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CAPÍTULO 11 - NÚMEROS ÍNDICE
1. a) Sabemos que para construir um índice, devemos multiplicar o valor por 100 e dividir
pelo valor da base (que no nosso caso é 1.825.621):
1994: 62,67621.825.1
100567.234. =×1
1995: 69,73621.825.1
100234.345. =×1
1996: 26,56621.825.1
100123.027. =×1
1997: 100621.825.1
100621.825. =×1
1998: 21,108621.825.1
100454.975. =×1
1999: 08,96621.825.1
100141.754. =×1
Portanto, o índice referente ao valor das exportações desse país é:
ano índice de valor das exportações (base:
1997=100) 1994 67,62 1995 73,69 1996 56,26 1997 100,00 1998 108,21 1999 96,08
b) Para mudarmos a base do índice para 1994, basta procedermos da mesma forma que no
item a, a única diferença é que partiremos de uma seqüência de dados que já estão na forma de número índice. Para cada ano, então, basta multiplicarmos por 100 e dividirmos pelo valor do ano-base, que agora é 67,62 (1994):
1994: 67,62×62,67
100 =100
1995: 73,6962,67
100× =108,96
1996: 56,2662,67
100× =83,20
1997: 10062,67
100× =147,88
1998: 108,2162,67
100× =160,01
1999: 96,0862,67
100× =142,09
ano índice de valor das
exportações (base: 1994=100)
1994 100,00 1995 108,96 1996 83,20 1997 147,88 1998 160,01 1999 142,09
2. a) Para calcularmos a variação percentual em cada mês, basta dividirmos o índice do
período t pelo índice do período t-1, subtrairmos 1 e multiplicarmos por 100:
mês índice (base: jan/96=100)
Variação percentual
jan/99 410 fev/99 430
1001410430
×
−
4,88
mar/99 427 1001
430427
×
−
-0,70
abr/99 450 1001
427450
×
−
5,39
mai/99 478 1001
450478
×
−
6,22
jun/99 490 1001
478490
×
−
2,51
jul/99 465 1001
490465
×
−
-5,10
ago/99 481 1001
465481
×
−
3,44
b) Para transformar a base do índice, como já sabemos, basta multiplicar cada valor por
100 e dividir pelo valor do ano base (agosto de 1999 = 481). Portanto, temos:
Jan/99: 410 =481100
× 85,24
Fev/99: 430 =481100
× 89,40
Mar/99: 427 =481100
× 88,87
Abr/99: 450 =481100
× 93,56
Mai/99: 478 =481100
× 99,38
Jun/99: 490 =481100
× 101,87
Jul/99: 465 =481100
× 96,67
Ago/99: 481 =481100
× 100
mês índice (base: ago/99=100)
jan/99 85,24 fev/99 89,40 mar/99 88,77 abr/99 93,56 mai/99 99,38 jun/99 101,87 jul/99 96,67
ago/99 100,00 3. a) Índice de Laspeyres Sabemos que o índice de Laspeyres utiliza as quantidades iniciais. Portanto temos que:
L = 0370,11350014000
42000315001100032000415002
≅=×+×+××+×+×1000
Portanto a variação de preços calculada através do índice de Laspeyres é de 3,70%.
Índice de Paasche: Sabemos que no índice de Paasche, utilizamos a quantidade do período final. Portanto:
P = 9433,01410013300
4250031200150032500412002500
≅=×+×+××+×+×
Portanto, pelo índice de Paasche, a variação de preços foi de -5,67%.
Índice de Fisher: Este índice é a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche:
9890,09433,00370,1PLF ≅×=×= Portanto, pelo índice de Fisher, temos uma variação de preços de aproximadamente
-1,10%. Índice de Marshall-Edgeworth: Neste índice, utilizamos a média das quantidades iniciais e finais:
ME = ( )
( )∑
∑
=
=
+
+
n
1i
1i
0i
0i
n
1i
1i
0i
1i
qqp
qqp
Portanto, temos:
ME = 9891,02760027300
)20002500(4)15001200(3)1000500(1)20002500(3)15001200(4)1000500(2
≅=+×++×++×+×++×++×
Desse modo, pelo índice de Marshall-Edgeworth, temos uma queda de 1,09% nos preços. b) índice de Laspeyres:
L = 3469,12450033000
550023000320001010004500330005200012
≅=×+×+×+×
1000 ×+×+×+×
Portanto, pelo índice de Laspeyres, temos uma variação nos preços de
aproximadamente 34,69%. Índice de Paasche:
P = 3048,12100027400
57002250031500108004700325005150012800
≅=×+×+×+××+×+×+×
Dessa forma, pelo índice de Paasche, temos uma variação nos preços de 30,48%.
