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CapΓtulo 2
Derivada de una funciΓ³n www.mathspace.jimdo.com
2.1. Preliminares
2.1.1. La pendiente de una recta secante a una curva
Sea una funciΓ³n π que pasa por los puntos π y π de coordenadas
π(π₯0, π(π₯0)) y π(π₯0 + β, π(π₯0 + β))
Figura 1. Recta secante que pasa por los puntos P y Q
La pendiente de la Recta Secante ππ ππ que pasa por los puntos P y Q estΓ‘ dada por la expresiΓ³n:
ππ ππ =π(π₯0+β)βπ(π₯0)
π₯0+ββπ₯0 =
π(π₯0+β)βπ(π₯0)
β
En CΓ‘lculo la expresiΓ³n anterior tambiΓ©n es conocida como la RazΓ³n de Cambio Promedio.
Cuando Q se acerca a P (β β 0), las Rectas Secantes se aproximan a la Recta Tangente en el punto P.
Figura 2. Recta tangente que pasa por el punto P
La pendiente de la recta tangente ππ‘ que pasa por el punto π estΓ‘ dada por la expresiΓ³n:
ππ‘ = limββπ
π(π₯0+β)βπ(π₯0)
β
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Siempre que el lΓmite exista y π estΓ© definida en un intervalo abierto que contiene a π₯0.
En CΓ‘lculo la expresiΓ³n anterior tambiΓ©n es conocida como la RazΓ³n de Cambio InstantΓ‘nea.
Ejemplo 1. Sea π(π₯) una curva que tiene como ecuaciΓ³n π(π₯) = πππ(π₯) y pasa por los puntos P (π
4, π (
π
4)) y
Q(π₯, πππ(π₯)). Escribir una ecuaciΓ³n que depende de βxβ que represente la pendiente de la secante que une a los puntos P y
Q.
SoluciΓ³n:
Ejemplo 2. Problema de aproximaciΓ³n de la razΓ³n de cambio instantΓ‘nea
La tabla muestra el nΓΊmero de tiendas de una cadena estadounidense de cafΓ© del 2000 al 2006. El nΓΊmero de tiendas
registradas es el nΓΊmero al comienzo de cada aΓ±o, en Enero 1.
t(aΓ±o) 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
S(tiendas) 1996 2759 3501 4272 5239 6177 7353
Determinar una aproximaciΓ³n razonable para la razΓ³n de cambio instantΓ‘nea de tiendas de cafΓ© por aΓ±o a principios del
2003 tomando el promedio de las pendientes de dos secantes cercanas.
SoluciΓ³n:
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2.2. Derivada de una funciΓ³n.
La expresiΓ³n π(π₯+β)βπ(π₯)
β se denomina tambiΓ©n Cociente Diferencial de π(π₯).
DefiniciΓ³n: La derivada de una funciΓ³n π(π) respecto de π es la funciΓ³n πβ²(π) (se lee: π prima de π) y estΓ‘
dada por:
πβ²(π₯) = limββπ
π(π₯ + β) β π(π₯)
β
El proceso de calcular la derivada se denomina derivaciΓ³n.
Se dice que π(π₯) es derivable en π₯0 si existe πβ²(π₯0), es decir si el lΓmite del Cociente Diferencial existe cuando π₯ = π₯0.
Ejemplo 3. Interpretando la pendiente de una curva
Dada la grΓ‘fica de la funciΓ³n determine un intervalo donde π(π₯) > 0 y πβ²(π₯0) < 0
Ejemplo 4. GrΓ‘ficas de funciones y sus derivadas.
Dada la grΓ‘fica de la funciΓ³n, que pasa por los puntos, A,B,C,D,E,F determine en quΓ© puntos de la grΓ‘fica:
a. limββπ
π(π₯+β)βπ(π₯)
β= 0
b. π(π₯)πβ²(π₯0) < 0
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Ejemplo 5. Identificando la derivada de una funciΓ³n.
Ejemplo 6. Averiguando cual funciΓ³n es la derivada.
Ejemplo 7. Trazando intuitivamente la derivada de una funciΓ³n.
Ejemplo 8. Visualizando derivadas.
Ejercicios: Use la definiciΓ³n de derivada en los siguientes ejercicios:
Ejercicio 1. Sea π(π) = ππ, hallar πβ²(π).
