1
Capítulo IV. Estadísticas cuánticas.
Lección 16Introducción a las estadísticas cuánticas. Partículas distinguibles e indistinguibles. Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac.
Lección 17Gas ideal de Fermi: electrones en metales.
Lección 18Gas ideal de Bose: el helio. Condensación de Bose-Einstein.
Lección 19Gas de fotones. Función de distribución de Planck
2
Lección 16
Introducción a las estadísticas cuánticas. Partículas distinguibles e indistinguibles. Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac.
3
Introducción a las estadísticas cuánticas. Partículas distinguibles e indistinguibles.
Hemos tratado partículas clásicas: (gas ideal diluido)
nº estados accesibles >> nº de partículas
El efecto de que las partículas sean distinguibles o indistinguibles es sólo estadístico:
N! : nº de permutaciones de N moléculas indistinguibles.
(muy difícil que coincidan en los mismos nos cuánticos)
Pero a altas densidades o bajas temperaturas sí puede ocurrir que varias partículas tengan los mismos nos cuánticos, y habrá que hacer consideraciones cuánticas sobre los estados permitidos.
Cuántica: propiedades de las funciones de onda de las partículas y de los estados en los que están
4
Introducción a las estadísticas cuánticas.
Sistema: 2 partículas 1,2 indistinguibles
)2,1(ΨEstán en un estado con función de onda:
Como son indistinguibles, al intercambiarlas:22
)1,2()2,1( Ψ=Ψ
Es decir, al cambiarlas, como mucho, cambia el signo de la función de onda: )2,1()1,2( Ψ±=Ψ
Estado simétrico:
Estado antisimétrico:
)2,1()1,2( Ψ+=Ψ
)2,1()1,2( Ψ−=Ψ
5
Introducción a las estadísticas cuánticas.
Sistema: 2 partículas 1,2, 2 estados posibles a,b.
)1()2()1,2(
)2()1()2,1(
ba
ba
φφφφ⋅=Ψ⋅=ΨEl sistema puede estar en los estados :
Partículas con función de onda antisimétrica: spin semientero, fermiones, estadística de Fermi-Dirac
Por tanto la función de onda del sistema será:
[ ][ ])1()2()2()1(
)1()2()2()1(
babaAA
babaSS
C
C
φφφφφφφφ
⋅−⋅=Ψ⋅+⋅=Ψ
Si a y b son el mismo estado: 0,0 ≠Ψ=Ψ= SAba φφ(Principio de exclusión de Pauli)
Partículas con función de onda simétrica: spin entero, bosones, estadística de Bose-Einstein
6
Introducción a las estadísticas cuánticas.
Número de estados accesibles para E=8ε : clásicas, fermiones, bosones
Ejemplo: Sistema de 3 partículas en niveles de energía E=nε, con n=1,2,...
1-32338ε4216Nº de estados:
1161348ε
1161258ε
1-31168ε
Bosones(i)
Fermiones(i)
Clásicas (d)
p3p2p1E
FD
B NΩ≥
Ω≥Ω
!!., ND
IndistClas
Ω=Ω
2!3
164 >>
7
Introducción a las estadísticas cuánticas.
Ω== −−
i
Ei
j
E ij eeZ ββ
estados niveles, degeneración
FD
B NΩ≥
Ω≥Ω
!Cuando el nº de estados accesibles sea muy grande, las estadísticas cuánticas tienden a la clásica (indistinguible)
FD
B NE Ω←
Ω→Ω∞→
!
FD
B ZNZ
ZE ←→∞→!
8
Obtención de las funciones termodinámicas.
Sistema de un componente, partículas indistinguibles sin interacción.
Método: número de estados y colectivo microcanónico
BEΩPara N y E dados:
: nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, sin límite al nº de partículas por nivel
FDΩ : nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, pero sólo una partícula por nivel
FDBE ´Ω≥Ω
Este tratamiento es complicado para N y E grandes y las restricciones anteriores (usar multiplicadores indeterminados)
Usamos el colectivo macrocanónico (µ, V y T dados) y se evitan las restricciones de N y E constantes. Consideramos como subsistema a un estado cuántico, junto con las partículas que lo ocupan. Estudiaremos la ocupación de cada nivel, y de ahí obtendremos las funciones termodinámicas.
∏=j j TVTV ),,(),,( µµ
(de un nivel de E)
Equivalente a lo que hicimos en el gas ideal con el colectivo canónico:
!1
1 NZZ N
moléculatotal ⋅=
9
Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac:Obtención de las funciones termodinámicas.
Sistema de un componente, partículas indistinguibles sin interacción.
