REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DEL ZULIA
FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE ELÉCTRICA
DEPARTAMENTO DE POTENCIA
TRABAJO DE ASCENSO PARA OPTAR A LA CATEGORÍA DE PROFESOR AGREGADO CCAARRAACCTTEERRIIZZAACCIIÓÓNN DDEE LLAA CCAARRGGAA EENN SSIISSTTEEMMAASS
EELLÉÉCCTTRRIICCOOSS DDEE DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN
Prof. José Espina Alvarado Maracaibo, 14 de Marzo de 2003
Este Jurado, propuesto por el Consejo de la Escuela de Ingeniería Eléctrica y, aprobado por
el Consejo de la Facultad de Ingeniería, aprueba el Trabajo de Ascenso
“CARACTERIZACIÓN DE LA CARGA EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
DISTRIBUCIÓN”, que el Profesor José Espina Alvarado, portador de la cédula de
Identidad No. 9772753, presenta al Consejo de la Facultad de Ingeniería en cumplimiento
de los requisitos señalados en el Artículo 17 del Reglamento del Personal Docente y de
Investigación de la Universidad del Zulia, para optar a la Categoría de Profesor Agregado.
Maracaibo; 14 de Marzo de 2003.
Jurado Examinador:
Prof. Prof. Prof.
A mi amada y preciosa familia
iv
AAGGRRAADDEECCIIMMIIEENNTTOO
Dios es el dueño de la vida y de todo conocimiento, le doy gracias por permitirme
completar este sueño; pero más porque durante este tiempo me dio la ocasión de conocerle
en una dimensión real: El cristianismo. Gracias Padre por todas tus dádivas, por los talentos
que me regalaste, por la oportunidad de seguir viviendo, para alabarte y glorificarte en el
nombre de tu hijo Jesucristo, y por el Espíritu Santo que hoy, mañana y siempre me
acompañará en cualquier tarea o situación que le invocare con ese propósito. Amén.
v
RREESSUUMMEENN
ESPINA ALVARADO, José Rafael. “Caracterización de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución”. Trabajo de Ascenso para optar a la clasificación de Profesor Agregado. Universidad del Zulia, Facultad de Ingeniería. Maracaibo, 2003. 169 pp.
Este es el resultado de una investigación que comenzó siendo de carácter descriptivo para actualizar y reforzar el curso de Sistemas de Distribución del noveno semestre de la carrera de Ingeniería Eléctrica de la Universidad del Zulia, y terminó siendo aplicada después de conjugar herramientas de análisis con experiencias prácticas. Aunque el ingeniero de planeación del sistema está en libertad de escoger muchos elementos que intervienen en el diseño, no tiene esa ventaja cuando se trata de la Carga. Para caracterizar tan importante variable, debe disponerse de una serie de conceptos y procedimientos. Todo el contenido de esta obra persigue tal propósito, y para ello ha sido estructurada en dos partes: una sobre las generalidades y la otra avanzada, donde son desmentidos muchos enunciados aceptados tradicionalmente como leyes. La primera parte, sobre los Fundamentos de Caracterización de la Carga, consta de tres Capítulos que profundizan en los temas de Diversidad, Régimen de Carga y sus aplicaciones, en particular el problema de Balanceo donde se emplean técnicas avanzadas de análisis: Componentes Simétricas y Multiplicadores de Lagrange. En la última parte, Caracterización de Cargas no-lineales también de tres Capítulos, destaca la aplicación de la teoría de circuitos en el estudio de los principales problemas debidos a las Armónicas, extendiendo a ambientes no-sinusoidales los conceptos de valor eficaz, potencia promedio y factor de potencia.
vi
ÍÍNNDDIICCEE GGEENNEERRAALL
CONTENIDOS:
AGRADECIMIENTO .......................................................................................................... iv
RESUMEN............................................................................................................................. v
ÍNDICE GENERAL ............................................................................................................. vi
ADVERTENCIAS DE FORMA ........................................................................................ xiii
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1. DIVERSIDAD DE LA CARGA EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
DISTRIBUCIÓN.... ............................................................................................................... 5
1.1. Definiciones y Consideraciones Básicas................................................................ 5
1.2. El concepto de Demanda........................................................................................ 8
1.3. Declaración de la Demanda Máxima ................................................................... 12
1.4. Factores de Caracterización de la Diversidad. ..................................................... 14
1.5. Factores de Demanda y de Utilización................................................................. 23
CAPÍTULO 2. RÉGIMEN DE CARGA Y PÉRDIDAS.................................................. 29
2.1. Curvas de Duración de Carga y de Pérdidas........................................................ 29
2.2. Factores de Carga y de Pérdidas. ......................................................................... 32
vii
CAPÍTULO 3. APLICACIONES PRÁCTICAS DE CARACTERIZACIÓN
ELEMENTAL: TARIFACIÓN Y BALANCEO................................................................. 46
3.1. Tarifas Eléctricas.................................................................................................. 46
3.2. El problema del Balanceo. ................................................................................... 50
CAPÍTULO 4. CARACTERIZACIÓN DE LAS CARGAS GENERADORAS DE
ARMÓNICAS...................................................................................................................... 67
4.1. Definiciones y Consideraciones Básicas.............................................................. 68
4.2. Análisis de la Forma de Onda Distorsionada....................................................... 71
4.3. Factores de Caracterización de la Distorsión. ...................................................... 79
4.4. Fuentes de Armónicas. ......................................................................................... 83
4.5. Cargas Industriales Generadoras de Armónicas. ................................................. 86
CAPÍTULO 5. PRINCIPALES PROBLEMAS DEBIDOS A LAS ARMÓNICAS........ 93
5.1. Efecto sobre los Conductores............................................................................... 95
5.2. Efecto sobre los Transformadores...................................................................... 102
5.3. Efecto sobre la Eficiencia del Sistema. .............................................................. 106
5.4. Fenómenos de Resonancia. ................................................................................ 122
CAPÍTULO 6. REGULACIÓN PARA EL CONTROL DE ARMÓNICAS. ................ 129
6.1. Normativa Europea. ........................................................................................... 130
6.2. Normativa Americana. ....................................................................................... 137
6.3. Comparación entre la Norma Europea y la Norma Americana. ........................ 151
EPÍLOGO........................................................................................................................... 153
BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................... 155
viii
FIGURAS:
Figura 1-1. Diagrama unifilar de un Sistema Eléctrico de Distribución de operación radial. 6
Figura 1-2. Representación gráfica de una “Curva de Carga Diaria” hipotética, con
acercamiento al entorno del valor de demanda máxima. ............................................... 9
Figura 1-3. Representación gráfica de la CCD del Ejemplo 1-1.......................................... 12
Figura 1-4. PCD’s para grupos de dos, cinco, veinte y cien residencias en un área
suburbana de gran extensión. ....................................................................................... 15
Figura 1-5. Perfil de sistema resultante de la coincidencia interclase.................................. 17
Figura 1-6. Factor de Coincidencia como función del Número de Clientes Residenciales. 20
Figura 1-7. Representación gráfica de las Curvas de Carga Diaria (PCD’s) del Ejemplo 1-3,
donde se observa la coincidencia interclase................................................................. 21
Figura 1-8. PCD's de las dos Cargas y del alimentador usando la calculadora HP 48G. .... 23
Figura 1-9. Configuración centralizada del transformador de Distribución para 15 clientes.
...................................................................................................................................... 26
Figura 2-1. Representación de la Curva de Duración de Carga correspondiente al PCD
mostrado en la Figura 1-2. ........................................................................................... 30
Figura 2-2. Representación gráfica de la CDC del alimentador comercial del Ejemplo 1-1.
...................................................................................................................................... 32
Figura 2-3. Algunas formas generales de PCD's para clientes con Demanda Máxima al
mediodía....................................................................................................................... 36
Figura 2-4. Perfiles de Carga y de Pérdidas Escalonados.................................................... 40
Figura 2-5. Límites para los Factores de Pérdidas. .............................................................. 41
Figura 2-6. Validación de la relación FPr vs FC del Ejemplo 2-6. ..................................... 43
ix
Figura 2-7. Valores frontera del dominio restringido de la relación FPr vs FC del Ejemplo
2-6. ............................................................................................................................... 43
Figura 2-8. Curvas de Duración de Carga para los valores extremos de FC del Ejemplo 2-9.
...................................................................................................................................... 44
Figura 2-9. Validación de las relaciones obtenidas en el Ejemplo 2-7. ............................... 44
Figura 4-1. Forma de una onda distorsionada...................................................................... 69
Figura 4-2. Esquema de una red eléctrica con perturbadores. ............................................. 71
Figura 4-3. Onda distorsionada del Ejemplo 4-2. ................................................................ 76
Figura 4-4. Espectro que muestra la trascendencia de las múltiplas de la tercera armónica.
...................................................................................................................................... 77
Figura 4-5. El valor eficaz real es superior al medido por un instrumento que no sea de
tecnología RMS............................................................................................................ 79
Figura 4-6. Características de varias Cargas perturbadoras. ................................................ 85
Figura 4-7. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente de Graetz ideal que entrega
coriente directa a una Carga predominantemente inductiva.. ...................................... 87
Figura 4-8. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente seguido por un
condensador. ................................................................................................................ 87
Figura 4-9. Circuito para la atenuación de I5 e I7................................................................. 89
Figura 4-10. Diagrama de bloques general de planeación para la aplicación de puentes
rectificadores de 6 pulsos. ............................................................................................ 90
Figura 4-11. (a) Espectro de Frecuencia de horno arco de CA; (b) horno de arco de CA; (c)
horno de arco de CD. ................................................................................................... 91
Figura 5-1. Degradación de la tensión de la red debido a una Carga no-lineal. .................. 93
x
Figura 5-2. Desclasificación del cable contra la proporción de Carga armónica transportada
por él. ........................................................................................................................... 96
Figura 5-3. Identificación de la secuencia según la frecuencia de la componente en circuitos
trifásicos balanceados................................................................................................... 97
Figura 5-4. (a) Ondas de corriente de línea y de neutro determinadas por Cargas no-lineales
monofásicas . (b) Espectro de la coriente de fase. (c) Espectro de la corriente por el
neutro. .......................................................................................................................... 99
Figura 5-5. Desclasificación típica de un transformador que atiende Cargas no-lineales. 103
Figura 5-6. Forma de onda y espectro de la intensidad (CF = 3.33 y %THD = 76) de un Tx
de 25 kVA, 7200/12470Y-120/240 V, ensayado en vacío desde el lado de baja tensión.
.................................................................................................................................... 109
Figura 5-7. Transformador sin dispersión de flujo ni pérdidas en los devanados.............. 109
Figura 5-8. Relación entre el factor de potencia máximo y la Distorsión Armónica Total de
una instalación............................................................................................................ 112
Figura 5-9. Coordenadas de potencia aparente: (a) THD = 0, y (b) THD > 0. .................. 114
Figura 5-10. Regulador de luz para una lámpara halógena................................................ 115
Figura 5-11. Espectro de frecuencias de una lámpara incandescente controlada por
tiristores...................................................................................................................... 117
Figura 5-12. Pérdidas en por unidad del caso resistivo en función del factor de potencia y
la Distorsión Armónica Total..................................................................................... 119
Figura 5-13. Circuito monofásico tiristor-lámpara. ........................................................... 120
Figura 5-14. Flujo normal de las armónicas de corriente................................................... 123
Figura 5-15. Circuito de Cargas concentradas equivalente al de la Figura 5-14. .............. 124
xi
Figura 5-16. Curvas mostrando la impedancia debida a las Cargas y a la resistencia de los
conductores. ............................................................................................................... 124
Figura 5-17. Banco de condensadores involucrado en una resonancia serie. .................... 126
Figura 5-18. Características de impedancia del circuito serie............................................ 127
Figura 6-1. Selección del PCC desde donde otros clientes o consumidores pueden ser
servidos. ..................................................................................................................... 138
Figura 6-2. Procedimiento general para la evaluación de límites de Armónicas............... 140
Figura 6-3. Máximas fluctuaciones de tensión permisibles. .............................................. 147
Figura 6-4. Tensión Mellada. ............................................................................................ 148
Figura 6-5. Campos magnéticos ocasionando tensiones inducidas en circuitos telefónicos
cercanos...................................................................................................................... 149
Figura 6-6. Peso del TIF vs. Frecuencia. ......................................................................... 150
TABLAS:
Tabla 1-1. Elementos y componentes del Sistema Eléctrico de Distribución de acuerdo a la
función que desempeñan. ............................................................................................... 6
Tabla 1-2. Datos de la CCD del Ejemplo 1-1. ..................................................................... 11
Tabla 1-3. Datos de las CCD del Ejemplo 1-3..................................................................... 20
Tabla 2-1. Determinación de la CDC................................................................................... 31
Tabla 2-2. Determinación de la CDC en p.u........................................................................ 33
Tabla 2-3. Determinación de la CDP. .................................................................................. 35
Tabla 4-1. Resumen del efecto de la simetría en la estructura de la serie de Fourier. ......... 73
Tabla 4-2. Espectro de frecuencias en forma tabular correspondiente al Ejemplo 4-2........ 77
xii
Tabla 5-1. Secuencia de las armónicas de intensidad hasta el orden 51. ............................. 98
Tabla 5-2. Espectro de la tensión aplicada a la instalación control-lámpara incandescente.
.................................................................................................................................... 121
Tabla 6-1. Principales Normas relativas a las armónicas................................................... 134
Tabla 6-2. Clasificación de equipo según la norma IEC 61000-3-2. ................................. 135
Tabla 6-3. Límites de armónicas para aparatos.................................................................. 135
Tabla 6-4. Límites establecidos por la norma IEC 61000-3-4 para equipo trifásico. ........ 136
Tabla 6-5. Corriente admisible para la instalación completa según la norma 61000-3-4.. 137
Tabla 6-6. IEEE 519 Límites en la Distorsión de la Corriente en el ámbito de Distribución y
Subtransmisión........................................................................................................... 143
Tabla 6-7. Límites de distorsión de tensión de Distribución y Subtransmisión según IEEE
519-1992. ................................................................................................................... 146
Tabla 6-8. Sistema de baja tensión: clasificación y límites de Distorsión. ........................ 148
Tabla 6-9. Niveles de probabilidad de interferencia telefónica. ........................................ 151
Tabla 6-10. Prontuario de las áreas de influencia de las normas IEEE 519 e IEC 61000-3-
2/4............................................................................................................................... 151
xiii
AADDVVEERRTTEENNCCIIAASS DDEE FFOORRMMAA
Notación Formato
Cantidad Compleja Subrayado
Fasores Superrayado
Matriz-Vector Negrita
Parámetro-Variable Cursiva Notas: 1. Se ha procurado respetar genero y número en la construcción de las oraciones. Para ello se ha consultado permanentemente la página http://www.rae.es/ 2. Se han admitido algunos anglicismos según la novedad del tema tratado en idioma español. 3. Las referencias bibliográficas son reseñadas entre corchetes, [#]. 4. En todo el texto se emplea el punto (.) como separador decimal.
IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN
Como señala Espinosa [3], no obstante el ingeniero de planeación de un sistema
eléctrico está en libertad de escoger muchos elementos que intervienen en su proyecto, no
tiene esa ventaja cuando se trata de la Carga, la cual es definitivamente la más importante y
decisiva variable tanto en el diseño como en la operación de una red de Distribución de
electricidad.
Para caracterizar tan importante variable, debe disponerse de una serie de conceptos y
procedimientos cuyo conocimiento y aplicación hasta ahora ha dependido más de la
experiencia del ingeniero que de una referencia bibliográfica específica, donde se expongan
con profundidad para su consulta. Esta obra persigue tal propósito, y para ello ha sido
estructurada en dos partes: un tratamiento básico y otro avanzado donde, como se verá,
serán desmentidos muchos enunciados aceptados como leyes por algunos ingenieros
inadvertidos sobre el ámbito de operación del Sistemas de Potencia.
Así, se ha dividido el contenido en dos partes de tres capítulos cada una con gran
cantidad de planteamientos y ejemplos resueltos, usando técnicas de análisis matemático y
de teoría de circuitos no utilizadas, hasta ahora, para este contexto. La primera parte
considera los Fundamentos para una caracterización de la Carga, y la segunda es un
complemento que trata de desmitificar el problema para el caso de Cargas no-lineales.
Introducción. 2
En el primer Capítulo, se introducen los conceptos básicos para describir
técnicamente, o estimar, el comportamiento y características de la demanda eléctrica, en
forma individual o colectiva según el contexto y amplitud de planteamientos típicos de la
Distribución de electricidad. Ya en este primer acercamiento, a diferencia de la planeación
de Transmisión y Generación, destaca la importancia de la ubicación de la Carga además de
su magnitud.
El segundo Capítulo está dedicado a estudiar la relación entre la Carga del sistema y
las Pérdidas de potencia asociadas: los conceptos y modelos desarrollados están orientados
al aprovechamiento de la capacidad de los equipos en función de la Carga que alimentan,
así como a establecer la relación entre tal beneficio y el tiempo.
En el tercer Capítulo se estudian dos aplicaciones relevantes de los conceptos
formulados hasta entonces. Primero, para tarifar adecuadamente un servicio eléctrico, y
segundo, para caracterizar y resolver problemas de balanceo de carga (empleando por vez
primera en un libro de texto sobre este tema, técnicas avanzadas de análisis: Componentes
Simétricas y Multiplicadores de Lagrange).
Continúa la obra con el estudio de las Perturbaciones sobre el sistema a causa del tipo
de Carga que alimenta; específicamente, las características de la Carga como fuente de
contaminación armónica. Aunque no es objetivo de este trabajo elaborar un tratado sobre
Calidad de Potencia en Sistemas Eléctricos de Distribución, si busca revelar
responsabilidades dentro de ese contexto. Para ello se plantean tres temas: Caracterización
de las Cargas Perturbadoras o Generadoras de Armónicas, los Principales Problemas
debidos a ellas, y la Regulación aplicable para su control.
Introducción. 3
Al primero de estos tópicos, está dedicado el Capítulo 4. Allí se introducen los
conceptos básicos y los Factores necesarios para cuantificar el nivel de perturbación debido
al trabajo de Cargas no-lineales. Sobre este particular, considerando lo novedoso del
tratamiento de este tema en idioma español, se han respetado las siglas del inglés que sirven
de referencia en el área de Calidad de Potencia.
Sigue la exposición, con el estudio de los principales problemas debidos a tales
Cargas en el penúltimo (quinto) Capítulo de la obra. No de balde, es el más ilustrado y
exigente desde el punto de vista de análisis de circuitos. Aquí, por ejemplo, los conceptos
de Potencia promedio y factor de potencia son reformulados, y se llega a nuevas
conclusiones acerca de la relación geométrica entre ellos.
El último capítulo, sexto de este trabajo, es básicamente informativo. El objetivo del
mismo es presentar las regulaciones internacionales que en esta materia sirven de base para
establecer los límites y recomendaciones para el control de las armónicas debidas al
funcionamiento de Cargas no-lineales.
De cualquier modo, aunque para el problema de la Caracterización de la Carga es
imposible eludir el “arte” del ingeniero de planeación, el reto de usar “ciencia” en forma
decidida y sin miedo, seguro arrancará al uso final de la electricidad (la Carga) la mayoría
de sus secretos, y esto sin duda llevará a un mejor diseño y operación de todo el Sistema
Eléctrico de Distribución.
PARTE I. FUNDAMENTOS DE
CARACTERIZACIÓN DE LA CARGA EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
DISTRIBUCIÓN.
CCAAPPÍÍTTUULLOO 11.. DDIIVVEERRSSIIDDAADD DDEE LLAA CCAARRGGAA EENN SSIISSTTEEMMAASS EELLÉÉCCTTRRIICCOOSS DDEE
DDIISSTTRRIIBBUUCCIIÓÓNN..
Para diseñar o planear un Sistema Eléctrico de Distribución, el ingeniero debe
considerar la Carga, individual o colectivamente. La acción y efecto de determinar sus
atributos peculiares, de modo que claramente se distinga de otras define la Caracterización
de la Carga.
Aunque la Carga puede ser descrita por lecturas de instrumentos de medición que
registran varias cantidades eléctricas, el uso directo de tales registros es insuficiente para
una adecuada caracterización. Por esta razón se han desarrollado definiciones de
características particulares; pero la magnitud precisa de algunas características, en el caso
de Cargas individuales puede resultar un parámetro desconocido del sistema en estudio. Al
nivel de Distribución, la Carga de un cliente individual o grupo de clientes cambia en forma
constante y aleatoria. Como se verá más adelante, en Ingeniería de Distribución es común
usar aproximaciones basadas en información generalizada.
1.1. DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES BÁSICAS.
• Sistema Eléctrico de Distribución: Un Sistema de Distribución de potencia, como su
nombre lo indica, es el medio para distribuir la energía eléctrica desde los bloques de
suministro hasta los puntos de utilización. Pueden variar desde una simple línea que
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 6
conecte un generador con un solo consumidor, hasta una red automática que alimente
la zona más importante de la ciudad [3].
Tabla 1-1. Elementos y componentes del Sistema Eléctrico de Distribución de acuerdo a la función que desempeñan.
Sistema de Subtransmisión
Subestación de Distribución
Alimentador Primario
transformador de Distribución
Secundaria y Acometidas
Circuitos que se inician en subestaciones de gran potencia para alimentar
subestaciones de Distribución.
Reciben potencia de los circuitos de
Subtransmisión y transforman al nivel de tensión del alimentador
primario.
Circuitos que se inician en las subestaciones de
Distribución y proporcionan la ruta de flujo de potencia a los
transformadores de Distribución.
Transfieren la potencia reduciendo la tensión primaria al nivel de utilización de los
clientes.
Distribuyen potencia en el ámbito secundario
desde el transformador hasta su uso final.
Subestación deDistribución
Fuente de Gran Potencia
Subtransmisión
AlimentadoresPrimarios
Transformadoresde distribución
Secundaria
Acometidas
Lateral 1φ
Principal 3φ
Figura 1-1. Diagrama unifilar de un Sistema Eléctrico de Distribución de operación radial.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 7
Se acepta que un Sistema Eléctrico de Distribución, propiamente, es el conjunto
de instalaciones desde 120 V hasta tensiones de 34.5 kV encargadas de entregar la
energía eléctrica a los usuarios [3].
La Subtransmisión reúne características de Transmisión y Distribución, pues
como la primera, mueve cantidades relativamente grandes de potencia eléctrica de un
punto a otro, y como la segunda, proporciona cobertura de zona.
Los niveles de tensión de Subtransmisión van de 12 hasta 245 kV, pero en la
actualidad son más comunes los niveles de 69, 15 y 138 kV. El uso de tensiones más
elevadas está aumentando con rapidez, a medida que crece la aplicación de tensiones
de Distribución primaria más altas (por ejemplo, 25 y 34.5 kV [20]).
La Historia de los sistemas de servicio eléctrico ha mostrado que la tensión que
en principio fue de Transmisión paso ha ser de Subtransmisión, de la misma manera
que la tensión de Subtransmisión evolucionó para convertirse en el nivel actual de
Distribución primaria.
• Carga: La Carga, según la definición clásica en el contexto de Distribución, es la
parte del sistema que convierte la energía eléctrica a otra forma de energía, como por
ejemplo un motor eléctrico, el cual convierte la energía eléctrica en energía mecánica.
No obstante, debe quedar claro que este concepto involucra a todos los artefactos que
requieren de energía eléctrica para trabajar.
• Alimentadores Radiales: Un alimentador de Distribución radial se caracteriza por
tener una sola ruta para el flujo de potencia entre la fuente (subestación de
Distribución) y cada cliente. El principal inconveniente del sistema radial es su
exposición a largas interrupciones debidas a fallas de las componentes y la necesidad
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 8
de interrupciones planeadas repetidas para mantenimiento rutinario o para realizar
nuevas construcciones.
• Alimentadores en lazo o anillo: Más confiable que el arreglo radial, este tipo de
alimentador cuenta con un mínimo de dos trayectorias para el flujo de potencia entre
la fuente y cada cliente. Su empleo es necesario en la construcción de redes en baja
tensión.
1.2. EL CONCEPTO DE DEMANDA.
En Sistemas Eléctricos de Distribución la demanda es la intensidad de corriente, o
potencia eléctrica, relativa a un intervalo de tiempo específico, que exige la Carga del
sistema para funcionar. Ese lapso se denomina intervalo de demanda, y su indicación es
obligatoria a efecto de interpretar un determinado valor de demanda.
Así, la demanda es una cantidad cuya medida depende del caso de estudio: amperios
para la selección o reemplazo de conductores, fusibles, o de interruptores, ajuste de
protecciones y balanceo de Carga; kilovatios para la planeación del sistema, estudios de
energía consumida, energía no vendida, y energía pérdida; kilovoltamperios para la
selección de la capacidad de transformadores y alivio de Carga. Para estudios de
compensación reactiva puede convenir el registro de la demanda en kilovares.
Los intervalos de demanda, son típicamente de 15, 30 o 60 minutos. Los lapsos de 15
o 30 minutos se aplican comúnmente en facturación, selección de la capacidad de equipos,
estudios de balanceo y transferencia de Carga. El intervalo de 60 minutos, permite construir
“Perfiles de Carga Diarios” para el análisis de consumo de energía, determinar el
rendimiento de dispositivos, y también para elaborar un completo plan de expansión del
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 9
Sistema Eléctrico de Distribución. No obstante, la selección de fusibles y el ajuste de
protecciones puede exigir la medición de demandas instantáneas.
La relevancia de la relación entre la magnitud de la demanda y el intervalo de
medición correspondiente, puede entenderse mejor examinando la siguiente figura.
Figura 1-2. Representación gráfica de una “Curva de Carga Diaria” hipotética, con acercamiento al entorno del valor de demanda máxima.
Aquí, la curva que representa el comportamiento de esta demanda hipotética durante
todo el día tiene una forma continua, y está asociada a un grupo de “Cargas”. En este
sentido el valor de demanda máxima ocurre poco después de la hora 18, pero antes de las
18:15. Si se hubiera dispuesto un instrumento con intervalos de medición de 15 minutos, se
registraría como máximo el 97% del valor real, a las 18:15. Por otra parte, en el caso que el
instrumento midiera cada 30 minutos, el máximo registrado sería el 90% del valor real, a
las 18:30. Finalmente, si el intervalo de medición hubiera sido de 1 hora, el valor registrado
sería el 87% del máximo real, a las 18 horas.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 10
La sucesión de valores de demanda como función del tiempo se denomina Curva de
Carga, y su representación gráfica, Perfil de Carga; cuando tal sucesión corresponde a un
día entero se tendrán, respectivamente, una Curva de Carga Diaria (CCD) y un Perfil de
Carga Diario (PCD) como el de la Figura 1-2. Cabe destacar que el “Perfil” de la Curva de
Carga depende del procedimiento de medición.
La frecuencia y el método de muestreo pueden tener un impacto significativo. Con
este fin existen dos formas básicas de muestreo en la medición: discreto si el registro es de
Carga instantánea, o por integración si se registra la energía usada durante cada intervalo.
