Download - Capitulo 1. Teoría de Matrices. Álgebra Lineal para Estadísticos y Actuarios. William Noguera
Capítulo 1
TEORÍA DE MATRICES 1.1. INTRODUCCIÓN. En este capítulo se presenta uno de los conceptos más utilizados tanto en la Estadística como en las Ciencias Actuariales como lo es el concepto de Matriz. Se exponen la mayoría de sus conceptos asociados como lo son: Álgebra de Matrices, Tipos Especiales de Matrices, Matriz de Datos, Operaciones Elementales de Filas y Columnas, Matriz Inversa, Traza de una Matriz, Factorización LU, Sub-matrices y Matrices Particionadas y Rango de una Matriz. Todo el desarrollo del capítulo presenta un enfoque especialmente estadístico, el cual es el objetivo principal de este texto. 1.2. DEFINICIONES Y EJEMPLOS. Definición 1.1. Se dice que un conjunto no vacío K es un Cuerpo si en dicho conjunto están definidas las siguientes operaciones:
1. Suma (+): Si x, y ∈ K entonces (x + y) ∈ K 2. Producto (.): Si x, y ∈ K entonces (x . y) ∈ K
Estas operaciones tienen las siguientes propiedades
1. ∀ x, y ∈ K se cumple que x + y = y + x 2. ∀ x, y, z ∈ K se cumple que x + (y + z) = (x + y) + z 3. ∃ θ ∈ K tal que ∀ x ∈ K se cumple que x + θ = x 4. ∀ x ∈ K ∃ -x ∈ K tal que x + (-x) = θ. 5. ∀ x, y ∈ K se cumple que x . y = y . x. 6. ∀ x, y, z ∈ K se cumple que x . (y . z) = (x . y) . z. 7. ∃ u ∈ K ( θ≠u ) tal que ∀ x ∈ K se cumple que x . u = x 8. ∀ x ∈ K ( θ≠x ) ∃ x-1 ∈ K tal que se cumple que x . x-1 = u 9. ∀ x, y, z ∈ K se cumple que x . (y + z) = (x . y) + (x . z)
En la mayoría de los cuerpos la notación de la operación producto es ignorada ya que queda sobreentendida. Ejemplo 1.1. Los conjuntos ℜ y Q tienen estructura de cuerpo con las propiedades de suma y producto. Notación: Sea n ∈ ℵ*. El conjunto {1, 2,…, n} se denota por Jn.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
2
Definición 1.2. Sean m, n ∈ ℵ*. Se define como matriz de orden mxn con coeficientes en K a la función Amxn: Jm x Jn → K con regla de correspondencia Amxn(i,j) = Aij. La matriz A se representa por un arreglo rectangular con la siguiente estructura:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
A
A
AA
A
AA
A
AA
A
AA
A
AA
A
mnmjm2m1
in
2n
1n
ij
2j
1j
i2
22
12
i1
21
11
L
M
L
MMM
M
L
L
L
M
L
L
L
MM
Las m líneas horizontales se denominan filas o renglones de la matriz A y las n líneas verticales se denominan columnas de dicha matriz. Ejemplo 1.2. Sea m = 3 y n = 2. En este caso J3 = {1, 2, 3} y J2 = {1, 2}. Luego, J3xJ2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)}. Sea A3x2: J3 x J2 → ℜ tal que A3x2(1, 1) = 1, A3x2(1, 2) = 0, A3x2(2, 1) = -1, A3x2(2, 2) = 2, A3x2(3, 1) = 1 y A3x2(3, 2) = 1. Esta función así definida es una matriz de orden 3x2. Su representación mediante un arreglo rectangular es:
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 1 2 10 1
Nótese que A11 = 1, A12 = 0, A21 = -1, A22 = 2, A31 = 1 y A32 = 1. Notación: El conjunto de todas las matrices de orden mxn con coeficientes en K se denomina cuerpo de matrices de orden mxn en K y se denota por Mmxn(K). Observación: El elemento genérico de una matriz A de orden mxn es Amxn(i,j) = Aij. Para descargar la notación, se utilizará Aij. Definición 1.3. Sea A∈Mmxn(K). Se dice que la matriz A es:
1. Cuadrada de orden m (n) si m = n. 2. Rectangular si nm ≠ .
Cuando A es cuadrada la línea diagonal formada por los valores A11, A22, ..., Ann se dice que es la diagonal principal de la matriz A.
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
3
Ejemplo 1.3. Sean A∈M2x2(ℜ) y B∈M3x2(ℜ) definidas por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3221
A ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
350121
B
A es una matriz cuadrada de orden 2 ya que tiene 2 filas y 2 columnas en tanto que B es una matriz rectangular ya que tiene 3 filas y 2 columnas. Los valores 1 y 3 conforman la diagonal principal de A. Ejemplo Aplicado 1.1. En un Reality Show donde participan 6 personas, se le pide a cada una de ellas que señalen a 2 de sus compañeros para ser amenazados. Los 2 participantes con mayores señalamientos serán los amenazados, uno de los cuales será salvado por el voto del público mientras que el otro tendrá que abandonar la competencia. Se define la matriz A de la siguiente forma:
⎩⎨⎧
=persona ésima-j la a señala NO persona ésima-i la Si 0
persona ésima-j la a señala persona ésima-i la Si 1Aij
El resultado es el siguiente:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
010010101000010010001010001100100010
A
Observando las columnas de A se aprecia que el participante 1 no tuvo señalamientos, el participante 2 tuvo 4 señalamientos, el participante 3 tuvo 1 señalamiento, el participante 4 tuvo 3 señalamientos, el participante 5 tuvo 2 señalamientos y el participante 6 tuvo 2 señalamientos. Luego, los amenazados son los participantes 2 y 4. Ejemplo Aplicado 1.2. Consideremos las ciudades venezolanas Caracas, Maracay, Valencia, Barquisimeto y Maracaibo. Se define la matriz B de la siguiente forma:
Bij = Distancia (Km) de la i-ésima ciudad a la j-ésima ciudad. La matriz B es la siguiente:
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4
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
031850355265531801852343375031850491525522344901036553371521030
B
Definición 1.4. Sean A, B∈ Mmxn(K). Se dice que A y B son iguales si y sólo si ∀ (i,j) ∈ Jm x Jn se cumple que Aij = Bij. Ejemplo 1.4. Sean A, B∈ M2x2(ℜ) definidas por:
A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −a 011
y B = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2-cb 1
A = B si y sólo si b = -1, c = 0 y a = -2. 1.3. ÁLGEBRA DE MATRICES. Definición 1.5. Sean A, B∈ Mmxn(K). Se define como matriz suma de A y B y se denota por A + B a la matriz (A + B) ∈ Mmxn(K) definida como (A + B)ij = Aij + Bij. Ejemplo 1.5.
Sean A, B∈ M2x2(ℜ) definidas por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
4321
A , ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
51 22
B . Como A y B
son de orden 2x2 entonces existe la matriz suma A+B la cual es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+++−+
=+94 41
541322)2(1
BA
Teorema 1.1.
Sean A, B, C∈ Mmxn(K). Entonces se cumple que:
1. A + B = B + A. 2. A + (B + C) = (A + B) + C. 3. ∃ θ∈Mmxn(K) (θij = 0 ∀ (i,j) ∈ Jm x Jn) tal que ∀ A ∈ Mmxn(K) se
cumple que A + θ = A. 4. ∀ A∈Mmxn(K) ∃ -A∈Mmxn(K) ((-A)ij) = -Aij) tal que A+(-A)= θ.
Demostración
1. (A + B)ij = Aij + Bij = Bij + Aij = (B + A)ij. 2. (A + (B + C))ij = Aij + (B + C)ij
= Aij + Bij + Cij
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
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= (Aij + Bij) + Cij = (A + B)ij + Cij = ((A + B) + C)ij
3. A + θ = A ⇒ (A + θ)ij = Aij ⇒ Aij + θij = Aij ⇒ θij = Aij - Aij = 0 ∀ (i,j) ∈ Jm x Jn
4. A + (-A) = θ ⇒ (A + (-A))ij = θij ⇒ Aij + (-A)ij = 0
⇒ (-A)ij = 0 - Aij = -Aij Definición 1.6. Sean A∈Mmxn(K) y c ∈ K. Se define como matriz múltiplo escalar de A por c y se denota por cA a la matriz (cA) ∈ Mmxn(K) definida como (cA)ij = cAij. Ejemplo 1.6.
Sea A∈M2x3(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1 243 2 1
A . Luego,
B = 2A = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 1 24
3 2 12 = ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− 2 48
6 4 2. Nótese que B∈M2x3(ℜ).
Teorema 1.2. Sean A, B∈ Mmxn(K). Entonces se cumple que:
1. 1A = A. 2. ∀ c ∈ K se cumple que c(A + B) = cA + cB. 3. ∀ c, d ∈ K se cumple que (c + d)A = cA + dA. 4. ∀ c, d ∈ K se cumple que (cd)A = c(dA).
Demostración
1. (1A)ij = 1Aij = Aij 2. (c(A+B))ij = c(A+B))ij
= c(Aij + Bij) = cAij + cBij = (cA + cB)ij)
3. ((c+d)A)ij = (c+d)Aij = cAij + dAij = (cA)ij + (dA)ij
= (cA + dA)ij 4. ((cd)A)ij = (cd)Aij
= c(dAij) = c(dA)ij Definición 1.7. Sean A ∈ Mmxn(K) y B ∈ Mnxp(K). Se define como matriz producto de A y B y se denota por AB a la matriz AB ∈ Mmxp(K) definida como:
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(AB)ij = ∑=
n
1rrjir BA ; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ n
Observaciones: Sean A∈Mmxn(K) y B∈Mnxp(K). El producto AB esta definido. En el caso del producto BA pueden ocurrir las situaciones siguientes:
1. Si mp ≠ entonces BA no está definida. 2. Si p = m entonces BA está definida y se cumple que BA∈Mnxn(K).
Si además nm ≠ no tiene sentido considerar la igualdad AB = BA ya que AB∈Mmxm(K) y BA∈Mnxn(K) pero si m = n los productos AB y BA están definidos con idéntico orden pero no necesariamente se cumple que AB = BA.
Ejemplo 1.7. Sean A∈M3x2(ℜ) y B∈M2x2(ℜ) definidas por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
1 23 211
A y ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
2 311
B
Como el número de columnas de A coincide con el número de filas de B entonces existe la matriz AB la cual es de orden 3x2 y se determina de la siguiente manera:
(AB)11 = ∑=
2
1r1rr1 BA = A11B11 + A12B21 = 1.1+(-1).3 = 1 – 3 = –2
(AB)12 = ∑=
2
1r2rr1 BA = A11B12 + A12B22 = 1.(-1)+(-1).2 = –1 – 2 = –3
(AB)21 = ∑=
2
1r1rr2 BA = A21B11 + A22B21 = 2.1+3.3 = 2+9 = 11
(AB)22 = ∑=
2
1r2rr2 BA = A21B12 + A22B22 = 2.(-1)+3.2 = –2 + 6 = 4
(AB)31 = ∑=
2
1r1rr3 BA = A31B11 + A32B21 = 2.1+1.3 = 2 + 3 = 5
(AB)32 = ∑=
2
1r2rr3 BA = A31B12 + A32B22 = 2.(-1)+1.2 = –2 + 2 = 0
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−=
0 5 4 11 32
AB
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
7
También se puede calcular la matriz AB sin realizar todo el procedimiento formal anterior, haciendo la siguiente operación:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−++−+−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−++−+−+−−+
=0 5 4 11 32
223262922131
2.1)1.(23.11.22.3)1.(23.31.2
2).1()1.(13).1(1.1AB
Como el número de columnas de B no coincide con el número de filas de A entonces no existe la matriz BA. Teorema 1.3. Sean A, E∈Mmxn(K), B∈Mnxp(K), C, D∈Mpxs(K) y c∈K. Entonces se cumple que:
