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7/24/2019 capitulo03 - econometria 1
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Anlise de Regresso MltiplaAula 14/04/2014
Prof. Moiss A. Resende Filho
Introduo Econometria (ECO 132497)
14 de abril de 2014
Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 1 / 21
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Inexistncia de vis de MQO
At agora assumimos que:
RLM.1: y=0+1x1+2x2+ . . .+kxk+ u(o modelo linearnos parmetros)
RLM.2: temos uma amostra f(xi1 , xi2 , ..., xik, yi) : i=1, ..., ngaleatriaretirada da populao, o que suciente para
E(uijxl1 , xl2 , ..., xlk) =0, i6=l.RLM.3: colinearidade no perfeita => n(k+1), cada varivelexplicativa apresenta variabilidade na amostra e nenhuma varivel uma combinao linear das demais variveis explicativas.
RLM.4: E(uijxi1,
xi2, ...,
xik) =0 (a mdia condicional do erro zero).
Sob RLM.3 possvel calcular as estimativas MQO a partir da amostra.Sob RLM1 a RRLM.4 E(
bj) =j,j=0, 1, ..., k (Teorema 3.1)
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Vis de varivel omitida
Se apenas a varivel xkfoi omitida, ento:
ej=
bj+
bk
ej
e E(ej) = j+kejonde
ej o coeciente de xj, j=1, ..., k 1 na regresso auxiliar de xk
sobre as demais variveis explicativas do modelo.
O vis de varivel omitida E(ej) j= kej.
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Vis de varivel omitida
EXEMPLO:No no exame nal e faltas nas aulasAmostra de 680 alunos em "introductory microeconomics"naMichigan State University em vrios anos.
A frequncia dos estudantes foi registrada eletronicamente e
monitorada por monitores da disciplina.nal a nota na prova nal na distiplina em um total de 40 pontos.
missed o nmero de aulas que o estudante faltou em um total de 32aulas.
Baixe os dados (disponveis no formato Stata emhttps://sites.google.com/site/rese0013/attend.dta) para o seucomputador e clique sobre o arquivo para abrir o Stata.
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Vis de varivel omitida
Primeiro regredimos nal em missedem uma regresso linear simples.
_cons 26.59882 .2625929 101.29 0.000 26.08322 27.11441 missed -.1209031 .0328317 -3.68 0.000 -.185367 -.0564391
final Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 15061.9471 679 22.1825435 Root MSE = 4.6669 Adj R-squared = 0.0182
Residual 14766.5951 678 21.7796387 R-squared = 0.0196 Model 295.352008 1 295.352008 Prob > F = 0.0002
F( 1, 678) = 13.56Source SS df MS Number of obs = 680
. regress final missed
dnal = 26.60 0.121 missedn = 680
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Vis de varivel omitida
Adicionamos agora a varivel priGPA(IRA at incio da disciplina de 0 a4) para controlar para a qualidade do aluno.
_cons 17.41567 1.000942 17.40 0.000 15.45035 19.381 priGPA 3.237554 .3419779 9.47 0.000 2.56609 3.909019 missed .0172012 .0341483 0.50 0.615 -.0498481 .0842504
final Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval]
Total 15061.9471 679 22.1825435 Root MSE = 4.3888
Adj R-squared = 0.1317Residual 13040.2229 677 19.2617768 R-squared = 0.1342 Model 2021.72415 2 1010.86207 Prob > F = 0.0000
F( 2, 677) = 52.48Source SS df MS Number of obs = 680
. regress final missed priGPA
dnal = 17.42+ .017 missed+3.24 priGPAn = 680
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Vis de varivel omitida
emissed =
bmissed+
bpriGPA
emissed
emissed =0.121: emissed negativo, quando o correto seriabmissed =0.017 (estimativa correta).ComobpriGPA =3.24, ento, emissed = 0.1210.0173.24 =0.0426 < 0(qualidade do aluno e faltas so negativamente correlacionados naamostra).De fato, dCorr(missed, priGPA) =0.427:
priGPA -0.4272 1.0000 missed 1.0000
missed priGPA
(obs=680). corr m sse pr GPA
O vis de varivel omitida priGPA
(+)
emissed()
< 0. Portanto, admitindo-se
que missed =0, omitir priGPAfaz com que, em mdia ouE(emissed) < 0, quando de fato deveria serzero.
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A varincia dos estimadores MQO
Assumindo RLM.5 (Homocedasticidade)
A varincia do erro u, seja l quais forem os valores de x1,
x2, ...,
xk
Var(ujx1 , x2 , ..., xk) =Var(u) =2
A suposio RLM.5 fundamental para se obter frmulas simples paraos estimadores da varincia dos estimadores de MQO e para a discusso de
ecincia de MQO.Sabemos que
bj =
i
brijyi
ibr2ij
= ibrij(0+1xi1+ ...+kxik+ ui)
ibr2ij= j+
i
brijui
ibr2ij, pois ib
rij= ibrijxil=0, l6=j
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A varincia dos estimadores MQO
Assim, sob RLM.1 a RLM.5:
Var(bj) = Varj+ ibrijuiibr2ij
!= Var(j) +Var
ibrijui
ibr2ij != iVar
1
i
br2ijbrijui
!
= 1ibr2ij!2
ibr2ijVar(ui)=
2
i
br2ij
(1)
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A varincia dos estimadores MQO
THEOREM (Varincias amostrais dos estimadores MQO dasinclinaes)Sob as suposies RLM.1 a RLM.5 (hipteses de Gauss-Markov), econditional nos valores das variveis explicativas nas amostras,
Var(bj) = 2
ibr2ij = 2
STQj(1 R2
j)
,j=1, ..., k. (2)
pois ibr2ij =STQj(1 R2j), onde STQj= ni=1(xij xj)2 eR2j =1
ibr2ijSTQj
o R2 da regresso de xj em x1 , x2 , . .., xj1 , xj+1 , ..., xk,ou seja, uma regresso de xjsobre todas as outras variveis explicativas do
modelo de regresso de interesse.Note que a suposio RLM.3 elimina a possibilidade de R2j =1, queocorreria s se xjfosse determinado exatamente por uma funolinear das outras variveis explicativas.
