CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS
DEL INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
UNIDAD ZACATENCO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Procesos de Selección de Recursos Digitales en Clases de
Geometría: Estudios de Caso con Profesores de Primaria
Tesis que presenta
Marisol Santacruz Rodríguez
para obtener el Grado de
Doctora en Ciencias
en la especialidad de
Matemática Educativa
Directores de la Tesis:
Dra. Ana Isabel Sacristán Rock (directora)
Dr. François Pluvinage (co-director)
Ciudad de México Agosto de 2019
AGRADECIMIENTOS
Quiero dar mis especiales agradecimientos a la Dra. Ana Isabel Sacristán, mi
directora de tesis, por toda su orientación, dedicación, apoyo y amistad en la realización de
mi doctorado. Igualmente, agradezco al Dr. François Pluvinage, codirector de mi tesis, por su
acompañamiento en la realización de este trabajo.
Al Dr. Luc Trouche, muchas gracias por recibirme durante mi estancia académica en
Francia, y por sus aportes e ideas para el desarrollo de mi tesis.
Mis sinceros agradecimientos al resto de mis sinodales, Dra. Ivonne Sandoval,
Dra. Teresa Rojano, y Dr. Ulises Xolocotzin, por sus lecturas, retroalimentación a mi trabajo
e interés que mostraron en participar de mi proceso de formación.
Al Cinvestav, mil gracias por abrirme sus puertas. Muchas gracias al Departamento
de Matemática Educativa por darme la oportunidad de formarme junto a investigadores de
primera línea.
Igualmente, quiero agradecer a los profesores y escuelas que participaron en este
estudio, por darme el apoyo, logística y espacios necesarios para llevar a cabo mi
investigación.
Finalmente, quiero agradecer a Dios por su inspiración para realizar mi doctorado; a
mi familia, pareja y amigos que fueron mi apoyo durante todos estos años. Los llevo en el
corazón.
A todos, mil gracias.
Marisol.
4
AGRADECIMIENTO A CONACYT
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT)
por el apoyo económico que me proporcionó para la realización de
mis estudios de doctorado que culminan con el presente trabajo de
tesis de grado.
Becario 678019
5
RESUMEN
En la investigación presentada en este documento, estudiamos los procesos de
selección de recursos digitales que hacen profesores de primaria para su enseñanza de la
geometría. Nos interesó analizar cómo, y de qué maneras, los conocimientos profesionales de
los profesores se ponen en juego en estos procesos de selección.
Nuestro marco teórico se fundamentó en la Aproximación Documental de la Didáctica
(ADD) propuesta por Gueudet y Trouche (2009) y algunas ideas del modelo de los Espacios
de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak (2011). Para desarrollar nuestro estudio, usamos la
metodología de investigación reflexiva de la ADD. Realizamos estudios de casos de cinco
profesores de escuelas primarias públicas en Colombia, a partir de observaciones de algunas
de sus clases, incluyendo sus planeaciones para éstas, así como entrevistas donde se aplicó
una técnica de introspección. Esta técnica consistió en estimular el recuerdo de los profesores
para que evocaran y representaran sus acciones durante la selección de recursos digitales para
su clase, mediante la elaboración de mapas de su “ruta-recorrida”. A través de esta
metodología, inferimos los esquemas de los profesores que orientaron su selección de recursos
digitales para sus clases.
Un resultado principal de esta investigación fue la identificación de “criterios de
selección” (de contenido matemático, curriculares, de características didácticas del recurso,
cognitivos y ergonómicos, entre otros) de los profesores del estudio, los cuales se
manifestaron en sus procesos de selección de recursos digitales para sus clases .
Consideramos que este tipo de estudios sobre la selección de recursos pueden orientar
el desarrollo de programas de formación de profesores y dar pistas importantes a quienes
diseñan recursos y los ponen a disposición de los profesores.
6
ABSTRACT
In the research presented in this document, we studied the processes of selection of
digital resources carried out by primary school teachers for teaching geometry. We were
interested in analyzing how, and in what ways, the professional knowledge of teachers is
involved in these selection processes.
Our theoretical framework was based on the Documentational Approach to Didactics
(DAD) proposed by Gueudet and Trouche (2009) and on some ideas of the Mathematical
Work Spaces (MWS) model of Kuzniak (2011). To develop our study, we used the ADD's
reflective investigation methodology. We conducted case studies of five public elementary
school teachers in Colombia using observations of some of their classes, including how they
planned these, as well as interviews where an introspection technique was applied. This
technique consisted in stimulating a memory recall of the teachers so that they could evoke
their actions when selecting digital resources for their class, and represent these in maps of
their “selection paths”. Through this methodology, we inferred the schemes of the teachers
underlying their selection of digital resources for their classes.
A main result of this research was the identification of “selection criteria” (of
mathematical content, of curricular content, of didactical characteristics of the resource,
cognitive and ergonomic, among others) of the participating teachers, involved in their
selection processes of digital resources for their classes.
We believe that this type of study on the selection of resources can guide the
development of teacher training programs and provide important pointers to those who design
resources and make them available to teachers.
7
ÍNDICE
Agradecimientos .......................................................................................................................... 3
Agradecimiento a CONACYT .................................................................................................... 4
Resumen ...................................................................................................................................... 5
Abstract ........................................................................................................................................ 6
Índice ........................................................................................................................................... 7
Lista de Figuras ......................................................................................................................... 15
Lista de Tablas ........................................................................................................................... 19
PARTE I: INTRODUCCIÓN .................................................................................................... 21
1. Introducción y planteamiento del problema .......................................................................... 22
1.1. La selección de recursos digitales para la clase ............................................................... 22
1.2. Objetivos y preguntas de investigación ........................................................................... 25
1.3. Estructura del documento ................................................................................................ 26
PARTE II: ANTECEDENTES Y MARCO CONCEPTUAL Y TEÓRICO ............................ 31
2. Una mirada a los recursos en la historia y en la educación matemática ................................ 32
2.1. Dos ejemplos y antecedentes del uso de recursos: Una mirada histórica ........................ 32
2.1.1. La representación del espacio tridimensional: el caso de la pintura del Renacimiento
................................................................................................................................................... 33
2.1.2. Recursos importantes para orientación y medición en la navegación ....................... 39
2.1.2.1. La brújula: instrumento de orientación ................................................................... 39
2.1.2.2. El astrolabio y el sextante: instrumentos de medición de ángulos, para determinar
la ubicación ................................................................................................................................ 43
2.1.2.3. El cronómetro marino: instrumento de medición de tiempo para determinar la
ubicación .................................................................................................................................... 45
2.1.2.4. La cartografía: recurso para la ubicación ................................................................ 46
2.2. Acerca del concepto de recurso en educación matemática .............................................. 51
2.2.1. Materiales (o recursos) manipulativos ....................................................................... 52
2.2.2. Conceptualizando los recursos en la educación matemática ..................................... 54
3. Las tecnologías digitales como recursos en educación matemática ...................................... 56
3.1. Los recursos como mediadores de la actividad humana .................................................. 59
ÍNDICE
8
3.2. Recursos y teoría de la actividad ..................................................................................... 59
3.3. Mediación semiótica usando recursos digitales .............................................................. 60
3.4. Situaciones didácticas: recursos en un milieu ................................................................. 61
3.5. Micromundos computacionales: entornos de aprendizaje con tecnologías digitales ...... 63
3.6. Sobre el concepto de “recurso digital” ............................................................................ 65
4. Miradas teóricas al conocimiento del profesor ..................................................................... 66
4.1. Modelos de los conocimientos profesionales del profesor .............................................. 67
4.1.1. La perspectiva de Shulman sobre los conocimientos de los profesores, el concepto de
PCK, y el modelo MKT de Ball y colegas ................................................................................ 67
4.1.2. El Modelo TPACK de Mishra y Koehler .................................................................. 70
4.1.3. El Modelo PTK de Thomas y colegas ....................................................................... 73
4.2. Los modelos de ETG Y ETM de Kuzniak y colegas ...................................................... 75
4.2.1. Paradigma geométrico ............................................................................................... 76
4.2.2. Los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG) y Matemático (ETM) ......................... 78
4.3. Elementos principales para nuestro trabajo ..................................................................... 80
5. La enseñanza de la geometría en primaria ............................................................................ 83
5.1. Problemas en el aprendizaje y la enseñanza de la geometría .......................................... 83
5.2. Aspectos generales sobre la enseñanza de la geometría en primaria .............................. 84
5.3. El currículo de geometría en Colombia ........................................................................... 89
5.3.1. El sistema curricular y el desarrollo profesional en Colombia .................................. 89
5.3.2. Conocimientos específicos de geometría delineados en las orientaciones curriculares
................................................................................................................................................... 90
5.3.3. Las tecnologías digitales para la enseñanza de la geometría según las orientaciones
curriculares ................................................................................................................................ 91
6. El enfoque instrumental y la aproximación documental de la didáctica ............................... 93
6.1. El concepto de esquema .................................................................................................. 93
6.2. El Enfoque Instrumental: antecedente de la Aproximación Documental de la Didáctica
................................................................................................................................................... 97
6.2.1. La mediación instrumental ........................................................................................ 97
6.2.2. Las génesis instrumentales ........................................................................................ 98
6.3. El estudio del trabajo documental del profesor ............................................................. 101
6.3.1. Conceptualizando algunas ideas clave de la ADD .................................................. 102
ÍNDICE
9
6.3.2. Las génesis documentales ........................................................................................ 103
6.3.3. La orquestación de la clase ...................................................................................... 105
6.3.4. Líneas de investigaciones usando la ADD .............................................................. 107
6.4. Hacia una articulación, para nuestro estudio, entre ADD y ETM ................................ 109
7. La reflexión del profesor ..................................................................................................... 111
7.1. El proceso de reflexión en el individuo ......................................................................... 111
7.2. La reflexión del profesor ............................................................................................... 113
7.2.1. El pensamiento reflexivo según Dewey ................................................................... 113
7.2.2. Influencia del contexto en la práctica del profesor y en su reflexión ...................... 114
7.2.3. La reflexión en-la-acción ......................................................................................... 114
PARTE III: ASPECTOS METODOLÓGICOS Y DISEÑO DEL ESTUDIO ....................... 119
8. Metodología general del estudio.......................................................................................... 120
8.1. Hipótesis del trabajo ...................................................................................................... 120
8.2. Diseño general de la investigación ................................................................................ 121
8.3. Selección de los participantes y las escuelas ................................................................. 123
8.3.1. Descripción del municipio donde se llevó a cabo la investigación ......................... 124
8.3.2. Ingreso al servicio público docente de los profesores en Colombia ........................ 125
8.3.3. Criterios de elección de los profesores y las escuelas ............................................. 126
8.4. La recolección de datos ................................................................................................. 127
9. Desarrollo de la técnica de introspección ............................................................................ 129
9.1. Características teóricas de la técnica de introspección .................................................. 129
9.2. Aplicación de la técnica ................................................................................................. 131
9.3. Resumen de las características de la técnica de introspección ...................................... 132
PARTE IV: PRIMERA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS ............................................... 133
10. Diseño de la Primera Fase de la investigación .................................................................. 134
10.1. Recolección de datos en la Primera Fase ..................................................................... 134
10.2. Selección de los participantes (y la escuela) de la Primera Fase ................................. 136
10.3. Detalles de la escuela seleccionada en la Primera Fase ............................................... 137
10.4. Caracterización de los dos profesores estudiados en la Primera Fase ......................... 138
10.5. Caracterización del grupo de profesores participantes de la Primera Fase ................. 140
11. Estudio de caso de Juan: Énfasis en los aspectos ergonómicos y didácticos del recurso . 141
ÍNDICE
10
11.1. Detalles del grupo de Juan y de la clase observada ..................................................... 141
11.2. Conocimientos geométricos y ETM de Juan sobre líneas abiertas y cerradas ............ 142
11.3. Selección por Juan del recurso para su clase ............................................................... 144
11.3.1. El recurso seleccionado por Juan ........................................................................... 144
11.3.2. Criterios de Juan, para la selección del recurso ..................................................... 145
11.4. Uso y orquestación por Juan del recurso en su clase................................................... 149
11.5. Reflexión de Juan después de la clase sobre el recurso y su orquestación.................. 152
11.6. Conclusiones del estudio de caso de Juan ................................................................... 152
12. Estudio de caso de Pedro (1ª parte): El recurso digital como un contexto para la
construcción y la exploración .......................................................................................... 154
12.1. Detalles del grupo, meta y clase observada de Pedro .................................................. 154
12.2. ETM de referencia con respecto a las metas del proyecto de aula de Pedro ............... 156
12.3. Conocimientos geométricos y ETM Personal de Pedro sobre la medida y la medición
................................................................................................................................................. 158
12.4. Selección por Pedro del recurso para su clase ............................................................. 159
12.4.1. El recurso seleccionado por Pedro ......................................................................... 159
12.4.2. Criterios de Pedro para la selección del recurso .................................................... 160
12.5. Uso y orquestación por Pedro del recurso en su clase ................................................ 164
12.6. Conclusiones del estudio de caso de Pedro ................................................................. 168
13. Estudio de caso colectivo .................................................................................................. 169
13.1. Organización del trabajo colectivo con el grupo de maestros ..................................... 169
13.2. Descripción de la experiencia y resultados ................................................................. 169
13.3. Conclusiones sobre el estudio de caso colectivo ......................................................... 173
14. Conclusiones de la Primera Fase de la investigación ........................................................ 175
14.1. Conocimientos profesionales y personales de los profesores que impactan su selección
de recursos digitales ................................................................................................................ 175
14.2. ETMs identificados de los profesores de la Primera Fase del estudio ........................ 176
14.2.1. Orientaciones y percepciones personales de los profesores que impactan su selección
de recursos digitales ................................................................................................................ 177
14.2.2. La selección de recursos y la orquestación de la clase: procesos complementarios 181
14.3. Criterios de selección de recursos digitales ................................................................. 183
14.3.1. Criterios similares de selección de recursos .......................................................... 183
ÍNDICE
11
14.3.2. Criterios adicionales de selección de recursos ....................................................... 185
14.4. Resumen de conclusiones de la Primera Fase ............................................................. 185
14.5. Hacia la Segunda Fase del estudio a partir de los resultados de la Primera Fase ........ 186
PARTE V: SEGUNDA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS ............................................... 187
15. Diseño de la Segunda Fase de la investigación ................................................................. 188
15.1. Cambios en la metodología con base a los resultados de la Primera Fase .................. 188
15.2. Actividades de la Segunda Fase .................................................................................. 191
15.3. Recolección de datos en la Segunda Fase .................................................................... 193
15.4. Elección de los casos y variables del estudio .............................................................. 194
15.4.1. Criterios de elección de los participantes .............................................................. 195
15.4.2. Proceso de determinación de los participantes ...................................................... 195
15.4.3. Detalles de los profesores seleccionados ............................................................... 196
15.5. Proceso de análisis de los datos ................................................................................... 197
16. Estudio de caso de Laura: Recursos para enseñar estimación de longitudes .................... 201
16.1. Antecedentes y contexto profesional de Laura ............................................................ 201
16.2. Concepción de las clases de Laura .............................................................................. 202
16.3. Recursos seleccionados por Laura ............................................................................... 203
16.4. Uso y orquestación por Laura de los recursos en su clase ........................................... 208
16.5. Análisis del proceso de selección de Laura ................................................................. 212
16.5.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Laura sobre su
ruta-recorrida ........................................................................................................................... 212
16.5.2. Componentes del esquema de Laura para seleccionar recursos digitales .............. 215
16.5.3. Análisis de los conocimientos matemáticos de Laura involucrados en su proceso de
selección de recursos digitales ................................................................................................. 219
16.6. Conclusiones sobre el estudio de caso de Laura .......................................................... 221
17. Estudio de caso de Pedro (2ª parte): Recursos para diseñar en la clase de Geometría ...... 223
17.1. Antecedentes de Pedro y del contexto en el que labora ............................................... 223
17.2. El proyecto de aula “La casa de mis sueños” desarrollado por Pedro ......................... 224
17.3. Recursos seleccionados por Pedro para su proyecto de aula ....................................... 228
17.4. Análisis del proceso de selección de recursos (digitales) de Pedro ............................. 230
17.4.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Pedro sobre su
ruta-recorrida ........................................................................................................................... 231
ÍNDICE
12
17.4.2. Componentes del esquema de Pedro para seleccionar recursos digitales ............. 234
17.4.3. Paradigma geométrico relacionado con las invariantes operatorias de Pedro ....... 239
17.5. Conclusiones sobre el estudio de caso de Pedro ......................................................... 240
18. Estudio de caso de Miguel: Recursos para “hacer y aprender geometría” ........................ 243
18.1. Antecedentes de Miguel y del contexto en el que labora ............................................ 243
18.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Miguel ................................... 243
18.1.2. Detalles de la escuela en la que Miguel trabajaba ................................................. 244
18.1.3. Clases desarrolladas por Miguel durante su periodo de seguimiento .................... 245
18.1.4. Metodología del seguimiento a Miguel ................................................................. 247
18.2. Sistema general de recursos de Miguel para su enseñanza de geometría en quinto grado
................................................................................................................................................. 249
18.2.1. Visita guiada a los recursos generales de Miguel .................................................. 250
18.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Miguel ................................................ 252
18.2.3. Orquestación general de las clases de geometría de Miguel ................................. 257
18.2.4. Aporte del análisis del sistema general de recursos para nuestra investigación .... 259
18.3. Recursos seleccionados por Miguel para el desarrollo de su “taller” ......................... 260
18.3.1. Recursos (no-digitales) y actividades previos al taller .......................................... 260
18.3.2. Recursos y actividades del taller ........................................................................... 262
18.4. El “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra” de Miguel .......... 262
18.4.1. Descripción general del taller de Miguel ............................................................... 263
18.4.2. Orquestación y uso de los recursos en el taller de Miguel .................................... 264
18.5. Análisis del proceso de selección del recurso digital del taller de Miguel .................. 268
18.5.1. Mapas de la “ruta-recorrida” hechos por Miguel .................................................. 269
18.5.2. Componentes del esquema de Miguel en la selección de su recurso digital para su
taller ......................................................................................................................................... 272
18.6. Paradigmas geométricos que orientaron, en Miguel, su proceso de selección de
recursos para la enseñanza de la geometría ............................................................................. 276
18.7. Conclusiones sobre el estudio de caso de Miguel ....................................................... 280
18.7.1. Sobre el sistema de recursos de Miguel ................................................................. 280
18.7.2. Sobre las rutas-recorridas por Miguel en su proceso de selección de recursos ..... 281
18.7.3. Sobre el esquema ESRD_M de Miguel para su selección de recursos ................. 282
18.7.4. Sobre los “paradigmas geométricos" de Miguel ................................................... 283
ÍNDICE
13
19. Estudio de caso de Sonia: Énfasis en las necesidades de sus estudiantes ......................... 285
19.1. Antecedentes y contexto profesional de Sonia ............................................................ 285
19.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Sonia...................................... 285
19.1.2. Detalles de la escuela en la que Sonia laboraba ..................................................... 286
19.1.3. Detalles del seguimiento al trabajo de Sonia ......................................................... 286
19.2. Sonia y su sistema de recursos para su enseñanza de la geometría ............................. 287
19.2.1. Visita guiada de los recursos generales de Sonia .................................................. 287
19.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Sonia ................................................... 291
19.3. Recursos seleccionados por Sonia y su orquestación .................................................. 295
19.4. Análisis del proceso de Sonia para seleccionar recursos (digitales) ............................ 299
19.4.1. Resultados de la técnica de introspección: “Rutas-recorridas” dibujadas por Sonia
................................................................................................................................................. 299
19.4.2. Componentes del esquema de Sonia para seleccionar recursos digitales .............. 303
19.5. Paradigmas geométricos que orientaron las acciones de Sonia ................................... 307
19.6. Conclusiones del estudio de caso de Sonia .................................................................. 308
20. Conclusiones de los resultados de la Segunda Fase .......................................................... 310
20.1. Sobre los sistemas de recursos de los profesores y la orquestación de la clase .......... 310
20.1.1. Acerca de los sistemas de recursos de los profesores ............................................ 310
20.1.2. Aportes a nuestro estudio del análisis de la orquestación de la clase .................... 312
20.2. Sobre las “rutas recorridas” por los profesores ............................................................ 313
20.3. Sobre los esquemas (y criterios) de selección de recursos digitales de los profesores, y
sus conocimientos involucrados .............................................................................................. 314
20.3.1. Criterios de selección de recursos .......................................................................... 315
20.3.2. Conocimientos profesionales y personales de los profesores que impactan su
selección de recursos digitales ................................................................................................. 316
20.3.3. Paradigmas geométricos que orientaron el proceso de selección de recursos de los
recursos .................................................................................................................................... 320
PARTE VI: CONCLUSIONES GENERALES ...................................................................... 323
21. Conclusiones ...................................................................................................................... 324
21.1. Resumen de los resultados del estudio ........................................................................ 324
21.1.1. Acerca de los recursos digitales seleccionados por los profesores ........................ 324
21.1.2. Criterios de los profesores para su selección de recursos ...................................... 326
ÍNDICE
14
21.1.3. Sobre la orquestación de la clase ........................................................................... 327
21.1.4. Conocimientos profesionales de los profesores relacionados con su selección de
recursos .................................................................................................................................... 329
21.1.5. Percepciones de los profesores participantes en el estudio sobre las actividades de
reflexión .................................................................................................................................. 333
21.2. Respuestas a las preguntas de investigación ............................................................... 334
21.3. Aportaciones del trabajo .............................................................................................. 336
21.4. Limitaciones del estudio y posibles líneas de investigación futuras ........................... 337
21.4.1. Sobre los profesores participantes ......................................................................... 337
21.4.2. Respecto al tema matemático y nivel de escolaridad estudiado ............................ 338
21.4.3. Sobre posibles aplicaciones de la técnica de introspección ................................... 339
21.5. Comentarios finales ..................................................................................................... 339
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................... 341
ANEXOS ................................................................................................................................. 355
Anexo A. Cuestionario C1 ................................................................................................. 356
Anexo B. Cuestionario C2 .................................................................................................. 358
Anexo C. Ejemplo de protocolo de entrevista a profesor ................................................... 360
Anexo D. Ejemplo de Protocolo de entrevista a director de escuela .................................. 362
Anexo E. Ejemplo de Protocolo de observación de planeación de clase ........................... 364
Anexo F. Ejemplo Protocolo de observación de clase ....................................................... 365
Anexo G. Palabras-código .................................................................................................. 367
Anexo H. Hojas de trabajo de Laura .................................................................................. 368
Anexo I. Proyecto de aula “La casa de mis sueños” ......................................................... 370
15
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1. Virgen en el trono con el Niño, ángeles y santos, en la Maestà de Duccio (1311) . 34
Figura 2.2. La escuela de Atenas de Rafael Sanzio (1512) ....................................................... 35
Figura 2.3. Los desposorios de la Virgen de Rafael Sanzio (1504) .......................................... 36
Figura 2.4. El perspectógrafo de Durero ................................................................................... 37
Figura 2.5. Brújula tradicional China (Período Han) ................................................................ 41
Figura 2.6. Fotografía del artefacto M-160 con escala en centímetros (Carlson, 1975) ........... 41
Figura 2.7. Orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” al flotar en líquido
(Carlson, 1975) .................................................................................................................. 42
Figura 2.8. Vector de orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” (Carlson, 1975)
........................................................................................................................................... 42
Figura 2.9. Astrolabio persa del S. XI ....................................................................................... 44
