Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
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Capítulo 1: Análisis Matricial de Estructuras de Barras
AUTORES: TOMÁS GUENDELMAN Y EDUARDO SANTOS
I.- PRINCIPIOS BASICOS DE ANALISIS ESTRUCTURAL
El estado de deformaciones y tensiones en sólidos deformables está regido por tres principios básicos, cuya aplicación sistemática conduce a un sistema matemático con solución única. Estos principios son:
− Compatibilidad geométrica − Equilibrio − Constitutividad
COMPATIBILIDAD GEOMETRICA
Debemos distinguir entre dos tipos de variables cinemáticas:
− Desplazamientos − Deformaciones
Los desplazamientos permiten determinar las nuevas coordenadas de cada punto del cuerpo. Sin embargo ello no es suficiente para calcular o establecer si este cuerpo se ve sometido a tensiones internas. Para determinar la existencia de esfuerzos internos es necesario detectar deformaciones relativas, es decir, variaciones en la longitud de elementos lineales (deformaciones extensionales) o variaciones en el ángulo que forman los elementos lineales (deformaciones angulares o de corte). Para que el cuerpo siga siendo un sistema estructural, es requisito que éste preserve su integridad. Ello significa que no se fractura (en el caso de fractura, un punto se transforma en dos puntos), que no se distorsiona (el orden molecular del cuerpo sin deformación es igual al del cuerpo deformado) y que las curvas de deformación sean continuas y simplemente evaluadas.
{ }
{ }
{ } [ ]{ }Desplazamientos
Deformaciones Matriz de compatibilidadgeométrica
ra r
ε
ε
⇒ =↑
Esta relación, que señala la vinculación entre las variables cinemática {r} y {ε}, se conoce como Compatibilidad Geométrica.
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EQUILIBRIO
Las estructuras se diseñan con el fin de transferir cargas de una posición a otra. En este proceso de transferencia de cargas se producen esfuerzos internos. El diseño debe ser tal que la estructura sea capaz de transferir las cargas y al mismo tiempo, resistir sus esfuerzos. El análisis estructural es el proceso de evaluación o cálculo de dichos esfuerzos. Las cargas o solicitaciones y los esfuerzos internos deben estar en equilibrio. Este debe manifestarse en el cuerpo como un todo, a través de las reacciones de apoyo y también en cada fragmento infinitesimal del sólido.
100
4060
100
4 6
R2R1
MODELO ESTRUCTURAL
240
40 60
DIAGRAMA DEMOMENTO:
DIAGRAMA DECORTE:
40R60R01006R10
100RR
2
1
1
21
===×−×=+
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3
Hay dos tipos de variables estáticas:
{ }
{ }{ } [ ] { }
- :
-
Cargas (o solicitaciones)
Esfuerzos internos (o tensiones):matriz deequilibrio
R
b R
σ
σ
⇒ =↑
El vector {R} tiene todos sus términos conocidos sólo si se trata de estructuras isostáticas (estructuras estáticamente determinadas). En estructuras hiperestáticas (estructuras estáticamente indeterminadas), hay que construir primero una Estructura Isostática Principal y agregar Fuerzas Redundantes (componentes desconocidas de {R}), asociadas biunívocamente a los grados de libertad liberados.
CONSTITUTIVIDAD
Estas relaciones no incorporan nuevas variables. Solamente agregan relaciones propias de las características del material. { } [ ] { } { } [ ] { }σ ε ε σ= = −C C; :o bién 1
Aplicando estos tres principios básicos logramos plantear un conjunto de ecuaciones cuyo número iguala al de incógnitas.
EJEMPLO:
Aplicación de los principios básicos de análisis estructural.
