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MECÂNICA
DE
FLUIDOS
INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA
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Mecânica de Fluidos
DEM
NOÇÕES INTRODUTÓRIAS
Mecânica dos Fluidos compreende o estudo dos fluidos (líquidos e gases) em movimento
(cinemática e a dinâmica) e dos fluidos em repouso (estática) com o fim de determinar os
efeitos por eles produzidos sobre as fronteiras que os delimitam ou, em alternativa, a acção
que essas mesmas fronteiras sobre eles exerçam.
Fluido: Substância que não oferece resistência finita à sua própria deformação, quando solicitada por
forças tangenciais ou de corte (forças orientadas tangencialmente à superfície sobre a qual
actuam) por muito pequenas que estas possam ser.
Se for solicitado por uma tensão (força por unidade de área) tangencial de valor constante no tempo (ainda que infinitesimal),
um fluido apresenta uma deformação continuamente crescente e continuará a deformar-se enquanto a tensão estiver
aplicada. Um fluido não resiste a deformar-se, resiste, sim à velocidade de deformação.
Domínios de Interesse da Mecânica de Fluidos: Construção Aeronáutica; Produção ou utilização de energia em Turbomáquinas; Oceanografia
e Hidrografia; Transporte de Fluidos; Meteorologia, Tribologia, etc.
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Mecânica de Fluidos
DEM
ESTUDO DA MECÂNICA DOS FLUIDOS:
Compromisso entre a TEORIA e a EXPERIMENTAÇÃO, técnicas indissociáveis e complementares ª).
Apoia-se num conjunto de leis
fundamentais da Física.
p. exº a conservação da massa, conservação da energia
e conservação da quantidade de movimento – segunda
lei de Newton e também para alguns problemas, nas
leis da termodinâmica.
DOIS OBSTÁCULOS PRINCIPAIS:
Geometria dos Fenómenos e Viscosidade dos Fluidos
a) A correlação entre um complexo conjunto de leis e o efectivo comportamento de um fluido em escoamento nem
sempre surge como óbvia, torna-se assim, frequentemente imprescindível, para além da abordagem teórica o
recurso à observação experimental.
Completa e valida a abordagem
teórica.
No estudo de muitos escoamentos específicos constitui
a principal fonte de informação, mediante a aplicação
de técnicas de visualização, utilização de
instrumentação apropriada, análise dimensional e
modelação.
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Mecânica de Fluidos
DEM
GEOMETRIA DOS FENÓMENOS:
GEOMETRIAS SIMPLES RESOLUÇÃO ANALÍTICA.
Formulação de um modelo matemático para descrever o problema;
Envolve a análise diferencial e de volume de controlo;
Soluções exactas apenas para condições e geometrias simplificadas;
Soluções aproximadas para problemas práticos (relações empíricas usando dados
experimentais.
GEOMETRAIS COMPLEXAS RESOLUÇÃO NUMÉRICA, com aplicação de cálculo
computacional (“CFD – Computational Fluid Dynamics).
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Mecânica de Fluidos
DEM
VISCOSIDADE DOS FLUIDOS
Por definição um fluido não opõe resistência finita à deformação, provocada por tensões
tangenciais, contrariamente ao que se passa nos sólidos. Resiste, porém, à velocidade de
deformação. Qual a origem dessa resistência?
A propriedade que evidência esta resistência é a VISCOSIDADE
Em determinados modelos é admissível a simplificação de desprezar a viscosidade (Fluidos «ideais», escoamentos «potencias»
ou «invíscidos»);
A consideração da viscosidade complica os modelos matemáticos teóricos (aumenta a complexidade das equações
fundamentais);
A viscosidade condiciona as perturbações desordenadas e aleatórias no campo de velocidades «turbulência».
Análise dos escoamentos turbulentos: abordagem experimental e aplicação de técnicas numéricas, baseadas em hipóteses
empíricas resultantes de modelos estatísticos.
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Mecânica de Fluidos
DEM
O CONCEITO DE FLUIDO
SÓLIDO Substância que resiste a uma tensão tangencial através de uma deformação estática.
FLUIDO
Substância que não resiste a uma tensão tangencial, deforma-se, continuamente, sob a
acção de uma tensão tangencial ou de corte que provoca o movimento e a deformação
contínua do meio fluido. Um fluido em repouso está isento de tensões tangenciais.
b
a
b` c
d
c`
u y
U F
y
x Placa
fixa
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Mecânica de Fluidos
DEM
O CONCEITO DE FLUIDO
Ao aplicar-se uma força tangencial F sobre a placa A, a tensão aplicada sobre o material é F/A.
Um sólido sofrerá uma deformação finita, e uma força elástica restauradora aparecerá sobre a
placa, equilibrando F. Já no caso dum fluido este irá deformar-se continuamente enquanto F estiver aplicada.
A FORÇA COM QUE O SÓLIDO RESISTE AO ESFORÇO DA PLACA É PROPORCIONAL À PRÓPRIA DEFORMAÇÃO SOFRIDA:
y
xk
A
F
NO FLUIDO A FORÇA SERÁ PROPORCIONAL À SUA TAXA DE DEFORMAÇÃO:
y
Vk
yt
xk
A
F x
1
Enquanto no caso do material sólido quer-se resolver as deformações (que se traduzem em
deslocamentos), na segunda o enfoque é resolver-se as taxas de deformação (que se traduzem em velocidades.
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Mecânica de Fluidos
DEM
TENSÃO TANGENCIAL OU TENSÃO DE CORTE – DEFINIÇÃO A tensão de corte que é aplicada a um elemento de fluido é dada por:
A Força F que age sobre a área A pode ser decomposta numa componente normal Fn e numa componente
tangencial Ft .
A força dividida pela área, sobre a qual age, é chamada tensão. O vector força dividido pela área é chamado
vector tensão. A componente normal da força dividida pela área é a tensão normal e a força tangencial dividida
pela área é a tensão tangencial ou tensão de corte.