Figura 2.10. Sextante ................................................................................................................. 44
Figura 2.11. Cronómetro marino del S. XIX (1831-1836) ........................................................ 45
Figura 2.12. Mapamundi por Donnus Nicholas Germanus (1482) ........................................... 46
Figura 2.13. Proyección de Mercator ........................................................................................ 47
Figura 2.14. Mapa de Mercator de 1569: (a) planisferio completo compuesto (arriba) ; y (b)
detalle (abajo) de dos hojas mostrando parte de Norteamérica ......................................... 48
Figura 2.15. Planisferios Mercator trazados por: (a) Guiljelmo Blaeuw (1606) (arriba) y (b)
Daniel R. Strebe (2011) (abajo) ......................................................................................... 49
Figura 2.16. Ejemplos de bloques de Dienes............................................................................. 53
Figura 3.1. Situación didáctica (y situación a-didáctica). (Perrin-Glorian, 2009, p. 14)........... 63
Figura 3.2. Componentes de un micromundo (Hoyles & Noss, 1987) ..................................... 64
Figura 4.1. Mapa de dominio del Conocimiento Matemático para la Enseñanza (tomado de
Ball et al., 2008, p. 403; Hill et al., 2008, p. 377; y de Miranda, 2013, para las
traducciones) ...................................................................................................................... 69
Figura 4.2. Modelo TPACK ...................................................................................................... 71
Figura 4.3. Modelo MPTK (Clark-Wilson & Hoyles, 2017, p.31) ........................................... 74
Figura 4.4. El espacio de trabajo matemático y sus génesis (Kuzniak & Richard, 2014, p. 7) . 79
Figura 6.1. Mediaciones instrumentales en el sistema didáctico (Rabardel, 1999. Nuestra
traducción.) ........................................................................................................................ 98
Figura 6.2. Génesis instrumental (Adaptado de Trouche, 2003, 2004) ................................... 100
Figura 6.3. Génesis documentales (Adaptado de Gueudet & Trouche, 2009, p. 206 . Nuestra
traducción.) ...................................................................................................................... 104
LISTA DE FIGURAS
16
Figura 8.1. Diseño metodológico general de la investigación ............................................... 122
Figura 8.2 [27]. Momentos en cada fase y etapa de la investigación ...................................... 123
Figura 8.3. Imágenes del municipio de Yumbo (Colombia) ................................................... 124
Figura 10.1. Instalaciones de la escuela de la Primera Fase ................................................... 138
Figura 11.1. Escena de la clase de Juan de primer grado ........................................................ 141
Figura 11.2. Ejemplos de curvas abiertas y cerradas presentados por Juan ............................ 143
Figura 11.3. Interfaz del recurso seleccionado por Juan ......................................................... 145
Figura 12.1. Escena de la clase de Pedro de quinto grado ...................................................... 154
Figura 12.2. Trabajo previo de los estudiantes de Pedro ........................................................ 156
Figura 12.3. Interfaz de trabajo del recurso seleccionado por Pedro ...................................... 160
Figura 12.4. Pareja guía de la clase de Pedro .......................................................................... 166
Figura 13.1. Profesores interactuando con los recursos seleccionados por Juan y Pedro ....... 170
Figura 16.1. Escuela donde laboraba Laura ............................................................................ 202
Figura 16.2. Repositorio “Contenidos para Aprender” ........................................................... 204
Figura 16.3. Contenido digital seleccionado por Laura del repositorio “Contenidos para
Aprender” ........................................................................................................................ 205
Figura 16.4. Elementos de la “Guía para el docente” del “Contenido digital” que Laura
seleccionó ........................................................................................................................ 206
Figura 16.5. Actividades consideradas por Laura, del repositorio “Contenidos para Aprender”
......................................................................................................................................... 206
Figura 16.6. Captura del video seleccionado por Laura .......................................................... 207
Figura 16.7. Parte del interactivo seleccionado por Laura y relacionado al video ................. 207
Figura 16.8. Primera hoja de trabajo (imprimible) adaptada por Laura (ver Anexo H) , y
relacionada con el video y el interactivo correspondientes ............................................. 207
Figura 16.9. Estudiantes de Laura trabajando ......................................................................... 208
Figura 16.10. Actividad en las hojas de trabajo adaptadas por Laura ..................................... 210
Figura 16.11. Primera versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su clase .................................................................................. 213
Figura 16.12. Segunda versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su clase .................................................................................. 214
Figura 16.13. Última versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida en su
selección de recursos para su clase .................................................................................. 215
Figura 17.1. Estudiantes de Pedro mostrando el resultado (maqueta) de su proyecto de aula 224
Figura 17.2. Estudiantes de Pedro trabajando en el diseño del plano de una casa, con Sweet
Home 3D.......................................................................................................................... 225
LISTA DE FIGURAS
17
Figura 17.3. Ejemplo de un plano producido por una pareja de estudiantes usando Sweet Home
3D .................................................................................................................................... 225
Figura 17.4. Actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula ........ 227
Figura 17.5. Otra actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula . 227
Figura 17.6. Ejemplo del tipo de información disponible en el repositorio “Finca Raíz” ...... 229
Figura 17.7. Primera versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su proyecto de aula ............................................................... 231
Figura 17.8. Segunda versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su proyecto de aula ............................................................... 232
Figura 17.9. Última versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su clase .................................................................................. 233
Figura 18.1. Escuela donde laboraba Miguel .......................................................................... 245
Figura 18.2. Hoja de trabajo para el estudio de “sólidos geométricos”, propuesta por Miguel
......................................................................................................................................... 246
Figura 18.3. Ejemplo de un geoplano “convencional” (izquierda) y un geoplano “circular”
(derecha) realizados en la clase de Miguel ...................................................................... 247
Figura 18.4. Recursos para la enseñanza de la geometría en el salón de Miguel .................... 251
Figura 18.5. Primera versión del mapa de recursos de Miguel ............................................... 253
Figura 18.6. Versión final del mapa, hecho por Miguel, de su sistema de recursos ............... 254
Figura 18.7. Niño trabajando en el taller sobre transformaciones geométricas propuesto por
Miguel .............................................................................................................................. 264
Figura 18.8. Escena del “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra” ..... 264
Figura 18.9. Ejemplos de las actividades propuestas en las hojas de trabajo del “Taller de
transformaciones geométricas con GeoGebra” de Miguel .............................................. 265
Figura 18.10. Primera versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su taller .................................................................................. 269
Figura 18.11. Segunda versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su taller .................................................................................. 270
Figura 18.12. Última versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su taller .................................................................................. 271
Figura 18.13. Construcción del geoplano en la clase de Miguel ............................................. 277
Figura 18.14. Actividad en GeoGebra (con hoja de trabajo) sobre composición de
transformaciones, por un estudiante de Miguel ............................................................... 278
Figura 18.15. Detalle de la actividad en GeoGebra sobre composición de transformaciones,
por un estudiante de Miguel ............................................................................................ 279
Figura 19.1. Instalaciones de la escuela en la que Sonia laboraba .......................................... 286
Figura 19.2. Algunos libros de texto usados por Sonia ........................................................... 289
LISTA DE FIGURAS
18
Figura 19.3. Guía del maestro oficial, consultada por Sonia .................................................. 290
Figura 19.4. Recursos para “recortar, pegar o trazar” mencionados por Sonia ...................... 290
Figura 19.5. Videobeamer instalado frente al pizarrón en el salón de clases de Sonia ........... 291
Figura 19.6. Mapa, dibujado por Sonia, de su sistema de recursos ........................................ 293
Figura 19.7. Tema de “Medición” en la “Guía del Maestro”, consultado por Sonia para su
planeación de clases ........................................................................................................ 296
Figura 19.8. Actividades de estimación y medición propuestas por Sonia ............................. 296
Figura 19.9. Proyección de la hoja de trabajo en el tablero .................................................... 297
Figura 19.10. Video seleccionado por Sonia para su clase ..................................................... 297
Figura 19.11. Aspecto del applet seleccionado por Sonia para su clase ................................. 298
Figura 19.12. Escena de la clase de Sonia usando el applet de GeoGebra ............................. 299
Figura 19.13. Primera versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar
recursos para sus clases ................................................................................................... 300
Figura 19.14. Segunda versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar
recursos para sus clases ................................................................................................... 301
Figura 19.15. Ejemplo de uso de recursos de “recortar, doblar y pegar” en las clases de Sonia
......................................................................................................................................... 307
19
LISTA DE TABLAS
Tabla 5.1. Comparación entre elementos del modelo de espacio de Gálvez (1985) y de los
Espacios de Trabajo Geométrico de Houdement y Kuzniak (2006) ................................. 88
Tabla 8.1. Detalles del número de participantes y de los periodos de recolección de datos ... 123
Tabla 8.2. Características generales de las fuentes de datos ................................................... 128
Tabla 10.1. Instrumentos de recolección de información en la Primera Fase de la investigación
......................................................................................................................................... 135
Tabla 10.2. Criterios de selección de los casos de la Primera Fase de la investigación .......... 136
Tabla 10.3. Características generales del grupo de 30 maestros ............................................. 140
Tabla 11.1. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Juan) ... 146
Tabla 11.2. Criterios de selección de un recurso digital en el caso de Juan ............................ 149
Tabla 11.3. Aspectos de la orquestación de Juan en su clase de grado primero ..................... 150
Tabla 11.4. Tipos de orquestación (interacciones) de Juan en su clase de grado primero ...... 151
Tabla 12.1. Fragmentos de la entrevista previa a la clase observada de Pedro ....................... 158
Tabla 12.2. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Pedro) . 162
Tabla 12.3. Criterios de selección de un recurso digital (Pedro) ............................................. 163
Tabla 12.4. Aspectos de la orquestación de Pedro en su clase de grado quinto ...................... 165
Tabla 12.5. Niveles de orquestación propuestos por Pedro en su clase de grado quinto ........ 166
Tabla 13.1. Diseño de la sesión de reflexión colectiva (Primera Fase) ................................... 169
Tabla 14.1. Orquestación de la clase y usos del recurso en las clases de Juan y Pedro .......... 182
Tabla 14.2. Manifestaciones similares en los criterios de selección de recurso (Primera Fase)
......................................................................................................................................... 184
Tabla 15.1. Detalles de los momentos de la Segunda Fase de la investigación ...................... 192
Tabla 15.2. Instrumentos de recolección de información en la Segunda Fase ........................ 194
Tabla 15.3. Criterios y variables de estudio ............................................................................ 195
Tabla 15.4. Datos generales de los profesores participantes en la Segunda Fase ................... 197
Tabla 15.5[23]. Categorías de análisis .................................................................................... 199
Tabla 15.6. Sub-categorías de análisis .................................................................................... 200
Tabla 16.1. Aspectos de la orquestación de Laura en su secuencia de clases en primer grado
......................................................................................................................................... 211
Tabla 16.2. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Laura
(ESRD_L) ........................................................................................................................ 217
LISTA DE TABLAS
20
Tabla 17.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Pedro
(ESRD_P) ........................................................................................................................ 237
Tabla 18.1. Actividades del seguimiento a Miguel ................................................................. 249
Tabla 18.2. Aspectos de la orquestación de Miguel en su taller ............................................. 267
Tabla 18.3. Componentes del Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales
de Miguel (ESRD_M) ..................................................................................................... 274
Tabla 19.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Sonia
(ESRD_S) ........................................................................................................................ 305
Tabla 21.1. Resumen de los recursos seleccionados por los profesores participantes en el
estudio ............................................................................................................................. 324
Tabla 21.2. Resumen de los criterios de selección de recursos tenidos en cuenta por los
profesores observados ..................................................................................................... 326
Tabla 21.3. Resumen de aspectos del uso y orquestación de los recursos por los profesores 328
Tabla 21.4. Conocimientos profesionales contenidos en cada criterio de selección ............... 330
Tabla Anexo G.5. Palabras-código utilizadas en el análisis de los datos ................................ 367
21
PARTE I: INTRODUCCIÓN
22
1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA
Consideramos que la selección de recursos (digitales) para la clase es un proceso
crítico en el trabajo del profesor. En este sentido, nos propusimos estudiar el proceso de
selección de recursos digitales para la enseñanza de la geometría que hacen profesores de
primaria. Igualmente, quisimos explorar cómo, para llevar a cabo este proceso de selección,
los profesores ponen en juego sus conocimientos profesionales (e.g. geométricos, didácticos,
curriculares, etc.) en sus procesos de integración a su práctica de recursos digitales.
1.1. LA SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES PARA LA CLASE
En su práctica, los profesores de matemáticas usan recursos variados (e.g. libros de
texto, dispositivos digitales, representaciones, conceptos matemáticos, discusiones y
reflexiones en clase, etc.), con el propósito de que sus estudiantes aprendan. La selección de
qué recursos usar, o no, y cómo usarlos, responde a las intencionalidades del profesor en
cuanto al aprendizaje de sus estudiantes; a su formación y experiencia; y a los recursos
disponibles.
En este sentido, determinados usos de los recursos posibilitan u obstaculizan el
aprendizaje de las matemáticas, modifican las maneras en que los estudiantes aprenden y las
maneras como los profesores enseñan (Adler, 2000); es decir, afectan sus metas educativas, las
maneras como disponen u organizan su clase, y el tipo de situaciones de aprendizaje para los
estudiantes, etc. Por lo tanto, los recursos juegan un papel fundamental en la práctica de
profesores de matemáticas. Sin embargo, los profesores de ciertos niveles (e.g. primaria) o
entornos (e.g. rural) pueden no contar con una formación específica (disciplinar y didáctica)
para la enseñanza de las matemáticas; de allí que el uso de recursos, principalmente recursos
digitales, puede impactar sensiblemente en la enseñanza del profesor (Adler, 2000).
CAP. 1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
23
En relación con lo anterior, la investigación en educación matemática ha mostrado un
interés creciente por indagar la práctica del profesor de matemáticas, especialmente en
relación a los usos de los recursos digitales en el aula (Gueudet &Trouche, 2010); y así
proponer pistas que permitan repensar la formación inicial y continua de profesores (Clark-
Wilson, Robutti, Sinclair, 2014; Llinares, 2014; Trgalová & Jahn, 2013).
Al respecto, Artigue (2011) puntualiza la necesidad de que la investigación en
educación matemática indague en el trabajo de los profesores, con el propósito de comprender
las limitaciones de ciertas prácticas y las razones de éxito de otras. Al respecto, Artigue (2011)
enfatiza en que las prácticas de los profesores son dinámicas y se adaptan a las condiciones
(institucionales) y contexto de trabajo de cada profesor.
Por ejemplo, aunque muchos esfuerzos de autoridades educativas se concentran en
fomentar la integración de recursos digitales (e.g., Ministerio de Educación Nacional - MEN,
2002), promover cambios en las prácticas de los docentes no es cuestión sencilla, como señala
Sacristán (2017), y es común que los profesores sigan enseñando de maneras más
tradicionales, usando los recursos digitales de maneras que no cambian la forma de enseñar (o
incluso, usando exclusivamente recursos no-digitales en sus clases).
Consideramos que existen múltiples aspectos que afectan las prácticas de los
profesores, tales como sus conocimientos profesionales, el uso de los recursos disponibles para
la enseñanza (Adler, 2000), el currículo, la evaluación, la formación continua, las
oportunidades de trabajo colaborativo, la experiencia misma de los profesores a través de los
años (Rocha, 2018), los contextos institucionales en los cuales trabajan, así como su
participación en redes sociales (e.g. Facebook) en las que profesores pueden compartir
intereses comunes (Messaoui, 2018). Dichos aspectos afectan también las maneras en cómo
los profesores organizan los recursos que seleccionan (e.g. en sus computadoras personales) y
cómo los usan en clase (e.g. usos complementarios entre libros de texto y recursos digitales;
ver Messaoui, 2018).
Por otro lado, estimamos que el estudio de los procesos de selección de recursos
digitales es importante porque nos permite comprender los criterios y conocimientos de los
profesores sobre la calidad y usos de los recursos que consideran para su práctica – un área de
investigación aún poco estudiada y urgente en educación matemática (Trgalová & Jahn, 2013).
Más aún, este tipo de estudios sobre la selección de recursos pueden orientar el desarrollo de
CAP. 1 INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
24
programas de formación de profesores y dar pistas importantes a quienes diseñan recursos y
los ponen a disposición de los profesores.
En nuestro caso, nos cuestionamos sobre lo poco que sabemos de cómo los profesores
de primaria en Colombia seleccionan recursos digitales para enseñar geometría y qué
conocimientos profesionales se ponen en juego en este proceso, por lo que con este trabajo
investigamos esta cuestión. Consideramos la enseñanza de la geometría en la educación
primaria como un campo propicio para la realización de nuestro estudio debido a cuatro
razones fundamentales:
i) el amplio interés sobre el estudio didáctico de la geometría, sobre todo en la
educación primaria (Berthelot & Salin, 1992);
ii) las dificultades expresadas por profesores de primaria para su enseñanza (Bressan,
Bogisic & Crego , 2000);
iii) las recomendaciones de estudios internacionales (e.g. TIMSS, ICFES, 2010) que
sugieren atender aspectos relacionados con la enseñanza de la geometría en la
educación primaria (ver mayores detalles en la sección 5.1); y
iv) el impulso que recibió la enseñanza de la geometría gracias al desarrollo de
tecnologías de geometría dinámica (Sandoval, 2009).
Respecto a este último punto, el uso de recursos digitales, como la geometría dinámica,
en las clases de geometría es un tema que ha llamado la atención de investigadores
internacionales desde hace tiempo (e.g. Laborde y otros, 2006, quienes han destacado las
potencialidades didácticas de este tipo de recursos, pero también, la complejidad que implica
para los profesores su uso). Entre las potencialidades didácticas de la geometría dinámica
encontramos las siguientes:
i) su papel como una herramienta mediadora entre el conocimiento perceptivo y el
geométrico (Sandoval, 2009);
ii) el papel de herramientas como el arrastre (dragging) y su uso didáctico para el
desarrollo del razonamiento (Arzarello, Micheletti, Olivero & Robutti, 1998)
Consideramos que la complejidad del proceso de selección de recursos digitales para
enseñar geometría es un elemento interesante a indagar en el trabajo de profesores de primaria,
ya que éstos cuentan con una formación y práctica que tiende a no especializarse en la
CAP. 1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
25
enseñanza de las matemáticas, pero que se relaciona con otras disciplinas escolares (e.g. la
lengua materna o el arte).
1.2. OBJETIVOS Y PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
De acuerdo con los aspectos señalados anteriormente, en esta investigación nos
interesaba profundizar en el estudio del proceso de selección, por parte de profesores de
primaria, de recursos digitales para sus clases de geometría. En este sentido, nuestros objetivos
de investigación eran:
Analizar el proceso de selección de recursos digitales para enseñar geometría de
profesores de primaria.
Identificar los conocimientos profesionales involucrados en ese proceso de selección
de recursos digitales por parte de esos profesores.
Así, nuestras preguntas de investigación se centraban en entender aspectos
relacionados al proceso de selección, por parte de profesores de primaria, de recursos digitales
para geometría, tales como
¿Qué criterios consideran los profesores durante ese proceso de selección de recursos
digitales, para su enseñanza de la geometría?
¿Qué conocimientos profesionales (e.g. didácticos, de contenido, del contexto en que
se dan las clases, etc.) se ponen en juego durante ese proceso? En particular, ¿cuál es el
papel de sus conocimientos geométricos?
¿Qué acciones están involucradas, y qué ruta o camino siguen los profesores, en ese
proceso de selección?
¿Qué de lo anterior es específico para el nivel de primaria y para enseñanza de la
geometría, y qué no?
Para dar respuesta a esas preguntas de investigación, y como veremos en el Capítulo 6,
en nuestra investigación, utilizamos la Aproximación Documental de la Didáctica (o ADD)
propuesta por Gueudet y Trouche (2009) como nuestro principal marco teórico para estudiar la
selección de recursos como parte del trabajo docente del profesor. En particular, hicimos nos
propusimos realizar una investigación reflexiva (Guin & Trouche, 2012) respecto al trabajo de
cinco profesores de primaria en Colombia (ver Capítulo 8). Utilizamos esa
CAP. 1 INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
26
investigación reflexiva para promover la mirada retrospectiva de cada uno de esos profesores,
respecto a su práctica (a través de la producción de mapas de sus recursos y selección de éstos)
como una estrategia de recolección de datos del proceso de selección de recursos digitales de
cada uno.
A partir de esos datos, analizamos las acciones de cada uno de los profesores
estudiados, para poder inferir sus esquemas –en el sentido de Vergnaud (1998) (ver sección
6.1)— que orientaban, para cada uno, su proceso de selección de recursos digitales para la
enseñanza de algún tema específico de geometría. Adicionalmente, utilizamos la idea de
paradigma geométrico –propuesta por Kuzniak (2011) (ver sección 4.2.1)— para profundizar
en nuestro análisis de los conocimientos profesionales de los profesores, incluidos en sus
respectivos esquemas de selección de recursos.
1.3. ESTRUCTURA DEL DOCUMENTO
A continuación, presentamos la estructura general de este documento, el cual está
dividido en las siguientes seis partes (con, en total, 21 capítulos), más un apartado de Anexos
(que contienen información complementaria del trabajo de investigación):
Parte I: INTRODUCCIÓN: Esta parte esta conformada por el Capítulo 0 de
introducción al trabajo presentado en el documento, donde presentamos el planteamiento
de nuestro problema, las preguntas y objetivos de esta investigación.
Parte II: ANTECEDENTES Y MARCO CONCEPTUAL Y TEÓRICO: Esta parte
incluye los siguientes capítulos:
En el Capítulo 2 se hace una mirada al papel de los recursos en la historia y en
la educación. Nos interesa realizar una revisión histórica para identificar
antecedentes de usos de recursos relacionados con aspectos geométricos, tales
como la perspectiva, la medición y la orientación, los cuales nos pudieran servir
para analizar las acciones de los profesores estudiados. Así, en ese capítulo,
discutimos algunos ejemplos históricos como el caso de la pintura en el
renacimiento (cuando se desarrolló la perspectiva), y el de recursos para la
orientación y navegación (como la brújula, el astrolabio, y la cartografía).
CAP. 1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
27
Posteriormente, presentamos el concepto de “recurso” en Educación Matemática,
que orienta el desarrollo de nuestro estudio.
En el Capítulo 3 continuamos el análisis de los recursos en educación
matemática pero centrándonos en la idea de las tecnologías digitales como
recursos (ya que nuestro interés de investigación es en la selección de recursos
digitales). Presentamos algunos antecedentes teóricos de los recursos digitales en
la investigación en nuestro campo. También, como la mediación (de herramientas)
es uno de los marcos teóricos más usuales para estudiar el papel de las tecnologías
digitales en la enseñanza, presentamos, en ese capítulo, este marco teórico así
como ideas relacionadas. Además, la idea de mediación hace parte de los
antecedentes teóricos de la ADD, que es el marco teórico principal de nuestra
investigación.
En el Capítulo 4 presentamos algunos de los modelos de conocimientos
profesionales de los profesores, ya que, como dijimos arriba, los conocimientos de
los profesores forman parte de sus esquemas de selección de recursos. En especial,
en ese capítulo, discutimos algunos elementos centrales de los modelos de
Espacios de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak (2011) y colegas.
En el Capítulo 5, atendiendo nuestro interés de centrarnos en la selección de
recursos digitales para enseñanza de la geometría por profesores colombianos,
discutimos algunos aspectos generales de la enseñanza y del currículo de
geometría en Colombia, señalando algunas de las orientaciones sobre el uso de
tecnologías digitales en ese país.
En el Capítulo 6 presentamos el enfoque instrumental de Rabardel (1995)
como antecedente de la Aproximación Documental de la Didáctica (ADD) de
Trouche y colegas (e.g. Gueudet & Trouche, 2009), la cual constituye el marco
teórico central de nuestra investigación De esta última presentamos conceptos
como: esquema; documento; génesis documental y sistema de recursos.
En el Capítulo 7 discutimos algunas características del pensamiento reflexivo y
del proceso reflexivo de los profesores en su práctica docente. Esta revisión teórica
nos sirvió de fundamento para nuestra investigación reflexiva. En particular, la que
revisión que realizamos sobre la reflexión-en-la-acción (Schön, 1992) nos fue útil
CAP. 1 INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
28
para fundamentar el desarrollo de uno de nuestros principales instrumentos
metodológico (nuestra técnica de introspección) que presentaremos en el
Capítulo 9.
Parte III: ASPECTOS METODOLÓGICOS Y DISEÑO DEL ESTUDIO. Habiendo
dado en la parte anterior los antecedentes teóricos y conceptuales del trabajo, en esta
parte presentamos los aspectos metodológicos y de diseño de nuestro estudio, en los
siguientes dos capítulos:
En el Capítulo 8 presentamos el diseño metodológico general (incluyendo
métodos y procedimientos utilizados) de nuestra investigación, la cual se dividió
en dos fases.
En el Capítulo 9 discutimos el desarrollo de un instrumento metodológico que
llamamos “técnica de introspección”, la cual se fundamenta en algunas de las ideas
de la ADD y del pensamiento reflexivo del profesor, y que utilizamos para la
recolección de datos de nuestra investigación.
Parte IV: PRIMERA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS. En esta parte presentamos
la metodología de la primera fase de nuestra investigación, dos estudios de caso de
profesores individuales, y un estudio de un grupo de 30 profesores de primaria en
Colombia. Así, esta parte consta de los siguientes capítulos:
En el Capítulo 10 presentamos los aspectos metodológicos concernientes a esta
fase: selección de los participantes y los procedimientos de recolección y análisis
de los datos.
En el Capítulo 11 presentamos el estudio de caso del profesor Juan y su
proceso de selección de recursos digitales para la enseñanza de las líneas
geométricas abiertas y cerradas, en primer grado de primaria.
En el Capítulo 12 presentamos el caso del profesor Pedro de quinto grado.
Pedro fue el único profesor de nuestro estudio que participó en ambas fases
(primera y segunda) de la investigación. Analizamos su proceso de selección de
recursos digitales para el desarrollo de un “proyecto de aula” en su clase de
geometría.
CAP. 1. INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
29
En el Capítulo 13 discutimos los resultados de un estudio de caso colectivo de
un grupo de profesores de primaria. Este estudio colectivo se hizo mediante la
aplicación de un taller en el que participaron 30 maestros de una misma escuela
(incluidos los profesores Juan y Pedro).
En el Capítulo 14 presentamos las conclusiones generales de la Primera Fase, a
partir de nuestro análisis del proceso de selección seguido por Juan y Pedro, y de
las discusiones y reflexiones durante el taller de 30 maestros.
PARTE V: SEGUNDA FASE – DISEÑO Y RESULTADOS. En esta parte
presentamos la metodología de la segunda fase de nuestra investigación, y estudios de
caso de 4 profesores (uno de ellos Pedro, que participó en la Primera Fase). Así, esta
parte consta de los siguientes capítulos:
En el Capítulo 15 se dan detalles de la metodología y actividades principales
realizadas en la Segunda Fase, y cómo éstas se determinaron a partir de los
resultados obtenidos en la Primera Fase.
En el Capítulo 16 presentamos el caso de la profesora Laura de primer grado.
En ese estudio de caso, analizamos el proceso de selección de recursos digitales de
Laura para la enseñanza de la estimación de longitudes.
En el Capítulo 17 presentamos la continuación del estudio de caso del profesor
Pedro (único participante en ambas fases del estudio). Su participación en la
Segunda Fase nos permitió profundizar en el estudio de los conocimientos
profesionales que este profesor puso en juego, mientras seleccionaba recursos,
particularmente digitales, para su enseñanza de la geometría en quinto grado.
En el Capítulo 18 presentamos el caso del profesor Miguel, quien también
enseñaba en grado 5º. Estudiamos el proceso de selección de recursos digitales de
Miguel para su enseñanza de las transformaciones geométricas.
En el Capítulo 19 presentamos el caso de la profesora Sonia, también de quinto
grado, y su proceso de selección de recursos para la enseñanza de la estimación,
medición y unidades de medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro).
En el Capítulo 20 presentamos nuestras conclusiones generales de los
resultados que obtuvimos en la Segunda Fase de la investigación, a partir del
CAP. 1 INTRODUCCIÓN Y PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
30
seguimiento en esta fase al trabajo de los cuatro profesores mientras seleccionan
recursos digitales para su enseñanza de la geometría.
PARTE VI: CONCLUSIONES GENERALES. En esta parte presentamos el
Capítulo 21 donde presentamos nuestras conclusiones generales de todo el estudio, los
aportes del trabajo, sus limitaciones, así como preguntas abiertas y proyecciones de esta
investigación doctoral.