L
(Ton/m)
R4 R3 R2 R1
p
δ2 δ4δ3δ1
4321
solido indeformable
guías
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1. COMPATIBILIDAD GEOMÉTRICA (VARIABLES CINEMÁTICAS)
cuerpoentodesplazami=δ δ δ δ δ δ1 2 3 4= = = =
2. EQUILIBRIO (VARIABLES ESTÁTICAS)
4321
4
321
FFFFQresortedelFuerzaF
resortedelFuerzaFresortedelFuerzaFresortedelFuerzaF
aplicadacargaQLp
4
3
2
1
+++==
===
==×
3. CONSTITUTIVIDAD
F K K
F K K
F K K
F K K
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
4 4 4 4
= × = ×
= × = ×
= × = ×
= × = ×
δ δ
δ δ
δ δ
δ δ
( )Q K K K K K K K K= + + + = + + + ×1 2 3 4 1 2 3 4δ δ δ δ δ
∴
∴
=+ + +
= ×+ + +
= ×+ + +
= ×+ + +
= ×+ + +
δQ
K K K K
F KQ
K K K K
F KQ
K K K K
F KQ
K K K K
F KQ
K K K K
1 2 3 4
1 11 2 3 4
2 21 2 3 4
3 31 2 3 4
4 41 2 3 4
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MODELOS LINEALES
Son aquellos en los que las relaciones causa-efecto son proporcionales. En ellos es válido el principio de superposición
Para que una estructura origine un modelo matemático de características lineales se requiere lo siguiente: - Material homogéneo : su constitución es uniforme.
- Material isotrópico : características iguales en cualquier dirección.
- Material elástico : deformación completa e instantánea al
aplicar la carga y recuperación completa e instantánea al retirar la carga.
- Material linealmente elástico : la curva carga deformación en una recta.
- Pequeñas deformaciones : el equilibrio se puede plantear en la posición original de la estructura.
Para apreciar el efecto del planteamiento de las ecuaciones de elasticidad en la posición deformada de la estructura, se considera el siguiente ejemplo de un cable:
L2
L2
X XP
α α
αΡ
=
α=Ρ
sen2X
senX2
Esta solución se obtiene al establecer el equilibrio en la posición original de la estructura y en teoría es válida para todo ángulo α. Sin embargo, observamos que si α = 0 implica que X tiende a infinito, lo que es absurdo. Por ello es necesario establecer el equilibrio en la posición deformada, lo que originará un modelo no lineal.
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II.- MARCOS PLANOS
METODO DE DESCOMPOSICION FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO
sistema original
+=Fx
FyM
caso a
Fy
Fx
M
caso b
Mc
Qc
Md
QdDetalle fuerzas deempotramiento ennudo A.
M = -Ma - Mc
Fx = Qc
Fy = -QaFx
FyM
MbMa
QbQa
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MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES PARA UNA BARRA ARBITRARIA "p".
relación constitutiva :
{ } [ { }σ εp p= ]k p
(paralelo al eje X)
p
b
a
p
δθθ
=ε }{Deformaciones :
Esfuerzos :{ }
p
b
a
p
FMM
=σ
Sistema local de coordenadas:
Y
X 0
ab
a′
F
F
θa
θb
b′
γ
Para elementos prismáticos, [k p] está dada por :
[ ]
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
β+β+
β+β−
β+β−
β+β+
=
LAE00
021L
2EI221L
1EI2
021L
1EI221L
2EI2
pk a b : barra en posición inicial
′ ′a b : barra en posición deformada
δ = − ′ ′a b a b
k;2GAL
k6EI=β : factor de forma de la sección para deformaciones de corte.
(acortamiento)
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MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS GLOBALES PARA UNA BARRA ARBITRARIA "P"
a
′a
′b
bθaθaφ
γp
bφ
bxF
axF
bMbyF
ayF
M a
vavb
ub
ua
b
(paralela a ab)
a’ b’ : Barra en posición deformada. a b : Barra en posición inicial.
FF
MFF
M
kk kk k kk k k kk k k k kk k k k k k
uv
uv
x a
ya
a
x b
yb
b
a
a
a
b
b
b
=
11
2 1 22
3 1 32 33
4 1 42 43 44
51 52 5 3 5 4 55
6 1 62 63 64 6 5 6 6
φ
φ
simbólicamente:
{ } [ {S K rp p p= ] }
[ ]K p : matriz de rigidez de la barra
"p" en coordenadas globales.