Índice de Fisher: F = 3257,1757,13048,13469,1PL ≅≅×=× Portanto, pelo índice de Fisher temos uma variação nos preços de 32,57%. Índice de Marshall-Edgeworth:
ME = 3275,1)500700(5)30002500(2)20001500(3)1000800(10)500700(4)30002500(3)20001500(5)1000800(12≅
+×++×++×++×+×++×++×++×
Portanto, pelo índice de Marshall-Edgeworth, a variação de preços foi de 32,75%.
c) Índice de Laspeyres:
L = 12350023500
100041500815005100041500615007
==×+×+××+×+×
Portanto, pelo índice de Laspeyres não houve variação nos preços. Índice de Paasche:
P = 0550,12180023000
8004120081800580041200618007
≅=×+×+××+×+×
Portanto, pelo índice de Paasche, houve uma variação de 5,5%.
Índice de Fisher: F = 0271,10550,11PL ≅×=×
Portanto, pelo índice de Fisher, houve uma variação nos preços de 2,71%. Índice de Marshall-Edgeworth:
ME = ≅+×++×++×+×++×++×
)1000800(4)15001200(8)15001800(5)1000800(4)15001200(6)15001800(7 1,0265
Portanto, pelo índice de ME houve uma variação de 2,65% nos preços.
4. Índice de Laspeyres:
L = 0739,16,179,18
3,0224,0203,0103,0254,0183,014
≅=×+×+××+×+×
L = 1014 0,3 + ×
2018
×0,4 + 2225
×0,3 ≅ 1,1209
Portanto, a variação de preços pelo índice de Laspeyres foi de 12,09%. Índice de Paasche:
P = 20,0
252260,0
182020,0
1410
1
×+×+×≅ 1,0147
Portanto, a variação de preços pelo índice de Paasche foi de 1,47%. 5. Para calcularmos a participação de cada bem no gasto total, devemos multiplicar o preço pela quantidade de cada bem e dividir pela soma do preço multiplicado pela quantidade de todos os bens, ou seja:
∑=
= n
i
ii
1
97i
97i
9797i97
qp
qpw
Portanto, teremos:
1997 preços quantidades pxq w % do gasto
bem 1 $15 1000 15000 0,21 21% bem 2 $20 1200 24000 0,33 33% bem 3 $25 800 20000 0,28 28% bem 4 $22 600 13200 0,18 18%
soma 72200 6. Como temos não as quantidades, mas as participações relativas no gasto em cada período, devemos calcular o índice de Laspeyres como uma média aritmética (ponderada) dos preços relativos:
≅×+×+×+×=×= ∑=
18,0222228,0
252433,0
202221,0
1516w
ppL
1i
97
i97
i
98
i98
n
1,0358
Portanto, em 1998 houve uma variação de preços de 3,58% em relação a 1997.
L99 = ∑ = =
×n
i 1
97
i97
i
99
i wpp
≅×+×+×+× 18,0222328,0
252333,0
202521,0
1518 1,11
Portanto, em 1999 houve uma variação de preços de 11% em relação a 1997.
L00 = ∑ = =
×n
i 1
97
i97
i
00
i wpp
≅×+×+×+× 18,0222528,0
252233,0
202621,0
1520 1,16
Portanto, em 2000 houve uma variação de preços de 16% em relação a 1997. 7. Sabemos que o índice de Fisher é a média geométrica dos índices de Laspeyres e Paasche:
PLF ×= O critério de reversibilidade implica a seguinte condição:
1FF 1001 =× Para atender a este critério, teríamos que:
1010010110100101 PLPLPLPL ×××=××× =
= 1101
00
11
10
10
11
00
01
==×××∑∑
∑∑
∑∑
∑∑
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
qpqp
qpqp
qpqp
qpqp
Portanto, o índice de Fisher atende ao critério de reversibilidade. O critério de circularidade implica que 021201 III =× . Vejamos se isto vale para o índice de Fisher:
≠×××=×××=×
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
=n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
n
iii
qp
qp
qp
qp
qp
qp
qp
qpPLPLFF
1
12
1
22
1
11
1
12
1
10
1
11
1
00
1
01
121201011201 I02
Portanto, o índice de Fisher não atende ao critério de circularidade.