Método: número de estados y colectivo microcanónico
BEΩPara N y E dados:
: nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, sin límite al nº de partículas por nivel
FDΩ : nº de formas distintas de dividir E entre las Npartículas, pero sólo una partícula por nivel
FDBE ´Ω≥Ω
Este tratamiento es complicado para N y E grandes y las restricciones anteriores (usar multiplicadores indeterminados)
Usamos el colectivo macrocanónico (µ, V y T dados) y se evitan las restricciones de N y E constantes.
Consideramos como subsistema a un estado cuántico, junto con las partículas que lo ocupan. Estudiaremos la ocupación de cada nivel, y de ahí obtendremos las funciones termodinámicas.
∏=j j TVTV ),,(),,( µµ
(de un nivel de E)
Equivalente a lo que hicimos en el gas ideal con el colectivo canónico:
!1
1 NZZ N
moléculatotal ⋅=
10
Estadísticas de Bose-Einstein y de Fermi-Dirac
Usamos colectivo macrocanónico
En F-D, para cada nivel de energía la ocupación, N, sólo puede ser 0 o 1.
= −
Nj
kTNkTVNEj eeTV j
,
//),(),,( µµ
Consideramos como subsistema a un estado cuántico, junto con las partículas que lo ocupan.Estudiaremos la ocupación de cada nivel, y de ahí obtendremos las funciones termodinámicas.
∏=j j TVTV ),,(),,( µµ
Equivalente a lo que hicimos en el gas ideal con el colectivo canónico:
!1
1 NZZ N
moléculatotal ⋅=
(de un nivel de E)
kTkTkTVEj eee j ///)( ,1 µµ λ =+= −
En B-E, no hay límite a la ocupación, N, de cada nivel de energía.
kTE
kTEkTEj j
jj
eee /
/22/
1
1.....1 −
−−
−=+++=
λλλ
1/ <− kTE jeλEsta serie converge si:
11
Estadística de Fermi-Dirac
∏=j j TVTV ),,(),,( µµ kTkTkTVE
j eee j ///)( ,1 µµ λ =+= −
Número medio de partículas en el sistema:
∂∂
=
∂∂=
∂∂=
j VT
j
VTVT
kTN,,,
lnlnlnλ
λλ
λµ
=j
jnN
1
1
1 /)(/
/
+=
+= −−
−
kTEkTE
kTE
j jj
j
ee
en µλ
λ
12
Estadística de Bose-Einstein
∏=j j TVTV ),,(),,( µµ
Número medio de partículas en el sistema:
∂∂
=
∂∂=
∂∂=
j VT
j
VTVT
kTN,,,
lnlnlnλ
λλ
λµ
=j
jnN
1
1
1 /)(/
/
−=
−−= −−
−
kTEkTE
kTE
j jj
j
ee
en µλ
λ
kTE
kTEkTEj j
jj
eee /
/22/
1
1.....1 −
−−
−=+++=
λλλ
13
Ocupación de los niveles de energía:Fermi-Dirac, Bose-Einstein, Clásica(Boltzmann)
1
1/)( +
= − kTEFD jen µ
1
1/)( −
= − kTEBE jen µ
kTECl
jen /)( µ−−=
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
FD
BEclásica
kTE j /)( µ−
n
14
Ocupación de los niveles de energía: Fermi-Dirac
1
1/)( +
= − kTEFD jen µ
-3 -2 -1 0 1 2 30
1
kTE j /)( µ−
nEj , T finitos:
→∞→
→−∞→
1
0
j
j
n
n
µµ Densidad cero, N/V→0
Densidad infinita
Ej finito, µ cte, T →0 :
1
0
→<
→>
jj
jj
nE
nE
µµ
A T=0 todas las partículas llenan todos los estados hasta E=µ
Límite clásico:kTE
jjen /)(0 µλ −−→→ =
jjnN = −
j
kTE jeZ /
ZenNj
kTE
jj
j λµ === −− /)(
j
kTEj P
Ze
N
n j
==− /
Distribución de Boltzmann
En función de T
15
Ocupación de los niveles de energía: Bose-Einstein
1
1/)( −
= − kTEBE jen µ
kTE
kTEkTEj
j
jj
eee
/
/22/
1
1.....1 −
−−
−=+++=
λλλ
0/ 1 EEe jkTE j <∀<− µλEsta serie converge si:
kTe /µλ =
0,00:0 →→→<∀ NnTE jµ
0,0:0,0 >→→≈ jsinTE jµ
Nee
nNkTE
=−
=−
= − 11
11
/1/)(0 0 µ
Pero n0 puede ser todo lo grande que haga falta
Si hacemos NkTE /0 =− µ
A T=0 todas las partículas están en el estado fundamental.
( )0→T
Límite clásico:kTE
kTEjj
je
en /
/ /
10 −
− =→→ λλ
λ Todos los nj son muy pequeños: hay muchos más estados que partículas, como en la estadística de Boltzmann.