31
PARTE II: ANTECEDENTES Y MARCO
CONCEPTUAL Y TEÓRICO
32
2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y
EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
En este capítulo se presenta una revisión de algunos aspectos de la literatura
relacionada con el concepto y uso de recursos para matemáticas, tanto en algunos momentos
históricos como en Educación Matemática. Sobresale el hecho de que la misma idea de
recurso aparece en trabajos de diferente naturaleza y con acercamientos diversos, situación
que enriquece la mirada sobre sus posibles usos en la clase.
Nos interesa en particular resaltar el papel de los recursos en campos relacionados con
el contenido geométrico que abordaron los profesores participantes en el estudio:
transformaciones geométricas, medida y medición (ver Partes IV y V de este documento). Por
ello, seleccionamos dos ejemplos históricos del uso de recursos que se relacionan con los
temas anteriores: el surgimiento de la geometría proyectiva en la pintura del Renacimiento
(antecedente del concepto de “transformación geométrica”), y el desarrollo de los
instrumentos de navegación en los siglos XV y XVI (utilizados para mediciones).
Posteriormente, presentaremos algunos referentes generales sobre la integración de
recursos en Educación Matemática y su investigación. Haremos un barrido, que no pretende
ser exhaustivo, de la idea de recurso: empezando con una mirada a los recursos manipulativos
(con una primera investigación reportada en la década de 1960), luego centrándonos más en el
concepto de recursos en educación matemática.
2.1. DOS EJEMPLOS Y ANTECEDENTES DEL USO DE RECURSOS: UNA MIRADA
HISTÓRICA
Aunque son notorios los desarrollos en educación matemática respecto al papel de los
recursos en la enseñanza y el aprendizaje, es importante poner en consideración la relación
entre recursos y el desarrollo de la ciencia y sus aplicaciones.
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
33
Como nos recuerda Serres (2014), la historia nos muestra cómo el saber se ha
materializado en distintos momentos: por ejemplo, en relación con las tres grandes
invenciones que fueron la escritura, la imprenta y las tecnologías digitales, la humanidad pasó
de la palabra al papiro, del papiro al libro, y del libro a Internet. Así pues, la historia nos
enseña que los grandes cambios (sociales, tecnológicos y científicos) de la humanidad están
fuertemente relacionados con los recursos que desarrollamos y las maneras como los usamos.
Siguiendo con esta idea, y con el ánimo de enriquecer el marco conceptual de la
investigación, analizamos dos ejemplos que ilustran algunos aspectos histórico-
epistemológicos del uso de recursos, en particular cómo se han utilizado los recursos como
instrumentos geométricos en la historia: El primer ejemplo trata el caso de la geometría
proyectiva en el período del Renacimiento, alrededor del S. XV principalmente. El segundo
ejemplo se relaciona con la medición de ángulos y distancias en la navegación y el diseño de
mapas (cartografía).
2.1.1. La representación del espacio tridimensional: el caso de la pintura del
Renacimiento
Se considera que el período del Renacimiento es representativo en el desarrollo de las
matemáticas (Panofsky, 1999); y el ejemplo que escogimos constituye un caso paradigmático
del aporte de los recursos (como el perspectógrafo, del cual hablamos más abajo) y técnicas al
desarrollo de la geometría proyectiva, cuyos orígenes se remontan al siglo XV.
Durante la Edad Media, cuando se pintaba algo, lo que interesaba era el primer plano.
Así, el fondo de los cuadros quedaba difuso o lleno de colores (dorados u otros) que ayudaran
a fijar la vista en lo que realmente interesaba; mientras que, en el Renacimiento, de acuerdo
con Panofsky (1999), los pintores, especialmente los italianos, comenzaron a ser más
exigentes con el tratamiento del paisaje, la distancia, la disposición de los objetos y los efectos
de la luz. Así, los pintores renacentistas lograron rebasar el estatus de artesanos que habían
heredado de la Edad Media, buscando una mejor representación de la realidad, a partir de un
mayor conocimiento de las matemáticas y la física.
Hacia 1400, los artistas del renacimiento italiano alcanzaron una comprensión intuitiva
de la perspectiva y así consiguieron plasmar, en lienzos planos, los objetos y las figuras de
forma que sus aspectos tridimensionales fueran más realistas. Esto a diferencia de sus
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
34
antecesores de la Edad Media que trabajaban más motivados por la jerarquía social y religiosa
de sus personajes y a quienes representaban con una altura dependiente de su estatus social.
A manera de ejemplo, a continuación, presentamos un par de pinturas que nos
permiten apreciar la diferencia entre las representaciones pictóricas de la Edad Media (Figura
2.1) y las del Renacimiento (Figura 2.2). La Figura 2.1 corresponde a una obra del siglo XIV
de Duccio (ca. 1255-ca.1318), en la cual se representa en el centro a María cargando al Niño
con un tamaño evidentemente mayor (dado sus protagonismos como íconos religiosos) que el
de los personajes que los rodean.
Figura 2.1. Virgen en el trono con el Niño, ángeles y santos, en la Maestà de Duccio (1311)1
En contraste, en la Figura 2.2 se reproduce “La escuela de Atenas” de Rafael Sanzio
(1483-1520) en la que los personajes principales (Platón y Aristóteles) aparecen también al
centro de la composición, pero con un tamaño de igual proporción que los demás personajes
de la pintura.
1 Imagen tomada de: https://es.wikipedia.org/wiki/Maest%C3%A0_(Duccio)
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
35
Figura 2.2. La escuela de Atenas de Rafael Sanzio (1512)2
Al respecto, Cardona, Ocaña, Dussan y Cubillos (2006) resaltan que en el renacimiento
se consigue resolver el problema pictórico de cómo plasmar información tridimensional en un
lienzo plano, de manera que lo pintado se parezca a lo que realmente vemos. A partir de esta
búsqueda, se obtuvieron desarrollos importantes, en particular el de la perspectiva lineal.
Cardona y otros (2006) nos recuerdan que uno de los pioneros en buscar una
fundamentación geométrica para desarrollar la perspectiva lineal, fue León Batista Alberti
(1404-1472) quien, en 1435, en su libro Della Pittura (impreso en 1511, cuarenta años
después de la muerte de Alberti), intentó establecer reglas para representar la profundidad y la
distancia de tal manera que se reproduzca más fielmente, en lo pintado, lo que se ve.
El principio básico de Alberti supone que, entre la escena y el ojo, se interpone una
pantalla en posición vertical, llamada también velo (Panofsky, 1999). Aparecen líneas de fuga,
las cuales van desde el ojo hasta cada punto de la escena: Donde éstas atraviesan la pantalla,
Alberti imaginaba puntos que determinan lo que denominó una sección. El objetivo de la
sección es crear la misma impresión sobre el ojo que la escena misma, porque de una sección
provienen las mismas líneas de luz que las de la escena original. En consecuencia, el problema
de pintar en forma realista era obtener una sección verdadera sobre la pantalla o lienzo. Este
2 Imagen tomada de https://seordelbiombo.blogspot.com/2012/05/renacimiento-vs-barroco-de-la.html
el 19 de septiembre de 2018.
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
36
fue un principio aún rudimentario, en el que la perspectiva lineal encontraría un asiento para
su posterior desarrollo.
Para ilustrar estas ideas del uso de la perspectiva lineal, presentamos, el ejemplo de la
pintura “Los desposorios de la Virgen” de Rafael Sanzio (ver Figura 2.3). En este caso, la
composición está realizada como si la escena se observara desde un único punto (justo al
frente de los personajes centrales). Nótese que las líneas (marcamos solo un par de ellas) que
cruzan el plano pictórico (y que se pueden apreciar principalmente en el piso) se encuentran en
el punto de fuga ubicado, en este caso, en el horizonte.
Figura 2.3. Los desposorios de la Virgen de Rafael Sanzio (1504)3
En resumen, algunos principios fundamentales de la perspectiva lineal son: la línea del
horizonte (situada a la altura del punto de vista u ojos del espectador), y los distintos puntos de
fuga (en los cuales convergen las rectas más sobresalientes de la figura). A la perspectiva
lineal también se le llama cónica, porque es mediante una proyección cónica que las rectas
paralelas convergen en el punto de fuga (Cardona et al., 2006).
3 Imagen recuperada de https://es.wikipedia.org/wiki/Los_desposorios_de_la_Virgen
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
37
Por su parte, Leonardo da Vinci (1452-1519) resumió el papel de los elementos de
geometría Euclidiana en la perspectiva, de la siguiente manera: “Todos los problemas de la
perspectiva se hacen más claros por los cinco términos de los matemáticos, a saber: el punto,
la línea, el ángulo, la superficie y el sólido” (da Vinci, 1651 / trad. 1970, p. 42)
Fueron da Vinci, y posteriormente, y sobre todo, el pintor alemán Alberto Durero
(1471-1528), los que desarrollaron la matematización de la perspectiva (Cardona et al., 2006).
Como el pintor no mira a través del lienzo para determinar la sección, debe disponer de reglas
basadas en teoremas matemáticos que establezcan la forma de dibujarla.
Para ello se desarrollaron instrumentos como una máquina para dibujar llamada
perspectógrafo, y cuyo funcionamiento se exhibe en la Figura 2.4, que retoma elementos de la
semejanza para crear una imagen en perspectiva, teniendo en cuenta los principios de la
pintura y usando la sección de Alberti. El desarrollo de estos nuevos recursos de trabajo
matemático se derivó de aportes como los de la óptica de Euclides (ver Cardona et al., 2006),
y ponen de relieve los distintos usos y aplicaciones que los artistas renacentistas le dieron a la
geometría clásica.
Figura 2.4. El perspectógrafo de Durero4
4 Imagen recuperada de http://www.mat.ucm.es/~jesusr/expogp/maq.html
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
38
El descubrimiento de la perspectiva y la sección cimentó las bases matemáticas en la
que se asentaron nuevas formas y expresiones de la geometría (Cardona et al., 2006). En
particular, en el siglo XVII se recuperaron ideas de los matemáticos griegos (como las de las
secciones cónicas, por ejemplo). Y fue el matemático francés Gérard Desargues (1591-1661)
quien desarrolló aún más las ideas geométricas de la perspectiva mediante un novedoso punto
de vista: el de considerar que dos rectas paralelas que, por definición, no se cortan, en el
infinito sí lo hacen, creando así un punto donde se cortarían todas las rectas paralelas (Cardona
et al., 2006). Así, cuando observamos un cuadro en perspectiva, todas las líneas apuntan a un
punto, el del infinito. Es por ello por lo que Desargues se convirtió en uno de los pioneros del
desarrollo de la geometría proyectiva.
Esta idea fue mal recibida por los matemáticos del siglo XVII pues, en ese momento,
era impensable que dos rectas paralelas se intersectaran. Sin embargo, en el siglo XIX se
retomó y nació la geometría proyectiva, con tantas aplicaciones como la geometría clásica.
Desde entonces, los pintores han trabajado distintos tipos de perspectivas, las cuales, a su vez,
se relacionan con diversos aspectos de la geometría proyectiva: e.g. la perspectiva caballera, el
sistema cilíndrico oblicuo, la perspectiva axonométrica y el sistema cilíndrico ortogonal.
Otro elemento interesante durante el renacimiento fue la producción de textos que
enseñaban cómo las aplicaciones geométricas llevaron a avances de las técnicas pictóricas – lo
que Cardona et al. (2006) llaman la matematización de la pintura. Durero fue pionero en
buscar que los pintores aprendices se educaran conociendo y aplicando dichas técnicas (e.g., la
perspectiva) y escribió textos para ellos enseñando el modo de construir correctamente
distintos tipos de líneas, planos y cuerpos geométricos que luego el artista podía usar en sus
composiciones pictóricas. Así, los libros más reconocidos de Durero abordaron varios temas
fundamentales relacionados con distintas aplicaciones de la geometría: la medida,
construcciones geométricas (e.g. hélices, concoides, etc.), la tipografía y el estudio de la
proporción humana (Cardona et al., 2006).
En conclusión, consideramos que las aplicaciones de la geometría, como la perspectiva
en la pintura del Renacimiento, son un antecedente histórico importante del papel de los
recursos, que muestra cómo las necesidades de representación en el arte empujaron a estudiar
propiedades geométricas y a desarrollar nuevos instrumentos (e.g. el perspectógrafo) para
representar la realidad.
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
39
Por otro lado, nuestro análisis histórico nos llevó a considerar otros campos en los
cuales el uso de recursos condujo a desarrollos importantes. Tal es el caso del diseño de mapas
y la navegación, que presentamos a continuación.
2.1.2. Recursos importantes para orientación y medición en la navegación
La navegación es una de las actividades humanas más antiguas, que se puede entender
como el proceso de dirigir los movimientos de una nave (generalmente un barco o un avión)
desde un punto a otro de la Tierra (González & Medina-Hernández, 2009). La navegación
puede ser de varias formas dependiendo de la clase de nave que se utilice (González &
Medina-Hernández, 2009): marítima, submarina, aérea y espacial. Sin embargo, todos estos
tipos de navegación presentan similitudes y retos parecidos: por ejemplo, el de establecer, en
determinado momento, la posición geográfica de la nave , con la mayor exactitud posible, con
el objeto de calcular el rumbo a seguir y la ruta más acertada para llegar al destino.
Así, las diferentes necesidades de la navegación han conducido al diseño y uso de
sistemas (recursos) de navegación cada vez más sofisticados (García, 2008). Es decir, los
navegantes han necesitado contar con técnicas y recursos que les permita conocer la posición
de su embarcación, establecer la dirección o rumbo que pueden darle, la velocidad óptima,
conocer el tiempo que necesitan para llegar a su destino, y determinar dónde se encuentran en
un momento dado.
Llamamos instrumentos de navegación a los recursos utilizados por los pilotos
náuticos en su trabajo (García, 2008). La historia ha mostrado cómo, a partir de los primeros
instrumentos rudimentarios, los instrumentos de navegación han evolucionado con el tiempo.
A continuación, presentaremos algunos ejemplos de instrumentos de navegación y cómo, a
partir de su uso, se lograron avances en la medición de la distancia, los ángulos y el tiempo.
2.1.2.1. La brújula: instrumento de orientación
Uno de los instrumentos de navegación más importantes (y probablemente más
antiguos –González, 2006) es la brújula, ya que al señalar el norte magnético (cercano, aunque
no igual, al geográfico) se puede calcular el rumbo que lleva una embarcación. El origen de la
brújula es un tema ampliamente discutido que empezó en muchas culturas por un pedazo de
piedra-imán (hematita o magnetita) que flotaba en un recipiente con agua orientándose,
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
40
gracias al magnetismo terrestre, en dirección norte-sur. A partir de allí evolucionó a la forma
como la que conocemos hoy en día, usándose de manera intensiva en la navegación a partir
del S. XIV (González, 2006):
De su forma tradicional, compuesta por una aguja de hierro imantada que flotaba en
una vasija con líquido mediante un soporte, la brújula pasó a convertirse en una
aguja con eje de giro, colocada sobre una rosa de los vientos en la que iban marcados
los rumbos usados por los navegantes. (González, 2006, p. 142)
En el viejo mundo (Europa, Asia y África), el origen de la brújula generalmente se
atribuye a los chinos del período Han (206 a.C. – 220 d.C.) (ver más abajo; y Carlson, 1975);
posteriormente, los musulmanes introdujeron su uso en Europa (parece que llegó a Italia en el
S. XIII)5.
A la brújula tradicional china del periodo Han también se le conoce como “cuchara que
apunta al sur” (ver Figura 2.5): una cuchara (de piedra o cerámica) se balancea sobre una placa
de bronce pulido para girar libremente en respuesta a la atracción magnética (Carlson, 1975).
Este artefacto servía como instrumento de orientación para determinar el eje norte-sur; cabe
notar que la placa de bronce de la Figura 2.5 contiene una representación de la constelación
Osa Mayor (mediante la cuál también se determina la dirección norte). En particular, la
brújula tradicional china servía para aplicar los principios del Feng Shui en la armonización de
palacios, casas y tumbas que siempre debían orientarse hacia el sur (Carlson, 1975). Además,
en sus viajes (por tierra), aquellos Chinos utilizaba una “carroza magnética” con una figurita
humana que señalaba con el brazo la dirección sur (la dirección opuesta al frío norte siberiano,
que querían evitar por peligroso); estos usos inspiraron leyendas como la de la batalla que
libró un emperador chino en la que usó una “carroza magnética” para orientar la dirección que
debían de tomar sus tropas; es decir que usó ésta como instrumento de navegación terrestre
(Castelló, 2010).
5 Información tomada de: http://abcblogs.abc.es/espejo-de-navegantes/2017/06/30/la-brujula-un-
invento-decisivo-en-la-historia/
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
41
Figura 2.5. Brújula tradicional China (Período Han)6
En el nuevo mundo (América) también existen evidencias contundentes del desarrollo
de artefactos correspondientes a brújulas magnéticas, incluso con una antigüedad de casi un
milenio antes de las brújulas chinas. En particular se encontró, en San Lorenzo, Veracruz,
México, el artefacto M-160 (ver Figura 2.6) perteneciente a la cultura Olmeca del México pre-
hispánico (1400–1000 a.C.). Este artefacto corresponde a una barra rectangular de piedra-imán
(de 3.5 cm de longitud) finamente tallada, la cual Carlson (1975) considera es una brújula
flotante de imán natural auto-orientado. Carlson (1975) nota que el artefacto M-160
corresponde a un fragmento de una pieza más grande (de la cual se desconoce su paradero),
que, en su opinión, probablemente sería del doble de longitud.
Figura 2.6. Fotografía del artefacto M-160 con escala en centímetros (Carlson, 1975)
Carlson (1975) realizó distintas pruebas de flotación (sobre agua y mercurio) al
artefacto M-160; sus resultados muestran que la dirección del artefacto se desvía 35.5º
respecto al eje norte-sur (ver Figura 2.7).
6 Imagen recuperada de http: http://confuciomag.com/inventos-antigua-china
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
42
Figura 2.7. Orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” al flotar en líquido
(Carlson, 1975)
Carlson (1975) opina que la longitud del artefacto M-160 tiene que ver directamente
con su capacidad de auto-orientación; por tanto, su hipótesis es que si M-160 fuera del tamaño
de la pieza original, su orientación sería prácticamente en la dirección norte-sur; de hecho, este
autor señala lo siguiente al respecto:
Que M-160 puede ser usando hoy en día como un apuntador magnético directo es
indiscutible. La barra original completa pudo ciertamente haber apuntado cerca del
eje N-S magnético. La acanaladura funciona bien como una guía de observación
visual y el ligero ángulo que forma con el eje de la barra parece ser el resultado de
una calibración, más que un accidente. (Carlson, 1975, p. 26.)
Figura 2.8. Vector de orientación del fragmento M-160 de la “brújula olmeca” (Carlson, 1975)
En la Figura 2.8, Carlson (1975) define el vector del momento magnético M y sus
componentes en M-160:
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
43
La dirección de M es como si estuviera viendo al polo norte, y-z es el plano de
flotación de M-160, y el eje “z” es paralelo a la acanaladura semicircular. El
artefacto no está dibujado a escalas o en proporciones exactas. Carlson (1975, p. 22)
Carlson (1975) considera que, para lograr ese nivel de sofisticación en sus
construcciones, los Olmecas probablemente usaron las propiedades de la piedra-imán y
artefactos como el M-160, como instrumentos en sus construcciones. Carlson (1975) resalta
que los Olmecas, al igual que los chinos del período Han, estaban muy interesados en
construir sus centros ceremoniales orientados respecto al eje magnético norte-sur: al norte (en
el caso Olmeca) y al sur (en el caso chinos). Los Olmecas mezclaban sus conocimientos
astronómicos y geométricos tradicionales para construir sus centros ceremoniales orientados
exactamente 8º al oeste del norte, probablemente tomando como referencia (al igual que los
chinos) la constelación de la Osa Mayor (Carlson, 1975).
2.1.2.2. El astrolabio y el sextante: instrumentos de medición de ángulos, para
determinar la ubicación
Regresando al tema del uso de recursos en la navegación marina, otro de los
instrumentos que se utilizó ampliamente para ello fue el astrolabio plano (ver Figura 2.9),
antecesor del sextante (ver Figura 2.9), de acuerdo con González y Medina-Hernández (2009).
Según esos mismos autores, el astrolabio fue conocido por los egipcios y griegos desde el
siglo III a.C.; posteriormente fue introducido por los musulmanes y de allí se extendió su uso
por toda Europa (González & Medina-Hernández, 2009).
El astrolabio consiste en un círculo que se proyecta sobre el plano del ecuador (con el
centro de proyección en el polo sur). En el otro extremo consta de una regla móvil provista de
un anteojo, con la que se puede calcular la altura de un astro sobre el horizonte (González &
Medina-Hernández, 2009).
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
44
Figura 2.9. Astrolabio persa del S. XI7
Por otra parte, el sextante (ver Figura 2.10) es un instrumento que permite medir
ángulos entre dos puntos (generalmente un punto en el horizonte y el Sol). El nombre sextante
proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados. Usando el sextante
y conociendo la elevación del Sol y la hora del día se puede determinar la latitud a la que se
encuentra la embarcación. Esta determinación se efectúa con bastante precisión mediante
cálculos matemáticos sencillos de aplicar (González, 2006).
Figura 2.10. Sextante8
7 Imagen tomada de http: https://es.wikipedia.org/wiki/Astrolabio
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
45
2.1.2.3. El cronómetro marino: instrumento de medición de tiempo para
determinar la ubicación
Otro instrumento ampliamente usado en la navegación marítima es el cronómetro
marino: un reloj mecánico que sirve para determinar la longitud haciendo el cálculo de la
diferencia horaria, de la siguiente manera:
… el buque debía partir con un reloj que marcase la hora del meridiano del punto de
partida; ya en alta mar, mediante observaciones astronómicas, debía deducirse la
hora local del punto donde se hallaba situado el barco; de esta forma, la diferencia
entre esta hora y la marcada en el reloj, se traduciría directamente en la diferencia de
longitud entre la posición de la nave y el punto de partida. (González, 2006, p. 153)
Según González (2006), esta técnica fue inicialmente propuesta por Hernando Colón
en 1524; sin embargo, fue hasta el S. XIX que se desarrollaron cronómetros de alta precisión
sujetos por un sistema de cardanes que podían ser usados en alta mar (ver Figura 2.11):
Figura 2.11. Cronómetro marino del S. XIX (1831-1836)9
8 Imagen tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/Sextante#/media/File:Sextant.jpg (Dominio público,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=356267) 9 Imagen tomada de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Cron%C3%B3metro_marino#/media/File:British_Museum_Marine_Chro
nometer.jpg
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
46
2.1.2.4. La cartografía: recurso para la ubicación
Existe una relación dialéctica entre cartografía y navegación: los datos aportados por
los navegantes y los desarrollos en los instrumentos de navegación, promovieron el desarrollo
de la cartografía, con la creación de mapas cada vez más precisos; de igual manera, este
desarrollo de la cartografía impulsó la navegación, el uso de nuevas rutas comerciales y la
exploración de zonas antes desconocidas (Cotter, 1986). Respecto al desarrollo de la
cartografía, nos interesa mostrar algunos mapas diseñados en distintos momentos históricos
para apreciar sus diferencias.
Un primer ejemplo (ver Figura 2.12) es un mapa de Donnus Nicholas Germanus
(1420-1490). Según González (2006), Germanus se inspiró en Ptolomeo (y en su teoría
geocéntrica) para realizar su cartografía, en la cual se representan Europa, parte de Asia y
África.
Figura 2.12. Mapamundi por Donnus Nicholas Germanus (1482)10
Según González (2006), los mapas o cartas náuticos del S. XV (como el de la Figura
2.10) fueron desarrollados a partir de los relatos e información que proporcionaban los
10 Imagen tomada de: https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=931728
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
47
navegantes, e intentaban “retratar” la forma de las costas. El principal objetivo de estos mapas
era que el piloto localizara el sitio de la costa por el que navegaba.
Como puede verse en el mapa de Germanus del Siglo XV (Figura 2.12), los mapas
anteriores al S.XVI, no estaban diseñados a escala, ni mantenían una adecuada proporción de
las distancias. Por tanto, no le permitían al piloto establecer la ubicación exacta de su navío.
Fue necesario que se desarrollaran nuevas técnicas cartográficas.
De hecho, en el siglo XVI, hubo notables avances en la cartografía, como lo resalta
González (2006), como, por ejemplo, los desarrollos del astrónomo flamenco Gerardus
Mercator (1512-1594) –originalmente llamado Gerard Kremer— quien propuso la
posteriormente llamada “proyección de Mercator” (ver Figura 2.13): una proyección cilíndrica
que se debe deducir matemáticamente, donde:
Los meridianos son líneas rectas verticales paralelas espaciadas por igual, y los
paralelos de latitud son líneas rectas horizontales paralelas cuya separación es cada
vez mayor a medida que aumenta su distancia con el ecuador. Esta proyección se usa
ampliamente para las cartas de navegación, porque cualquier línea recta en un mapa
de proyección de Mercator es una línea de rumbo verdadero constante que permite a
un navegador trazar un curso en línea recta. Sin embargo, es menos práctico para los
mapas del mundo porque la escala está distorsionada; las áreas más alejadas del
ecuador aparecen desproporcionadamente grandes. (The Editors of Encyclopaedia
Britannica, 2018; nuestra traducción)
Figura 2.13. Proyección de Mercator11
11 Imagen tomada de https://www.britannica.com/science/Mercator-projection (Editors of
Encyclopaedia Britannica, 2018).
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
48
Figura 2.14. Mapa de Mercator de 1569: (a) planisferio completo compuesto (arriba) 12; y (b)
detalle (abajo) de dos hojas mostrando parte de Norteamérica13
12 Mercator (1569/2018). Imagen tomada de:
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_1569.png&oldid=318663243 13 Detalles del mapa tomados de “Mercator 1569 world map” (Colaboradores de Wikipedia, 2019).