simétrica
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RELACIONES ENTRE LOS SISTEMAS DE COORDENADAS LOCAL Y GLOBAL
1. DESPLAZAMIENTOS
b,b'
a,a'
vb
va
b,b' b,b' b b' b,b'
a,a'
a' a' γ
a
ub
ua
a a,a' a,a'
φa
φb
b
b'
φ
φ
γ−γ−γγ
γ−γγγ−
γ−γγγ−
=
δθθ
b
b
b
a
a
a
b
a
v
u
v
u
0sencos0sencos
1L
cosL
sen0L
cosL
sen
0L
cosL
sen1L
cosL
sen
En forma matricial : { } [ ]{ }ε P p pa r=
2. ESFUERZOS
Fxb
Fyb
Fxa
Fya
Mb
Ma
F
F
M b
Ma
γγγ
γγγ
γγγ
γγγ
=
−−−
−
−−
FM
M
M
FF
M
FF
b
b
yb
xb
y
x
010
senL
cos
L
cos
cosL
sen
L
sen001
senL
cos
L
cos
cosL
sen
L
sen
aa
a
a
En forma matricial : { } [ ] { }S ap pT
p= σ
3. RIGIDEZ
{ } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] [ ][ ]{ }S a a a a rp pT
p pT
p p pT
p p p= = =σ εk k
=Κ pp
Tpp aa k MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA BARRA
EN COORDENADAS GLOBALES
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BARRA CON NUDOS ARTICULADOS
En extremo articulado : M = 0
Esta condición estática permite expresar el giro en dicho nudo en función de los restantes grados de libertad.
Dicho procedimiento de eliminación se denomina CONDENSACION ESTATICA. Las reacciones de empotramiento perfecto deberán ser consistentes con el sistema de grados de libertad independientes.
CONDENSACION ESTATICA
CASO
{σp}
{εp}
[k p]
{rp}
{ap} c = cos γ s = sen γ
L = Largo
MODELO PARA CALCULO DE
{ }R
MMN
a
b
θθδ
a
b
k kk k
k
11 12
21 22
33
00
0 0
uv
uv
a
a
a
b
b
b
φ
φ
− −− −
− −
S L C L S L C LS L C L S L C LC S C S
1 00 10 0
MN
b
θδ
b
33
22
00*
kk
uvuv
a
a
b
b
φ b
− −− −
S L C L S L C LC S C S
10
MN
a
θδ
a
k
k11
33
0
0
*
uv
uv
a
a
b
b
φa
− −− −
S L C L S L C LC S C S
10
{ }N
{ }δ
[ ]k33
uvuv
a
a
b
b
C S C S− −
22
2
121111
*kk
kk −=
11
2
212222
*kk
kk −=
a b p
a b p
a b p
p b a
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MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
Aplicando los tres principios básicos de análisis estructural:
1.) COMPATIBALIDAD
{ }ε p [ ] { }= a rpp
(1)
2.) CONSTITUVIDAD { }σp [ ] { }= k p ε p
(2)
3.) EQUILIBRIO Vía desplazamientos virtuales. { }ε p [ ] { }= a p rp
(3)
{ } { }r RT { } [ ]==
∑ ε σpT
pp
NB
1
; NB = Nº de barras
(4)
Ec. (3) en (4) :
{ } { }r RT
{ } [ ] { }==
∑ r apT
pT
pp
NB
σ1
(5)
(2) en (5) :
{ } { }r RT { } [ ] [ ] { }==
∑ r apT
pT
p pp
NB
k ε1
(6)
(1) en (6) :
{ } { }r RT { } [ ] [ ][ ][ ]
{ }==
∑ r a a
K
rpT
pT
p
p
p
NB
pk p1 244 3441
(7)
Pero: { }rp [ ] { }= T rp [ ]; Tp es Booleana (8)
Para toda la estructura y considerando que { }r es arbitrario:
{ }R [ ] [ ][ ][ ]
{ }=
=
∑ T K T
K
rpT
p pp
NB
11 2444 3444
(9)
: Matriz de Rigidez de la Barra
: Matriz de Rigidez de la Estructura
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DETERMINACION DE [Κ] SEGUN EL METODO INDICIAL
4
b.10
b.11b.8
b.5b.4
b.9b.6 b.12
b.13b.7
b.3b.2
b.11 2
53
6 7 8
REPRESENTACION
- Se presentan bloques de submatrices de [3×3]
- Se incluyen las condiciones de borde.