En el caso discutido previamente, el método de muestreo que usa el instrumento
hipotético es de tipo discreto puesto que el censo se realiza al final del intervalo propuesto
en cada caso. Esto comúnmente conduce a un muestreo errático de datos que tergiversa
dramáticamente el comportamiento de la Carga. Por contraste, la mayoría de los equipos
miden la energía usada durante cada intervalo, esto es, haciendo un muestreo por
integración.
Una Curva de Carga resultante de un muestreo discreto difícilmente es representativa
de un comportamiento individual o, él de un pequeño grupo. Sin embargo, según Willis
[14], el problema sobre el método de muestreo no es tan serio cuando la Carga que está
siendo medida es la de un alimentador o subestación.
Note que el área bajo un perfil continuo, corresponde a la energía total consumida por
la Carga ese día. En adelante y con el propósito de no hacer engorrosa la exposición, la
información de demanda dada en forma tabular o discreta corresponderá a una asignación
resultado de un muestreo por integración, donde el par tiempo - demanda en la tabla, por
ejemplo ( )dt, , indica que la demanda promedio es d durante el intervalo que finaliza en t.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 11
En consecuencia, el área bajo la curva escalonada correspondiente será efectivamente, la
energía consumida durante el día en consideración.
La mayoría de las Compañías de Electricidad distinguen el comportamiento de la
demanda sobre una base de clases, caracterizando cada clase con un PCD “típico”, el cual
representa el patrón de uso esperado o promedio de la Carga para un cliente de esa clase el
día de la demanda máxima del sistema, esto es, el día pico. Tales perfiles describen los
aspectos más importantes desde el punto de vista del planificador de Distribución: la
magnitud de la demanda máxima o pico de carga por cliente, la duración del pico, y la
energía total consumida.
Para propósitos de planeación, es una práctica común suponer que el comportamiento
de un perfil típico es cíclico.
Ejemplo 1-1. La siguiente tabla registra la CCD de un alimentador de Distribución de
clase comercial, el día pico del sistema asociado.
Tabla 1-2. Datos de la CCD del Ejemplo 1-1.
t [h] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
D [MW] 5.6 5.6 5.6 5.6 5.1 5.1 5.1 5.6 6.5 7.6 8.0 8.6 8.6 8.6 8.6 8.2 8.2 8.2 6.7 6.2 6.0 5.6 5.6 5.1 (a) Dibuje su PCD. (b) Determine la energía entregada (E) por el alimentador.
Solución.-
(a) Antes se ha establecido que los valores de demanda registrados en forma tabular
corresponden a un muestreo por integración. Luego, la representación es como se muestra
en la Figura 1-3.
(b) ∑∑==
==+−=24
1
24
1
)()()(tt
tDtDttE 1 159.7 MWh
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 12
Figura 1-3. Representación gráfica de la CCD del Ejemplo 1-1.
Con al menos dos Cargas diferenciadas, se define la Demanda Diversificada (Ddv) en
un intervalo dado a la suma de las demandas individuales en ese intervalo, dividida por el
número de Cargas del conjunto.1
1.3. DECLARACIÓN DE LA DEMANDA MÁXIMA
La Demanda Máxima (Dm), es la mayor de las demandas de una instalación o
sistema ocurridas durante un período de estudio especificado. La declaración de demanda
máxima debe indicar también el intervalo de demanda usado. Para el alimentador del
1 Tradicionalmente la bibliografía refiere esto como una “demanda promedio”, lo cual resulta ambiguo considerando que el término está reservado para otra característica (vea la sección 2.2). En cambio, como se verá más adelante, esta definición obedece a la acepción práctica del término “diversificada”.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 13
Ejemplo 1-1, la demanda máxima anual de 1 hora fue de 8.6 MW, y se sostuvo así durante
4 horas (una sexta parte del día pico).
El valor de más interés para planeación es el pico de carga anual, la máxima demanda
vista durante el año. Este pico es importante porque señala la máxima potencia que debe ser
entregada, y por tanto define las necesidades de capacidad para los equipos.
Por otra parte la declaración de demanda máxima es relativa al caso de estudio.
Cuando se refiere a un sistema que agrupa cierto número de Cargas, se define como
demanda máxima no coincidente, Dmnc, a la suma de los valores de demanda máxima de
cada una de las Cargas que forman el conjunto sin tomar en consideración su simultaneidad
en el tiempo; por contraste, la demanda máxima resultado de una contribución simultánea
de todas las Cargas se denomina demanda máxima coincidente, Dmc. En general estos
valores de demanda de grupo son diferentes, a menos claro, que las demandas máximas
individuales sean simultáneas en el tiempo. Algebraicamente, si se define la curva de
demanda como el vector
∑=
=n
i
i
1
DD . ( 1-1 )
Donde: ∑=
=m
j
jii d1
ˆ jeD ; j designa el orden de medición y debe corresponder a un mismo
intervalo de demanda para todas las cargas del grupo; m es el número total de mediciones;
jid es el valor de la j-ésima medición realizada a la Carga i de las n que forman el grupo;
je es el vector unitario cuya única componente no nula es la de la posición j.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 14
De este modo:
∑∑= =
=n
i
m
j
jid1 1
ˆ jeD ,
entonces:
∑=
=n
i
mimnc DD1
, ( 1-2 )
donde )max( iD=miD , y
)max(D=mcD . ( 1-3 )
En consecuencia, la demanda máxima diversificada2 está dada por:
nDD mc
mdv = . ( 1-4 )
La diferencia entre Dmnc y Dmc se denomina Diversidad de Carga, DC, y mide el error
absoluto cometido en un diseño para el cual Dmnc es la premisa.
mcmnc DDDC −= ( 1-5 )
1.4. FACTORES DE CARACTERIZACIÓN DE LA DIVERSIDAD.
Considere cien casas servidas desde el mismo segmento de un alimentador de
Distribución. Suponga que cada residencia tiene un PCD “picado”, errático, cada uno
ligeramente diferente debido a los distintos artefactos, horarios y preferencias de uso.
Cuando se superponen dos o más de estos perfiles, la resultante es otro con menos
2 En general, según se definió con anterioridad, la demanda diversificada para la medición j sería
ndDn
i
jijdv ∑=
=1
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 15
hendiduras; cuantos más perfiles se superpongan, se obtendrá una apariencia cada vez más
suave como puede observarse en la Figura 1-4.
Figura 1-4. PCD’s para grupos de dos, cinco, veinte y cien residencias en un área suburbana de gran extensión.
La escala vertical es la misma en todos los casos; note que mide la demanda diversificada. El pico de carga se reduce en la medida que el número de clientes aumenta (Fuente: [14]).
El pico de carga por cliente, o demanda máxima diversificada, cae a medida que
agregan nuevos clientes al grupo. Cada residencia tiene un breve, pero pronunciado pico
que rara vez es coincidente con otro dentro del mismo grupo, especialmente si es numeroso.
En fin, el pico del grupo ocurre cuando de la combinación de las Curvas de Carga
individuales se obtiene un máximo que es sustancialmente menor que la suma de los picos
individuales como puede verse en la Figura 1-4.
Esta tendencia de la demanda máxima diversificada de caer a medida que aumenta el
número de clientes está determinada por la coincidencia entre las residencias; a menor
coincidencia corresponde mayor diversidad.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 16
1.4.1. FACTORES DE COINCIDENCIA Y DE DIVERSIDAD.
Lo antes expuesto, puede ser cuantificado más claramente y constituye la motivación
para la definición de Factor de Coincidencia (FCn):
mnc
mdv
mnc
mc
DnD
DDFCn
)41( −
== . ( 1-6 )
Obviamente FCn ≤ 1. El Factor de Coincidencia de un grupo de Cargas, puede
interpretarse como la proporción única en la cual cada demanda máxima individual es
coincidente al tiempo del pico del grupo.
El comportamiento discutido arriba es denominado coincidencia intraclase. Los
clientes comerciales e industriales tienen comportamientos colectivos similares a los
discutidos para Cargas residenciales, pero naturalmente, con PCD’s representativos de esas
clases. Cualitativamente el fenómeno es el mismo, pero en general, desde el punto de vista
cuantitativo es completamente diferente.
También puede hablarse de coincidencia interclase. Una subestación o alimentador
que sirve a un gran número de clientes de diferentes clases no tiene un pico igual a la suma
de las demandas máximas individuales, dado que cada clase de clientes tiene su pico en
tiempos diferentes (vea la Figura 1-5).
Otra manera de cuantificar los comportamientos discutidos arriba la proporciona el
Factor de Diversidad (FDv) de un sistema. Se calcula por la relación entre las demandas
máxima no coincidente y máxima coincidente. Algebraicamente,
mdv
mnc
mc
mnc
nDD
DD
FCnFDv ===
− 1)61(
( 1-7 )
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 17
En contraste con el Factor de Coincidencia, FDv ≥ 1. El Factor de Diversidad mide la
dispersión entre las demandas máximas individuales de un grupo de Cargas, y se usa para
determinar la demanda máxima coincidente en el caso que las primeras son conocidas. Si
las Cargas que forman el grupo bajo consideración observan comportamientos disímiles,
FDv debe ser mucho mayor que 1.
412
20
44
3628
5260
68
76
8492
100
2 4 86 24222018161210 14
Sistema
ComponenteComercial
ComponenteIndustrial
ComponenteResidencial
Hora
Porcentaje del pico del sistema
Figura 1-5. Perfil de sistema resultante de la coincidencia interclase (Fuente: [20]).
La ventaja de la definición dada por ( 1-7 ) es que da una interpretación adimensional
de la Diversidad de Carga. Reconsidere la ecuación ( 1-5 ):
mcmcmcmcmnc DFDvDDFDvDDDC )1() 71 (
−=−⋅=−=−
mcDFDvDC )1( −=⇒ ( 1-8 )
A partir de este hecho el error relativo en la estimación para el diseño, cuando se
emplea Dmnc en lugar de Dmc, viene dado por:
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 18
)1(100% −= FDvε ( 1-9 )
Ciertamente, este error estará presente siempre que el sistema construido, o parte de
él, haya resultado de la aplicación de factores de seguridad y de reserva durante la etapa de
diseño.
1.4.2. FACTOR DE RESPONSABILIDAD.
A diferencia del carácter global del Factor de Coincidencia, el Factor de
Contribución o Responsabilidad (FR) es de carácter individual. Este factor interpreta la
fracción del máximo de cada Carga con la cual se contribuye al pico del grupo, esto es:
mi
pii D
dFR = , ( 1-10 )
donde, FRi es el Factor de Responsabilidad de la Carga i, y dpi es el valor de su demanda al
tiempo p del pico del grupo.
En la Figura 1-5 se observa que la componente con mayor responsabilidad en el pico
del sistema es la comercial seguida por la residencial; la componente industrial, contribuye
medianamente en ese momento. En cambio, los picos individuales coinciden en 80%
aproximadamente.
Pueden relacionarse ambos factores, el de Coincidencia y el de Responsabilidad,
reconsiderando la ecuación ( 1-3 ).
∑∑==
⋅==n
i
mii
n
i
pimc DFRdD11 ∑
∑
=
=
⋅
=⇒ n
i
mi
n
i
mii
D
DFR
FCn
1
1 .
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 19
Así, en el caso de Cargas compuestas con la misma demanda máxima individual, el Factor
de Coincidencia será la media aritmética de los Factores de Responsabilidad de las
componentes; por otra parte, cuando cada Carga del grupo tiene el mismo Factor de
Responsabilidad, éste equivale al Factor de Coincidencia.
Aunque lo anterior parezca una mera reflexión teórica, cierto tipo de Cargas pueden
aproximar alguna de esas condiciones. Para el primer caso, por ejemplo, asumiendo que
calentadores de agua no controlados, de igual capacidad, instalados, o recomendados por la
constructora de una vivienda multifamiliar de clase alta, representarán las Cargas
dominantes de los clientes, los diferentes hábitos de consumo llevarán a demandas
máximas individuales iguales, pero no coincidentes. En el segundo caso, puede pensarse en
los acondicionadores de aire de un grupo de clientes; aunque las demandas máximas de
cada cliente dependen de la capacidad de las unidades en cada vivienda, si tienen el mismo
perfil de uso los Factores de Responsabilidad y de Coincidencia serán iguales.
Ejemplo 1-2. La figura adjunta ha sido tomada de Espinosa [3], y fue presentada
originalmente en la referencia [12]. En ella se establece una banda de valores para el Factor
de Coincidencia de clientes residenciales.
¿Será de tipo residencial un grupo de 15 clientes con simultaneidad en sus picos de
66.7 %?¿Cuál es el error relativo de diseño?
Solución.-
De la observación de la Figura 1-6, para 15 consumidores:
45.035.0 ≤≤ FCn ,
según lo cual, tal grupo no puede corresponder a clientes de tipo residencial. Por otra parte,
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 20
50)1(100%5.132 =−=⇒=⇒≅ FDveFDvFCn
Figura 1-6. Factor de Coincidencia como función del Número de
Clientes Residenciales.
Ejemplo 1-3. Una subestación de Distribución está constituida por dos transformadores de
potencia cuyas CCD se especifican a continuación.
Tabla 1-3. Datos de las CCD del Ejemplo 1-3. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
D1 27.0 26.5 26.0 25.0 24.0 24.0 18.5 18.0 18.0 19.0 18.5 19.0 20.0 23.0 24.0 24.5 22.0 22.0 20.0 22.0 26.0 29.0 29.5 28.5
D2 23.0 22.0 22.0 22.0 21.0 20.0 19.0 22.0 26.5 27.0 28.5 30.0 29.5 31.0 32.5 32.0 30.0 28.0 26.0 26.0 25.0 25.0 26.0 25.0
Donde, el tiempo está en horas y las demandas en MW.
Dibuje los PCD’s de la subestación y los de ambos transformadores. Además, determine:
(a) FDv, FCn, FR1 y FR2; (b) DC y %ε.
Solución.-
[ ]553555054051048046050052556556054549049047046544040537044045047048548050 ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., ., .=+= 21 DDD
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 21
Figura 1-7. Representación gráfica de las Curvas de Carga Diaria (PCD’s) del Ejemplo 1-3, donde se observa la coincidencia interclase. Según, se observa la clase dominante en la subestación es del tipo comercial puesto que la demanda máxima ocurre en horas de
la tarde, a pesar que el transformador 1 tiene una importante característica de utilización residencial.
(a) == )max( DmcD 56.5 MW.
)max( 11 D=mD = 29.5 MW y )max( 22 D=mD = 32.5 MW.
21 mmmnc DDD +=⇒ = 62 MW.
De este modo,
5.5662
==mc
mnc
DDFDv = 1.097 911.01
==⇒FDv
FCn .
El 91.1% de la demanda máxima de cada transformador coincide para el pico de la
subestación.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 22
Por otra parte, dado que éste pico se sostiene durante dos horas, se consideran las demandas
de mayor responsabilidad3.
5.295.24
1
)1,16(1 ==
mDd
FR = 0.83 y 5.325.32
2
)2,15(2 ==
mDd
FR = 1.
Esto indica que el transformador 1 contribuye al pico de la subestación con el 83% de su
demanda máxima, mientras que el transformador 2 lo hace con el 100%.
(b) Finalmente,
=−= mcmnc DDDC 5.5 MW =
=
=⇒
625.5100100%
mcDDC
ε 8.87%.
El error relativo de la estimación es un excedente menor que 10%.
Ejemplo 1-4. Un alimentador radial sirve únicamente a dos Cargas. Los PCD’s de cada
una se modelan por las expresiones:
)24(2)20(4)14(2)7(6)(2)(y,)24(8)18(7)6(9)(10)(
2
1
−−−−−−−+=−−−+−−=
tutututututDtututututD
.
donde, las demandas son dadas en cientos de kVA, t está en horas, y u(t) es la función
escalón unitario.
a) Dibuje los PCD's de las dos Cargas y del alimentador.
b) Determine el Factor de Coincidencia de las Cargas. Interprete.
c) Determine los Factores de Responsabilidad de las Cargas que sirve el alimentador.
Interprete y comente.
3 Esta decisión se sustenta en la interpretación del concepto.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 23
Solución.-
a) )(1 tD y )(2 tD pueden escribirse
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ])24()20(2)20()14(6)14()7(8)7()(2)(
y,)24()18(8)18()6()6()(10)(
2
1
−−−+−−−+−−−+−−=−−−+−−−+−−=
tututututututututDtututututututD
En consecuencia,
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ])24()20(10)20()18(14)18()14(7
)14()7(9)7()6(3)6()(12)(−−−+−−−+−−−++−−−+−−−+−−=
tututututututututututututD
Así, gráficamente:
+
=
Figura 1-8. PCD's de las dos Cargas y del alimentador usando la calculadora HP 48G.
b) 1800100080021 =+=+= mmmnc DDD .
778.01814
===⇒mnc
mc
DDFCn .
La simultaneidad de los picos individuales es de 77.8% para el pico del alimentador.
c) 75.0,8.0 86
2108
1 ====⇒= FRFRDd
FRmi
pii .
Las Cargas contribuyen al pico del alimentador con el 80% y 75% de sus picos
individuales.
1.5. FACTORES DE DEMANDA Y DE UTILIZACIÓN.
La suma de las intensidades o potencias de placa de todos los artefactos de consumo
dependientes del Sistema Eléctrico de Distribución, o de una parte de él, se define como
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 24
carga conectada (CC). Esta, representa la máxima demanda posible de una instalación
[12].
El Factor de Demanda (FD) de un sistema, o parte de él, determina la proporción de
carga conectada que es a lo sumo alimentada cuando ocurre la demanda máxima
correspondiente. Algebraicamente,
CCDFD m= ( 1-11 )
Donde Dm es la demanda máxima individual, o coincidente, según se esté considerando en
la evaluación parte de, o todo un sistema.
Note que FD ≤ 1. Según Manning [2], el Factor de Demanda indica el grado en que la
carga conectada es operada simultáneamente.
Aunque el Factor de Demanda puede aplicarse a un sistema completo, usualmente es
aplicable a la acometida de un cliente que puede ser industrial, comercial o residencial. De
hecho, para un grupo de clientes con cargas conectadas y Factores de Demanda conocidos,
el Factor de coincidencia puede escribirse como:
∑=
⋅= n
iii
mc
FDCC
DFCn
1
( 1-12 )
En una acepción más amplia, Kersting [9] señala que la proporción de carga
alimentada en un momento dado se mide por un Factor de Asignación (FA); en particular,
el Factor de Demanda corresponde al Factor de Asignación de la Demanda Máxima. Note
que la declaración del FA está ligada a una condición del sistema bien determinada.
Por otra parte, la intensidad o potencia nominal del medio de suministro al cual se ha
conectado Carga, se denomina capacidad nominal (CN) de tal medio.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 25
La Capacidad de carga de la mayoría de las partes del equipamiento eléctrico tiene
base en el límite de operación segura por elevación de temperatura, y dado que la
temperatura no cambia instantáneamente con la carga sino también con el tiempo, partes
como alambres, cables, transformadores, etc., tienen un retardo considerable en la elevación
de temperatura y una apreciable capacidad de almacenamiento de calor [12]. Así, la
capacidad de los equipos de suministro está determinada por una carga continua, la
elevación de temperatura se traduce en calor y en consecuencia, las sobrecargas de muy
corta duración no tendrán una influencia significativa en el deterioro de sus partes.
No obstante, cuando la capacidad del sistema o parte de él ha sido determinada por su
límite térmico, la restricción de caída de tensión puede ser violada por una Carga inferior a
tal capacidad.
El Factor de Utilización (FU) de un sistema, o parte de él, determina la proporción
de capacidad nominal que es a lo sumo utilizada cuando ocurre la demanda máxima
correspondiente. Algebraicamente,
CNDFU m= ( 1-13 )
Note que en general FU ≤ 1. El Factor de Utilización puede indicar el grado en el
cual un sistema está siendo Cargado durante el pico de carga con relación a su capacidad;
un FU > 1 indica que el sistema está sobrecargado.
Ejemplo 1-5. Suponga que desde un transformador de Distribución (Tx) y dos tramos de
línea secundaria, se alimentan 15 clientes residenciales cuya demanda máxima individual es
de 4 kVA, cinco por poste.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 26
a) ¿Dónde debe ubicarse el Tx para beneficiar tanto a la compañía de suministro como
a los clientes?
b) ¿Cuál es la demanda máxima de cada tramo de línea secundaria y la del Tx?.
c) Sí se instala un Tx de 37.5 kVA, ¿de cuánto sería su porcentaje de capacidad
ociosa?
d) Si al cabo de 10 años el Factor de Utilización del Tx es de 100%, ¿cuál sería la tasa
interanual de crecimiento de la demanda?
Solución.-
a) Una configuración centralizada beneficia a la Distribuidora porque reduce pérdidas
técnicas para un calibre único de línea secundaria, lo cual implica un ahorro administrativo
adicional; además, beneficia a los clientes pues la máxima caída de tensión es menor que en
el caso del Tx ubicado en alguno de los extremos.
Tx
kVAdmi 4=
Figura 1-9. Configuración centralizada del transformador de Distribución para 15 clientes.
b) Dado que de cada tramo de línea secundaria (LS) se alimentan sólo 5 clientes, haciendo
uso de las curvas de la Figura 1-6 se tiene:
( )kVA6.126.863.043.0
5
≤≤⇒≤≤•
LS
dm
DmFCni
.
Análogamente, como el Tx alimenta a los 15 clientes,
( )kVA272145.035.0
15
≤≤⇒≤≤•
Tx
dm
DmFCni
.
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 27
c) ( ) ( )56.072.072.056.0kVA2721
15.371
−≤−≤−⇒≤≤⇒≤≤−••
FUFUDmTx
( )44.028.0
1≤≤⇒
+
puCO
Donde puCO denota la capacidad ociosa del Tx en por unidad de su capacidad nominal. En
consecuencia, entre 28% y 44% el tamaño del Tx está siendo desaprovechado.
d) Sea g la tasa de crecimiento interanual de la demanda. Luego:
( )( ) 0334.015.37127
0597.015.3712110
275.37
min10
min
1021
5.37max
10max
=−=⇒=+
=−=⇒=+
gg
gg
Ejemplo 1-6. Un transformador monofásico (Tx) de 10 kVA tiene tres acometidas directas
con carga total conectada de 10800 W; la demanda máxima de 1 hora del dispositivo es de
9 kVA. Si una de las acometidas atiende una demanda constante, cuya carga conectada
representa la mitad del total conectado a las otras dos, con Factores de Responsabilidad de
0.60 y 0.80, y Factor de Coincidencia entre acometidas de 0.75, determine:
a) La proporción de la capacidad del Tx que es a lo sumo utilizada para el suministro,
y la proporción de carga conectada que es a lo sumo simultáneamente alimentada.
b) La demanda máxima de cada acometida.
Solución.-
a) 9.0109 === CN
DmFU y 75.08.10)9.0)(9( === CC
DmFD
b) 8.0,6.0,1,2 321321 ===+= FRFRFRCCCCCC y 75.0=FCn .
Como 321 CCCCCCCC ++= y iii dmFRd ⋅= , entonces:
kVACCCC 4123 19.08.10
1 =⇒== , 1
Diversidad de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución. 28
y 4554398.06.0 132321 =++⇒=++ dmdmdmdmdmdm 2
Por otra parte, FCnDmcdmdmdmDmnc =++= 321
1212 13275.09
321 =++⇒==++ dmdmdmdmdmdm 3
Se resuelve el sistema de las dos ecuaciones lineales 2 y 3, con 3 incógnitas
−=+=
⇒
−→
→
13
12
293
93
210101
912
210111
4512
543111
dmdmdmdm
4
5
Se sabe que CCFDDm ⋅= y, en general, 10 ≤< FD .
<≤⇒
≤<⇒≤<⇒
kVA91
kVA73kVA40
3
21
dm
dmdm
5
41
En conclusión, para las condiciones establecidas, la acometida 1 puede tener un pico de a lo
sumo 4 kVA, y en consecuencia: la acometida 2 podrá tener una demanda máxima menor o
igual que 7 kVA pero mayor que 3 kVA, en tanto que la acometida 3 tendrá un pico
mínimo de 1 kVA pero menor que 9 kVA. En particular, si la acometida 1 sirve una sola
Carga, FD1 = 1, y así:
kVA174
3
2
1
=
dmdmdm
CCAAPPÍÍTTUULLOO 22.. RRÉÉGGIIMMEENN DDEE CCAARRGGAA YY PPÉÉRRDDIIDDAASS..
Según la Real Academia Española, la palabra régimen alude al modo regular o
habitual de darse algo. En el desarrollo del Capítulo anterior, se estableció que el
comportamiento de la demanda en una instalación podía ser caracterizado a partir de un
Perfil de Carga Diario (PCD) y de varios Factores de caracterización formulados para tal
fin: Coincidencia, Diversidad, Responsabilidad, Demanda y Utilización.
No obstante, esos Factores nada dicen acerca del aprovechamiento de la capacidad de
los equipos en relación con la Carga que alimentan, ni sobre la relación entre tal beneficio y
el tiempo. Esto importa porque gran parte de las pérdidas de potencia de una compañía
están ligadas al diseño y operación del Sistema Eléctrico de Distribución.
Por tanto, el conocimiento de la magnitud y duración de la demanda, es esencial y no
se debe omitir en las comparaciones globales de instalaciones alternativas.
2.1. CURVAS DE DURACIÓN DE CARGA Y DE PÉRDIDAS.
Una Curva de Duración señala la persistencia de un suceso. Analíticamente, consiste
en determinar la frecuencia acumulada de la variable del modelo, en unidades de tiempo.
Para su determinación, se ordenan de máximo a mínimo los valores registrados y se
establecen tantas clases no acotadas superiormente como valores hayan; se determina la
cantidad total de tiempo que corresponde a magnitudes de la variable iguales o superiores al
Régimen de Carga y Pérdidas. 30
límite inferior de la clase. En la práctica, la frecuencia acumulada puede obtenerse sumando
la frecuencia de cada clase con la siguiente. De este modo, una curva de duración informa
la cantidad total de tiempo que la variable en cuestión tiene un valor mayor o igual que
alguno de los registrados.
Figura 2-1. Representación de la Curva de Duración de Carga correspondiente al PCD mostrado en la Figura 1-2. Se observa que la demanda está por debajo de la
mitad de su máximo más del 90% del tiempo.
En la Ingeniería de Distribución, puede aplicarse este concepto a diferentes casos de
estudio. Con propósitos de caracterización, la Curva de Duración de Carga (CDC) puede
resultar de gran utilidad, especialmente si las clases y el tiempo están en valores por unidad
de los máximos correspondientes. Por ejemplo, esta curva puede ser usada para determinar
la necesidad de reemplazo de un transformador a causa de una condición de sobrecarga.
Ejemplo 2-1. Suponga que el PCD de la Figura 1-2 corresponde a un grupo de clientes
cuya demanda máxima coincidente es de 105 kVA. Si la Carga total conectada es de 125
Régimen de Carga y Pérdidas. 31
kVA y la capacidad nominal es de 100, determine el Factor de Demanda y el Factor de
Utilización.