1. A(BC) = (AB)C. 2. B(C + D) = BC + BD. 3. (A + E)B = AB + EB. 4. A(cB) = (cA)B = cAB.
Demostración
1. Como B∈Mnxp(K) y C∈Mpxs(K) el producto BC está definido y se cumple que BC∈Mnxs(K). Asimismo A∈Mmxn(K) y por tanto el producto A(BC) está definido y se cumple que A(BC) ∈ Mmxs(K). Luego:
(A(BC))ij = ∑=
n
1rrjir )BC(A
= ∑ ∑= =
n
1r
p
1hhjrhir )CB(A
= ∑∑= =
n
1r
p
1hhjrhir CBA
= ∑∑= =
p
1h
n
1rhjrhir CBA
= ∑ ∑= =
p
1h
n
1rhjrhir C)BA(
= ∑ ∑= =
p
1h
n
1rrhirhj )BA(C
= ∑=
p
1hihhj )AB(C
= ∑=
p
1hhjih C)AB(
= ((AB)C)ij
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2. Como C, D ∈ Mpxs(K) entonces (C + D) ∈ Mpxs(K) y como B ∈ Mnxp(K) entonces el producto B(C+D) está definido y se cumple que (B(C + D))∈Mnxs(K). Luego:
(B(C+D))ij = ∑=
+p
1rrjir )DC(B
= )DC(Bp
1rrjrjir∑
=
+
= )DBCB(p
1rrjirrjir∑
=
+
= ∑ ∑= =
+p
1r
p
1rrjirrjir DBCB
= (BC)ij + (BD)ij = (BC + BD)ij
3. Como A, E ∈ Mmxn(K) entonces (A + E) ∈ Mmxn(K) y como B ∈
Mnxp(K) entonces el producto (A + E)B está definido y se cumple que ((A + E)B) ∈ Mmxp(K). Luego:
((A+E)B)ij = ∑=
+n
1rrjir B)EA(
= ∑=
+n
1rrjirir B)EA( = ∑
=
+n
1rrjirrjir )BEBA(
= ∑ ∑= =
+n
1r
n
1rrjirrjir )BEBA = (AB)ij + (EB)ij
= (AB + EB)ij
4. (A(cB))ij = ∑=
n
1rrjir )cB(A
= ∑=
n
1rrjir BcA
= ∑=
n
1rrjir B)cA(
= ((cA)B))ij
= ∑=
n
1rrjir BAc = c(AB)ij
1.4. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES. Definición 1.8. Sea A∈Mmxn(K). Se define como matriz transpuesta de A y se denota por At a la matriz At ∈ Mnxm(K) definida como:
(At)ij = Aji; 1 ≤ i ≤ n; 1 ≤ j ≤ m
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
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Ejemplo 1.8. Sea A∈M3x2(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
4 3 2 22 1
A
Luego, At∈M2x3(ℜ) y se cumple que: (At)11 = A11 = 1 (At)12 = A21 = -2 (At)13 = A31 = 3 (At)21 = A12 = 2 (At)22 = A22 = 2 (At)23 = A32 = 4 En consecuencia:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
4 2 23 21
A t
Teorema 1.4. Sean A, B ∈ Mmxn(K) y C ∈ Mnxp(K). Entonces se cumple que:
1. (At)t = A. 2. (A + B)t = At + Bt. 3. (AC)t = CtAt.
Demostración
1. (At)ij = Aji. Por tanto, (At)tij = Aij
2. Como A, B ∈ Mmxn(K) entonces A + B ∈ Mmxn(K). Luego: ((A + B)t)ij = (A + B)ji = Aji + Bji = (At)ij + (Bt)ij
3. Como A ∈ Mmxn(K) y C ∈ Mnxp(K) el producto AC está definido y se cumple que (AC) ∈ Mmxp(K). Luego:
(AC)ij = ∑=
n
1rrjirCA
((AC)t)ij = (AC)ji = ∑=
n
1rrijrCA = ∑
=
n
1rir
trj
t )C()A(
= ∑=
n
1rrj
tir
t )A()C(
= (CtAt)ij
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Definición 1.9. Se define como matriz identidad de orden n a la matriz cuadrada In ∈ Mnxn(K) definida de la siguiente forma:
(In)ij = ⎩⎨⎧
≠=
j i si 0ji si 1
Es decir, la matriz In tiene unos en la diagonal principal y ceros en las celdas restantes. Tiene la siguiente estructura:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
0
00
0
00
1
00
0
10
0
01
In
L
M
L
MMM
M
L
L
L
M
L
L
L
MM
Teorema 1.5. Sea A ∈ Mmxn(K). Entonces se cumple que AIn = ImA = A Demostración
(AIn)ij = ∑=
n
1rrjnir )I(A
= njninjjnijj1n1i )I(A...)I(A...)I(A ++++
= ijinij1i A0A...1A...0A =++++
Por otro lado,
(ImA)ij = ∑=
n
1rrjirm A)I( = njinmijiimj11im A)I(...A)I(...A)I( ++++
= ijnjijj1 AA0...A1...A0 =++++
Luego se cumple que (AIn)ij = (ImA)ij = Aij Definición 1.10. Se define como matriz nula de orden mxn a la matriz θmxn∈Mmxn(K) definida de la siguiente forma:
(θmxn)ij = 0 ∀ (i,j) ∈ Jm x Jn Definición 1.11. Sea A∈Mnxn(K). Se dice que la matriz A es:
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
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1. Simétrica si At = A. 2. Antisimétrica si At = -A 3. Triangular Superior si Aij = 0 ∀ i > j. 4. Triangular Inferior si Aij = 0 ∀ i < j. 5. Diagonal si Aij = 0 ∀ ji ≠ . 6. Escalar si existe c ∈ K tal que A = cIn. 7. Ortogonal si AtA = AAt = In. 8. Idempotente si A2 = A. 9. Involutiva si A2 = In. 10. Nilpotente si existe p ∈ ℵ* tal que Ap = θnxn.
Ejemplo 1.9.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2331
A . A es simétrica ya que
A2331
At =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= .
Ejemplo 1.10.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
0 330
A . A es antisimétrica ya que
A0 330
0330
At −=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
= .
Ejemplo 1.11.
Sea A∈M3x3(ℜ) definida por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
300210321
A . A es triangular superior ya que
A21 = A31 = A32 = 0. Ejemplo 1.12.
Sea A∈M3x3(ℜ) definida por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
323012001
A . A es triangular inferior ya que
A12 = A13 = A23 = 0. Ejemplo 1.13.
Sea A∈M3x3(ℜ) definida por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
300020001
A . A es diagonal ya que
A12 = A13 = A23 = A21 = A31 = A32 = 0.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
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Ejemplo 1.14.
Sea A∈M3x3(ℜ) definida por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
500050005
A . A es escalar ya que se puede
expresar como:
3I5100010001
5500050005
A =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
Ejemplo 1.15.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
=
22
22
22
22
A . A es ortogonal ya que
AtA = AAt = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1001
= I2.
Ejemplo 1.16.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=
21
21
21
21
A . A es idempotente ya que
A2 = A. Ejemplo 1.17.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=100 1
A . A es involutiva ya que A2 = I2.
Ejemplo 1.18.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0010
A . A es nilpotente ya que A2 = θ2.
Definición 1.12. Sea B∈Msxs(K). Se dice que B es una matriz Grammian si y sólo si es de la forma B = AtA o B = AAt, para cualquier matriz A∈Mnxp(K); s = p, n. Observaciones:
1. Las matrices Grammian son simétricas. 2. El elemento genérico de una matriz Grammian de la forma AtA es
de la siguiente forma:
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
13
Bij = (AtA)ij = ∑=
n
1rrjir
t A)A( = ∑=
n
1rrjriAA
3. El elemento genérico de una matriz Grammian de la forma AAt es
de la siguiente forma:
Bij = (AAt)ij = ∑=
p
1rrj
tir )A(A = ∑
=
n
1rjrirAA
4. Una matriz Grammian de la forma AtA se puede descomponer como una suma de matrices de la siguiente forma:
B = AtA =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
1r
2rp
n
1r2rrp
n
1r1rrp
n
1rrp2r
n
1r
22r
n
1r1r2r
n
1rrp1r
n
1r2r1r
n
1r
21r
AAAAA
AAAAA
AAAAA
L
MMM
L
L
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
n
1r
2rp
n
1rrp2r
n
1rrp1r
n
1rrp2r
n
1r
22r
n
1r2r1r
n
1rrp1r
n
1r2r1r
n
1r
21r
AAAAA
AAAAA
AAAAA
L
MMM
L
L
= ∑=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡n
1r2rprp2rrp1r
rp2r22r2r1r
rp1r2r1r21r
AAAAA
AAAAAAAAAA
L
MMM
L
L
= [ ]∑=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡n
1rrp2r1r
rp
2r
1r
AAA
A
AA
LM
= ∑=
n
1r
trr )A(A ; donde:
Ar =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
rp
2r
1r
A
AA
M es la transpuesta de la r-ésima fila de A.
Lo propio ocurre con las matrices Grammian de la forma AAt.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
14
1.5. MATRIZ DE DATOS Definición 1.13. Sea X∈Mnxp(ℜ). Se dice que X es una matriz de datos si se obtiene de medir p variables sobre n elementos, es decir, Xij = Valor de la j-ésima variable medida sobre el i-ésimo elemento. Si p = 1 entonces se dice que X es un vector de datos. Ejemplo Aplicado 1.3. Se extrae del control de notas de un curso de Algebra Lineal las calificaciones de los alumnos A, B, C, D, E, F y G en los 3 exámenes parciales que contempla el curso. El resultado se resume en la siguiente matriz de datos:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
130913081012111315181917121408091210101112
X
Definición 1.14. Se define como Vector Generador de Medias al vector U∈M1xn(ℜ) tal que
U = tn )
n1 (1 , siendo n1 el vector n1 ∈Mnx1(ℜ) definido por in )(1 = 1, ∀
i∈Jn. Definición 1.15. Se define como Matriz Generadora de Medias a la matriz A∈Mnxn(ℜ) tal que
A = tnn ))((
n1 11 .
Definición 1.16. Se define como Matriz de Centraje a la matriz P∈Mnxn(ℜ) tal que P = In – A, es
decir, P = In – tnn ))((
n1 11 .
Definición 1.17. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de datos. Se define como Matriz de Datos Centrada asociada a la Matriz de Datos X a la matriz X̂ ∈Mnxp(ℜ) con elemento genérico jijij XXX̂ −= , siendo jX la media aritmética de las n mediciones de
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
15
la j-ésima variable. Si p = 1 entonces se dice que X̂ es el vector de datos centrado asociado al vector de datos X. Definición 1.18. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de datos. Se define como Matriz de Datos Estandarizada asociada a la matriz de datos X a la matriz EX̂ ∈Mnxp(ℜ) con
elemento genérico j
jijijE S
XX)X̂(
−= , siendo jX y Sj la media aritmética y la
desviación estándar de las n mediciones de la j-ésima variable, respectivamente. Si p = 1 entonces se dice que EX̂ es el vector de datos estandarizado asociado al vector de datos X. Definición 1.19. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de datos. Se define como Matriz de Varianzas y Covarianzas asociada a X a la matriz V∈Mpxp(ℜ) cuyo elemento genérico es Vij = Sij, es decir, Vij se corresponde con la covarianza entre las variables i-ésima y j-ésima. Observación: Notemos que Vii = Sii = Si
2. Definición 1.20. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de datos. Se define como Matriz de Correlaciones asociada a X a la matriz R∈Mpxp(ℜ) cuyo elemento genérico es Rij = rij, es decir, Rij se corresponde con el coeficiente de correlación lineal de Pearson entre las variables i-ésima y j-ésima. Observación: Nótese que Rii = rii = 1. Teorema 1.6. Sea X∈Mnxp(ℜ) una matriz de datos. Entonces se cumple que:
1. UX es el vector de medias aritméticas asociado a la matriz de datos X.
2. PXX̂ = .
3. V = X̂X̂n1 t .
4. R = Et
E X̂)X̂(n1
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
16
Demostración
1. (UX)ij = ∑=
n
1rrjirXU = ∑
=
n
1rrjir
tn X))(
n1( 1 = ∑
=
n
1rrjrin X)(
n1 1 =
= rj
n
1r
X.1n1∑
=
= ∑=
n
1rrjX
n1 = jX
2. ((1n)(1n)t)ij = ∑=
1
1rjr
tnirn ))(()( 11 = ∑
=
1
1rjrnirn )()( 11 = ∑
=
1
1r
1.1 = 1.
