Capítulo 6Capítulo 6
Estabilidade de Estabilidade de Sistemas de ControleSistemas de Controle
Estabilidade de Sistemas Estabilidade de Sistemas de Controle - Introduçãode Controle - Introdução
Definições de Estabilidade Definições de Estabilidade Tópicos principais e palavras chaveTópicos principais e palavras chave Estabilidade AbsolutaEstabilidade Absoluta Estabilidade RelativaEstabilidade Relativa Critério de Routh-HurwitzCritério de Routh-Hurwitz
Estabilidade de Sistemas Estabilidade de Sistemas de Controle - Introduçãode Controle - Introdução
1 ) Dos estudos das equações 1 ) Dos estudos das equações diferenciais lineares, ( com diferenciais lineares, ( com coeficientes constantes) de sistemas coeficientes constantes) de sistemas de entrada única e saída única EUSU de entrada única e saída única EUSU foi visto que a solução homogênea foi visto que a solução homogênea corresponde a resposta transiente corresponde a resposta transiente do sistema e é governada pelas do sistema e é governada pelas raízes da equação característicaraízes da equação característica..
Estabilidade de Sistemas Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução de Controle - Introdução
(cont.)(cont.)
2) Basicamente o projeto de 2) Basicamente o projeto de sistemas de controle lineares se sistemas de controle lineares se restringe restringe à locação de polos e à locação de polos e zeroszeros da função de transferência, da função de transferência, de tal modo que o sistema irá se de tal modo que o sistema irá se comportar de acordo com as comportar de acordo com as condições especificadascondições especificadas
Estabilidade de Sistemas Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução de Controle - Introdução
(cont.)(cont.)
3) Entre os principais requisitos se tem 3) Entre os principais requisitos se tem o fato de que o sistema tem de ser o fato de que o sistema tem de ser estávelestável
4) Um sistema instável é em geral sem 4) Um sistema instável é em geral sem utilidadeutilidade
5) Pode-se lidar com estabilidade de 5) Pode-se lidar com estabilidade de sistemas : lineares, não lineares, não sistemas : lineares, não lineares, não variantes com o tempo e variantes variantes com o tempo e variantes com o tempocom o tempo
Estabilidade de Sistemas Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução de Controle - Introdução
(cont.)(cont.)
6) Lidaremos a princípio com sistemas do 6) Lidaremos a princípio com sistemas do tipo EUSU, e invariantes com o tempotipo EUSU, e invariantes com o tempo
7) Estudaremos estabilidade absoluta e 7) Estudaremos estabilidade absoluta e relativarelativa
8) Para nos preparar para a definição de 8) Para nos preparar para a definição de estabilidade,vamos relembrar a definição estabilidade,vamos relembrar a definição de de
(i) Resposta a todos os estados nulos, e (i) Resposta a todos os estados nulos, e (ii) Resposta a entradas nulas(ii) Resposta a entradas nulas
Estabilidade de Sistemas Estabilidade de Sistemas de Controle - Introdução de Controle - Introdução
(cont.)(cont.)
9) Resposta a todos os estados nulos 9) Resposta a todos os estados nulos Neste caso a resposta é devida Neste caso a resposta é devida
somente as entradas e todas as somente as entradas e todas as condições iniciais são nulascondições iniciais são nulas
10) Resposta a entradas nulas10) Resposta a entradas nulas Neste caso a resposta é devida Neste caso a resposta é devida
somente as condições iniciais e somente as condições iniciais e todas as entradas são nulastodas as entradas são nulas
Entradas Finitas e Estabilidade Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas -de Saídas Finitas -
para sistemas de dados para sistemas de dados contínuoscontínuos
Se u(t), y(t), e g(t) são a entrada, saída e Se u(t), y(t), e g(t) são a entrada, saída e resposta a um impulso respectivamenteresposta a um impulso respectivamente
Se o sistema é linear, invariante com o Se o sistema é linear, invariante com o tempo tempo
Se tem-se condições iniciais iguais a zero o Se tem-se condições iniciais iguais a zero o sistema é dito entrada finita e saída finita sistema é dito entrada finita e saída finita estável ou simplesmente estável, ( BIBO).estável ou simplesmente estável, ( BIBO).
Se a sua saída finita é relacionada com a Se a sua saída finita é relacionada com a sua entrada finitasua entrada finita
Entradas Finitas e Estabilidade de Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas -Saídas Finitas -
para sistemas de dados contínuos para sistemas de dados contínuos (cont.)(cont.)
