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構成的場の理論
寺西 功哲
‐自由場‐
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•目的
•意義
公理系を満たす自由場を構成する。
•意義
・公理系の無矛盾
・時刻0のCCR(Canonical Commutation Relations)表現
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構成的場の理論とは構成的場の理論とは
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場の量子論の発散の困難
繰り込み
数学的懐疑数学的懐疑
公理的場の理論
構成的場の理論
スピンと統計の関係
CPT定理
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Constructive Quantum Field Theory
•相対論的場の量子論のモデルで非自明な(自由場でない)ものを数学的に厳密な方法で構成し、そ学的に厳密な方法で構成し、その物理的特性を明らかにする。
枠組み
公理系
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意義
•非摂動の場の量子論のモデル
•紫外発散と赤外発散の両方を同時に外せるか?時に外せるか?
•質量ギャップの存在
• カットオフの無い理論
• etc
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Garding-Wightman axiom
• 場の対称性
• 場の緩増加性
• 真空の巡回性
• 相対論的不変性
• スペクトル条件
• 微視的因果律
• 真空の一意性
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Wightman axiom
• Wightman超関数を用いてG‐W公理系を言い換えたもの
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Osterwalder-Schrader axiom
• Wightman超関数の時間を虚数時間へ解析接続したSchwinger関数によるWightman公理系の翻訳
• ユークリッド化される。
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構成法
•ハミルトニアン法
•ユークリッド法
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ハミルトニアン法
• の本質的自己共役性と下界性の証明
• の真空 の存在。•
• の真空の期待値が切断を除く極限 をとるとき収束する。
• Wightman公理系を満たす。
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ユークリッド法(格子近似)
• 空間切断の入った格子空間上のSchwinger関数を定義する。
• 無限体積極限の存在を示す。
• 格子間隔0の極限の存在を示す。
• O-S公理系を満たすことを示す。• Non-trivialかどうか?
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自由場の構成自由場の構成
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ヒルベルト空間
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生成・消滅演算子
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Segalの場の演算子
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場の作用素
(場の対称性)
Klein-Gordon方程式に従う
(場の緩増加性)
(真空の巡回性)
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ハミルトニアンを定義
(物理的真空の存在)
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相対論的不変性
(相対論的不変性)
(真空の一意性)
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微視的因果律
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結果
次の組が公理系を満たす。
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今後の課題
• 公理は正しいか?
• 4次元でのノントリヴィアルなモデルの構成の構成
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補足補足