(AX)ij = ∑=
n
1rrjirXA = ∑
=
n
1rrjir
tnn X)))((
n1( 11 =
= ∑=
n
1rrjir
tnn X)))(((
n1 11 = rj
n
1r
X.1n1∑
=
= ∑=
n
1rrjX
n1 = jX
Por lo tanto, PX = (In – A)X = X – AX. Luego,
(PX)ij = (X – AX)ij = Xij – (AX)ij = Xij – jX = ijX̂
⇒ PX = X̂
3. ijt )X̂X̂
n1( = ij
t )X̂X̂(n1 = ∑
=
n
1rrjir
t X̂)X̂(n1
= ∑=
n
1rrjriX̂X̂
n1
= ∑=
−−n
1rjrjiri )XX)(XX(
n1 = Sij = Vij.
⇒ X̂X̂n1 t = V
4. ijEt
E )X̂)X̂(n1( = =ijE
tE )X̂)X̂((
n1 ∑
=
n
1rrjEriE )X̂()X̂(
n1
= ∑=
−−n
1r j
jrj
i
iri )S
XX)(
SXX(
n1
= ∑=
−−n
1rjrjiri
ji
)XX)(XX(n1
SS1
= ijji
SSS1
= ji
ij
SSS
= rij = Rij.
⇒ Et
E X̂)X̂(n1 = R
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
17
Observación: La matriz de varianzas y covarianzas y la matriz de correlaciones son matrices Grammian.
Ejemplo Aplicado 1.4.
En relación al ejemplo aplicado 1.3.:
1. El vector generador de medias es:
[ ] [ ]71
71
71
71
71
71
711111111
71U ==
2. La matriz generadora de medias es:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
1111111111111111111111111111111111111111111111111
71A
3. La matriz de centraje es:
P = I7 – A =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
71
1000000010000000100000001000000010000000100000001
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
4. El vector de medias aritméticas asociado a X es:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
18
UX = [ ]71
71
71
71
71
71
71
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
130913081012111315181917121408091210101112
= [ ]57,1157,1243,12
5. La matriz de datos centrada es:
PXX̂ = =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
71
71
71
71
71
71
71
76
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
130913081012111315181917121408091210101112
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−−−−
43,157,357,057,357,243,057,043,057,243,643,657,443,043,143,457,257,043,257,157,143,0
6. La matriz de varianzas y covarianzas es:
V = X̂)X̂(71 t
=71
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−−
43,157,357,043,643,057,257,157,357,243,043,643,157,057,157,043,057,257,443,443,243,0
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−−−−
43,157,357,057,357,243,057,043,057,243,643,657,443,043,143,457,257,043,257,157,143,0
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
39,910,704,510,739,961,304,561,367,7
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
19
7. Las desviaciones estándares de las 3 variables son:
S1 = 2,77, S2 = 3,06 y S3 = 3,06 Luego, la matriz de datos estandarizada es:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−−−−
=
47,0 17,121,0 17,184,015,019,014,0 93,0 10,2 10,2 65,1 14,0 47,0 60,184,019,088,051,051,015,0
X̂E
8. La matriz de correlaciones es:
R = Et
E X̂)X̂(71
=71
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−
−−−−
47,017,119,010,214,084,051,017,184,014,010,247,019,051,021,015,093,065,160,188,015,0
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−−−−−−
47,017,121,017,184,015,019,014,093,010,210,265,114,047,060,184,019,088,051,051,015,0
= ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
00,176,059,076,000,143,059,043,000,1
1.6. OPERACIONES ELEMENTALES DE FILAS Y DE COLUMNAS. Definición 1.21. Sea A∈Mmxn(K). Una operación elemental de filas sobre A es cualquiera de las siguientes operaciones:
1. Substituir la p-ésima fila de A por dicha fila más c veces la s-ésima fila de A, donde c∈K, 0c ≠ ( sp ≠ ). Se denota por rp → rp + crs.
2. Multiplicar la p-ésima fila de A por un escalar c∈K, 0c ≠ . Se denota por rp → crp.
3. Intercambiar las filas p-ésima y s-ésima de A. Se denota por rp ↔ rs.
Igualmente una operación elemental de columnas sobre A es cualquiera de las siguientes operaciones:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
20
1. Substituir la p-ésima columna de A por dicha columna más d veces la s-ésima columna de A, donde d∈K, 0d ≠ ( sp ≠ ). Se denota por cp → cp + dcs.
2. Multiplicar la p-ésima columna de A por un escalar d∈K, 0d ≠ . Se denota por cp
→ dcp. 3. Intercambiar las columnas p-ésima y s-ésima de A. Se denota por
cp ↔ cs. Observación: Una operación elemental de filas o de columnas es una función e:Mmxn(K)→ Mmxn(K) que asigna a cada matriz A∈Mmxn(K) una única matriz e(A)∈Mmxn(K). En particular, para el caso de las filas:
1. e:rp→rp+crs ( 0c ≠ )
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠
pi si cAApi si A
sjpj
ij
2. e:rp→crp ( 0c ≠ )
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si cApi si A
pj
ij
3. e:rp↔rs
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si A
si e pi si A
pj
sj
ij
De forma análoga ocurre para el caso de las columnas sólo que en lugar de e se denota por f. Ejemplo 1.19. Sea A∈M3x2(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
231021
A
Sean e1, e2, e3, f1, f2, f3 las operaciones elementales definidas por: e1: r1→r1+2r2 e2: r1→2r1 e3: r2 ↔ r3 f1: c2→c2
– c1
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
21
f2: c2→3c2 f3: c1↔c2 Luego,
e1(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ ++
231041
2310
1.220.21
e2(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
231042
23102.21.2
e3(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
102321
f1(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
131 01 1
323010121
f2(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
320112
f3(A) = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
633061
2.331.302.31
Las operaciones elementales se pueden aplicar sin el procedimiento formal anterior de la siguiente manera:
)A(e231041
231021
A 1r2rr 211 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= +→
)A(e231042
231021
A 2r2r 11 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= →
)A(e102321
231021
A 3rr 32 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= ↔
)A(f131 01 1
231021
A 1ccc 122
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −→
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
22
)A(f633061
231021
A 2c3c 22
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= →
)A(f320112
231021
A 3cc 21
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= ↔
También es posible aplicar simultáneamente 2 o más operaciones elementales siempre y cuando la fila o columna cambiante en cada operación no sea la misma. Por ejemplo: e1: r1→r1+2r2 e4: r3→r3 – r2
))A(e(e131041
231021
A 14rrr
r2rr
233
211
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= −→
+→
Teorema 1.7. Sea e: Mmxn(K)→ Mmxn(K) la operación elemental de filas definida por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠
pi si cAApi si A
sjpj
ij ; ( 0c ≠ )
Entonces existe una operación elemental de filas e1: Mmxn(K)→ Mmxn(K) del mismo tipo que e tal que e(e1(A)) = e1(e(A)) = A, ∀ A∈ Mmxn(K). Demostración Sea e1: Mmxn(K)→ Mmxn(K) una operación elemental de filas definida de la siguiente forma:
e1(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+≠
pi si A)c(Api si A
sjpj
ij ; ( 0c ≠ )
Luego,
e(e1(A))ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−+≠
pi si cA)A)c(A(pi si A
sjsjpj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+−≠
pi si cAcAApi si A
sjsjpj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si Api si A
pj
ij = Aij
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
23
e1(e(A))ij =⎪⎩
⎪⎨⎧
=−++≠
pi si A)c()cAA(pi si A
sjsjpj
ij
=⎪⎩
⎪⎨⎧
=−+≠
pi si cAcAApi si A
sjsjpj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si Api si A
pj
ij = Aij
De forma análoga ocurre para el caso de las columnas. Teorema 1.8. Sea e: Mmxn(K)→ Mmxn(K) la operación elemental de filas definida por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si cApi si A
pj
ij ; ( 0c ≠ )
Entonces existe una operación elemental de filas e1: Mmxn(K)→ Mmxn(K) del mismo tipo que e tal que e(e1(A)) = e1(e(A)) = A, ∀ A∈ Mmxn(K). Demostración Sea e1: Mmxn(K)→ Mmxn(K) una operación elemental de filas definida de la siguiente forma:
e1(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠
pi si Ac1
pi si A
pj
ij; ( 0c ≠ )
Luego,
e(e1(A))ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠
pi si )Ac1(c
pi si A
pj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠
pi si Ac1c
pi si A
pj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si Api si A
pj
ij = Aij
e1(e(A))ij =⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠
pi si )cA(c1
pi si A
pj
ij
=⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠
pi si cAc1
pi si A
pj
ij
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
24
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si Api si A
pj
ij = Aij
De forma análoga ocurre para el caso de las columnas. Teorema 1.9. Sea e: Mmxn(K)→ Mmxn(K) la operación elemental de filas definida por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si A
si e pi si A
pj
sj
ij
Entonces existe una operación elemental de filas e1: Mmxn(K)→ Mmxn(K) del mismo tipo que e tal que e(e1(A)) = e1(e(A)) = A, ∀ A∈ Mmxn(K). Demostración Sea e1: Mmxn(K)→ Mmxn(K) una operación elemental de filas definida de la siguiente forma:
e1(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si A
si e pi si A
pj
sj
ij
Luego,
e(e1(A))ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si Asi e pi si A
sj
pj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si Api si A
pj
ij = Aij
e1(e(A))ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si Asi e pi si A
sj
pj
ij
= ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si Api si A
pj
ij = Aij
De forma análoga ocurre para el caso de las columnas.
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
25
Definición 1.22. Sean A, B ∈Mmxn(K). Se dice que B es equivalente por filas a A si B se obtiene de A aplicándole una sucesión finita de operaciones elementales de fila. Igualmente se dice que B es equivalente por columnas a A si B se obtiene de A aplicándole una sucesión finita de operaciones elementales de columna. Ejemplo 1.20. En el ejemplo 1.19., las matrices e1(A), e2(A), e3(A) y e4(e1(A)) son equivalentes por filas a A mientras que las matrices f1(A), f2(A) y f3(A) son equivalentes por columnas a A. Definición 1.23. Sea A∈Mmxn(K). Se define como pivote de la p-ésima fila (respectivamente de la s-ésima columna) de A al primer elemento no nulo de dicha fila (respectivamente de dicha columna); si lo hay. Ejemplo 1.21. En el ejemplo 1.19., el pivote de la primera fila de A es 1, el de la segunda fila es 1 y el de la tercera fila es 3. El pivote de la primera columna de A es 1 y el de la segunda columna es 2. Definición 1.24. Sea R ∈Mmxn(K). Se dice que R es reducida por filas si se verifican las siguientes condiciones:
1. El pivote de cada fila no nula de R es igual a 1. 2. Cada columna de R que contenga el pivote de alguna fila no nula de
R tiene todos sus otros elementos nulos. Igualmente se dice que R es reducida por columnas si se verifican las siguientes condiciones:
1. El pivote de cada columna no nula de R es igual a 1. 2. Cada fila de R que contenga el pivote de alguna columna no nula de
R tiene todos sus otros elementos nulos. Observación: Sea A∈Mmxn(K). Entonces A siempre es equivalente por filas a una matriz reducida por filas R∈Mmxn(K). Ejemplo 1.22. Sea A∈M4x3(ℜ), B∈M3x3(ℜ) y A∈M3x4(ℜ) definidas por:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
26
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
000010100001
A ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
020010001
B ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
210000101001
C
Las matrices A y C son reducidas por filas mientras que la matriz B no es reducida por filas, ya que el elemento (3, 2) es no nulo. Las matrices A y B son reducidas por columnas pero la matriz C no es reducida por columnas ya que el elemento (1, 4) es no nulo. Definición 1.25. Sea R∈Mmxn(K). Se dice que R es escalonada reducida por filas si se verifican las siguientes condiciones:
1. R es reducida por filas. 2. Las filas nulas de R están por debajo de las filas no nulas de R. 3. Si las filas 1, 2, …, p son las filas no nulas de R y si el pivote de la
i-ésima fila pertenece a la columna si, i = 1, 2, …, p entonces s1 < s2 < … < sp.
