Download - Cebisevljevi polinomi
Uvod u numericku matematiku
Uvod u numericku matematiku
Nositeljica kolegija: izv. prof. Nermina Mujakovic1
Asistentica: Sanda Bujacic1
1Odjel za matematikuSveuciliste u Rijeci
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Koliko je dobar interpolacijski polinom?
U praksi se obicno koriste polinomi niskih stupnjeva - do 5.stupnja jer za neke funkcije i za neke izbore tocakainterpolacije povecavanje stupnja interpolacijskogpolinoma moze dovesti do povecanja gresakaIzraditi grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva od 1 do6 koji interpoliraju funkciju
f (x) = log10(x)
na ekvidistantnoj mrezi za x ∈ [0.1,10].Greska interpolacije je najveca na prvom intervaluRazlog tome je sto funkcija f ima singularitet u 0, apocetna tocka interpolacije je vrlo blizu tom singularitetu
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Koliko je dobar interpolacijski polinom?
U praksi se obicno koriste polinomi niskih stupnjeva - do 5.stupnja jer za neke funkcije i za neke izbore tocakainterpolacije povecavanje stupnja interpolacijskogpolinoma moze dovesti do povecanja gresakaIzraditi grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva od 1 do6 koji interpoliraju funkciju
f (x) = log10(x)
na ekvidistantnoj mrezi za x ∈ [0.1,10].Greska interpolacije je najveca na prvom intervaluRazlog tome je sto funkcija f ima singularitet u 0, apocetna tocka interpolacije je vrlo blizu tom singularitetu
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Koliko je dobar interpolacijski polinom?
U praksi se obicno koriste polinomi niskih stupnjeva - do 5.stupnja jer za neke funkcije i za neke izbore tocakainterpolacije povecavanje stupnja interpolacijskogpolinoma moze dovesti do povecanja gresakaIzraditi grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva od 1 do6 koji interpoliraju funkciju
f (x) = log10(x)
na ekvidistantnoj mrezi za x ∈ [0.1,10].Greska interpolacije je najveca na prvom intervaluRazlog tome je sto funkcija f ima singularitet u 0, apocetna tocka interpolacije je vrlo blizu tom singularitetu
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Koliko je dobar interpolacijski polinom?
U praksi se obicno koriste polinomi niskih stupnjeva - do 5.stupnja jer za neke funkcije i za neke izbore tocakainterpolacije povecavanje stupnja interpolacijskogpolinoma moze dovesti do povecanja gresakaIzraditi grafove interpolacijskih polinoma stupnjeva od 1 do6 koji interpoliraju funkciju
f (x) = log10(x)
na ekvidistantnoj mrezi za x ∈ [0.1,10].Greska interpolacije je najveca na prvom intervaluRazlog tome je sto funkcija f ima singularitet u 0, apocetna tocka interpolacije je vrlo blizu tom singularitetu
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Sto je cilj svake aproksimacije?
Polinom Pn kojim aproksimiramo funkciju f treba biti takavda greska aproksimacije
|f (x)− Pn(x)|
bude sto jednolicnije rasporedena duz segmentaPolinom Pn(x) ne smije biti zahtjevan za odredivanjeMaksimalna greska se mora svesti na minimum
Lagrangeovim i Newtonovim interpolacijskim polinomima smose nastojali sto vise pribliziti funkciji koju smo odredivali i zakoju smo imali odredene cvorove.Ali, Cebisevljevi cvorovi minimiziraju greskuaproksimacije.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Sto je cilj svake aproksimacije?