Ejercicio 2. Calcule la derivada de π(π) = βπ₯ y luego utilΓcela para:
a) Hallar la ecuaciΓ³n de la tangente a la curva π(π) = βπ₯ en π₯ = 4.
b) Hallar la razΓ³n de cambio instantΓ‘nea cuando π₯ = 1.
2.3. Funciones no derivables en un punto
Ejemplo 9. Determine si π(π) = |π₯| es diferenciable en (0,0).
πβ²(π₯) = limββπ
π(π₯ + β) β π(π₯)
β
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Ejemplo 10. En donde una funciΓ³n no es derivable.
2.4. NotaciΓ³n de la derivada Sea la funciΓ³n π = π(π)
NotaciΓ³n Derivada Derivada de π(π) cuando
π = π
NotaciΓ³n de Lagrange: π¦β² πβ²(π₯) πβ²(π)
NotaciΓ³n de Leibniz: ππ¦
ππ₯
π
ππ₯π(π₯)
π
ππ₯π(π₯)|
π₯=π
NotaciΓ³n de Cauchy: π·π¦ π·π₯π(π₯) π·π¦|π₯=π
NotaciΓ³n de Newton: οΏ½ΜοΏ½ πΜ(π₯) πΜ(π)
2.3. Teorema. Diferenciabilidad y continuidad. Si π es diferenciable en π₯0, entonces π es continua en π₯0 .
Nota: Si π es continua en π₯0, entonces no necesariamente π es diferenciable en π₯0.
Ejemplo 11. π(π₯) = |π₯|. ΒΏPor quΓ© f es continua mΓ‘s no diferenciable en un punto dado? ΒΏCuΓ‘l punto?
Ejemplo 12. π(π₯) = π₯2/3. ΒΏPor quΓ© g es continua mΓ‘s no diferenciable en un punto dado? ΒΏCuΓ‘l punto?
2.5. Γlgebra de Derivadas.
ΓLGEBRA DE DERIVADAS π
ππ₯(π(π₯) Β± π(π₯)) =
π
ππ₯π(π₯) Β±
π
ππ₯π(π₯)
π
ππ₯ππ(π₯) = π
π
ππ₯π(π₯); π: πΆπππ π‘πππ‘π
π
ππ₯(π(π₯)π(π₯)) = π(π₯) (
π
ππ₯π(π₯)) + (
π
ππ₯π(π₯)) π(π₯)
π
ππ₯(
π(π₯)
π(π₯)) =
π(π₯)(π
ππ₯π(π₯))βπ(π₯)(
π
ππ₯π(π₯))
[π(π₯)]2 ; π(π₯) β 0
π
ππ₯(π(π₯)π(π₯)) = π(π₯)π(π₯) [
π(π₯)
π(π₯)(
π
ππ₯π(π₯)) + πΏπ(π(π₯)) (
π
ππ₯π(π₯))]
πβ²(0) = limββπ
π(0 + β) β π(0)
β
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TABLA DE DERIVADAS
NΒΊ FUNCIΓN DERIVADA DERIVADA COMPUESTA
1 π¦ = π; π: πΆπππ π‘πππ‘π ππ
ππ₯= 0
2 π¦ = π₯ ππ₯
ππ₯= 1
3 π¦ = π₯π π
ππ₯π₯π = ππ₯πβ1
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯(π(π₯))π = ππ(π₯)πβ1
π
ππ₯π(π₯)
4 π¦ = ππππ(π₯) π
ππ₯ππππ(π₯)=
1
π₯ππππ(π)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππ(π(π₯))=
1
π(π₯)ππππ(π)
π
ππ₯π(π₯)
5 π¦ = πΏπ(π₯) π
ππ₯ πΏπ(π₯) =
1
π₯
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ πΏπ(π(π₯)) =
1
π(π₯)
π
ππ₯π(π₯)
6 π¦ = ππ₯ π
ππ₯ππ₯ = ππ₯πΏπ(π)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππ(π₯) = ππ(π₯)πΏπ(π)
π
ππ₯π(π₯)
7 π¦ = ππ₯ π
ππ₯ππ₯ = ππ₯
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππ(π₯) = ππ(π₯) π
ππ₯π(π₯)
8 π¦ = π ππ(π₯) π
ππ₯π ππ(π₯) = cos (π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯π ππ(π(π₯)) = cos (π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
9 π¦ = πππ (π₯) π