Igualmente se dice que R es escalonada reducida por columnas si se verifican las siguientes condiciones:
1. R es reducida por columnas. 2. Las columnas nulas de R están a la derecha de las columnas no
nulas de R. 3. Si las columnas 1, 2, …, s son las columnas no nulas de R y si el
pivote de la j-ésima columna pertenece a la fila pj, j = 1, 2, …, p entonces p1 < p2 < … < ps.
Observación: Sea A∈Mmxn(K). Entonces A siempre es equivalente por filas o por columnas a una única matriz escalonada reducida por filas o por columnas R∈Mmxn(K). Ejemplo 1.23. En el ejemplo 1.21. la matriz A es reducida por filas pero no es escalonada reducida por filas ya que s1 = 1, s2 = 3 y s3 = 2 (s2 > s3). A su vez la matriz C si es escalonada reducida por filas ya que además de ser reducida por filas cumple que s1 = 1 < s2 = 2 < s3 = 3. En el mismo ejemplo la matriz A es reducida por columnas pero no es escalonada reducida por columnas ya que p1 =1, p2 = 3 y p3 = 2 (p2 > p3). A su vez la matriz B si es escalonada reducida por columnas ya que además de ser reducida por columnas cumple que p1 = 1 y p2 = 2 (p1 < p2).
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
27
1.7. MATRIZ INVERSA. Definición 1.26. Sea A∈Mnxn(K). Se dice que A es invertible o no singular si existe una matriz B∈Mnxn(K) tal que AB = BA = In. Ejemplo 1.24.
Sea A∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
5321
A . A es no singular ya que existe la
matriz B∈M2x2(ℜ) definida por ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
13 2 5
B tal que AB = BA = I2.
Teorema 1.10. Sea A∈Mnxn(K). Si A es invertible entonces existe una única matriz B∈Mnxn(K) tal que AB = BA = In, en cuyo caso B se dice que es la matriz inversa de A y se denota por A-1. Demostración Supongamos que A es invertible y que existen matrices B y C ∈Mnxn(K) tales que B y C son inversas de A. Entonces B = InB = (CA)B = C(AB) = CIn = C. Como B = C se concluye que A tiene una única matriz inversa. Teorema 1.11. Sean A, B ∈Mnxn(K).
1. Si BA = In entonces A es invertible y B = A-1. 2. Si AB = In entonces A es invertible y B = A-1.
Demostración
1. Para demostrar que A es invertible utilicemos reducción al absurdo, es decir, supongamos que A no es invertible. En ese caso no existe matriz alguna C∈Mnxn(K) tal que AC = CA = In, lo cual es una contradicción ya que por hipótesis BA = In. Para demostrar que B = A-1, sea C = A-1. En ese caso AC = In. Luego, BAC = B(AC) = BIn = B y BAC = (BA)C = InC = C. Por consiguiente B = C = A-1.
2. La demostración es análoga a la del apartado anterior. Ejemplo 1.25. En el ejemplo 1.24., la matriz inversa de A es:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
13 2 5
A 1
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
28
Teorema 1.12. Sean A, B, C ∈Mnxn(K).
1. Si A y B son invertibles entonces: 1.1. A-1 es invertible y (A-1)-1 = A. 1.2. AB es invertible y (AB)-1 = B-1A-1. 1.3. (A-1)t = (At)-1.
2. Si C tiene una fila o columna nula entonces C no es invertible. Demostración
1. 1.1. Si A es invertible entonces se cumple que AA-1 = A-1A = In.
Luego se cumple que (A-1)-1 = A. 1.2. Veamos si existe una matriz C tal que ABC = In y CAB = In.
ABC = In ⇒ A-1ABC = A-1In ⇒ BC = A-1 ⇒ B-1BC = B-1A-1. ⇒ C = B-1A-1.
CAB = In ⇒ CABB-1 = InB-1 ⇒ CA = B-1 ⇒ CAA-1 = B-1A-1. ⇒ C = B-1A-1.
Luego, AB es invertible y además se cumple que (AB)-1 = B-1A-1.
1.3. Por definición se cumple que AA-1 = A-1A = In. Tomando transpuesta en los tres lados de la igualdad se tiene que (AA-1)t = (A-1A)t = (In)t = In. Luego, aplicando propiedades de la matriz transpuesta:
(A-1)tAt = In At(A-1)t = In
Ahora bien, por definición de matriz inversa se cumple que:
(At)(At)-1 = In (At)-1(At) = In
Por consiguiente (A-1)tAt = (At)-1(At). Postmultiplicando a ambos lados de la igualdad por (A-1)t se tiene que:
(A-1)tAt(A-1)t = (At)-1(At)(A-1)t ⇒ (A-1)t(A-1A)t = (At)-1(A-1A)t
⇒ (A-1)t(In)t = (At)-1(In)t ⇒ (A-1)tIn = (At)-1In ⇒ (A-1)t = (At)-1
2. Utilicemos el método de reducción al absurdo. Supongamos sin
pérdida de generalidad que C∈Mnxn(K) tiene la primera fila nula y que C es invertible. Sea D∈Mnxn(K) la matriz inversa de C. En ese caso se cumple que CD = DC = In. Pero,
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
29
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
n22221
CCC
CCC000
CD
L
MMM
L
L
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
n22221
n11211
DDD
DDDDDD
L
MMM
L
L
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
===
===
n
1rrnnr
n
1r2rnr
n
1r1rnr
n
1r2rr2
n
1r2rr2
n
1r1rr2
DCDCDC
DCDCDC
000
L
MMM
L
L
Es decir:
In =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∑∑∑
∑∑∑
===
===
n
1rrnnr
n
1r2rnr
n
1r1rnr
n
1rrnr2
n
1r2rr2
n
1r1rr2
DCDCDC
DCDCDC
000
L
MMM
L
L
Lo cual es una contradicción. Por consiguiente C no es invertible. Observación: Nótese que si se aplica la equivalencia contrarecíproca en el apartado 2 se concluye que si C es invertible entonces C tiene todas sus filas y columnas no nulas. Definición 1.27. Sea E∈Mnxn(K). Se dice que E es una matriz elemental si E se obtiene de la matriz In aplicándole una única operación elemental de fila o de columna. Notación:
1. Si e: Mnxn(K)→ Mnxn(K) se define por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠
pi si cAApi si A
sjpj
ij ; ( 0c ≠ )
Entonces e(In) = Aps(c)
2. Si e: Mnxn(K)→ Mnxn(K) se define por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si cApi si A
pj
ij ( 0c ≠ )
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
30
Entonces e(In) = Mp(c) 3. Si e: Mnxn(K)→ Mnxn(K) se define por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si A
si e pi si A
pj
sj
ij
Entonces e(In) = Hps
En el caso de operaciones elementales de columnas las matrices se denotan por Aps(c), Mp(c) y Hps, respectivamente. Ejemplo 1.26. Sean E1, E2, E3, E4∈M2x2(ℜ) definidas por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2001
E1 ; ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1 031
E2 ; ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=
1 011
E3 ; ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1103
E4
Las matrices E1, E2 y E3 son matrices elementales ya que:
1r2r
2 E2001
1001
I 22 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎯⎯⎯ →⎯⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= → , es decir, E1 = M2(2).
2r3rr
2 E1 031
1001
I 211 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎯⎯⎯ →⎯⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= −→ , es decir, E2 = A12(-3).
3ccc
2 E1 011
1001
I122
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⎯⎯⎯ →⎯⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= −→ , es decir, E3 = A21(-1).
La matriz E4 no es elemental ya que:
4r3rrrr
2 E1103
1101
1001
I 11122 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⎯⎯ →⎯⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= →−→
Teorema 1.13. Sean e una operación elemental de filas y E∈Mnxn(K) la matriz elemental E = e(In). Entonces ∀ A∈Mnxn(K) se cumple que EA=e(A) Demostración
1. Consideremos la operación elemental de filas e: Mnxn(K)→ Mnxn(K) definida por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠
pi si cAApi si A
sjpj
ij ; ( 0c ≠ )
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
31
Sea A:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
A
MMM
L
MMM
L
MMM
L
Luego,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++=
nn2n1n
snpn2s2p1s1p
sn2s1s
n11211
AAA
cAAcAAcAA
AAA
AAA
)A(e
MMM
L
MMM
L
MMM
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000
0100
0010
0001
In
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
1000
01c0
0010
0001
)I(eE n
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
EA =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1000
01c0
0010
0001
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
MMM
L
MMM
L
MMM
L
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
32
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
nn2n1n
snpn2s2p1s1p
sn2s1s
n11211
AAA
cAAcAAcAA
AAA
AAA
MMM
L
MMM
L
MMM
L
= e(A)
2. Consideremos la operación elemental de filas e: Mnxn(K)→ Mnxn(K)
definida por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si cApi si A
pj
ij ; ( 0c ≠ )
Sea A:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
A
MMM
L
MMM
L
MMM
L
Luego,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
cAcAcA
AAA
AAA
)A(e
MMM
L
MMM
L
MMM
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000
0100
0010
0001
In
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
33
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
1000
0c00
0010
0001
)I(eE n
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
EA =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1000
0c00
0010
0001
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
MMM
L
MMM
L
MMM
L
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
cAcAcA
AAA
AAA
MMM
L
MMM
L
MMM
L
= e(A)
3. Consideremos la operación elemental de filas e: Mnxn(K)→ Mnxn(K)
definida por:
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
==≠≠
si si Api si Asi e pi si A
pj
sj
ij
Sea A:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
A
MMM
L
MMM
L
MMM
L
Luego,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
34
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn2n1n
sn2s1s
pn2p1p
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
)A(e
MMM
L
MMM
L
MMM
L
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1000
0100
0010
0001
In
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
==
1000
0010
0100
0001
)I(eE n
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
EA =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
1000
0010
0100
0001
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
MMMM
LLL
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
pn2p1p
sn2s1s
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
MMM
L
MMM
L
MMM
L
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
nn2n1n
sn2s1s
pn2p1p
n11211
AAA
AAA
AAA
AAA
MMM
L
MMM
L
MMM
L
= e(A)
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
35
Observaciones: Del teorema anterior se desprenden las siguientes conclusiones:
1. Sean f una operación elemental de columnas y F∈Mnxn(K) la matriz elemental F = f(In). Entonces ∀ A∈Mnxn(K) se cumple que AF = f(A).
2. Sean A, B∈Mnxn(K). Entonces B es equivalente por filas a A si y sólo si existen matrices elementales E1, E2, …, Et∈Mnxn(K) tales que B = EtEt-1…E1A.
3. Sea A∈Mnxn(K). Si R∈Mnxn(K) es la matriz escalonada reducida por filas equivalente por filas a A entonces existen matrices elementales E1, E2, …, Et ∈Mnxn(K) tales que R = EtEt-1…E1A.
Teorema 1.14. Sea E∈Mnxn(K). Si E es una matriz elemental entonces E es invertible. Demostración Supongamos que E se define por la operación elemental de fila e. Luego, E = e(In). Sea e1 la operación elemental de filas inversa de e. Queda definida de esta forma la matriz elemental E1 = e1(In). Por consiguiente,
EE1 = e(E1) = e(e1(In)) = In y E1E = e1(E) = e1(e(In)) = In.