R
=
r
b.13 b.12 b.11 b.10b.9b.8b.7b.6b.5b.4b.3b.2b.11
R
=
r
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CONDICIONES DE APOYO
1. DESPLAZAMIENTOS NODALES ESPECIFICADOS.
1.1 Apoyos fijos : valores nulos 1.2 Corrimientos de apoyo : valores especificados
Ecuación original: { } [ ] { }R K r= Grados de Libertad con desplazamientos especificados : s s sq1 2, , ,L
Ecuación modificada: { } [ ] { }R K r* * *=
en que:
[ ]i i i s s i s s i s sR R K r K r K rq q
*, , ,= − + + +
1 1 2 2L
i n i s s sq= ≠1 2 1 2, , , ; , , ,L Lpero
{ } { }r r r r rs s sq
* : , , ,vector suprimidas las componentes1 2
K
[ ] [ ]K : K * matriz suprimidas las filas y columnas s s sq1 2, , ,L
2. APOYOS ELASTICOS
El equilibrio en un grado de libertad “s”, en el cual existe un resorte de constante elástica Cs está dado por:
R K r K r K r C rs s s s n s sn
= + + + +1 21 2 L
generalizando para todos los grados de libertad:
[ ]R K C r
= +
\\
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EJEMPLO
3
x
y
1
4
2
2T
5M
4TM
3TM
0
5
1
Todas las barras:
EI
AE
L
L
L
L
TM
T
M
M
M
M
=
=
=
= ° =
= ° =
= ° =
= ° =
2
1 1
2 2
3 3
4 4
1000
100 000
0
1 0 5
2 90 3
3 90 4
4 90 4
.
.
.χ
γ
γ
γ
γ
barra : ;
: ;
: ;
: ;
MATRICES DE RIGIDEZ GLOBALES DE CADA BARRA
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
k ki i
T
i ia a6 6 6 3 3 3 3 6× × × ×
=
[ ]K 1 : Índices
9
87
6
54
80024004002400
24096024096000200000020000
40024008002400
24096024096000200000020000
←←←←←←
−−−−
−−
−−
[ ] =1a [ ] =k 1
−−
−
00100112000200
02001200
..
..
2000000
0800400
0400800
[ ]K 2:
654
121110
13330667667066703333300333330
66704446670444667066713330667
0333330033333066704446670444
←←←←←←
−−
−−
−−−−
[ ] =2a [ ] =k 2
−−−
0100101033330003333000333301033330
..
..
333333300033133367666067666331333
.....
[ ] [ ]K K3 4= : barra 3 barra 4 [ ] [ ]a a3 4= =
938271
156145134
10000375500037502500000250000
37501883750188
50003751000037502500000250000
37501883750188
←←←←←←
←←←←←←
−−
−
−−
−−−
−−−
01001010250002500025010250
..
..
[ ] [ ]k k3 4= = 1 0 0 0 5 0 0 0
5 0 0 1 0 0 0 00 0 2 5 0 0 0
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MATRIZ DE RIGIDEZ TOTAL
- Generación directa indicial. - Eliminación de filas y columnas 10 a 15, por condición de apoyo.
{ } [ ] [ ] [ ] { }σ p p p pa T r= k
188 0 375 -188 0 375 0 0 0
. . . . . . . . . 25000 0 0 -25000 0 0 0 0 . . . . . . . . . 1000 -375 0 500 0 0 0 . . . . . . . . 20632 0 292 -20000 0 0 . . . . . . .
S 58429 240 0 -96 240 I . . . . . . M 3133 0 -240 400 E . . . . . T 20188 0 375 R . . . . I 25096 -240 C . . . A 1800
[ ]=K
{ } { } [ ] { }
==
=
−
−
−−
−
001814.0
000071.0
011707.0
009214.0
000053.0
011851.0
037214.0
000053.0
115372.0
4
0
0
0
0
0
3
0
2
1; RKrR Barra Ma Mb N
1 2 3 4
-6.62 1.76 11.00 5.30
-2.20 -4.38 -3.00 6.20
2.88 -1.76
0 1.76
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CONDENSACIONES GEOMETRICAS
Reducción del número de grados de libertad independientes debido a condiciones geométricas. Vector de desplazamientos original : { }r Vector de desplazamientos independientes :{ }q Condiciones geométricas :{ } [ ]{ }r G q= Vector de fuerzas original :{ }R Vector de fuerzas asociadas a {q} :{ }Q Igualdad de Trabajos :
{ } { } { } { }{ } { } { } [ ] { }q Q r R
q Q q G R
T T
T T T
=
=
{ }para cualquier resulta:q ,
{ } [ ] { }Q G RT= por lo tanto :{ } [ ] [ ] [ ] { }Q G G qT= Κ Se define :[ ] [ ] [ ] [ ]Κ Κ= G GT
Matriz de rigidez condensada geométricamente.