ππ₯πππ (π₯) = βπ ππ(π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯πππ (π(π₯)) = βπ ππ(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
10 π¦ = π‘ππ(π₯) π
ππ₯π‘ππ(π₯) =
1
πππ 2π₯
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯π‘ππ(π(π₯)) =
1
πππ 2(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
11 π¦ = πππ‘(π₯) π
ππ₯πππ‘(π₯) = βππ π2(π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯πππ‘(π(π₯)) = βππ π2(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
12 π¦ = π ππ(π₯) π
ππ₯π ππ(π₯) = sec(π₯) tan (π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯π ππ(π(π₯)) = sec(π(π₯)) tan (π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
13 π¦ = ππ π(π₯) π
ππ₯ππ π(π₯) = βππ π(π₯)πππ‘(π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππ π(π(π₯)) = βππ π(π(π₯))πππ‘(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
14 π¦ = ππππ ππ(π₯) π
ππ₯ππππ ππ(π₯) =
1
β1 β π₯2
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππ ππ(π(π₯)) =
1
β1 β (π(π₯))2
π
ππ₯π(π₯)
15 π¦ = ππππππ (π₯) π
ππ₯ππππππ (π₯) =
β1
β1 β π₯2
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππππ (π(π₯)) =
β1
β1 β (π(π₯))2
π
ππ₯π(π₯)
16 π¦ = ππππ‘ππ(π₯) π
ππ₯ππππ‘ππ(π₯) =
1
1+π₯2
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππ‘ππ(π(π₯)) =
1
1 + (π(π₯))2
π
ππ₯π(π₯)
17 π¦ = π ππβ(π₯) π
ππ₯π ππβ(π₯) = πππ β(π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯π ππβ(π(π₯)) = πππ β(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
18 π¦ = πππ β(π₯) π
ππ₯πππ β(π₯) = π ππβ(π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯πππ β(π(π₯)) = π ππβ(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
19 π¦ = π‘ππβ(π₯) π
ππ₯π‘ππβ(π₯) =
1
πππ β2(π₯)
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯π‘ππβ(π(π₯)) =
1
πππ β2(π(π₯))
π
ππ₯π(π₯)
20 π¦ = ππππ ππβ(π₯) π
ππ₯ππππ ππβ(π₯) =
1
βπ₯2 + 1
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππ ππβ(π(π₯)) =
1
β(π(π₯))2 + 1
π
ππ₯π(π₯)
21 π¦ = ππππππ β(π₯) π
ππ₯ππππππ β(π₯) =
1
βπ₯2 β 1
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππππ β(π(π₯)) =
1
β(π(π₯))2 β 1
π
ππ₯π(π₯)
22 π¦ = ππππ‘ππβ(π₯) π
ππ₯ππππ‘ππβ(π₯) =
1
1 β π₯2
ππ₯
ππ₯
π
ππ₯ππππ‘ππβ(π(π₯)) =
1
1 β (π(π₯))2
π
ππ₯π(π₯)
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EJERCICIOS EN CLASE. Derivar cada una de las siguientes funciones:
1. π¦ = 6π₯2 β 2π₯ + 1
2. π¦ = β3π₯π β ππ₯π + ππ₯ + π₯β2
3. π§ = βπ₯ β 2βπ₯53+
1
2βπ₯2 + 14
β4
βπ₯+
10
π₯β π₯
4. π¦ = βπ₯ + βπ₯ + βπ₯
5. π¦ = β(1 β π₯)2 + βπ₯ β 1
6. π¦ = βπ₯ + β1
π₯
7. π‘ = log3 π₯ β log4(π₯ β 5) + log3(π₯10 β 3π₯)