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mercator_1569_world_map&oldid=887658388
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
49
Figura 2.15. Planisferios Mercator trazados por: (a) Guiljelmo Blaeuw (1606) (arriba)14 y (b)
Daniel R. Strebe (2011) (abajo)15
14 Blaeuw (1606/2018). Imagen tomada de:
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Nova-totius-terrarum-orbis-geographica-ac-
hydrographica-tabula.jpg&oldid=318663650 15 Strebe (2011/2019). Imagen tomada de:
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_projection_SW.jpg&oldid=3330554
23
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
50
La Figura 2.14 muestra el primer planisferio realizado usando la proyección de
Mercator, trazado por el mismo Gerardus Mercator en 1569. En la parte de arriba (a), se
muestra una imagen del planisferio completo (en su versión conocida como el mapa de
Basilea, Suiza), el cual está trazado en tres partes (tiras). En la parte de abajo (b), se observa
un fragmento de dicho mapa, mostrando parte de Norteamérica en detalle. Observando el
detalle mostrado en (b), y de acuerdo a lo expresado por Israel (2003), sospechamos que el
trazado de las líneas que convergen en varios puntos (ubicados en lo que sería el océano)
corresponden a elementos de la proyección de Mercator que mencionamos arriba. Como
puede verse al comparar la Figura 2.12 con la Figura 2.14, es ostensible el desarrollo de la
cartografía a lo largo de solo un siglo, y gracias a ese nuevo método.
La Figura 2.15 muestra una comparación entre planisferios realizados en siglos
diferentes. Ambos planisferios también fueron diseñados usando la proyección de Mercator,
pero usando datos diferentes de cada época. El planisferio (a) de la parte de arriba de la figura,
fue realizado por Guiljelmo Blaeuw en 1606; el planisferio (b) de la parte de abajo de la figura
corresponde a una versión reciente del Siglo XXI realizada por Daniel R. Strebe en 2011. Se
pueden apreciar las diferencias entre las dimensiones de los continentes y la ausencia de
algunos de éstos en la versión de 1606.
Dichos ejemplos cartográficos muestran cómo, gracias a nuevos viajes, el refinamiento
en el uso de los instrumentos de navegación y medición, y el surgimiento de nuevas técnicas
de representación, se lograron avances en el campo de la cartografía. Para nosotros, esto es un
ejemplo excelente de cómo el uso de recursos promueve desarrollos importantes. Así, con los
ejemplos históricos de los casos de la pintura e instrumentos de navegación de este apartado,
hemos querido ilustrar cómo, junto con el desarrollo de las tecnologías y los recursos, se han
ido desarrollando a la par técnicas y conocimientos matemáticos.
Dichos ejemplos también pueden ser relevantes en situaciones escolares. Al respecto,
señalamos el trabajo de Gálvez (1985) quien enfatiza en el diseño y uso de mapas, planos y
otras representaciones del espacio, en la enseñanza de primaria, para que lo estudiantes
aprendan a ubicarse y orientarse en la ciudad. Más consideraciones al respecto presentaremos
en el apartado 5.2
En término del papel de los recursos en el desarrollo de nuevos conocimientos, si
consideramos el aporte de hoy en día de las tecnologías digitales, hay que tener en cuenta
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
51
cómo dichos recursos digitales contribuyen también al desarrollo de las matemáticas, su
enseñanza y aprendizaje.
Al respecto, debemos de considerar cómo las tecnologías digitales pueden llegar a
transformar los contenidos de enseñanza; por ejemplo, al poner mayor énfasis en ciertas
cualidades dinámicas de los objetos (e.g. la prueba del arrastre en geometría dinámica); o las
dinámicas de aula (e.g. la discusión de ideas a partir de una búsqueda de información en
Internet).
En este sentido, en los apartados siguientes ahondaremos en antecedentes conceptuales
y teóricos para nuestra investigación relacionados con el uso de recursos y tecnologías
(digitales) en la educación matemática.
2.2. ACERCA DEL CONCEPTO DE RECURSO EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Como se vio en el apartado anterior, es innegable que la evolución de los humanos
como seres sociales y culturales ha ido acompañada de la evolución de las tecnologías, que la
misma cultura fomenta (Rabardel, 1995), y la cual se relaciona con todas las actividades
humanas (como el arte o la navegación marina).
El uso y manera de usar las tecnologías, las transforma en instrumentos y recursos de
nuestra actividad16. Como vimos con los ejemplos históricos del apartado anterior, cada
desarrollo tecnológico ha tenido un impacto en las maneras como representamos y nos
relacionamos con el mundo; es a través del uso de las tecnologías que éstas se convierten en
instrumentos o recursos. El lápiz y el papel, el signo “=”, el pizarrón, o el alfabeto, son
también tecnologías (y recursos) aunque a menudo se suele pasar este hecho por alto (Moreno,
2002). De hecho, la tecnología de la escritura es un ejemplo de un recurso importante para la
comunicación; una tecnología que Moreno (2002) señala como algo que llevó a una transición
cognitiva, al impulsar procesos, problemas y actividades cada vez más complejas.
En este sentido, Rabardel (1995) plantea que los análisis de las relaciones entre las
personas y las tecnologías deben de considerar las “actividades con instrumentos” (p. 24); es
decir, se debe poner el énfasis en las actividades humanas/culturales mediante las cuales, a lo
16 Según Rabardel (1995), el instrumento se refiere a una entidad cognitiva mixta que contempla el
“artefacto más sus esquemas de utilización” (p.49); que permiten usarlo “en situación”. Esta noción se
desarrollará en el siguiente capítulo como parte del marco teórico de nuestra investigación.
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
52
largo del tiempo, creamos, modificamos, adaptamos, e incluso, desechamos, distintas
tecnologías, según nuestros intereses, posibilidades y aspiraciones. Así, Rabardel (1995) tiene
una concepción mucho más humana – y “antropocéntrica”— de la tecnología; algo que valdría
la pena que nosotros tomáramos en cuenta al considerar el papel de las tecnologías en la
Educación Matemática.
En este apartado nos interesa presentar algunos antecedentes teóricos que han aportado
elementos conceptuales importantes para el estudio del papel de los recursos digitales en
educación matemática. Para ello, comenzamos con una mirada al uso de recursos, en general,
en educación matemática, presentando algunos resultados de investigaciones que
consideramos influyentes y cercanas a las intenciones de nuestro trabajo de investigación. Sin
embargo, debemos remarcar que en la mayor parte de las investigaciones que aquí reportamos,
no se alude a los recursos de manera directa: la mayoría de los autores se refieren a materiales,
herramientas, tecnologías, instrumentos o mediadores; sin embargo, nosotros consideramos
que, en muchos de los casos presentados, éstos se pueden considerar como recursos.
Concluiremos el apartado, presentando una conceptualización de recurso inspirada en
los aportes de Adler (2000) y la Aproximación Documental de la Didáctica (ADD), la cual
constituirá el eje central de nuestra investigación.
2.2.1. Materiales (o recursos) manipulativos
El uso didáctico de recursos en la enseñanza de las matemáticas se empieza a
desarrollar desde los años cincuenta y sesenta, con un enfoque muy centrado en la
incorporación de materiales manipulativos (no-digitales) en los currículos de matemáticas y
ciencias.
En esos primeros acercamientos, era común encontrarse referencias a los recursos
como materiales para la enseñanza (Garzón & Vega, 2011). Posteriormente esos materiales
fueron ganando mayor sentido al asociarse con actividades de manipulación por parte de los
estudiantes, sobre todo, de los estudiantes más pequeños: tal es el caso, por ejemplo, de los
manipulativos conocidos como “bloques de Dienes” (ver Figura 2.16) –ampliamente usados
en los primeros grados de escolaridad para el estudio inicial de las formas y el conteo—, y
para los cuales Dienes (1969) propuso una mirada teórica importante para sustentar su uso.
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
53
Figura 2.16. Ejemplos de bloques de Dienes17
Dienes (1969) plantea que las experiencias con diversos materiales manipulativos son
beneficiosas para el aprendizaje de las matemáticas; sugiere que los conceptos de los niños
evolucionan a través de la interacción directa con el ambiente y que son precisamente los
manipulativos los vehículos que permiten que esto suceda. Sus investigaciones constituyen un
antecedente para la idea más generalizada de recurso y sus usos.
En el trabajo de Garzón y Vega (2011), en Colombia, se hace una revisión histórica
sobre el uso de materiales para la enseñanza de las matemáticas, exhibiendo las maneras en las
que se promovió (principalmente durante las décadas de los 70’s y 80’s) la integración de
recursos (manipulativos) en los currículos, sobre todo de primaria, en muchos países (en
particular, en el currículo colombiano para la enseñanza de las matemáticas en primaria).
Posteriormente, a partir de los años 90’s principalmente, estos autores señalan que muchos
currículos de matemáticas a nivel internacional (incluido el colombiano) han recomendado y
promovido el uso de tecnologías digitales en educación secundaria y preparatoria (Garzón &
Vega, 2011).
Propuestas curriculares como PISA (2017) recomiendan prestar especial atención a la
calidad y disponibilidad de los “recursos” con el fin de apoyar la práctica de los profesores.
Sin embargo, en este tipo de propuestas siempre se alude a la “materialidad” de los recursos
(e.g. libros de texto, bibliotecas escolares o materiales manipulables), sin considerar otros
tipos de recursos, como, por ejemplo, los gestos o discurso del profesor. De hecho, la
17 Imagen recuperada de: http://recreandomiaula.blogspot.mx/2014/11/aprendemos-matematicas-con-
los-bloques.html
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
54
investigación en Educación Matemática de las últimas dos décadas ha ampliado cada vez más
la concepción de “recurso”: por ejemplo, para estudiar el trabajo del profesor (e.g. en la
Aproximación Documental de la Didáctica de Trouche, Gueudet y Pepin, 2018). A
continuación, presentamos algunos elementos de esta mirada ampliada del concepto de
recurso, fundamental para nuestro trabajo de investigación.
2.2.2. Conceptualizando los recursos en la educación matemática
Como mencionamos anteriormente, los “recursos” no aluden únicamente a “materiales
para la enseñanza”. De hecho, Adler (2000) propone una re-dimensión del concepto de
recurso: considera que un recurso es todo aquello que da sentido y proyecta el trabajo del
profesor. Por ende, esta autora contempla que los recursos que el profesor tiene a su
disposición, y que pueden ser usados con intenciones didácticas, son de varios tipos:
materiales, humanos y culturales (es decir, los recursos pueden ser tanto materiales, como
simbólicos). Adler (2000) también resalta el papel crucial del profesor para acompañar el uso
de recursos.
Siguiendo las ideas de Adler (2000), Pepin, Gueudet y Trouche (2009) entienden los
recursos como artefactos18 propios del trabajo del profesor; los cuales son concebidos,
seleccionados, adaptados, re-combinados y usados con intencionalidades didácticas explícitas.
Para estos autores (Pepin, Gueudet & Trouche, 2009) el concepto de recursos, y sus usos, es
central para el análisis de trabajo del profesor; por ello han desarrollado una aproximación
teórica muy profunda basada en el Enfoque Instrumental de Rabardel (1995): la Aproximación
Documental de la Didáctica (ADD). Ésta se enfoca hacia el estudio de una parte de la práctica
docente, la cual Pepin, Gueudet y Trouche (2009) denominan el “trabajo documental” del
profesor, y que incluye las interacciones de éste con recursos diversos. En la ADD se definen
ideas tales como la de “documento” (los recursos junto con las ideas y conocimientos del
profesor sobre cómo usarlos); y “génesis documental” (el proceso de emergencia y evolución
de documentos), entre otras. Debido a que estas teorías son un componente fundamental de
nuestra investigación, las discutiremos a profundidad en los capítulos siguientes.
18 Como se verá en los capítulos siguientes, artefacto se concibe en el sentido de Rabardel (1995) como
una herramienta material o simbólica que proviene de la cultura y que puede ser utilizada (o no) en
distintas situaciones.
CAP. 2. UNA MIRADA A LOS RECURSOS EN LA HISTORIA Y EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA
55
Regresando al tema de los recursos, el estudio del uso de éstos es bastante amplio, y en
muchos casos contempla el papel de las tecnologías digitales. Autores como Ruthven (2014)
señalan que las tecnologías digitales pueden llegar a constituirse en recursos para la clase, en
la medida en que se logre la integración de éstas en la práctica del profesor. Desde nuestro
punto de vista, la idea de Ruthven (2014) de considerar las tecnologías digitales como recursos
es sumamente útil pues nos permite relacionar el uso potencial de “recursos digitales” con la
práctica de los profesores.
En el siguiente capítulo abordaremos más ampliamente el tema de los usos de las
tecnologías digitales como recursos en Educación Matemática. En él examinaremos algunas
investigaciones que proponen ideas como la “mediación” de herramientas (y del profesor) en
el aprendizaje; así como otras que contemplan el diseño de entornos de aprendizaje integrando
tecnologías digitales.
56
3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS
EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
Cuando a finales de los 80s y en la década de los 90’s se dio el rápido desarrollo de las
tecnologías computacionales y digitales, muchos currículos de matemáticas a nivel
internacional comenzaron a integrar el uso de recursos digitales en las clases, y se dio un auge
en la investigación en torno a la influencia y el papel de las tecnologías digitales en la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (e.g. Hoyles & Noss, 1987; Kaput & Roschelle,
1999; Artigue, 2011, y aportes posteriores como los de Lagrange, 2000; Margolinas, 2002;
entre muchos otros). Pero debido a la enorme cantidad de investigación en torno a ese tema,
tomar un referente universal para describir toda esta producción, no es tarea sencilla. Dos
referentes principales que ejemplifican la relación entre recursos (para la enseñanza de las
matemáticas) y tecnologías digitales, se encuentran en los trabajos de Artigue, Bottino, Cerulli
y otros (2007) y de English, Bartolini Bussi, Jones, Lesh y Tirosh (2002). A continuación
revisaremos ambos trabajos.
Por un lado, Artigue, Bottino, Cerulli y otros (2007) señalan que hay dos grandes tipos
de investigaciones relacionadas con el impacto de los desarrollos tecnológicos en la clase:
Las investigaciones interesadas en las maneras en cómo se enseñan y se aprenden las
matemáticas usando tecnologías digitales;
Investigaciones (e.g. Haspekian & Artigue, 2007) que se centran en cómo las
dinámicas de la clase impactan sobre las tecnologías mismas.
Respecto a estas últimas, Artigue, Bottino, Cerulli y otros (2007) señalan que es
notorio que cada vez se desarrollan más dispositivos concebidos y diseñados atendiendo a
necesidades particulares de las clases: por ejemplo, dispositivos que ponen en juego algún
contenido matemático específico; o que proponen un cierto tipo de ambiente (o interfaz); o
aquellos que proveen un abanico de diferentes posibles tareas matemáticas que se pueden
realizar con ellos, de acuerdo a las edades, niveles o competencias de los usuarios potenciales.
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
57
Sin embargo, resaltan que las investigaciones en Educación Matemática han ido más allá del
estudio de los dispositivos (y sus potencialidades) abarcando temas tan cruciales como la
estructuración o diseño de ambientes o entornos de aprendizaje (que incluye el diseño de
actividades o situaciones de aprendizaje) y el papel del profesor (e. g., como mediador)
cuando se integran tecnologías digitales en la clase.
Por su parte, English y otros (2002) proponen una mirada general de los desarrollos del
campo y analizan los usos de las tecnologías digitales desde muchas perspectivas. Al respecto,
nosotros resaltamos tres elementos fundamentales del uso de las tecnologías digitales: (i) por
los estudiantes, (ii) por los profesores, y (iii) en términos de los contextos u ambientes de
aprendizaje.
Respecto a los estudiantes, English y otros (2002) señalan que muchas
investigaciones son reiterativas en que la simple disponibilidad de dispositivos de última
tecnología, así como la conectividad, no garantizan que los estudiantes aprendan
matemáticas (algo que también señalan Jacobson & Kozma, 2000). Sin embargo,
English y otros (2002) resaltan que la aparición de las tecnologías digitales en la clase
brinda oportunidades a los estudiantes para interactuar con las matemáticas y ampliar su
comprensión de estas.
En relación con los profesores, English y otros (2002) señalan que el uso de
tecnologías digitales en la clase puede proporcionar muchas oportunidades para
apropiarse, aplicar, e implementar nuevas experiencias de enseñanza de las matemáticas,
así como brindar otro tipo de espacios de desarrollo profesional. Sin embargo, estas
oportunidades no suelen ser acogidas en muchas aulas de matemáticas y muchos
profesores se muestran aun resistentes al uso de herramientas tecnológicas. Al respecto,
Lesh, Lovitts y Kelly (2000) resaltan la importancia de contar con currículos de
matemáticas que enfaticen el uso de tecnologías digitales en la clase.
Respecto a los contextos de aprendizaje (también llamados entornos u ambientes de
aprendizaje), English y otros (2002) citan a Kaput y Roschelle (1999) para señalar que la
integración de tecnologías digitales puede considerarse como una estrategia para
democratizar el acceso a matemáticas poderosas, proporcionando así, a los estudiantes,
el acceso a ideas y formas de razonamiento que tradicionalmente son consideradas más
allá de sus niveles de desempeño. En este mismo sentido, nosotros podemos citar a
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
58
Papert (1981) quien plantea que las computadoras pueden servir como instrumentos que
permitan el acceso (temprano) de los niños a “ideas poderosas”. Estas ideas las
desarrollaremos en mayor detalle en el siguiente apartado.
Por su parte, Bueno-Ravel y Gueudet (2008) abordan el tema del diseño didáctico de
los recursos digitales, y señalan que quien diseña un recurso digital, establece una serie de
funcionalidades didácticas de acuerdo con un marco teórico de referencia; sin embargo, las
funcionalidades didácticas otorgadas por el profesor que usa el recurso pueden ser diferentes
de aquellas concebidas por el diseñador inicial.
Al respecto, English (2002) considera que la potencialidad de las tecnologías digitales
para el aprendizaje de las matemáticas no depende exclusivamente de sus características o
rasgos internos, sino que depende profundamente del contexto en el que la actividad tiene
lugar; es decir, depende de cómo se estructuran y organizan los ambientes o entornos de
aprendizaje y las situaciones o actividades que se le proponen a los estudiantes.
Ya sea en relación con el uso de las tecnologías digitales, o no, el contexto juega un
papel fundamental en el aprendizaje de los alumnos. De hecho, en el último siglo, varios
eruditos han puesto énfasis en esto. Vigotsky (1985) resaltó el papel de la cultura, del
lenguaje, así como de la mediación de herramientas en el aprendizaje. Por otro lado,
Brousseau (1986) desarrolló la Teoría de las Situaciones Didácticas para estudiar los procesos
de aprendizaje de las matemáticas tomando en cuenta el contexto escolar.
Para continuar nuestra revisión sobre los usos de los recursos digitales en educación
matemática, a continuación, abordaremos varias ideas teóricas importantes ya señaladas
anteriormente: En primer lugar, revisaremos la noción de mediación, que ha sido fundamental
para concebir y estudiar cómo integrar el uso de herramientas digitales en la enseñanza y el
aprendizaje. Posteriormente, profundizaremos en la idea de “situación” desarrollada por
Brousseau (1986). Hacia el final del capítulo, para estudiar la estructuración de entornos
computacionales de aprendizaje, presentamos la idea de micromundo (como la desarrollaron
Noss y Hoyles, 1996).
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
59
3.1. LOS RECURSOS COMO MEDIADORES DE LA ACTIVIDAD HUMANA
Como se vio en el capítulo anterior, las herramientas juegan un papel fundamental en
la evolución de la actividad humana, y por supuesto, de la cultura. Esta “no neutralidad” de las
herramientas (Rabardel, 1995) ha sido ampliamente estudiada en el campo de la psicología
cognitiva. Rabardel (1999) menciona dos ejemplos paradigmáticos al respecto: por un lado,
este autor señala los trabajos de Piaget, en los que la acción del sujeto (que incluye el uso de
herramientas) es un elemento fundamental en la construcción del conocimiento; y, por otro
lado, también señala los aportes de Vigotsky, en los que las funciones psíquicas superiores se
relacionan con la historia social y cultural.
Vigotsky (1985) señala que la actividad (humana) es contextualizada y culturalmente
determinada; por tanto, es la historia cultural la que proporciona mediadores (en el sentido de
herramientas culturales o signos) que los sujetos usamos para relacionarnos con los objetos de
conocimiento. El mediador (herramienta, instrumento o recurso) le permite al sujeto construir
conocimiento. En este sentido, Rabardel (1999) considera que:
La mediación instrumental aparece en las propuestas de Vigotsky como un concepto
central para pensar y analizar las modalidades por las cuales los instrumentos
influencian la construcción del saber. (Rabardel, 1999, p. 2)
Ya en el campo de las tecnologías digitales en Educación Matemática, Noss y Hoyles
(1996) señalan que la mediación tiene fuertes vínculos con el conocimiento puesto en juego,
con las maneras en que los estudiantes aprenden y con las prácticas de los profesores; por ello
consideran que la mediación de una herramienta (digital) involucra la creación de un canal de
comunicación entre el profesor y el estudiante.
A continuación, profundizamos sobre la idea de mediación, principalmente enfocada
en su relación con la actividad humana que involucra el uso de herramientas materiales,
simbólicas o signos.
3.2. RECURSOS Y TEORÍA DE LA ACTIVIDAD
Como señalamos arriba, uno de los conceptos asociados a la idea de mediación
(Vigotsky, 1985) es el de actividad o trabajo; la cual, según Nardi, (1996) es entendida como
formas de hacer, dirigida a un objeto, un propósito. En este sentido, la teoría de la actividad,
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
60
según Nardi (1996), proporciona un modelo para describir la estructura de cualquier activad
humana junto con las transformaciones que experimenta durante su evolución.
Este modelo asigna un rol de mediación crucial a las herramientas culturales, las reglas
y la división de labores en términos de las relaciones entre sujeto y objeto, entre sujeto y
comunidad, y entre comunidad y objeto (i.e. las relaciones que caracterizan cualquier
actividad humana).
En esta perspectiva, Nardi (1996) considera que las herramientas forman parte de un
ambiente cooperativo. Cuando un estudiante usa alguna herramienta (e.g. digital), sus
aprendizajes son estructurados por la naturaleza de la actividad misma. De allí la importancia
de identificar las funcionalidades didácticas de una herramienta (o recurso) a través de la
definición de sus modalidades de uso en el contexto de una actividad basada en la cooperación
de todos los participantes.
En conclusión, la teoría de la actividad reconoce que, para considerar la integración de
herramientas digitales a la enseñanza se debe prestar especial atención a sus potencialidades
de interacción, comunicación y visualización. Esta misma apreciación la comparten otras
miradas teóricas como la mediación semiótica (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008) que
desarrollaremos a continuación.
3.3. MEDIACIÓN SEMIÓTICA USANDO RECURSOS DIGITALES
Una vertiente importante en el estudio del papel de los recursos, principalmente
recursos digitales, en Educación Matemática, es la de la mediación semiótica; la cual se deriva
principalmente de las ideas de Vigotsky (1985) y de la teoría de la actividad (Nardi, 1996). En
esta perspectiva se señala que un aspecto clave a tener en consideración, es cómo usar
mediadores –como las tecnologías digitales— de tal manera que se promueva el aprendizaje
matemático de los estudiantes.
En particular, Bartolini-Bussi y Mariotti (2008) explican la mediación en términos de
fomentar la relación entre los alumnos y los conocimientos matemáticos; igualmente resaltan
que el profesor tiene papel de mediador, y usa los recursos digitales para fomentar el
aprendizaje a través del “andamiaje” (en el sentido de Bruner, 1990; citado por Bartolini-Bussi
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
61
y Mariotti, 2008). Para ello, estas autoras consideran que es importante identificar las
funcionalidades didácticas de los recursos digitales integrados a la clase.
La clave de la mediación semiótica, según Bartolini-Bussi (1996), parte de considerar
que los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas suceden principalmente a
nivel semiótico, dependiendo de los signos, que pueden ser derivados de los recursos digitales
considerados. En este sentido, los significados son arraigados en la experiencia
fenomenológica del estudiante, pero pueden evolucionar, bajo la mediación del profesor, por
medio de estrategias especiales de comunicación, tales como, emplear la información (signos)
que proveen los recursos digitales para proponer situaciones diseñadas ad hoc, que le permiten
al profesor promover discusiones relevantes en la clase.
En conclusión, para Bartolini Bussi y Mariotti (2008) es particularmente importante
estudiar qué clases de signos (que podrían ser palabras, gráficas, tablas, fórmulas, entre otros)
aporta un determinado recurso digital, y considerar su capacidad de retroalimentación como
un elemento importante en el aprendizaje.
La idea de “retroalimentación” forma parte de la Teoría de las Situaciones Didácticas,
de Brousseau (1986), de quien, a continuación, presentaremos algunas ideas que nosotros
consideramos importantes de tener en cuenta cuando se piensa en el diseño o concepción de
entornos de aprendizaje que consideran la integración de recursos digitales.
3.4. SITUACIONES DIDÁCTICAS: RECURSOS EN UN MILIEU
Buena parte de las investigaciones en Educación Matemática interesadas en la
estructuración de entornos de aprendizaje (computacionales o no-computacionales) toman en
consideración la Teoría de las Situaciones Didácticas o TSD (Brousseau, 1986) como un
marco teórico importante. Aquí reseñamos algunos elementos y aportes de la TSD.
De acuerdo a la TSD, el aprendizaje ocurre a partir de una continua interacción entre el
sujeto y el milieu. Brousseau (1986) define el milieu como un entorno didáctico (que incluye
al profesor), el cual debe poder movilizar los conocimientos que se desea que adquiera el
estudiante a partir de una “situación” puesta en juego. El milieu debe ser un entorno capaz de
retroalimentar y propiciar la evolución de las acciones del estudiante: Cada acción del sujeto
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
62
en el milieu, es seguida por una “retro-acción” (retroalimentación) del entorno, la cual permite
la adaptación y evolución de los conocimientos y acciones del estudiante.