No nosso estudo iremos estar, particularmente, interessados na tensão tangencial.
n F
A
Fn
Ft
COMPONENTES
F
dAdF
AF
Ayx
0lim
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Mecânica de Fluidos
DEM
O CONCEITO DE FLUIDO
As propriedades de uma substância são a manifestação directa da sua própria estrutura
molecular, cada molécula simples origina à sua volta um campo de forças de natureza
quântica, resultando, na ausência de reacção química, um efeito de atracção ou de repulsão
entre duas moléculas contíguas, consoante a distancia “d” que as separa:
LIQUIDOS:
Constituídos por moléculas relativamente próximas, sujeitas a forças de coesão elevadas. Tendem a manter o volume que
ocupam e, quando expostas a um campo gravítico, se a sua fronteira superior não estiver confinada, formam uma
«superfície livre». Dado tratar-se uma estrutura molecular relativamente compacta, apresentam uma forte resistência à
compressão.
GASES:
Constituídos por moléculas relativamente espaçadas, sujeitas a forças de coesão fracas.
Não tendem a manter o volume determinado, expandindo-se livremente até aos limites impostos por paredes envolventes.
Não formam superfícies livres e a sua resistência à compressão é significativamente pequena.
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Mecânica de Fluidos
DEM
CONCEITO DE FLUIDO
Bloco sólido em
repouso sobre um
plano rígido e sujeito
ao seu próprio peso
Líquido e gás em
repouso requerem
paredes de apoio
para eliminarem a
tenção de corte.
a) Deflexão estática do
sólido.
b) Equilíbrio e Circulo de
Mohr para o elemento de
fluido A.
c) O fluido requere paredes
de retenção que anulem
as tensões de corte (o
liquido toma a forma do
recipiente e o gás ocupa o
volume disponível)
d) Equilíbrio e Circulo de
Mohr para o elemento de
fluido A.
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Mecânica de Fluidos
DEM
MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO
Ao estudar o comportamento de um fluido à escala microscópica, surgem dois
obstáculos:
Do ponto de vista teórico: A utilização do cálculo diferencial pressupõe que, em cada
ponto e instante, as propriedades em estudo sofram variações de um modo contínuo, condição
esta que permite o recurso à noção de derivada espacial ou temporal, isto não acontece, porque a
estrutura a que respeitam as propriedades de um fluido é constituído de modo discreto.
Na óptica experimental: os instrumentos a que tipicamente se recorre na análise
laboratorial não oferecem resolução espacial nem temporal que permita descer à escala
microscópica.
Terá de se recorrer a uma escala macroscópica…qual o critério a usar para a
distinção entre ambas as escalas?
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Mecânica de Fluidos
DEM
MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO Como o meio fluido é constituído por moléculas que se podem mover relativamente umas às outras,
originando a variação continua de quantidade de matéria que ocupa determinado volume, a «massa
específica» (massa por unidade de volume) não tem uma determinação rigorosa.
V
m
VV
lim 3910 mmV
Se a unidade de volume considerada for menor que o espaço intermolecular o nº de moléculas
varia permanentemente.
Se a unidade de volume considerada for da ordem do espaço intermolecular o nº de moléculas
será aproximadamente constante, apesar da elevada circulação de partículas através das respectivas
fronteiras.
Se a unidade de volume considerada for muito maior que o espaço intermolecular contém
variações apreciáveis da concentração de massa que não serão detectáveis.
As variações das propriedades físicas e dinâmicas de um fluido ao longo de uma distancia da ordem de 0,001 mm
raramente são significativas, assim, uma resolução volúmica da ordem de (10-3)3=10-9 mm3 (dv*) fornece uma
informação de carácter pontual. A massa especifica «» de um fluido passará a ser entendida
como um conceito pontual:
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Mecânica de Fluidos
DEM
MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO
Região contendo fluido
com massa específica
variável
=1000Kg/m3
=1100Kg/m3
=1200Kg/m3
=1300Kg/m3
Volume elementar
v
Incerteza microscópica
Incerteza macroscópica
v*=10-9mm3
v
m
dvdv
*lim
Volume limite, abaixo do qual as variações moleculares
podem ser importantes e acima do qual as variações
agregadas podem também ser importantes (para todos os
líquidos e para gases à pressão atmosférica).
Mecânica de Fluidos
DEM
MODELO CONTÍNUO DE FLUIDO Ao considerarmos a massa especifica como uma função pontual, implica que as propriedades dos
fluidos podem ser consideradas como variando continuamente no espaço por este ocupado de
“ponto” para “ponto” em ambos os domínios espacial e temporal.
A substancia essencialmente discreta passa deste modo a ser entendida como
um meio contínuo - modelo continuo de fluido ou : «hipótese do continuum».
A «Hipótese do Continuum» (válida para a generalidade dos problemas de Mecânica de Fluidos, excluindo gases
rarefeitos, ou interfaces entre fluidos diferentes ou nas ondas de choque) implica que a variação das
propriedades do fluido é tão suave que os cálculos diferenciais podem ser usados para
analisar e quantificar os fenómenos que envolvam substancias fluidas.
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Mecânica de Fluidos
DEM
DIMENSÕES E UNIDADES FÍSICAS
DIMENSÃO FÍSICA é a medida pela qual uma variável física é expressa quantitativamente. (p.exº o comprimento (L) é uma dimensão para a largura, altura, deslocamento, etc.)
UNIDADE FÍSICA é forma especifica de associar um valor numérico a uma dimensão quantitativa.
(p.exº o comprimento (L) pode ser medido nas unidades: metro, pé, milha, polegada, etc. Existe
equivalência para unidades diferentes para a mesma dimensão.
Sistema Internacional de Unidades (SI) Introduzido em 1960 pela “General Conference of Weights and Measures” (40 países) para
padronizar o sistema métrico de unidades.
DIMENSÕES PRIMÁRIAS OU FUNDAMENTAIS
(Massa, Comprimento, Tempo e Temperatura)
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Mecânica de Fluidos
DEM
DIMENSÕES SECUNDÁRIAS (OU DERIVADAS) (Resultam da combinação das quatro dimensões primárias)
As equações devem satisfazer o principio da homogeneidade dimensional, o qual estabelece que todos os termos aditivos de
uma equação física devem ter as mesmas dimensões, mas devem também usar unidades compatíveis, isto é, cada termo
aditivo deve ter as mesmas unidades (atenção à mistura de unidades SI com unidades BG).
HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL E UNIDADES COMPATIVEIS
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES DO CAMPO DE VELOCIDADES
ÊNFASE NA DISTRIBUIÇÃO ESPAÇO-TEMPO DAS PROPRIEDADES DO FLUIDO
MÉTODOS ALTERNATIVOS DE ANÁLISE PARA DESCREVER OS FENÓMENOS FÍSICOS:
- Descrição “Euleriana”
- Descrição “Lagrangiana”
(Euler, Leonhard – Século XVIII)
(Lagrange, Joseph Louis – Século XVIII)
A solução de um problema de mecânica dos fluidos envolvendo um escoamento,
consiste na determinação, experimental ou teórica, da variação das propriedades do
fluido em função da posição espacial e do tempo.
O observador é suposto “colocar-se” num ponto fixo (x,y,z) (zona de
interesse) onde colhe informação sobre as propriedades do escoamento.
Exº: P=P(x,y,z,t); T=T(x,y,z,t); etc
Método mais adequado em Mecânica de Fluidos.
O observador é suposto “localizar-se” sucessivamente em vários pontos
fixos do domínio. Colhe informação sobre as propriedades de uma partícula
(elemento de volume) de fluido ao longo do escoamento. Exº: variação
da velocidade do corpo/partícula em estudo V=V(t).
Método raramente utilizado em Mecânica de Fluidos.
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Mecânica de Fluidos
DEM
CAMPO DE VELOCIDADES
Primeira das propriedades a determinar num escoamento, uma vez que as outras
propriedades seguem directamente o campo de velocidades.
ktzyxwjtzyxvitzyxutzyxV ,,,,,,,,,,,,
Velocidade como função vectorial da posição espacial tridimensional e do tempo
Várias outras grandezas (chamadas propriedades cinemáticas) obtém-se por manipulação
matemática do campo de velocidades, como por exemplo:
Vector deslocamento ; Aceleração ; Caudal volúmico
dtVr
dt
Vda dAnVQ .
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
AS PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DESCREVEM O ESTADO DE UM SISTEMA, ISTO É, A SUA
CONDIÇÃO TERMODINÂMICA
Pressão;
Temperatura;
Massa especifica.
Energia interna;
Entalpia;
Entropia;
Calores específicos cp e cv.
Coeficiente de viscosidade;
Condutibilidade térmica.
Uma vez conhecidas duas propriedades, todas as outras propriedades podem ser determinadas: energia
interna, entalpia, entropia, calor especifico, velocidade do som, etc
Permanentemente associadas ao vector
velocidade em análises de escoamentos.
Importantes quando se pretende efectuar
balanços de trabalho, calor e energia.
São também propriedades de transporte e
influenciam a condução de calor e o atrito.
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
PRESSÃO “p”
[ N/m2 = Pa ]
É a tensão (de compressão) num elemento de fluido;
Pode variar fortemente ao longo de um escoamento;
Muitos escoamentos são impulsionados por diferenças ou gradientes de pressão (p/x),
como é o caso dos escoamentos em tubagens;
Depois da velocidade é a variável mais dinâmica em M.F.
Pressão atmosférica = 101325 Pa = 760mmHg
221
2....
.
NmPaISUnidadesTLMTL
M
Área
Forçap
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
TEMPERATURA “T”
[ ºK ]
Medida macroscópica do nível de energia interna de um fluido;
É directamente proporcional à correspondente energia cinética média, inerente
ao movimento aleatório das suas moléculas;
Pode variar, consideravelmente, em escoamentos gasosos de alta velocidade;
Se existem grandes diferenças de temperatura num escoamento, os efeitos de
transmissão de calor podem ser importantes;
Temperatura absoluta: Kelvin ou Rankine 0K=0ºR . O zero da temperatura absoluta é
o ponto de referência para o cálculo da entropia, pois cessa o movimento atómico.
KelvinGrauKISUnidadesT ..
ºK=ºC + 273,15
ºR=ºF + 459,69
ºR=1,8 ºK
ºF=1,8ºC + 32
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
MASSA ESPECIFICA “”
[ Kg/m3 ]
Mede a quantidade de massa por unidade de volume de um fluido (de uma substância em
geral);
Um corpo com massa “M” ocupando o volume “V” terá uma massa especifica (ró);
Nos gases é muito variável na proporção directa do gradiente de pressões;
Nos líquidos é praticamente constante, facto que permite considerar os escoamentos
líquidos incompressíveis.
Liquido comum mais pesado – Mercúrio: =13580 Kg/m3
Gás mais leve – Hidrogénio: =0,0838 Kg/m3
33
3.... mKgISUnidadesLM
L
M
Volume
Massa
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
PESO ESPECIFICA “”
[ N/m3 ]
Quantifica o peso de fluido por unidade de volume
ggV
Mespecíficopeso .
322323 /....... mNISUnidadesTLMLTLMLFVolume
Força
g - aceleração da gravidade
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
DENSIDADE “d”
[ Adimensional ]
A “Densidade” é um coeficiente adimensional que expressa a razão entre a massa
especifica de um fluido (de uma substancia em geral) e a massa especifica de um fluido
padrão.
Gases: fluido padrão: ar (1 atm e 20 ºC)
Líquidos: fluido padrão: água (1 atm e 20ºC)
31,205 /
gás gás
gás
ar
dKg m
3/998 mKg
dlíquido
água
liquido
líquido
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
ENERGIAS POTENCIAL E CINÉTICA
Fluido em repouso:
Energia Total / Unidade de Massa = Energia Interna /Unidade de massa
Energia Interna = Energia acumulada no fluido (numa substancia em geral) devido à actividade e coesão molecular.
Fluido em escoamento:
Energia Total = Energia Interna + Energia Cinética + Energia potencial
Energia Total / Unidade de massa = (Energia Interna + Energia Cinética + Energia potencial) / unidade de massa
^
ue
zgmvmmume ..... 2
21
^
zgvue .2
21
^
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Mecânica de Fluidos
DEM
PROPRIEDADES TERMODINÂMICAS DE UM FLUIDO:
ENERGIA POTENCIAL
Quantifica o trabalho necessário para se mover o sistema de massa “m” da
origem até um vector posição r=ix + jy + kz contra um campo gravitacional “g”
EPOTENCIAL= m.g.z ou EPOTENCIAL =g.z (por unidade de massa)
ENERGIA CINÉTICA
Quantifica o trabalho necessário que se deve fornecer a um sistema de massa
“m” para que ele passe da condição de repouso à de movimento com
velocidade “V”.