Solución.-
Por ( 1-11 ) y ( 1-13 ),
==150105FD 0.70 y ==
100105FU 1.05
Estos resultados indican que a lo sumo se alimenta el 70% de la carga conectada, con el
transformador 5% sobrecargando. No obstante, según la Figura 2-1 tal sobrecarga sólo dura
un instante, después del cual cae al 95% de ese valor, esto es, 99.75 kVA.
Ejemplo 2-2. Determine la CDC para el caso descrito en Ejemplo 1-1, y represéntela
gráficamente.
Solución.-
Sean f es la frecuencia y fa la frecuencia acumulada, en horas. Siguiendo el procedimiento
expuesto recientemente se tiene:
Tabla 2-1. Determinación de la CDC. D [MW] 8.6 8.2 8.0 7.6 6.7 6.5 6.2 6.0 5.6 5.1
f [h] 4 3 1 1 1 1 1 1 7 4 fa [h] 4 7 8 9 10 11 12 13 20 24
Note por ejemplo, que la demanda del alimentador en cuestión es como mínimo 6 MW
durante trece horas (más de medio día). Obviamente, el área bajo esta curva sigue siendo la
energía total entregada por el alimentador.
Régimen de Carga y Pérdidas. 32
Figura 2-2. Representación gráfica de la CDC del alimentador comercial del Ejemplo 1-1.
2.2. FACTORES DE CARGA Y DE PÉRDIDAS.
El Factor de Carga (FC), es la relación de la demanda promedio de un sistema, o
parte de él, a la demanda máxima correspondiente. Algebraicamente:
m
prom
DD
FC = , ( 2-1 )
En consecuencia, FC ≤ 1. Supuesto que la demanda para el cálculo de este factor haya sido
medida en unidades de potencia, debe recordarse que:
TDE prom ⋅=
donde E es la energía entregada a la Carga bajo consideración, durante el tiempo T. Por
tanto,
Régimen de Carga y Pérdidas. 33
( )TFCDE m ⋅⋅= , ( 2-2 )
En consecuencia, el Factor de Carga representa la proporción del tiempo total de medición
para la cual puede estimarse un pico de carga sostenido. El producto entre paréntesis se
conoce como Horas Equivalentes de Carga (HEC).
Por otra parte, desde el punto de vista continuo,
∫∫∫ =⇒
=⇒=
1
000
d)(d)(d)(1ττδFC
Tt
DtDFCttD
TDprom
T
m
T
, ( 2-3 )
Aquí mD
D=δ y Tt=τ ; luego [ ]1,0, ⊂δτ .
Ejemplo 2-3. Exprese la CDC anterior en por unidad, y determine el Factor de Carga
asociado.
Solución.-
Siguiendo el procedimiento expuesto recientemente:
Tabla 2-2. Determinación de la CDC en p.u.
δ 1.000 0.953 0.930 0.884 0.779 0.756 0.721 0.698 0.651 0.593 τ 0.167 0.292 0.333 0.375 0.417 0.458 0.500 0.542 0.833 1.000
Según la ecuación ( 2-3 ):
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
774.0833.0000.1593.0
542.0833.0651.0500.0542.0698.0458.0500.0721.0417.0458.0756.0375.0417.0779.0333.0375.0884.0
292.0333.0930.0167.0292.0953.0167.0000.1
=−+
−+−+−+−+−+−+
−+−+=FC
Ejemplo 2-4. Verifique la solución del Ejemplo 2-3 usando la ecuación ( 2-2 ) y el
resultado del Ejemplo 1-1.
Régimen de Carga y Pérdidas. 34
Solución.-
( )( ) 774.0246.87.159
==⋅
=TD
EFCm
.
El Factor de Pérdidas (FPr), es análogo del Factor de Carga pero en el contexto de
pérdidas de potencia: la relación de las pérdidas promedio Pprom de un sistema, o parte de
él, a la pérdida máxima Pm correspondiente, se conoce como Factor de Pérdidas.
Algebraicamente:
m
prom
PP
FPr = , ( 2-4 )
y en consecuencia,
( )TFPrPEp m ⋅⋅= , ( 2-5 )
donde Ep representa la energía pérdida durante el período de medición T. Así, el Factor de
Pérdidas representa la proporción del tiempo de medición durante la cual se sostiene el pico
de pérdidas. El producto entre paréntesis se conoce como Horas Equivalentes de Pérdidas
(HEP).
Con propósitos de planeación, se considera que las pérdidas más significativas en
Sistemas Eléctricos de Distribución son las debidas al efecto Joule, las cuales resultan
directamente proporcionales al cuadrado de la magnitud de la demanda. De este modo:
( )∫==
1
0
22
2
d)( ττδm
prom
DD
FPr , ( 2-6 )
Régimen de Carga y Pérdidas. 35
Ejemplo 2-5. Tomando como datos los establecidos en la solución del Ejemplo 2-3,
determine el Factor de Pérdidas.
Solución.-
Se tabula la Curva de Duración de Pérdidas (CDP)
Tabla 2-3. Determinación de la CDP.
δ 1.000 0.909 0.865 0.781 0.607 0.571 0.520 0.487 0.424 0.352 τ 0.167 0.292 0.333 0.375 0.417 0.458 0.500 0.542 0.833 1.000
Según la ecuación ( 2-6 ):
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
622.0833.0000.1352.0
542.0833.0424.0500.0542.0487.0458.0500.0520.0417.0458.0571.0375.0417.0607.0333.0375.0781.0
292.0333.0865.0167.0292.0909.0167.0000.1
=−+
−+−+−+−+−+−+
−+−+=FPr
Ejemplo 2-6. La experiencia ha demostrado que cuando el período de tiempo es
relativamente grande, esto es, de un año o más, el Perfil de Duración de Carga (PDC)
tendrá, en general, la forma de la “curva de Gauss” [22]. Analíticamente,
( )( )
−−⋅
−= 2min
2min
4exp
δδδπ
τFC
,
donde, δ y τ son la demanda y el tiempo en por unidad, y minδ es la demanda mínima
registrada. Determine el Factores de Pérdidas.
Solución.-
( )( )
( )( )
⇒−−⋅
−=⇒
−−⋅
−= 2min
2min
2min
2min
4ln
4exp
δδδπ
τδδδπ
τFCFC
( )1min
2min ln −−+= τδδδ
πFC
Régimen de Carga y Pérdidas. 36
Luego, el PDC queda modelado por:
( ) ( ) ( )12min
41minmin
42min
2 lnln −− −+−+= τδτδδδδ ππFCFC .
De este modo, usando ( 2-6 ) se obtiene el Factor de Pérdidas:
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1
dlndln
dlnln
2min
42minmin
42min
1
0
12min
41
0
1minmin
42min
1
0
12min
41minmin
42min
δδδδ
ττδττδδδ
ττδτδδδ
ππ
π
ππ
ππ
−+−+=
−+−+=
−+−+=
∫∫∫
−−
−−
FCFC
FCFC
FCFCFPr
⇒ ( )2min
4minmin
2min 2 δδδδ π −+−+= FCFCFPr .
Ejemplo 2-7. Los siguientes PCD’s permiten caracterizar Cargas cuyo pico ocurre a
mediodía.
(a)
(b)
(c)
Figura 2-3. Algunas formas generales de PCD's para clientes con Demanda Máxima al mediodía.
Determine los Factores de Carga y de Pérdidas, así como la relación entre ellos para cada
caso.
Solución.-
Sean M y m, respectivamente, los valores máximo y mínimo en todos los Perfiles.
Régimen de Carga y Pérdidas. 37
(a) ( )( ) ( ) ( )
+=
⋅+
=⋅
=⇒+=+−
=−
Mm
MmM
TDmEFCmMmmME 1
21
24121224
224 )22(
Haciendo Mm=δ ,
( )δ+=⇒ 121FC 1
Este resultado indica que para un Perfil de este tipo el mínimo Factor de Carga es 0.5, y con
propósitos de planeación esto significa que el pico de demanda se sostiene, a lo menos, la
mitad del día.
Por otra parte,
≤<
−
−−
≤
−
+=⇒
≤<−−
−
≤−
+=
2412 si,12
2
12 si,12)(
2412 si,)24(12
12 si,12)(
2
2
2
ttmMmM
ttmMmtD
ttmMm
ttmMmtD
( ) ( )2233
12
0
312
0
2
331
123112
12d
12242
mmMMkmMmM
k
tmMmmM
kttmMmkPprom
+⋅+
=−
−
=
−
+
−
=
−
+=⇒ ∫
Por la ecuación ( 2-4 ):
( )231 1 δδ ++==
m
prom
PP
FPr .
De 1 se tiene:
( )144212 231 +−+=⇒−= FCFCFCFPrFCδ
⇒ ( )124 231 +−= FCFCFPr
Régimen de Carga y Pérdidas. 38
(b)2212
cos2
)( MmDMmtMmtD prom+
=⇒+
+
−
=π .
( )121 +=⇒ δFC
Observe que ésta es la misma conclusión señalada por 1, justificada por el tipo de simetría
de ambos Perfiles, (a) y (b).
Como las pérdidas son proporcionales al cuadrado de la demanda,
22
2
22
212cos
222
12cos
2
212cos
2)(
+
+
+
−
+
−
=
++
−
=⇒
MmtMmMmtMm
MmtMmtD
ππ
π
+
+
−
=⇒22
2221 MmMmkPprom
Así usando la ecuación ( 2-4 ):
22
21
21
21
+
+
−
=δδFPr
La relación entre los dos factores, se obtiene usando de nuevo 1:
( ) ( )123112 22122
21 +−=+−=⇒−= FCFCFCFCFPrFCδ
⇒ ( )123 221 +−= FCFCFPr
(c) ( ) pary0,12)( nctcMtD n >−−= .
nn mMcmcMttD
1212)240( −
=⇒=−==∨=
( ) ttmMMDn
prom d12
12242 12
0∫
−
−−=⇒
( ) ( ) ( )mMnn
mMn
MtmMn
Mn
+⋅+
=−+
−=
−
−+
−=+
11
11
1212
11212
121
12
0
1
Régimen de Carga y Pérdidas. 39
( )δ++
=⇒ nn
FC1
1 2
En consecuencia, el Factor de Carga mínimo para este tipo de Perfil es 32 .
Por otra parte,
( )
( ) ( )
( ) ( )
+
+⋅
+−
++
++
+−=
−
++−
+−=
−
−+
+
−
−+
−=
−
−−=
++
∫
22
22
12
0
122
12
0
12
212
0
121
121
112
121
121
121
12
1212
1212
1212
12412
12
d12
12242
mn
mMnn
Mnn
k
mMn
mMMn
Mk
tmMn
tmMMn
Mk
ttmMMkP
nn
n
prom
Por la ecuación ( 2-4 ):
2
121
121
112
121
121 δδ
++
+−
++
++
+−==
nnnnnPP
FPrm
prom .
De 2 se deduce:
( ) nFCn −+= 1δ
( )[ ] ( )[ ]
( ) ( ) ( ) 222
2
121
121
12112
121221
1121
112
1112
11
1212
11
21
FCn
nFCnnn
nn
nn
nn
nn
nFCnn
nFCnnnnn
FPr
++
+
++
−+
+−+
+
++
++
++
−=
−++
+−+
+−
++
++
+−=⇒
( ) ( ) ( ) 2222
2222
121
122
12121
12112
12FC
nnFC
nn
nnFC
nnFC
nn
nn
++
+
+
−+
=+
++
++
−++
=
⇒ ( )[ ]2222 1212
1 FCnFCnnn
FPr ++−
+=
Régimen de Carga y Pérdidas. 40
Considere los Perfiles de Carga y de Pérdidas
adjuntos. De nuevo M y m representan, respectivamente,
las demandas máxima y mínima registradas, en tanto que k
es la constante de proporcionalidad de las pérdidas por
efecto Joule en el sistema; naturalmente, la magnitud de
estas últimas se ha exagerado con el propósito de
apreciarlas para el siguiente análisis.
t T
k⋅M2
k⋅m2
m
M
Figura 2-4. Perfiles de Carga y de
Pérdidas Escalonados.
Determinación del Factor de Carga:
( )[ ] ( ) mTtmMtTmtM
TDprom +
−=−+⋅=
1
⇒Mm
Tt
MmFC +
−= 1
Determinación del Factor de Pérdidas:
( )[ ] ( )2
2222
+
−=−+⋅= m
TtmMktTmtM
TkPprom
⇒22
1
+
−=
Mm
Tt
MmFPr
Haciendo Mm=δ y T
t=τ , resulta:
( )( )
+−=+−=
2211
δτδδτδ
FPrFC
Si δ y τ son variables intermedias para determinar la relación entre los dos Factores,
es obvio que una fórmula explícita entre ambos no puede obtenerse. No obstante, observe
que:
Régimen de Carga y Pérdidas. 41
( )( )
≥∇≥∇
.0,0,
δτδτ
FPrFC
Esto significa que ambas funciones polinómicas son monótonamente crecientes en su
recorrido. Como el Dominio de ambas es
( ) 1010, 2 ≤≤∧≤≤ℜ∈ δτδτ ,
por el Teorema de Weirstrass, tanto FC como FPr alcanzan valores extremos absolutos allí.
En las fronteras del dominio, se tiene:
0=τ (Demanda máxima instantánea) 2FCFPr =⇒ (curva frontera)
0=δ (Demanda mínima nula) FCFPr =⇒ (curva frontera)
11 =∨= δτ (Demanda Constante) 1==⇒ FCFPr (máximo absoluto)
En conclusión, se establece la siguiente restricción general.
FCFPrFC ≤≤2
Figura 2-5. Límites para los Factores de Pérdidas.
Se han estudiado varios Perfiles típicos de Carga con el fin de determinar la relación
entre los dos Factores para alimentadores y transformadores de Distribución. Puede
Régimen de Carga y Pérdidas. 42
demostrarse que la familia de parábolas cuadráticas de parámetro 10 <≤ b que cumplen
con la restricción general, se describe analíticamente por:
( ) 21 FCbFCbFPre −+⋅= . ( 2-7 )
Generalmente se ha empleado, en forma empírica, b = 0.15 para transformadores [20]
y b = 0.30 para alimentadores [21]; esto se debe a que estos últimos tienen un Perfil de
Carga Diario con menos cambios bruscos que los primeros, y por tanto, desde el punto de
vista teórico, tienen mayor tiempo equivalente de pérdidas para el mismo Factor de Carga.
No obstante, cuando se conoce el Perfil de Carga o puede estimarse en forma razonable, el
Factor de Pérdidas debe calcularse sin el uso de fórmulas empíricas.
Ejemplo 2-8. Usando el Factor de Carga calculado en el Ejemplo 2-3 y la fórmula
empírica para alimentadores, determine el Factor de Pérdidas y compare con el resultado
exacto (obtenido en el Ejemplo 2-5).
Solución.-
652.07.03.0774.0 2)72(
=+=⇒=−
FCFCFPrFC e
⇒ 6520.FPre =
823.4622.0
6520622.0100100% −=
−
=
−
=⇒.
FPrFPrFPrerror e
Ejemplo 2-9. Si 3.0min=δ compruebe la validez del modelo propuesto en el Ejemplo 2-6
usando la restricción general, y trace el PDC para los Factores de Carga extremos.
Régimen de Carga y Pérdidas. 43
Solución.-
Resolviendo con calculadora gráfica, por ejemplo, con la HP 48G:
Figura 2-6. Validación de la relación FPr vs FC del Ejemplo 2-6.
Note que el Dominio para el cual queda restringida la relación propuesta no es 10 ≤≤ FC .
De nuevo, empleando funciones matemáticas de la Calculadora HP 48G se obtiene que el
Dominio restringido es 893.0180.0 ≤≤ FC (vea la Figura 2-7). La justificación de los
valores frontera es inmediata cuando se representan las CDC's asociadas.
Figura 2-7. Valores frontera del dominio restringido de la relación FPr vs FC del Ejemplo 2-6.
La Figura 2-8 indica que, como era de esperarse, para el Factor de Carga mínimo el pico es
de muy corta duración; en contraste, para el Factor de Carga máximo el pico es de larga
duración.
Régimen de Carga y Pérdidas. 44
a) FC = 0.180
b) FC = 0.893
Figura 2-8. Curvas de Duración de Carga para los valores extremos de FC del Ejemplo 2-9.
Ejemplo 2-10. Usando la restricción general, valide las relaciones obtenidas en el Ejemplo
2-7.
Solución.-
Las representaciones de la Figura 2-9 muestran los dominios para los cuales son válidas las
relaciones obtenidas.
(a)
(b)
(c)
Figura 2-9. Validación de las relaciones obtenidas en el Ejemplo 2-7.
Todos los gráficos están incluidos en ( ) 1010, 2 ≤≤∧≤≤ℜ∈ FPrFCFPrFC , y han
sido representados a la misma escala. Es interesante recordar que en los dos primeros casos
el Factor de Carga mínimo es de 0.5, y para el último caso es de 0.666. En consecuencia,
las relaciones y conclusiones obtenidas en el Ejemplo 2-7 son pertinentes para Perfiles de
Carga reales que se aproximen a las formas generales allí estudiadas.
Régimen de Carga y Pérdidas. 45
Debe destacarse que los dos Factores estudiados en está sección (de Carga y de
Pérdidas), son de mucha utilidad en la Planeación de Distribución, porque de ellos es
posible obtener un pulso rectangular único equivalente, en relación con la energía
determinada por el Perfil original. No obstante, es importante diferenciar la base de cálculo
de tales Factores: el período de medición T.
En general, los Factores calculados para un día no son útiles para un estudio de
energía mensual, y menos para el caso anual. A medida que T es mayor, la tendencia de
ambos Factores es hacia la baja, excepto, por supuesto, que el Perfil sea invariablemente
periódico.
En sentido estricto, ambos Factores deberían ser calculados basados en una Curva de
Duración de Carga (CDC) en por unidad de las bases de Dm y T. Lo más recomendable
para el caso de planeación de capacidad, energía entregada y energía perdida sería obtener
una CDC anual (T = 8760 h).
CCAAPPÍÍTTUULLOO 33.. AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS PPRRÁÁCCTTIICCAASS DDEE CCAARRAACCTTEERRIIZZAACCIIÓÓNN EELLEEMMEENNTTAALL::
TTAARRIIFFAACCIIÓÓNN YY BBAALLAANNCCEEOO..
Las compañías de servicio público son monopolísticas, es decir, tienen el derecho
exclusivo de vender su producto en un área dada; no obstante, sus tarifas son materia de
regulación gubernamental y están sujetas a la revisión de una comisión nombrada para tal
fin. Así, la compañía tarifará para clientes bien determinados y en función de la calidad del
servicio que preste.
Por otra parte, un buen diseño del Sistema Eléctrico de Distribución procura la
eficiencia de su operación. Desde el inicio la Carga asignada a cada fase debería ser
equitativa; no obstante, cuando crece la demanda muchos sistemas tienen que crecer para
dar respuestas “provisionales” que a la larga, terminan siendo permanentes.
En este Capítulo se estudian situaciones que son pertinentes para ilustrar otras
aplicaciones de los Factores de Demanda y de Carga, e introducir un Factor para
caracterizar el desbalance de una carga trifásica conectada en estrella.
3.1. TARIFAS ELÉCTRICAS.
Las tarifas se establecen para evitar una discriminación irracional e injusta; por tanto,
los clientes de los servicios de una compañía deben estar debidamente clasificados en
categorías y subcategorías, para que todos los de una clase dada reciban el mismo trato.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 47
Las tarifas aplicables al suministro de energía eléctrica son de arreglo binómico, con
un término de potencia (función de la potencia que el usuario contrata con la compañía
suministradora y/o de la demanda que exige) y otro término de energía (proporcional al
consumo de potencia). La suma de estos dos términos se llama facturación básica.
A la facturación básica se le añaden complementos de recargo o descuento en función
de la energía reactiva consumida, de la discriminación horaria, etc. Además se le añaden a
la facturación los impuestos, y los alquileres de los equipos de medición si son propiedad
de la Compañía Distribuidora.
En el siguiente ejemplo se ilustra lo antes expuesto así como la aplicación de los
conceptos de carga conectada, Factores de Demanda y de Carga para el logro de una
facturación adecuada.
Ejemplo 3-1. Un cliente comercial sin capacidad de transformación instalada propia, con
factor de potencia y consumo promedios mensuales de 0.8¯ y de 17520 kWh,
respectivamente, tiene una carga conectada de 150 kVA. Ignorando el IVA, y empleando
0045.1=FAP , 0340.2=CACE y 3(%) =CIM ,
a) Determine la Demanda Asignada Contratada.
b) Considerando que inicialmente el uso de la energía eléctrica por parte del cliente era
cuantificado por un medidor de activa convencional, determine la tarifa aplicable y el
Cargo Mensual (CM) por el servicio prestado.
c) Después de instalado un medidor de demanda se encuentra que, durante el siguiente
trimestre la demanda medida ha estado en el orden de 70 kVA. Determine: el Factor
de Carga mensual del cliente, la tarifa aplicable y el cambio en el cargo mensual.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 48
La compañía de servicio debe cumplir con la siguiente Regulación:
SERVICIO GENERAL 1 (SGI) Características Técnicas Corriente alterna de 60 Hz, en baja tensión en las tensiones y fases disponibles en la zona. Aplicación Para cualquier uso permanente del servicio de energía eléctrica con demanda máxima no mayor que 60 kVA mensuales, que no quede comprendido en las tarifas residenciales. Tarifa Mensual El cargo mensual será la suma de un Cargo por Demanda de Facturación y un Cargo por Energía para el resto del período, según los valores indicados a continuación, durante la vigencia de esta Regulación. Para valores del Cargo por Demanda inferiores a 1 kVA se considerará este como el valor mínimo a facturar.
Tarifa Unidad Detalles de Aplicación 5742.60 Bs/kVA Cargo por Demanda 34.60 Bs/kWh Cargo por Energía
SERVICIO GENERAL 2 (SG2) Características Técnicas Corriente alterna de 60 Hz, en baja tensión en las tensiones y fases disponibles en la zona. Aplicación Para cualquier uso permanente del servicio de energía eléctrica cuya demanda medida durante dos (2) meses consecutivos, sea mayor que 60 kVA, y que no quede comprendido en las tarifas residenciales. Tarifa Mensual
Tarifa Unidad Detalles de Aplicación 4740.00 Bs/kVA Cargo por Demanda 29.40 Bs/kWh Cargo por Energía
DEMANDA ASIGNADA CONTRATADA (DAC) Para los efectos de esta Regulación, se entenderá por Demanda Asignada Contratada (DAC) el valor expresado en kilovoltamperios (kVA) de la capacidad que la empresa eléctrica pone a disposición del usuario, determinada con base en la Carga total conectada o a conectar de éste, considerando adicionalmente la coincidencia temporal en el consumo de electricidad por los elementos constituyentes de esa Carga y las características técnicas del equipamiento de la empresa eléctrica. Para la determinación de la Demanda Asignada Contratada se aplicarán los siguientes criterios: 1. Si la Carga total conectada no es mayor de 5kVA, se considerará como Demanda Asignada Contratada la Carga total conectada. 2. Si la Carga total conectada es mayor de 5 kVA, la Demanda Asignada Contratada será el cuarenta por ciento (40%) de la Carga total conectada, pero nunca menor de 5 kVA. DEMANDA DE FACTURACIÓN (DF) La demanda de facturación se determinará mediante la aplicación de los siguiente criterios: 1. Si la empresa ha instalado un medidor de demanda, la demanda de facturación será el mayor valor 3. entre los siguientes: a) El mayor valor medido en el lapso de facturación, y b) La Demanda Asignada Contratada. 2. Si la empresa no ha instalado un medidor de demanda, la demanda de facturación será el mayor valor entre los siguientes: a) La Demanda Asignada Contratada y b) El valor de demanda que resulte de dividir el equivalente mensual del consumo de energía medido entre trescientas (300) horas. 3. Cualquier fracción igual o mayor de medio kVA se tomará como un kVA completo. FACTOR DE AJUSTE DE PRECIOS (FAP) Las tarifas establecidas por esta Regulación, con excepción de las correspondientes al Servicio Residencial Social, serán ajustadas con la finalidad de mantener en términos reales los niveles tarifarios. Los mecanismos
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 49
de ajuste están dirigidos a reflejar las variaciones ocurridas durante el lapso de vigencia de esta Regulación, en las variables macroeconómicas consideradas para el cálculo de los niveles tarifarios. Los Cargos fijos, por demanda, por energía consumida y por subestación, establecidos por esta Regulación, serán ajustados directamente. CARGO POR AJUSTE DE COMBUSTIBLE Y ENERGÍA (CACE) Las Compañías mencionadas en esta Regulación añadirán a la factura del servicio eléctrico, con excepción de las de usuarios sujetos a la aplicación de la Tarifa 01: Servicio Residencial Social, un cargo para trasladar las variaciones de precios de los combustibles y de la energía comprada. El monto resultante de multiplicar este cargo por el consumo de energía del mes en kWh, se presentará en la factura como Cargo por Ajuste de Combustible y Energía (CACE). COSTO DE IMPUESTO MUNICIPAL (CIM) Las tarifas establecidas en esta Regulación han sido calculadas sin tomar en cuenta las tasas, contribuciones y otros impuestos municipales o estadales. En las facturas del servicio eléctrico se indicará el monto que corresponde a cada usuario por estos conceptos, en proporción al monto de la facturación por ese servicio, en relación con el monto total que la empresa pague a cada Municipio o Estado.
Regulación basada en la Gaceta Oficial Nº 37415 de la República Bolivariana de Venezuela del 03/04/2002.
Solución.-
a) Del inciso 2 de Demanda Asignada Contratada, utilizando un Factor de Demanda del
40% (vea la sección 1.5), se determina:
( ) kVA601504.04.0 =⋅=⋅= CCDAC .
b) El resultado anterior apunta a la Tarifa de Servicio General 1. Dado el tipo de medidor,
del inciso 2 sobre la Demanda de Facturación que en efecto es aplicación implícita del
concepto de Factor de Carga (vea la sección 2.2), tal demanda será el mayor valor entre
DAC y 4.5830017520 = , esto es, DAC.
kVA60== DACDF
34.346070.5742 BsDFFAPCD =⋅⋅=⇒
y ( )( ) 86.608919.175207557.346.34 BsEFAPCE ==⋅⋅=
⇒ ( )( ) ( ) 66.1020344.68.3563520.95499003.11 100 BsECACECECDCM CIM =+⋅=⋅+++= .
c) En esta nueva situación, como la demanda real ha estado en el orden de 70 kVA,
entonces:
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 50
( )( )( ) 429.04088017520
8.07073017520
730 ===== ⋅⋅ fpDE
DD
mm
promFC ⇒ 429.0=FC
Dado que este valor de demanda se sostiene durante más de dos meses seguidos, aplica la
Tarifa Servicio General 2. Además según el inciso 1 sobre Demanda de Facturación,
kVA70=DF .
