadamente igual tamao con el propsito
de resaltar su ubicacin relativa.
Estos nmeros se denominan CUANTILES de
forma genrica.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Posicin
CUARTILES
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Posicin
DECILES
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Posicin
PERCENTILES
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Posicin
COEFICIENTE DE VARIACIN
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
MATLAB
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
FORMULAS PARA DATOS AGRUPADOS
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
MUESTRAS BIVARIADAS
Es comn tener que estudiar
muestras con datos que miden
dos caractersticas, siendo deinters determinar si hay una
relacin entre ellas.
Para visualizar la relacin entre las
variables de una muestra
bivariada, es til graficar con
datos en una representacin que
se denomina Diagrama de
Dispersin
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
CORRELACIN
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
COVARIANZA MUESTRAL
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
SIGNOS DE LA COVARIANZA MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
COEFICIENTE DE CORRELACIN MUESTRAL
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
MATRIZ DE CORRELACIN
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
En el articulo Oxigen Consumption During FireSupression: Error of Heart Rate Estimation, aparecenlos datos siguientes relacionados con el consumo deoxigeno (mL/Kg/min)para una muestra de diezbomberos que realizan un simulacro de combate deincendio:
29,5 49,3 30,6 28,2 28,0 26,3 33,9 29,5 23,5 31,6
Calcule lo siguiente:
- El intervalo de la muestra
- La varianza muestral
- La desviacin estandar muestral.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS
Se determin el valor del mdulo de elasticidad,
en Gpa de placas coladas que constan de ciertos
sustratos intermetlicos, y se obtuvieron las
siguientes observaciones muestrales:
116,5 115,9 114,6 115,2 115,8
- Calcule la media
- Calcule la varianza
- Calcule la desviacin estandar
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Datos discretos y continuos
Datos discretos y continuos
O S S
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Datos discretos y continuos
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Datos discretos y continuos
Otros ejemplos:
El nmero de latas de bebidas de cola son datos
discretos; en tanto que el volumen real de la
bebida de cola es un dato continuo.
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Datos discretos y continuos
Otra forma comn de clasificar los datos
consiste en usar cuatro niveles de medicin:
nominal,
ordinal,
de intervalo y
de razn
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Datos discretos y continuos
INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-modelo estadstico
Un modelo estadstico es una ecuacin
matemtica que reproduce los fenmenos que
observamos de la forma ms exacta posible.
Para ello tiene en cuenta los datos suministradosy la influencia que el azar tiene en estas
observaciones.
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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-modelo estadstico