8. π€ = πΏπ(π₯) + πΏπ(π₯2 β π₯) β ln (π₯ β1
π₯)
9. π¦ = πΏπ(π₯ππ₯) β πΏπ (π₯
ππ₯) + πΏπ(π₯)5
10. π§ = πΏπ9(π₯) β πΏπ(π₯9) + πΏπ(π₯ + ππ₯)
11. π¦ = πΏπβ1+π₯2
π₯2β1
12. π§ = βπ₯2 + 3π₯ + 2 β π ππ(π₯2 β 3π₯)
13. π§ = (π’3 + 1)5(π’3 β 2)8
14. π¦ = βπ₯ππ₯ + ππ₯+3π₯
15. π¦ = ππ₯+1πΏπ(π₯2 + 1)
16. π‘ = ππ₯3+1π ππ(πΏπ(π₯))
17. π‘ = (π₯ + 10)π΄πππ ππ(π₯ β 3)
18. π¦ = (π₯2 β 7)πΏπ(πΏπ(π₯2 β 7))
19. π§ = (3π‘)πππ 4(3π‘2) β π‘π ππ9(6π‘)
20. π¦ = 100π€(π€2 β 3)(π΄πππππ (π€ β 10))
21. π¦ = πππ (5π₯) + πππ 2(5π₯) β πππ ((5π₯)2)
22. π¦ = cos(π₯)π΄ππ π‘ππ(π₯) β π ππ(π₯ + 2) +
[csc (10π₯)]4
23. π€ = 9π₯2+2
π₯3+1
24. π¦ = [π₯3+3π₯2+π₯
π₯2β1]
10
25. π§ =1
β3π₯2+π₯
26. π¦ = βπ₯+1
π₯2β1
27. π¦ = (π ππ(π‘)
cos (2π‘))
3
28. π§ =1
4πΏπ (
π₯2
π₯2β4) β
1
π₯2β4
29. π€ =π‘π ππ3(ππ‘)
1+π‘
30. π§ =(3π‘2β6)
4
(2β2π‘2)5
31. π¦ = (π₯2β4
π₯β4)
1/2
32. π¦ =βπ€+1+3
(π€2+1)5
33. π¦ = π₯π₯
34. π¦ = ππ₯; r: constante
35. π¦ = (βx)cos (π₯β3)
36. π§ = (πΏπ(π₯ + 1))π΄πππ‘ππ(π₯)
37. π€ = (π₯2 + 10π₯)ππ π(π₯)
38. π¦ = (sec (π₯ β 2))πππ(π₯2)
39. π¦ = (βcot (π₯ + 2))π₯5
40. π¦ = (π₯ππ₯) βπ₯+13
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2.6. Derivada compuesta - Regla de la cadena. Si π¦ = π(π₯) es una funciΓ³n derivable de π’, y si ademΓ‘s π’ = π(π₯) es una funciΓ³n derivable de π₯, entonces π¦ = π(π(π₯)) es
una funciΓ³n derivable con
ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ’β
ππ’
ππ₯
O lo que es lo mismo:
π
ππ₯[π(π(π₯))] =
π
ππ’π(π(π₯)) β
π
ππ₯π(π₯)
Nota: Todos los ejercicios anteriores, se trabajaron usando la Regla de la Cadena. Observe la ΓΊltima columna de la Tabla
de Derivadas.
2.7. DerivaciΓ³n implΓcita. Es una tΓ©cnica que se usa para derivar funciones que no estΓ‘n dada en la forma usual π¦ = π(π₯) (forma explΓcita) o donde
resulta muy difΓcil despejar π en funciΓ³n de π.
Procedimiento:
1. Derivar ambos lados de la ecuaciΓ³n con respecto a π₯ (variable independiente).
2. Agrupar todos los tΓ©rminos que contengan ππ¦
ππ₯ en un lado de la ecuaciΓ³n y agrupar los demΓ‘s tΓ©rminos en el otro
lado.
3. Despejar ππ¦
ππ₯.
Ejemplo 13. Derivar implΓcitamente la funciΓ³n dada: π¦ + π¦3 β π₯ = 7.
π¦ + π¦3 β π₯ = 7 π
ππ₯(π¦ + π¦3 β π₯) =
π
ππ₯(7)
π
ππ₯(π¦) +
π
ππ₯(π¦3) β
π
ππ₯(π₯) =
π
ππ₯(7)
ππ¦
ππ₯+ 3π¦2
ππ¦
ππ₯β 1 =
0
ππ¦
ππ₯+ 3π¦2
ππ¦
ππ₯ = 1
ππ¦
ππ₯(1 + 3π¦2) = 1
ππ¦
ππ₯ =
1
1 + 3π¦2
Ejemplo 14. Derivar implΓcitamente la funciΓ³n dada: π₯3 + 4π₯π¦2 β 27 = π¦4.
Ejemplo 15. Encontrar la pendiente de la curva π₯3 = (π¦ β π₯2)2 en (1,2).
Ejemplo 16. Sea π β π = πΏπ(π) + πΏπ(π). Encuentre ππ
ππ.