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Ejemplos de Condensación Geométrica 1. Simetría
φb
vb
C
φa
va vc
φc
ucubua
0
0u
vv
uu
b
b
ca
ca
ca
=φ
=φ−=φ
=
−=
2. Antimetría Considerando la misma figura anterior, se tiene:
0v
vvuu
b
ca
ca
ca
=
φ=φ−=
=
3. Deformaciones axiales nulas 3a:
vevcva vdvb
uc ueudub
cφ dφa φb
ua
ae
ad
ac
ab
uu
uuuuuu
=
===
3b: γ
va φa b
ua
bb
Tbbbaaa vuvuoscosc0 φφ−−==δ
( )bagab vvtuu −γ+=∴
4. Elementos de rigidez infinita
2l1
φacua ub
c
φbva
vb
∞
u uu uv vv v
b a
c a
b a a
c a a
b a
c a
=== += + +==
ll l1
1 2
φφ
φ φφ φ
( )
5. Apoyos inclinados
φ a
ua
qa
va
∈
u qv q
a a
a a
= ∈= − ∈
cossen
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SINTESIS METODO DE RIGIDEZ
1. Determinación de las reacciones de empotramiento perfecto y formación de { }R
2. Para cada barra: a) Formar [ ]a p
b) Formar [ ]k p
c) Formar [ ] [ ] [ ]E ap p = k p
d) Formar [ ] [ ] [ ]K a EpT
= p p
e) Formar [ ]Tp dado por :
{ } [ ]{ }r T rp p=
(ensamble indexado)
f) Integrar [ ] [ ]K Kp en
[ ] [ ] [ ][ ]pp
NB
1p
Tp TKTK ∑
=
=
3. Inclusión de las condiciones de borde fijas.
4. Inclusión de los apoyos elásticos.
5. Formación de la matriz de condensación geométrica [ ] { } [ ]{ }qGr =:G
6. [ ] [ ] [ ][ ]GKGK T=
7. { } [ ] { }RGQ T=
8. { } [ ] { }QKq 1−=
9. { } [ ]{ }qGr =
10. Para cada barra : a) Formar { } [ ]{ }rr pP Τ=
b) Formar { } [ ]{ }ppp rS Ε=
c) Superposición de {Sp} con esfuerzos de la solución de empotramiento perfecto.
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III.- ESTRUCTURAS ESPACIALES
1. MARCOS ESPACIALES
Marco espacial es un conjunto espacial formado por una estructura de barras con conexión rígida en algunos o todos sus nudos y solicitaciones que provocan en la estructura esfuerzos axiales, esfuerzos de flexión según dos planos, esfuerzos de corte según dos planos y esfuerzo de torsión. Con el objeto de obtener la relación de rigidez para este tipo de estructuras haremos uso del método de generación directa geométrica. Obtendremos en primer lugar la matriz de rigidez de una barra en coordenadas locales, la que pre y post multiplicaremos por [T]T y [T] respectivamente, que corresponde a la matriz de transformación de coordenadas locales en globales. OBTENCION DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES (κ=0 ) En cada nudo de una estructura espacial existen seis grados de libertad (tres traslaciones y tres giros), según se muestra en la figura siguiente: Sistema Local de Coordenadas: ( )X Y Z, ,
X u x, , φ
Y v y, ,φ
Z w z, ,φ
b0 a
Consideremosuna barra p,ubicada entrelos nudos a y b:
X Zy son los ejes principales de inercia de la sección. Y es el eje longitudinal de la barra. Los doce grados de libertad los organizaremos de la siguiente manera:
{ }( )r u v w u v wp
Ta a a xa ya za b b b xb yb zb p
12 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
×
= ⟩φ φ φ φ φ φ