16
Obtención de las funciones termodinámicas
1
1/)( ±
= − kTEj jen µ
+ FD- BE
±
== −j
kTEj
j jenN
1
1/)( µ
±== −
jkTE
j
jjj
je
EnEE
1/)( µ
( )−±±==
j
kTE jekTkTVp /)(1lnln µEcuación de estado:
∏ ==j
jj j lnln
lnln
,
kT
kTSV
+
∂∂=
µ
( ) ( )[ ] ±−=j
jjjj nnnnkS 1ln1ln
17
Lección 17
Gas ideal de Fermi: electrones en metales.
18
Gas ideal de Fermi: electrones en metales
→ Si V grande, niveles E muy juntos, continuo de E
Gas de electrones en una caja: V=L3
Densidad de estados:εεπεεω dV
hm
d 2/12/3
2
24)(
=
∞
− +
=0
/)(
2/12/3
2 12
4 kTed
Vhm
N µεεεπ
Límite clásico:
3
2/322/3
2/
22
lnexp Λ=
=
−==VN
mkTh
VN
PkT
hmkT
e kT
ππλ µ
11 3 <<Λ⇔<<VNλ
19
11 3 <<Λ⇔<<VNλ
Pero.... masa e- << masa molécula: a 300K, 5000≈λ ¡¡ No vale lo cásico !!
Límite clásico de electrones sólo si T > 105K !!!A T.A. los electrones ya están en el límite de baja temperatura !!!! (ya están en el límite T→0)
A T=0, todas las partículas llenan los estados con E<µ.
Vhm
dVhm
N2/3
20
2/12/3
2
23
824
=
= µπεεπ
µ
Nº de electrones = Nº de estados cuánticos con E<µ
Nivel de Fermi: 3/22 38
=VN
mh
πµ (varios eV)
20
A T=0, todas la energía es cinética: µε NnEi
ii 53==
ENENdkT
kTPV32
52
)(0
==−=
−= µµεεωεµµPresión:
Entropía: A T=0, S=0
Si T>0: 3/22
0
2
0
20
38
,...125
153
==
+
+=
VNh
EkT
NE F ππµ
µπµ
TdTTC
S
kTNk
TE
CVN
V
∝=
=
∂∂=
0
2
, 2 µπ
21
Lección 18
Gas ideal de Bose: el helio.
Condensación de Bose-Einstein.
22
Gas ideal de Bose: el helio.
masa He >> masa electrón : loe efectos cuánticos no están a T.A., sólo a baja T
2/123
2,1
=Λ<<Λ
Tkmh
VN
π
La condición para comportamiento clásico es:
Para el helio líquido (4.2K): Λ3N/V =1.5, por tanto habrá efectos cuánticos.
La degeneración sólo será pequeña si hay baja densidad o alta temperatura.Tratamos el límite de degeneración débil: (usamos colectivo macrocanónico) →
kTe /µλ =
Λ−=
−=3
2/3
2ln
2ln
NV
TkNV
hTkm
Tkπµ
1,133
<<Λ=<<ΛV
NV
N λ
23
( )dEeEVhm
TkkTVp kTE
∞ −±
±==0
/2/12/3
21ln
22ln λπ
+ FD- BE
Gas ideal de Bose: el helio.
Ecuación de estado:
2/123
2,1
=Λ<<Λ
Tkmh
VN
π 13
<<Λ=V
Nλ
Para λ pequeño, desarrollando el lne integrando término a término:
≥Λ=
12/53
)1(1
j
jj
jkTp λ
VN
kTp =
Λ=→
3:0
λλGas ideal clásico monoatómico:
Funciones termodinámicas: (límite de degeneración débil)
+Λ=
+Λ±=
+Λ±=
....2
123
....2
123
....2
1
2/7
3
2/5
3
2/5
3
nkN
C
nkTNE
nkTnp
V
+Λ=
+Λ±Λ−=
+Λ±Λ=
....2
123
....2
ln25
....2
ln
2/7
3
2/7
33
2/3
33
nkN
C
nnkN
S
nnkT
V
µ Son series en:
2/3
3
−
Λ
T
n
n
24
Gas ideal de Bose: el helio.Ahora estudiamos el límite de alta degeneración: λ grande
1011
1/)(0 0
≤≤−
=−
= − λλ
λµ kTEe
n
Nº de moléculas en el estado fundamental: E0=0.
dEEVhm
dEE 2/12/3
2
22)(
= πω
∞
− +
=0
1/
2/12/3
2 12
2λ
πkTEe
dEEV
hm
N
Nº total de moléculas :
λkTEe /−Dentro de la integral multiplicamos numerador y denominador por
Desarrollamos en serie ( ) 1/1−−− kTEe
Integramos térmito a término
λµααπ α =−=
= −ekT
FVh
TkmN ,),(
22/3
2/3
2
RiemandejFejF
ejF
jj
j
j
j
ζσζα
α
σσ
σσσ
σσσ
≡===
=
≥
−
≥
−−
≥
−−
)()0(,)(
)(
11
1
25
Gas ideal de Bose: el helio.