En este sentido, Brousseau (1986) considera que el aprendizaje sucede a través de una
adaptación del sujeto al milieu. Para ello, este autor retoma la noción de contrato didáctico de
Chevallard (1980, citado por Brousseau, 1986) para explicar las condiciones y acuerdos
(implícitos o explícitos) que pueden establecerse a partir de la intención didáctica del milieu,
los cuales pueden incluir el papel de los recursos en la clase (e.g. momentos en los que
determinados recursos se pueden usar para validar una idea o conjetura).
Una forma de aplicar esta idea clave de milieu al dominio del uso de recursos
(digitales) en la educación matemática, es la de considerar el recurso o herramienta digital
como un elemento del milieu o entorno de aprendizaje; es decir, la interacción entre el sujeto
con el medio, que incluye la herramienta digital, convierte a esta última, a través de sus “retro-
acciones”, en fuente de aprendizaje.
Perrin-Glorian (2009) resalta cómo la TSD le otorga un papel primordial al profesor: el
de seleccionar, adaptar y proponer situaciones didácticas (en el contexto del milieu) que
movilicen la actividad matemática del estudiante al integrar tecnologías digitales. Para lograr
esto, el profesor tiene que comunicar (o abstenerse de comunicar) información, métodos,
heurísticas y preguntas, de la manera que considera apropiada.
Sin embargo, el profesor no actúa solo u aislado; Perrin-Glorian (2009) señala que, de
acuerdo con la TSD, el trabajo del profesor se incluye como parte del milieu y depende del
tipo de “situación” que se proponga en éste: didáctica o “a-didáctica”. Una “situación
didáctica” se entiende como un conjunto de relaciones (explícitas o no) entre estudiantes, el
milieu y el profesor (lo que incluye el contrato didáctico) con la finalidad de lograr que los
estudiantes aprendan (Brousseau, 1986). En el caso de una “situación a-didáctica,” esta es una
donde predomina la interacción entre el estudiante y el entorno de aprendizaje (milieu) sin una
intervención didáctica directa por parte del profesor: el estudiante actúa sobre el milieu, y a su
vez éste aporta retroalimentaciones para que las acciones del estudiante evolucionen
(Brousseau, 1986). Una interpretación de estas ideas es dada por Perrin-Glorian (2009) –ver
Figura 3.1:
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
63
Figura 3.1. Situación didáctica (y situación a-didáctica). (Perrin-Glorian, 2009, p. 14)
Ideas como milieu y situación, desarrolladas en los trabajos de Brousseau (1986), son
retomadas por autores como Hoyles y Noss (1987). En el caso de estos autores, éstos usan esas
ideas para pensar en el diseño (o estructuración) de entornos de aprendizaje (en particular los
llamados “micromundos” –ver más abajo), que incluyen la mediación de herramientas
digitales y consideran la importancia del papel del profesor en el aprendizaje. A continuación,
presentaremos algunas de sus ideas, haciendo especial énfasis en los componentes, que según
Hoyles y Noss (1987) son fundamentales en la estructuración de micromundos.
3.5. MICROMUNDOS COMPUTACIONALES: ENTORNOS DE APRENDIZAJE CON
TECNOLOGÍAS DIGITALES
El diseño de entornos de aprendizaje en los cuales se contempla el papel mediador de
las tecnologías digitales (y del profesor) es un campo de estudio bastante amplio en Educación
Matemática. Hoyles y Noss (1987) fueron algunos de los pioneros en considerar la
interrelación entre conocimiento-aprendizaje-enseñanza cuando un recurso digital se integra a
la clase; esto autores ampliaron la idea de micromundo que Papert (1981) inicialmente
describió como una “incubadora de ideas”: un ambiente interactivo de aprendizaje que permite
al usuario realizar operaciones sobre objetos y que favorece que los estudiantes puedan,
construir y compartir ideas.
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
64
Hoyles y Noss (1987) amplían y enriquecen la idea de micromundo como compuesto
por cuatro componentes interrelacionados que conforman un entorno de aprendizaje para la
exploración de ideas matemáticas. Dichos componentes son (ver Figura 3.2):
El componente estudiante: alude a los procesos de aprendizaje de los alumnos, sus
entendimientos y comprensiones parciales sobre los conceptos bajo exploración o
estudio.
El componente técnico: involucra las herramientas (digitales) y las representaciones
que proveen, mediante las cuales los estudiantes exploran y expresan sus ideas.
El componente pedagógico: involucra las estrategias de enseñanza, actividades
propuestas a los estudiantes e intervenciones didácticas. En relación con estas últimas,
Hoyles y Noss (1987) consideran que las intervenciones didácticas a cargo del profesor
son fundamentales para mediar el aprendizaje de los estudiantes.
El componente contextual: da cuenta del ambiente social y físico en el que se
desarrolla la clase.
Figura 3.2. Componentes de un micromundo (Hoyles & Noss, 1987)
Hoyles y Noss (1987) resaltan las intervenciones del profesor, como un elemento
fundamental en el componente pedagógico; en este sentido, estos autores señalan lo siguiente:
El profesor también tiene la responsabilidad de fomentar el uso de tanto la actividad
intuitiva como la reflexiva, y de orientar a los alumnos hacia el desarrollo de sus
CAP. 3. LAS TECNOLOGÍAS DIGITALES COMO RECURSOS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
65
propios procesos metacognitivos; es decir, fomentar la predicción, la reflexión y la
evaluación. (Hoyles & Noss, 1987, p. 589; nuestra traducción)
A manera de conclusión podemos decir que esta importancia que Hoyles y Noss
(1987) atribuyen al trabajo del profesor, previamente también lo habíamos considerado en las
investigaciones de Bartolini Bussi y Mariotti (2008) sobre mediación semiótica y en las
propuestas de Brousseau (1986) sobre la TSD. El papel del profesor también ha sido también
ampliamente estudiado en otros marcos teóricos como la Aproximación Documental de la
Didáctica o ADD (Gueudet & Trouche, 2009) en relación con el uso de recursos, la cual
constituye el principal marco teórico de nuestra investigación (ver Capítulo 5).
3.6. SOBRE EL CONCEPTO DE “RECURSO DIGITAL”
Partiendo del concepto de “recurso” que presentamos en la sección 2.2.2, y las
consideraciones anteriores sobre el papel de las tecnologías digitales en la educación
matemática, presentamos ahora nuestro concepto operativo de “recurso digital”.
Es claro que un recurso digital es aquel que incluye medios digitales que favorecen
diversas formas de interacción. En general, los recursos digitales implican el uso de una
computadora o dispositivo móvil. También el uso de Internet se enmarca dentro de los
recursos digitales. En nuestro caso nos referimos al término “digital” diferenciándolo del
término “Tecnologías de la Información y la Comunicación” o TIC (Palmas-Pérez, 2018). Así
pues, “recurso digital” alude a las maneras en las que los profesores se relacionan con las
tecnologías y las maneras en cómo las usan respondiendo a intencionalidades didácticas
específicas.
Para el caso de la enseñanza de las matemáticas en educación primaria, Hernández-
Jacquez y Gutiérrez-Rodríguez (2016) señalan que es común que este tipo de recursos
incluyan tecnologías multimedia (e.g. imagen, texto, animación, sonido, video y simulaciones,
etc.).
En el siguiente capítulo presentamos algunas miradas teóricas al conocimiento de los
profesores, especialmente, aquellos conocimientos relacionados con el uso de tecnologías
digitales para enseñar matemáticas, y más particularmente, geometría.
66
4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL
PROFESOR
Se recuerda que el objetivo de esta investigación es indagar el proceso de selección de
recursos digitales que hacen profesores de primaria para la enseñanza de la geometría;
consideramos que este proceso involucra conocimientos profesionales sobre la geometría, su
enseñanza y las tecnologías digitales, entre otros aspectos. Por tal razón, en este capítulo
presentamos brevemente algunos modelos teóricos que estudian los conocimientos
profesionales de los profesores.
Comenzamos explicando modelos sobre los tipos de conocimientos profesionales que
requieren o ponen en juego los profesores en sus prácticas docentes, tales como el concepto
del Conocimiento Pedagógico del Contenido de Shulman (1986). Luego presentamos otros
modelos que toman en cuenta los conocimientos de los profesores cuando trabajan con
tecnologías digitales, tales como el modelo del Conocimiento Tecnológico del Contenido
Pedagógico o TPACK (por sus siglas en inglés), propuesto por Mishra y Koehler (2006); y el
modelo del Conocimiento Pedagógico de la Tecnología o PTK (por sus siglas en inglés),
propuesto por Thomas y Palmer (2014), específico para la enseñanza de las matemáticas.
Posteriormente, consideramos el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático o
ETM propuesto por Kuzniak y Richard (2014), y principalmente su idea de paradigma
geométrico útil para comprender el punto de vista epistémico del profesor (las maneras en que
éste entiende la geometría y su enseñanza), cuando selecciona y pone en juego recursos
(principalmente digitales) para su clase de geometría.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
67
4.1. MODELOS DE LOS CONOCIMIENTOS PROFESIONALES DEL PROFESOR
4.1.1. La perspectiva de Shulman sobre los conocimientos de los profesores, el
concepto de PCK, y el modelo MKT de Ball y colegas
El interés por estudiar el conocimiento y la práctica del profesor no ha sido
desarrollado de manera exclusiva desde un solo punto de vista. Diversas investigaciones han
reflexionado y propuesto modelos teóricos para analizar conocimientos profesionales muy
específicos del profesor. En particular, Shulman (1986, 1987/2005) analiza los conocimientos
necesarios para la enseñanza o “conocimiento base para la enseñanza” planteando lo siguiente:
Comenzamos un análisis sobre el conocimiento base para la enseñanza e,
inmediatamente, surgen diversas preguntas relacionadas: ¿Qué conocimiento base?
¿Conocemos lo suficiente sobre la enseñanza como para sustentar un conocimiento
base? ¿Acaso la enseñanza no supone poco más que un estilo personal, habilidad
para comunicarse, cierto conocimiento de la materia y la aplicación de los resultados
de investigaciones recientes sobre la enseñanza efectiva? (Shulman, 1987/2005, p. 7)
Atendiendo a este tipo de cuestionamientos, Shulman (1986) propone tres19 categorías
de conocimientos del profesor:
El Conocimiento del Contenido de la Materia Específica (Subject Matter Content
Knowledge) se refiere al conocimiento temático del profesor respecto a su materia de
enseñanza. Incluye las comprensiones del profesor sobre la organización (hechos,
estructuras, definiciones, proposiciones) de la disciplina que enseña.
El Conocimiento Pedagógico (o Didáctico20) del Contenido (Pedagogical Content
Knowledge – PCK, por sus siglas en inglés) engloba el conocimiento “para la
enseñanza” del profesor sobre las teorías y estrategias de enseñanza (representaciones,
ejemplos, explicaciones, analogías que usa el profesor). Incluye las comprensiones del
profesor sobre el aprendizaje, las dificultades de los estudiantes y cómo afrontarlas en el
aula. En Shulman (1987/2005), explica que ese tipo de conocimiento constituye una
“especial amalgama entre materia y pedagogía que constituye una esfera exclusiva de
los maestros, su propia forma especial de comprensión profesional” (p. 11).
19 Posteriormente, en Shulman (1987/2005), el autor propuso una nueva categorización de la base de
conocimientos del profesor, en siete categorías, pero aquí ya no discutimos. 20 En varias publicaciones en español, se traduce PCK como “Conocimiento Didáctico del Contenido”
(CDC) (e.g. Shulman 1987/2005; Pinto Sosa & González Astudillo, 2008).
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
68
El Conocimiento Curricular (Curricular Knowledge) se refiere al conocimiento
sobre los programas educativos, temas y tópicos de acuerdo el nivel de enseñanza, y los
“materiales para la enseñanza”. Incluye el conocimiento del profesor sobre cómo usar
estos materiales en circunstancias particulares.
Shulman (1986) explica que este tipo de conocimiento, el Conocimiento Curricular, es
el que permite al profesor construir formas de comunicación y representación para la
enseñanza. Y puesto que el Conocimiento Curricular incluye los conocimientos del profesor
respecto a los “materiales para la enseñanza”, el uso de recursos se enmarca dentro de ese tipo
de conocimiento. Al respecto, Shulman (1986) destaca que:
El currículo determina las características de los “materiales para la enseñanza”, así
como sus “indicaciones y contraindicaciones” de uso.
El uso de materiales (textos, software, materiales visuales) se relaciona con la
“preparación de la enseñanza” por parte del profesor.
Se espera que un “profesor profesional” esté familiarizado con los materiales
curriculares y su uso en clase.
Este Conocimiento Curricular, en modelos posteriores, como los de Ball y colegas
(Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008), se considera enmarcado dentro
del Conocimiento Pedagógico del Contenido (PCK) –ver Figura 4.1.
Cabe enfatizar que este tipo de conocimiento, el de PCK, se considera una de las
contribuciones principales de Shulman, quien “distinguió entre el contenido como se estudia y
aprende en contextos disciplinares y esa ‘amalgama especial de contenido y pedagogía’ [el
PCK]” (Ball, Thames & Phelps, 2008; p. 389; traducido del inglés).
Ball y colegas (Ball, Thames & Phelps, 2008; Hill, Ball y Schilling, 2008) propusieron
lo que llamaron un refinamiento de las categorías iniciales de Shulman (1986) de
Conocimiento del Contenido de la Materia Específica y de Conocimiento Pedagógico del
Contenido (PCK), para desarrollar, en el campo de la Educación Matemática, un modelo o
“mapa de dominio” (Figura 4.1) del Conocimiento Matemático para la Enseñanza
(Mathematical Knowledge for Teaching o MKT):
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
69
Figura 4.1. Mapa de dominio del Conocimiento Matemático para la Enseñanza (tomado de
Ball et al., 2008, p. 403; Hill et al., 2008, p. 377; y de Miranda, 2013, para las traducciones)
La Figura 4.1muestra los seis elementos que conforman el modelo de Conocimiento
Matemático para la Enseñanza (MKT). Ball et al. (2008) explican que:
El lado izquierdo del óvalo, corresponde Conocimiento del Contenido de la
Materia (Subject Matter Knowledge) el cual describe cómo el conocimiento matemático
que se utiliza para enseñar también se usa en muchas otras profesiones u ocupaciones.
Este conocimiento incluye:
El Conocimiento Común del Contenido (Common Content Knowledge o
CCK);
el Conocimiento del Horizonte del Contenido (Horizon Content Knowledge)
–también llamado Conocimiento en el Horizonte Matemático (Knowledge at the
Mathematical Horizon) por Hill, Ball y Schilling (2008)— el cual se refiere a
cómo se relacionan los temas matemáticos entre sí, incluido en el currículo de
matemáticas (Ball et al., 2008); y
el Conocimiento Especializado del Contenido (Specialized Content
Knowledge o SKC).
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
70
El lado derecho del óvalo corresponde al Conocimiento Pedagógico del Contenido
(Pedagogical Content Knowledge o PCK), el cual es retomado de Shulman (1986), por
lo que incluye las maneras en que el profesor organiza, representa y expone los temas en
su clase. Ball et. al. (2008) refinan el PCK para incluir:
Conocimiento del Contenido y de los Estudiantes (Knowledge of Content
and Students o KCS);
Conocimiento del Contenido y de su Enseñanza (Knowledge of Content and
Teaching o KCT); y
Conocimiento del Contenido y del Currículo (Knowledge of Content and
Curriculum).
Hemos mencionado un antecedente fundamental para el estudio de los conocimientos
del profesor en la perspectiva de Shulman (1986), particularmente respecto al PKC, y su
extensión en el modelo MKT propuesto por Ball et al. (2008). En las siguientes secciones
seguiremos profundizando en aspectos puntuales del conocimiento del profesor,
particularmente, cuando se integran tecnologías digitales en la enseñanza.
4.1.2. El Modelo TPACK de Mishra y Koehler
Otros autores que refinaron las ideas de Shulman (1986) sobre el conocimiento
pedagógico del contenido (PCK) del profesor, fueron Mishra y Koehler (2006) quienes
extendieron el PCK para incluir el papel de las tecnologías digitales para la enseñanza.
Así, estos autores, consideran a la enseñanza como una práctica que requiere diferentes
tipos de conocimiento especializados (e.g pedagógicos, tecnológicos y de contenido), que los
profesores ponen en juego en diferentes contextos. Proponen analizar las interrelaciones entre
los tres componentes principales de los entornos de aprendizaje: contenido, pedagogía y
tecnología (analógica y digital) para redimensionar el conocimiento del profesor. Como
resultado de esto, Mishra y Koehler (2006) proponen un modelo llamado Conocimiento
Pedagógico y Tecnológico del Contenido (Technological Pedagogical and Content
Knowledge – TPACK o TPCK por sus siglas en inglés), cuya premisa es que el conocimiento
de los profesores que integran tecnología a sus clases es de naturaleza variada: complejo,
multifacético y situado.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
71
Según Mishra y Koehler (2006), el modelo TPACK (ver Figura 4.2) toma en cuenta: lo
que los profesores saben, lo que deben saber y cómo podrían adquirirlo. Para esto, muestran
cómo el desarrollo profesional de los profesores (que involucra formación continua,
colaboración y diseño de entornos de aprendizaje) promueve el desarrollo de TPACK. Según
estos autores, el TPACK incluye, pero no se limita, al conocimiento del profesor sobre: las
representaciones y conceptos que las tecnologías digitales movilizan; las estrategias de
enseñanza usando tecnologías digitales; y, el conocimiento de lo que los estudiantes pueden
hacer y aprender con este tipo de herramientas tecnológicas.
Figura 4.2. Modelo TPACK21
Los componentes del TPACK, señalados por Mishra y Koehler (2006) son:
El Conocimiento sobre el Contenido (Content Knowledge o CK) es el saber que el
profesor ha construido sobre la disciplina que enseña. Este conocimiento incluye
conceptos, teorías, ideas, y pruebas, así como prácticas.
El Contenido Pedagógico (Pedagogical Knowledge o PK) es el conocimiento que
tienen los profesores sobre los procesos, prácticas y métodos de enseñanza. Este
conocimiento se refiere a la comprensión de cómo aprenden los estudiantes, las
21 Imagen tomada de http://tpack.org
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
72
estrategias de manejo de clase, y la planificación de clases y evaluación de los
aprendizajes de los estudiantes.
El Conocimiento Pedagógico del Contenido (Pedagogical Content Knowledge o
PCK) se refiere a los vínculos entre el currículo, la pedagogía, y la evaluación de los
aprendizajes de los alumnos. Más específicamente, se refiere al trabajo de planeación de
la enseñanza, incluyendo el desarrollo de condiciones en el aula para promover el
aprendizaje y el diseño de estrategias de evaluación y seguimiento al aprendizaje.
El Conocimiento Tecnológico (Technological Knowledge o TK) se refiere a las
comprensiones de los profesores sobre las tecnologías de la información y la
comunicación, para aplicarlas en su trabajo, en su vida cotidiana, así como su capacidad
para adaptarse a los cambios tecnológicos. Este conocimiento implica reconocer las
maneras en cómo las tecnologías digitales pueden promover, o impedir, la consecución
de una meta.
El Conocimiento Tecnológico Pedagógico (Technological Pedagogical Knowledge
o TPK) representa un modo de comprender cómo la enseñanza y el aprendizaje pueden
cambiar cuando tecnologías particulares están siendo usadas de maneras particulares.
Esto tipo de conocimiento le permite al profesor conocer las posibilidades y limitaciones
pedagógicas de ciertas herramientas tecnológicas. Igualmente, el TPK posibilita que el
profesor proponga diseños y estrategias pedagógicas que sean disciplinarmente y
cognitivamente apropiadas. Para construir el TPK, es necesaria una comprensión
profunda de las limitaciones y posibilidades de las tecnologías y de los contextos
disciplinares en las cuales funcionan.
Los Conocimientos Tecnológicos y Pedagógicos del Contenido (Technological
Pedagogical Content Knowledge o TPACK) son una forma emergente de saberes que
van más allá de los tres componentes nucleares (contenido, pedagogía y tecnología); se
refieren a la comprensión que surge de la interacción entre los saberes de contenido,
pedagogía y tecnología. TPACK requiere que el profesor tenga una comprensión de las
tecnologías y de la pedagogía que le permita usar las tecnologías para representar
conceptos, enseñar contenidos y comunicar ideas. TPACK también implica que el
profesor sepa cómo la tecnología puede ayudar a abordar algunos de los problemas que
atraviesan los estudiantes. Por tanto, TPACK implica que el profesor tenga en cuenta los
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
73
conocimientos previos de los alumnos, las teorías de conocimiento, y las maneras cómo
las tecnologías pueden ser usadas para la enseñanza.
Aunque el modelo TPACK es ampliamente usado en el ámbito educativo para estudiar
la integración de tecnologías digitales en distintos contextos, no se enfoca en la enseñanza o el
aprendizaje específico de las matemáticas. Por ello, otros autores, como Thomas y Palmer
(2014), han desarrollado modelos del conocimiento profesional de los profesores que se
centran en el papel de las tecnologías digitales en educación matemática. A continuación,
presentamos el modelo PTK de Thomas y Palmer (2014).
4.1.3. El Modelo PTK de Thomas y colegas
Enfocándose en la enseñanza de las matemáticas en particular, Thomas y Hong (2013)
y, posteriormente, Thomas y Palmer (2014) propusieron un nuevo marco teórico –desarrollado
de manera paralela, pero diferente, al TPACK— para describir el conocimiento de los
docentes en torno a la integración de tecnologías digitales en educación matemática: el modelo
del Conocimiento Pedagógico y Tecnológico (Pedagogical Technological Knowledge o
PTK, por sus siglas en inglés).
Tomando en cuenta algunas ideas de Shulman (1986); Brousseau (1986); Ball, Hill y
Bass (2005); Mishra y Koehler (2006); Guin y Trouche (2009) y Shoenfeld (2011), entre
otros, Thomas y Palmer (2014) propusieron su modelo PTK para describir el conocimiento de
los profesores respecto a la integración de tecnologías digitales en la clase de matemáticas. La
Figura 4.3 describe ese modelo PTK, también llamado MPTK por Clark-Wilson y Hoyles,
(2017) quienes explican que añadieron lo de “Matemático”, por claridad, para crear
Mathematical Pedagogical Technology Knowledge o MPTK, asumiendo que para Thomas y
Hong (2013) el contexto general era el matemático.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
74
Figura 4.3. Modelo MPTK (Clark-Wilson & Hoyles, 2017, p.31)
Thomas y Palmer (2014) señalan que existen principalmente tres factores que se
combinan para producir el Conocimiento Pedagógico y Tecnológico (PTK): (i) el
Conocimiento Matemático para la Enseñanza (Mathematical Knowledge for Teaching o
MKT) – tomado de las ideas de Deborah Ball (e.g. Ball et al., 2005, citado por Thomas &
Palmer, 2014); (ii) las génesis instrumentales respecto a las tecnologías digitales; y (iii)
factores intrínsecos como las orientaciones personales del profesor, su confianza y creencias
(las cuales incluyen, su percepción de la naturaleza del conocimiento matemático y cómo
debería aprenderse la matemática).
Una de las características del modelo de Thomas y Palmer (2014) es que se resalta el
Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT), y extiende el concepto de PCK de
Shulman (1986). En el modelo PTK, el MKT abarca la forma de estructurar el contenido por
el profesor, así como su discurso y actividades en el aula para crear una situación didáctica, en
este caso, integrando recursos digitales. El Conocimiento Matemático para la Enseñanza
incluye al Conocimiento Pedagógico (Pedagogical Knowledge o PK), y al Conocimiento
Matemático del Contenido (Mathematical Content Knowledge o MCK) el cual considera la
especificidad (matemática y pedagógica) del contenido que se está enseñando.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
75
La segunda característica del modelo MKT, es que utiliza la teoría de la génesis
instrumental de Rabardel (1995) –la cuál nosotros discutimos en el capítulo 5, sección 6.2–en
relación a cómo una herramienta se transforma en un instrumento didáctico; eso permite tomar
en cuenta cómo los profesores se apropian de las tecnologías digitales para su práctica.
En cuanto a la tercera característica del modelo MKT, en torno a las orientaciones
personales de los profesores, Thomas y Palmer (2014) señalan que esas orientaciones y
creencias constituyen un componente central de su conocimiento profesional. Al respecto,
hacen especial énfasis en: (i) las creencias de los profesores sobre el valor de las tecnologías
digitales y su papel en el aprendizaje de las matemáticas; (ii) las percepciones de los
profesores sobre la naturaleza del conocimiento matemático y cómo debería aprenderse la
matemática; y (iii) aspectos afectivos, como la confianza –la cual consideran como una
variable crítica en los procesos de integración de tecnología en las clases de matemáticas.
Así, en el modelo de Thomas y Palmer (2014), se especifica el conocimiento
matemático como un componente de los conocimientos profesionales de los profesores,
resaltando la importancia de la especificidad del contenido matemático a enseñar como un
elemento fundamental dentro de los conocimientos profesionales del profesor. En este sentido,
en nuestra investigación incluimos aspectos de orden epistemológico sobre la naturaleza de la
geometría escolar, que debieran ser parte de los conocimientos profesionales del profesor.
Para ello, retomamos, específicamente, el modelo de los Espacios de Trabajo
Geométrico (ETG), posteriormente ampliado a Espacios de Trabajo Matemático (ETM),
propuesto por Kuzniak y colegas (Houdement & Kuzniak, 2006; Kuzniak, 2011) del cual
retomamos algunas ideas, tales como la de “paradigma geométrico” que posteriormente
incluiremos en el análisis de los datos.
4.2. LOS MODELOS DE ETG Y ETM DE KUZNIAK Y COLEGAS
Consideramos que una mirada compleja al uso de recursos en la clase de geometría
implica consideraciones epistemológicas, didácticas y cognitivas. En la sección 4.1.1
habíamos presentado el modelo de Conocimiento Matemático para la Enseñanza (o MKT) de
Ball et al. (2008), en el que se hace énfasis en los conocimientos del profesor, entre los que se
encuentran el Conocimiento del Contenido de la Materia y el Conocimiento Pedagógico del
Contenido (PCK). De esos dos, en particular nos interesan, para la enseñanza particular de la
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
76
geometría, respectivamente, el Conocimiento Especializado del Contenido, y el Conocimiento
del Contenido y su Enseñanza. Así, en esta sección nos enfocamos en el conocimiento
especializado del contenido geométrico, del profesor, y su conocimiento del contenido
geométrico y su enseñanza. Para ello, utilizamos algunas ideas teóricas de los Espacios de
Trabajo Matemático (ETM), particularmente la de paradigma geométrico que propone
Kuzniak (2011), que nos es útil para analizar el “punto de vista epistémico del profesor” –es
decir, la naturaleza de la geometría que el profesor moviliza en su clase a través del tipo de
trabajo que propone a sus estudiantes.