Derivada interna
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Ejemplo 17. Encontrar la pendiente de la curva π₯2 + π¦2 = 4 en (β2, β2). Hacer una representaciΓ³n grΓ‘fica de la
curva y la recta que pasa por la curva y el punto dados.
2.8. Derivada de funciones inversas. Sea π una funciΓ³n inyectiva, si π es derivable en πβ1(π) y esa derivada es distinta de cero, entonces π es derivable en π y
se cumple que:
π
ππ₯πβ1(π) =
1
πππ₯
π[πβ1(π)]
Ejemplo 18. Derivada de logaritmo natural.
π¦ = πΏπ(π₯) Sea la funciΓ³n logaritmo natural. ππ¦ = π₯ Despejando π₯.
π
ππ₯ππ¦ =
π
ππ₯π₯ Derivando con respecto a π₯.
ππ¦ππ¦
ππ₯ = 1
ππ¦
ππ₯ =
1
ππ¦ Despejando
ππ¦
ππ₯.
ππ¦
ππ₯ =
1
π₯
Reemplazando ππ¦ = π₯.
Por tanto, π
ππ₯πΏπ(π₯) =
1
π₯.
Ejemplo 19. Derivada de seno inverso.
Ejemplo 20. Derivada de coseno inverso.
Ejemplo 21. Derivada de tangente inversa.
2.9. DerivaciΓ³n logarΓtmica. Es una tΓ©cnica usada con frecuencia para simplificar la derivaciΓ³n de π¦ = π(π₯) cuando π(π₯) tiene productos, cocientes o
potencias.
Procedimiento:
1. Tomar logaritmo natural en ambos lados de la ecuaciΓ³n.
2. Simplificar usando las propiedades de los logaritmos.
3. Derivar ambos lados de la ecuaciΓ³n.
4. Despejar π¦β².
5. Expresar la respuesta solo en tΓ©rminos de π₯. (la variable independiente).
Verificar: π
ππ₯πβ1(π₯) =
1
πππ₯
π[πβ1(π₯)]
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Ejemplo 22. Usar derivaciΓ³n logarΓtmica para derivar la funciΓ³n dada: π¦ =(2π₯β5)3
π₯2 βπ₯2+14
Ejemplo 23. Usar derivaciΓ³n logarΓtmica para derivar la funciΓ³n dada: π¦ =
Ejemplo 24. Usar derivaciΓ³n logarΓtmica para derivar la funciΓ³n dada: π¦ =
2.10. Derivadas de orden superior. La derivada de una funciΓ³n π¦ = π(π₯) es a su vez, una funciΓ³n πβ²(π₯). Si se deriva πβ²(π₯), la funciΓ³n resultante se llama
segunda derivada de f con respecto a x y se denota como πβ²β²(π₯) (se lee: f doble prima de x o f segunda de x). De manera
similar se define la tercera derivada de f(x), etc.
NotaciΓ³n:
Primera derivada π¦β² πβ²(π₯) ππ¦
ππ₯
π
ππ₯[π(π₯)]
Segunda derivada π¦β²β² πβ²β²(π₯) π2π¦
ππ₯2 π2
ππ₯2[π(π₯)]
Tercera derivada π¦β²β²β² πβ²β²β²(π₯) π3π¦
ππ₯3 π3
ππ₯3[π(π₯)]
Cuarta derivada π¦(4) π(4)(π₯) π4π¦
ππ₯4 π4
ππ₯4[π(π₯)]
Ejemplo 25. Sea π(π₯) = ππ₯5 β ππ₯3 + 2π₯ β 97. Encontrar todas las derivadas de orden superior de f(x).
Ejemplo 26. Determinar la razΓ³n de cambio de πβ²(π₯), si π(π₯) = π₯πΏπ(π₯) + ππ₯.
2.11. Valores extremos locales. Sea π(π₯) definida en un intervalo I que contiene a c.
1. π(π) es el mΓnimo de π en πΌ si π(π) β€ π(π₯) (βπ₯ β πΌ). (Valor mΓnimo local).
2. π(π) es el mΓ‘ximo de π en πΌ si π(π) β₯ π(π₯) (βπ₯ β πΌ). (Valor mΓ‘ximo local).
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Ejemplo 27. Sea π(π₯) = π ππ(π₯).
2.12. Valores extremos globales. (Consultar)
2.13. Teorema. Si f toma un valor extremo en c y es derivable en c, entonces πβ²(π) = 0.