2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 1
第九章 频率特性和谐振现象
4 并联谐振电路
3 串联谐振电路
2 RLC串联电路的频率特性
1 网络函数和频率特性
本章目录
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 2
线性
无独立源
−
+u
i
)(tx 线性
无独立源
−
+U
I
X)(ty Y
(a)时域分析 (b)频域分析
X
YH
d ef
)j( =
1 网络函数的定义: 电路在单一激励作用下,响应相量与激励相量之比称为网络函数,即
§9.1 网络函数和频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 3
2 网络函数分类:
(1)激励和响应属于同一端口
(2)激励和响应属于不同端口
等效输入阻抗线性
无独立源
Is
+
−
U
S/)j( IUH =
等效输入导纳S/)j( UIH =
线性无独
立源
I+
−
Us
转移电压比
转移电流比
转移阻抗
转移导纳
线性无独立源
−
+U
Is+
−
SU
I
S/)j( IIH =
S/)j( IUH =
S/)j( UIH =
S/)j( UUH =
§9.1 网络函数和频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 4
−
+
UR
−
+
CUC
在图示 RC 电路中,若以电容电压为响应,以输入电压为激励,其网络函数为:
CRCR
C
U
UH C
j1
1
j/1
j/1)j(
+=
+==
、 都写成极坐标式,即CU )j( H将 和
)()(|)j(|
−=
= C
CCC
U
U
U
UH
相频特性网络函数的辐角
幅频特性网络函数的模
由此可得
UUHC
/|)j(| =
−= C)(
频率特性
RC串联电路
§9.1 网络函数和频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 5
式中 RC 之积具有时间的量纲,其倒数具有频率的量纲,设
RC
10 =
CRCR
C
U
UH C
j1
1
j/1
j/1)j(
+=
+==
代入网络函数表达式得
)a rc tan()/(1
1
/j1
1)j(
02
00
−
+=
+=H
RC串联电路
−
+
UR
−
+
CUC
称其为 RC 电路的固有频率或自然频率(natural frequency)
§9.1 网络函数和频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 6
)a rc tan()/(1
1
/j1
1)j(
02
00
−
+=
+=H
模和辐角与角频率的对应关系表
………
-90°0
-63.43°1/2
-45°1/1
0°10
()|H(j)|/0
2
5
RC串联电路
−
+
UR
−
+
CUC
§9.1 网络函数和频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 7
低通网络:网络允许低频信号顺利通过,而使高频信号产
生较大衰减。
将网络函数的模下降到最大值的 2/1。c
时所对应的频率称
为截止频率(out-off frequency),记为
1 2 3 4 5
(a)幅频特性曲线 (b)相频特性曲线
1 2 3 4 5
0/
0/
|)j(| H )(
0.5
1
0.745−
90−
O
O
幅频特性和相频特性曲线
§9.1 网络函数和频率特性
)a rc tan()/(1
1
/j1
1)j(
02
00
−
+=
+=H
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 8
O 10/2
|)j(| H
1
O 10/
|)j(| H
O 10/2
|)j(| H
高通网络 带通网络 带阻网络
使用不同电路还可以实现具有下列特性的网络
几种理想滤波器的特性
§9.1 网络函数和频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 9
Lj
R
Cj
1
−
+
RU
−
+
U
)]/(1[j)j(
CLR
R
U
UH R
R
−+
==
当以电阻电压 RU1 为响应时,其网络
函数(即转移电压比为)
)/ (1 00 CL =当频率达到某一量值时有:LC
10=,即
称为RLC串联电路的谐振角频率(resonance angular frequency) 。
C
LCL === 00 /1 令
称为RLC串联电路的特性阻抗( characteristic impedance)。
称为RLC串联电路的品质因数(quality factor)。
C
L
RRQ
1==
又令
CRR
LQ
0
0 1
==进而有
RLC串联电路
§9.2 RLC串联电路的频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 10
)]/(1[j)j(
CLR
R
U
UH R
R
−+
==
将谐振角频率和品质因数引入上式,写出其幅频特性和相频特性:
2
0
0
2
2
2 1
1
111
1)j(
−+
=
−+
=
QC
LR