ECINÉTICA = ½ m.V2
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Mecânica de Fluidos
DEM
EQUAÇÃO DE ESTADO PARA GASES:
Gás perfeito* As moléculas de um gás movem-se de forma aleatória, com velocidades e níveis energéticos que variam de
instante para instante. Podem no entanto definir-se valores médios ao longo de um dado período de tempo,
de velocidade molecular e de energia molecular. A relação entre a massa volúmica () de um gás a sua
pressão absoluta (p) e a sua temperatura absoluta (T) é estabelecida através da equação de estado:
RTP
* Um gás em que as moléculas se encontram suficientemente afastadas para que se considerem desprezáveis as forças
intermoleculares (sem que tal afecte a validade da hipótese do continuum) é designado por gás ideal ou gás perfeito.
R (J/KgºK) designa a constante do gás, definida por:
te
vp consccM
R .
Sendo = 8314 J/(Kmol ºK), a constante universal dos gases perfeitos e M a massa molecular do gás.
Exº )/(287/97,28/97.28 KKgJRKmolKgmolgM arar
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Mecânica de Fluidos
DEM
VISCOSIDADE
A viscosidade é uma das variáveis que caracteriza reologicamentea) uma substância. No caso dos
fluidos, é a propriedade que relaciona a tensão de corte (tensão tangencial) local num
escoamento com a taxa de deformação dos elementos de fluido (gradiente transversal de
velocidade). É uma medida que evidência a resistência de um fluido à deformação.
A tensão de corte impõe uma deformação tangencial continua num fluido (deformação de um elemento de fluido a uma taxa d/dt)
Distribuição
“newtoniana” da
tensão de corte
numa camada
limite junto a uma
parede sólida –
junto á parede a
velocidade é nula
“condição de não
arrastamento” –
característica de
todos os fluidos
viscosos
u t /t
u=u
y
x u=0
y
u(y)
du
dy
0
Perfil de
velocidade
Não-escorregamento na
parede
= u/y
a) Num sentido amplo entende-se por propriedade reológica aquela que especifica a deformação ou a taxa de deformação que uma substância
apresenta quando sujeita a uma tensão.
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Mecânica de Fluidos
DEM
Lei de Newton* para Fluidos (1687):
Quando um fluido é submetido a uma tensão de corte deforma-se
tangencialmente com uma taxa inversamente proporcional à sua “viscosidade
Dinâmica”) (propriedade do fluido).
* Sir Isaac Newton (1642-1727)
Os fluidos que apresentam um comportamento viscoso de acordo com a “Lei de
Newton para os Fluidos” recebem a designação de “Fluidos Newtonianos”.
dy
du
dt
d
Tensão
Deformação
Viscosidade dinâmica
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Mecânica de Fluidos
DEM
Os fluidos reais mais comuns (ar, água,
óleos, combustíveis líquidos ou gasosos,
etc.) tem um comportamento muito
concordante com o modelo de fluido
newtoniano
Fluido Newtoniano [Sir Isaac Newton (1642-1727)]
A Lei de Newton baseia-se num modelos linear que relaciona a tensão de corte com a viscosidade,
constitui um modelo muito simplificado, não aplicável a todos os fluidos.
O gráfico seguinte caracteriza o comportamento dos fluidos reais, observado na prática, no que
respeita à variação do estado de tensão (tensão de corte) com a taxa de deformação (gradiente
transversal da velocidade) à qual é submetido (relacionados pela viscosidade)
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Mecânica de Fluidos
DEM
Viscosidade Cinemática () (“Kinematic Viscosity”):
(porque não tem dimensões de massa e representa a razão entre a viscosidade dinâmica e a
massa especifica de um fluido).
Viscosidade Dinâmica () (“Coefficient of Viscosity”):
0
.v
h
A
F
1111
12
2
0
......
...
.
smKgISUnidadesTLMTL
L
L
TLM
v
h
A
F
1212
3
11
....
..
smISUnidadesTLLM
TLM
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Mecânica de Fluidos
DEM
VARIAÇÃO DA VISCOSIDADE COM A TEMPERATURA
CASO DOS LÍQUIDOS
A viscosidade de praticamente todos os líquidos diminui com o aumento da temperatura, mas
a taxa à qual essa diminuição se dá , decresce com o aumento da temperatura.
A viscosidade nos líquidos é praticamente independente da pressão, excepto a pressões
muito elevadas.
CASO DOS GASES
A viscosidade é praticamente independente da sua pressão (excepto para pressões muito
altas ou muito baixas)
A viscosidade aumenta com o aumento da temperatura (a menos que o gás esteja tão
fortemente comprimido que a teoria cinética deixe de ser válida) uma vez que a agitação
molecular aumenta com o aumento da temperatura.
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Mecânica de Fluidos
DEM
VARIAÇÃO DA VISCOSIDADE COM A TEMPERATURA
Aproximações frequentes para determinar a variação da viscosidade com a temperatura, no
caso dos gases, são:
0
3 20
0 0
lei da
lei de
n
Tpotência
T
T T T SSutherland
T S
0 – viscosidade conhecida a uma temperatura absoluta T0
As constantes n e S são ajustadas aos dados, no caso do ar, n=0,7 e S=110K
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Mecânica de Fluidos
DEM
Variação da Viscosidade com a temperatura:
Propriedades do ponto critico
Viscosidade adimensionalizada com
relação às propriedades do ponto
critico.
Válida para todos os fluidos mas a
sua precisão é de 20%
ccc p
p
T
Tf ,
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Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE Escoamento viscoso induzido entre duas placas paralelas pela deslocação de uma
placa (superior) relativamente à outra (inferior) caracterizado por um perfil de
velocidades [u(y)] linear quando se atinge o regime estacionário (quando a placa
móvel se desloca com velocidade uniforme [u=v=constante]).