10.333293.4740' BsDFFAPCD =⋅⋅=⇒ y
( )( ) 90.517405.175205323.296.34' BsEFAPCE ==⋅⋅=
( )( ) ( ) 72.912924.68.3563585069903.1''1' 100 BsECACECECDCM CIM =+⋅=⋅+++=⇒
⇒ 94.107419.'' BsCMCMCM =−=∆ .
Este resultado indica lo conveniente de la medición de demanda real, dado que el cambio
representa un ahorro del 10.5% en la Factura mensual, considerando FAP, CACE y CIM,
invariables.
3.2. EL PROBLEMA DEL BALANCEO.
Dada su flexibilidad para el suministro, en el caso de circuitos de Distribución
primarios en 4 hilos, por contraste con los secundarios del mismo tipo, tienden a ser
desbalanceados en el reparto de la Carga. En el ámbito primario, para alimentar un
transformador sólo se requiere una de las fases del circuito y en consecuencia, como es
práctica usual que el neutro sea común y multiaterrizado, el hilo de fase puede extenderse
tanto como se quiera en ausencia de una adecuada planeación.
Cuando la Carga está desbalanceada es conveniente recurrir al método de
componentes simétricas para lograr una buena caracterización.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 51
3.2.1. DESBALANCE DE TENSIÓN.
Manning [2] presenta dos métodos para caracterizar el desbalance de tensiones en un
sistema. El primero define tal desbalance como la máxima desviación de tensión de fase
respecto de la media de tensiones. Analíticamente,
∑
∑−=
=
=
cbakk
cbakkj
jU U
UUDsb
,,
,,3
max100% . ( 3-1 )
Donde UDsb% representa el porcentaje de desbalance de tensión de fase, y jU es la
tensión de la fase j.
Por otro lado, tomando en consideración el efecto de tensiones asimétricas sobre los
motores polifásicos, el otro método caracteriza el desbalance por la disimetría, esto es, la
proporción de tensión de secuencia positiva que representa la tensión de secuencia
negativa. Analíticamente,
D
IU U
UFDsb = , ( 3-2 )
Donde UFDsb se denomina Factor de Desbalance de Tensión, DU es la tensión de línea
de secuencia directa, y IU es la tensión de línea de secuencia inversa. Debe recordarse que
en equilibrio 0=IU , y en cualquier caso la tensión de línea homopolar es nula (¿por qué?).
Según Manning [2], el desbalance en líneas monofásicas de tres hilos está dado por:
12
21200%
UUU
DsbU
−= , ( 3-3 )
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 52
Donde jU es la diferencia de potencial entre el hilo de fase j de la línea y el neutro, y 12U
es la tensión de la línea de tres hilos, esto es, la diferencia de potencial entre los hilos 1 y 2.
Vale destacar que en el nivel de Distribución, la tensión es una variable usada para
calificar la calidad del servicio. Así, desde el punto de vista de la compañía de servicio, los
circuitos se compensan para que los desbalances determinados por las ecuaciones ( 3-1 )
y ( 3-2 ) sean mínimos en la condición de estado estable; no obstante, desde el punto de
vista del cliente, el desbalance calculado con la ecuación ( 3-3 ) puede resultar
relativamente alto, asociado a nuevos circuitos con tensión a neutro anexados por el usuario
sin contrapeso en el tablero de Distribución.
3.2.2. DESBALANCE DE CARGA.
Es claro que un desbalance de Carga puede dar lugar a eso mismo en las tensiones,
especialmente en el ámbito de baja. Sin embargo, la situación no deja de ser crítica en
primario; en particular cuando se trata de un sistema trifásico de 4 hilos con protección
contra fallas a tierra. Tal protección puede desconectar el circuito cuando la intensidad de
corriente para la cual ha sido ajustada circula por el neutro, debida al desbalance de Carga.
En el caso de sistemas trifásicos, la expresión ( 3-2 ) puede reformularse para la
caracterización de este tipo de desbalance, esto es, en el contexto de Carga.
D
HH I
IFDsb = , y D
II I
IFDsb = . ( 3-4 )
El subíndice indica la secuencia según el criterio de desbalance. Observe que para este
caso, en general, 0≠HI o 0≠II .
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 53
Ejemplo 3-2. Suponga que las ondas de corriente de línea de un circuito de Distribución
trifásico tetrafilar son de secuencia positiva, todas de diferente magnitud pero desfasadas
entre sí 120º. Determine los Factores de Desbalance de Carga para las siguientes
situaciones:
a) En general.
b) Dos intensidades despreciables frente a la tercera.
c) Una intensidad despreciable frente a dos de igual magnitud.
Solución.-
a) Sean AI , BI e CI las intensidades de corriente de línea en cuestión. Tomando como
referencia AI , se determinan las componentes simétricas del sistema de intensidades.
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
+−−+−+−+
+−+=
−−=
º120º1201º120º1201º120º1201º120º1201
º120º120
31
º1201º12011º1201º12011
111
31
CBA
CBA
CBA
C
B
A
I
D
H
IIIIII
III
III
III
( ) ( )
( ) ( )
−+−−++
−−−−=
⇒
CBCBA
CBA
CBCBA
I
D
H
IIjIIIIII
IIjIII
III
35.05.05.0
35.05.05.0
31
Note que DI es la media de las intensidades de línea, e NIH III 31* == . En consecuencia,
CBA
N
D
HHI III
IIIFDsbFDsbFDsb
++====
( )( )CBA
BCCABACBA
IIIIIIIIIIII
FDsb++
++−++=⇒
222
( )( )BCCABACBA
BCCABACBA
CBA
N
IIIIIIIIIIIIIIIIII
IIIIFDsb
+++++++−++
=++
=⇒2222
222
. ( 3-5 )
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 54
Deliberadamente se ha obviado el subíndice del Factor, y en lo que sigue, a menos que se
indique otra cosa, FDsb denotará el Factor de Desbalance de Carga. Por otra parte, la
inspección de la ecuación ( 3-5 ) señala que 1≤FDsb .
b) Sean 0≅A
B
II , 0≅
A
C
II e II A = .
⇒==⇒ III AN 1=FDsb .
Lo cual indica un desbalance máximo (como era de suponerse).
c) Sean 0≅A
C
II e III BA == .
⇒=⇒ II N 5.0=FDsb
Como antes, la intensidad de corriente por el neutro es igual a la de fase, lo cual en general,
resulta técnicamente inadecuado.
Si una de las intensidades no despreciables fuera diferente de la otra, el valor obtenido sería
un valor límite (supremo) del Factor de Desbalance.
La práctica para el balanceo de Carga intracircuito que se aplicará a continuación,
parte de los siguientes supuestos:
El desbalance de Carga está asociado únicamente a las intensidades de la corriente
por fase. A menos que se indique lo contrario, se consideran fasores de intensidad de
secuencia positiva con distinta magnitud, pero desfasados entre sí 120º.
Los transformadores en toda la extensión de una fase dada tienen el mismo Factor de
Asignación (vea la sección 1.5).
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 55
A menos que se conozcan los factores de potencia por fase, estos se asumen
idénticos.
Naturalmente estas consideraciones están lejos de ser válidas siempre, amén que el
procedimiento se aplica para un solo valor de Carga y es poco probable realizar
transferencias en forma exacta; no obstante, es una práctica probada con buenos resultados
(no ideales), y una muy buena aplicación de la teoría de caracterización.
Ejemplo 3-3. Un circuito de Distribución de cuatro hilos en 23.9Y/13.8 kV está quedando
fuera de servicio en las horas de demanda máxima a causa de un desbalance de Carga entre
sus fases. Los amperímetros de las fases A y B de tal circuito en la Subestación señalan que
en el momento de la operación del relé de tierra IA = 200 A e IB = 240 A; lamentablemente
el amperímetro de la fase C está desajustado. Sin embargo, las últimas estadísticas
muestran que la intensidad de la corriente promedio por el neutro es de 135 A y que el
Factor de Carga por fase de este circuito es de 70%.
a) ¿Cuál es el valor de demanda pico?
b) Si la suma de capacidades de transformadores conectados es de 4245, 5520 y 7935
kVA para las fases A, B y C respectivamente, y se sabe que el excedente de Carga en
la fase C es debido a 2426.5 kVA conectados para atender un área determinada en
forma monofásica, demuestre que es conveniente transferir esa capacidad a otro
circuito aledaño con disponibilidad a fin de que ambos queden Cargados con a lo
sumo 10 MVA.
c) Determine el Factor de Desbalance para la condición resultante del paso anterior y
balanceé las Cargas por fase del circuito en cuestión.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 56
d) En su opinión, basta que se realicen los cambios recomendados en c) para que la
protección no opere por desbalance, esto es, que el circuito quede balanceado durante
el día entero.
Solución.-
a) La intensidad por el cuarto conductor es:
º120º120º0 CBACBANNN IIIIIIII +−+=++== φ .
Donde,
( )86.192
7.0135
===FC
II promN
N .
Luego,
86.192º120º120240º0200 =+−+ CI
( ) ( ) ( )222 86.1925.012035.080 =+−+−⇒ CC II
A72.409A28.30012.124064402 =∨=⇒=+−⇒ CCCC IIII .
Según el enunciado de la parte b) de este Ejemplo, el circuito está sobrecargado. Por tanto,
A72.409=CI
Así, la demanda máxima en MVA's,
( ) MVA73.1172.4092402001000
8.13=++=mD ,
lo cual indica una sobrecarga del 17.3%.
b) El Factor de Asignación de la fase C es:
( )( ) 713.07935
72.4098.13==CFA
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 57
En consecuencia, el excedente de carga conectada en la fase C, ECCC, representa una
demanda EDC dada por:
( )( ) kVA095.17305.2426713.0 ==⋅= CCC ECCFAED
MVA731.1=⇒ CED
En efecto, al retirar 2426.5 kVA de la fase C del circuito, se estará llevando el pico del
mismo a poco menos de 10 MVA. Así, la nueva carga conectada en C es de 5508.5 kVA
c) Las demandas por fase, después de la transferencia intercircuito, son:
( )( ) kVA27602008.13 ==AS
( )( ) kVA33122408.13 ==BS
( )( ) kVA041.3924095.173072.4098.13 =−=CS .
Se determina la demanda media para la condición de equilibrio.
kVA014.33323
kVA041.9996 =′
=⇒=++=′ mmediaCBAm
DSSSSD .
El Factor de Desbalance dado por la ecuación ( 3-5 ) puede escribirse también en término
de las potencias.
( ) 10089.0674.99920835
818.10171442
222
==′
++−++=⇒
m
BCCABACBA
DSSSSSSSSSFDsb
En términos porcentuales, queda un desbalance del 10%, o bien, esa es la nueva proporción
del total de intensidades que fluye por el neutro (73.082 A).
El exceso o defecto de Carga por fase:
−=−=∆=−=∆=−=∆
kVA028.592kVA014.20kVA014.572
CmediaC
BmediaB
AmediaA
SSSSSSSSS
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 58
Estos resultados indican que la fase C es la más Cargada, y para alcanzar la condición de
equilibrio deben transferirse desde la fase C, 572.014 kVA hacia la fase A y, 20.014 kVA
hacia la fase B. Luego, convirtiendo estos valores de demanda en carga conectada,
kVA070.28713.0014.20
kVA263.802713.0014.572
==∆
=∆
==∆
=∆
C
BB
C
AA
FASCC
FASCC
d) En general, los resultados reales se medirán después de ejecutar los cambios propuestos.
Si el comportamiento de la demanda por fase era coincidente en el tiempo, es muy probable
que con base en los cambios propuestos en el apartado anterior el circuito quede
suficientemente balanceado. En caso contrario, pueden surgir nuevas situaciones de
desbalance para las cuales, si son causa de la salida del circuito, debe procederse a
balancear de nuevo.
Ejemplo 3-4. Un circuito de Distribución de cuatro hilos en 23.9Y/13.8 kV con un 38% de
sobrecarga, está quedando fuera de servicio en las horas de demanda máxima a causa de un
desbalance de Carga entre sus fases. La intensidad de la corriente en la fase A del circuito
es 1.25 veces el valor de la fase B. Sabiendo que la Carga máxima permisible para este
circuito es 10 MVA, que la intensidad de la corriente por el neutro no puede legar a 180 A,
y que su carga conectada es CCA = 8100 kVA, CCB = 6875.5 kVA y CCC = 6820 kVA:
a) Calcule las Cargas por fase para el desbalance mínimo que puede presentarse, y
sugiera los trabajos de balanceo para tal condición.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 59
b) ¿En cuanto debe descargarse de capacidad instalada el circuito para cumplir con la
restricción de capacidad?. Sugiera las acciones a realizar para aprovechar el trabajo
de balanceo en el proceso de transferencia de Carga entre circuitos.
Solución.-
a) MVA8.13=mD e BA II 25.1= .
Se busca la mínima la intensidad de la corriente por el neutro para las condiciones
señaladas.
º120º120º0 CBACBANNN IIIIIIII +−+=++== φ
( ) ( )24325.05.0
º120º120º0
CBCBA
CBAN
IIIII
IIII
−+−−=
+−+=⇒
Recordando que una norma es mínima cuando la suma de cuadrados también lo es, se tiene
( )( )( ) 0,,
0,,a sujeto,,min
==
CBA
CBA
CBA
IIIhIIIg
IIIf
donde, ( ) ( ) ( )24325.05.0,, CBCBACBA IIIIIIIIf −+−−= , y
( ) 1000,, −++= CBACBA IIIIIIg y ( ) BACBA IIIIIh 25.1,, −= .
De este modo, por el Teorema de Lagrange para el punto extremo se verifica:
hgf ∇+∇=∇ µλ
En consecuencia, resulta el sistema
( )( ) ( )
( ) ( )
=−=++
=−−−−−−=−+−−−
+=−−
5
4
3
2
1
025.11000
5.05.025.15.05.0
5.05.02
23
23
BA
CBA
CBCBA
CBCBA
CBA
IIIII
IIIIIIIIII
III
λµλ
µλ
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 60
Sustituyendo 3 en 1,
( ) ( ) ( ) µ+−−−−−=−− CBCBACBA IIIIIIII 235.05.05.05.02
( ) 6µ=−⇒ CA II3
Sustituyendo 3 en 2,
( ) ( ) ( ) ( ) µ25.15.05.05.05.0 23
23 −−−−−−=−+−−− CBCBACBCBA IIIIIIIIII
( ) ( ) 7µµ =−−⇒−=−⇒ CBCB IIII 4.225.13
Por transitividad de la igualdad 6 y 7,
804.54.23 =−+ CBA III
Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 4, 5 y 8,
A066.336082.295852.368
=
C
B
A
III
Luego, las demandas por fase son
kVA705.4637131.4072164.5090
8.13
=
⋅=
C
B
A
C
B
A
III
SSS
y en consecuencia los Factores de Asignación son:
=
=
=
−−
680.0592.0628.0
705.4637131.4072164.5090
68200005.68750008100
000000 11
C
B
A
B
B
A
C
B
A
SSS
CCCC
CC
FAFAFA
Note que la fase C alimentaría más que las otras dos, su carga conectada en la condición de
desbalance mínimo (68%).
Para la mínima condición de desbalance, por la ecuación ( 3-5 ), se tiene:
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 61
( )06402.0
1000311.4098222
==++
++−++=
CBA
BCCABACBA
IIIIIIIIIIII
FDsb .
Un Factor de Desbalance del 6.4%, esto es, una intensidad por el neutro en el orden de
64 A.
La demanda media (condición de equilibrio),
kVA46003
13800==mediaS .
Entonces se calcula el exceso o defecto de Carga por fase:
−=−=∆=−=∆
−=−=∆
kVA705.37kVA869.527
kVA164.490
CmediaC
BmediaB
AmediaA
SSSSSSSSS
Note que las fases A y C deben transferir Carga a B. Luego, convirtiendo los valores de
demanda indicados en carga conectada,
kVA448.55680.0
705.37
kVA516.780628.0
164.490
−=−
=∆
=∆
−=−
=∆
=∆
C
CC
A
AA
FASCC
FASCC
b) Se requiere transferir desde este circuito 3800 kVA, o bien 1266.667 kVA por fase de los
resultados de la condición de equilibrio. Naturalmente el Factor de Asignación de la fase B
debe ser calculado después de los cambios.
601.0448.55516.7806820
4600=
++=
∆+∆+=
CAB
mediaB CCCCCC
SFA
Entonces, se convierten los 1266.667 kVA a extraer de cada fase en carga conectada a
transferir a otro circuito.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 62
kVA746.1862680.0
667.1266667.1266
kVA599.2107601.0
667.1266667.1266
kVA986.2016628.0
667.1266667.1266
−=−=−=′∆
−=−=−=′∆
−=−=−=′∆
CC
BB
AA
FACC
FACC
FACC
Para realizar simultáneamente el trabajo de balanceo y el de transferencia de Carga
intercircuito, las variaciones de carga conectada deben ser:
( )kVA194.1918
kVA635.1271kVA502.2797
−=′∆+∆=′′∆−=∆+∆−′∆=′′∆
−=′∆+∆=′′∆
CCC
CABB
AAA
CCCCCCCCCCCCCC
CCCCCC
Así la carga conectada total a ser transferida es:
kVA331.5987=′′∆+′′∆+′′∆=∆ CBAT CCCCCCCC .
Ejemplo 3-5. Considere un transformador de potencia que alimenta tres circuitos de
Distribución. Las Cargas totales conectadas, y las demandas máximas de 30 min por
alimentador están registradas en la siguiente tabla, junto con los respectivos Factores de
Potencia.
Alimentador kVA Conectados Demanda en kW Factor de Potencia 1 2500 1800 0.95 2 3000 2000 0.85 3 3600 2200 0.90
Asuma un Factor de Diversidad de 1.15 entre alimentadores.
a) Determine la demanda máxima del transformador en kW, kvar y kVA.
b) Determine la Diversidad de Carga en kW.
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 63
c) Los tamaños comerciales de transformadores de potencia son: 2500/3125,
3750/4687, 5000/6250 y 7500/9375 kVA (autoventilación/ventilación forzada). ¿Cuál
es el tamaño del transformador en cuestión si se admite una sobrecarga del 25%.
d) ¿Cuánta carga conectada debe transferirse entre alimentadores para que todos
tengan la misma demanda en kVA?
Solución.-
a) kVA631.5911800º195.18737.189495.0arccos95.01800
1 jS +=== ,
kVA489.12392000º788.31941.235295.0arccos85.02000
2 jS +=== ,
y kVA509.10652200º842.25444.244490.0arccos90.02200
3 jS +=== .
Luego, la demanda máxima no coincidente es:
kVA629.28966000509.10652200489.12392000631.5911800321
jjjjSSSSmnc
+=+++++=
++=
kVAº77.25617.6662=⇒ mncS
Finalmente,
kVA808.2518391.5217º77.2558.579315.1º77.25617.6662 jS FDv
Smc
mnc +====
b) kW609.782391.52176000)Re( =−=−= mcmnc SSDC .
c) kVA86.463458.579325.1 25.158.5793 ==⇒= CNCN .
Por tanto, el transformador de la subestación es de 3750/4687 kVA.
d) Se asume equilibrio “intracircuito”. La demanda máxima media en kVA por circuito de
Distribución Smedia, y la demanda efectiva a transferir al circuito i, ∆Si, están relacionados
de la siguiente manera:
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 64
−=−≈∆−=−≈∆
=−≈∆⇒=== ++
kVA737.213kVA234.122
kVA970.335kVA707.2230
33
22
11
3122.6692
3321
SSSSSSSSS
S
media
media
mediaSSS
media
El símbolo ‘≈’ es obligatorio dado que los circuitos no están al mismo factor de potencia.
No obstante, puede observarse que los circuitos 2 y 3 están sobrecargados en comparación
con la demanda máxima media calculada, y por tanto, deben transferir Carga al circuito 1.
Para un análisis riguroso, sea
∆∆
=
3
2
SS
yx
. Luego, la condición de equilibrio
“intercircuito” viene dada por:
3211333222 θθθθθθθ yxSySxS ++=−=− 1
941.23520 << x 2
444.24440 << y 3
De la ecuación 1,
ySxSySxS −=−⇒−=− 32333222 θθθθ
EINADMISIBLy385.4797503.91
32
32
→∨
=+−=−
⇒⇒
−=−−=−
⇒ 32yxyx
SyxSySxS
y
222
3211333
)4359.05268.0631.591()9.085.01800()444.2444( yxyxy
yxSyS
+++++=−⇒
++=− θθθθθ
0229.2385279672.8644342.3683989.1989.1784.3755342.3683240.3590027
888.4888469.5975306
2
22
2
=−+++⇒
+++++=
+−⇒
yxxyxxyyxyx
yy
En resumen, se obtuvo el sistema de ecuaciones no lineal:
Aplicaciones Prácticas de Caracterización Elemental: Tarifación y Balanceo. 65
=−+++−=−
5
4
0229.2385279672.8644342.3683989.1503.91
2 yxxyxyx
282.215)(129.4309779.123
0807.1594265013.12510989.2503.91 2
=⇒
−=∨==−+
⇒⇒+=⇒
yEINADMISIBLxx
xxxy54
Finalmente,
kVA881.157784.0 784.0779.123
23000941.2352
2 22
2 ===∆⇒=== FAx
CCS CCFA ,
y kVA057.317679.0 679.0282.215
33600444.2444
3 33
3 ===∆⇒=== FAy
CCS CCFA .
PARTE II. CARACTERIZACIÓN DE
CARGAS NO-LINEALES EN SISTEMAS
ELÉCTRICOS DE DISTRIBUCIÓN.
CCAAPPÍÍTTUULLOO 44.. CCAARRAACCTTEERRIIZZAACCIIÓÓNN DDEE LLAASS CCAARRGGAASS GGEENNEERRAADDOORRAASS DDEE AARRMMÓÓNNIICCAASS..
La energía eléctrica es generalmente distribuida en tres formas de onda de tensión que
constituyen un sistema trifásico sinusoidal. En particular, será necesario conservar ésta
traza desde la producción hasta el uso final de la electricidad, para que la transferencia de
potencia sea efectiva.
La mayor parte del siglo XX, las Cargas eléctricas dominantes en los negocios y la
industria fueron los motores, los dispositivos de calefacción y el alumbrado. Estas
aplicaciones tienen poco efecto sobre la forma de onda sinusoidal de 60 Hz, o 50 Hz, según
este normalizado, entregada por las Distribuidoras. No obstante, unas pocas industrias,
como las siderúrgicas y las de tratamiento de aluminio que han empleado hornos de arco,
distorsionan la forma de onda debido a que el flujo de coriente en su proceso productivo no
es lineal o proporcional a la tensión sinusoidal del suministro.
En las últimas dos décadas el uso creciente de los equipos informáticos y de la
Electrónica de Potencia ha dado lugar en las redes eléctricas, a Cargas que presentan un
comportamiento no-lineal en su condición normal de operación. En ocasiones, este
comportamiento puede compararse con un funcionamiento en estado estable no sinusoidal
del sistema completo, debido a la distorsión en las formas de onda de tensión y de corriente.
Tal distorsión está compuesta por una onda sinusoidal de frecuencia igual a la normalizada
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 68
para el suministro general, y por otras sinusoides componentes denominadas armónicas,
cuyas frecuencias son múltiplas enteras de la normalizada o fundamental.
Las armónicas son consideradas un tipo de perturbación que afecta a la calidad de la
forma de onda de tensión suministrada por las Compañías de Electricidad. Como la
mayoría de los equipos conectados a la red han sido diseñados para funcionar con tensiones
sinusoidales, la existencia de armónicas puede dar lugar a malfuncionamientos. Por esta
razón, se han preparado normas internacionales que por un lado limitan las emisiones
armónicas de las Cargas “perturbadoras”, y por el otro fijan niveles de referencia para que
las compañías puedan vigilar el nivel de distorsión en sus redes (vea el Capítulo 6).
De este modo, la realidad actual ha hecho que evolucionen las medidas necesarias, y
el conocimiento de otros criterios que caractericen la señal distorsionada, con el fin de que
el técnico pueda evaluar debidamente la contaminación presente y proponer soluciones para
limitar las perturbaciones armónicas.
4.1. DEFINICIONES Y CONSIDERACIONES BÁSICAS.
• Frecuencia Fundamental: Es la frecuencia normalizada para el suministro general.
En los sistemas de diseño americano la frecuencia de oscilación es de 60 Hz, mientras
que en sistemas de diseño europeo vale 50 Hz.
• Componente Fundamental: Es la onda de tensión o de corriente sinusoidal
componente de la onda distorsionada cuya frecuencia es igual a la fundamental. En
adelante, será simplemente referida como fundamental.
• Componente Armónica: Se define como la onda de tensión o de corriente sinusoidal
con frecuencia múltipla entera de la frecuencia fundamental. Se trata de un fenómeno
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 69
de distorsión de la forma de onda de tensión y de corriente en estado estable. En
adelante, está componente será simplemente referida como armónica.
Figura 4-1. Forma de una onda distorsionada (Fuente: [1]).
• Orden de Armónica: También referido como número de la armónica, es la razón de
la frecuencia armónica a la frecuencia fundamental. Por definición el orden de la
fundamental es 1, y la armónica de orden n es simplemente referida como nª
armónica.
Las fuentes comúnmente generan armónicas impares. No obstante, al energizar un
transformador de potencia, en las Cargas polarizadas (rectificadores de media onda),
y en los hornos de arco se generan armónicas pares e impares.
• Interarmónica: Son componentes sinusoidales cuyas frecuencias no son múltiplas
enteras de la frecuencia fundamental (quedarían entre las armónicas). Las
interarmónicas son debidas a variaciones periódicas o aleatorias de la potencia
requerida por varios dispositivos tales como hornos de arco, máquinas de soldadura e
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 70
inversores de frecuencia (cicloconvertidores). Las frecuencias de control remoto
empleadas por las Distribuidoras también son interarmónicas [6].
Las interarmónicas inferiores al orden 1 se conocen como subarmónicas, y son
componentes sinusoidales cuya frecuencia está por debajo de la frecuencia nominal
del sistema. No obstante, el término “componente de frecuencia subsíncrona” es más
aceptado, porque describe mejor tal evento.1
• Elementos lineales y no-lineales: En el dominio de la frecuencia, el comportamiento
de los elementos lineales se describe mediante relaciones algebraicas lineales. Esto
significa que a una nª armónica de tensión el elemento lineal responde con una
armónica de corriente de la misma frecuencia. Este comportamiento se representa
mediante una impedancia que varía linealmente con la frecuencia. En cambio, los
elementos no-lineales se describen mediante ecuaciones no-lineales que ligan las
tensiones e intensidades armónicas consideradas, y por tanto no es satisfactoria una
representación por impedancias [7].
En las redes eléctricas predominan los elementos lineales: generadores,
transformadores, líneas de transporte, filtros y Cargas convencionales (motores,
alumbrado, etc.). No obstante los circuitos magnéticos en generadores,
transformadores y motores son elementos no-lineales, el diseño de ellos se ha
mejorado con el tiempo para hacer despreciable su influencia [7].