Esto significa que E es invertible y además que E-1 = E1. Observación:
1. (Aps(c))-1 = Aps(-c), 0c ≠ . 2. (Mp(c))-1 = Mp(c-1), 0c ≠ . 3. Hps
-1 = Hps. Teorema 1.15. Sea R∈Mnxn(K) una matriz escalonada reducida por filas. Si R es invertible entonces R = In. Demostración Si R es invertible entonces R tiene todas sus filas y columnas no nulas. Como R es una matriz cuadrada y es escalonada reducida por filas entonces necesariamente R tiene la forma:
nI
1
0
00
0
00
1
00
0
10
0
01
R =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
L
M
L
MMM
M
L
L
L
M
L
L
L
MM
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
36
Teorema 1.16. Sea A∈Mnxn(K). Si A es invertible entonces A es equivalente por filas a In. Demostración Sea R∈Mnxn(K) la matriz escalonada por filas equivalente por filas a A. Entonces existen matrices elementales E1, E2,…, Et ∈Mnxn(K) tales que R = EtEt-1…E1A y por lo tanto A = E1
-1E2-1…Et
-1R. Luego si A es invertible entonces E1
-1E2-1…Et
-1R es invertible, lo cual significa que R es invertible y por consiguiente R = In. Por lo tanto, A = E1
-1E2-1…Et
-1In lo que significa que A es equivalente por filas a In. Observaciones: Sea A∈Mnxn(K).
1. Si A es equivalente por filas a In entonces A es un producto de matrices elementales, ya que A = E1
-1E2-1…Et
-1In = E1-1E2
-1…Et-1. En
ese caso, EtEt-1…E1A = In, es decir, (EtEt-1…E1In)A = In. 2. Para determinar si A es Invertible se determina su matriz
escalonada reducida por filas R. Entonces se tiene que: 2.1. Si R tiene por lo menos una fila nula entonces A no es
invertible. 2.2. Si R = In entonces A es invertible y su matriz inversa A-1 se
obtiene aplicándole a In las mismas operaciones elementales de fila que permiten obtener In de A, es decir, A-1 = EtEt-1…E1In.
([A | In] → … → [In | A-1])
Ejemplo 1.27. Sea A∈M3x3(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
3 1 1 1 2 12 0 1
A
Para determinar si A es no singular y en caso afirmativo hallar la matriz inversa A-1 determinaremos la matriz R escalonada reducida por filas de A y simultáneamente aplicaremos las mismas operaciones elementales de filas para obtener R a partir de A sobre la matriz I3 de modo de no perder el trabajo de hallar A-1 de una vez en el caso en que resulte que R = I3, es decir, que A sea no singular.
[A | I3] = ⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− +→ 122 rrr
100010001
311 121201
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−→ 133 rrr
100011001
311320201
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
37
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
→ 22 r21r
101011 001
110320201
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−→ 233 rrr
10102
12
1 001
1102
310201
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−→ 33 r2r
1 21
23
0 21 2
1 0 0 1
2100
23 102 01
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−− −→ 311 r2rr
21 3 3 140 0 1
100010201
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
21 3 3 144 25
100010001
= [R | B] Como R = I3 entonces A es no singular y la matriz inversa de A es B, es decir,
A-1 = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
21 3 3 144 25
Teorema 1.17. Sean A, B∈Mnxn(K). Si A es invertible y A es equivalente por filas a B entonces B es invertible. Demostración Como A es invertible entonces A es equivalente por filas a In, es decir, existen matrices elementales E1, E2,…, Et tales que A = EtEt-1…E1In. Por otra parte como A es equivalente por filas a B entonces existen matrices elementales E*
1, E*2,…, E*
s tales que A = E*sE*
s-1…E*1B. Luego se cumple que:
E*
sE*s-1…E*
1B = EtEt-1…E1In
De lo anterior se puede deducir las 2 siguientes igualdades: E1
-1E2-1…Et
-1E*sE*
s-1…E*1B = In
BE1
-1E2-1…Et
-1E*sE*
s-1…E*1 = In
Es decir, B es invertible y además B-1 = Et
-1Et-1-1…E1
-1E*sE*
s-1…E*1.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
38
1.8. TRAZA DE UNA MATRIZ. Definición 1.28. Sea A∈Mnxn(K). Se define como traza de A y se denota por Traza(A) a:
∑=
=n
1iiiA)A(Traza
Es decir, la traza de una matriz es la suma de los elementos de la diagonal principal. Ejemplo 1.28. En el ejemplo 1.25. Traza(A) = 1 +2 +3 = 6. Teorema 1.18. Sean A, B ∈Mnxn(K) y c∈K con c ≠ 0. Entonces se cumple que:
1. Traza(cA) = cTraza(A). 2. Traza(A+B) = Traza(A)+Traza(B). 3. Traza(A–B) = Traza(A) – Traza(B). 4. Traza(AB) = Traza(BA). 5. Si B es no singular entonces Traza(B-1AB) = Traza(A).
6. Traza(AAt) = ∑∑= =
n
1i
2n
1jij )A(
Demostración
1. (cA)ij = c(Aij). Por lo tanto,
)A(cTrazaAc)A(c)cA()cA(Trazan
1iii
n
1iii
n
1iii ==== ∑∑∑
===
2. (A+B)ij = Aij + Bij. Por lo tanto,
∑ ∑∑∑= ===
+=+=+=+n
1i
n
1iiiii
n
1iiiii
n
1iii BA)BA()BA()BA(Traza
= Traza(A) + Traza(B)
3. (A–B)ij = Aij – Bij. Por lo tanto,
∑ ∑∑∑= ===
−=−=−=−n
1i
n
1iiiii
n
1iiiii
n
1iii BA)BA()BA()BA(Traza
= Traza(A) – Traza(B)
4. (AB)ij = ∑=
n
1rrjirBA y (BA)ij = ∑
=
n
1rrjirAB . Luego,
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
39
Traza(AB) = ∑ ∑∑= = =
=n
1i
n
1i
n
1rriirii BA)AB(
Traza(BA) = ∑∑∑ ∑∑= == = =
==n
1i
n
1rirri
n
1i
n
1i
n
1rriirii ABAB)BA(
)AB(TrazaBAn
1i
n
1rriir ==∑∑
= =
5. Traza(B-1AB) = Traza(ABB-1) = Traza(AIn) = Traza(A). 6. (At)ij = Aji. Por lo tanto,
(AAt)ij = ∑=
n
1rrj
tir )A(A = ∑
=
n
1rjrirAA
Luego,
Traza(AAt) = ∑∑∑∑∑∑= == == =
==n
1i
n
1j
2ij
n
1i
n
1r
2ir
n
1i
n
1ririr )A()A(AA
1.9. FACTORIZACIÓN LU. Teorema 1.19. Sean A, B∈Mnxn(K). Si A y B son matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal principal entonces AB es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal. Demostración Si A y B son matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal principal entonces A y B tienen la siguiente forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1AA
01A001
A
2n1n
21
L
MMM
L
L
y
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1BB
01B001
B
2n1n
21
L
MMM
L
L
Luego,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+=
∑∑==
1BAABAA
01BA001
ABn
3rrjir2n
n
2rrjir1n
2121
L
MM
L
L
Es decir, AB es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
40
Teorema 1.20. Sean A, B∈Mnxn(K). Si A y B son matrices triangulares superiores entonces AB es una matriz triangular superior. Demostración Si A y B son matrices triangulares superiores entonces A y B tienen la siguiente forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn
n222
n11211
A00
AA0AAA
A
L
MMM
L
L
y
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nn
n222
n11211
B00
BB0BBB
B
L
MMM
L
L
Luego,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
∑
∑∑
∑∑∑
=
==
===
n
nrrnnr
n
2rrnr2
2
2r2rr2
n
1rrnr1
2
1r2rr1
1
1r1rr1
BA00
BABA0
BABABA
AB
L
MMM
L
L
Es decir, AB es una matriz triangular superior. Teorema 1.21. Sean A, U∈Mnxn(K). Si A es equivalente por filas a U solamente con operaciones elementales de fila del tipo rp → rp + crs y U es triangular superior entonces existe una matriz triangular inferior L∈Mnxn(K) no singular con unos en la diagonal principal tal que A = LU. Demostración Si A es equivalente por filas a U solamente con operaciones elementales de fila del tipo rp → rp + crs entonces existen matrices elementales E1, E2,…, Et tales que U = EtEt-1…E1A. En consecuencia, A = E1
-1E2-1…Et
-1U. Ahora bien, las matrices elementales E1, E2,…, Et son obtenidas aplicándole a la matriz identidad In solamente operaciones elementales de fila de la forma rp → rp + crs y como estas matrices elementales se utilizan para reducir la matriz A a la matriz triangular superior U entonces E1, E2,…, Et son matrices triangulares inferiores con unos en la diagonal principal. Luego, sus correspondientes matrices inversas son también triangulares inferiores con unos en la diagonal principal. Sea L = E1
-1E2-1…Et
-1. Como E1-1, E2
-1,…, Et-1 son matrices triangulares
inferiores con unos en la diagonal principal entonces L es una matriz triangular
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
41
inferior con unos en la diagonal principal y además se cumple que L-1A = U, es decir, que A = LU.
([A | In] → … → [U | L-1]) Ejemplo 1.29. Sea A∈M3x3(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
241312221
A
Para factorizar A de la forma LU buscaremos una matriz U triangular superior y equivalente por filas a A solamente con operaciones elementales de fila del tipo rp → rp + crs. Dichas operaciones las aplicaremos simultáneamente sobre I3 para obtener L-1. Veamos:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −→
−→
101012001
0 2 01302 2 1
100010001
241312221
I|A133
122
rrr
r2rr
3
[ ]1r32rr
L|U13
23
7012001
3200130
221233 −+→
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−⎯⎯⎯⎯ →⎯
Luego,
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−
132
37
012001
L 1 y
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
3200130
221U
Para determinar L se aplican en orden inverso las inversas de las operaciones elementales utilizadas para hallar L-1 a partir de I3:
L13
21012001
1320
010001
100010001
I122
133233
r2rr
rrrr32rr
3 =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= +→
+→−→
De esta forma se obtiene que:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
1321
012001
L ;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
3200130
221U y se cumple que A = LU.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
42
Teorema 1.22. Sea A∈Mnxn(K). Si A es invertible entonces existen matrices únicas L∈Mnxn(K) triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) triangular superior tales que A = LU. Demostración
Por el teorema anterior se sabe que existe una matriz triangular inferior L∈Mnxn(K) no singular con unos en la diagonal principal tal que A = LU. Supongamos que existen matrices triangulares superiores U1, U2∈Mnxn(K) tales que A es equivalente por filas a U1 y también a U2. Luego por el teorema anterior se cumple que existen matrices L1 y L2∈Mnxn(K) tales que:
A = L1U1 = L2U2
Como A es equivalente por filas a U1 y U2 y A es invertible entonces U1 y U2 son matrices invertibles. Por otra parte, como L1 y L2 se obtienen como producto de matrices elementales entonces es obvio que L1 y L2 son matrices invertibles. Luego, U1U2
-1 = (L1-1L1)(U1U2
-1) = L1
-1(L1U1)U2-1 = L1
-1(L2U2)U2-1 = (L1
-1L2)(U2U2-1) = L1
-1L2 Ahora bien, U2
-1 es triangular superior y L1-1 es triangular inferior. Por lo tanto
se cumple que U1U2-1 es triangular superior y L1
-1L2 es triangular inferior con unos en la diagonal principal. Por consiguiente la única forma de que U1U2
-1 sea igual a L1
-1L2 es que ambas sean iguales a In, es decir:
U1U2-1 = L1
-1L2 = In ⇒ U1U2
-1 = In y L1-1L2 = In
⇒ U1 = U2 y L1 = L2
Luego las matrices L y U son únicas. Ejemplo 1.30. En el ejemplo 1.27. se puede verificar que A es no singular. Por consiguiente, las matrices L y U obtenidas son únicas para factorizar A de la forma A = LU. Consideremos ahora la matriz B∈M3x3(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
442312221
B
Se puede verificar fácilmente que la matriz B es singular. Veamos ahora que no existen únicas matrices L y U tales que B=LU:
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
43
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −→
−→
102012001
0 0 01302 2 1
100010001
442312221
I|B133
122
r2rr
r2rr
3 (1)
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−
102012001
L 1 y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
0 0 01302 2 1
U
Para determinar L se aplican en orden inverso las inversas de las operaciones elementales utilizadas para hallar L-1 a partir de I3:
L102012001
100010001
I122
133
r2rr
r2rr
3 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
+→
+→
De esta forma se obtiene que:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
102012001
L ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=000130
221U y se cumple que B = LU.