Considera-se o escoamento unidimensional (/x= /z=0) e em regime permanente (/t=0)
F
Fluido
viscoso
x
y v=u
Placa móvel
Placa fixa
h
duu
udy
y
Escoamento caracterizado por uma variação linear da velocidade do fluido entre y=0 e y=h, ou seja o perfil de velocidades
para 0y h é dado por u(y)=(y/h)U
O ângulo recto sofre uma deformação no intervalo de tempo dt (a recta vertical MN gira de um ângulo infinitesimal ,
enquanto a placa superior move-se de uma distancia infinitesimal da=v.dt, o deslocamento angular ou deformação é expressa
por:
d
N N`
M v=0
dy
du
dt
ddt
dy
du
h
vdt
h
datgd
da
Conclui-se que a taxa de deformação de um
elemento de fluido é equivalente ao
gradiente transversal de velocidades du/dy
38
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE
Considera-se o escoamento unidimensional (/x= /z=0) e em regime permanente (/t=0)
F
Fluido
viscoso
x
y v=u
v=0
u(y) (y)
Ah
VAFV ..
h
V
A
Fp
Força de atrito viscoso conduz a uma dissipação viscosa de energia (conversão de energia
cinética em energia térmica) resultante da acção da tensão de corte sobre a superfície de atrito:
Placa móvel
Placa fixa
Se admitirmos que se trata de um fluido “Newtoniano” o gradiente transversal de velocidade (taxa de
deformação) e a tensão de corte são constantes em todo o escoamento (Unidades SI: Nm-2)
h
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Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE FENÓMENO DE “ARRASTAMENTO” ENTRE LAMINAS DE FLUIDO É MODELADO PELO CONCEITO DA
TENSÃO DE CORTE:
Se admitirmos que se trata de um fluido “newtoniano”, o gradiente transversal de
velocidade (taxa de deformação) e a tensão de corte ou tangencial são constantes em todo
o escoamento.
A expressão é válida para o “Escoamento em Covette” estacionário para o qual a
velocidade é representada por um perfil linear.
No caso geral:
consth
V
h
V
y
u
dy
du
0
0
dy
duyphy :0
LEI DE NEWTON, em homenagem a
Sir Isaac Newton que a postulou, em
1687
Expressão que determina a tensão de corte pontual (conceito matemático) no volume de
controle (conceito físico)
40
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)
Determinar a força “F” requerida para que o piston mantenha a velocidade uniforme de 5,6 m/s?
O piston move-se através do cilindro a uma velocidade uniforme.
O “filme” de óleo que separa o piston do cilindro tem viscosidade = 0,020 Kg/m.s
Vel. do piston = 5,6 m/s
= 0,020 Kg/m.s 25 c
m
4,9
cm
5 c
m
Obs.
Não há aceleração, admite-se distribuição linear de velocidades no “filme” de óleo.
Como as dimensões da placa (cilindro) são >>>>h assume-se escoamento laminar.
Condição de não escorregamento na placa (cilindro) V(0)=0 e V(h)=V
F
41
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)
RESOLUÇÃO:
Não há aceleração, admite-se distribuição linear de velocidades no “filme” de óleo.
Como as dimensões da placa (cilindro) são >>>>h assume-se escoamento laminar.
• Condição de não escorregamento na placa (cilindro) V(0)=0 e V(h)=V
25 c
m
4,9
cm
5 c
m F
Vel. do piston = 5,6 m/s
= 0,020 Kg/m.s
h
Piston
Para manter o regime estacionário (uniforme) com V=5,6 m/s é necessário que a força aplicada (F) seja igual à
Força de atrito viscoso (Fav). [1ª Lei de Newton: um corpo mantém o seu estado inercial (repouso) ou o seu estado
movimento uniforme se o somatório das forças exteriores que sobre ele actuam for igual a zero]
Filme de óleo
42
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)
RESOLUÇÃO:
25 c
m
4,9
cm
5 c
m F
Vel. do piston = 5,6 m/s
= 0,020 Kg/m.s
h
Piston
Filme de óleo
NF
assim
NF
RLh
vAF
FF
aplicada
av
contactoav
ovisatritoaplicada
62,8
62,810250245,02
2
049,005,0
6,5020,0
2
2
cos
Movimento axial e uniforme
43
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)
Determinar o momento viscoso sobre o disco representado na figura?
Admite-se que no espaço entre a superfície plana e o disco a gradiente de velocidades tem um perfil linear
(h<<r);
A altura de película de fluido mantém-se constante (h=cte);
O disco roda a uma velocidade angular constante [(rad/s)]=cte;
Despreza-se a tensão de corte sobre os contornos;
Obs.
O momento de atrito viscoso é transmitido através das camadas do fluido para a superfície plana. No entanto
é preciso considerar, neste exemplo, que a tensão de corte não é constante em toda a superfície (v),.
= 30 rad/s
= 0,08 Pa.s
R=175 mm
44
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)
Dados:
=0,5 mm; R=175 mm; =0,08 Pa.s; =30 rad/s286 r.p.m.
Neste caso, a força de resistência induzida pelos efeitos viscosos e consequentemente o momento viscoso,
não se poderão determinar pela simples multiplicação da tensão pela área, dado que a tenção é uma variável
espacial e que depende da distancia ao centro do disco (depende da velocidade tangencial). Assim os
cálculos terão de ser efectuados para um elemento de área infinitesimal (dA) e posteriormente, efectuar a
integração para toda a superfície do disco.
dA
d
dr
R=175 mm
45
Mecânica de Fluidos
DEM
ESCOAMENTO EM COUETTE (exercício)
Considerando a área elementar dA:.
dA
d
dr
rdArdFdM vv ...
com dA dado por:
drdrdA ..
Considerando que o perfil de velocidades, entre as superfícies do disco e o dispositivo que o contém é
linear, a tenção de corte é função da distância ao centro de rotação:
rrvr
...
Substituindo na equação inicial:
drdr
rdrdrr
rdrdrrv
dM v ...
......
......3
4
..2..
..
43
0
2
0
Rdrd
rM
R
v
NmM v 07,710.5,0.4
175,0.30.08,0.2
3
4
PARA UMA FACE
CONSIDERANDO AMBAS AS FACES o Mv= 14,14 Nm
46
Mecânica de Fluidos
DEM
Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS a)
Escoamento Laminar (Para baixos números de Reynolds);
Escoamento de Transição (Para números de Reynolds intermédios);
Escoamento Turbulento (Para elevados números de Reynolds)
a) Em homenagem a Osborne Reynolds (1842 – 1912)
47
Mecânica de Fluidos
DEM
Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS
A ocorrência de um escoamento laminar ou turbulento é avaliado segundo um parâmetro, designado
por “Número de Reynolds” (Re).