Desde la óptica del análisis de perturbaciones armónicas, los sistemas eléctricos
pueden esquematizarse según la Figura 4-2, o sea, pocas Cargas no-lineales o
1 En la exposición que sigue, no se tratará esta materia. Para un estudio sobre el particular puede descargarse la página grouper.ieee.org/groups/harmonic/ iharm/docs/ihfinal.pdf.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 71
perturbadoras, que inyectan ondas de corriente distorsionadas en una red lineal.
Estas Cargas perturbadoras se conectan a la red eléctrica en distintos niveles de
tensión. En baja tensión destacan las lámparas fluorescentes y los rectificadores no
controlados con filtrado capacitivo empleados en las fuentes de diversos equipos
electrónicos y en la alimentación a los motores eléctricos. En media tensión
sobresalen los rectificadores trifásicos no controlados con filtrado inductivo utilizados
en las subestaciones de tracción para alimentar a la catenaria [7].
Fuentesindependientes
Convertidoreselectrónicos
Hornosde arco
Otrosperturbadores Red lineal
Figura 4-2. Esquema de una red eléctrica con perturbadores (Fuente: [7]).
4.2. ANÁLISIS DE LA FORMA DE ONDA DISTORSIONADA.
Una función periódica, de período T, que cumpla con las condiciones de Dirichlet,
esto es, de valor absoluto integrable y un número de máximos, mínimos, y puntos de
discontinuidad finitos en ese período, tiene un desarrollo en series de Fourier convergente
dado por:
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 72
( ) ( )[ ]∑∞
=
++=1
0 sencos2
)(n
nn tnbtnaatf ωω , Tπ
ω2
= . ( 4-1 )
En el contexto actual, )(tf es la regla de correspondencia que modela la señal de tensión o
de corriente distorsionada; ω es la frecuencia angular fundamental; n es el orden de la
armónica;
( )∫ −
=ωπ
ωπ
ωπω ttntfan dcos)( y
( )∫ −
=ωπ
ωπ
ωπω ttntfbn dsen)(
( 4-2 )
Estas últimas se conocen como amplitudes de las subcomponentes en cuadratura de
orden n; por esta razón la ecuación ( 4-1 ) se conoce como forma rectangular de la serie de
Fourier. Note que sí 0=n , entonces 00 =b y
*d)(2 2
20 ∫−
=T
T
ttfT
a ,
esto es, el doble del valor promedio de )(tf en un período, o también, el doble de la
componente directa de la señal, la cual es generalmente nula en las aplicaciones de
Potencia. La siguiente tabla resume el efecto de las simetrías más comunes sobre el cálculo
de cada término de la serie.
La ecuación ( 4-1 ) puede escribirse en forma polar2 agrupando los términos seno y
coseno de igual frecuencia; así:
2 La serie de Fourier también tiene una forma exponencial, esencial para la teoría de telecomunicaciones. Van Valkenburg [13] hace una presentación elemental sobre esta forma de la serie, y Hsu [10] realiza varios ejemplos de aplicación.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 73
( )∑∞
=
−+=1
0 cos2
)(n
nn tncatf θω . ( 4-3 )
Donde
22nnn bac += y
( )n
nab
n arctan=θ . ( 4-4 )
Como se observa, nc da la amplitud de la nª armónica, y nθ su ángulo de fase.
Tabla 4-1. Resumen del efecto de la simetría en la estructura de la serie de Fourier (Fuente: [13]).
4.2.1. ESPECTRO DE FRECUENCIAS.
El espectro de frecuencias es la distribución de las amplitudes como una función del
orden de armónicas existentes en el sistema que se estudia, comúnmente representado
mediante un histograma. En tal representación, las amplitudes se colocan usualmente en por
unidad de la amplitud de la fundamental.
Aunque de la revisión de las ecuaciones ( 4-1 ) y ( 4-3 ) parecería que el espectro es
inabordable, dado el número infinito de sumandos, en las redes reales, sin embargo, sólo es
necesario considerar un número limitado de armónicas maxn (vea el Ejemplo 4-1). La
magnitud de las armónicas decrece cuanto mayor es su orden, de modo que la normativa
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 74
considera como armónicas de baja frecuencia aquellas de orden inferior a 50. De hecho
Félice [5] afirma que en la práctica, para la mayoría de los casos, sólo interesa hasta la 13ª
armónica.
4.2.2. VALOR EFICAZ DE UNA ONDA DISTORSIONADA.
En general, el valor eficaz de una función periódica (de tensión o de coriente), es el
valor de corriente directa que entregaría a un resistor la misma potencia promedio que la
función periódica. Algebraicamente,
∫ −
=2
2
2 d)(1 T
T
ttfT
F . ( 4-5 )
Donde, F es el valor eficaz de la función )(tf de período T. Observe que, desde el punto de
vista de Cálculo, F es la raíz cuadrada del valor promedio del cuadrado de la función
periódica )(tf .
Según el concepto, el valor eficaz es mejor indicador para estudiar el efecto de
calentamiento en materiales y equipos eléctricos que el valor máximo. Mientras que este
último puede ser puntual, el primero es un valor promedio que esta asociado a la potencia
activa consumida.
Puesto que la fundamental y toda armónica son señales sinusoidales, cada cual tendrá
valor eficaz del 70.71% de la amplitud correspondiente (¿por qué?). Por tal motivo, la
ecuación ( 4-3 ) puede reformularse de la siguiente manera:
( )∑=
−+=max
1
cos2)(n
n
nnCD tnFFtf θω , ( 4-6 )
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 75
donde, CDF es la componente de corriente directa de la función )(tf , nF denota al valor
eficaz de la su nª componente, y maxn es el orden máximo práctico. En consecuencia,
( ) ( )2
11
22maxmax
cos2cos22)(
−+−+= ∑∑
==
n
n
nn
n
n
nnCDCD tnFtnFFFtf θωθω
Debido a la linealidad de la integral, el valor promedio de una suma es la suma de los
valores promedios. En este sentido, el valor promedio de 2CDF es el mismo, y el del término
del centro, es nulo (¿por qué?). Para el último término, que representa los productos
cruzados de todas las componentes de )(tf (excepto, por supuesto, la de corriente directa),
una expresión genérica es la del producto de las kª y mª armónicas, esto es:
( )[ ] ( )[ ]=−− mmkk tmFtkF θωθω cos2cos2
( )[ ] ( )[ ] mkmkmk tmktmkFF θθωθθω −+−++++ coscos ,
cuyo valor promedio es no nulo sólo cuando mk = , y en consecuencia
∑=
+=max
1
22
n
n
nCD FFF . ( 4-7 )
La ecuación ( 4-7 ) es otra manera enunciar el Teorema de Parseval: El valor eficaz
de una tensión o intensidad periódica expresada mediante su serie de Fourier, es la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de todas sus componentes.
Ejemplo 4-1. Asumiendo que )(tf cumple con las condiciones de Dirichlet y observando
las relaciones entre todas las ecuaciones anteriores, para ∞→maxn demuestre que
nn ba ≈≈ 0 .
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 76
Demostración.-
Por hipótesis (Dirichlet) el valor eficaz de )(tf debe ser un valor finito; por tanto, la
sumatoria de la cantidad bajo radical de la ecuación ( 4-7 ) es convergente. Entonces es
necesario que
( )[ ] ( ) 0lim02limlim 22222 =+⇒=+=∞→∞→∞→ nnnnnnnn
babaF ,
y en consecuencia 0limlim ==∞→∞→ nnnn
ba .
Ejemplo 4-2. La Figura 4-3 muestra el perfil de la intensidad de corriente requerida para el
trabajo de una Carga perturbadora, alimentada por una tensión sinusoidal.
Figura 4-3. Onda distorsionada del Ejemplo 4-2.
a) Dibuje el espectro de frecuencia de la intensidad de corriente.
b) Determine el valor eficaz de la intensidad como función de su amplitud b.
Solución.-
Por simple inspección, la curva de la Figura 4-3 presenta simetrías de tipo impar y de media
onda. En consecuencia, según la Tabla 4-1, sólo tiene términos seno y armónicas de orden
impar. De este modo la amplitud de cada componente está dada por:
( )∫==− 2
0
)43(dsen)(4 T
nn ttntfT
bc ω
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 77
Observando que la intensidad es positiva entre 6T y 3T , haciendo tx ω= resulta:
( ) ( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]3332
3
32
3
32
3
coscos2coscos2
cos2dsen2
ππππ
π
π
π
π
πππ
ππ
−−=−=
−== ∫n
nb
nb
nxn
bxnxbb
nnn
n
( ) ( )( )[ ] 3
impar
33 cos4coscoscos2 πππ
ππ
πn
nnn
n nbn
nbb =−=⇒ .
34 cos ππ
nn
bnc =⇒
De este modo, la amplitud de la armónica es inversamente proporcional a su orden.
a) Con el fin de dibujar el espectro se evalúa bcn para los ordenes impares hasta 13. La
Tabla 4-2 presenta los resultados de la evaluación, e incluye ( ) ( )1c
cpunpun
ncI =′=′ .
Tabla 4-2. Espectro de frecuencias en forma tabular correspondiente al Ejemplo 4-2.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
1 3 5 7 9 11 13 15
Figura 4-4. Espectro que muestra la trascendencia de las múltiplas de la tercera armónica.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 78
Note que las múltiplas de la tercera armónica son más relevantes que las armónicas
precedentes inmediatas. La Figura 4-4 hace gráfica la comparación relativa entre
armónicas, y permite determinar a simple vista, el peso de cada una.
b) Sabiendo que el valor eficaz de la fundamental de corriente es, por la Tabla 4-2,
bbI 4502.02
637.01 == ,
esto es, el 45% de la amplitud de la onda, el valor eficaz de esta última es, según la ( 4-7 ):
( ) bbIIIIIn
pun
n
n 5669.05862.14502.08
1
2
121
8
1
212 ==
′=⇒= ∑∑
=
−
=
− .
Dicho de otro modo, el valor eficaz de la onda distorsionada es el 56.7% de su amplitud, lo
cual resulta menor que el de la onda sinusoidal con la misma amplitud (70.71%); esto es
indicativo de la distorsión. Otra observación interesante es:
( ) 794.05669.04502.0
11 === puI
I I .
El valor eficaz de la componente sinusoidal de corriente representa casi el 80% del valor
eficaz de la onda distorsionada.
No todos los aparatos son capaces de medir el valor eficaz real de una señal
cualquiera sea su forma. La medida del valor eficaz real está relacionada con la banda de
paso, así como con la tecnología del instrumento.
Un instrumento que no utilice la tecnología RMS (siglas de Root Mean Square),
puede proporcionar medidas erróneas. Sin esta tecnología los amperímetros sólo
proporcionan la intensidad eficaz de la fundamental de corriente, lo cual no es
representativo de la imagen térmica total producida por el valor eficaz de la onda
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 79
distorsionada (vea la Figura 4-5). Recuerde que la intensidad eficaz real es representativa
del efecto Joule debido al conjunto de la fundamental y las armónicas3.
Figura 4-5. El valor eficaz real es superior al medido
por un instrumento que no sea de tecnología RMS. Las desviaciones pueden ser del 50% (Fuente: [5]).
4.3. FACTORES DE CARACTERIZACIÓN DE LA DISTORSIÓN.
Un factor determinante en la identificación de una señal distorsionada es el Factor de
Cresta (CF, Crest Factor)4. Este factor mide cuanto se multiplica el valor eficaz real de la
onda para llegar a su valor de cresta; algebraicamente,
FfCFF
max= . ( 4-8 )
3 No obstante, los instrumentos tradicionales que emplean termopares están basados en el principio de la medida del calor liberado por el efecto Joule, y miden también el valor eficaz real de la intensidad o tensión, independientemente de la forma de onda de la señal. 4 En este capítulo, se mantienen las siglas usadas para los factores de caracterización en el idioma inglés, dado que los instrumentos comerciales para la medición de armónicas y toda la literatura sobre el tema, incluso la de habla hispana, así los denotan.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 80
Donde maxf es el valor máximo de la onda determinada por )(tf , y F es el valor eficaz de
tal onda.
En la sección 4.2.2 se recordó que valor eficaz de una onda sinusoidal es el 70.71%
de la amplitud correspondiente, esto es, 2=FCF . Sin embargo, en el Ejemplo 4-2 se
observó que para la onda distorsionada tal porcentaje disminuyó, y en consecuencia, para
ese caso 2>ICF .
Ejemplo 4-3. Demuestre que si la función )(tf , periódica con período ωπ2 , es tal que
( )tbtf ωsen)( ≤ y tiene simetría de media onda, entonces 10,2 ≤<⋅≥ ββFCF .
Demostración.-
Sea ωπ2=T . Según el enunciado
( )tbtf ωsen)( ≤ ( )tbtf ω222 sen)( ≤⇒
y dada su simetría de media onda,
)()( 22
2 tftf T =± .
En consecuencia,
( )2
dsen2d)(2 2
0
222
0
2 bttbT
ttfT
TT
=≤ ∫∫ ωbF
bF 212
≥⇒≤⇒
Además
100 maxmax ≤<⇒≤<
bfbf
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 81
Así
β⋅≥⇒≥ 22maxmaxFCF
bf
Ff
donde bfmax=β .
No obstante, un Factor de Cresta diferente de 2 sólo indica que la onda está
distorsionada, sin discriminar el peso que tienen las componentes armónicas en la
perturbación de la onda.
La Distorsión Armónica Total (THD, Total Harmonic Distortion), mide la relación
del valor eficaz del total de armónicas al fundamental. Algebraicamente,
∑=
=max
2
2
1
1n
n
nF FF
THD . ( 4-9 )
Donde 1F y nF son respectivamente, los valores eficaces de la fundamental y la nª
armónica de la onda distorsionada determinada por )(tf . Usualmente este factor se
presenta en por ciento; no obstante, para futuras manipulaciones, es mejor perseverarlo en
por unidad.
El THDF mide la proporción que de la fundamental, representa el total de armónicas.
Este factor puede superar la unidad cuando el contenido de armónicas supera a la
fundamental, lo cual, es indicativo de una gran distorsión. De la ecuación ( 4-9 ) se deduce
que:
( )∑=
′=
max
2
2n
n
punF FTHD . ( 4-10 )
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 82
Donde ( ) punF ′ es la nª armónica en por unidad de la fundamental, conocida como
Distorsión Armónica Individual (excluyendo, por supuesto, el caso 1=n ).
Una variante del THDF, conocida como Factor de Distorsión (DF, Distortion
Factor)5, consiste en remplazar la fundamental F1 por el valor eficaz de la onda
distorsionada, esto es, F. Algebraicamente,
( ) ( ) ( )Fpu
n
n
pun
n
n
nF THDFFFF
DF 1
2
2
2
2maxmax
1=== ∑∑
==
. ( 4-11 )
Donde ( )punF es el valor eficaz de la nª componente en por unidad del valor eficaz real de
la onda determinada por )(tf .
El DFF cuantifica el efecto térmico del contenido de armónicas de la forma de onda.
A diferencia del THDF, se tiene que 1≤FDF .
Ejemplo 4-4. Determine la Distorsión Armónica Individual y Total, así como el Factor de
Distorsión de la onda de la Figura 4-3.
Solución.-
En el Ejemplo 4-2 se obtuvo:
34 cos ππ
nn
bnc = .
Así la Distorsión Armónica Individual está dada por:
5 Esto según la norma IEC-61000-1-1 [23]. En este sentido la norma IEEE-519 [25] denota de diferentes formas el cociente que sin ambigüedades, define la International Electrotechnical Commission como THD.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 83
( ) ( )
==′⇒>=′casootroen,
3demúltiploessi,2
cos1impares,
1
23
1n
nn
puncc
pun
nn
InI n
π
.
En consecuencia,
( ) 0.76560.58627
1
2
12 ==
′= ∑
=
+
n
punI ITHD ,
y ( ) ( ) ( )( ) 6079.00.76560.7941 === IpuI THDIDF .
Esto indica que el contenido armónico de la onda distorsionada representa poco más de 43
de la fundamental, y 53 de la intensidad eficaz real.
Ambos factores, THDF y DFF, discriminan el peso que tienen las armónicas en la
perturbación de una onda; no obstante, entre ellos el THDF es el índice de Calidad de
Potencia más común en la normalización del problema de contaminación armónica y un
último factor de caracterización se presenta en la sección 5.2, pero con aplicación
específica a transformadores.
Dado que en las redes de Potencia la distorsión armónica en la tensión es mucho
menor que en la intensidad, a menos que se coloque el subíndice U, las siglas CF, THD y
DF se referirán justamente a corriente.
4.4. FUENTES DE ARMÓNICAS.
Hay numerosas fuentes de armónicas. En general, las fuentes armónicas pueden ser
clasificadas en tradicionales y modernas.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 84
4.4.1. FUENTES TRADICIONALES.
En principio, la inyección de armónicas se asociaba con el diseño y la operación de
las máquinas eléctricas. De hecho, entonces la principal fuente de armónicas era la
intensidad de la corriente de magnetización en los transformadores de potencia.
Sin embargo, los transformadores y maquinas eléctricas contemporáneas cuando
trabajan en estado estable, no dan lugar a una distorsión significativa en la red.
• Transformadores: La distorsión que se observa en la forma de onda de la intensidad
de la corriente de excitación, se debe a las múltiplas de la tercera armónica (3ª, 9ª,
15ª, etc.). Tales armónicas son necesarias para que el flujo de enlace sea sinusoidal.
• Máquinas rotatorias: Con entrehierro constante, no saturada magnéticamente, y con
devanado trifásico, la fundamental de la fuerza magnetomotriz es una onda viajera
moviéndose en dirección positiva; las múltiplas de la tercera armónica son nulas; la 5º
armónica viaja en dirección negativa; mientras que, la 7ª armónica viaja también en
dirección positiva.
Así, todas las armónicas de la fuerza magnetomotriz dependen de la velocidad del
rotor, y en consecuencia, inducen fuerzas electromotrices en el estator cuyas
frecuencias son el cociente de la velocidad entre la longitud de onda.
También es problemática la distribución no sinusoidal del flujo en el entrehierro de
las máquinas sincrónicas, y la distorsión en el flujo debida a cambios bruscos en la
Carga.
• Iluminación Fluorescente: Las lámparas fluorescentes operan con armónicas
impares de intensidad; siendo la tercera la más importante. El mayor problema es el
gran Factor de Coincidencia entre este tipo de Cargas.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 85
Figura 4-6. Características de varias Cargas perturbadoras (Fuente: [6]).
4.4.2. FUENTES MODERNAS.
Las principales fuentes modernas de armónicas son los inversores y rectificadores con
control de ángulo de fase. Asimismo, las medidas de conservación de la energía, tales como
las destinadas a mejorar la eficiencia y balance de Carga en motores, las cuales emplean
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 86
semiconductores para su operación y frecuentemente perturban la forma de onda de la
tensión.
También pueden mencionarse:
• Compensadores estáticos: Un gran número de motores sincrónicos ha sido
reemplazado por este tipo de compensador para suministrar reactivos
automáticamente.
• Fuentes alternativas: La interconexión de los convertidores de potencia eólica, solar,
etc., con los Sistemas Eléctricos de Distribución.
• Televisores: Comúnmente se alimentan mediante un rectificador debidamente
acondicionado. La rectificación actual es de doble onda, y se ha agregado un tiristor
para suprimir los picos de tensión; esto da lugar a grandes picos de intensidad y más
armónicas que en los receptores del pasado.
• Cargadores de baterías: De la misma manera que los televisores, equipos de sonido y
otros artefactos que trabajan con coriente directa, los cargadores responden a
tensiones sinusoidales con intensidades distorsionadas donde las múltiplas de la
tercera armónica son las de mayor impacto.
4.5. CARGAS INDUSTRIALES GENERADORAS DE ARMÓNICAS.
Las Cargas no-lineales son conocidas también como generadoras de armónicas
(HGL, Harmonics Generators Loads), porque, debido a su funcionamiento, establecen un
dominio de frecuencias armónicas en la red eléctrica de la cual son dependientes. En las
aplicaciones industriales, los principales tipos de HGL son: los convertidores estáticos y los
hornos de arco.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 87
4.5.1. CONVERTIDORES ESTÁTICOS EN REDES TRIFÁSICAS.
Los puentes rectificadores y más generalmente, los convertidores estáticos
(constituidos por diodos y tiristores), generan armónicas.
Figura 4-7. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente de Graetz ideal que
entrega coriente directa a una Carga predominantemente inductiva. (a) A la entrada del puente; y (b) Antes de un transformador conectado en ∆-Υ dispuesto para alimentar el
rectificador (Fuente: [1]).
Por ejemplo, para entregar una corriente directa perfecta, un puente de Graetz
requiere una onda de corriente alterna de pulsos rectangulares cuando la Carga es
predominantemente inductiva (vea la Figura 4-7), o puntas cuando el puente está seguido
por un condensador (vea la Figura 4-8).
Figura 4-8. Onda de corriente alterna aguas arriba de un puente seguido por un condensador (Fuente: [1]).
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 88
Ejemplo 4-5. Determine la Distorsión Armónica Individual de la onda de la Figura 4-7(a).
Solución.-
Note que tal onda tiene simetría impar si se retrasa un doceavo de período, y en cualquier
caso, tiene simetría de media onda. Por tanto, procediendo como en el Ejemplo 4-2, se
tiene:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )6666
65
6
cos4cos4coscos2dsen2 ππππ
π
π πππ
ππω n
nnn
n nbc
nbn
nbtnxbbtx =⇒=−−==⇒= ∫
.
Como en el Ejemplo 4-4, se determina la Distorsión Armónica Individual:
( ) ( ) ( ) ( )23
cos1impares, 6
1 nIncI
n
puncc
punpunn
π
=′⇒>=′=′ .
Este resultado puede simplificarse más:
( )
=′casootroen,
3demúltiploessi,01n
pun
nI .
De este modo, el orden de armónicas de corriente en un puente de Graetz ideal es la
variación en una unidad, de un múltiplo positivo de 6 (que es el número de pulsos
necesarios para la rectificación). En general, puede demostrarse que para un puente
rectificador ideal de ρ pulsos, el dominio del orden de armónicas del circuito es
+∈±= Zkkn 1ρ .
En la práctica, el espectro de intensidad de corriente es ligeramente diferente: existen
armónicas pares e impares adicionales de poca amplitud, conocidas como no
características. Además, las amplitudes de las armónicas características son afectadas por:
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 89
la asimetría; la inexactitud en los tiempos de disparo de los tiristores; los tiempos de
conmutación; filtrado imperfecto; etc.
Para los puentes de tiristores, también puede darse un desplazamiento de las
armónicas en función del ángulo de fase del tiristor. Por otra parte, los puentes híbridos
(diodos-tiristores) generan armónicas pares, lo cual restringe su aplicación a gran escala (la
2ª armónica es difícil de eliminar y crea serias perturbaciones en la red de suministro).
Vale destacar que la tendencia actual es la de reemplazar los rectificadores descritos
por otros que emplean la técnica de Modulación del Ancho de Pulso (PWM, Pulse Width
Modulation). Estos dispositivos operan en altas frecuencias de corte (alrededor de 20 kHz)
y son diseñados para generar niveles de armónicas despreciables.
Una estrategia de planeación para la aplicación de rectificadores de diodos, consiste
en combinar las armónicas de corriente de varios convertidores en el punto de acoplamiento
común (PCC, point of common coupling). La 5ª y 7ª armónicas de corriente se atenúan
usando dos puentes de diodos de 6 pulsos Cargados por igual, escogiendo cuidadosamente
el acoplamiento de los dos transformadores de suministro (vea las Figuras 4-9 y 10).
Figura 4-9. Circuito para la atenuación de I5 e I7 (Fuente: [1]).
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 90
Figura 4-10. Diagrama de bloques general de planeación para la aplicación de puentes
rectificadores de 6 pulsos (Fuente: [15]).
4.5.2. HORNOS DE ARCO.
El arco de los hornos de coriente alterna (CA) es no-lineal, asimétrico e inestable.
Esto da lugar a un espectro que incluye armónicas pares e impares, y dado el ruido de fondo
en todas las frecuencias, un espectro continuo (vea la Figura 4-11).
No obstante, el espectro depende del tipo de horno de CA, de su potencia nominal y
de su aplicación (es decir, fundición, refinación). Luego, la medición es necesaria para
determinar un espectro exacto.
Por otra parte, en los hornos de corriente directa (CD) el arco es alimentado por un
rectificador y los mismos son más estables que los de coriente alterna; no obstante, la onda
de corriente es más distorsionada que en este último caso.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 91
(a)
(b)
(c)
Figura 4-11. (a) Espectro de Frecuencia de horno arco de CA; (b) horno de arco de CA; (c) horno de arco de CD (Fuente: [1]).
4.5.3. MODELO DE CÁLCULO.
Para los cálculos de perturbaciones, los convertidores estáticos y los hornos de arco
son considerados como fuentes de armónicas de corriente. De esta manera las armónicas
debidas a las Cargas perturbadoras, son independientes de las otras Cargas y de la
impedancia de la red. En general, con propósitos de cálculo, las Cargas perturbadoras
pueden considerarse como fuentes de corriente.
Sin embargo, tal supuesto es inadecuado para los hornos de arco. En esos casos se
completa el modelo seleccionando cuidadosamente una impedancia a ser conectada en
paralelo con la fuente de corriente.
Caracterización de las Cargas Generadoras de Armónicas. 92
También es posible considerar las armónicas de tensión existentes aguas arriba en la
red, empleando un circuito equivalente de Norton por cada orden del dominio de
frecuencias de la red.
CCAAPPÍÍTTUULLOO 55.. PPRRIINNCCIIPPAALLEESS PPRROOBBLLEEMMAASS DDEEBBIIDDOOSS AA LLAASS AARRMMÓÓNNIICCAASS..
Las armónicas superpuestas a las fundamentales de tensión y de corriente tienen
efectos combinados sobre el equipo y dispositivos conectados a la red de suministro.
En general, las armónicas de corriente asociadas a las distintas impedancias de la red
dan lugar, por la Ley de Ohm, a caídas o elevaciones que afectan a la tensión proporcionada
por esa red. La Figura 5-1 muestra como la tensión resultante, común al resto de los
dispositivos de la red, no será sinusoidal. Esta contaminación de armónicas es perjudicial
para todos los dispositivos conectados a un mismo sistema de suministro.
Figura 5-1. Degradación de la tensión de la red debido a una Carga
no-lineal (Fuente: [6]).
Como se verá más adelante, en el ámbito de Distribución de electricidad, la
Distorsión Armónica Individual de tensión no debe superar 3%, y la Total 5% de acuerdo
Principales problemas debidos a las Armónicas. 94
con la norma americana [25], o según Félice [5], en 6% y 8% respectivamente, en el ámbito
de las instalaciones eléctricas de baja tensión.
Es claro que las armónicas de corriente son el origen de las armónicas de tensión,
porque circulan por las impedancias de los conductores y los artefactos eléctricos que
encuentran.