0
)(d)(g)t(u)t(y
Ou, tomando o valor absoluto dos dois lados da equação
0
)(d)(g)t(u)t(y
Entradas Finitas e Estabilidade de Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas -Saídas Finitas -
para sistemas de dados contínuos para sistemas de dados contínuos (cont.)(cont.)
0
d)(g)t(u)t(y
Como
0
d)(gM)t(y
M)t(u
Entradas Finitas e Estabilidade de Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas -Saídas Finitas -
para sistemas de dados contínuos para sistemas de dados contínuos (cont.)(cont.)
N)t(y
Como a saída também é finita
Nd)(gM0
ou
Qd)(g0
Entradas Finitas e Estabilidade de Entradas Finitas e Estabilidade de Saídas Finitas -Saídas Finitas -
para sistemas de dados contínuos para sistemas de dados contínuos (cont.)(cont.)
Ou seja a condição explicitada na equação anterior implica em que a área sobre a curva de |g()| seja finita
Qd)(g0
Relação entre Raízes da Relação entre Raízes da Equação Característica e a Equação Característica e a
EstabilidadeEstabilidade
•Raízes da equação característica devem estar sobre o lado esquerdo do plano complexo
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
Nesta parte serão definidos a Nesta parte serão definidos a estabilidade assintóticas e a estabilidade assintóticas e a estabilidade de entrada nula, será estabilidade de entrada nula, será estabelecida a relação com a estabelecida a relação com a estabilidade “BIBO” (entrada e saídas estabilidade “BIBO” (entrada e saídas finitas)finitas)
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
A estabilidade de entrada nula é a condição A estabilidade de entrada nula é a condição de estabilidade quando a entrada é nula, e o de estabilidade quando a entrada é nula, e o sistema é “movido apenas pelas condições sistema é “movido apenas pelas condições iniciais”iniciais”
Será mostrado que esta estabilidade tambem Será mostrado que esta estabilidade tambem é função das raízes da equação característicaé função das raízes da equação característica
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
)t(y)t(g)t(y1n
0k0
kk
Se a entrada de um sistema é nula, então a saída devido às condições iniciais y(t) será:
Então
0tk
k
ok
dt
)t(yd)t(y
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
E gk (t)é a saída de resposta nula, devido a yk (to)
• A estabilidade de entrada nula é definida como
Se y(t) , sujeito as condições inicias, alcança zero a medida que t aumenta o sistema é dito ser estável a entradas nulas, caso contrário o sistema é dito ser instável, i.e.
0)t(ylimt
)2(
M)t(y)1(
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
A última equação requer que a magnitude de y(t) seja zero quando o tempo aumenta muito (tende a infinito). A isto se dá o nome de estabilidade assintótica
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
1mn
1i
tsii
m
1i
tsi
1n
0kk
ii etLek)t(y
)t(g
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
Os termos esit das equações precedentes controlam a resposta a medida que y(t) tende a infinito, portanto as componentes reais de si tem de ser negativas.
Isto é, as raízes da equação característica devem estar no lado esquerdo do plano s
Estabilidade Assintótica de Sistemas de Estabilidade Assintótica de Sistemas de Dados Contínuos com Entrada nulaDados Contínuos com Entrada nula
Estabilidade marginal ou Instabilidade marginal = quando a equação característica possui raízes no eixo jdo plano s
Exceção , quando o sistema for projetado para ser oscilante
Condições de Estabilidade de Condições de Estabilidade de Sistemas Lineares (Invariantes como Sistemas Lineares (Invariantes como
tempo) de Dados Contínuostempo) de Dados Contínuos
Condição de estabilidadeCondição de estabilidade Valores das raízesValores das raízes AssintóticamenteAssintóticamente Todas as raízes no lado estável Todas as raízes no lado estável
ou somente estávelou somente estável esquerdo do plano sesquerdo do plano s Estabilidade marginal ou Estabilidade marginal ou ii=0 para todo i para=0 para todo i para instabilidade marginalinstabilidade marginal raízes simples, e nenhum raízes simples, e nenhum .. ii>0 ( para raízes múltiplas)*>0 ( para raízes múltiplas)* .. * Há exceções* Há exceções InstávelInstável ii>0 para qq.i ou >0 para qq.i ou ii=0 para =0 para
qq raíz de ordem múltipla .qq raíz de ordem múltipla .Pelo menos uma raiz simples .Pelo menos uma raiz simples .
no plano s ou no mínimo no plano s ou no mínimo uma .uma . raíz múltipla no eixo jraíz múltipla no eixo j