Pero si en (1) hacemos lo siguiente:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−⎯⎯⎯ →⎯ +→
102114001
0 0 01302 2 1
322 rrr
Obtenemos que,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−
102114001
L 1 y ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
0 0 01302 2 1
U
Para determinar L se aplican en orden inverso las inversas de las operaciones elementales utilizadas para hallar L-1 a partir de I3:
L1 0 211 20 0 1
1 0 011 00 0 1
100010001
I122
133322
r2rr
r2rrrrr
3 =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= +→
+→−→
De esta forma se obtiene que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
44
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1 0 211 20 0 1
L ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
0 0 01302 2 1
U y se cumple que B = LU.
Luego, no existen matrices únicas L y U tales que B = LU. Definición 1.29. Sea P∈Mnxn(K). Se dice que P es una matriz de permutación si P = E1E2…Et, siendo E1, E2,…Et matrices elementales obtenidas cada una de ellas con la operación elemental de filas rp ↔ rs. Ejemplo 1.31. Sea P∈M3x3(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
010001100
P
P es una matriz de permutación ya que:
P010001100
010100001
100010001
I 2132 rrrr3 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= ↔↔
Teorema 1.23. Sea A∈Mnxn(K). Si A invertible entonces existe una matriz de permutación P∈Mnxn(K) tal que PA = LU, siendo L∈Mnxn(K) una matriz triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) una matriz triangular superior. Demostración Como P es una matriz de permutación entonces P es un producto de matrices elementales. Luego es obvio que P es una matriz invertible. Como A es invertible entonces PA es también invertible. Si se aplica el teorema anterior sobre la matriz PA se obtiene que existen matrices únicas matrices L∈Mnxn(K) triangular inferior con unos en la diagonal principal y U∈Mnxn(K) triangular superior tales que PA = LU. Ejemplo 1.32. Sea C∈M3x3(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
221241312
C
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
45
Si tomamos la matriz de permutación P del ejemplo 1.29. y la premultiplicamos por C obtenemos que PC = A, siendo A la matriz del ejemplo 1.27., la cual es no singular y se descompone de la forma LU. Luego existe entonces una matriz de permutación P tal que PC = LU. 1.10. SUB-MATRIZ Y MATRIZ PARTICIONADA. Definición 1.30. Sean A∈Mmxn(K), i1, i2,…, it, j1, j2,…, js∈ℵ* tales que 1 ≤ i1 < i2 <… < it ≤ m y 1 ≤ j1 < j2 <… < js ≤ n. La matriz B∈Mtxs(K) definida como Bpq =
qp jiA ;
p = 1, 2,…, t; q = 1, 2,…, s, se dice que es una sub-matriz de A. Si t = s e ip = jp; p = 1, 2,…, t entonces B se dice que es una sub-matriz principal. Si además se tiene que ip = jp = p, p = 1, 2,… , t entonces B se dice que es una sub-matriz principal líder. Ejemplo 1.33. Sea A∈M3x4(ℜ) definida por:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
624511233201
A
Sea B∈M2x2(ℜ) tal que i1 = 2; i2 = 3, j1 = 2, j2 = 4. Luego, B11 =
11jiA = A22 = 2
B12 = 21jiA = A24 = 1
B21 = 12 jiA = A32 = 4
B22 = 22 jiA = A34 = 6
La matriz B es entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
6412
B
B es una sub-matriz de A. B no es sub-matriz principal ya que aunque es de orden 2x2 e i1 = j1, i2 ≠ j2. Una sub-matriz principal es la matriz C∈M2x2(ℜ) tal que i1 = 2; i2 = 3, j1 = 2, j2 = 3. Luego, C11 =
11jiA = A22 = 2
C12 = 21jiA = A23 = 1
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
46
C21 = 12 jiA = A32 = 4
C22 = 22 jiA = A33 = 2
La matriz C es entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2412
C
Sin embargo, C no es una sub-matriz principal líder ya que i1 = j1 ≠ 1. Nótese que C se obtiene al eliminar de A la fila 1 y las columnas 1 y 4. Una sub-matriz principal líder es la matriz D∈M2x2(ℜ) tal que i1 = 1; i2 = 2, j1 = 1, j2 = 2. Luego, D11 =
11jiA = A11 = 1
D12 = 21jiA = A12 = 0
D21 = 12 jiA = A21 = 3
D22 = 22 jiA = A22 = 2
La matriz D es entonces:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2301
D
Definición 1.31. Sean A∈Mmxn(K) y {m1, m2,…, mp} y {n1, n2,…, nq} sub-conjuntos de ℵ* tales
que ∑=
=p
1rr mm y ∑
=
=q
1rr nn . Si
jixnmj,i MA ∈ (K); i = 1, 2,…, p; j = 1, 2,…, q
entonces la matriz:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
q,p2,p1,p
q,22,21,2
q,12,11,1
AAA
AAAAAA
A
L
MMM
L
L
Se dice que es una matriz particionada o una matriz por bloques pxq. Observación: Toda matriz A∈Mmxn(K) se puede expresar como una matriz particionada o por bloques mx1 (particionada por filas) y como una matriz particionada o por bloques 1xn (particionada por columnas). Las columnas de A son vectores columnas y se denotan por A1, A2, …, An y sus respectivas transpuestas conforman las filas de At. Las filas de A son vectores filas y en consecuencia
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
47
se denotan por (A1)t, (A2)t, …, (Am)t, ya que sus respectivas transpuestas conforman las columnas de At. La matriz particionada por filas es:
A =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
tm
t2
t1
)A(
)A()A(
M
La matriz particionada por columnas es:
A = [ n21 AAA L ] Ejemplo 1.34. Consideremos la matriz A del ejemplo 1.33.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
624511233201
A
Si definimos las matrices A1,1, A1,2∈M2x2(ℜ) y A2,1, A2,2∈M1x2(ℜ) de la forma:
[ ] [ ];62A ;45A ;1132
A ;2301
A 2,22,12,11,1 ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Entonces A es una matriz particionada 2x2 ya que:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
2,21,2
2,11,1
AAAA
A
Teorema 1.24. Sean A∈Mmxn(K) una matriz particionada pxq con
jixnmj,i MA ∈ (K); i = 1,
2,…, p; j = 1, 2,…, q y B∈Mnxt(K) una matriz particionada qxs con
jixtnj,i MB ∈ (K); i = 1, 2,…, q; j = 1, 2,…, t. Entonces se cumple que:
1.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
tq,p
tq,2
tq,1
t2,p
t2,2
t2,1
t1,p
t1,2
t1,1
t
)A()A()A(
)A()A()A()A()A()A(
A
L
MMM
L
L
2. AB es una matriz particionada pxs definida de la siguiente forma:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
48
(AB)i,j = ∑=
q
1rj,rr,i BA
Demostración
1. Por definición de matriz transpuesta: (At)ij = Aji
Es decir, las filas (respectivamente las columnas) de At son las columnas (respectivamente las filas) de A. En este caso A es una matriz particionada, es decir, sus elementos son matrices. Por lo tanto si A es definida de la forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
q,p2,p1,p
q,22,21,2
q,12,11,1
AAA
AAAAAA
A
L
MMM
L
L
Entonces su matriz transpuesta está definida de la forma:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
tq,p
tq,2
tq,1
t2,p
t2,2
t2,1
t1,p
t1,2
t1,1
t
)A()A()A(
)A()A()A()A()A()A(
A
L
MMM
L
L
2. Por hipótesis:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
s,q2,q1,q
s,22,21,2
s,12,11,1
AAA
AAAAAA
A
L
MMM
L
L
y
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
s,q2,q1,q
s,22,21,2
s,12,11,1
BBB
BBBBBB
B
L
MMM
L
L
Luego,
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
===
===
===
q
1rs,rr,p
q
1r2,rr,p
q
1r1,rr,p
q
1rs,rr,2
q
1r2,rr,2
q
1r1,rr,2
q
1rs,rr,1
q
1r2,rr,1
q
1r1,rr,1
BABABA
BABABA
BABABA
AB
L
MMM
L
L
Por tanto, (AB)i,j = ∑=
q
1rj,rr,i BA
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
49
Observaciones: Nótese que:
1. Si A∈Mmxn(K) es una matriz particionada por filas mx1 entonces At∈Mnxm(K) es una matriz particionada por columnas 1xm, es decir:
A =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
tm
t2
t1
)A(
)A()A(
M y At = [ ]m21 AAA L
2. Si A∈Mmxn(K) es una matriz particionada por columnas 1xn
entonces At∈Mnxm(K) es una matriz particionada por filas nx1, es decir:
A = [ n21 AAA L ] y A =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
tn
t2
t1
)A(
)A()A(
M
Teorema 1.25. Sean A∈Mnxn(K) una matriz particionada 2x2 con
jixnnj,i MA ∈ (K); i = 1, 2;
j = 1, 2, 0 < n1 < n, 0 < n2 < n, n1 + n2 = n. Si A1,1 y A2,2 son no singulares entonces A es no singular y además la matriz inversa de A se puede expresar de las siguientes 2 formas:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
= −−−
−−−−
1.221
1,212,22,11,11,2
12,2
12,1
11,11,22,22,1
11,12.111
A)AAAA(AA)AAAA(AAA
A
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
= −−−
−−−
1.2211,11,2
12,1
11,11,22,2
12,22,1
11,2
12,22,11,12.11
AAA)AAAA(AA)AAAA(A
; siendo:
1
1,212,22,11,12.11 )AAAA(A −−−= y 1
2,111,11,22,21.22 )AAAA(A −−−=
Demostración Por hipótesis la matriz A tiene la forma:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
2,21,2
2,11,1
AAAA
A
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
50
Como A1,1 y A2,2 son matrices no singulares entonces tienen como matrices escalonadas reducidas por filas a
1nI e 2nI , respectivamente. Por consiguiente
la matriz R escalonada reducida por filas de A es:
nnxnn
xnnn II
IR
212
211 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
θ=
Luego, A es no singular. Determinemos ahora la forma que tiene la matriz inversa de A. Sea:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
2,21,2
2,11,11
BBBB
A
Luego debe verificar que AA-1 = A-1A = In, es decir:
nnxnn
xnnn11 II
IAAAA
212
211 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
θ== −−
En efecto,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
θ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
212
211
nxnn
xnnn
2,21,2
2,11,1
2,21,2
2,11,11
II
BBBB
AAAA
AA (2) y
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
θ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
212
211
nxnn
xnnn
2,21,2
2,11,1
2,21,2
2,11,11
II
AAAA
BBBB
AA (3)
Por el teorema 1.23., apartado 2 se tiene que las ecuaciones matriciales (2) y (3) generan los sistemas de ecuaciones (4) y (5), respectivamente:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+θ=+θ=+=+
2
12
21
1
n2,22,22,11,2
xnn1,22,21,11,2
xnn2,22,12,11,1
n1,22,11,11,1
IBABABABABABA
IBABA
(4)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=+θ=+θ=+=+
2
12
21
1
n2,22,22,11,2
xnn1,22,21,11,2
xnn2,22,12,11,1
n1,22,11,11,1
IABABABABABAB
IABAB
(5)
Como A1,1 y A2,2 son no singulares entonces de la tercera ecuación del sistema (4) se obtiene que:
1,11,21,22,2 BABA −=
1,11,212,21,2 BAAB −−=⇒ (6)
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
51
Sustituyendo (6) en la primera ecuación del sistema (4) se obtiene que:
1n1,11,212,22,11,11,1 I)BAA(ABA =−+ −
1n1,11,212,22,11,1 IB)AAAA( =−⇒ −
Lo cual implica que la matriz )AAAA( 1,2
1222,11,1−− es no singular por el
teorema 1.11. y además se cumple que:
2.111
1,21
222,11,11,1 A)AAAA(B =−= −− (7) Sustituyendo (7) en (6) se obtiene que:
11,2
1222,11,11,2
12,21,2 )AAAA(AAB −−− −−=
Igualmente como A1,1 y A2,2 son no singulares entonces de la segunda ecuación del sistema (4) se obtiene que:
2,22,12,11,1 BABA −=
2,22,111,12,1 BAAB −−=⇒ (8)
Sustituyendo (8) en la cuarta ecuación del sistema (4) se obtiene que:
2n2,22,22,22,111,11,2 IBABAAA =+− −
2n2,22,111,11,22,2 IB)AAAA( =−⇒ −
Lo cual implica que la matriz )AAAA( 2,1
11,11,22,2
−− es no singular por el teorema 1.11. y además se cumple que:
1.221
2,111,11,22,22,2 A)AAAA(B =−= −− (9)
Sustituyendo (9) en (8) se obtiene que:
12,1
11,11,22,22,1
11,12,1 )AAAA(AAB −−− −−=
Por consiguiente,
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
2,21,2
2,11,11
BBBB
A
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
= −−−
−−−
1.221
1,212,22,11,11,2
12,2
12,1
11,11,22,22,1
11,12.11
A)AAAA(AA)AAAA(AAA
Procediendo de forma análoga con el sistema (5) se demuestra que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
52
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
2,21,2
2,11,11
BBBB
A
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−−−−
= −−−
−−−
1.2211,11,2
12,1
11,11,22,2
12,22,1
11,2
12,22,11,12.11
AAA)AAAA(AA)AAAA(A
1.11. RANGO DE UNA MATRIZ. Definición 1.32. Sean A, R1 y R2∈Mmxn(K) tales que R1 es la matriz escalonada reducida por filas de A y R2 es la matriz escalonada reducida por columnas de A. Se define como Rango de A y se denota por Rango(A) al número de filas no nulas de R1 o al número de columnas no nulas de R2. De esta definición se desprende que el máximo valor que puede tomar el rango de A es el mínimo entre m y n. Si Rango(A) = m entonces se dice que A es de rango fila completo. Si Rango(A) = n se dice que A es de rango columna completo. Si además m = n y Rango(A) = m = n se dice que A es de rango fila columna completo. Observación: Para toda matriz A∈Mmxn(K) se cumple que el número de filas no nulas de su matriz escalonada reducida por filas es igual al número de columnas no nulas de su matriz escalonada reducida por columnas. Ejemplo 1.35. Determinemos el Rango de la matriz A del ejemplo 1.33. Para ello determinemos su matriz escalonada reducida por filas:
⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
→
−→
−→22
133
122 r21r
r5rr
r3rr
984085203 2 01
624511233201
A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−− −→
7 2 0042
5103 2 01
984042
5103 2 01
233 r4rr
⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎯⎯⎯ →⎯ +→
−→→
322
31133
r25rr
r2rrr
21r
27 1 00
42510
3 2 01R
27100
419010
4001=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡ −
Luego, la matriz escalonada reducida por filas R de A tiene 3 filas no nulas. En consecuencia, Rango(A) = 3. Nótese que A es de rango fila completo.