Para pequenos valores do número de Reynolds, o escoamento é estável e regular (regime
laminar). Para valores elevados, o escoamento passa a regime turbulento (as trajectórias das
partículas são extremamente irregulares). O processo dessa mudança é chamado de transição para
a turbulência.
Obs. A grande maioria das análises referem-se a escoamento laminar ou turbulento, não se devendo projectar um escoamento na região de transição.
LVLURe
...
U – Velocidade média do escoamento;
L – largura transversal do escoamento;
- Viscosidade cinemática
48
Mecânica de Fluidos
DEM
Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS
A grandeza representada pela expressão anterior corresponde à razão das grandezas de duas forças
( força de inércia / força viscosa) e, como tal, é um número adimensional:
LVLURe
...
1
../
// 3
LTM
TLLLM
e
LVR
A expressão mostra que valores elevados de , L ou V, ou um valor baixo de , contribuem para um
valor elevado de Re. Inversamente, o valor de Re é reduzido se a viscosidade for elevada. Um valor
elevado de Re indica que as forças de inércia dominam o escoamento e que as forças viscosas têm
pouca influência; inversamente, quando Re é baixo, as forças viscosas são dominantes e as forças de
inércia são menos significativas.
49
Mecânica de Fluidos
DEM
Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS
A transição depende de muitos efeitos, como por exemplo, a rugosidade da parede ou as flutuações da
corrente de entrada, mas o parâmetro básico é o número de Reynolds
50
Mecânica de Fluidos
DEM
Regimes de Escoamento – Número de REYNOLDS
O perfil parabólico de escoamento laminar,
torna-se instável (para Red 2300 no caso de
escoamentos em tubagens) e começam a
formar-se “bolsas” ou “rajadas” de turbulência
intensa, podendo em certas situações ser
visível o mecanismo de enrolamento de
vórtices.
Para escoamento turbulento, por causa das
flutuações, cada termo da velocidade é uma
função aleatória de variação rápida no espaço e
no tempo V (x,y,z,t).No entanto usam-se valores
médios de velocidade. A média temporal V de
uma função V (x,y,z,t) é definida por:
Onde T é o período de cálculo da média
T
VdtT
V0
1
51
Mecânica de Fluidos
DEM
Força de coesão na superfície por unidade de comprimento do perímetro de um
corte normal à superfície ou, pode ser visto, como a energia de superfície por
unidade de área da interface.
[Unidades SI:N.m-1=N.m/m2=J/m2]
É um efeito mecânico que resulta da atracção das moléculas
do liquido na superfície de contacto, onde a densidade é
mais baixa que no interior do liquido.
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Como um liquido não se pode expandir livremente, forma uma superfície de
contacto com outro liquido ou com um gás (interface). Os efeitos superficiais
são tratados recorrendo ao conceito de Tensão Superficial.
Coeficiente de Tensão Superficial ()
52
Mecânica de Fluidos
DEM
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
É necessário uma certa quantidade de trabalho para deslocar moléculas para a superfície em
oposição aquela força. A tensão superficial () representa o trabalho que deve ser executado
para trazer do interior do liquido uma quantidade de moléculas suficiente para formar uma
nova unidade de área daquela superfície. Como resultado da tensão superficial, forma-se uma
fina película na sua superfície livre.
Uma molécula no interior de um liquido é submetida a forças de atracção em todas as
direcções, e a soma vectorial resultante dessas forças é zero (as moléculas estão em
equilíbrio). Mas uma molécula na superfície de um liquido é atraída para o interior do mesmo,
por uma força resultante perpendicular à superfície do liquido.
acção reacção
Tensão superficial – interpretação molecular
54
Mecânica de Fluidos
DEM
55
Mecânica de Fluidos
DEM
mN
mN
/48,0
/073,0 Ar-Água
Ar-Mercúrio
Obs: estes valores podem variar consideravelmente se a superfície estiver
contaminada. Em geral diminuem com a temperatura do líquido.
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Interfaces mais comuns:
Se um corte de comprimento dL é feito numa superfície interfacial, forças iguais e
opostas de magnitude dL estão presentes normais ao corte e paralelas á superfície.
(Ver Tabela A5, página 536, F.White)
56
Mecânica de Fluidos
DEM
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
No caso de uma bolha esférica de raio R (por exemplo, uma bolha de água de sabão), a pressão
interna apresenta um excesso pe (pressão efectiva) em relação à pressão externa, assim
impedindo a contracção da bolha.
Seccionando a bolha por um plano diametral, obtemos uma bolha hemisférica de raio R e na qual
reina a mesma pressão efectiva pe = po - p , onde po é a pressão interna e p é a pressão externa
(geralmente, a pressão atmosférica). O plano diametral encontra-se em equilíbrio sob a acção de
dois sistemas de forças antagónicas: as forças de pressão efectiva devidas ao gás aprisionado, e
as forças de tensão superficial devidas às duas faces da lâmina líquida.
57
Mecânica de Fluidos
DEM
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Admita-se que a esfera é cortada em duas metades, por um plano vertical imaginário. A intercepção
do plano com a superfície esférica é uma circunferência de perímetro 2R, sendo a força de coesão
que mantém juntas as duas superfícies hemisféricas dada por (2R). A pressão interior da esfera
p que tende a separar os dois hemisférios é dada por:
2R
p p p + p p + p
p
R
pRpR
22 2
58
Mecânica de Fluidos
DEM
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Interface curva geral
(caso geral de uma interface
arbitrariamente curvada, cujos raios
principais são R1 e R2)
Rp
LpRL
22
Rp
RpR
2
22
1
2
1
1
RRp
Variação de pressão através de uma interface curva devido à tensão superficial:
Um balanço de força normal à
superfície mostrará que o aumento
de pressão sobre o lado concavo é
p
No interior de um cilindro de líquido
No interior de uma gota esférica
Pressão interna para equilibrar a
força de tracção devida à tensão
superficial.
59
Mecânica de Fluidos
DEM
As forças de tensão superficial determinam efeitos peculiares em tubos estreitos (ditos “tubos
capilares”) e, de um modo mais geral, em quaisquer espaços estreitos, tais efeitos são
denominados fenómenos de capilaridade.