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20
GENERACION DIRECTA DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ (TRES COLUMNAS TÍPICAS)
Primera columna: ua = 1, resto cero
1
a b,b’
L
Z
X 123
EI
LZ 12
3
EI
LZ
62
EI
LZ
2
6LEIZ
Términos no nulos
KEIL
KEI
LZ Z
1 1 3 7 1 3
12 12, ,= =
−
KEIL
KEIL
Z Z6 1 2 12 1 2
6 6, ,=
−=
−
Quinta columna: φ ya
= 1, resto cero
φ ya = 1
a a, ′ b b, ′
Z
YX
GJL
GJL
Sólo son distintos de cero los siguientes términos:
KGJL
KGJL5 5 11 5, ,= =
−
G J representa la rigidez torsional de la sección (equivalente al EI en flexión). En secciones con simetría puntual (círculos o anillos) J coincide con el momento principal de inercia polar. En secciones sin simetría puntual se produce alabeo, lo que se traduce en fórmulas que no corresponden al momento de inercia polar:
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
21
FORMA SECCION J
b
t
t b≤
Jbt t
b& ,= −
3
31 0 63
bi
t bi i⟨⟨
ti
(seccion abierta)
Pared delgada no cerrada
∑=TROZOSºN
i
3ii
3tb
J &
b
t f
twh
Z
YX
J b ht t
bt htf w
w f&=
+2 2 2
tw
Z
X Y
t f
h
b
( )J ht btw f&= +13
23 3
Z
YX
(circular)
Jr
=π 4
2
Y
(anillo)
Z
X
trJ 32π=&
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
22
En estructuras de hormigón armado, LEONHARDT propone que J sea reducido a un 10% del valor teórico, debido a que por su baja resistencia a la tracción, el hormigón puede entrar en fase II en torsión, sin comprometer (por estar desacoplado) la resistencia a la flexión. Décima segunda Columna: φ Zb
= 1, resto cero
1
a,a’ b,b’
4EIL
Z2 EIL
Z
X
62
EIL
Z2
EIL
Z
Z
Sólo los cuatro términos no nulos:
KEIL
KEIL
Z Z1 12 2 7 12 2
6 6, ,=
−=
KEI
LK
EI
LZ Z
6 12 12 122 4
, ,= =
RELACION ENTRE EL SISTEMA GLOBAL Y EL SISTEMA LOCAL DE COORDENADAS Posición Inicial: Coincide el sistema local ( )x y z, , ; con el global ( )x y z, , .
Y Y, 0
X X, 0
Z Z, 0
0
Para efectuar la transformación de coordenadas, efectuaremos las siguientes rotaciones elementales: 1) Ubicamos la barra de modo que su eje longitudinal Y coincida con X (global),
su nudo “a” esté en el origen, su nudo “b” en el eje +X, su eje principal de inercia Z coincida con Z (global) y consecuentemente su eje principal de inercia X coincida con−Y (global):
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
23
X
Y1
aX1
Z1
b
Yb
b
Z
α
Con esta primera ubicación, podremos medir el ángulo α a partir del eje X, en sentido positivo.
2) Rotamos en torno al eje Z1 en el plano X-Y en un ángulo α, de modo que la
barra coincida con la proyección de la barra espacial en el plano X-Y .
α
Y2
X 2
Z2
b
Z
a
X
Y
3) Rotamos en un ángulo β en torno a X2 con el objeto que el eje longitudinal
coincida con el eje longitudinal de la barra en el espacio.
b Y3
X X2 3=
Z3
a
Z
X
β α
Y
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
24
4) Rotamos en torno a Y3 en un ángulo γ hasta que la barra coincida totalmente con la barra en el espacio.