HR
−−=
0
0
a rc tan)( QR
1
1 0/
|)j(| RH
0
1c
0
2c
1 0/
90
90−
)( R
(a)幅频特性 (b)相频特性
O
O
RLC串联电路
Lj
R
Cj
1
−
+
RU
−
+
U
§9.2 RLC串联电路的频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 11
求截止角频率:2
1
1
1
2
0
0
2
=
−+
C
CQ
令
由上式求得两个截止角频率:
++−= 1
4
1
2
1
201QQ
C
++= 1
4
1
2
1
202QQ
C
通带宽度、谐振角频率和品质因数的关系:
QCC
012
=−=
这说明带宽 与品质因数 Q 成反比,Q 越大,
越小,通带越窄,曲线越尖锐,对信号的选择性越好。
§9.2 RLC串联电路的频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 12
例9.2 设计 RLC 带通滤波器电路,已知总电阻为R=20,要求谐振频率为 f0 =104Hz,带宽为 f =103Hz,,求电感L和电容C的值以及低频截止频率和高频截止频率。
H z9 5 0 012
11
4
1
2
10201c =
+−
++−=
Qf
QQff
H z1 0 5 0 012
11
4
1
2
10202c =
++
+++=
Qf
QQff
最后求得低频和高频截止频率分别为
m H1 8.3s)1 0π2(
2 01 01-4
0
==
Q RLF0 .0 7 9 6
s)1 0π2(2 01 0
111-4
0
==Q R
C
进一步求得:
解
由公式
++−= 1
4
1
2
1201c
++= 1
4
1
2
1202c
QQ和
1000 =
=
=f
fQ
品质因数为
§9.2 RLC串联电路的频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 13
R
Cj
1
Lj−
+
CU−
+
U
2 以电容电压uC为响应,有
)j/(1j
)j/(1)j(
CLR
C
U
UH C
C
++==
幅频特性和相频特性分别为
2
0
2
22
0
11
1|)j(|
+
−
=
Q
H C
)(
1arctan)(
0
0
−
−=
QC
对应不同品质因数的频率特性曲线如图: 1
10/
|)j(| CH
1=Q
2=Q
2
2
7.0=Q
1 0/2
)( C
2=Q
1=Q
7.0=Q
90−
180−
(a)幅频特性 (b)相频特性O
O
RLC串联电路
§9.2 RLC串联电路的频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 14
3 以电感电压为响应,其转移电压比为:
)j/(1j
j)j(
CLR
L
U
UH L
L
++==
则其幅频特性和相频特性分别为 :
2
0
2
22
01
1
1|)j(|
+
−
=
Q
HL
−
−−=
0
0
1arctan)(
Q
L
R
Cj
1 Lj
−
+
LU
−
+
U
对应不同品质因数的频率特性曲线如图:
RLC串联电路
o
1
10/
|)j(| LH
1=Q
2=Q
2
2
7.0=Q
o 1
0/
2
)( L
2=Q
1=Q
7.0=Q
90
180
(a)幅频特性 (b)相频特性
以电感电压为响应的网络函数频率特性曲线
§9.2 RLC串联电路的频率特性
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 15
1 定义:对于含有电感和电容的一端口电路,如
果在一定条件下呈现电阻性,即端口电压与电流
同相位,则称此一端口电路发生谐振。
右图为RLC串联谐振电路。
改变电源频率,或改变电感,或改变电容均可实现串联谐振。在给定电感和电容时,电路的谐振角频率为
LC
10 =
)/ (1 CL =
根据谐振定义,RLC串联电路发生谐振的条件是:
0)]1
(jIm []Im [ =−+=C
LRZ
即
Lj
R
Cj
1
−
+
RU
−
+
U
−+ LU
+− CU
I
RLC串联谐振电路
§9.3 串联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 16
RLC串联电路的电流、电感电压和电容电压分别为
R
UH
R
UI
R
R
)j( ==
UHULL
)j( =
UHUCC
)j( =
由上三式,可画出电流 I 和电压UC、UL随频率变动的曲线[下图(a)],以及谐振时的相量图[下图(b)](以电流为参考相量)
10/2
I
LUCU
U
O RUU =
CU0I
LU
(a) 谐振曲线 (b) 谐振时相量图
RLC串联谐振电路
Lj
R
Cj
1
−
+
RU
−
+
U
−+ LU
+− CU
I
§9.3 串联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 17
2 串联谐振的特点
(2) 电流方面
R
UI
=0此时串联电路电流为: 达到最大值。
(3) 电压方面00j ILU L
=0
0
1j I
CU
C
−=
特性阻抗和品质因数为
)/ (1 00 CL == RQ /=
Q UR
UIUU CL ==== 0