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A varincia dos estimadores MQO
Os componentes que afetam a varincia
Var( j) = 2
STQj(1 R2
j)1. A medida que a varincia do erro (na populao), 2, decresse, Var( j)diminui. Uma forma de reduzir 2 adicionar mais variveis ao modelo,ou seja, retirar fatores inexplicados de ue passar a incorpor-los
explicitamente no modelo.
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A varincia dos estimadores MQO
Var(j) =
2
STQj(1 R2j)
2. A medida que a variao amostral total de xj, STQj, aumenta, Var( j)decresse. Em outras palavras, a estimativa do efeito de xj em ytorna-semais precisa se temos maior variao amostral em xj.
Como SQTj/n[ou SQTj/(n 1)] a varincia amostral defxij :i=1, ..., ng, ento, podemos assumir que
SQTjn2j
onde 2j > 0 a varincia populaciona de xj.Assim, podemos aumentar SQTjaumentando o tamanho da amostra,pois SQTj basicamente uma funo linear de n. [Dos trs componentesque afetam Var( j), este o nico que depende sistematicamente de n.]
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A varincia dos estimadores MQO
Var( j) = 2
STQj(1 R2j)
3. A medida que R2j !1, Var( j)! , quanto maior for a
multicolinearidade menos precisa sero as estimativas j.
R2j mede o quanto xjse relaciona linearmente com as outras variveisexplicativas.
Obtm-se a menor varincia de j quando R2
j =0:
Var( j) = 2SQTj
que a frmula do modelo de regresso simples.
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A varincia dos estimadores MQO
Um grco de Var( j) = 2
STQj
1(1R2j)
12R
10
Um R2
j muito prximo de 1 considerado um problema demulticollinearidade. Mas o que signica "muito prximo"de 1?Elevada multicollinearidade no viola nenhuma suposio deGauss-Markov.Em geral, uma medida para reduzir Var( j) aumentar o tamanho da
amostra.Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 14 / 21
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A varincia em modelos mal especicados
Tambm podemos estudar as varincias dos estimadores MQO em
modelos mal especicados. Suponha que tenhamos estimado osmodelos:
y= 0+ 1x1+
2x2 (3)
y= 0+ 1x1 (4)
Sabemos que:
Var( 1
) = 2
SQT1(1 R21) (5)
Var( 1) = 2
SQT1(6)
E(e1) = 1 2e1 e E( 1) = 1.Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 15 / 21
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A varincia em modelos mal especicados
Moral da histria
Se 2 6=0 e x1 and x2 so correlacionados na amostra (R21 > 0),
ento:
e1 viesadoe 1 no viesado, mas
Var( 1) = 2
SQT1 0),
ento:
e1 e 1 so ambos no viesados, mas
Var( 1) = 2
SQT1 |t| [95% Conf. Interval]
Total 165.656283 934 .177362188 Root MSE = .38609 Adj R-squared = 0.1595
Residual 138.779515 931 .149065 R-squared = 0.1622 Model 26.876768 3 8.95892266 Prob > F = 0.0000
F( 3, 931) = 60.10
Source SS df MS Number of obs = 935
. reg lwage educ IQ exper
[lwage = 5.198(.122)
+ .57108(.0073)
educ+ .0058(.0010)
IQ+ .0195(.0032)
exper
n = 935, R2 = .1622
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E i i d MQO
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Ecincia de MQO
TEOREMA 3.4. (Teorema de Gauss-Markov)Sob as suposies RLM.1 a RLM.5 (hipteses de Gauss-Markov), osestimadores MQO 0, 1, ..., kso os melhores estimadores linearresno viesadosou best linear unbiased estimators (BLUEs)
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MQO BLUE
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MQO BLUE
E (estimador): podemos computar uma estimativa a partir dos dadosna amostra, utilizando uma regra, no caso, o estimador MQO.
U (unbiased): Sob RLM1 a RRLM.4 E(bj) = j,j=0, 1, ..., k(Teorema 3.1). L (linear): O estimador MQO uma funo linear defyi :i=1, 2, ..., ng(poderia, sem problema, ser uma funo no linear dasvariveis explicativas), ou seja, pode ser posto na forma geralj=
ni=1wijyi, onde fwij :i=1, ..., ngso qualquer funes de
f(xi1 , ..., xik) :i=1, ..., ng. Tome o estimador MQO
bj=
ni=1brijyi
ni=1
br2ij
,j=0, 1, ..., k, dena wij=brij
ni=1
br2ij
, tal que
bj =
ni=1wijyi
(Linear)
B (best): O estimador possui a menor varincia dentre os estimadoreslineares, ou seja, sob RLM.1 a RLM.5 (hipteses de Gauss-Markov):
Var( j)Var(j)
para todo j(usualmente a desigualdade estrita).Moiss Resende Filho (ECO/UnB) (Wooldridge, seo 3.3 a 3.5) 14/04/2014 20 / 21
E i i d MQO
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Ecincia de MQO
Relembrar que: jcontinua no viesado se a suposio RLM.5 no sesustentar, o que tem duas consequncias:
1. As frmula para Var(
j)e, consequentemente, para ep(
j)se tornamerradas, ento: precisamos encontrar as frmulas corretas.2. Os esitmadores MQO j,j=0, 1, ..., kdeixam de ser BLUE: podemostentar encontrar estimadores melhores que MQO.
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