4.2.1. Paradigma geométrico
En nuestro estudio nos interesa analizar los conocimientos profesionales que el
profesor pone en juego mientras selecciona recursos para su clase de geometría en primaria;
para ello es importante tener en cuenta algunas consideraciones epistemológicas sobre la
geometría escolar. En particular Kuzniak y colegas (Houdement & Kuzniak, 2006; Kuzniak,
2011; Kuzniak & Richard, 2014) han realizado aportes teóricos sobre la naturaleza de la
geometría escolar.
Para nuestro estudio, tomamos en cuenta, particularmente, el concepto de “paradigma
geométrico” que propone Kuzniak (2011). Para este autor un paradigma geométrico constituye
una manera de interpretar la naturaleza de la geometría, y orienta la acción del profesor, a
partir de acuerdos teóricos y metodológicos compartidos por una comunidad a la cual
pertenece ese profesor (Kuhn, 1995, citado por Kuzniak, 2011). En esta perspectiva, los
paradigmas dependen de condiciones culturales específicas para constituirse en teorías que
guían la observación, métodos y criterios, los cuales permiten la construcción de nuevos
conocimientos (Kuhn, 1995, citado por Kuzniak, 2011).
Así, un paradigma geométrico, en el sentido de Kuzniak (2011), incluye los diferentes
“puntos de vista” del profesor que coexisten en su enseñanza de la geometría, los cuales
asumen diferentes significados dependiendo de la situación en la clase, y frecuentemente
resultan en variaciones didácticas y epistémicas (i.e. cambios en la naturaleza de la geometría
que se moviliza en el aula) durante su práctica. Kuzniak (2011) distingue varios paradigmas en
la enseñanza de la geometría:
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
77
Geometría (natural o) elemental: la cual corresponde a la geometría sobre objetos
reales con un uso intensivo de la intuición. Esta geometría incluye actividades como el
trazado de gráficas usando distintos tipos de instrumentos, así como el uso de la
medición y la aproximación para realizar validaciones o comprobaciones.
Geometría axiomática natural o modelizante: la cual se refiere a un esquema de la
realidad que se nutre de la experiencia de la geometría elemental. Aquí los axiomas se
enuncian, aunque la axiomatización no esté completa; y se promueve el uso del lenguaje
geométrico (símbolos) y el desarrollo de demostraciones no rigurosas.
Geometría axiomática verbal o formal: la cual implica un uso intensivo de la lógica
y del razonamiento hipotético-deductivo. Cuenta con una axiomática coherente y
completa, con una organización temática.
Respecto a los distintos tipos de paradigmas geométricos que coexisten en la
enseñanza, Houdement y Kuzniak (2006) señalan distintos fenómenos didácticos; entre ellos,
las posibles “rupturas” entre una geometría y otra. Por ejemplo, cuando el profesor usa
términos como “prueba o demostración”, dicho término puede tener un significado para el
profesor y otro para sus estudiantes. Para el profesor “demostración” puede significar tener en
cuenta, así sea parcialmente, los axiomas y producir un razonamiento más o menos basado en
la deducción. Para los estudiantes, “demostración” puede significar probar mediante
mecanismos como la medición que algo es evidente por sí mismo. Mientras el profesor
entiende “demostración” desde el paradigma de la geometría axiomática natural, sus
estudiantes están anclados en el paradigma de la geometría elemental. Este tipo de rupturas y
tensiones, constituyen, desde la perspectiva de Houdement y Kuzniak (2006), un problema
didáctico.
Los distintos paradigmas que coexisten en la clase de geometría y los problemas
didácticos persistentes en la enseñanza de esta disciplina, son analizados por Houdement y
Kuzniak (2006) desde el modelo de los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG), que
posteriormente se amplió en el modelo de los Espacios de Trabajo Matemático (ETM) por
Kuzniak (2011). El modelo de los ETM, al igual que su predecesor (el modelo de los ETG), se
fundamenta en la idea de Trabajo Matemático como eje central de la actividad matemática en
el aula. A continuación, desarrollamos estos conceptos.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
78
4.2.2. Los Espacios de Trabajo Geométrico (ETG) y Matemático (ETM)
De acuerdo a Houdement y Kuzniak (2006) los paradigmas geométricos arriba
señalados relacionan la actividad del estudiante de geometría con la de un geómetra; una
actividad que se lleva a cabo en un ambiente constituido por objetos visibles y tangibles
(dibujos, instrumentos de dibujo, etc.) y objetos conceptuales (las definiciones y teoremas).
Estos autores definen un Espacio de Trabajo Geométrico (ETG) de la siguiente manera:
Designaremos bajo el término de espacio de trabajo geométrico (ETG), al ambiente
organizado por y para el geómetra de manera a articular, de manera idónea, los tres
componentes siguientes:
- un conjunto de objetos, eventualmente materializados en un espacio real y local;
- un conjunto de artefactos que serán las herramientas e instrumentos al servicio del
geómetra, y finalmente
- un referente teórico eventualmente organizado en un modelo teórico.
(Houdement & Kuzniak, 2006; pp. 184-185. Nuestra traducción del francés).
Como se mencionó arriba, la idea de ETG se amplió posteriormente en la de Espacio
de Trabajo Matemático (ETM):
La noción general de Espacio de Trabajo Matemático (ETM) amplía la noción de
espacio de trabajo para la geometría, introducida por Kuzniak y Houdement
(Kuzniak, 2006) en el estudio de la didáctica de este ámbito. […] El espacio
concebido de esta manera designa un ambiente pensado y organizado que facilita el
trabajo de los individuos [estudiantes] al resolver problemas matemáticos.
(Kuzniak & Richard, 2014; p. 6)
Kuzniak y Richard (2014) explican que la idea de Espacios de Trabajo Matemático
sirve para “comprender mejor lo que, desde el punto de vista didáctico, se pone en juego
alrededor del trabajo matemático en un marco escolar” (p. 6).
La perspectiva de los modelos de ETM se basa, no sólo en la idea de paradigma, sino
también en la idea de “trabajo”. Para Kuzniak y Richard (2014), el “trabajo” corresponde a
una actividad racional orientada a objetivos particulares y haciendo uso de instrumentos
específicos. En el caso de la educación matemática, interesa entonces el estudio de la actividad
matemática en doble sentido: el aprendizaje de los estudiantes y la organización de la
enseñanza por parte del profesor.
De manera general, un ETM se articula en dos niveles o planos, “uno de naturaleza
epistemológica, en relación estrecha con los contenidos matemáticos del ámbito estudiado y,
el otro, de naturaleza cognitiva, que concierne al pensamiento del sujeto que resuelve tareas
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
79
matemáticas” (Kuzniak & Richard, 2014, p. 6). Estos dos planos son descritos por Kuzniak
(2011) como:
Plano cognitivo: Es el nivel en el que prevalecen procesos asociados con: la
visualización, la representación de objetos en el espacio, la construcción (que incluye el
uso de artefactos) y la prueba como proceso discursivo.
Plano epistemológico: Es el nivel centrado fundamentalmente en los contenidos
matemáticos estudiados en la clase y en la cual se consideran las representaciones
(signos), artefactos y un marco referencial-teórico basado en definiciones y propiedades.
Sin embargo, estos planos (cognitivo y epistemológico) aunque “paralelos” no se
encuentran disociados. Las múltiples génesis (semiótica, instrumental y discursiva) los
articulan y les dan sentido, tal como se muestra en la Figura 4.4, a continuación:
Figura 4.4. El espacio de trabajo matemático y sus génesis (Kuzniak & Richard, 2014, p. 7)
En este sentido, otra caracterización de los ETM tiene que ver con la naturaleza e
intencionalidades de éste. Kuzniak y Richard (2014) reconocen tres tipos de ETM:
ETM de referencia: el cual se caracteriza por ser institucional; su principal referente
es el currículo escolar.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
80
ETM idóneo o adecuado22: el cual es una adaptación, para la enseñanza, del ETM
de referencia. Se hace evidente en los libros de texto, hojas de trabajo de los estudiantes,
etc. Este tipo de ETM involucra de manera más directa el trabajo del profesor.
ETM personal: el cual es un ETM a nivel del individuo y es de carácter cognitivo
relacionado con un individuo dado (profesor o estudiante). En el caso de un profesor, su
ETM personal se refiere a las disposiciones y maneras en las que contribuye al
desarrollo de los ETM de sus estudiantes.
Uno de los fines del modelo de los ETM es considerar la diversidad de trabajo
matemático en el aula, tanto por el profesor, como por el estudiante (Kuzniak & Richard,
2014). En el caso de la enseñanza de la geometría, el trabajo matemático del profesor se hace
evidente en los paradigmas geométricos visibles en su práctica, lo que finalmente constituye
una expresión más de su conocimiento profesional.
4.3. ELEMENTOS PRINCIPALES PARA NUESTRO TRABAJO
En general, la revisión presentada a lo largo de este capítulo respecto a los
conocimientos profesionales del profesor, muestran que éstos son de diversos tipos y
dependen de la especificidad del tema a enseñar y de los contextos en los que el profesor
trabaja. En esa revisión también se hace explícito el papel de diversos recursos (materiales,
herramientas, instrumentos u artefactos) en el trabajo del profesor.
De las consideraciones presentadas aquí, retomamos las siguientes para nuestro trabajo
(donde analizamos los conocimientos profesionales que el profesor pone en juego mientras
selecciona recursos digitales para su clase de geometría):
Conocimientos profesionales del profesor para su enseñanza. Shulman (1986)
considera que este tipo de conocimiento requiere que el profesor elabore y use
materiales en su clase teniendo en cuenta aspectos como el currículo y las necesidades
de aprendizaje de sus estudiantes. Aquí también tenemos en cuenta algunos aspectos del
modelo Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) propuesto por Ball et al.
22 En la versión en español del artículo de Kuzniak y Richard (2014), los autores hablan de “ETM
idóneo”, traducción de la versión en francés de “ETM idoine”, pero en la versión en inglés aparece
como “adequate ETM”. Nos parece que decir “ETM adecuado” transmite mejor el significado de este
ETM, por lo que en el resto del nuestro trabajo, nos referiremos a éste como “ETM adecuado”: i.e., un
ETM que el profesor adecua como algo apto para la enseñanza.
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
81
(2008), particularmente: el Conocimiento Especializado del Contenido, y el
Conocimiento del Contenido y su Enseñanza. Estos tipos de conocimiento son
importantes para nuestro trabajo porque permiten analizar los aspectos que el profesor
tiene en cuenta mientras selecciona un recurso para su clase.
Conocimientos del profesor sobre las tecnologías digitales y cómo usarlas para la
enseñanza. Mishra y Koehler (2006) consideran que es importante que el profesor
conozca las posibilidades y limitaciones de las tecnologías digitales y de su uso en la
clase. Por su parte, Thomas y Palmer (2014) señalan, además, que se requiere considerar
los conocimientos pedagógicos y matemáticos que les permitan a los profesores usar las
tecnologías digitales en la clase de matemáticas. Estas ideas teóricas nos dan pistas sobre
la importancia de los conocimientos matemáticos y pedagógicos o didácticos
(relacionados con la enseñanza de las matemáticas) en los procesos de selección de
recursos digitales para la enseñanza.
Orientaciones personales del profesor. Thomas y Palmer (2014) resaltan el papel
de las percepciones y creencias que tiene el profesor respecto al uso de recursos digitales
para la enseñanza de las matemáticas. Estos autores nos brindan pistas útiles para
considerar aspectos intrínsecos, en el conocimiento del profesor, que se movilizan
mientras éste selecciona recursos para la enseñanza.
Conocimientos profesionales sobre la geometría escolar y ETG/ETM. En nuestro
trabajo es fundamental identificar conocimientos especializados del profesor –sobre la
geometría, su naturaleza y enseñanza— que orientan su proceso de selección de
recursos. Así, siguiendo las ideas teóricas de los conocimientos arriba expuestos, en
particular los de Conocimiento Especializado del Contenido y el de Conocimiento del
Contenido y su Enseñanza, del modelo MKT del Conocimiento Matemático para la
Enseñanza (Ball et al., 2008) buscamos definir éstos para la enseñanza de la geometría.
Para ello nos son útiles las ideas de Kuzniak (2011), quien considera en su teoría ETM
que, dependiendo del paradigma geométrico que el profesor pone en juego, es posible
determinar el tipo de actividad geométrica que se desarrolla en la clase.
En el siguiente capítulo 5, profundizamos en aspectos de este conocimiento profesional
de los profesores sobre la geometría escolar en el nivel primaria, ya que éste será un referente
importante para el análisis de los datos de nuestra investigación (ver Partes IV y V de este
CAP. 4. MIRADAS TEÓRICAS AL CONOCIMIENTO DEL PROFESOR
82
escrito): al seleccionar recursos para su clase, los profesores participantes en nuestro estudio
tuvieron que poner en juego sus conocimientos profesionales de geometría (sus ETM).
Posteriormente, en el capítulo 6, puesto que un tema central de nuestro trabajo es cómo
el profesor selecciona recursos para la enseñanza, abordamos algunas ideas teóricas para el
estudio de la interacción profesor-recursos: En particular, abordamos el enfoque instrumental
de Rabardel (1995), donde se plantea cómo un artefacto (o recurso) se transforma en
instrumento; y la Aproximación Documental de la Didáctica (ADD) mediante la cual se
estudia el trabajo del profesor y su uso de recursos.
83
5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
Recordamos que nuestro estudio se enfoca en la selección de recursos para la
enseñanza de la geometría, por profesores colombianos de primaria. Por ello, en este capítulo
presentamos brevemente algunos aspectos sobre la enseñanza de geometría en educación
primaria y los lineamientos curriculares de Colombia al respecto.
Para el estudio del proceso de selección de recursos para enseñar geometría en
Colombia, consideramos importante tener en cuenta algunos aspectos relacionados con la
enseñanza de ésta en general y en ese país. Para ello, a continuación, llevamos a cabo una
breve discusión respecto a la enseñanza de la geometría y sus principales dificultades,
principalmente, en la educación primaria.
5.1. PROBLEMAS EN EL APRENDIZAJE Y LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
Diversas investigaciones señalan que continúan persistiendo dificultades en el
aprendizaje de los estudiantes de la geometría, tal como exhiben los desempeños de los
estudiantes en pruebas estandarizadas. Resultados internacionales, reportados por el Estudio
Internacional de las Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMSS23), en Colombia, México
y Chile –analizados, respectivamente, por el Instituto Colombiano para el Fomento de la
Educación Superior (ICFES, 2010); por el Instituto Nacional para la Evaluación de la
Educación (INEE, 2011); y por la Agencia de la Calidad de la Educación (2011)— evidencian
que las actividades que con menor frecuencia realizaron los estudiantes, entre los seis a los
catorce años, se relacionan con el trabajo con figuras, líneas y ángulos para resolver
problemas.
En parte, esto puede deberse a debilidades en la enseñanza de la geometría, que
repercute en el aprendizaje de los estudiantes. En el caso de Colombia, el análisis realizado
por TIMSS (ICFES, 2010) señala que la enseñanza de la geometría aparece relegada a un
23 http://www.timss.org/
CAP. 5 LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
84
lugar de poca importancia: los profesores no consideran importante enseñarla, se le dedican
pocas horas de trabajo y los escasos contenidos geométricos trabajados, sobre todo a lo largo
de la educación primaria, se reiteran cada año, sin mayor cambio en su extensión y
complejidad (ICFES, 2010).
Este mismo informe también señala que profesores de primaria manifestaron recibir
una débil preparación para enseñar matemáticas, la cual está por debajo de la media
internacional. Igualmente, los profesores expresaron sentirse menos preparados para enseñar
tópicos de geometría y medición, en comparación con otros tópicos de las matemáticas
escolares, tales como números y presentación de datos.
Por ello, ese mismo análisis de TIMSS (ICFES, 2010) sugiere atender la formación de
profesores de educación primaria, y prestar atención a aspectos relacionados con la enseñanza
de la geometría en los primeros grados de escolaridad, recomendando que se preste especial
atención a tópicos relacionados con formas geométricas, las transformaciones geométricas y la
medición.
Teniendo en cuenta estas consideraciones respecto a los problemas en el aprendizaje y
la enseñanza de la geometría; a continuación discutimos algunos aspectos generales en la
enseñanza de esta disciplina en el nivel de la educación primaria.
5.2. ASPECTOS GENERALES SOBRE LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN
PRIMARIA
En el capítulo anterior discutimos la importancia de los conocimientos profesionales
específicos que los profesores requieren para la enseñanza. En ese sentido, consideramos que
para nuestro estudio es importante determinar algunos de los conocimientos geométricos que
son fundamentales para que el profesor de primaria pueda realizar su trabajo de enseñanza de
la geometría.
En el Capítulo 1 habíamos mencionado algunos aspectos generales sobre la enseñanza
de la geometría, que aquí profundizamos. Bkouche (2009) señala que la geometría se
constituyó históricamente alrededor de dos grandes problemáticas: la medición de magnitudes,
principalmente longitudes, superficies y volúmenes; y la representación plana de objetos del
espacio. Estos aspectos históricos de la geometría, se relacionan, según este autor, con la
existencia de dos aproximaciones predominantes en su enseñanza:
CAP. 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
85
Concebir la geometría como una ciencia empírica que se ocupa de estudiar las
propiedades de las figuras geométricas como los sólidos y las superficies.
Concebir la geometría como una ciencia hipotético-deductiva, lo cual se enfoca en
la construcción de razonamientos y pruebas.
Este autor plantea que estas aproximaciones de la geometría escolar no necesariamente
se excluyen, ni se restringen la una a la otra, sino que habitan en la “epistemología implícita”
del profesor.
Para el caso de la educación primaria, Bkouche (2009) considera que el saber
geométrico de los profesores corresponde a la geometría elemental, en la cual se concibe la
geometría fundamentalmente como una ciencia empírica y se estudian problemas relacionados
con la forma, la congruencia y la semejanza.
Otros autores como Pérez (2007) también han reflexionado sobre la naturaleza de la
geometría escolar; en particular, este autor ha señalado la importancia de los aspectos
“intuitivos” de la geometría que son comunes en la escuela primaria y secundaria. Estos
aspectos intuitivos se relacionan con características visuales de las figuras que muchas veces
se constituyen en un obstáculo para el estudio de la geometría desde un punto de vista
hipotético-deductivo.
Por otro lado, Bkouche (2009) –quien considera que los programas actuales de los
currículos, en particular el de su país (Francia), son “inconsistentes” con el desarrollo histórico
de la disciplina, y conllevan a exigencias inútiles en la enseñanza (p. 86) – propone algunos
principios fundamentales a tener en cuenta para la enseñanza de la geometría:
enfatizar en las características físicas de la geometría elemental (el estudio de las
formas),
reconocer la importancia del carácter hipotético-deductivo de la geometría (promover
la demostración como una estrategia para la comprensión de las ideas geométricas), y
abordar problemas centrales en el estudio de la geometría (congruencia, forma,
transformaciones e invariantes).
Otro aspecto que nosotros consideramos bastante central en la enseñanza de la
geometría, es el desarrollo del pensamiento espacial. Algunos autores (e.g. Gálvez, 1985;
Berthelot & Salin, 1992) se han enfocado en esto.
CAP. 5 LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
86
Gálvez (1985), en particular, investigó en qué medida la escuela podría ayudar a los
niños a ubicarse y orientarse en la ciudad. Como señalan Berthelot y Salin (1992), Gálvez
(1985) fue influenciada por la perspectiva piagetiana sobre el aprendizaje, y mostró que el
problema (de que los niños aprendieran a ubicarse y orientarse en la ciudad) no se podía
reducir a hacer simples recomendaciones o comentarios a los docentes para la enseñanza de la
geometría. De hecho, Gálvez (1985) mostró la complejidad del desarrollo del “pensamiento
espacial”. Para esta autora, el pensamiento espacial es aquel que le permite al sujeto adaptar
sus propios mecanismos de orientación, construcción y usar planos, mapas u otro tipo de
representaciones, aprender a hacer preguntas (e.g. cómo plantear una pregunta, a quién e
interpretar la información) y aprender a dar información e instrucciones a otro.
Gálvez (1985) explica que una de las variables que determina el desarrollo de las
nociones espaciales es el tamaño del espacio –es decir, sus dimensiones físicas, como su
“extensión”. De acuerdo a lo anterior, esta autora propuso un modelo conceptual que presenta
distintos “tamaños del espacio” de acuerdo a las distintas interacciones que el sujeto puede
llegar a tener con el espacio; éstos son: microespacio, mesoespacio y macroespacio:
El microespacio.
Corresponde a un sector del espacio próximo al sujeto y que contiene objetos
accesibles tanto a la visión, como a la manipulación […] En este sector el sujeto
puede mover el objeto o moverse a sí mismo prácticamente en cualquier dirección
[…] [El] trabajo escolar impone cierta reestructuración del microespacio al
introducir dos direcciones ortogonales para orientar el papel (y también otros
materiales) sobre el mesabanco.
(Gálvez, 1985; p. 49-50)
El mesoespacio.
Es una parte del espacio accesible a una visión global, obtenida a partir de
percepciones sucesivas, pero con desfases temporales mínimos. Contiene objetos
fijos, no manipulables. Como un ejemplo de mesoespacio, podemos citar el espacio
que contiene a un inmueble, que puede ser recorrido por el sujeto, tanto interior,
como exteriormente. […] En el mesoespacio, puesto que los objetos permanecen
fijos, funcionan como puntos de referencia para el sujeto (en nuestro ejemplo, los
muebles, puertas, paredes), mientras que el sujeto sí puede desplazarse, pero con
restricciones […]
(Gálvez, 1985; p. 52)
El macroespacio.
Corresponde a un sector del espacio, cuya dimensión es tal que solo puede abarcarse
a través de una sucesión de visiones locales, separadas entre sí por desplazamientos
del sujeto sobre la superficie terrestre. En el macroespacio es imposible obtener una
visón global simultánea del sector del espacio con el que se interactúa, a menos que
el sujeto se eleve en el aire […] Al igual que en el mesoespacio, en el macroespacio
CAP. 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
87
los objetos permanecen fijos, es el sujeto el que se desplaza. Para orientar sus
desplazamientos debe construir una representación global del macroespacio, ligando
sus visiones parciales para recuperar la continuidad del espacio recorrido.
(Gálvez, 1985; p. 54)
Gálvez (1985) explica que para poder tener una visión global del mesoespacio, de
manera cotidiana no tenemos la posibilidad de elevarnos en el aire; sin embargo, anota que “a
nivel técnico, la fotografía aérea es un recurso habitual para la cartografía” (p. 54). Este
ejemplo de Gálvez (1985) se relaciona con el papel de los recursos (en este caso la fotografía
aérea) que habíamos discutido en la sección 2.1.2.4. para el caso de la construcción de mapas
y planos; en esa sección, explicamos la relación dialéctica entre cartografía y actividades que
requieren orientación en el espacio, tales como la navegación. El ejemplo de Gálvez (1985) se
puede considerar una extensión de lo que habíamos presentado en esa sección, ejemplificando
cómo cartógrafos de distintas épocas usan los recursos, técnicas y datos a su disposición.
Resulta interesante relacionar el modelo del espacio propuesto por Gálvez (1985) con
las ideas de Houdement y Kuzniak (2006) sobre Espacios de Trabajo Geométrico (ETG)
presentadas en el apartado 4.2. Efectivamente ambos trabajos comparten una base
epistemológica respecto a la naturaleza de la geometría, y también comparten una base
didáctica al fundamentarse en algunas de las ideas de Brousseau (1986) – ver sección 3.4. Así
pues, en la Tabla 5.1 presentamos una breve comparación entre las ideas de Gálvez (1985) y
las de Houdement y Kuzniak (2006), relacionando cada “tamaño del espacio” con un
paradigma geométrico. Advertimos que esta comparación es parcial, enfocada únicamente en
algunos aspectos comunes entre ambos: el papel de la manipulación para el aprendizaje, la
importancia de la visualización para favorecer el razonamiento geométrico, y la necesidad de
realizar representaciones cada vez más sofisticadas de los objetos geométricos.
Esta comparación nos permite inferir que cuando un profesor promueve el paradigma
de la geometría elemental en su clase, lo más probable es que acuda a objetos geométricos
pertenecientes al microespacio y recursos acorde a éste (e.g., papel, tijeras, doblado, etc.); y
así, entre mayor sea el “tamaño del espacio” se requiere de un paradigma geométrico (y de
recursos) que dependa menos de la intuición y requiera más razonamiento. De allí podemos
concluir que cada “tamaño del espacio” requiere de recursos específicos que permitan la
realización de un trabajo adecuado de acuerdo al paradigma geométrico de referencia.
CAP. 5 LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
88
Tabla 5.1. Comparación entre elementos del modelo de espacio de Gálvez (1985) y de los
Espacios de Trabajo Geométrico de Houdement y Kuzniak (2006)
Tamaños del
espacio
(Gálvez, 1985)
Paradigmas
geométricos
(Houdement &
Kuzniak, 2006)
Comparación
Microespacio Geometría
(natural o)
elemental
Ambas ideas se relacionan directamente con la
experiencia del sujeto con su espacio “más próximo”, a
través de la visualización, su intuición y manipulación
que se puede hacer sobre objetos reales y tangibles.
Mesoespacio Geometría
axiomática natural
o modelizante
Aquí se enfatiza en cómo la experiencia del sujeto en el
“nivel” anterior le permite desarrollar representaciones
cada vez más sofisticadas de los objetos geométricos. A
este nivel es necesario el uso de ciertos símbolos para
denotar ideas geométricas.