Num tubo capilar o liquido sobe
até o peso da coluna (que é
vertical descendente) equilibre
com a resultante das forças
devidas à tensão superficial
(vertical ascendente)
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Capilaridade em Tubos
60
Mecânica de Fluidos
DEM
h>0
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Capilaridade em Tubos
Um líquido molha a superfície sólida quando a força de adesão (força atractiva
provocada pelas moléculas do sólido) é maior que a coesão (exercida pelas próprias
moléculas do liquido). No caso do liquido não molhar o sólido, a situação é inversa e a
força de coesão entre as moléculas é maior que a força de adesão.
61
Mecânica de Fluidos
DEM
<90º : procura de uma maior superfície de contacto entre o liquido e a superfície sólida
o liquido sobe no tubo.
>90º : procura de uma menor superfície de contacto entre o liquido e a superfície sólida
o liquido desce no tubo.
h>0
Y=h
x X=0
h<0
Componente vertical da tensão superficial no
contacto do liquido com a superfície interna do
tubo = peso da coluna de fluido de altura “h”
RhhRR
.
cos..2...cos....2 2
TENSÃO SUPERFICIAL (“SURFACE TENSION”)
Capilaridade em Tubos
O desnível capilar é proporcional à tensão superficial do
liquido e inversamente proporcional ao diâmetro interior
do tubo capilar.
62
Mecânica de Fluidos
DEM
PRESSÃO DE VAPOR
A pressão de vapor é a pressão exercida por um vapor quando está em
equilíbrio com o liquido que lhe deu origem. É uma propriedade física
dependente da temperatura.
Pressão do liquido > pressão de vapor evaporação do liquido na
superfície de contacto liquido-vapor.
Pressão do liquido < pressão de vapor formação de bolhas de vapor no
interior do liquido.
O nº de moléculas de vapor que atingem a superfície do liquido e que condensam é exactamente igual ao
nº de moléculas que escapam da superfície livre em qualquer intervalo de tempo.
Variação da pressão de
vaporização da água com a
temperatura, (ver Tab. A5,
pág. 537 Frank White)
Temperatura (ºC) Pressão Vapor (Pa)
0 611
10 1227
20 2337
40 7375
60 19920
80 47350
100 101325
63
Mecânica de Fluidos
DEM
PRESSÃO DE VAPOR
Se um líquido for aquecido num recipiente fechado até determinada temperatura, evapora-se até se
atingir a pressão de vapor para a temperatura imposta, mantendo-se a partir daí um estado de
equilíbrio em que a quantidade de líquido vaporizado é igual á quantidade de vapor condensado.
Quando a temperatura atinge 100ºC a taxa de vaporização vence a taxa de condensação: ocorre
assim a mudança de fase.
64
Mecânica de Fluidos
DEM
PRESSÃO DE VAPOR E CAVITAÇÃO
A aceleração de um escoamento liquido impõe uma depressão que pode
provocar « Cavitação » se a pressão descer abaixo da respectiva pressão de
vapor.
O parâmetro adimensional relacionado com o fenómeno de cavitação é o
«Número de Cavitação»
22
1 V
ppCa va
pa – pressão ambiente
Pv – pressão de vapor
V – velocidade característica do escoamento
Num escoamento a cavitação ocorre quando o «Número de Cavitação»
característico desce abaixo de um valor crítico dependente da geometria
especifica desse escoamento.
65
Mecânica de Fluidos
DEM
Quando ocorre este fenómeno?
Quando a velocidade de escoamento de um fluido causa uma queda de pressão
suficientemente intensa, isto é, a Pabs menor que a Pvap, ocorrerá uma vaporização
(formação de bolhas de vapor de água) do líquido.
PRESSÃO DE VAPOR E CAVITAÇÃO
66
Mecânica de Fluidos
DEM
Quando as bolhas de cavitação, transportadas pelo escoamento, atingem uma
zona de pressão superior à pressão de vapor, ocorre o seu colapso (condensação
do vapor) por implosão sendo este fenómeno suficientemente violento para
provocar a erosão e eventual destruição de peças metálicas (exº degradação das
pás do hélice de um barco)
PRESSÃO DE VAPOR E CAVITAÇÃO
FORMAÇÃO IMPLUSÃO
67
Mecânica de Fluidos
DEM
PRESSÃO DE VAPOR E CAVITAÇÃO
Redução da pressão na
linha de aspiração
Quando o liquido escoa através de uma bomba centrifuga ou axial, a pressão
estática (pressão de sucção) é drasticamente reduzida e a velocidade aumenta.
Existem desta forma condições para a formação de bolhas de cavitação na entrada
do rotor ou na tubulação de aspiração.
Pressão
atmosférica
Bolhas de Vapor
70
Mecânica de Fluidos
DEM
Condições de «Não escorregamento» (“No-Slip Condition”) e de «Igual
Temperatura» (“No-Temperature-Jump Condition”):
Quando um escoamento viscoso está confinado por uma superfície sólida, as
interacções moleculares impõem o equilíbrio dinâmico (quantidade de movimento)
e energético (temperatura) do fluido com essa superfície.
Condição de «Não-Escorregamento»:
Excluindo gases rarefeitos todos os fluidos, líquidos e gasosos, em contacto com
uma superfície sólida assumem a velocidade e a temperatura dessa superfície
(parede).
paredefluido VV
Condição de «Igual Temperatura»: paredefluido TT
Na análise dos escoamentos viscosos em contacto com envolventes sólidas, estas hipóteses são
utilizadas como «condições fronteira». Na análise de escoamentos inviscidos (escoamentos «potenciais»)
admite-se que os fluidos não tem viscosidade (fluidos «ideais») pelo que a condição de «não
escorregamento» não é considerada.
71
Mecânica de Fluidos
DEM
Num escoamento, os efeitos da compressibilidade traduzem-se em variações
significativas da densidade do fluido.
Os efeitos de compressibilidade, tornam-se importantes quando a velocidade
do escoamento atinge um valor correspondente a uma fracção significativa da
“velocidade do som” no fluido (“a”).