Vejamos agora se ele tem a propriedade de que o índice de preços vezes o de quantidade é igual ao índice de valor:
Fp ×Fq = qq PLPL ××× = ∑∑
∑∑
∑∑
∑∑ ×××
01
11
00
10
00
11
00
01
qpqp
qpqp
qpqp
qpqp
= ( )( )200
211
∑∑
qp
qp =
∑∑
00
11
pp
= índice de valor
Portanto, esta propriedade é satisfeita pelo índice de Fisher.
8. Índice de Marshall-Edgeworth: ( )
( )∑
∑
=
=
+
+
n
1i
1i
0i
0i
n
1i
1i
0i
1i
qqp
qqp
Critérios de Fisher: I) Identidade: ME00 = 1
( )
( )1
qqp
qqpn
1i
0
i
0
i
0
i
n
1i
0
i
0
i
0
i
=+
+
∑
∑
=
=
Portanto, o índice de ME atende a esse critério. II) Homogeneidade: este critério implica que o valor do índice não deve ser alterado por alterações nas unidades de medida. O índice de ME atende a este critério, pois se trocarmos as unidades dos preços ou das quantidades, essa mudança se dará tanto no denominador quanto no numerador, mantendo o resultado final inalterado.
III) Proporcionalidade: se 0
i
1
i
pp são todos iguais a um certo valor, o índice também o será.
É fácil verificar que o índice de ME atende a este critério. IV) Determinação: O índice de ME atende a este critério, visto que tanto o numerador quanto o denominador são somatórios e, portanto, se apenas um preço ou quantidade for zero o total não o será. V) Reversibilidade: ME01 ×ME10 = 1
( )
( )∑
∑
=
=
+
+
n
1i
1i
0i
0i
n
1i
1i
0i
1i
qqp
qqp×
( )
( )∑
∑
=
=
+
+n
1i
1
i
0
i
1
i
n
1i
1
i
0
i
0
i
qqp
qqp=1
Portanto, o índice de ME atende a este critério. VI) Circularidade: ME01 × ME12 = ME02
( )
( )∑
∑
=
=
+
+
n
1i
1i
0i
0i
n
1i
1i
0i
1i
qqp
qqp×
( )
( )∑
∑
=
=
+
+n
1i
2
i
1
i
1
i
n
1i
2
i
1
i
2
i
qqp
qqp≠
( )
( )∑
∑
=
=
+
+n
1i
2
i
0
i
0
i
n
1i
2
i
0
i
2
i
qqp
qqp= ME02
Portanto, o índice de ME não atende a esse critério.
Índice de preços × Índice de quantidade = índice de valor
( )
( )∑
∑
=
=
+
+
n
1i
1i
0i
0i
n
1i
1i
0i
1i
qqp
qqp×
( )
( )∑
∑
=
=
+
+n
1i
1
i
0
i
0
i
n
1i
1
i
0
i
1
i
ppq
ppq≠ ∑
∑
=
=n
1i
0
i
0
i
n
1i
1
i
1
i
qp
qp=V
Portanto, o índice de Marshall-Edgeworth não atende a essa propriedade. 9. Índice geométrico simples:
IG = n
n
n
pp
pp
pp
0
1
0
2
1
2
0
1
1
1 ××× …
I) Identidade: IG00 = 1 Este critério é atendido pelo índice geométrico simples, pois nesse caso teremos raiz enésima de 1, que é igual a 1. II) Homogeneidade: Este critério é atendido pelo índice geométrico simples, pois se alterarmos a unidade de medida dos preços essa se dará tanto no numerador quanto no numerador e não alterará o resultado final. III) Proporcionalidade: Este critério também é atendido pelo índice geométrico simples, pois se todos os preços relativos forem iguais a um valor, o índice também o será. IV) Determinação: Este critério não é atendido pelo índice geométrico simples, uma vez que um único valor zero anula o valor total, já que estamos multiplicando os preços relativos. V) Reversibilidade: IG01× IG10 = 1
n
n
n
pp
pp
pp
0
1
0
2
1
2
0
1
1
1 ××× … × n
n
n
pp
pp
pp
1
0
1
2
0
2
1
1
0
1 ××× … =1
Portanto, IG atende ao critério de reversibilidade. VI) Circularidade: IG01 × IG12 = IG02
n
n
n
pp
pp
pp
0
1
0
2
1
2
0
1
1
1 ××× … × n
n
n
pp
pp
pp
1
2
1
2
2
2
1
1
2
1 ××× … = n
n
n
pp
pp
pp
0
2
0
2
2
2
0
1
2
1 ××× …
Portanto, o índice geométrico simples atende ao critério de circularidade. 10. a) mês salário
nominal (R$) Variação percentual dos salários nominais
janeiro 1.000,00 fevereiro 1.100,00 10% março 1.300,00 18,18% abril 1.650,00 26,92% maio 1.700,00 3,03% junho 2.000,00 17,65% b) mês índice de preços
(base: janeiro = 100)
Taxa de inflação (mensal)
janeiro 100 fevereiro 120 20% março 140 16,67% abril 170 21,43% maio 190 11,76% junho 220 15,79% c) Para determinar a variação percentual dos salários reais precisamos, antes de mais nada,
determinar os salários reais (!). E sabemos que para transformar valores nominais em valores reais, devemos deflacionar a série. Para fazer isso, basta multiplicarmos o salário nominal pelo índice do período-base e dividir pelo índice do mês em questão (tomaremos janeiro como período-base).