Observemos según el plano X Z3 3− :
Y Y3 4=
γ
X 4
X 3
Z3Z4
Con la definición efectuada del vector de desplazamientos, se observa que los doce grados de libertad son subvectores de idénticas características en grupos de tres. Esto significa que si { r }(12x1) es el vector de doce grados de libertad en coordenadas globales con idéntica organización de { }r local, se cumple una relación de transformación geométrica del tipo:
{ }( )
[ ]( )
{ }( )
r T rp p p12 1 12 12 12 1× × ×
=
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
[ ]( )
T
t
t
t
t
p
p
p
p
p
p
12 12
3 3
3 3
3 3
3 3
×
×
×
×
×
=
La etapa 1 conduce a una relación de transformación geométrica del tipo: { } [ ]{ }r T r1 1= Similarmente : De la etapa 2 : { } [ ]{ }r T r2 2 1= De la etapa 3 : { } [ ]{ }r T r3 3 2= De la etapa 4 : { } [ ]{ }r T r4 4 3= De aquí se desprende:
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
25
{ } [ ][ ][ ][ ]{ }r T T T T r4 4 3 2 1=
Pero : { } { }r r4 =
Entonces : [ ] [ ][ ][ ][ ]T T T T T= 4 3 2 1
Cada uno de los [Ti]p es, a su vez, una matriz de (12×12) formada por cuatro submatrices de (3×3) ] [ti]p de (3×3), tal que: [ ]
( )[ ] [ ] [ ] [ ]t t t t t
p p p p p3 3
4 3 2 1
×
=
MATRICES DE TRANSFORMACION [ ] [ ] [ ] [ ]t t t t1 2 3 4, , ,
ETAPA 1
X Y, 1
YX1
Z Z, 1
[ ]( )
−
=× 100
001
010
t33
p1 { } [ ]{ }′=′ rtr 11
ZYX
ZYX
1
1
1
ETAPA 2
α
α
Y2Y1
X
Y
X2
X1
Z Z1 2,
[ ]( )
tp2
3 3
00
0 0 1×
= −
cos sensen cos
α αα α { } [ ]{ }′=′
122 rtr
1
1
1
2
2
2
ZYX
ZYX
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
26
ETAPA 3
ββ
Y3
Y2X X2 3,
Z3
Z2
[ ]( )
tp3
3 3
1 0 000×
=−
cos sensen cos
β ββ β
{ } [ ]{ }′=′233 rtr
2
2
2
3
3
3
ZYX
ZYX
ETAPA 4
4X
γ
γ Y Y3 4,X3
Z3Z4
[ ]( )
tp4
3 3
00 1 0
0×
=−
cos sen
sen cos
γ γ
γ γ { } [ ]{ }′=′
344 rtr
3
3
3
4
4
4
ZYX
ZYX
Obtenida la matriz de rigidez de una barra p en coordenadas globales, se utilizan los métodos de agregación matricial y condensaciones ya estudiados en estructuras planas para obtener la relación de rigidez de la estructura. Las técnicas de solución y la determinación de esfuerzos internos es la misma (idéntica) al caso plano, sólo cambiando las matrices y vectores respectivos.
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
27
CASOS PARTICULARES DE ESTRUCTURAS ESPACIALES
2. EMPARRILLADOS PLANOS
Estas son estructuras planas que reciben solicitaciones perpendiculares a ellas. Decimos que son planas no sólo porque los ejes longitudinales de las barras se encuentren situados en un mismo plano, sino porque además uno de los planos principales de inercia de todas las barras es precisamente el plano en que se encuentra la estructura. Ejemplo:
A
ACORTE A-A:
EMPARRILLADO
NO ES EMPARRILLADO
PLANTA
En la práctica profesional también se admite aproximar orientaciones similares como un emparrillado, pero trabajando con los momentos de inercia en relación al plano de la estructura. Definido así el modelo, apreciamos que sólo se pueden producir movimientos perpendiculares al plano. Consecuentemente se produce esfuerzo de flexión con deformaciones perpendiculares al plano, esfuerzo de corte perpendicular al plano y torsión. No existen los movimientos en el plano y los esfuerzos de flexión lateral, corte lateral y esfuerzos normales. Notar que estos últimos se obtendrían en forma exclusiva si este tipo de estructura estuviese solicitada únicamente por cargas contenidas en su plano (marco plano). Lo anterior demuestra que el emparrillado se complementa con el marco plano para restituir la estructura espacial. Si el plano de la estructura es el plano X-Y y las cargas actúan según Z, o según planos X-Z e Y-Z si fueran momentos, se tendrá: u = v = φz = 0 en todos los puntos, β = γ = 0 en todas las barras y la matriz de rigidez de (12×12) de una barra arbitraria se reduce a (6×6) vía condensación estática de los tres esfuerzos nulos en cada extremo de la barra. Estas estructuras se presentan en losas nervadas de piso, fundaciones, puentes y en modelos discretos simplificados de placas continuas.