Um escoamento liquido pode considerar-
se praticamente incompressível,
independentemente do gradiente de
pressões aplicado (densidade do fluido
mantém-se aproximadamente constante).
Um escoamento gasoso pode ser
compressível, uma vez que a densidade do
fluido pode variar significativamente, na
proporção directa do gradiente de
pressões.
KRTa perfeitogás
K=Cp/Cv=constante adiabática de um gás perfeito=1.40;
R=Constante termodinâmica dos gases perfeitos=287 m2.s-2.K-1;
T=temperatura absoluta (Kelvin)
VELOCIDADE DO SOM
72
Mecânica de Fluidos
DEM
Incompressibilidade – Número de MACH:
O número de MACH é um parâmetro adimensional relacionado com os efeitos de
compressibilidade e que mede a velocidade de um fluido, relativamente à
velocidade de propagação do som nesse meio fluido.
MACH: a = Velocidade do som no meio considerado
Este parâmetro adimensional destina-se a qualificar os regimes de escoamento:
M < 1 : Escoamento em regime Subsónico
M 1 : Escoamento em regime Transónico
M = 1 : Escoamento em regime Sónico
M > 1 : Escoamento em regime Supersónico
O estudo desenvolvido nesta cadeira é
confinado a “escoamentos incompressíveis”
condição que se pode garantir desde que se
verifique M<0,3 (regime subsónico baixo)
KRT
V
a
VMaM
74
Mecânica de Fluidos
DEM
TÉCNICAS BÁSICAS DE ANÁLISE DE ESCOAMENTOS
A análise de escoamentos pode ser efectuada por via teórica, por via experimental
ou por via mista que inclui uma fracção de cálculo e uma outra laboratorial, em
função das condições de estudo disponíveis.
Dentro da perspectiva teórica, existem duas técnicas básicas:
- CALCULO INTEGRAL OU ANÁLISE DE UM VOLUME DE CONTROLO (Cuja solução conduz a resultados
globais);
- CALCULO DIFERENCIAL OU ANÁLISE DE UM SISTEMA INFINITESIMAL (Cuja solução permite obter
distribuições espaciais e temporais das variáveis dependentes).
Dentro da perspectiva experimental:
- ANÁLISE DIMENSIONAL (Permite além da definição dos principais parâmetros adimensionais
determinantes para a correcta caracterização do escoamento, o conhecimento das regras a respeitar para
que um modelo laboratorial represente de modo satisfatório o protótipo).
75
Mecânica de Fluidos
DEM
Uma forma comum de classificar os escoamentos, baseia-se nas hipóteses
assumidas na respectiva análise, essas hipóteses apresentam-se aos pares, sob a
forma de condições antagónicas:
Regime
Permanente
(estacionário)
Regime
Transitório
Inviscido
(potencial)
viscosos
Isotérmico
Não
Isotérmico
Gás
Liquido
Incompressível
Compressível
Estas hipóteses podem ser locais ou extensivas a todo o domínio do escoamento
analisado. Normalmente o estudo de um escoamento implica a selecção de apenas
uma hipótese de cada par.
CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS
76
Mecânica de Fluidos
DEM
Linha de corrente (“Streamline”)
É a linha que, num determinado instante, é tangente aos vectores velocidade, em cada ponto
(imagem instantânea: «fotográfica»).
Linhas de corrente no
instante “t1”
Linhas de corrente no
instante “t1+t”
No ESCOAMENTO PERMANENTE, como não há
variação do vector velocidade em cada ponto as
linhas de corrente tem a mesma inclinação, sendo
portanto fixa no tempo, logo a trajectória de uma
partícula é uma linha de corrente, no caso dos
escoamentos não uniformes a trajectória pode não ter
nenhuma semelhança com a linha de corrente dada
num certo instante.
A noção de linha de corrente refere-se sempre a um certo instante e, para a sua definição,
não é necessário conhecer os campos de velocidades prevalecentes nos instantes anteriores ou
posteriores.
LINHAS CARACTERISTICAS USADAS NA ANÁLISE DE ESCOAMENTOS
(Quer nas vertentes, teórica e experimental, a representação da configuração ou do padrão de um dado escoamento pode
ser materializada por linhas de escoamento)
77
Mecânica de Fluidos
DEM
Trajectória (“Pathline”)
É a linha percorrida por uma determinado elemento de volume (partícula) de fluido ao longo
do tempo (sucessão de imagens obtidas durante um intervalo de tempo: «cinematográfica»).
Para definição da trajectória é necessário conhecer os campos de velocidades prevalecentes
nos instantes anteriores e posteriores.
1
´ tu
2
´ tu
3
´ tu 4
´ tu
1`` tu 2`` tu
3`` tu
4`` tu
Trajectória da partícula (`) Trajectória da partícula (``)
LINHAS ASSOCIADAS AO CAMPO DE ESCOAMENTO
Quando o escoamento é estacionário ou unidimensional, a linha de corrente coincide com a trajectória.
78
Mecânica de Fluidos
DEM
Trajectória (“Pathline”)
P1
P2
P3
1v
2v
3v
Sendo para cada ponto a velocidade constante no tempo, se uma dada partícula de fluido
percorre a trajectória P1 P2 P3 todas as partículas que chegam a P1, vão percorrer a
mesma trajectória.
A curva P1 P2 P3 Linha de Corrente
Um conjunto de linhas de corrente próximas formam um tubo de corrente
LINHAS ASSOCIADAS AO CAMPO DE ESCOAMENTO
79
Mecânica de Fluidos
DEM
Linha de Emissão (“Streakline”)
Linha que, num dado instante, é formada por um conjunto de partículas que ocuparam,
anteriormente um determinado ponto (imagem instantânea: «fotográfica»).
Tf
Tf-1
Tf-2
T2
T1
T0 inicial
Linhas de corrente, linhas de trajectória e linhas de emissão são coincidentes em escoamento
estacionário (regime permanente) como em cada ponto o vector velocidade não altera a sua
intensidade nem a sua direcção, cada partícula de fluido tem o mesmo comportamento das que
a precedem.
LINHAS ASSOCIADAS AO CAMPO DE ESCOAMENTO
80
Mecânica de Fluidos
DEM
ESPECTRO DE UM ESCOAMENTO (LINHAS ASSOCIADAS AO CAMPO DE ESCOAMENTOS)