Otra forma de hacerlo:
Suponemos densidad constante:
)10()()()( <>== λαµαα yparaTTNctenVN
λµα α =−= −ekT
,
En esta situación el nº de moléculas en el estado fundamental es desprecible frente a N
Nnn <<=−=→=−
= −− 60
660 1010110,
1λα
λλ
T alta: anteriorcasodelkT
Ngrandeµαα = )(
T baja: α dismunuye hasta su límite )(0,0 0 nTunaa−+ →→ µα
26
( ) ∞
− +
==0
/)(
2/12/3
220
12
2)()( kTe
dV
mgdDfN µε
εεπ
εεε
kTe /µλ =fugacidad:
( ) ∞
− +
=0
/1
2/12/3
220
12
2 kTed
Vmg
N ελεε
π
100 <<< λµConservación del número de bosones:
( ) ( ) NFVg
FTkmVg
N B =Λ
=
= )()(2
22 2/33
02/3
2/32/3
220 λλππ
...3322
)(32
12/32/3 +++=≡
∞
=
λλλλλr
r
rFdonde:
GAS DE BOSE:
27
11 3 <<Λ⇔<<VNλEn el límite clásico:
nos quedamos con el primer término del desarrollo en serie y
λ30
Λ= Vg
N Es decir, λ)( 03 gn =Λ
Análogamente:
( ) ( ) UFVg
TkFTkmVg
U BB =Λ
=
= )(23
)(4
322 2/53
02/5
2/52/3
220 λλππ
...3924
)(32
12/52/5 +++=≡
∞
=
λλλλλr
r
rFcon:
Comparando las dos expresiones:)()(
23
2/3
2/5
λλ
FF
TNkU B=
28
)()(
23
2/3
2/5
λλ
FF
TNkU B=
ξ
29
)(1
)( 2/32/5 λλ
λλ
FFdd =
ξ
0)0()0( 2/52/3 == FF
1)0()0(
2/3
2/5 →FF
612.2)1(2/3 =F 34.1)1(2/5 =F
612.2)1()1(' 2/32/5 == FF ∞=)1('2/3F
30
)(2/330 λFVg
NΛ
= pero con: 612.2)(0 2/3 ≤≤ λFN, V, T
612.20
3
>ΛVg
N¿... y si ???
* Cuando 612.2)(2/30
3
→=Λ λFVg
N , λ →1 y por tanto µ →0
Condensación de Bose-Einstein cuando T ≤ TBE :
612.2)( 03 gn =Λ
3/2
0
2
)(612.212
=
VgN
mTk BEB
π
31
T ≤ TBE : eNnN += 0
λλ
µ −=
+=
111
/0 kTen )1(
)(2/33
0 FVg
Ne Λ=
2/3
0 1
−=
BETT
Nn
2/3
2/3
2/5 )51.0(23
)1()1(
23
⋅⋅==
BEB
eB T
TTNk
NN
FF
TNkU
2/3
9.1
=
BEBv T
TNkC
32
33
34
Lección 19
Gas de fotones. Función de distribución de Planck
35
Gas ideal de Bose: fotonesRadiación electromagnética en equilibrio térmico.Sistema aislado, energía E.La frecuencia puede variar, N no está fijo.Fotón: spin=1, BE, 2 polarizaciones, degeneración 2. No tiene masa.
Sistema definido por E y V (no por N)
3
2
3
2 8)(
8)(
cdV
dGh
dppVd
ννπννπεεω ==
Densidad de estados: ννλ hEchhpmpE ==== ,//,2/2
Termodinámica:En equilibrio, S max respecto de N, con E y V ctes.
F (y G) min respecto de N, con P (y V) cte y T cte.
00,
==−=
∂∂ µµ
TNS
VE
36
∞
−=
0/
2
3 18
kThed
cV
N νννπ
∞
−=
0/
3
3 18
kThed
chV
E νννπ
función de distribución de energía del cuerpo negro, Planck 1900
( )∞
−−−=0
/23 1ln
8 ννπ ν dec
kTVpV kTh
9048
18 44
30
/
3
3
ππννπν
=−
= ∞
hkT
chV
ed
chV
E kThLey de stefan-Boltzmann, T4.
Energía total de la radiación
NkTEpVNkTEhckT
VN
sóloTdefcpEpVTCV
9.03/,7.2
202.116
.,3/,3
3
==≈
=
=≈
π
Entropía:
0)0(,34
0
3 ==∝=+=
+−==
TSTSTE
TpVE
S
pVTSENµ