Macroespacio Geometría
axiomática verbal o
formal
A este nivel se requiere que el sujeto desarrolle una
amplia capacidad de visualización y razonamiento.
Regresando al tema del uso de los recursos para el desarrollo del pensamiento espacial,
Gálvez (1985) recomienda el uso de materiales manipulativos y otros recursos para la
enseñanza de la geometría en primaria. De hecho, los profesores (sobre todo en primaria)
suelen tener una larga tradición en el uso de recursos (e.g. materiales concretos, etc.) en sus
clases, como lo han mostrado diversas investigaciones (e.g. Alsina, 1991).
Por otro lado, algunos recursos digitales son cada vez más populares (e.g. geometría
dinámica). Al respecto, es interesante observar la existencia, en muchos países e
internacionales, de repositorios de recursos digitales de matemáticas (para todos los niveles
educativos), así como de comunidades de profesores que crean y comparten ese tipo de
recursos (incluyendo de geometría e.g. www.geogebratube.org).
Diseños de los currículos en distintas partes del mundo han tomado en cuenta el papel
de los recursos digitales en la enseñanza de la geometría, y Colombia (país en el cual trabajan
los profesores que hicieron parte de este estudio) no es excepción. Al igual, las
consideraciones sobre pensamiento espacial de Gálvez (1985), también han sido tenidas en
cuenta para esos diseños, específicamente en el currículo colombiano. A continuación,
presentamos algunos aspectos del currículo de geometría en Colombia.
CAP. 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
89
5.3. EL CURRÍCULO DE GEOMETRÍA EN COLOMBIA
5.3.1. El sistema curricular y el desarrollo profesional en Colombia
Uno de los aspectos que hay que tener en cuenta, es que el currículo en Colombia no es
centralizado, sino que corresponde a cada Institución Educativa (conformada por varios
planteles de educación básica, secundaria y media) diseñar sus propios planes y programas de
estudio, de acuerdo con las necesidades de su comunidad y contexto. Para ello, las
instituciones deben guiarse por orientaciones curriculares establecidas por el Ministerio de
Educación Nacional (MEN) de Colombia. Esas orientaciones curriculares se estructuran en
varios documentos o “normas técnicas curriculares”, publicados por el MEN. Las principales
orientaciones curriculares para el área de Matemáticas son: los Lineamientos Curriculares de
Matemáticas (MEN, 1998); los Estándares Básicos de Competencias del Área de Matemáticas
(MEN, 2006) y los Derechos Básicos de Aprendizaje o DBA (MEN, 2017) .
En vista de que cada Institución Educativa diseña su propia propuesta educativa y
currículo institucional (i.e., planes de área), se promueve el desarrollo profesional de los
docentes. Por ello, las autoridades educativas colombianas vienen proponiendo, desde años
atrás, varias iniciativas para apoyar el desarrollo profesional de los profesores:
Ampliación de la oferta de programas de formación continua (sobre todo en el uso de
recursos digitales) y dotación de tecnologías digitales en las escuelas24.
Cambios y orientaciones curriculares25, incluyendo algunos que recomiendan el uso
de recursos digitales (Ministerio de Educación Nacional – MEN, 1998, 2017).
24 En los últimos años los profesores colombianos han tenido una oferta considerable de programas de
formación con énfasis en el uso de tecnologías digitales en la escuela (y en la clase de matemáticas),
tales como: “Computadores para Educar”, “Entre pares”, “Ciudadano Digital”, “Tecnologías digitales
para todos - Tit@”; así como la creación de Centros de Innovación Educativa Regional (CIER); entre
otras iniciativas, las cuales muchas veces están acompañadas con dotación de dispositivos como
computadores, tabletas, aulas digitales, etc. 25 Los últimos cambios curriculares fueron en noviembre de 2017, cuando el Ministerio de Educación
Nacional (MEN) lanzó “mallas de aprendizaje” (estructuras o planes curriculares) para niños de 1º a 5º
de primaria en las áreas de Lenguaje, Matemáticas, Ciencias Naturales y Ciencias Sociales. El
propósito de éstas es apoyar a los profesores dándoles orientaciones (curriculares y didácticas) sobre
qué deben aprender los niños en cada grado escolar y qué tipo de actividades pueden desarrollar en el
aula. Más información en http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/node/89839
CAP. 5 LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
90
Aplicación de pruebas censales para los estudiantes26 que constituyen referentes para
que las escuelas diseñen sus planes de mejoramiento.
Evaluaciones anuales del desempeño de los profesores.
Modificaciones en cómo se organizan las escuelas en una zona (e.g. fusión de
planteles educativos) con el objeto de promover el trabajo colaborativo de los docentes.
5.3.2. Conocimientos específicos de geometría delineados en las orientaciones
curriculares
En la actualidad, la enseñanza de la geometría aparece con renovado interés en los
currículos de matemáticas, tanto en Colombia, como a nivel internacional. Según la propuesta
de los “lineamientos” (MEN, 1998), y siguiendo algunas de las ideas de Gálvez (1985), el
aprendizaje de la geometría debe llevar al desarrollo del pensamiento espacial, el cual está
conformado por un conjunto de procesos que permiten construir y manipular representaciones
de los objetos geométricos, lo cual implica que el estudiante tenga la capacidad para encontrar
relaciones, realizar transformaciones, entre otras acciones. Para el desarrollo del pensamiento
espacial, MEN (1998) sugiere que, en los primeros años de escolaridad, los profesores
propongan actividades que fomenten el desarrollo de conceptos: por ejemplo, actividades
corporales o de interacción con el entorno, donde el estudiante se desplace en distintas
direcciones (e.g. camine en líneas rectas o curvas, lo que fomenta el desarrollo de los
conceptos de esas líneas), o toque superficies (para preparar el concepto de área).
Estas ideas sobre pensamiento espacial, que se expresan en MEN (1998), provienen de
los aportes de Vasco (1992) sobre “sistemas geométricos”; a continuación señalamos algunas
de las ideas de este autor al respecto.
Vasco (1992) propone que los sistemas geométricos contribuyen a explorar y
representar el espacio. Como parte del análisis que este autor hace de dichos sistemas
geométricos, él señala la existencia de una dicotomía entre lo “estático” y lo “dinámico” en la
naturaleza de la geometría que impacta su enseñanza. Por un lado, están las relaciones
“estáticas” en la geometría euclidiana: como el paralelismo, la perpendicularidad y
26 Las Pruebas Saber se aplican a todos los estudiantes escolarizados en grados 3º, 5º, 7º, 9º (cada tres
años) y 11º (cada año) en las áreas de Lenguaje, Matemáticas, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales y
Competencias Ciudadanas. Más información en http://www.icfes.gov.co/index.php#
CAP. 5. LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
91
demostraciones a partir de trazos y prolongaciones de las figuras. Por otro lado, está el aspecto
de “dinamismo”; al respecto Vasco (1992) cita el cuarto postulado euclidiano sobre la
igualdad de todos los ángulos rectos, el cual, según este autor, toma sentido si visualizamos la
rotación de una recta sobre otra, hasta que los cuatro ángulos sean iguales.
Esta dicotomía, entre lo estático y lo dinámico, según Vasco (1992) está vinculada con
la noción de transformación geométrica; y propone una visión (epistemológica y didáctica) de
las transformaciones como aplicaciones en el plano, las cuales se pueden enseñar propiciando
actividades (como las mencionadas en el currículo, discutidas arriba) como caminar en línea
recta, girar el cuerpo o el uso de distintos recursos como el doblado de papel.
En nuestro estudio, tuvimos en cuenta estas ideas sobre el “desarrollo del pensamiento
espacial”, propuestas en el currículo colombiano, porque nos permitieron analizar parte de los
conocimientos profesionales de los profesores al seleccionar recursos para su clase de
geometría en primaria.
5.3.3. Las tecnologías digitales para la enseñanza de la geometría según las
orientaciones curriculares
Otras orientaciones curriculares en Colombia, tales como MEN (2002), han
considerado el papel que juegan las tecnologías digitales en la enseñanza de las matemáticas.
En el caso de la geometría, MEN (2002) señala que, con el auge de las tecnologías digitales,
han surgido nuevas herramientas para el trabajo y enseñanza de la geometría, por lo que es
importante que los profesores las conozcan y utilicen. En particular, MEN (2002) resalta el
papel de los programas de geometría dinámica, los cuales pueden proporcionar potentes
posibilidades de representación y así, contextos de aprendizaje interesantes.
Para MEN (2002), los programas de geometría dinámica se basan en el estudio de las
figuras geométricas, las relaciones entre ellas y sus propiedades. A partir de la construcción de
figuras geométricas se pueden promover actividades con los estudiantes como la exploración y
manipulación de los objetos geométricos.
De hecho, Bressan, Bogistic y Crego (2000) señalan el creciente énfasis, en currículos
de matemáticas de muchos países del mundo, por integrar, a través del uso de tecnologías
digitales, el valor empírico e intuitivo de la geometría. Colombia no es excepción de esto:
MEN (2002) señala que los estudiantes que trabajen habitualmente con geometría dinámica
CAP. 5 LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN PRIMARIA
92
puedan avanzar en su comprensión y conocimiento de la geometría de una manera distinta a la
que seguirían si utilizan ambientes tradicionales.
Lo anterior implica que la necesidad de que los profesores tengan una formación
docente que les permita usar las tecnologías digitales en sus clases. Por ello, MEN (2002)
plantea, de manera general, que es importante la formación permanente y continuada de los
docentes, para que éstos aprovechen el potencial educativo que brindan las tecnologías
digitales. MEN (2002) también propone que esa formación docente debe estar centrada en la
reflexión de los profesores sobre su propia práctica. Esta sugerencia de MEN (2002) en
promover la reflexión de los profesores para el uso de tecnologías digitales, es un antecedente
importante para nuestro estudio, donde utilizamos la reflexión del profesor como un elemento
para comprender su práctica (ver Capítulo 7).
Teniendo en cuenta estas consideraciones respecto a la enseñanza de la geometría,
además de las presentadas en capítulos anteriores sobre los conocimientos profesionales de los
profesores (en particular aquellos involucrados en la integración de las tecnologías digitales en
su práctica), en el siguiente capítulo continuamos con el desarrollo de nuestro marco teórico
presentando algunos conceptos fundamentales del enfoque instrumental de Rabardel (1995) y
la Aproximación Documental de la Didáctica de Gueudet y Trouche (2009).
93
6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN
DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
En el capítulo anterior se presentó la idea de Espacio de Trabajo Matemático la cual
utilizamos en nuestra investigación para el análisis de los datos (como se verá en la parte de
Resultados y su Análisis). Otro referente teórico fundamental para nuestra investigación es el
de la Aproximación Documental de la Didáctica o ADD (Gueudet & Trouche, 2009), el cual
discutimos en este capítulo.
Comenzamos presentando dos antecedentes fundamentales de la ADD: el concepto de
“esquema” que alude a cómo los sujetos organizan y usan sus conocimientos en distintas
situaciones; y el Enfoque Instrumental de Rabardel (1995). Posteriormente discutimos otros
conceptos centrales en la ADD que son los de documento, génesis documental y orquestación.
6.1. EL CONCEPTO DE ESQUEMA
Como señalamos arriba, unos de los antecedentes fundamentales de la ADD (que
proviene del enfoque instrumental de Rabardel, 1995, el cual discutimos más abajo), es el
concepto de esquema. Este concepto ha sido ampliamente discutido en campos tan diversos
como la filosofía, la psicología y la didáctica. Por ejemplo, en un artículo de la Enciclopedia
Británica, se define al concepto de esquema, en las ciencias sociales, como:
estructuras mentales que un individuo utiliza para organizar el conocimiento y
guiar los procesos cognitivos y el comportamiento. Las personas usan esquemas […]
para categorizar objetos y eventos basados en elementos y características comunes y
así interpretar y predecir el mundo. La nueva información se procesa de acuerdo con
cómo encaja en esas estructuras mentales o reglas.
(Michalak, 2014, párrafo 1; nuestra traducción)
A continuación, profundizamos en el concepto de esquema, revisando algunas ideas de
Kant (1787/1928), Piaget (1977), Vergnaud (1990, 1998, 2013) y Rabardel (1995) sobre el
mismo. En general, es común aceptar que uno de uno de los primeros en hablar de este
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
94
concepto fue Kant (1787/1928), quien estudió la naturaleza de la “razón humana” en el
desarrollo de la ciencia.
Kant propuso la idea de esquema cuando buscaba analizar las maneras en cómo la
mente humana logra cierto entendimiento de los productos de la razón. Según Kant
(1787/1928), el entendimiento contiene elementos intelectuales y elementos sensibles. Kant
(1787/1928) señala que los esquemas corresponden a nuestras formas de entendimiento,
desarrollados mediante un proceso de “esquematización”.
En particular, Kant (1787/1928) definió esquema como algo que restringe el
entendimiento y que es la condición “formal y pura de la sensibilidad” (p. 346), añadiendo que
“esquematismo” es el proceso de entender con esos esquemas. Así, el proceso de
esquematización se refiere al proceso de entendimiento (filosófico) que se puede tener de los
conceptos puros, y que le permiten al sujeto avanzar en su camino hacia la construcción del
juicio, y a lo que Kant (1787/1928) llamó el “esquema trascendental” (p. 143).
Posteriormente, investigadores como Piaget (1977) continuaron profundizando en el
concepto de esquema desde sus perspectivas teóricas. Piaget (1977), en su indagación sobre la
génesis del conocimiento en el sujeto y en el desarrollo de su “teoría constructivista del
aprendizaje,” redimensiona el concepto kantiano de esquema basándose en la idea de
adaptación.
Piaget (1977, citado por Delgado, 1998, p. 25), define esquema de la siguiente manera:
Llamaremos esquemas de acciones a lo que, en una acción es de tal manera
transponible, generalizable o invariante de una situación a la siguiente, o dicho de
otra manera lo que hay de común en las diversas repeticiones o aplicaciones de la
misma acción (Piaget, 1977, p. 8-9).
Posteriormente, Vergnaud (1990) retoma la tradición piagetiana para profundizar en el
concepto de esquema desde el campo de la didáctica; para ello propone que no es posible
pensar en el concepto de esquema independientemente del de situación.
De acuerdo con Vergnaud (1990), una situación27 corresponde a un conjunto o
combinación de tareas relacionadas entre sí. Para Vergnaud, los sujetos aprenden a enfrentarse
27 El concepto de “situación” de Vergnaud (1990) no debe confundirse con el de “situación didáctica”
de Brousseau (1986) que habíamos presentado anteriormente (ver sección 3.1.2); este último se refiere
a un entorno didáctico (dirigido al estudiante) concebido explícitamente para el aprendizaje. Por su
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
95
a distintos tipos de situaciones, de manera que éstas moldean la acción y el pensamiento del
sujeto.
Por otro lado, para Vergnaud (1990), un esquema corresponde a una organización
“invariante” de la actividad del sujeto para enfrentarse a una situación específica. Aquí lo
invariante se refiere a la manera en cómo se organizan los conocimientos, no a la conducta del
sujeto. Así pues, los esquemas dependen de la situación, de la intención y competencia del
sujeto, por tanto, no es algo predefinido.
Este autor considera que un esquema no sólo organiza las acciones del sujeto sino
también el pensamiento o conceptualización subyacente; para ello, incluye la idea de
“proposición” (Vergnaud, 1998) con el propósito de modelar los procesos de
conceptualización. Una proposición es una declaración que puede tener valor de verdad para el
sujeto de acuerdo con la situación; las proposiciones están contenidas en los esquemas a
manera de “invariantes operatorias".
A continuación, presentamos los componentes de los esquemas, de acuerdo con
Vergnaud (1998, 2013):
Metas de acción, y posibles sub-metas, las cuales son ordenadas secuencial y
jerárquicamente por el sujeto. Estas metas incluyen posibles anticipaciones del sujeto
frente a una situación (e.g. anticipaciones respecto al objetivo de una tarea, sus efectos y
etapas intermedias de realización). Estas metas y sub-metas, generalmente corresponden
a la “parte intencional” del esquema.
Reglas de acción, que le permiten al sujeto tomar y controlar información de la
situación a la que se enfrenta, lo cual le posibilita generar sus secuencias de acciones.
Estas reglas de acción generalmente se expresan en la forma “si… entonces…”.
Invariantes operatorias, las cuales corresponden a los conocimientos (en términos
de proposiciones que pueden tener distinto valor de verdad) contenidos en el esquema y
que le permiten al sujeto reconocer y captar información sobre la situación. Estos
conocimientos no necesariamente son explícitos, ni conscientes para el sujeto. Las
invariantes operatorias son de dos tipos: conceptos-en-acto y teoremas-en-acto.
parte, Vergnaud considera la idea de situación en un sentido mucho más amplio, incluyendo mayor
diversidad de actividades, incluso las no-escolares.
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
96
Concepto-en-acto es conocimiento considerado por el sujeto como relevante
de acuerdo con la situación; es decir, corresponde a una proposición considerada
por el sujeto como pertinente. Es algo que le permite al sujeto categorizar y
seleccionar información; es decir, identificar objetos, propiedades y relaciones.
Sirve para analizar la situación e identificar los teoremas-en-acto.
Teorema-en-acto es una proposición considerada como verdadera por el sujeto
cuando éste actúa, según las particularidades de la situación. Sirve para inferir, de
la información disponible y relevante, las metas y reglas apropiadas.
Posibilidades de inferencia: se refiere a las posibles adaptaciones que puede realizar
el sujeto frente a una variedad de situaciones. Estas adaptaciones le permiten al sujeto
calcular posibles anticipaciones a partir de las informaciones (de la situación) y del
sistema de invariantes operatorios (conocimientos) de los que dispone.
Por su parte, Rabardel (1995) retoma las ideas de Piaget (1977) y Vergnaud (1990)
sobre esquema, para la construcción de su enfoque instrumental en el campo de la ergonomía
cognitiva. Este autor enfatiza que mientras el sujeto usa “instrumentos” (ver siguiente sección)
para enfrentarse a diversas situaciones, puede desarrollar esquemas de utilización. Estos
esquemas le permiten al sujeto organizar la estrategia de resolución de la situación; disponer
de los conceptos y teorías que subyacen a dicha estrategia; y movilizar los medios (técnicos y
conceptuales) que le permiten poner su estrategia en marcha. Los esquemas de utilización
corresponden a invariantes operatorias de acción; las cuales son asimilados y adaptadas a la
estructura cognitiva del sujeto (Rabardel, 1999).
Drijvers y Gravemeijer (2005) subrayan que los esquemas de utilización definidos por
Rabardel (1995, citado por Drijvers & Gravemeijer, 2005) emergen y evolucionan de manera
bidimensional relacionándose con aspectos técnicos y conceptuales, donde:
Las posibilidades y restricciones del artefacto moldean el desarrollo conceptual del
sujeto.
El uso que el sujeto hace del artefacto, lo modifica y personaliza.
Si bien, Rabardel (1995) reconoce que la construcción de esquemas de utilización
corresponde primordialmente a la actividad cognitiva individual del sujeto –una dimensión
“privada” del conocimiento—, también reconoce la dimensión “social” de dichos esquemas,
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
97
ya que considera que los esquemas se desarrollan a partir de la interacción del sujeto con su
medio colectivo, social y cultural.
En el siguiente apartado continuaremos profundizando en las ideas de Rabardel (1995)
y su enfoque instrumental.
6.2. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL: ANTECEDENTE DE LA APROXIMACIÓN
DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
Como se vio en el capítulo anterior, la irrupción de una gran cantidad y variedad de
herramientas (sobre todo digitales), en las aulas de clase, promovió el desarrollo de diversas
investigaciones en Educación Matemática como el enfoque instrumental en Educación
Matemática (Rabardel 1999, Guin & Trouche 2002), el cual fue desarrollada a partir de los
aportes de Rabardel (1995) en el campo de la ergonomía cognitiva.
A partir de un enfoque antropocéntrico (i.e. centrado en el sujeto), Rabardel (1995)
plantea que los instrumentos, por ser desarrollos de la historia social y cultural de la
humanidad, presentan una fuerte influencia en la actividad el sujeto. El punto de vista de
Rabardel (1995) retoma los aportes de Vigotsky (1985) sobre mediación, desarrollando lo que
él llama “mediación instrumental”, optando por una postura que contempla aspectos culturales
y técnicos para estudiar la relación entre las personas y tecnologías. Rabardel (1995) considera
que los seres humanos (su actividad y cultura) son fundamentales en el desarrollo de las
tecnologías; por tanto, señala que es importante desarrollar ideas teóricas (como la de
mediación instrumental) y metodológicas en diversos campos, más allá de sólo enfocarse en
los aspectos técnicos (de organización y funcionamiento) de las herramientas.
6.2.1. La mediación instrumental
Rabardel (1995) propone la idea de “mediación instrumental” como una noción teórica
capaz de explicar las complejas relaciones entre los seres humanos, las tecnologías y sus usos.
Al respecto, este autor considera la mediación instrumental como un concepto central para
pensar las modalidades por las cuales los instrumentos constituyen formas que posibilitan la
construcción del conocimiento.
El concepto de mediación instrumental (Rabardel, 1995) se fundamenta en las ideas de
Vigotsky (1985) sobre actividad, mediación y herramientas. Como resaltan Drijvers y
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
98
Gravemeijer (2005), un asunto central en el trabajo de Vigotsky es la idea que las herramientas
median entre la actividad humana y el ambiente. Las herramientas pueden ser artefactos
materiales (e.g. calculadoras o computadoras) o herramientas cognitivas (e.g. el lenguaje
natural o los símbolos algebraicos).
Posteriormente, Rabardel (1999) retoma teorías didácticas (e.g. la de contrato didáctico
de Brousseau 1986) y reconoce las posibilidades de las tecnologías digitales para la educación
matemática y opta por una mirada didáctica del papel que pueden jugar los instrumentos a
través de su mediación en el aprendizaje (y en la enseñanza).
Para ello, Rabardel (1999) pone el énfasis en el impacto de la mediación de los
instrumentos en la clase de matemáticas (ver Figura 6.1): Las principales mediaciones
instrumentales en el sistema didáctico se centran en las relaciones del instrumento con la
naturaleza transpuesta del saber matemático, con las acciones del profesor y con la actividad
matemática del estudiante.
De esta manera, la idea de mediación es un fundamento para el desarrollo de uno de
los elementos principales del enfoque instrumental: la génesis instrumental. Aspectos centrales
de esta idea se pondrán a consideración en el siguiente apartado.
Figura 6.1. Mediaciones instrumentales en el sistema didáctico (Rabardel, 1999. Nuestra
traducción.)
6.2.2. Las génesis instrumentales
La aproximación instrumental permite establecer una diferenciación fundamental entre
artefacto e instrumento (Trouche, 2003); así mismo, introduce la categoría de génesis
instrumental para dar cuenta del proceso de emergencia o “desarrollo” de un instrumento en el
sujeto.
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
99
Para Rabardel (1995), el artefacto se entiende como una herramienta material o
simbólica. Mientras que considera al instrumento como una entidad mixta construida y
apropiada por el sujeto. Así, un instrumento está compuesto por un artefacto (con sus
condiciones, restricciones, potencialidades y limitaciones), y sus respectivos esquemas de
utilización (entendidos como invariantes que forman parte de las competencias del usuario).
El artefacto es una herramienta provista por la cultura (i.e. un producto de la historia
social de la humanidad). Esta influencia cultural del artefacto hace que no sea posible
considerarlo como una entidad “neutra”; al contrario, el artefacto (dadas sus condiciones en
términos de restricciones) ejerce una fuerte influencia en la actividad del sujeto (el cual puede
usar, o no, el artefacto).
Estos dos aspectos se reflejan en la diferencia (y complementariedad) entre
instrumentación e instrumentalización, procesos centrales en el desarrollo de las génesis
instrumentales.
De acuerdo con Rabardel (1995), las génesis instrumentales dan cuenta de la
apropiación de un artefacto (por parte de un sujeto) y se construyen a partir de un proceso
doble, complementario y simultáneo de instrumentación e instrumentalización:
Los procesos de instrumentación son aquellos orientados hacia el sujeto. Por ejemplo,
la emergencia y evolución de esquemas de utilización; la asimilación y acomodación
dichos esquemas respecto a nuevos artefactos o situaciones, etc.
Los procesos de instrumentalización están dirigidos hacia el artefacto; corresponden a
la selección, agrupación, producción, modificación e institución de funciones, etc.
Trouche (2003, 2004) presenta una visión diagramática (que nosotros adaptamos en la
Figura 6.2) de la génesis instrumental de Rabardel, haciendo énfasis en que es un proceso que
se desarrolla a lo largo del tiempo y en situaciones o contextos específicos.
Aunque la génesis instrumental es considerada frecuentemente como un proceso
personal, Trouche (2004) enfatiza en que los esquemas de utilización también pueden
considerar aspectos colectivos (e.g. cuando un profesor comparte con sus estudiantes sus
modos de uso de un instrumento). Dichos aspectos colectivos de las génesis instrumentales
dependen, en buena medida, del uso didáctico que el profesor hace de los instrumentos que
integra a la clase (y las maneras en cómo lo hace).
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
100
Figura 6.2. Génesis instrumental (Adaptado de Trouche, 2003, 2004)
Esa preponderancia del uso didáctico que el profesor hace de los instrumentos en la
clase también es considerada por Rabardel (1999) cuando llama la atención sobre la
integración de artefactos a la clase: Rabardel explica que los artefactos no deben solamente ser
introducidos durante el proceso de enseñanza, sino que el profesor debe contemplar a priori
qué artefactos pueden llegar a desarrollarse colectivamente como instrumentos de actividad
matemática en la clase.
Consideraciones como las anteriores, han promovido el estudio de las génesis
instrumentales en Educación Matemática. En general, los investigadores se han centrado en el
rastreo de las huellas de los fenómenos de instrumentación e instrumentalización y su
vinculación con asuntos centrales de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau (1986),
tales como el contrato didáctico. Este tipo de estudios tiene como asuntos de interés el análisis
de nuevos fenómenos didácticos relacionados con el uso de recursos digitales en la enseñanza
y el aprendizaje de las matemáticas.