Polinom Pn kojim aproksimiramo funkciju f treba biti takavda greska aproksimacije
|f (x)− Pn(x)|
bude sto jednolicnije rasporedena duz segmentaPolinom Pn(x) ne smije biti zahtjevan za odredivanjeMaksimalna greska se mora svesti na minimum
Lagrangeovim i Newtonovim interpolacijskim polinomima smose nastojali sto vise pribliziti funkciji koju smo odredivali i zakoju smo imali odredene cvorove.Ali, Cebisevljevi cvorovi minimiziraju greskuaproksimacije.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Primjer
Neka je zadana funkcija f (x) = e−4x2, x ∈ [−1, 1]. Koristimo li do sad poznate
polinome stupnjeva n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 za aproksimaciju ove funkcije na segmentu
[−1, 1], dobivamo sljedece grafove:
Na prvoj slici iscrtani su aproksimacijski polinomi odgovarajucih stupnjeva, a na drugoj
pripradne greske dok je egzaktna funkcija iscrtana crnom istrkanom linijom.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Primjer
Greska interpolacije se smanjuje kako povecavamo stupanj aproksimacijskogpolinoma, no napredak je vrlo spor. Razlog tome je, sto kako se n povecava, tako sepovecava i maksimalna vrijednost (n + 1)-ve derivacije jer vrijedi
f (x) = e−4x2, f ′(x) = −8xe−4x2
.
Stupanj polinoma h Maksimalna greskan = 1 2.0 4.0000n = 2 2/3 2.0031n = 3 0.5 1.5802n = 4 2/5 0.9899n = 5 1/3 0.7384n = 6 2/7 0.1084
Greska nije jednoliko rasporedena na zadanom segmentu.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 1/3
Promatramo li potencije x0, x , x2, . . . na segmentu [−1,1]znamo da apsolutna vrijednost svakog od njih poprimamaksimalnu vrijednost 1 u tocki x = ±1 i minimalnuvrijednost u tocki x = 0.Ogranicavamo razmatranje na segment [−1,1].Supstitucija
x =2ξ − b − a
b − atransformira segment [a,b] na [−1,1] gdje je x rezultatsupstitucije i unutar je segmenta [−1,1], a tocka ξ je tockaiz segmenta [a,b] koju transformiramo.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 1/3
Promatramo li potencije x0, x , x2, . . . na segmentu [−1,1]znamo da apsolutna vrijednost svakog od njih poprimamaksimalnu vrijednost 1 u tocki x = ±1 i minimalnuvrijednost u tocki x = 0.Ogranicavamo razmatranje na segment [−1,1].Supstitucija
x =2ξ − b − a
b − atransformira segment [a,b] na [−1,1] gdje je x rezultatsupstitucije i unutar je segmenta [−1,1], a tocka ξ je tockaiz segmenta [a,b] koju transformiramo.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 2/3
Uocavamo da kosinus funkcije cosϕ, cos(2ϕ), . . . , cos(nϕ)po apsolutnoj vrijednosti imaju jednake maksimalnevrijednosti koje su jednoliko rasporedene na segmentu[0, π] i simetricne s obzirom na ishodiste.Ekstremne vrijednosti funkcija cos(jϕ), cos(kϕ), j 6= k nedogadaju se na istom mjestu.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 2/3
Uocavamo da kosinus funkcije cosϕ, cos(2ϕ), . . . , cos(nϕ)po apsolutnoj vrijednosti imaju jednake maksimalnevrijednosti koje su jednoliko rasporedene na segmentu[0, π] i simetricne s obzirom na ishodiste.Ekstremne vrijednosti funkcija cos(jϕ), cos(kϕ), j 6= k nedogadaju se na istom mjestu.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 3/3
Koristimo li kosinus funkcije, onda ih trebamo aproksimiratida bi izracunali njihove vrijednostiJednostavan i koristan rezultat dobivamo akotransformiramo cos(nϕ) u polinom n-tog stupnja nasegmentu [0, π] pa u polinom n-tog stupnja na [−1,1].Polinomi
Tn(x) = cos(nϕ), ϕ = arccos x , n = 0,1,2 . . . , .