代入上式得RUU =
CU0I
LU
(1) 阻抗方面 )/ (1 00 CL =
谐振时,感抗与容抗相抵消,串联电路呈电阻性。 0
O
XXL
XC
X= XL+ XC
电抗频率特性曲线
串联谐振相量图
§9.3 串联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 18
例9.3 一个线圈与电容相串联,线圈电阻R=16.2,电感L=0.26mH ,当把电容调节到100pF时发生串联谐振。(1)求谐振频率和品质因数;(2)设外加电压为10V,其频率等于电路的谐振频率,求电路中的电流和电容电压;(3)若外加电压仍为10V ,但其频率比谐振频率高10%,再求电容电压。
解
H z1 09 8 7F1 01 0 0H1 02 6.0π2
1
π2
1 3
1 230 =
==
−−L Cf
5.9 92.1 6
H1 02 6.0s1 09 8 7π2π2 313
00 =
===
−−
R
Lf
R
LQ
(1)谐振频率和品质因数分别为
R L
CU
+
−−
+
U C
线圈
线圈与电容串联电路
§9.3 串联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 19
m V 9 9 5.0V1 01 05.9 9 6 === −Q UU C
UC也可用下式直接得到
线圈与电容串联电路
R L
CU
+
−−
+
U C
线圈
−=
−=−=−−
1 6 1 0F1 01 0 0s)1 09 8 72(
111 213
0 CX C
(2) 谐振时的电流和电容电压为
A6 1 7.02.1 6
V1 01 0 6
0 =
==
−
R
UI
m V9 9 5.0A1 06 1 7.01 6 1 0|| 6
0 === −IXU CC
§9.3 串联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 20
H z1 01 0 9 0H z1 09 8 71.1)1.01( 33
0 ==+= ff
=== −− 1 7 8 0H1 02 6.0s)1 01 0 9 0π2( 313LX L
−=
−=
−=−−
1 4 6 0F1 01 0 0)s1 01 0 9 02 π(
111 213C
X C
=−+=++= 3 2 0)1 4 6 01 7 8 0()2.1 6()(|| 2222
CL XXRZ
m V0 4 6.01 4 6 03 2 0
V1 01 0||
||
6
=
=
=
−
CC XZ
UU
(3) 电源频率比电路谐振频率高10%的情形线圈与电容串联电路
R L
CU
+
−−
+
U C
线圈
§9.3 串联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 21
G
CjL1 /j
GI CI LI
−
+
UI
1 GCL并联谐振电路
谐振角频率为 L C/10 =
BGLCGY j)/1(j +=−+=
GCL并联电路的导纳为:
0/1 =− LC
实现谐振的条件是导纳的虚部为零,
谐振时导纳达到最小值,即 | Y |=G
)/ (j)j/ ( 000 L GILUI L −==
GICUCIC
/jj000
==
在电感和电容中产生较大电流(但不是最大)
并联谐振的特点
GIYIU //0 ==
在总电流有效值一定的条件下,并联电压达到最大
GCL并联谐振电路
§9.4 并联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 22
−
+
UI
Lj
R
C1 /j
CI LI2 电感线圈和电容器构成并联谐振电路,
即RL与C并联谐振电路。
产生谐振的条件是导纳的虚部为零。因此谐振时电容为
220)( LR
LC
+=
])(
[j)(
jj
12222 LR
LC
LR
RC
LRY
+−+
+=+
+=
电路模型如右图,等效导纳为
当改变频率时,可得谐振角频率:
2
2
0
1
L
R
LC−= (当(当 时存在)CLR /
C
RCL
2
222
02
411
−=
若改变电感,可得谐振时电感为:
(当R<1/2C 时存在)
线圈与电容并联谐振
§9.4 并联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 23
RL 与 C 并联谐振的特点
谐振时其等效阻抗为一个电阻,记为
R
LRR
2
0
2
0
)(+=
RC
L
L
R
L CR
LRR =
−+=
2
22
0
1
将谐振角频率代入上式得:
如果线圈与电容相并联的电路用一定的电流源来激励,在谐振时由于阻抗接近于最大值,电压U也接近于最大值,这时在线圈和电容中产生的电流可能比电源电流大得多。
U
CI
I
LI
−
+
UI
Lj
R
C1 /j
CI LI
谐振时电压电流相量图
线圈与电容并联谐振
§9.4 并联谐振电路
2019/11/7 第9章 频率特性和谐振现象 24
通过正弦电流电路和非正弦周期电流电路的学习得知,感抗和容抗分别与频率成正比和反比关系。由此得知电路特性与电源频率密切相关。本章专门研究电路特性与频率的关系。包括网络函数及其频率特性的概念及一般分析方法、典型电路的频率特性、串联谐振与并联谐振的条件及特点、滤波的概念等。
小结