La contaminación armónica en una instalación eléctrica es menor cuando el equipo
perturbador es de baja potencia en comparación con la disponible en la red considerada. La
corriente distorsionada debida a la Carga presenta en este caso una pequeña amplitud y
encuentra una baja impedancia (la de fuente y línea). Para cuantificar la contaminación en
la instalación eléctrica se mide la distorsión de tensión en los terminales del secundario del
transformador de Distribución.
Por otra parte, la medida de las armónicas de corriente es lo que permitirá determinar
cuál o cuáles son las fuentes perturbadoras existentes en la red eléctrica. Es el cúmulo de
Cargas perturbadoras que dan lugar a armónicas de corriente importantes en la red eléctrica
lo que produce un nivel de contaminación inquietante, más sí las impedancias de la fuente y
de los conductores de la línea son elevadas.
Los efectos de deterioro de las armónicas de tensión e intensidad dependen del tipo
de Carga considerada, y se manifestarán de dos formas:
• Los efectos instantáneos se deben a la distorsión de la onda y a los fenómenos de
resonancia y se vinculan a las actividades no deseadas de disyuntores y relés, a la
destrucción de componentes (por ejemplo, condensadores) o incluso a la perturbación
de los dispositivos de regulación, que también dan lugar a la disminución del factor
de potencia de la instalación.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 95
• Los efectos a largo plazo generan calentamientos en los condensadores y en los
conductores y dan lugar al envejecimiento prematuro de las componentes de la red, o
incluso los calentamientos debidos a las pérdidas suplementarias en máquinas y
transformadores. Los problemas que aparecen son fundamentalmente de naturaleza
térmica y afectan, por tanto, el tiempo de vida de los equipos.
A continuación se detallan los efectos sobre la red debidos a las Cargas
perturbadoras, esto es, sobre los conductores eléctricos, los transformadores y la eficiencia
del sistema, así como los fenómenos de resonancia.
5.1. EFECTO SOBRE LOS CONDUCTORES.
Los cables involucrados en los fenómenos de resonancia (que se estudian más
adelante), pueden estar sujetos a esfuerzos de tensión y corona que pueden llevar a una falla
del dieléctrico (aislamiento). Los cables que transportan armónicas características son
propensos al calentamiento parásito.
La Figura 5-2 muestra curvas típicas de la “desclasificación” en la capacidad del
cable para diferentes calibres en la alimentación de un rectificador práctico de 6 pulsos.
En ese caso, el flujo de intensidad no sinusoidal en el conductor causará
sobrecalentamiento adicional y un valor eficaz de la forma de onda por encima del
esperado. Esto se debe a los efectos piel y proximidad, los cuales varían con la frecuencia,
el calibre y el espaciamiento. Así, la resistencia efectiva en coriente alterna (RCA) es mayor
que la resistencia en corriente directa (RCD), especialmente para los calibres superiores.
Cuando una forma de onda de corriente es rica en armónicas de alta frecuencia y fluye por
un cable, la RCA se eleva en la misma proporción, incrementando la pérdida CARI 2 .
Principales problemas debidos a las Armónicas. 96
Figura 5-2. Desclasificación del cable contra la proporción de Carga armónica
transportada por él (Fuente: [25]).
5.1.1. RELACIÓN ENTRE ARMÓNICAS Y COMPONENTES SIMÉTRICAS.
En circuitos trifásicos balanceados donde las ondas de corriente son iguales y
desfasadas 120º, las armónicas pueden considerarse componentes de secuencia. En efecto,
la Figura 5-3 muestra sinusoidales por fase, que pueden considerarse como componentes de
una onda distorsionada y diferenciadas porque a mayor frecuencia angular, menor
amplitud, y con fines didácticos, más angosto el trazado; así, por fase se tienen la
fundamental, la segunda y tercera armónicas de la onda de corriente.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 97
Fase a
Fase b
Fase c
Figura 5-3. Identificación de la secuencia según la frecuencia de la
componente en circuitos trifásicos balanceados.
Observe que la fundamental es de secuencia a-b-c, y en consecuencia la segunda
armónica es de secuencia inversa (esto es, c-b-a según indican las líneas auxiliares sólidas
superpuestas a las curvas); pero la tercera armónica tiene secuencia homopolar. Es claro,
desde el punto de vista geométrico, que si se construyen progresiones aritméticas de razón
Principales problemas debidos a las Armónicas. 98
3 para cada uno de estos ordenes, existe correspondencia entre las sucesiones resultante y
las componentes de secuencia (vea la Tabla 5-1). Así, TODAS las múltiplas de la tercera
armónica son de secuencia homopolar, y aunque la Carga esté equilibrada por fase, en el
neutro de una red eléctrica de 4 hilos, circula el triple de tales armónicas de corriente de
línea.
Tabla 5-1. Secuencia de las armónicas de intensidad hasta el orden 51.
SECUENCIA ARMÓNICAS
Directa 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49
Inversa 2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50
Homopolar 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51
Vale destacar que, cuando las corrientes no están balanceadas, como es el caso en un
horno de arco, cada armónica tiene su propio conjunto de componentes de secuencia.
5.1.2. SOBRECARGA DEL NEUTRO.
En la sección anterior se adelantó que cuando se trata de Cargas no-lineales,
equitativamente distribuidas entre las tres fases de una red eléctrica de 4 hilos, por el neutro
circula una intensidad no sinusoidal que triplica las múltiplas de la tercera armónica de la
corriente en cada fase.
Un ejemplo de medidas realizadas en una instalación eléctrica permite apreciar la
influencia de las armónicas de corriente sobre el conductor neutro. Estas medidas se han
realizado en una instalación compuesta por un conjunto de equipos informáticos repartidos
uniformemente entre las tres fases de la red eléctrica de Distribución.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 99
La Figura 5-4(a) muestra el flujo de corrientes en las tres fases debidas a Cargas
monofásicas no-lineales idénticas, conectadas entre fase y neutro, y también la corriente
resultante en el conductor neutro. Note que las ondas de corriente por fase no se solapan.
(a)
(b)
(c)
Figura 5-4. (a) Ondas de corriente de línea y de neutro determinadas por Cargas no-lineales monofásicas . (b) Espectro de la coriente de fase. (c) Espectro de la corriente por el neutro. (Fuente: [14]).
Principales problemas debidos a las Armónicas. 100
Los espectros para estas corrientes son presentados en las Figura 5-4(b) y (c). Note
que la corriente por el neutro sólo contiene múltiplas de la tercera armónica, cuyas
magnitudes son tres veces las correspondientes por fase.
En un período T, la corriente de fase consiste de dos combas alternantes no
consecutivas con duración de 6T , seguidas cada una de un intervalo de “apagado” con el
doble de duración.
El valor eficaz de la coriente de línea es según la ecuación ( 4-5 ):
∫=T
LL ttiT
I0
2 d)(1 . 1
El valor eficaz de la corriente por el neutro se calcula sobre un intervalo igual a 3T ,
dado que durante ese lapso, la corriente del neutro consiste de las mismas combas
alternantes que la corriente de línea, pero consecutivas; sin los intervalos de apagado. En
consecuencia:
L
T
L
T
neutro
T
neutroneutro IttiT
ttiT
ttiT
I 3d)(13d)(13d)(3
1
0
23
0
23
0
21==== ∫∫∫
3=⇒L
neutro
II . 2
El resultado 2 indica que el valor eficaz de la intensidad por el neutro es ¡173% el valor
eficaz de la corriente de línea!1
1 Schonek [14] hace una ilustración para el caso de ondas por fase que se solapan en el tiempo. Allí también se verifica una sobrecarga del neutro, aunque en menor cuantía que el caso sin solapamiento.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 101
Ejemplo 5-1. Suponga que Cargas como las del Ejemplo 4-2, están equitativamente
distribuidas en las fases de una red eléctrica de cuatro hilos. Cuantifique el efecto de estas
Cargas sobre el conductor neutro de la red.
Solución.-
Según lo recientemente expuesto y la Tabla 4-2 del Ejemplo 4-2,
( ) ( ) ( ) bbcIIn
n
n
nneutro 965.0085.0141.0424.02
32
33 2223
1
236
3
1
236 =++=
⋅=⋅= ∑∑
=
−
=
− .
Dicho de otro modo, el valor eficaz de la corriente por el neutro es casi igual a la amplitud
de la corriente en la línea, y con una frecuencia de oscilación que prácticamente triplica a la
nominal del sistema de suministro ( T3 , dado que 1593 53 III == ).
Las normas nacionales de diseño y construcción vigentes autorizan a subdimensionar
el conductor neutro respecto del empleado en la fase, para ahorrar en material, y sobre la
base que para sistemas equilibrados monofásicos de 3 hilos y trifásicos de 4 hilos, en
ambientes sinusoidales la suma vectorial de las corrientes de fase se anula en el punto
neutro; esto es falso en ambientes no sinusoidales.
En consecuencia, para instalaciones con un gran número de Cargas no-lineales es
conveniente reforzar el conductor neutro; según Schonek [14], la solución comúnmente
adoptada consiste en usar un calibre que duplique al empleado en la fase. Además, los
equipos de protección y control (cortacircuitos, interruptores, etc.) deberían ser calibrados
de acuerdo a la corriente en el neutro.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 102
5.2. EFECTO SOBRE LOS TRANSFORMADORES.
Las armónicas influyen fundamentalmente sobre los transformadores de Distribución
reductores conectados en ∆-Υ, para los cuales el mayor porcentaje de Cargas sean equipos
electrónicos monofásicos conectados entre línea y neutro.
Las armónicas de corriente por el neutro se reflejan en el triángulo, por donde
circulan elevando la densidad de flujo en el núcleo. También, las corrientes de Foucault,
proporcionales a la frecuencia, aumentan considerablemente.
Desde hace poco más de una década, se pensó en cuantificar el calentamiento
producido en los transformadores cuando se presentan armónicas. En esta situación el
transformador no debe funcionar a su potencia nominal y debe o cambiarse por otro de
mayor potencia o disminuirse la Carga. El transformador se “desclasifica” asociándole una
potencia equivalente.
La potencia equivalente de un transformador es la correspondiente a la sinusoidal que
provoque las mismas pérdidas que las producidas con la corriente no sinusoidal aplicada.
Esta potencia equivalente es igual a la potencia basada en el valor eficaz de la corriente no
sinusoidal multiplicada por cierto factor. Este factor “K” se define como aquel valor
numérico que representa los posibles efectos de calentamiento de una Carga no-lineal sobre
el transformador.
( )[ ]∑=
⋅=max
1
2
n
n
punInK , ( 5-1 )
donde, ( )punI está en por unidad de la corriente eficaz de la Carga.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 103
La potencia asignada del
transformador que se use debe ser
igual o mayor que la potencia
equivalente.
En el caso que un transformador
en servicio se desee cargar
posteriormente con corrientes
armónicas, un factor reductor de 1/K
debe ser aplicado a la potencia
asignada.
Figura 5-5. Desclasificación típica de un transformador que
atiende Cargas no-lineales. (Fuente: [18]).
La Figura 5-5 muestra el ajuste para el régimen de Carga de un transformador en
función del factor K de la Carga.
Este factor K varía en las instalaciones dependiendo si se ha tomado de día con un
nivel de Carga próximo al 100% o por la noche donde tan sólo suelen existir Cargas de
iluminación. Aún es más complejo prever el contenido de armónicos en el caso de
instalaciones nuevas. En general, la desclasificación es más frecuente en el caso de
instalaciones existentes. El diseño del transformador deberá realizarse para el peor caso
registrado.
Ejemplo 5-2. Determine el factor K para la Carga del Ejemplo 4-2.
Solución.-
En el Ejemplo 4-4 se obtuvo:
Principales problemas debidos a las Armónicas. 104
( )
=′casootroen,
3demúltiploessi,1
2
n
npun
nI , con n impar.
En el Ejemplo 4-2 se determinó ( ) 794.01 =puI . Entonces,
( )[ ] ( )
( ) ( )
( ) ( )( )∑∑∑
∑∑
=
−
=
−
=
−
=
−
=
′−=
−
=
−=
−=⋅=
8
1
2
122
1
8
1
2
1
122
1
8
1
2
1
1
12
8
1
212
15
1
2
12
1212
12
n
punpu
n
n
n
n
n
n
n
pun
InI
IIn
II
II
IIn
IInInK
( ) [ ] ( )( ) 7.101763.021121121794.0 2222 ==+++++++=⇒ K
En consecuencia, si un transformador convencional alimenta exclusivamente este tipo de
Carga, según la Figura 5-5, su capacidad debe estar desclasificada al 76%.
Ejemplo 5-3. Determine el factor K para el puente de Graetz ideal de la Figura 4-7(a).
Solución.-
En el Ejemplo 4-5 se obtuvo:
64 cos ππ
nn
bnc = , ( )
=′casootroen,
3demúltiploessi,01n
pun
nI y +∈±= Zkkn quetal16 .
Donde b es la amplitud de la onda de corriente. Por tanto, para 25max =n ,
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
96.008431.11
1 22512
2312
1912
1712
1312
1112
712
5132
321
1 ==++++++++
==b
bIII pu
π
π .
Procediendo como en el Ejemplo 5-2,
Principales problemas debidos a las Armónicas. 105
( )[ ] ( ) ( )( ) ( )( )
′++
′−=⋅= ∑∑∑
=
+
=
−
=
4
0
2
16
4
1
2
162
1
25
1
2 1616m
pum
m
pumpu
m
pum ImImIImK .
Luego,
( ) ( ) ( )( ) 3.899222.0996.0 2 ===K .
Según esto, un transformador convencional que forme parte de un arreglo ∆-Υ que alimente
exclusivamente este tipo de Carga, por la Figura 5-5, tendrá su capacidad desclasificada al
80%.
La norma ANSI/IEEE C57.110-1996 proporciona una guía para la desclasificación en
función del factor K de la Carga y de las pérdidas de dispersión proporcionadas por el
fabricante del transformador. No obstante, sobredimensionar el transformador tiene varios
inconvenientes:
La placa de características, habitualmente no se cambia. Sí la próxima persona que lo
visite no sabe que ha sido desclasificado, puede considerar que está trabajando muy
por debajo de los valores nominales e incrementar de nuevo la carga conectada hasta
el valor sugerido por placa.
Los transformadores suponen la mayor parte de la impedancia de un circuito de
Distribución y su reactancia puede suponer una oposición considerable a la
circulación de los armónicos de mayor frecuencia. Sobredimensionarlo supone
reducir su impedancia y, por tanto, los armónicos circulan más fácilmente. Además,
se eleva la intensidad de cortocircuito hasta valores que no permiten que la protección
primaria saque la unidad fuera de la línea en caso de falla.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 106
Por el contrario, un neutro subdimensionado, como ya se ha comentado, puede
producir elevadas caídas de tensión y considerables diferencias de potencial respecto
de tierra, no aconsejables para Cargas críticas.
Es deseable mantener la impedancia del transformador lo menor posible, pero
suficientemente grande para que no ocurra lo anterior. Es decir, encontrar una
situación de compromiso.
Los transformadores desclasificados requieren mayor sección de conductores, mayor
calibre en las protecciones y costos adicionales.
Entre otros, los Underwriter’s Laboratories [26] han reconocido los posibles riesgos
en la seguridad asociados al uso de transformadores normalizados sobredimensionados.
5.3. EFECTO SOBRE LA EFICIENCIA DEL SISTEMA.
Las armónicas no contribuyen de ninguna manera a llevar la energía activa necesaria
a los equipos y aparatos eléctricos conectados a la red. Esto significa, que las armónicas
representan en realidad pérdidas debidas al efecto Joule, piel y proximidad, participando así
en la degradación del factor de potencia. Cabe recordar que, este factor mide cuánto de la
potencia aparente entregada a una Carga produce trabajo eléctrico. Algebraicamente,
UIP
SPfp == . ( 5-2 )
Aquí P y S son las potencias promedio (activa) y aparente, respectivamente, consumida por
y entregada a la Carga; U e I son los valores eficaces de tensión aplicada y de la intensidad
de corriente determinada por la Carga.
Ya se ha visto que, en general, el valor eficaz de una señal es la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados de los valores eficaces de todas sus componentes. A continuación, se
Principales problemas debidos a las Armónicas. 107
realizarán las consideraciones necesarias para establecer en forma precisa el efecto de las
armónicas en el deterioro del factor de potencia.
5.3.1. POTENCIA ACTIVA.
Para una tensión aplicada y flujo de corriente periódicas cualesquiera, esto es,
( )∑=
−+=max
1
cos2)(m
m
mmCD tmUUtu ψω
e ( )∑=
−+=max
1
cos2)(n
n
nnCD tnIIti θω ,
la potencia instantánea absorbida por la Carga viene dad por:
( ) ( ) ( )
−+
−+=⋅= ∑∑
==
maxmax
11
cos2cos2)()(n
n
nnCD
m
m
mmCD tnIItmUUtiutp θωψω
( ) ( )∑∑==
−+−+=maxmax
11
cos2cos2n
n
nnCD
m
m
mmCDCDCD tnIUtmUIIU θωψω
( ) ( )
−
−+ ∑∑
==
maxmax
11
cos2cos2n
n
nn
m
m
mm tnItmU θωψω .
El valor promedio del producto CDCD IU es él mismo, y el de los dos términos
centrales es nulo. El último término representa los productos cruzados de todas las
componentes de )(tp excepto, por supuesto, las de corriente directa.
El producto genérico del último término es el de las mª y nª armónicas, esto es:
( )[ ] ( )[ ]=−− nnmm tnItmU θωψω cos2cos2
( )[ ] ( )[ ] nmnmnm tnmtnmIU θψωθψω −+−++++ coscos
Principales problemas debidos a las Armónicas. 108
cuyo valor promedio es no nulo sólo cuando nm = , y en consecuencia, la potencia activa
es:
∑=
+=max
1
cosn
n
nnnCDCD IUIUP φ ( 5-3 )
donde nnn θψφ −= . Dicho de otro modo, la potencia activa absorbida por una Carga
general es la suma de las potencias medias asociadas a su dominio de frecuencias.
Ya se ha dicho que en la mayoría de las aplicaciones de Potencia las componentes
directas son nulas (vea la página 72); entonces
∑=
=max
1
cosn
n
nnn IUP φ ( 5-4 )
Note también que, la relación entre los valores eficaces de tensión y corriente, y la
potencia promedio. En un ambiente sinusoidal, esto es, donde la excitación y respuesta son
sinusoidales, la expresión de potencia promedio está dada por la muy conocida expresión
111 cosφIUP = .
Ejemplo 5-4. Un transformador (Tx) monofásico ensayado en vacío se comporta como
una Carga no-lineal.
Para el caso que muestra la Figura 5-6, despreciando las pérdidas y las fugas de flujo en los
devanados, haga un análisis completo acerca de la potencia promedio absorbida por el Tx
operando en vacío.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 109
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Figura 5-6. Forma de onda y espectro de la intensidad (CF = 3.33 y %THD = 76) de un Tx de 25 kVA, 7200/12470Y-120/240 V, ensayado en vacío desde el lado de baja tensión (Fuente: [15]).
Solución.-
La onda distorsionada del Tx considerado es debida a la no-linealidad del núcleo ante una
excitación sinusoidal; no obstante, las armónicas de intensidad son necesarias para que el
flujo mutuo ( φ ) entre los devanados, primario (lado de alta tensión) y secundario (lado de
baja tensión), de Np y Ns espiras respectivamente, obedezca una sinusoidal, y en
consecuencia las tensiones inducidas en primario y secundario (ep y es), sean también de
esa naturaleza.
Asuma ( )tt ωsen2)( Φ=φ . Según la Ley de
Faraday
( )tEttNte sss ωcos2
d)(d)( =
φ= ,
donde 2Φ= ss NE ω , es el valor eficaz de la
tensión inducida en el devanado primario.
Figura 5-7. Transformador sin dispersión de flujo ni
pérdidas en los devanados.
Naturalmente, al despreciar las pérdidas en los devanados se admite que Es es igual a la
tensión de excitación del Tx (240 V durante la prueba en vacío).
Principales problemas debidos a las Armónicas. 110
Por inspección, dado que la Figura 5-6 muestra una forma de onda periódica distorsionada,
que cumple con las condiciones de Dirichlet, su desarrollo de Fourier es convergente:
( )[ ]∑=
−− −−=10
1
1212 12cos2)(n
nn tnIti θω .
Así, empleando la ecuación ( 5-4 ),
11 cosθIEP s= ,
porque sólo la fundamental de corriente tiene la misma frecuencia que la tensión de
excitación. Es más, la potencia absorbida por el Tx operando en vacío es la debida a la
subcomponente de la fundamental que está en fase con esa tensión.
Según la misma Figura CF = 3.33 y %THD = 76; indicadores de una gran distorsión. Por la
ecuación ( 4-8 ),
5.133.35maxmax ===⇒=
CFiI
IiCF A 5.1=⇒ I A
Por otra parte, conforme a ( 4-9 )
( )( )[ ] 21
) 7-3 (
2
221 1
max
THDIIIITHDn
n
n +=⇒=∑=
( )
( )
194.1796.05.176.01
5.11
1
221 ==+
=+
=⇒43421
puITHDII A
Como 36.063.053
1III == aproximadamente, se tiene:
( ) ( ) ( )pupupu III 536.01
363.01
1 ==
( ) ( ) ( ) 502.0796.063.063.0 13 ===⇒ pupu II y ( ) ( ) ( ) 287.0796.036.036.0 15 === pupu II .
Principales problemas debidos a las Armónicas. 111
Dicho de otro modo, respecto del valor eficaz de la onda distorsionada, la fundamental, 3ª y
5ª armónicas representan, respectivamente, 80, 50 y 29 %. Ahora bien, según la ecuación
( 4-11 ).
( ) ( ) 605.076.01
76.01 221 =
+=
+=⇒=
THDTHDDFTHDIDF pu .
Esto indica, desde el punto de vista global, que el 60.5% del valor eficaz de la onda
distorsionada es debido al contenido de armónicas.
La potencia absorbida por el Tx durante el ensayo en vacío es:
( )( ) 11 cos56.286cos194.1240 θθ ==P .
Gönen [8] proporciona valores característicos de los transformadores de Distribución
típicos. En particular para un Tx de 25 kVA, 7200/12470Y–120/240 V, se tiene 118=P
W.
º68.65412.056.286
118cos118cos56.286 111 =⇒==⇒=⇒ θθθ .
Este resultado apunta que sólo el 41.2% de la fundamental origina pérdida de potencia
promedio en la operación en vacío de transformadores con las mismas características (claro
está, despreciando las pérdidas y las fugas de flujo en los devanados). En la literatura esta
pérdida es referida como PFe.
De los procedimientos desarrollados en el ejemplo anterior, dos resultados muestran la
relevancia del factor THD; a saber:
21 1 THDII += ( 5-5 )
Principales problemas debidos a las Armónicas. 112
21 THDTHDDF+
= ( 5-6 )
5.3.2. FACTOR DE POTENCIA.
Como ya se ha dicho, no sólo por diseño sino también en la operación, la forma de
onda de tensión debe tener una Distorsión Armónica Total no superior a 10%. Por tanto la
tensión aplicada debe ser prácticamente sinusoidal, esto es,
1UU = ;
En consecuencia,
( )
distdesp fpfpTHDTHDIU
IUUIPfp =
+=
+⋅==−
21
211
11155
1cos
1cos φφ
distdesp fpfpfp =⇒ . ( 5-7 )
Donde,
1cosφ=despfp y ( ) 2121 −
+= THDfpdist ; ( 5-8 )
estos factores se denominan, respectivamente, de desplazamiento y de distorsión. Caben las
siguientes observaciones:
Para todo 1φ , 1cos 1 ≤= φdespfp .
Luego, distfpfp ≤ . Esto significa que
el máximo factor de potencia de una
instalación con Cargas perturbadoras
es el de distorsión.
Figura 5-8. Relación entre el factor de potencia máximo y la Distorsión Armónica Total de una instalación.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 113
Para un THD elevado, fpdist es bajo; en consecuencia, el factor de potencia real de la
instalación es todavía menor.
Los medidores de energía basados en el principio de inducción electromagnética no
son de tecnología RMS, y se calibran para integrar mediciones de potencia promedio
de ondas sinusoidales puras; en consecuencia, fpdist es ignorado por el instrumento de
medida.
Para tener una idea clara de la gravedad de las observaciones anteriores, a
continuación se estudia el efecto sobre la medición desde el punto de vista geométrico.
Sean S1 y P las potencias aparente y activa de la fundamental. En el caso de una
instalación compuesta de Cargas lineales, es claro que
SPfpfpfpSSTHD despdist ==⇒=∧=⇒= 10 1 .
Como P ≤ S, este cociente de hecho es bien interpretado por un coseno; así, S es la
hipotenusa y P es el cateto adyacente al ángulo cuyo coseno es fp, tal como muestra la
Figura 5-9(a). El otro cateto denotado por Q, cumple con:
22 PSQ −= .
Geométricamente, Q es la componente en cuadratura con P del vector bidimensional S , y
se refiere como potencia reactiva2.
Por otra parte, si en la instalación hay Cargas no-lineales aplica ( 5-7 ), esto es,
( )
( )( )[ ] SP
QPP
STHDS
PTHDS
Pfpfpfp distdesp =++
=+
=+
==−
22221
21
21
85
1 D.
2 La interpretación física de Q ha sido causa de gran polémica en el ámbito científico de la metrología eléctrica. Tal asunto es discutido con profundidad en otra obra, próxima a ser publicada por el autor de este Trabajo de Ascenso.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 114
Donde ( )( )1STHD=D , denota la potencia de distorsión y S es la potencia aparente debidas
a la perturbación armónica.
(b)
Q
PD
S
1S
(a)
1φ
P
Q
1SS =
Figura 5-9. Coordenadas de potencia aparente: (a) THD = 0, y (b) THD > 0.
Como muestra la Figura 5-9(b), la fórmula anterior corresponde al coseno director del
vector tridimensional S respecto del eje que incluye su coordenada P. Debe observarse que
en presencia de distorsión, la potencia aparente real es mayor que la registrada por los
instrumentos que no sean de tecnología RMS (S > S1).
fpPS = ( 5-9 )
En general, los investigadores contemporáneos sobre este tema reúnen
conceptualmente las cantidades Q y D como potencia no-activa N , tal que:
22 DN += Q .2
Ejemplo 5-5. El control de lámparas halógenas se realiza a partir de reguladores graduales
que utilizan tiristores, con el fin de asegurar la modulación de potencia suministrada a la
lámpara. Este montaje también se utiliza para modular la energía eléctrica de hornos o
incluso para implementar el control de los motores de arranque (motor de arranque
Principales problemas debidos a las Armónicas. 115
progresivo). Existen dos tipos de control para el regulador gradual: control de trenes de
señales y control por ángulo de fase. En este último, los tiristores se controlan de forma tal
que la tensión aplicada a la Carga es una tensión truncada a partir de la señal sinusoidal de
la red (vea la Figura 5-10).
a) Dibuje el espectro de frecuencia de i.
b) Determine THD, DF y CF. Interprete.
c) ¿Cuánto es el factor de potencia máximo de la instalación?