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
53
Teorema 1.26. Sean A, B∈Mmxn(K). Si A es equivalente por filas a B entonces Rango(A) = Rango(B). Demostración Si A es equivalente por filas a B entonces existen matrices elementales E1, E2,…, Et tales que A = EtEt-1…E1B. Sean RA y RB las matrices escalonadas reducidas por filas de A y B, respectivamente. Luego se cumple que existen matrices elementales EA1, EA2,… , EAt, EB1, EB2,… , EBt tales que
RA = EAtEAt-1…EA1A y RB = EBtEBt-1…EB1B
Luego,
B= EB1-1EB2
-1…EBt-1RB
Por tanto,
A = EtEt-1…E1EB1
-1EB2-1…EBt
-1RB Es decir, A es equivalente por filas a RB y como la matriz escalonada reducida por filas de una matriz es única entonces RA = RB. Por tanto, Rango(A) = Rango(B). Teorema 1.27. Sean A∈Mmxn(K), E∈Mmxm(K) y F∈Mnxn(K). Si E y F son matrices elementales por filas y columnas, respectivamente entonces:
Rango(EA) = Rango (AF) = Rango(A)
Demostración Sea R1 la matriz escalonada reducida por filas de la matriz A. En ese caso, existen matrices elementales E1, E2,…, Et tales que R1 = EtEt-1…E1A. Luego,
A = E1-1E2
-1…Et-1R1
Por lo tanto, EA = EE1
-1E2-1…Et
-1R1. Esto indica que EA es equivalente por filas a R1, es decir, R1 es la matriz escalonada reducida por filas de EA. Luego,
Rango(EA) = Rango(A).
Sea R2 la matriz escalonada reducida por columnas de la matriz A. En ese caso, existen matrices elementales F1, F2,…, Ft tales que R2 = AF1F2…Ft. Luego,
A = R2Ft
-1Ft-1-1…F1
-1 Por lo tanto,
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
54
AF = R2Ft-1Ft-1
-1…F1-1F. Esto indica que AF es equivalente por columnas a R2,
es decir, R2 es la matriz escalonada reducida por columnas de AF. Luego,
Rango(AF) = Rango(A). Por consiguiente, Rango(EA) = Rango(AF) = Rango(A) Teorema 1.28. Sean A∈Mmxn(K), P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K). Si P y Q son no singulares entonces Rango(PA) = Rango(AQ) = Rango(PAQ) = Rango(A). Demostración Como P y Q son no singulares existen matrices elementales EP1, EP2,…, EPt y FQ1, FQ2,…, FQt tales que:
EPtEPt-1…EP1P = Im y QFQtFQt-1…FQ1 = In.
Por consiguiente,
P = EP1-1EP2
-1…EPt-1 y Q = FQ1
-1FQ2-1…FQt
-1 Luego, PA = EP1
-1EP2-1…EPt
-1A AQ = AFQ1
-1FQ2-1…FQt
-1 PAQ = EP1
-1EP2-1…EPt
-1AFQ1-1FQ2
-1…FQt-1
Por el teorema anterior se obtiene que: Rango(PA) = Rango(EP1
-1EP2-1…EPt
-1A) = Rango(EP2
-1…EPt-1A) = … = Rango(A)
Rango(AQ) = Rango(AQ = AFQ1
-1FQ2-1…FQt
-1) = Rango(AQ = AFQ1
-1FQ2-1…FQt-1
-1) = … = Rango(A) Rango(PAQ) = Rango(EP1
-1EP2-1…EPt
-1AFQ1-1FQ2
-1…FQt-1)
= Rango(EP2-1…EPt
-1AFQ1-1FQ2
-1…FQt-1) = … = Rango(A)
De esta forma se obtiene que: Rango(PA) = Rango(AQ) = Rango(PAQ) Teorema 1.29. Sea A∈Mnxn(K). A es no singular si y sólo si Rango(A) = n. Demostración CN (⇒): Si A es no singular entonces Rango(A) = n.
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
55
Si A es no singular entonces se cumple que A-1A = In. Luego,
Rango(A-1A) = Rango (In) ⇒ Rango(A) = n
CS (⇐): Si Rango(A) = n entonces A es no singular. Sea R∈Mnxn(K) la matriz escalonada reducida por filas de A. Si Rango(A) = n entonces R tiene exactamente n filas y n columnas no nulas. Por lo tanto R = In. Luego, A es no singular. Observación: Sea A∈Mnxn(K). Aplicando la equivalencia contrarecíproca en el teorema anterior se obtiene que A es singular si y sólo si Rango(A) < n. Definición 1.33. Sea A∈Mmxn(K) tal que Rango(A) = r. Se define como Matriz Normal o Matriz Reducida de A y se denota por R(A) a la matriz particionada R(A)∈Mmxn(K) definida de la siguiente forma:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
=−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrI)A(R
Ejemplo 1.36. En el ejemplo 1.35., A∈M3x4(ℜ) y Rango(A) = 3. Luego, la matriz normal o matriz reducida de A es:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
010000100001
)A(R
Teorema 1.30. Sea A∈Mmxn(K). Si Rango(A) = r entonces existen matrices no singulares P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que PAQ = R(A). Demostración Sea R la matriz escalonada reducida por filas de A. Como Rango(A) = r entonces existen matrices elementales E1, E2,…, Et tales que:
EtEt-1…E1A = R = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθ −−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxr BI; con Brx(n-r) ≠ θrx(n-r)
Luego, existen matrices elementales F1, F2,…, Fs tales que:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
56
EtEt-1…E1AF1F2…Fs = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrI = R(A)
Por lo tanto, como E1, E2,…, Et, F1, F2,…, Fs son matrices elementales entonces existen matrices no singulares P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) con P = EtEt-1…E1 y Q = F1F2…Fs tales que PAQ = R(A). Observación: Las matrices P y Q no son únicas para obtener la matriz R(A) a partir de A. Ejemplo 1.37. Para la matriz A del ejemplo 1.33., determinaremos matrices no singulares P y Q tales que PAQ = R(A). Como A∈M3x4(ℜ) entonces P∈M3x3(ℜ) y Q∈M4x4(ℜ). Para ello partiremos inicialmente de la matriz particionada [A | I3 | I4] y aplicaremos operaciones elementales de filas sobre A e I3 y operaciones elementales de columnas sobre A e I4 hasta obtener la matriz particionada [R(A) | P | Q]:
[ ]⎯⎯⎯ →⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= −→
−→
133
122
r5rr
r3rr
43
1000010000100001
100010001
624511233201
I I A
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−−
→ 22 r21r
1000010000100001
105013001
984085203 2 01
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−− −→ 233 r4rr
1000010000100001
10502
12
3001
984042
5103 2 01
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
→ 33 r21r
1000010000100001
121 02
1 23
00 1
7 2 0042
5103 2 01
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−− +→
−→
322
311
r25rr
r2rr
1000010000100001
2112
1
021 2
300 1
27 1 00
42510
3 2 01
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
57
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−
+→ 144 c4cc
1000010000100001
21 12
1
45 24
112 0
27 100
419 010
4001
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
−→ 244 c4
19 cc
1000010000104001
21 12
1
45 24
112 0
27100
419010
0001
⎯⎯⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−−
−→ 344 c27 cc
10000100
4190104001
21 12
1
45 24
112 0
2710000100001
[ ]Q|P|)A(R
10002
71004
190104001
21 12
1
45 24
112 0
010000100001
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
Luego,
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
010000100001
)A(R ;
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
21 12
1 4
5 241
12 0 P ;
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
10002
71004
190104001
Q
Además, se cumple que PAQ = R(A). Teorema 1.31. Sea A∈Mmxn(K). Si Rango(A) = r entonces existen matrices no singulares P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que PAQ = )A(Δ , siendo:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
=Δ−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrD)A( ; con Dr∈Mrxr(K) una matriz diagonal y no
singular. Demostración Por el teorema anterior se sabe que existen matrices no singulares P*∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que P*AQ = R(A). Sea E = e(Im) una matriz elemental definida por la operación elemental de filas e: Mmxm(K)→ Mmxm(K) definida por:
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
58
e(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
pi si cApi si A
pj
ij ; ( 0c ≠ ), 1 ≤ p ≤ r
Luego,
EP*AQ = E⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθ −−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxr BI
⇒ PAQ = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrD= )A(Δ
con P = EP* y Dr∈Mrxr(K) una matriz diagonal y no singular, ya que 0c ≠ . Luego, como P* es no singular y E es elemental entonces P = EP* es también una matriz no singular. Por consiguiente, existen matrices no singulares P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que PAQ = )A(Δ . Ahora bien, sea E* = e*(In) la matriz elemental definida a partir de la operación elemental de filas e*: Mmxm(K)→ Mmxm(K) definida por:
e*(A)ij = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠
ti si dAti si A
tj
ij ; ( 0d ≠ ), 1 ≤ t ≤ r, pt ≠ .
