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CAPITULO 7
Torção
Resistência dos Materiais
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Resistência dos Materiais
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Sumário: Torção
Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de determinar os
diagramas de esforços internos de torção. Obter experimentalmente o módulo de distorção.
Relacionar as tensões tangenciais com os esforços de torção e propriedades geométricas
dos corpos. Estabelecer a relação entre a potência e o momento torçor. Relacionar o ângulo
de torção de veios de secção circular com os esforços de torção, módulo de distorção e
propriedades geométricas. Resolver problemas hiperestáticos de grau 1.
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Esforços internos de torção
Equação matemática para cálculo das tensões tangenciais
Distribuição das tensões tangenciais nos corpos solicitados
Ângulo de torção
Momento polar de Inércia
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Torção em Eixos de Secção Circular
• O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.
• O eixo transmite o momento T ao gerador.
• A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.
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Exercício de Esforços Internos de Torção
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.
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Análise das Tensões num Eixo
dAdFT
• O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em relação ao centro:
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Análise das Tensões num Eixo
• O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da barra.
• Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos opostos, nas extremidades da peça.
• Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo.
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• O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo:
L
T
Deformações nos Eixos de Secção Circular
• Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se deformam.
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Deformações nos Eixos de Secção Circular
maxmax e cL
c
LL
ou
• A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
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Tensões no Regime Elástico
Jc
dAc
dAT max2max
• Recordar que:
421 cJ
41
422
1 ccJ e max J
T
J
Tc
• Fórmulas de torção no regime elástico:
• A partir da equação anterior:
max Gc
G
maxc
Aplicando a lei de Hooke, G , vem:
A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
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Tensões no Regime Elástico
max0
0max45
0max0max
2
2
245cos2
o
A
A
A
F
AAF
• Considerar um elemento que forme um ângulo de 45o com o eixo da barra,
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Modos de Falha Torcionais
• Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.
• Material dúctil.
• Material frágil.
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a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;
b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa.
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:
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Exercício Resolvido 1
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• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:
CDAB
ABx
TT
TM
mkN6
mkN60 mkN20
mkN14mkN60
BC
BCx
T
TM
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• Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões tangenciais no eixo BC:
46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
ccJ
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN2046
22max
J
cTBC
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
• Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:
m109.38
mkN665
3
32
42
max
c
cMPa
c
Tc
J
Tc
mm8.772 cd
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Ângulo de Torção no Regime Elástico
L
c max
• Aplicando a Lei de Hooke,
JG
Tc
G max
max
• Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,
JG
TL
i ii
ii
GJ
LT
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• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.
Eixos Estaticamente Indeterminados
• A partir do diagrama de corpo livre,
Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado.
ftlb90 BA TT
ftlb9012
21 AA TJL
JLT
• Substituir na equação de equilíbrio inicial,
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 0
• Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,
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a) O maior momento torçor T0 que pode ser aplicado à extremidade do eixo AB.
b) O ângulo de torção da extremidade A do eixo AB.
Exercício Resolvido 2
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Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura. Para uma tensão tangencial admissível nos veios de 8000 psi e G=11.2*10^6 psi. Calcular:
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• Procede-se ao equilíbrio estático dos dois veios de modo a obter o momento torçor no veio CD em função do momento torçor aplicado T:
0
0
8.2
in.45.20
in.875.00
TT
TFM
TFM
CD
CDC
B
• Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens:
CB
CCB
CB
CCBB
r
r
rr
8.2
in.875.0
in.45.2
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• Cálculo do máximo momento torçor T0.
in.lb561
in.5.0
in.5.08.28000
in.lb663
in.375.0
in.375.08000
0
42
0max
0
42
0max
T
Tpsi
J
cT
T
Tpsi
J
cT
CD
CD
AB
AB
inlb5610 T
• Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do eixo AB.
ooo
/
oo
o
642
/
o
642
/
48.102.2226.8
26.895.28.28.2
95.2rad514.0
psi102.11in.5.0
.24in.lb5618.2
2.22rad387.0
psi102.11in.375.0
.24in.lb561
BABA
CB
CD
CDDC
AB
ABBA
in
GJ
LT
in
GJ
LT
o48.10ADEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
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Projecto de Eixos de Transmissão
• As principais especificações a serem consideradas são:
potência; velocidade de rotação.
• Determinar o momento torçor,
f
PPT
fTTP
2
2
• Determinar a secção do eixo,
vazadoseixos2
maciços eixos2
max
41
42
22
max
3
max
Tcc
cc
J
Tc
c
JJ
Tc
• O projectista deverá seleccionar materiais e dimensões adequadas, de modo a não exceder a tensão tangencial admissível.
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Torção em Barras de Secção Não Circular
• Para valores elevados de a/b, a tensão tangencial máxima e o ângulo de torção são os mesmos que para uma barra de secção rectangular.
Gabc
TL
abc
T3
22
1max
• Para barras de secção rectangular constante,
• As secções transversais de barras de secção não circular não permanecem planas.
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Tubos de Paredes Finas
• Somando as forças aplicadas na porção AB, na direcção do eixo x,
A tensão tangencial varia inversamente com a espessura.
qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx
0
tA
T
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
2
22
2
0
0
t
ds
GA
TL24
• Ângulo de torção,
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