Figura 5-10. Regulador de luz para una lámpara halógena (Fuente: [5]).
Solución.-
a) Sea A la amplitud de la onda distorsionada. Tal señal sólo tiene simetría respecto de la
mitad del período; en consecuencia, n es impar.
( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ==2
4
2
0
dcossen4dcos)(4 T
T
T
n ttntTAttntf
Ta ωωω
( ) ( )[ ]∫ −++== π
π
ω
π 2
d1sen1sen xxnxnAtx
( ) ( )[ ]
≠−++−
=−=
−+ 1,1cos1cos
1,2cos
211
11
221
nxnxn
nxA
nnππ
π
π
π
Principales problemas debidos a las Armónicas. 116
( ) ( ) ( ) ( )
≠−−++−++−=−
=−+−+ 1,1cos1cos1cos1cos
1,1
211
211
11
11 nnnnn
nA
nnnnπππππ
≠−−−=−
=−+−+ 1,sensencoscos
1,1
211
211
11
11 nnn
nAn
nn
nnnπππππ
( ) ( ) ( ) ( )
≠−−−−+−=−
= −−
−+−+ 1,11
1,115.0
1115.0
11
11
11 n
nAn
nn
nnnπ
( ) ( )( ) ( )
≠−+−−=−
=⇒ −+−+− 1,1
1,115.0
11
11
11
11 n
nAa nnnnn
n π
( ) ( ) ( )[ ]∫∫ ==2
4
2
0
dsensen4dsen)(4 T
T
T
n ttntTAttntf
Tb ωωω
( ) ( )[ ] ( )( ) ( )[ ]
≠++−
=−=+−−=
+−
=
∫ 1,1sen1sen
1,2send1cos1cos
211
11
221
2 nxnxn
nxxAxxnxnA
nn
tx
ππ
π
ππ
π
ω
ππ
≠=
=
≠=
=⇒1,01,
1,01, 22
nn
nnAb
A
n
π
π.
En consecuencia,
( ) ( )( ) ( )
≠−+−−=
= −+−+− 1,1
1,593.0
215.0
11
11
11
111 n
nAI nnnnn
nπ
.
Para 25max =n se tiene el espectro que se muestra en la Figura 5-11.
b) ( ) ( ) 632.0
12
1
2
12
25
2
2
=
′=
′= ∑∑
=
+
= n
pun
n
pun IITHD
Usando la ecuación ( 5-6 ),
534.0183.1632.0
632.01632.0
1 22==
+=
+=
THDTHDDF
Principales problemas debidos a las Armónicas. 117
AIn2 0.593 0.318 0.106 0.106 0.064 0.064 0.045 0.045 0.035 0.035 0.029 0.029 0.024
( ) punI ′
1.000 0.536 0.179 0.179 0.108 0.108 0.076 0.076 0.059 0.059 0.049 0.049 0.040
Figura 5-11. Espectro de frecuencias de una lámpara incandescente controlada por tiristores.
Por otra parte,
( )ATHDIII A
2702.02
1
55
21 1593.0 =+=⇒=−
.
Exactamente, por simple inspección de la Figura 5-10, 2AI = .
2max ==⇒I
iCF .
Los tres resultados anteriores son indicadores de la gran distorsión en la forma de onda de i:
el contenido de armónicas representa el 63% de la fundamental y 53% del valor eficaz de la
intensidad total; su Factor de Cresta supera en 41% al de una onda sinusoidal.
c) De las ecuaciones ( 5-7 ), ( 5-8 ) y la observación , hecha al inicio de esta sección,
845.0183.11
11
2==
+=≤
THDfpfp dist
Principales problemas debidos a las Armónicas. 118
A pesar que la lámpara incandescente es prácticamente resistiva, el conjunto
control-lámpara tiene factor de potencia relativamente bajo.
Ejemplo 5-6. Considere una fuente práctica de tensión que alimenta una Carga general de
potencia nominal activa P. Compare las pérdidas por operación en el siguiente dominio:
( ) 1015.0, 2 ≤≤∧≤≤ℜ∈ THDfpTHDfp despdesp
Solución.-
Sea UL la tensión aplicada a la Carga. La intensidad de la corriente en el circuito serie
fuente ideal-resistencia interna-Carga, está dada por:
LL UfpP
USI
⋅==
En consecuencia,
= 22
2 1fpU
PRPrL
i
Garantizando la regulación de la tensión en la Carga, esto es, manteniendo firme la tensión
UL, y despreciando el incremento en la resistencia debido al efecto piel (del cual se habló
en la sección 5.1), las pérdidas de potencia variarán en proporción inversa con el cuadrado
del factor de potencia. De este modo, si la Carga es resistiva
2
2
1L
i
UPRPrfp =⇒= .
Luego, tomando este resultado como base y las ecuaciones ( 5-7 ) y ( 5-8 ), la expresión de
pérdidas en por unidad de esta base es, en cualquier caso,
Principales problemas debidos a las Armónicas. 119
( ) 2
21
desppu fp
THDPr += .
Figura 5-12. Pérdidas en por unidad del caso resistivo en función del factor de potencia y la
Distorsión Armónica Total.
La Figura 5-12 representa gráficamente está función en el dominio restringido indicado en
el planteamiento del problema. De la inspección de tal figura es fácil ver que las pérdidas
decrecen rápidamente con el factor de potencia de desplazamiento, y crecen lentamente con
la Distorsión Armónica Total. Además, el efecto combinado de ambas variables es nefasto
para la eficiencia del sistema: si se alimenta una Carga perturbadora, no importa que tan
Principales problemas debidos a las Armónicas. 120
bueno sea su factor de potencia de desplazamiento, las pérdidas siempre serán mayores que
las de una Carga lineal (THD = 0) al mismo factor de potencia.
Ejemplo 5-7. Considere el sistema de la Figura 5-13, donde una fuente práctica con
resistencia interna de 1 Ω y tensión sinusoidal en vacío de 120 V RMS, alimenta una
lámpara incandescente controlada por tiristores. Si el ángulo de disparo es de 90º determine
la potencia absorbida por la instalación control-lámpara.
Figura 5-13. Circuito monofásico tiristor-lámpara.
Solución.-
Sean ( )ttes ωsen2120)( = y A la amplitud de la onda de corriente distorsionada.
Con base en los resultados del Ejemplo anterior, el desarrollo de Fourier truncado a la 25ª
armónica es:
( ) ( ) ( ) ( )[ ][( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )]Atω
tωtωtωtωtωtωtωtω
tωtωtωt-θωti
25cos0.02423cos21cos0.02919cos17cos035.0
15cos13cos045.011cos9cos064.07cos5cos106.03cos318.0cos593.0)( 1
+++++
++++++=
Principales problemas debidos a las Armónicas. 121
donde ( ) 482.122arctan1
11 == a
bθ º.
La tensión aplicada u a la instalación control-lámpara está dada por:
)()()( titetu s −= .
Para la fundamental
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )
( )AAtAA
tAtA
ttAttu
318.05.021202
1
arctancos351.0212028800
sen5.02120cos318.0
482.122sensen482.122coscos593.0sen2120)(
−−+−=
−+=
+−=
ω
ωω
ωωω
Inmediatamente, se obtiene el espectro de u:
Tabla 5-2. Espectro de la tensión aplicada a la instalación control-lámpara incandescente.
n 1 3 5, 7 9, 11 13, 15 17, 19 21, 23 25
nU2 [V] 2351.0212028800 AA +− 0.318A 0.106A 0.064A 0.045A 0.035A 0.029A 0.024A
nψ [º] AA
318.05.02120arctan − 180 180 180 180 180 180 180
Aplicando la ecuación ( 5-4 )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º180cos
2024.0029.0035.0045.0064.0106.0
2318.0
º482.122arctancos2
593.0351.0212028800
22
222222
318.05.02120
2
A
AAAP AA
+++++++
−+−
= −
( ) 2318.0
5.021202 07.0º482.122arctancos351.02120288002965.0 AAAA AA −−+−= −
El signo negativo de las potencias armónicas (3ª a 25ª) indica que el flujo de las mismas es
de la instalación a la fuente. Esta potencia, “generada por la Carga”, es parásita y representa
pérdidas.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 122
5.4. FENÓMENOS DE RESONANCIA.
Los fenómenos de resonancia son causados por la presencia de elementos inductivos
y capacitivos en la red eléctrica. En un circuito que integre fundamentalmente estos
elementos, sabiendo que la reactancia de un inductor aumenta con la frecuencia y que la de
un condensador disminuye, existe una determinada frecuencia ωr para la cual estas dos
reactancias son iguales. Algebraicamente, si L denota la inductancia del inductor y C la
capacidad del condensador de un circuito dado,
( ) ( )C
LXXr
rrCrL ωω
1=⇒= .
LCLC rr
112 =⇒=⇒ ωω ( 5-10 )
donde el subíndice r subraya la condición de resonancia, ω es la frecuencia angular, XL y XC
son las reactancias inductiva y capacitiva, respectivamente; en consecuencia, el orden de
armónica resonante r está dado por:
L
C
XXr = ( 5-11 )
El fenómeno de resonancia, expresado mediante la relación ( 5-10 ), implica que las
impedancias capacitivas e inductivas comportan efectos que, combinados, dan lugar a
valores extremos. Este fenómeno ocurre cuando uno o más elementos inductivos están
conectados en paralelo con un condensador, pero también en el caso de una conexión serie
entre el condensador y la inductancia desde la fuente (vea las secciones 0 y 5.4.3).
La resonancia en paralelo se traduce en alta impedancia para el flujo de la armónica
de corriente, mientras que a la resonancia serie corresponde una baja impedancia para el
Principales problemas debidos a las Armónicas. 123
flujo de armónica referente. Cuando las condiciones de resonancia no son un problema, el
sistema está en capacidad de absorber cantidades significativas de armónicas de corriente
[25]. Sólo cuando tales armónicas tienen un camino de alta impedancia, ocurren distorsión
de tensión y amplificación de la intensidad de corriente importantes.
5.4.1. FLUJO NORMAL DE ARMÓNICAS DE CORRIENTE.
Las armónicas de corriente tienden a fluir desde las Cargas no-lineales (HGL) hacia la
más baja impedancia, comúnmente la fuente de suministro tal como lo muestra la Figura
5-14. La impedancia de la fuente de suministro es usualmente mucho menor que las rutas
en paralelo determinadas por las demás Cargas; no obstante, la armónica de corriente se
dividirá en función de las relaciones de impedancia.
Figura 5-14. Flujo normal de las armónicas de corriente.
Las armónicas de orden superior fluirán a los condensadores porque su impedancia es
reducida a altas frecuencias. Los condensadores sufrirán un calentamiento excesivo con el
riesgo de llevarle a su destrucción o a que el fusible de protección, colocado en serie, se
funda.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 124
Figura 5-15. Circuito de Cargas concentradas equivalente al de
la Figura 5-14.
Considere la Figura 5-15. Si la fuente es sinusoidal, a la
frecuencia de resonancia la tensión de suministro es nula, y en
consecuencia:
( )
==⇒
−
2
2115
Nominal
C
SC
Nominal
SC
C
UX
XU
XXr
C
SC
QSr =⇒ ( 5-12 )
donde XSC es la reactancia de cortocircuito del sistema hasta el punto de acoplamiento
común (Xt en la Figura 5-14), y Q es la potencia reactiva nominal debida a la capacidad C
del condensador. No deben confundirse los conceptos de tensión de servicio, tensión de
utilización y tensión nominal del sistema3, esta última empleada para obtener ( 5-12 ).
Figura 5-16. Curvas mostrando la impedancia debida a las Cargas y a la resistencia de los conductores. La impedancia máxima, aproximadamente R, es debida a la contribución de las potencias activas de diferentes
Cargas.
5.4.2. RESONANCIA EN PARALELO.
Según ( 5-10 ), en un sentido estricto la reactancia neta tiende a ser infinita en el
entorno de la condición de resonancia. Sin embargo, la situación práctica es un poco
3 Consulte la norma ANSI C84.1-1995: Electric Power Systems and Equipment-Voltage Ratings (60 Hertz).
Principales problemas debidos a las Armónicas. 125
diferente debido a la resistencia de los conductores, la cual se combina con los demás
parámetros de los que depende la impedancia armónica del sistema.
Las curvas de la Figura 5-16 muestran que:
• Al orden de resonancia r, el efecto inductivo es compensado exactamente por el
efecto capacitivo;
• La reactancia del sistema es inductiva en las bajas frecuencias, incluyendo la
frecuencia fundamental. A medida que aumenta la frecuencia, la reactancia lo hace
también rápidamente; no obstante, después de la frecuencia de resonancia cambia
súbitamente a capacitiva y así permanece hasta hacerse despreciable.
Como ya se ha dicho, la resonancia en paralelo se traduce en alta impedancia al flujo
de las armónicas de corriente en el entorno de la frecuencia referente, por lo que existe el
riesgo de armónicas de sobre-tensión, especialmente cuando la red opera a Carga liviana.
Es más, esas armónicas de corriente llevan a ser intensas las corrientes oscilantes de
intercambio en el circuito LC paralelo (también llamado circuito “tanque” dada su
característica de almacenamiento de energía). Esta elevada corriente de oscilación puede
causar distorsión de tensión e interferencia telefónica donde el circuito de Distribución y el
de Comunicación estén físicamente próximos.
Si el orden de resonancia corresponde a la frecuencia del equipo de control por
corriente-portadora de la Distribuidora, la buena operación de este equipo no está
garantizada.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 126
5.4.3. RESONANCIA SERIE.
Este tipo de resonancia es el resultado de la combinación serie de las impedancias de
bancos de condensadores y de las líneas o transformadores. La resonancia serie representa
un camino de baja impedancia para las armónicas de corriente y tiende a drenarlas, o
“entramparlas”, en el entorno de esa frecuencia. La resonancia serie puede causar altos
niveles de distorsión de tensión entre los elementos inductivo y capacitivo del circuito serie.
Un ejemplo posible de resonancia serie es un transformador intermedio que tiene un
condensador conectado en el lado secundario (vea la Figura 5-17). Este es un circuito serie
visto desde el lado primario del transformador.
Figura 5-17. Banco de condensadores involucrado en una resonancia serie.
En un sentido estricto, la impedancia de resonancia de la combinación serie bobina-
condensador está caracterizada por:
• Un valor mínimo resistivo Ri (resistencia interna de la bobina) para el orden de
resonancia r;
• Reactancia capacitiva antes de la frecuencia de resonancia;
• Reactancia inductiva después de la frecuencia de resonancia.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 127
Figura 5-18. Características de impedancia del circuito serie.
Ejemplo 5-8. Una instalación eléctrica industrial es alimentada mediante un transformador
de 750 kVA, 13800/23900GndY-480 V, propiedad de la Distribuidora. La medición para
facturar este servicio se hace en baja tensión, en un punto cuyo nivel de cortocircuito es
3.5 kA.
Si el consumo promedio mensual en la instalación es 352800 kWh con factor de potencia
de desplazamiento de 0.72¯, determine la capacidad del banco de condensadores
normalizado para llevar tal factor a 0.85¯, o 0.90¯ según convenga para evitar la
resonancia. (suponga que la tercera armónica es la más importante en la instalación)
Solución.-
Considere un promedio de 30 días de 24 horas por mes, esto es, 720 horas por mes.
490720352800 ==⇒ promP kW.
( ) ( )[ ] ( ) 56.168620.0964.049085.0arccostan72.0arccostan =−=−≈′ promC PQ kvar,
y ( ) ( )[ ] ( ) 20.235484.0964.049090.0arccostan72.0arccostan =−=−≈′′ promC PQ kvar.
Principales problemas debidos a las Armónicas. 128
Según la Tabla 1 de la IEEE Std 18-1992 (IEEE Standard for Shunt Power Capacitors), a
480 V los tamaños normalizados serían 180 y 240 kvar. Suponiendo que la distancia entre
el punto de medición y la instalación es despreciable, se tiene que los ordenes de probables
resonancias en paralelo son:
( )( ) 021.4180
5.34803===′
C
SC
QSr y ( )( ) 482.3
2405.34803
===′′C
SC
QSr
En consecuencia, se prefiere llevar el factor de potencia a 0.85¯, esto es, instalar un banco
de condensadores de 180 kvar. Note que un banco de mayor tamaño llevará a la instalación
eléctrica más cerca de la condición de resonancia a la 3ª armónica.
Cabe destacar, que si la 5ª armónica fuera más importante que el resto, como en el caso de
la rectificación de seis pulsos, la elección sería instalar 240 kvar. En definitiva, la elección
de la potencia reactiva del banco deberá realizarse de modo que la frecuencia de resonancia
se aleje de las frecuencias armónicas presentes en la red.
CCAAPPÍÍTTUULLOO 66.. RREEGGUULLAACCIIÓÓNN PPAARRAA EELL CCOONNTTRROOLL DDEE AARRMMÓÓNNIICCAASS..
Los problemas del Sistema de Potencia asociados con las armónicas comenzaron a
ser de interés general en la década de los 70, cuando dos eventos independientes tuvieron
lugar. El primero fue el embargo petrolero, que condujo a incrementos en la electricidad y
al ahorro de la energía. Las Distribuidoras y los consumidores industriales comenzaron a
instalar condensadores para el mejoramiento del factor de potencia. Los condensadores
reducen la demanda de MVA que se exige al sistema eléctrico, abasteciendo la porción de
reactivos necesarios de forma local (donde se requieran). Como resultado, se reducen las
pérdidas eléctricas tanto en la planta industrial como en la red eléctrica de Distribución.
Para mejorar el factor de potencia fue necesario incrementar significativamente el número
de condensadores conectados al Sistema de Potencia. Como una consecuencia, hubo un
aumento igualmente importante en el número de circuitos sintonizados (resonantes) en
redes de Distribución y plantas.
El segundo acontecimiento fue la llegada de la era tecnológica de los tiristores en baja
tensión. En los años 60, los tiristores fueron desarrollados para motores en CD y luego
durante la década de los 70, utilizados para controlar la velocidad de motores CA. Esto
resultó en una proliferación de pequeños convertidores operados independientemente sin
técnicas de mitigación de armónicas.
Regulación para el Control de Armónicas. 130
Aún con niveles de armónicas de corriente relativamente bajos, un circuito resonante
puede ocasionar severos problemas de distorsión en la tensión e interferencia telefónica. Un
circuito resonante paralelo puede amplificar los niveles de armónicas de corriente a un
punto tal que produzca falla en los equipos. Los circuitos resonantes serie pueden
concentrar el flujo de armónicas de corrientes en alimentadores o líneas específicas al punto
de producir interferencia telefónica de gran magnitud.
El aumento en el uso de convertidores estáticos, tanto en equipos de control industrial
como en aplicaciones domésticas, combinado con el progresivo uso de los condensadores
para el mejoramiento del factor de potencia, ha dado lugar a problemas mayores. La
amplitud de estos problemas, ha llevado a la necesidad de desarrollar técnicas y
lineamientos para la instalación de equipos y control de armónicas.
En general, una norma es un conjunto de reglas, de descripciones o incluso de
metodologías que un fabricante utiliza como referencia, para definir, probar y/o emplear su
producto terminado; en la actualidad, especialmente después de la Convención de la
comunidad europea de naciones del 25 de Julio de 1985, la electricidad es considerada un
producto. Este capítulo discute las normas fundamentales pertinentes al control de
armónicas de tensión y de corriente eléctrica, así como su importancia en el diseño de
Sistemas Eléctricos de Distribución.
6.1. NORMATIVA EUROPEA.
A menudo se distinguen las perturbaciones armónicas, como perturbaciones a bajas
frecuencias. La normativa europea clasifica las perturbaciones armónicas en un contexto
global: el de la compatibilidad electromagnética (CEM).
Regulación para el Control de Armónicas. 131
La perturbación electromagnética es una señal eléctrica no deseada que se añade a la
señal útil en una instalación dada. Las armónicas forman parte de estas señales no deseadas
y sus límites son establecidos en las normas relacionadas con la CEM.
No obstante, existe una frontera entre las perturbaciones armónicas producidas en las
redes eléctricas y las perturbaciones electromagnéticas que afectan a los equipos
electrónicos en general. Estas perturbaciones implican unas reglas precisas de instalación y
de implementación:
• Las perturbaciones de baja frecuencia se manifiestan en la instalación eléctrica como
perturbaciones conducidas (transmitidas por los cables).
• Las perturbaciones electromagnéticas “de alta frecuencia” se manifiestan en la
instalación eléctrica como radiaciones (transmitidas por el aire).
Según Félice [5] la frontera entre estos dos dominios afines se sitúa alrededor de la
frecuencia de 10 kHz.
La limitación de la contaminación armónica se concreta mediante el trabajo común
entre las dos partes, la Compañía Distribuidora y el usuario, como ya se ha mencionado.
Por parte de la Distribuidora, es necesario que se suministre una calidad de energía eléctrica
tal que presente la mínima distorsión posible. Por parte del usuario, es imperativo asegurar
que las Cargas contaminantes identificadas no contribuyan a degradar la tensión de la red,
en perjuicio del funcionamiento de otros dispositivos.
Debe precisarse el significado de los siguientes términos empleados en los
enunciados de las normas:
• Emisión: el nivel de emisión propio de un aparato debe ser lo suficientemente débil
para evitar perturbación alguna en otros aparatos de su entorno próximo.
Regulación para el Control de Armónicas. 132
• Compatibilidad: nivel de distorsión máximo especificado que puede ser esperado en
un ambiente dado.
• Inmunidad: se dice que un aparato posee un grado de inmunidad tal que no debe ser
perturbado por su entorno electromagnético.
• Susceptibilidad: nivel a partir del cual un aparato o sistema comienza a funcionar
mal.
6.1.1. LAS NORMAS Y ORGANISMOS DE NORMALIZACIÓN.
Pueden clasificarse las normas relativas a la compatibilidad electromagnética (CEM)
en tres categorías:
I Las publicaciones o normas fundamentales definen, de forma general, las
prescripciones relativas a la CEM (fenómenos, pruebas, etc). Se aplican a todos los
productos y sirven de herramienta a los comités de elaboración de normas específicas.
Las normas fundamentales no están consensuadas en el ámbito europeo.
II Las normas genéricas o europeas definen las exigencias esenciales en lo referente
al nivel de emisión, nivel que se debe tener por tipo de prueba. Utilizan las normas
fundamentales, así como los límites establecidos por las normas de emisión y/o
inmunidad.
III Las normas de productos o de familias de productos especifican las disposiciones
de construcción, las características que deben presentar, los métodos de realización de
pruebas y los criterios de funcionamiento para dichos productos y familias de
productos.
Regulación para el Control de Armónicas. 133
Los diferentes organismos que elaboran las normas que deben aplicar los instaladores
y los fabricantes son los siguientes:
• Comisión Electrotécnica Internacional (IEC) con sede en Ginebra.
• Comité Europeo de Normalización Electrotécnica (CENELEC) con sede en Bruselas.
Estas normas se identifican mediante la designación EN.
Cuando el CENELEC desea elaborar una norma por iniciativa propia, somete el
proyecto de la norma a la IEC, quien asume la elaboración de la norma en el ámbito
internacional. Generalmente, las normas EN-IEC son sancionadas por la CENELEC
mediante pequeñas enmiendas. Los votos de la IEC y CENELEC son independientes.
La lista no exhaustiva de los temas abordados por las normas relativas a las
perturbaciones armónicas es considerablemente extensa. Por este motivo en la Tabla 6-1
solamente se enumeran las normas principales.
Las normas CEM establecidas por la IEC llevaban en otro tiempo la referencia
IEC 1000-X-X y las de CENELEC, la referencia EN 61000-X-X. Actualmente, para evitar
confusiones, las normas IEC y EN emplean la misma referencia: la norma IEC 61000-X-X
equivale a la norma EN 61000-X-X.
6.1.2. APLICACIÓN DE LA NORMA.
En la actividad cotidiana, los técnicos e instaladores de equipos eléctricos en las redes
de baja tensión, se atienden especialmente las normas IEC 61000-3-2 y IEC 61000-3-4. En
efecto, estas dos normas establecen los niveles de emisión armónica en corriente para los
aparatos electrodomésticos e industriales.
Regulación para el Control de Armónicas. 134
Tabla 6-1. Principales Normas relativas a las armónicas (Fuente: [5]).
Competencia Referencias y temas abordados
Generalidades IEC 61000-1-1: definición de los términos fundamentales.
Entorno ( ) IEC 61000-2-1: entorno electromagnético relativo a las perturbaciones conducidas de baja frecuencia y a la Transmisión de señales en las redes públicas de suministro.
IEC 61000-2-2: niveles de compatibilidad relativos a las perturbaciones conducidas de baja frecuencia y a la Transmisión de señales en las redes públicas de suministro.
IEC 61000-2-4: niveles de compatibilidad en las redes industriales para las perturbaciones conducidas de baja frecuencia.
IEC 61000-2-5: clasificación de los entornos electromagnéticos.
EN 50160: características de la tensión suministrada por las redes públicas de Distribución.
Límites de emisión IEC 61000-3-2: límites para las emisiones de corrientes armónicas en las redes públicas de baja tensión, para los aparatos de menos de 16 A por fase.
IEC 61000-3-4: límites para las emisiones de corrientes armónicas en las redes públicas de baja tensión, para los aparatos de más de 16 A por fase.
IEC 61000-3-6: evaluación de los límites de emisión para las Cargas perturbadoras conectadas a las redes de media y alta tensión.
Inmunidad y técnica de prueba
IEC 61000-4-1: visión de conjunto de las pruebas de inmunidad ( ).
IEC 61000-3-4: guía general para la medida de armónicas y equipos de medida, aplicada a las redes de alimentación y a los aparatos conectados a dichas redes ( )
IEC 61000-4-13: pruebas de inmunidad a las armónicas.
IEC 61000-4-15: fenómenos de oscilación.
EN 50082-1: norma genérica de inmunidad residencial, comercial, industrial ligera.
Normas genéricas IEC 61000-6-1: normas genéricas sobre inmunidad para los entornos residenciales, comerciales y de industria ligera.
IEC 61000-6-2: normas genéricas sobre inmunidad para los entornos industriales.
IEC 61000-6-3: normas genéricas sobre la emisión. 1ª parte: residencial, comercial y de industria ligera.
IEC 61000-6-4: normas genéricas sobre la emisión. 2ª parte: entorno industrial.
EN 50081-1: norma genérica sobre emisión en el entorno industrial.
EN 50082-2: inmunidad en el entorno industrial.
( ) Se ocupa de la compatibilidad y de la definición del producto de electricidad. Aquí sólo se incluyen los temas relativos a las armónicas. ( ) Publicación fundamental de la IEC. ( ) Guía de medida asociada a la norma EN 50160. Nota: Cuando no exista una norma de CEM para un determinado producto, es la norma genérica la que se aplica. Las normas de producto son duplicadas de forma coherente con las normas genéricas. Un comité especial vela porque no se produzca ninguna incoherencia.