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
28
3. ENREJADOS ESPACIALES
Corresponde a marcos espaciales en los que todas las barras están articuladas en sus extremos. La condición de condensación es estática y consiste en hacer nulos los tres momentos en cada extremo de la barra, con lo cual se pueden eliminar como grados de libertad independientes los tres giros de cada nudo, reduciéndose los grados de libertad sólo a las traslaciones u,v, w. Resulta conveniente generar la matriz de rigidez de (6×6) de la barra enrejada mediante el procedimiento siguiente:
GENERACION MATRIZ DE RIGIDEZ DE (6×6)
Sea una barra genérica “p” que conecta los nudos a y b :
X
Y
Z
0
Esta barra es biarticulada y para acciones nodales exclusivamente, experimenta sólo deformaciones axiales. Para esta barra :
{ }( )
{ }σp pN
1 1×
=
compresión positiva
{ }( )
{ }ε δp p
1 1×
=
acortamiento positivo
{ }( )
[ ]( )
{ }( )
σ εp p
1 1 1 1 1 1× × ×
= kp
[ ]( )k
p1 1×
=
A ELp p
p
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
29
obteniendo la relación: { }
( )[ ]
( ){ }
( )ε p pa r
1 1 1 6 6 1× × ×= p
en que: { }r u v w u v wp
Ta a a b b b p
=
Se determina:
{ } [ ] [ ] [ ][ ]( )
{ }R a a rP pT
p p
p
p=
×
k
Κ6 6
1 244 344EN COORDENADAS GLOBALES
Obtencion de [ ]a p :
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]δ p p p p b b a a b b a a b b a aL L L X u X u Y v Y v Z w Z w= − = − + − + + + − + + + − +' 2 2 2
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]δ p p p p b a b a b a b a b a b aL L L X X u u Y Y v v Z Z w w= − = − − + − + − + − + − + −' 2 2 2
para pequeños desplazamientos: ( )( ) ( )( ) ( )( )δ p p p b a b a b a b a b a b aL L X X u u Y Y v v Z Z w w&= − + − − + − − + − −2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ p p pX u
L b aY Y
L b aZ Z
L b aL L u u v v w wb a
p
b a
p
b a
p&= − + − + − + −
− − −1 2 2 2 2
1 24444444444 34444444444
esto es pequeño, y 1 1 2+ = +ε ε& luego:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )δ p p pX X
L b aY Y
L b aZ Z
L b aL L u u v v w wb b
p
b b
p
b b
p&= − + − + − + −
+ − −1 2 2 2
Se definen los cosenos directores:
CX X
LC
Y YL
CZ Z
Lb a
p
b a
p
b a
p1 2 3≡
−≡
−≡
−; ;
( ) ( ) ( )∴ = − + + − + + − +δ p b a b a b aC u u C v v C w w1 2 3
Análisis Estructural Avanzado Tomás Guendelman Capítulo 1: Análisis Matricial Estructuras de Barras
30
escrito en forma matricial:
{ }{ } [ ]
{ }
δε
p
p a p
p
a
a
a
b
b
b p
p
C C C C C C
uvwuv
wr
= + + + − − −
1 2 3 1 2 31 244444 344444
Con lo cual:
[ ] [ ] [ ] [ ]a aAE
LpT
p p pp
p
k = =Κ
−−−−−−
−−−
33
3222
312111
33231333
3222123222
312111312111
CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC
CCCCCCCCCCCC
CONSIDERACIONES ESPECIALES
La solución de enrejados espaciales presenta con frecuencia problemas locales de inestabilidad matemática por la concurrencia, a nudos, de barras coplanares. Este problema podría requerir la incorporación de la teoría de grandes desplazamientos para su adecuada solución, pero habitualmente se trata sólo de un problema de inestabilidad aparente, que puede ser tratado con teoría de pequeños desplazamientos, utilizando cualquiera de los siguientes procedimientos:
a) Rotación de los grados de libertad de los puntos con singularidad, de modo que dos de ellos estén en el plano y el tercero sea perpendicular a dicho plano. Se puede posteriormente modificar el término de la diagonal correspondiente a este último grado de libertad o condensarlo por la vía de la eliminación de la fila y la columna respectiva de [K].
b) Agregar nudos adicionales desde los cuales se trazan barras de
rigideces arbitrarias conectándose con los puntos inestables. Estos nuevos puntos deberán ser tales de asegurar que estas barras sean perpendiculares al plano que contiene el punto singular.
SIMETRICA