zovu se Cebisevljevi polinomi.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 3/3
Koristimo li kosinus funkcije, onda ih trebamo aproksimiratida bi izracunali njihove vrijednostiJednostavan i koristan rezultat dobivamo akotransformiramo cos(nϕ) u polinom n-tog stupnja nasegmentu [0, π] pa u polinom n-tog stupnja na [−1,1].Polinomi
Tn(x) = cos(nϕ), ϕ = arccos x , n = 0,1,2 . . . , .
zovu se Cebisevljevi polinomi.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Cebisevljevi polinomi 3/3
Koristimo li kosinus funkcije, onda ih trebamo aproksimiratida bi izracunali njihove vrijednostiJednostavan i koristan rezultat dobivamo akotransformiramo cos(nϕ) u polinom n-tog stupnja nasegmentu [0, π] pa u polinom n-tog stupnja na [−1,1].Polinomi
Tn(x) = cos(nϕ), ϕ = arccos x , n = 0,1,2 . . . , .
zovu se Cebisevljevi polinomi.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Primjeri Cebisevljevih polinoma
T0(x) = 1T1(x) = xT2(x) = −1 + 2x2
T3(x) = −3x + 4x3
T4(x) = 1− 8x2 + 8x4
T5(x) = 5x − 20x3 + 16x5
T6(x) = −1 + 18x2 − 48x4 + 32x6
T7(x) = −7x + 56x3 − 112x5 + 64x7
T8(x) = 1− 32x2 + 160x4 − 256x6 + 128x8
T9(x) = 9x − 120x3 + 432x5 − 576x7 + 256x9
T10(x) = −1 + 50x2 − 400x4 + 1120x6 − 1280x8 + 512x10
Cebisevljevi polinomi su ili parne ili neparne funkcije.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Formula za Cebisevljeve polinome
Kako opcenito naci formulu za Cebisevljeve polinome? U tu svrhu koristimo rekurzivnurelaciju:
Tn(x) = 2xTn−1(x)− Tn−2(x) (1)
Zelimo li potencije 1, x , x2, . . . izraziti pomocu Cebisevljevih polinoma, dobivamo:1 = T0(x)x = T1(x)x2 = 1
2 (T0(x) + T2(x))x3 = 1
4 (3T1(x) + T3(x))x4 = 1
8 (3T0(x) + 4T2(x) + T4(x))x5 = 1
16 (10T1(x) + 5T3(x) + T5(x)]x6 = 1
32 (10T0(x) + 15T2(x) + 6T4(x) + T6(x))x7 = 1
64 (35T1(x) + 21T3(x) + 7T5(x) + T7(x))x8 = 1
128 (35T0(x) + 56T2(x) + 28T4(x) + 8T6(x) + T8(x))x9 = 1
256 (126T1(x) + 84T3(x) + 36T5(x) + 9T7(x) + T9(x))
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Nultocke i ekstremi Cebisevljevih polinoma 1/3
Nultocke i ekstreme Cebisevljevih polinoma Tn+1 nije teskoizracunati. Njihove su nultocke na segmentu [−1,1]:
x = cos(2k + 1)
nπ
2, k = 0,1, . . . ,n − 1. (2)
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Nultocke i ekstremi Cebisevljevih polinoma 2/3
Vrijednost Cebisevljevog polinoma u ekstremu je
Tn+1(x ′k ) = (−1)k , k = 0, . . .n + 1.
Ekstrema ima tocno n + 2 i pripadne vrijednosti alternirajupo predznaku.Cebisevljeve polinome uvijek mozemo sa segmenta [−1,1]transformirati u cvorove na segmentu [a,b] koristeciformulu:
x =a + b
2− b − a
2xc ,
gdje je xc Cebisevljev cvor, a x novi cvor iz segmenta [a,b].