mês salário nominal
(R$) índice de preços (base: janeiro = 100)
salários reais (preços constantes de janeiro)
janeiro 1.000,00 100 1000,00 fevereiro 1.100,00 120 916,67 março 1.300,00 140 928,57 abril 1.650,00 170 970,59 maio 1.700,00 190 894,74 junho 2.000,00 220 909,09 E a variação percentual dos salários reais é mostrada abaixo: mês salários reais (preços
constantes de janeiro)
Variação percentual dos salários reais
janeiro 1000 fevereiro 916,6667 -8,33
março 928,5714 1,30 abril 970,5882 4,52 maio 894,7368 -7,81 junho 909,0909 1,60 11. a) Ano índice de valor das
importações (base: 1997=100)
1996 86,55 1997 100,00 1998 130,52 1999 99,18
b) Ano índice de
preços(base: 1990 = 100)
Taxa de inflação
1996 127 -1997 150 18,11%1998 171 14,00%1999 187 9,36%
c) Ano importações
(X$) índice de preços(base: 1990 = 100)
Valores reais das importações (a preços constantes de 1999)
1996 978.503 127 1.440.787,881997 1.130.544 150 1.409.411,521998 1.475.612 171 1.613.680,961999 1.121.300 187 1.121.300,00
12. Sabemos que:
Índice de valor = ∑∑
00
11
qpqp
Índice de quantidade de Laspeyres = ∑∑
00
10
qpqp
Índice de preços de Paasche: ∑∑
00
11
qpqp
Dividindo o índice de valor pelo índice de quantidade de Laspeyres, obtemos:
∑∑
00
11
qpqp
÷∑∑
00
10
qpqp
=∑∑
00
11
qpqp
×∑∑
10
00
qpqp
=∑∑
10
11
qpqp
Que é exatamente o índice de preços de Paasche. Portanto, temos que o índice de Paasche será 1,5 (120 80, índice de valor dividido pelo índice de quantidade de Laspeyres), o que significa uma variação de preços de 50%.
÷
13. Note que o exercício pede o percentual do orçamento representado por este produto na época do período base. Portanto, devemos utilizar o índice de preços de Laspeyres:
L = ∑ × 0i0
i
1i w
pp
Como houve um aumento de 20% no preço de um produto que significou um aumento de 0,5% no custo de vida, temos que:
2,5%0,0250,200,005w0,0050,20w 00 ===⇒=
Portanto, o percentual do orçamento representado por este produto na época do período base é de aproximadamente 2,5%. 14. a) Falso. Se há inflação o salário real sempre cai, desde que os salários nominais
aumentem menos que a inflação, ou se mantenham fixos. b) Falso. O índice de preços de Laspeyres compara o custo de aquisição em um certo
período da cesta de bens do período base com o custo de aquisição dessa cesta no período base.
c) Verdadeiro. O índice de Paasche compara o custo de aquisição num certo período de uma cesta de bens com o custo de aquisição desta mesma cesta (cesta essa do certo período) no período base.
d) Falso. O índice de preços de Laspeyres será maior que o de Paasche apenas se o coeficiente de correlação entre preços e quantidades for menor que zero.
e) Falso. Sendo uma média geométrica do índice de preços de Laspeyres e de Paasche, o índice de Fisher ficará situado entre esses dois índices.
f) Verdadeiro.