Luego,
E*PAQ = E*
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxrD =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
θθθ
−−−
−
)rn(x)rm(xr)rm(
)rn(rxr*D
= )A(*Δ
⇒ P**AQ = )A(*Δ
con P** = E*P y D*
r∈Mrxr(K) una matriz diagonal y no singular, ya que 0d ≠ . Luego, como P es no singular y E* es elemental entonces P** = E*P es también una matriz no singular. Por consiguiente, existen matrices no singulares P**∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que P**AQ = )A(*Δ . En general, se pueden definir infinitas matrices elementales con la operación elemental del tipo anterior, bien sea de filas o de columnas para obtener matrices no singulares P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que PAQ = )A(Δ . Ejemplo 1.38. En el ejemplo 1.35., partiendo de [A | I3 | I4] se llegó a [R(A) | P | Q] aplicando operaciones elementales de filas. Veamos que ocurre si estas operaciones se siguen aplicando:
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
59
[ ] ⎯⎯ →⎯
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
= → 11 r3r
10002
71004
190104001
21 12
1
45 24
112 0
010000100001
Q|P|)A(R
[ ]Q P )A(
10002
71004
190104001
21 12
1
45 24
136 0
010000100003
*Δ=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−−−
Se obtienen entonces matrices P* y Q tales que P*AQ = Δ(A). Si continuamos aplicando mas operaciones elementales de filas se obtendrán tantos infinitos pares de matrices P y Q como matrices )A(Δ obtenidas a partir de A. Teorema 1.32. Sean A∈Mmxn(K) y B∈Mnxp(K). Entonces se cumple que:
Rango(AB) ≤ mínimo{Rango(A), Rango(B)} Demostración Supongamos que mínimo{Rango(A), Rango(B)} = Rango(A) = r. En tal caso, existen matrices no singulares P∈Mmxm(K) y Q∈Mnxn(K) tales que PAQ = R(A). Luego, A = P-1R(A)Q-1. Por consiguiente AB = P-1R(A)Q-1B. Por lo tanto, Rango(AB) = Rango(P-1R(A)Q-1B) = Rango(R(A)Q-1B) Ahora bien, las últimas m-r filas de R(A) son nulas. En consecuencia las últimas m–r filas de R(A)Q-1B son nulas y se obtiene que:
Rango(AB) ≤ Rango(A) ≤ Rango(B)
Análogamente si mínimo{Rango(A), Rango(B)} = Rango(B) = r entonces se obtiene que Rango(AB) ≤ Rango(B) ≤ Rango(A). Por lo tanto,
Rango(AB) ≤ mínimo{Rango(A), Rango(B)}
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
60
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Sean A, B, C∈M2x2(ℜ) las siguientes matrices:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
32 21
D 224 1
C 3 124
B dcba
A
Determine los valores de a, b, c y d para que: 1.1. A + B = I2. 1.2. CA = I2. 1.3. (AD)t = I2.
2. Sean A, B∈M3x3(ℜ) las siguientes matrices:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100010ba1
A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −−=
1 0 00 1 0ba1
B
Demuestre que AB = I3.
3. Sean A, B, C∈Mnxn(K) tales que AC = CA = In. Despejar C en función de
A, B e In de las siguientes ecuaciones:
3.1. 6C + 5A = B. 3.2. 3C2 – 4C = 5A. 3.3. (A – C)2 – C2 = 3C – 7B. 3.4. BAC – 2C2 = A.
4. Sean A∈Mmxn(K) y B∈Mnxp(K). Demuestre que:
4.1. Si A tiene una fila nula entonces AB tiene una fila nula. 4.2. Si B tiene una columna nula entonces AB tiene una columna
nula. 5. Sea X∈Kn. Determine matrices A∈Mnxn(K) tales que:
5.1. XtAX = ( )2X ; siendo X la media aritmética de los valores X1, X2,…, Xn.
5.2. XtAX = n ( )2X .
5.3. XtAX = ∑=
−n
1i
2i )XX( .
5.4. XtAX = n
)XX(n
1i
2i∑
=
−.
6. Para la siguiente matriz de datos definida por las variables X1: Peso
(kg.), X2: Estatura (cm.) y X3: Edad (años cumplidos) determine e
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
61
interprete las matrices de datos centrada, de datos estandarizada, de varianzas y covarianzas y de correlaciones:
X =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
3018079331687332162681915545221858529172772515862
7. Dadas las siguientes matrices:
A = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
− 041011 021
, B = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
2 2 211 13 2 1
y C = ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
1 1 111 13 2 1
Demuestre que AB = AC. 8. Sean A, B∈Mnxn(K). ¿Qué condición deben cumplir las matrices A y B
para que se cumpla que (A+B)(A-B) = A2 − B2? 9. Sean A, D∈Mnxn(K), tales que D es una matriz diagonal. Demuestre que:
9.1. AD es una matriz particionada 1xn definida por:
AD = [ nnn
222
111 ADADAD L ]
9.2. DA es una matriz particionada nx1 definida por:
DA =
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
tnnn
t222
t111
)A(D
)A(D)A(D
M
10. Sean A, B∈Mnxn(K). Demuestre que si A y B son matrices diagonales
entonces AB = BA. 11. Sean A, B∈Mnxn(K). Demuestre que si A y B son idempotentes y
AB = BA entonces AB es idempotente. 12. Sean A∈Mnxn(K) y c, d∈K, tales que A2 = cA. Determine la matriz B de
la forma B = dA tal que es idempotente. 13. Sean A, B∈Mnxn(K), tales que AB = BA y m, n∈ℵ*. Demuestre que si
AB = BA entonces AmBn = BnAm.
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
62
14. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que si A es simétrica e idempotente y tiene algún elemento nulo en la diagonal principal entonces la fila y la columna de dicho elemento son nulas.
15. Sean A, B∈Mnxn(K), tales que A es triangular inferior y B es triangular
superior. Demuestre que:
15.1. ABt es triangular inferior. 15.2. AB no es triangular.
16. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que si A es idempotente entonces In – A es
idempotente. 17. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que si A es triangular y simétrica entonces
A es diagonal. 18. Sean A, B∈Mnxn(K), tales que A y B son no singulares. Demuestre que:
A)BA(B)BA( 1111 −−−− +=+ 19. Sea A∈M2x2(ℜ) tal que A es no singular y la inversa de 4A es:
(4A)-1 = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−13
5 4
Determine la matriz A.
20. Sean A, B∈M2x2(ℜ) tales que A = cI2 + dB, con c, d∈ℜ y B tiene la
siguiente forma:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
0001
B
Deduzca una fórmula para An, n∈ℵ*.
21. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que si A es idempotente entonces (2A – In)
es involutiva. Demuestre además que (2A – In) es no singular y determine además su matriz inversa.
22. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que si A es antisimétrica y (A + In) es no
singular entonces:
22.1. In – A es no singular. 22.2. (In + A)(In – A) = (In – A)(In + A). 22.3. (In + A)-1(In – A) y (In – A)-1(In + A) son matrices ortogonales.
23. Sea X∈Mnxp(K), tal que la matriz XtX es no singular. Demuestre que:
23.1. La matriz H = X(XtX)-1Xt es simétrica e idempotente. 23.2. HX = X. 23.3. La matriz Q = In – H es simétrica e idempotente.
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
63
23.4. QX = θnxp. 23.5. QH = θnxn.
24. Sea A∈Mnxn(K). Demuestre que:
24.1. AAt y (A + At) son simétricas. 24.2. (A – At) es antisimétrica.
25. Sea A∈M2x2(K) tal que A es no singular. Deduzca una fórmula para la
matriz inversa de A. 26. Se dice que una matriz A∈Mmxn(K) es una matriz estocástica, aleatoria o
de probabilidad si y sólo si ∀ (i,j)∈JmxJn 0 ≤ Aij ≤ 1 y ∀ i=1, 2, …, m se
cumple que ∑=
=n
1jij 1A . Sean A, B∈Mmxn(K). Demuestre que:
26.1. Si m = n y A es estocástica entonces A2 es estocástica. 26.2. Si m = n y A y B son estocásticas entonces AB es estocástica.
27. Se define como matriz conjugada de una matriz A∈Mmxn(K) y se denota por A a la matriz A ∈Mmxn(K) definida por A ij = ijA , siendo ijA la
conjugada del término Aij. Sean A∈Mmxn(K), B∈Mnxp(K) y c∈K. Demuestre que:
27.1. B AAB = 27.2. A ccA =
28. Suponga que en una red de comunicaciones de 5 estaciones, la
información puede enviarse solamente en las direcciones que se muestran en el siguiente diagrama:
Sea T la matriz definida por:
⎩⎨⎧
=estación ésima-j la aestación ésima-i la de mensajeun enviarse puede no Si 0
estación ésima-j la aestación ésima-i la de mensajeun enviarse puede Si 1Tij
e1 • • e2
e5 • • e3
e4
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
64
28.1. Halle la matriz T. 28.2. Verifique que las matrices T2 y T3 indican el número de
formas en que se puede transmitir un mensaje de la i-ésima estación a la j-ésima estación en 2 y 3 pasos, respectivamente.
29. Determine si las siguientes matrices son no singulares y en caso
afirmativo halle la correspondiente matriz inversa:
29.1. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
21 131210 1
A
29.2. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
23 11 1246 2
B
29.3. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
30 202310 5
C
29.4.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−
=
11 0 3 0 12 13 1 1 2 12 0 1
D
30. Sean A∈Mmxn(K) una matriz particionada por columnas y X∈Kn un
vector columna. Demuestre que AX = ∑=
n
1j
jjAX .
31. Mediante una partición adecuada efectuar los siguientes productos de
matrices:
31.1.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
0010000102001000
2200100000100021
31.2. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
CB
0010000110000100
, siendo B, C∈M2x4(K).
31.3.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
51320141
461324105132
CAPÍTULO 1: TEORÍA DE MATRICES
65
32. Sean A∈Mnxn(K) una matriz particionada 2x2 con jixnnj,i MA ∈ (K);
i = 1, 2; j = 1, 2, 0 < n1 < n, 0 < n2 < n, n1 + n2 = n, definida por:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡θ
=212
1
nxnn
n
IBI
A ; con B∈ )K(M21xnn
Determine la matriz inversa de A.
33. Sean A∈Mnxn(K) una matriz particionada 2x2 con
jixnnj,i MA ∈ (K);
i = 1, 2; j = 1, 2, 0 < n1 < n, 0 < n2 < n, n1 + n2 = n, definida por:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ θ=
2,21,2
xnn1,1
AAA
A 21
Determine la matriz inversa de A.
34. Determine si las siguientes matrices son elementales. En caso afirmativo
determinar la operación elemental de filas o columnas correspondiente y su matriz inversa:
34.1. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1401
E
34.2. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=200 2
E
34.3. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100001010
E
34.4. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001100010
E
34.5. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1 003100 01
E
35. Determine para las siguientes matrices rango y matriz normal o reducida
así como también matrices P y Q tales que PAQ = R(A):
35.1. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ −=
0 132 11102
A
ALGEBRA LINEAL PARA ESTADÍSTICOS Y ACTUARIOS
66
35.2. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
246 1 1 0 1 2 3
B
35.3. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−=
12 1 20 1 1122 4 2
C
35.4.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−
=
1 32 13 1 1 11 21 2131 1
D
36. Determinar una descomposición LU de las siguientes matrices y luego
mediante esta descomposición calcular la tercera columna de A-1:
36.1. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=0 1 54 392 13
A
36.2. ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−=
2 8 5 3 841 4 2
B
37. Para la siguiente matriz A determine una matriz U triangular superior
para que AU sea una matriz ortogonal:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
001011111
A