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Nultocke i ekstremi Cebisevljevih polinoma 3/3
Preciznije, Cebisevljevi cvorovi na proizvoljnom segmentu [a,b]su
xc =a + b
2− b − a
2
(cos
(2k + 1)n
π
2
), k = 0, . . .n − 1.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Prvih par Cebisevljevih polinoma
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
O Cebisevljevim polinomima
Primjetimo da na segmentu [−1,1] polinomi imaju n + 1ekstremnu vrijednost zbog svog porijekla Tn(x) = cos(nϕ)sto znaci T0(x) ima jedan, T1(x) dva, T2(x) tri, a T3(x) cetiriekstrema, itd.Svi ekstremi imaju apsolutnu vrijednost 1 i to naizmjencepozitivnu pa negativnu sto utjece na to da Tn(x) ima nrazlicitih nultocaka koje su sve realne i na intervalu 〈−1,1〉.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
O Cebisevljevim polinomima
Primjetimo da na segmentu [−1,1] polinomi imaju n + 1ekstremnu vrijednost zbog svog porijekla Tn(x) = cos(nϕ)sto znaci T0(x) ima jedan, T1(x) dva, T2(x) tri, a T3(x) cetiriekstrema, itd.Svi ekstremi imaju apsolutnu vrijednost 1 i to naizmjencepozitivnu pa negativnu sto utjece na to da Tn(x) ima nrazlicitih nultocaka koje su sve realne i na intervalu 〈−1,1〉.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Korisne relacije za Cebisevljeve polinome
Tn(−x) = (−1)nTn(x),
Tn(1) = 1,
Tn(−1) = (−1)n,
T2n(0) = (−1)n,
T2n+1(0) = 0.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Ocjena greske
1 Cebisevljevi polinomiOcjena greskeZadaci
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Ocjena greske
Ocjena greske
Najveca apsolutna greska interpolacije Cebisevljevimpolinomom najmanja je moguca i uvijek je jednolicnorasporedena na cijelom segmentu bez prevelikihodstupanja na segmentu [a,b] i iznosi:
|Rn| ≤Mn+1
(n + 1)!(b − a)n+1
22n+1 . (3)
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
1 Cebisevljevi polinomiOcjena greskeZadaci
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
Primjer
Odrediti listu od cetiri Cebisevljeva cvora na segmentu [−2,2].
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
Zadatak 1.
Za funkciju f (x) = 11+25x2 na segmentu [−1,1] naci interpolacijski
polinom drugog stupnja na ekvidistantnoj i Cebisevljevoj mrezi.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
Zadatak 2.
Koliko je Cebisevljevih cvorova potrebno pomocu kojih bi seinterpolirala funkcija
f (x) = sin x + cos x
na segmentu [0, π] s minimalnom tocnoscu od 10−8?
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
Vjezba
Odredite L2(x) za funkciju
f (x) = 3√
1 + x , x ∈ [−0.5,1]
koristeci za cvorove nultocke Cebisevljevog polinoma. Odreditepravu gresku za taj polinom u x = −0.4 i x = 0.9.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
Seminar 1.
Korisnik upisuje pocetak i kraj intervala te stupanj ninterpolacijskog polinoma kojim zeli interpolirati zadanufunkciju. Program racuna Cebisevljeve cvorove na zadanomsegmentu. Zadana je funkcija
f (x) = x 3√
1 + x .
U C++ izradite program tako da interpolirate funkciju dvamapolinomima Ln(x) stupnja n i n + 1 na segmentu. Usporeditedobivena rjesenja i izracunajte greske.
Uvod u numericku matematiku
Cebisevljevi polinomi
Zadaci
Seminar 2.
Korisnik upisuje pocetak i kraj intervala te stupanj ninterpolacijskog polinoma kojim zeli interpolirati zadanufunkciju. Program racuna Cebisevljeve cvorove na zadanomsegmentu. Zadana je funkcija
f (x) = x3 + 5x2 + 1.
U C++ izradite program tako da interpolirate funkciju dvamapolinomima Ln(x) stupnja n na ekvidistantnoj mrezi i na mreziCebisevljevih cvorova. Usporedite dobivena rjesenja iizracunajte greske.