Regulación para el Control de Armónicas. 135
La norma IEC 61000-3-2 extiende el campo de aplicación de una norma anterior, la
IEC 555-2, también a equipo para uso profesional, aplica a equipos a conectarse a sistemas
de tensión de 50 o 60 Hz en 220/380Y V, 230/400Y V o 240/415Y V. Si las tensiones de
suministro difieren de las señaladas se hace un ajuste lineal sobre los límites señalados.
Tabla 6-2. Clasificación de equipo según la norma IEC 61000-3-2 ( ).
Clase Descripción
A Equipo trifásico balanceado (magnitudes de corriente de línea que difieren por no más de 20%) y todos los demás equipos, excepto aquellos en las siguientes clases.
B Herramientas portátiles.
C Equipo de alumbrado incluyendo dispositivos atenuadores con potencia activa de entrada superior a 25 W.
D Equipos con corriente de entrada con una forma de onda de equipos informáticos y una potencia activa fundamental de entrada entre 75 y 600 W ( ).
( ) Los límites para equipo de uso profesional en alta potencia, esto es, de más de 1 kW, probablemente sean incluidos a corto plazo como Clase E. ( ) Independientemente de la forma de onda de la corriente de entrada, equipos Clase B, C, y equipos impulsados provisionalmente por motores no se considerarán equipos de Clase D.
Tabla 6-3. Límites de armónicas para aparatos.
Corriente máxima permitida por clase A B C D
Clase n [A] [A] P > 25 W
[% de I1] 75 ≤ P ≤ 600 W
[mA/W] [A]
Armónicas impares 3 2.30 3.450 30 fp 3.400 2.30 5 1.14 1.710 10 1.900 1.14 7 0.77 1.155 7 1.000 0.77 9 0.40 0.600 5 0.500 0.40 11 0.33 0.495 3 0.350 0.22 13 0.21 0.315 3 0.296 0.21
15 - 39 2.25/n 3.375/n 3 3.85/n 2.25/n Armónicas pares 2 1.08 1.620 2 4 0.43 0.645 6 0.30 0.450
8 - 40 1.84 2.760/n
Regulación para el Control de Armónicas. 136
Los límites indicados son aplicables a las armónicas de estado estable. Para
armónicas de estado transitorio, aplica lo siguiente:
• Las armónicas de corriente son despreciables para la conexión manual o automática
del equipo si duran no más de unos segundos.
• Para las armónicas transitorias pares hasta el 10º orden, o las impares hasta la 19ª los
límites indicados son aplicables sólo si la duración de tales transitorios no supera los
15 s. Cualquier observación periódica de 2.5 min de duración no debe exceder 1.5
veces el límite pertinente establecido en la tabla anterior.
La norma IEC 61000-3-4 no solamente trata con equipo individual, sino que establece
los límites para una instalación de un sistema completo, abarcando sistemas de una o más
fases. Esta norma también considera la relación RSCC de cortocircuito a corriente de entrada
(≥ 16 A).
Tabla 6-4. Límites establecidos por la norma IEC 61000-3-4 para equipo trifásico (Fuente: [16]).
Límite superior de los factores de Distorsión (%) RSCC
Mínima THD PWHD
66 17 22 12 10 9 6 120 18 29 15 12 12 8 175 25 33 20 14 12 8 250 35 39 30 18 13 8 350 48 46 40 25 15 10 450 58 51 50 35 20 15
> 600 70 57 60 40 25 18
En la Tabla 6-4 sólo están listados los límites hasta la 13ª armónica. La norma define
PWHD como la distorsión armónica parcialmente evaluada; para órdenes superiores a los
referidos por la tabla se determina así:
Regulación para el Control de Armónicas. 137
( )∑=
′=
40
14
2
npunInPWHD .
Tabla 6-5. Corriente admisible para la instalación completa según la norma 61000-3-4 (Fuente: [16]).
n %
n %
3 19 21 ≤ 0.6 5 9.5 23 0.9 7 6.5 25 0.8 9 3.8 27 ≤ 0.6 11 3.1 29 0.7 13 2.0 31 0.7 15 0.7 ≥ 33 ≤ 0.6 17 1.2 19 1.1 Par ≤ n
4 o ≤ 0.6
La Tabla 6-5 muestra que la misma norma, aunque no lista los valores de THD y
PWHD, establece un límite de 20% para la instalación completa. Si las tres fases no están
balanceadas, cada fase debe tratarse individualmente.
6.2. NORMATIVA AMERICANA.
Las normas estadounidenses con respecto a las armónicas han sido agrupadas por
IEEE en la norma 519: “IEEE Recomendaciones Prácticas y Requerimientos para el
Control de Armónicas en Sistemas Eléctricos de Potencia” [25]. Existe un efecto
combinado de todas las Cargas no lineales sobre el Sistema Eléctrico de Distribución, el
cual tiene una capacidad limitada para absorber armónicas de corriente. Adicionalmente,
las Distribuidoras tienen la responsabilidad de proveer alta calidad en lo que respecta al
nivel de la tensión y su forma de onda. IEEE 519 hace referencia no sólo al nivel absoluto
de armónicas producidas por una fuente individual sino también a su magnitud con respecto
a la red de Distribución.
Regulación para el Control de Armónicas. 138
Se debe tomar en cuenta que la IEEE 519 está limitada por tratarse de una colección
de recomendaciones prácticas que sirven de guía tanto a consumidores como a
Distribuidoras de energía eléctrica. Donde existan problemas, a causa de la inyección
excesiva de armónica de corriente o distorsión de la tensión, es obligatorio para la
Distribuidora y el consumidor resolver estos problemas.
El propósito de la IEEE 519 es el de recomendar límites en la distorsión armónica
según dos criterios distintos; específicamente:
Existe una limitación sobre la cantidad de armónicas de corriente que un consumidor
puede inyectar en la red eléctrica de Distribución.
Se establece una limitación en el nivel de armónicas de tensión que una Distribuidora
puede suministrar al consumidor.
Figura 6-1. Selección del PCC desde donde otros clientes o consumidores pueden ser servidos (Fuente: [17]).
6.2.1. PUNTO DE ACOPLAMIENTO COMÚN (PCC).
El punto de acoplamiento común PCC (vea la sección 4.5.1), es el lugar donde son
conectados varios consumidores para servirlos mediante el Sistema de Potencia público.
Según la norma, en el PCC cualquier otro consumidor puede ser atendido por el sistema; no
obstante, la norma puede ser aplicada a consumidores físicamente separados dentro de la
instalación, con la salvedad de emplear los límites de corrientes pertinentes a tales casos.
Regulación para el Control de Armónicas. 139
El PCC puede estar ubicado en el primario o en el secundario de un transformador de
Distribución reductor, dependiendo de la cantidad de clientes alimentados por él. Sin
embargo, cuando la empresa es propietaria del transformador puede escoger el PCC en el
lado de baja con el propósito de limitar las armónicas de corriente que de otro modo tendría
que soportar.
6.2.2. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA LA APLICACIÓN DE LA NORMA.
El procedimiento general para la aplicación de límites de armónicas incluye la
caracterización de las fuentes de contaminación, la evaluación del impacto en el sistema, y
la implementación de métodos para el control de armónicas, si es necesario. Esto debe
significar un esfuerzo conjunto entre las partes involucradas en el problema (Distribuidora-
usuario-fabricante).
6.2.2.1. Procedimiento General de Evaluación.
Es poco probable realizar una evaluación detallada de cada consumidor en lo que al
tema de armónicas se refiere. En general, tales evaluaciones se restringen a instalaciones
existentes o por construir, que incluyen equipos de características no-lineales. Luego,
resulta útil establecer ciertas reglas para una etapa inicial de evaluación en la cual no se
requieran mediciones o cálculos en detalle. Un procedimiento de dos etapas para la
evaluación de contaminación armónica es ilustrado en la Figura 6-2.
Regulación para el Control de Armónicas. 140
Figura 6-2. Procedimiento general para la evaluación de límites de Armónicas (Fuente: [17]).
Regulación para el Control de Armónicas. 141
Para el caso de una instalación industrial, el procedimiento puede resumirse así:
Paso 1/6: Escoger el PCC.
La mayoría de las instalaciones industriales son alimentadas por uno o más
transformadores reductores exclusivos. Luego, el PCC debería estar en el lado de alta de los
transformadores si se considera la posibilidad de otros usuarios finales adicionales del
servicio eléctrico. No obstante, las mediciones de la Carga no lineal pueden realizarse del
lado de baja tensión y posteriormente referirse al lado de alta teniendo presente el efecto de
la conexión de transformadores sobre las armónicas de secuencia homopolar [17]. Por
ejemplo, un transformador ∆-Υ confinará dichas componentes al circuito del lado de alta.
Paso 2/6: Caracterizar las HGL.
A pesar que ya se han presentado las características de las HGL más comunes (vea las
secciones 4.4 y 4.5), los efectos combinados de múltiples Cargas pueden ser difíciles de
determinar sin mediciones.
Paso 3/6: Determinar la necesidad de corrección del factor de potencia.
Lo relativo al control de armónicas debe ser considerado como parte de la aplicación
del equipo para la corrección del factor de potencia, independientemente de sí la instalación
incluye o no HGL significativas. De requerirse la conexión de condensadores, tanto la
posible absorción de armónicas de tensión desde el sistema de suministro como las
resonancias que amplificarían las armónicas de corriente desde la instalación industrial,
deberían ser consideradas.
Paso 4/6: Calcular las armónicas de corriente esperadas en el PCC.
Los límites establecidos para las armónicas de corriente en el PCC pueden evaluarse
usando suposiciones acerca de las características de las HGL y la respuesta del sistema.
Regulación para el Control de Armónicas. 142
Paso 5/6: Diseñar el equipo de control de armónicas, si es necesario.
El equipo de control de armónicas usualmente estará coordinado con las necesidades
de corrección de factor de potencia de la instalación industrial. En los casos que justifiquen
filtros de armónicas pequeños, los de tipo activos pueden resultar los más económicos para
evitar la probabilidad de sobrecarga debida a la distorsión de tensión en el sistema de
suministro.
Paso 6/6: Verificar el diseño con mediciones.
El período de tiempo seleccionado debería caracterizar adecuadamente el tiempo de
variación y las características estáticas de los niveles de armónicas.
6.2.2.2. Lineamientos para Clientes Individuales.
El límite principal de los clientes individuales es la cantidad de armónicas de
corriente que ellos pueden inyectar en la red eléctrica. Los límites de corriente se basan en
el tamaño del consumidor con respecto al Sistema Eléctrico de Distribución. Los clientes
más grandes se restringen más que los pequeños. El tamaño relativo de la Carga con
respecto a la fuente se define como la relación de cortocircuito SCR (Short Circuit Ratio),
en el PCC. El tamaño del consumidor es definido por la corriente total de frecuencia
fundamental en la Carga, IL, que incluye todas las características: lineal y no lineal. El
tamaño del sistema de suministro es definido por el nivel de la corriente de cortocircuito
ISC, en el PCC. Estas dos corrientes definen la SCR:
L
SC
IISCR =
Una relación alta significa que la Carga es relativamente pequeña y que los límites
aplicables no serán tan estrictos como los que corresponden cuando la relación es más baja.
Regulación para el Control de Armónicas. 143
Esto se observa en la Tabla 6-6, donde se recomiendan los niveles máximos de distorsión
armónica en función del valor de SCR y el orden de la armónica. La tabla también
identifica niveles totales de distorsión armónica. Todos los valores de distorsión de
corriente se dan con base en la máxima corriente de Carga (demanda). La distorsión total
está en términos de la Distorsión Total de la Demanda (TDD, Total Demand Distortion) en
vez del Factor THD.
Tabla 6-6. IEEE 519 Límites en la Distorsión de la Corriente en el ámbito de Distribución y Subtransmisión.
Rango ISC/IL n<11 11≤n<17 17≤n<23 23≤n<35 35≤n %TDD
<20* 4.0 2.0 1.5 0.6 0.3 5.0
20<50 7.0 3.5 2.5 1.0 0.5 8.0
50<100 10.0 4.5 4.0 1.5 0.7 12.0
100<1000 12.0 5.5 5.0 2.0 1.0 15.0
.12
≤ U
≤ 6
9 [k
V]
>1000 15.0 7.0 6.0 2.5 1.4 20.0
<20* 2.0 1.0 0.75 0.3 0.15 2.5
20<50 3.5 1.75 1.25 0.5 0.25 4.0
50<100 5.0 2.25 2.0 0.75 0.35 6.0
100<1000 6.0 2.75 2.5 1.0 0.5 7.5
69 ≤
U ≤
161
[kV
]
>1000 7.5 3.5 3.0 1.25 0.7 10.0 Las armónicas pares se limitan al 25% de los límites de las armónicas impares mostrados anteriormente. * Todo equipo de generación se limita a estos valores independientemente del valor de Isc/IL que presente. Si HGL es un rectificador de p pulsos, los límites pertinentes deben multiplicarse por 6p . Para condiciones con duración superior a una hora. Para períodos más cortos el límite aumenta un 50%
Debe destacarse que IL se calcula como el promedio de las demandas máximas de los
12 meses previos o puede estimarse. La información necesaria para este cálculo
comúnmente no está disponible (particularmente en el caso de nuevos consumidores). En
estos casos, algunas estimaciones de la demanda máxima deben ser usadas sobre la base de
Perfiles de Carga pronosticados.
Regulación para el Control de Armónicas. 144
La Tabla 6-6 muestra límites de corriente para armónicas individuales y para la
distorsión total. Por ejemplo, un consumidor en baja tensión con un SCR entre 50 y 100
tiene un límite recomendado de 12.0% para TDD, mientras que para armónicas impares
individuales de ordenes menores a 11, el límite es del 10%. Note que las armónicas
individuales de las corrientes no se suman directamente; de otro modo, cuando las
armónicas características quedan en su límite máximo individual se excede el TDD.
Vale destacar que la Tabla 6-6 muestra únicamente los límites para armónicas
impares. No obstante, la norma IEEE 519 restringe las armónicas pares al 25% de los
límites establecidos para los rangos impares. La armónica par es el resultado de una onda
de corriente asimétrica (con forma diferente entre las partes positiva y negativa), que puede
contener componentes CD causantes de la saturación de los núcleos en máquinas eléctricas.
Para equipos de generación, la norma IEEE 519 no discrimina en el tamaño. Los
límites son más estrictos dado que la inyección de armónicas debe ser la menor posible.
6.2.2.3. Los Límites de Duración.
Los límites de distorsión especificados por IEEE 519 son para condiciones “estables”
que duran períodos mayores de hora. Para períodos más cortos, durante arranques o
condiciones inusitadas, los límites pueden ser excedidos hasta un 50%. Algún equipo, por
ejemplo, una fuente de alimentación estática puede ser sensible a la distorsión armónica de
corta duración; pero la mayoría de las perturbaciones tales como interferencias telefónicas,
en transformadores y el calentamiento de motores, son exclusivas de las armónicas de larga
duración o repetitivas.
Regulación para el Control de Armónicas. 145
6.2.2.4. Consideraciones para la Medición de Armónicas.
Es claro que los límites de armónicas deben evaluarse en el PCC; no obstante, las
mediciones en otros puntos a lo largo de la instalación pueden contribuir a una evaluación
más completa en materia de contaminación armónica. De hecho, la medición de circuitos
ramales individuales puede ayudar a ilustrar la auto-cancelación debida a la inyección de
armónicas desde múltiples Cargas no-lineales dentro de la instalación.
Para muchos clientes, el PCC estará del lado de alta de algún transformador reductor
pero sería más conveniente realizar las mediciones de corriente en el lado de baja del
mismo aprovechando los CT’s existentes; sin embargo, tales medidas pueden resultar poco
prácticas para caracterizar la distorsión de tensión en el ámbito primario.
El concepto más importante para recordar cuando se están haciendo mediciones es
que los límites de corrientes armónicas son expresados en porcentaje de un valor de
corriente establecido (IL). Esto significa que los límites de corriente dependen de una
medición en amperios tanto para cada armónica como para la TDD: las mediciones no
deben obtenerse en tanto por ciento de la fundamental, dado que ésta cambia con las
variaciones de la Carga y los resultados finales para la comparación pueden ser confusos.
6.2.2.5. Los Lineamientos para las Distribuidoras de Electricidad.
El segundo conjunto de criterios establecido por IEEE 519 se refiere a los límites de
distorsión de la tensión. Estos rigen la cantidad de distorsión aceptable en la tensión que
entrega la Distribuidora en el PCC de un consumidor. Los límites de armónicas de tensión
recomendados se basan en niveles lo suficientemente pequeños como para garantizar que el
equipo de los suscriptores opere satisfactoriamente. La tensión de barra en el PCC, hasta
Regulación para el Control de Armónicas. 146
69 kV, para condiciones con más de una hora de duración tendrá valores límites
( ) 3% =′punU y 5% =THD ; períodos más cortos aumentan su límite en un 50%.
Tabla 6-7. Límites de distorsión de tensión de Distribución y Subtransmisión según IEEE 519-1992.
Voltaje de barra en el punto de acoplamiento común
Distorsión Individual de tensión (%)
Distorsión Armónica Total de la tensión (%)
Hasta 69 kV 3.0 5.0
De 69 kV a 137.9 kV 1.5 2.5
Como es común, los límites se imponen sobre componentes individuales y sobre la
distorsión total para la combinación de todas las tensiones armónicas (THD). Observe que
los límites decrecen cuando la tensión aumenta.
Nuevamente los límites corresponden a armónicas impares. La generación de
armónicas pares se restringe más debido a que la componente de CD puede ocasionar
saturación en motores y transformadores. Las corrientes de secuencia inversa pueden
ocasionar calentamiento en generadores. Las armónicas pares individuales se limitan a un
25% de los límites de armónicas impares, al igual que sucede con las corrientes.
Es muy común que los alimentadores de las Compañías de Electricidad alimenten a
más de un consumidor. Los límites de distorsión de tensión mostrados en la tabla no
deberían excederse mientras todos los consumidores conectados no superen los límites de
inyección de corriente. Cualquier consumidor que degrade la tensión en el PCC deberá
corregir tal situación. Sin embargo, el problema de la distorsión de tensión es común entre
consumidores y Distribuidora. Los consumidores muy grandes deben convenir con esta
última la resolución de problemas específicos en forma conjunta.
Regulación para el Control de Armónicas. 147
6.2.2.6. Las Directivas al Fabricante.
La norma IEEE 519 no contiene ninguna directiva para la tensión en un cliente a la
salida o en barra de tensión. La misma aplica únicamente a la conexión entre un cliente y la
Distribuidora. La distorsión armónica puede aumentar aguas abajo del PCC. Por lo tanto, el
fabricante no tiene lineamientos reales con respecto a la distorsión armónica máxima en la
tensión a la cual un equipo puede someterse.
6.2.3. PARPADEO DE TENSIÓN (FLICKER)
Los lineamientos para el parpadeo de tensión ocasionado por consumidores
individuales se dan también en IEEE 519. La Figura 6-3 ofrece una guía para determinar el
grado de susceptibilidad del problema.
Figura 6-3. Máximas fluctuaciones de tensión permisibles (Fuente: [25]).
Regulación para el Control de Armónicas. 148
6.2.4. LA TENSIÓN MELLADA.
Muchos convertidores estáticos hacen ranuras grandes o mellan la tensión (Figura
6-4). Los lineamientos se dan según el cliente y la profundidad de la muesca, THD de
tensión y el área de la muesca (Tabla 6-8). Esto es aplicable en el PCC para sistemas de
baja tensión.
Figura 6-4. Tensión Mellada.
Tabla 6-8. Sistema de baja tensión: clasificación y límites de Distorsión (Fuente: [25]).
Aplicación Especial Sistema General Sistema Dedicado
%Profundidad de la mella 10 20 50
%THDU 3 5 10
Área de la mella 16400 22800 36500
Aplicación especial: hospital o aeropuerto. Sistema dedicado: exclusivo para carga convertidora.
Nota: El valor eficaz de la onda completa sería de 480 V; para otro nivel de tensión U, el área de la mella debería de multiplicarse por ( )480
U .
Regulación para el Control de Armónicas. 149
6.2.5. EL CALENTAMIENTO DEL TRANSFORMADOR.
Los límites de distorsión dados arriba son permitidos con tal que el transformador
utilizado por el usuario no se someta a armónicas que sobrepasen el 5% de la corriente
nominal del transformador como lo establece ANSI/IEEE C57.12.00 - 1980.
6.2.6. INTERFERENCIA TELEFÓNICA.
El ruido de teléfono originado por tensiones y corrientes armónicas de los Sistemas
de Potencia se denomina generalmente Factor de Influencia Telefónica (TIF, Telephone
Influence Factor). El sistema reconoce que el ruido inducido por las armónicas de corriente
o tensiones tiene un efecto subjetivo sobre el usuario del teléfono. Esto se debe a que el
oído humano es más susceptible a unas frecuencias que a otras.
Figura 6-5. Campos magnéticos ocasionando tensiones inducidas en circuitos telefónicos cercanos (Fuente: [19]).
La Figura 6-6 muestra los factores TIF’s según IEEE 519. El TIF en la curva es una
medida de la sensibilidad del sistema telefónico y el oído humano al ruido a diversas
frecuencias discretas.
Regulación para el Control de Armónicas. 150
El factor TIF de 60 Hz está cercano a cero, indicando que los circuitos telefónicos y
el oído son insensibles a esa frecuencia; aún para las armónicas más comunes, tales como la
5ª o 7ª, el factor TIF es todavía despreciable. El TIF tiene su peso máximo sobre los 2600
Hz, con valores de 10600 a esta frecuencia.
Figura 6-6. Peso del TIF vs. Frecuencia (Fuente: [19]).
La influencia telefónica es frecuentemente expresada como el producto:
( )∑=
⋅=⋅max
1
2
n
n
nn WITI ,
donde nI es el valor eficaz de la nª armónica presente en el Sistema Eléctrico de
Distribución; n es el orden de la armónica y nW es el peso del TIF para ese orden.
La norma IEEE 519 especifica tres de niveles de probabilidad de interferencia como
muestra la Tabla 6-9. Estas aplican siempre que un circuito de teléfono tenga exposición
considerable a los conductores de potencia.
Regulación para el Control de Armónicas. 151
Tabla 6-9. Niveles de probabilidad de interferencia telefónica (Fuente [25]).
Categoría Descripción I⋅T
I Rara vez causa interferencia ≤ 10000
II Puede causar interferencia 10000 - 25000
III Causará interferencia > 25000
6.3. COMPARACIÓN ENTRE LA NORMA EUROPEA Y LA
NORMA AMERICANA.
El área de influencia de las normas para armónicas IEC e IEEE es resumida en la
Tabla 6-10. La IEC 61000-3-2 establece los límites para equipos de pequeños
consumidores (< 16 A), y su énfasis es sobre “público”, “baja tensión” y “residencia”. La
IEC 61000-3-4 aborda el caso de equipos grandes (> 16 A), con límites tanto para el equipo
como para la acometida. Por su parte la norma IEEE 519 cubre la responsabilidad en
clientes comerciales e industriales grandes, tanto para armónicas de tensión como para las
de corriente.
Tabla 6-10. Prontuario de las áreas de influencia de las normas IEEE 519 e IEC 61000-3-2/4 (Fuente: [16]).
Pequeños consumidores
Grandes consumidores Normas para la restricción de
armónicas Cargas / Cableado Acometida Cargas /
Cableado Acometida
Sistema de
Potencia público
I IEEE 519 U I IEC 61000-3-2 U I IEC 61000-3-4 U
Regulación para el Control de Armónicas. 152
En contraste con la norma IEC, la IEEE no protege las instalaciones de los pequeños
consumidores. Así, tácitamente, la IEEE deja la responsabilidad de los efectos de las
armónicas en pequeños sistemas de suministros en baja tensión a los fabricantes de equipos.
En el caso de los grandes clientes y sistemas públicos, la responsabilidad de no producir
contaminación armónica es compartida: los clientes deben limitar los niveles de distorsión
de corriente, y las Distribuidoras de electricidad limitar la distorsión de tensión.
EEPPÍÍLLOOGGOO
Para hacer un texto de Sistemas de Distribución se debe estar en la disposición de
transitar y no dejarse seducir por el escabroso terreno de lo empírico. Algunos sectores
mitificando “la experiencia práctica” han menospreciado el valor de una formación teórica
firme, bajo el supuesto de que la “práctica” avanza sin más lógica que el éxito comercial.
Tradicionalmente la materia de Caracterización de la Carga no ha sido excepción de
lo anterior. No obstante, como ya se dijo, tal problema exige del ingeniero de planeación de
Distribución arte y ciencia: la subordinación a usar “cajas negras” en el análisis o a la
existencia de una elite de “ingenieros para pensar” es inadmisible. Cualquiera sea el
proyecto planeado, es inconcebible sin antes lograr una adecuada y particular
Caracterización de la Carga.
Si bien el estudio de Cargas para Sistemas de Potencia en ambientes sinusoidales
consiste en la determinación de la tensión, intensidad, potencia y factor de potencia o
potencia reactiva en varios puntos de la red, utilizando modelos matemáticos tradicionales,
para ambientes no-sinusoidales tales modelos necesitan ser extendidos.
Por ejemplo, ahora puede afirmarse que en un sistema de alimentación sinusoidal Y
de cuatro hilos, equilibrado y con Carga uniformemente distribuida entre fase y neutro, la
intensidad de la corriente por este último es nula si y sólo si la Carga es lineal (vea la
sección 5.1.2). En consecuencia, cuando procede un trabajo de balanceo del tipo descrito en
Epílogo. 154
la sección 3.2.2, hay que agregar la premisa: cargas no-lineales despreciables.
Naturalmente, esto se traduce en un error difícil de cuantificar, más cuando se recuerda que
el procedimiento establecido interpreta a los transformadores como las cargas conectadas a
cada fase del circuito de distribución (cargas concentradas).
En ese mismo orden de ideas, lo expuesto en los Capítulos 1 y 2, la nota al pie de la
página 113 y lo señalado en las secciones 5.3.2, 6.2.2.3 y 6.2.2.4 da lugar a las siguientes
preguntas relativas a la medición de potencia: medir ¿qué?, ¿cómo?, ¿cuándo?, ¿dónde? y
¿cuánto tiempo? Además, ¿qué consideraciones extras deben hacerse para lograr una
adecuada compensación reactiva en ambientes no-sinusoidales?, o también, ¿qué
procedimiento seguir para un diseño adecuado de filtros para la supresión o atenuación de
armónicas en una instalación que además atiende un buen número de cargas inductivas?
Los dos párrafos anteriores son la mejor demostración de como un trabajo de
investigación para Ascenso puede sedimentar los conocimientos que serán utilizados más
adelante para nuevos desarrollos y líneas de investigación que enriquezcan la producción
intelectual del Departamento al cual se está adscrito. De este modo, aunque cubierto el
problema Caracterización de la Carga en Sistemas Eléctricos de Distribución, la utilidad de
esta obra se proyecta más allá de sus límites estrictos.
BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA
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