En particular, algunas investigaciones (e.g. Artigue, 2002) se han centrado en cómo se
lleva a cabo la integración de instrumentos en las clases de matemáticas y los retos a los que se
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
101
enfrentan los docentes en dicho proceso (i.e. las dificultades de los profesores para realizar una
integración efectiva de los instrumentos).
Es a partir de las investigaciones que empezaron a ocuparse del estudio del trabajo del
profesor, combinado con la aproximación instrumental, que surge la Aproximación
Documental de la Didáctica (Guin & Trouche, 2002), la cual discutiremos a continuación.
6.3. EL ESTUDIO DEL TRABAJO DOCUMENTAL DEL PROFESOR
La Aproximación Documental de la Didáctica (ADD), propuesta por Pepin, Gueudet y
Trouche (2009), y discutida más recientemente en Trouche, Gueudet y Pepin (2018), estudia el
trabajo documental del profesor; es decir, analiza el conjunto de actividades profesionales que
realiza el profesor en interacción con recursos. De allí que, a través de la ADD, se investiguen
y lleven a cabo actividades tan diversas como: el diseño de recursos; la selección de recursos a
usar en la clase; la adaptación y/o re-diseño de recursos de terceros; la disposición y gestión
didáctica de los recursos, y la orquestación de la clase; el trabajo colaborativo entre docentes;
las reflexiones de los docentes sobre su práctica; etc.
Este trabajo documental, o “documentación” del profesor, se desarrolla en ámbitos
profesionales del profesor muy susceptibles a ser modificados por la organización del sistema
educativo, el currículo y la evaluación. La idea del trabajo documental también puede
representarse como la “valija o maleta” (o conjunto) de recursos, de usos y de conocimientos,
que desarrolla el profesor para sus clases:
La “valija documental” … se basa en una metáfora: el producir un documento de
enseñanza es como un viaje. Para prepararse para su viaje, el maestro reúne recursos,
los trabaja, los enriquece en cada etapa.
(Trouche, 2014, párrafo 2).
Según Trouche (2010), la ADD se fundamenta en las siguientes teorías didácticas:
La teoría de las situaciones didácticas, donde se destacan las ideas de situación y
medio (Brousseau, 1986).
La teoría antropológica de lo didáctico, donde se destaca la noción de institución y
praxeologías (Chevallard, 1992).
La teoría de los campos conceptuales, donde se destaca la noción de esquema
(Vergnaud, 1996).
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
102
Trouche (2010) también señala que el origen de la ADD se puede relacionar con dos
aspectos fundamentales:
Una conceptualización de recurso como cualquier cosa (material o simbólica) que
constituye, tomando las ideas de Adler (2000, citada en Trouche, 2010), un camino –un
“re-curso”— en la práctica del profesor, con la connotación de “volver a cursar”.
Los estudios sobre las interacciones entre el profesor y el currículo, como los
desarrollados por Remillard (2005, citada en Trouche, 2010) en los que se resalta el
papel del contexto (e.g. estructura del sistema educativo, políticas educativas,
necesidades educativas de los estudiantes) y el de los libros de texto (y sus diferentes
usos) en la práctica de los profesores.
Para continuar profundizando sobre las ideas centrales de la ADD, a continuación
presentaremos algunos de sus conceptos e ideas fundamentales que utilizaremos el desarrollo
de nuestro marco teórico, tales como los de: “documento”; génesis documental, sistema de
recursos; y sistema documental.
6.3.1. Conceptualizando algunas ideas clave de la ADD
Como habíamos señalado anteriormente (en la sección 2.2.2), entendemos por recurso,
todo aquello que los profesores usan en su trabajo (como señalan Gueudet & Trouche, 2009).
Por ejemplo, en la ADD, consideramos recursos a: los lineamientos y orientaciones
curriculares; materiales, software y tecnologías que se usen en el aula o para la enseñanza y
aprendizaje; hojas de trabajo o de talleres; planeaciones de clase y cuadernos de anotaciones
de los docentes; discusiones con colegas; etc. La naturaleza material y/o simbólica de los
recursos hace que su diversidad sea amplia; y su “orquestación”, un proceso muy complejo.
El concepto de orquestación (Trouche, Gueudet & Pepin, 2018) hace uso de la
analogía del profesor como director de orquesta, y, se refiere a la implementación de una
configuración didáctica en la clase, lo cual incluye la disposición, organización y manejo
didáctico que el profesor hace de los artefactos. Este concepto lo discutiremos con mayor
profundidad en el siguiente apartado.
Otro concepto clave en la ADD, es el de documento, el cual resulta de la interacción
del profesor con los recursos, a través de su trabajo documental (Gueudet & Trouche, 2011).
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
103
Se considera que un documento es aquello que da sentido al uso de recursos por parte de los
profesores (i.e. planes de clase, notas de campo, reflexiones de los profesores, etc.).
De manera análoga a cómo se define “instrumento” en la génesis instrumental de
Rabardel (1995) (ver sección 4.2.1), Gueudet y Trouche (2009) consideran que un documento
lo construye el profesor (es decir, no es algo que se le proporcione) a través de un proceso de
génesis documental (ver siguiente sección) y está constituido por uno o varios recursos junto
con sus respectivos esquemas de utilización. Estos esquemas de utilización surgen cuando el
profesor usa los recursos y pone en práctica sus conocimientos profesionales involucrados. Al
respecto Gueudet y Trouche (2011) señalan que los esquemas de utilización son estructuras
cognitivas que orientan el uso de los recursos.
Otro concepto fundamental en la ADD (Gueudet & Trouche, 2009) es el de sistema.
Retomando ideas de Rabardel y Bourmaud (2005), Gueudet y Trouche (2009) sostienen que
los documentos desarrollados por los profesores en su actividad profesional constituyen un
sistema. En esta perspectiva, se consideran dos sistemas fundamentales en el trabajo de los
profesores: sus sistemas de recursos y sus sistemas documentales.
El sistema de recursos (Gueudet & Trouche, 2009, 2010) corresponde al conjunto
(más o menos organizado) de recursos que el profesor usa para realizar su realizar su trabajo;
es un sistema dinámico que evoluciona (y se modifica) a lo largo del tiempo y está
estrechamente vinculado al sistema de conocimientos profesionales o experiencia documental
(Wang, 2018) del profesor. El sistema de recursos de un profesor generalmente está
organizado según jerarquías que el mismo profesor elabora (e.g. recursos para enseñar temas
específicos o recursos para preparar la clase).
El sistema documental de un profesor está conformado por su sistema de recursos
junto con sus respectivos esquemas de utilización (Gueudet & Trouche, 2009). Así pues, los
documentos elaborados por el profesor en su práctica, mediante procesos de génesis
documental –ver sección 4.2.3— se desarrollan según las particularidades de su actividad
profesional, en situaciones y contextos institucionales específicos (Trouche, 2018).
6.3.2. Las génesis documentales
Pepin, Gueudet y Trouche (2013) introducen una relación dialéctica entre recursos y
documentos a través de un proceso de génesis documental, entendida como el proceso
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
104
(extenso y continuo a lo largo del tiempo) de constitución de un documento a partir de los
recursos disponibles (ver Figura 6.3).
Estos autores precisan que las génesis documentales proporcionan un documento para
enseñar, el cual evoluciona en la medida en que se refinan los conocimientos profesionales de
los profesores y que posteriormente influyen en génesis adicionales. De esta manera, como se
ve en la Figura 6.3, en una génesis documental, existe una interacción continua entre los
conocimientos del profesor y el uso que hace (y su apropiación) de los recursos, definiéndose
dos procesos de instrumentación y la instrumentalización, análogos a, y basados en, los de la
génesis instrumental de Rabardel (1995). Al respecto, Trouche, Gueudet y Pepin (2018)
precisan que, en la génesis documental:
Los procesos de instrumentación son aquellos orientados hacia el maestro; y dan
cuenta de la emergencia y evolución de sus esquemas de utilización sobre los recursos.
Los procesos de instrumentalización están dirigidos hacia el recurso (a manera de
artefacto) y corresponden a la selección, modificaciones y adaptaciones que el profesor
hace del recurso para ser usado.
Figura 6.3. Génesis documentales (Adaptado de Gueudet & Trouche, 2009, p. 206 . Nuestra
traducción.)
En la aproximación documental, las génesis se desarrollan a través de diferentes
contextos para el mismo objetivo; ellas son procesos en curso: un documento en particular
produce recursos que pueden estar comprometidos en un trabajo de documentación adicional.
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
105
Así, los profesores (de manera individual o colectiva) pueden desarrollar sistemas de recursos,
así como sistemas de documentación.
En este orden de ideas, se destaca la importancia de estudiar los procesos de
documentación tanto individual como colectiva. En relación a este aspecto colectivo, Gueudet
y Trouche (2010) enfatizan la importancia de considerar la labor colectiva de los profesores y
su interacción con conjuntos de recursos. Precisamente, uno de los méritos que se reconocen al
trabajo de Gueudet y Trouche (2010), es que abordan de manera fundamentada el asunto del
“uso colaborativo” de los recursos.
De esta manera, las génesis documentales individuales se complementan con las
génesis colectivas en comunidades de práctica. Esto tiene, por tanto, consecuencias para el
desarrollo profesional de los docentes. Más aún, ciertas condiciones de colaboración pueden
permitir que los profesores, como parte de su trabajo documental, se conviertan en diseñadores
activos de propuestas de enseñanza. De hecho, Gueudet y Trouche (2010) proponen adoptar
una perspectiva que considere que los profesores no son usuarios pasivos, sino “usuarios
creativos” – i.e. diseñadores– que comparten sus propios recursos.
Otro aspecto del trabajo documental (y que también influye en las génesis
documentales) es el ya señalado anteriormente de “orquestación” de la clase, y de los recursos
dentro de ésta. De esto hablamos a continuación.
6.3.3. La orquestación de la clase
El concepto de orquestación ha ido evolucionando a lo largo del tiempo. Como señala
Trouche (2018), existen dos grandes momentos para entender (complementariamente) el
concepto de orquestación. En Trouche (2002), la orquestación se refería a la organización,
disposición y uso didáctico de los artefactos en la clase, con el propósito de acompañar las
génesis instrumentales de los estudiantes. Trouche (2018) señala que, posteriormente, el
concepto de orquestación se enriqueció con los aportes de Drijvers (2010) quien considera el
papel activo del profesor y de los estudiantes en la clase, e introduce la idea de didactical
performance (o desempeño didáctico) para explicar las distintas modificaciones, ajustes y
cambios a las configuraciones didácticas, que se hacen en respuesta a los sucesos de la clase.
En todo caso, el concepto de orquestación siempre se entiende relacionado con la
gestión didáctica del profesor de los elementos de su clase: sus participantes, los recursos
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
106
dispuestos y el tipo de situación que se le propone a los estudiantes. Como señala Trouche
(2002), para la orquestación, hay cuatro elementos fundamentales:
Un conjunto de individuos: generalmente un profesor (o un equipo de profesores) y
un grupo de estudiantes.
Un conjunto de objetivos: los cuales se relacionan con la intencionalidad de la clase,
el tipo de tareas a desarrollar y las condiciones bajo las cuales se desarrolla el trabajo.
Dichos objetivos se encuentran generalmente orientados por las necesidades
curriculares.
Una configuración didáctica: esta categoría engloba la estructura general del
dispositivo. Es una configuración flexible de acuerdo con el diseño de las secuencias
didácticas que se pretenden movilizar en el contexto de la clase.
Un conjunto de modos de aprovechamiento de dicha configuración: éstos
incluyen lo señalado por Chevallard (1992, citado en Trouche, 2002), de una
coordinación entre los recursos físicos (e.g. el hardware), los recursos didácticos (e.g.
software didáctico) y un sistema de aprovechamiento didáctico.
De esta manera, a través de la orquestación se pueden orientar los objetivos, la
organización y la disposición de los artefactos. Trouche (2004) considera especialmente el
papel de los artefactos en la orquestación; señalando que la orquestación es más que una suma
de artefactos en la clase, dado que la introducción didáctica de artefactos promueve el
desarrollo de nuevos instrumentos, y, por tanto, impacta la configuración didáctica propuesta,
el trabajo del profesor y el de los estudiantes.
Drijvers y otros (2010) también resaltan que una intención explícita de la orquestación
es la de propiciar la emergencia de instrumentos (a través de génesis instrumentales) que
medien la actividad matemática de los estudiantes. Por su parte, Rabardel (1999) señala que
para promover las génesis instrumentales en la clase es importante tener en cuenta dos
aspectos fundamentales: por un lado, los tiempos de construcción de conocimientos
matemáticos; y, por otro, los tiempos de evolución de las génesis instrumentales individuales y
colectivas de los estudiantes (Rabardel, 1999).
De hecho, Trouche (2004) considera que, mediante la orquestación, se movilizan en la
clase, no solo aspectos individuales, sino también aspectos de carácter social y colectivo, que
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
107
influyen de manera directa en los procesos de génesis instrumental de los estudiantes. Es por
lo anterior que Drijvers y otros (2010) consideran necesario profundizar en el análisis de tres
elementos de la orquestación: la configuración didáctica, los modos de explotación y el
desempeño didáctico (didactical performance). Como resultado, esos autores identificaron que
existe un repertorio de orquestaciones instrumentales: unas centradas en los estudiantes y otras
centradas en el profesor.
De acuerdo a las anteriores consideraciones, Trouche (2002), considera que el
concepto de orquestación constituye una herramienta teórica importante para investigar el
trabajo de los profesores, particularmente, las maneras cómo éstos organizan y disponen la
clase, incluyendo su trabajo con recursos variados.
De igual manera, muchas investigaciones actuales se basan en la Aproximación
Documental de la Didáctica para estudiar el trabajo documental de los profesores, y cómo
éstos interactúan con los recursos. En el siguiente apartado presentamos algunas de las líneas
de investigación que se han desarrollado usando la ADD.
6.3.4. Líneas de investigaciones usando la ADD
A partir de una revisión desarrollada por Gueudet y Trouche (2010), estos autores
identificaron una variedad de perspectivas de las investigaciones que usan ADD, las cuales
son:
El seguimiento de las génesis documentales de los profesores, para entender su
práctica y desarrollo profesional.
El estudio del papel de los colectivos (e.g. escuelas, asociaciones y/o comunidades de
práctica de profesores, etc.) en el desarrollo de las génesis documentales de los
profesores.
El análisis de las circunstancias bajo las cuales los profesores pueden ser diseñadores
de recursos, o participar en procesos de concepción colaborativa de recursos.
El estudio de los recursos en términos de: su contenido matemático y pedagógico; su
diseño; y cómo son organizados y orquestados esos recursos por los profesores.
El análisis del impacto del uso de recursos sobre el aprendizaje de los estudiantes.
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
108
En términos generales, Gueudet y Trouche (2010) concluyen que las investigaciones
que usan la ADD proporcionan miradas diferentes para analizar las interacciones entre los
profesores y los recursos, y las implicaciones de estas interacciones para el desarrollo
profesional de los profesores.
En relación a investigaciones en torno a la integración en la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas de recursos digitales, en particular, Bueno-Ravel y Gueudet (2008) señalan
que muchas de ellas se han ocupado de asuntos como:
La emergencia de nuevos recursos: e.g. los recursos digitales y en línea.
El uso que hacen los profesores de los recursos digitales.
Los fenómenos colectivos de génesis, usos y concepción de recursos digitales para la
enseñanza de las matemáticas.
Respecto a los recursos en línea, Bueno-Ravel y Gueudet (2008) señalan que, debido a
que la producción de dichos recursos se expande mundialmente, es importante reconocer,
comprender y anticipar las diferencias y vínculos de éstos recursos con los que se usan
habitualmente en la escuela. Sus investigaciones han priorizado el estudio de las bases de
datos o repositorios de recursos en línea, las calculadoras gráficas y los tableros digitales. Este
tipo de investigaciones proponen que la acción didáctica sea en términos del diseño y
concepción de nuevos recursos y la evaluación de los recursos existentes.
En todo caso, consideramos que las líneas de investigación que presentamos
anteriormente, convergen en la idea (que ya habíamos abordado previamente en el Capítulo 3)
de que la proliferación de recursos digitales en la era digital implica cambios en el trabajo
documental de los profesores en relación al uso de recursos. Lo anterior, requiere que, de
alguna manera, el profesor ponga en juego distintos conocimientos profesionales según su
contexto de enseñanza, tal como señalamos anteriormente en el capítulo anterior.
Por tanto consideramos importante relacionar las ideas de la ADD con las teorías y
modelos de conocimientos de los profesores, en particular con algunas ideas del modelo de los
Espacios de Trabajo Matemático (ETM) de Kuzniak y Richard (2014) y que revisamos en la
sección 4.2. A continuación presentamos una reflexión sobre esto último, intentando
identificar posibles complementariedades y conexiones teóricas entre ideas del modelo de los
ETM (particularmente la de paradigmas geométricos) con ideas de la ADD.
CAP. 6. EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
109
6.4. HACIA UNA ARTICULACIÓN, PARA NUESTRO ESTUDIO, ENTRE ADD Y ETM
Nos interesa realizar una articulación, para nuestro estudio, entre la Aproximación
Documental de la Didáctica (ADD) y los Espacios de Trabajo Matemático (ETM): En
particular, queremos articular los aspectos epistemológicos sobre la geometría escolar y su
enseñanza (que resalta el modelo de los ETM), en el análisis de las génesis documentales de
los profesores (particularmente, respecto a los esquemas que los profesores movilizan mientras
seleccionan recursos digitales para enseñar geometría en sus clases de primaria). Para dicha
articulación, también identificamos ideas teóricas que se intersectan entre ambos marcos
teóricos o que son complementarias.
Un primer aspecto interesante es que, tanto ETM, como ADD, se basan en algunas
ideas de la “didáctica fundamental” de Brousseau (1986). Aunque esta fundamentación no es
igual en cada marco teórico28, esta conexión nos interesa en nuestro estudio porque nos
permite conectar dos elementos en nuestro análisis: el papel de los aspectos epistémicos (en el
sentido de Brousseau, 1986) con el trabajo documental del profesor, en particular, en la
selección de recursos digitales para la enseñanza de la geometría.
Otro aspecto compartido entre ambos marcos teóricos es que toman en cuenta, de
manera explícita, el papel de los instrumentos para lo cual cada uno retoma el trabajo de
Rabardel (1995). Gueudet y Trouche (2009) explican que usan las ideas de artefacto,
instrumento y génesis instrumental para fundamentar, a manera de analogía sus
conceptualizaciones sobre recurso, documento y génesis documental. En el modelo de los
ETM, Kuzniak y Richard (2014) consideran que también a las génesis instrumentales,
considerando que es a través de éstas que se pueden hacer operatorios los artefactos en
procesos como la construcción (geométrica).
Un tercer aspecto compartido entre ADD y ETM, es la idea de trabajo, entendido éste
como un conjunto de actividades orientadas a un propósito (Nardi, 1966):
En el caso de la ADD, el concepto de trabajo se explicita en la noción de “trabajo
documental del profesor”, la cual Trouche, Gueudet y Pepin (2018) definen como las
28 Por un lado, en ETM se retoman ideas de Brousseau (1986) sobre el papel de las consideraciones
epistemológicas (respecto a la naturaleza del saber a enseñar) en los estudios didácticos; por otro lado,
en la ADD, se retoman conceptos más puntuales de Brousseau (1986), como el de situación o milieu
para estudiar aspectos del trabajo documental de profesor.
CAP. 6 EL ENFOQUE INSTRUMENTAL Y LA APROXIMACIÓN DOCUMENTAL DE LA DIDÁCTICA
110
múltiples y variadas interacciones del profesor con los recursos. Para estos autores, el
trabajo documental del profesor se desarrolla a partir de las génesis documentales de
éste. Para analizar el desarrollo de las génesis documentales, Gueudet y Trouche (2009)
retoman el concepto de esquema de Vergnaud (1990).
En el caso de ETG/ETM, la noción de trabajo, propuesta por Houdement y Kuzniak
(2006), contempla objetos (empíricos y teóricos), instrumentos, y finalidades. Así, las
finalidades (didácticas) del trabajo del profesor están definidas por la elección del
paradigma geométrico que le sirve de marco referencial teórico (ETM de referencia).
Estas ideas de Houdement y Kuzniak (2006) sobre “trabajo” se acercan al concepto de
“trabajo documental del profesor”, ya que contemplan los instrumentos como recursos
para el profesor, cuyo uso se hace con intenciones explícitas en un contexto
determinado.
De todo lo anterior, la articulación entre esquema y paradigma, es de los aspectos más
importantes para nosotros; de allí surge una hipótesis de trabajo para nuestra investigación
(ver sección 8.1): consideramos que el modelo de ETM de Kuzniak (2011) puede aportar
elementos epistemológicos, sobre la geometría escolar, útiles para el análisis del proceso de
selección de recursos por los profesores. Más específicamente, consideramos que es posible
utilizar la idea de “paradigma” del modelo ETM, para analizar las invariantes operatorias
contenidas en los posibles esquemas (ver sección 6.1) de selección de recursos digitales por
parte de los profesores para su clase geometría.
Es por lo anterior que, en nuestro trabajo, nosotros retomamos el modelo de los
Espacios de Trabajo Matemático (ETM) que propone Kuzniak (2011) como una ventana a la
comprensión del trabajo documental del profesor en su selección de recursos para la
enseñanza de la geometría.
Además de los aspectos epistemológicos que abordamos en esta sección, hay otros
elementos del trabajo documental del profesor que nos interesa discutir, entre ellos, la
reflexión del profesor. En el siguiente capítulo presentamos algunas ideas teóricas respecto a
la reflexión del profesor que nos fueron útiles para nuestra investigación, como se verá en la
Parte III de Aspectos Metodológicos.
111
7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
En este capítulo nos interesa discutir algunas ideas sobre la reflexión del profesor, la
cual es un elemento importante para estudiar el trabajo documental de éste. De hecho, como se
verá en secciones posteriores de este escrito (e.g. ver capítulo 9 en la Parte III de Aspectos
Metodológicos), en nuestro estudio desarrollamos y utilizamos una técnica de introspección
para la cual utilizamos conceptos, que discutimos ahora, relacionados con la reflexión del
profesor.
La reflexión del profesor es un elemento que le permite a éste orientar, adaptar y
enriquecer su interacción con los recursos que usa. Gueudet y Trouche (2012) explican que
fomentar la “mirada retrospectiva” del profesor es una de las características de la
“investigación reflexiva”, la cual se ocupa explícitamente del estudio de las interacciones entre
los profesores y los recursos que usan.
Antes que nada, queremos puntualizar que la mayor parte de la literatura sobre la
reflexión del profesor se concibe para la formación y desarrollo profesional de los profesores;
sin embargo, en nuestra investigación no estamos interesados en formar a los profesores, sino
en estudiar su práctica. Aún así, dicha literatura es útil para analizar el pensamiento reflexivo
del profesor como una expresión de sus conocimientos profesionales.
Consideramos que el desarrollo del pensamiento reflexivo (en el sujeto) es un tema
importante a discutir, previo a presentar algunas ideas teóricas sobre la reflexión del profesor.
A continuación, revisamos algunas ideas sobre la importancia del pensamiento reflexivo en el
desarrollo del individuo.
7.1. EL PROCESO DE REFLEXIÓN EN EL INDIVIDUO
La reflexión constituye una de las maneras en que construimos conocimientos. Freire
(1966/1997) considera que las personas se desarrollan plenamente a través de las palabras, el
CAP. 7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
112
diálogo y la reflexión; y es justamente el diálogo el que posibilita un encuentro entre las
personas para transformarse a sí mismas y transformar sus realidades.
Distintos autores han abordado el tema de la reflexión desde una perspectiva cognitiva.
Dewey (1910/1989) se preguntaba por las maneras cómo pensamos los sujetos y acerca del
papel de la reflexión en esos procesos de pensamiento; por su parte, Piaget (1975/1985)
indagaba sobre el desarrollo de la inteligencia, y para esto propuso el concepto de “abstracción
reflexiva” como un elemento central en el aprendizaje.
Dewey (1910/1989) planteaba que el pensamiento reflexivo es una de las funciones
principales de la inteligencia y un producto muy refinado de la cognición. Coincidimos con
Dewey en que el pensamiento reflexivo permite que los sujetos reconsideren sus ideas previas
dándole “vueltas en su cabeza y tomárselo en serio con todas sus consecuencias” (Dewey,
1989; p. 21) .
Una de las características del pensamiento reflexivo de Dewey (1910/1989) es su base
en la premisa de que el individuo busca entender los fenómenos a través de la búsqueda de
relaciones cada vez más agudas y precisas.
Esta idea se acerca a los planteamientos de Piaget (1975/1985) quien estudió la
cognición tomando en cuenta la idea de abstracción reflexiva o reflexiblidad. Con una mirada
desde la psicología del desarrollo (y el aprendizaje), Piaget (1975/1985) propuso que la
reflexibilidad consiste en la capacidad de la persona para construir conocimiento a partir de
comprender y hacer inferencias respecto a las relaciones entre los objetos.
De esta manera, podemos entender que la abstracción reflexiva se presenta como una
actividad cognitiva compleja que posibilita la construcción coordinada (muchas veces
consciente) mediante la cual se integran nuevos conocimientos a los ya construidos (Piaget,
1975/1985). Así, la abstracción reflexiva no se basa en acciones simples, sino en acciones
coordinadas que implica el conocimiento de las acciones mismas y sus relaciones con otras
acciones o con sus consecuencias.
En la siguiente sección abordamos la reflexión del profesor y la idea de reflexión-en-
la-acción propuesta por Schön (1992).
CAP. 7 LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
113
7.2. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
7.2.1. El pensamiento reflexivo según Dewey
Dewey (1910/1989) sostenía que la reflexión constituye una fuerza transformadora de
la sociedad (y de la educación), asumiendo los profesores como profesionales reflexivos
capaces de analizar su práctica y aprender de ella.
Según este autor, el pensamiento reflexivo requiere desarrollarse a partir de dos
elementos fundamentales: un estado de duda (análisis de la realidad) y un estado de búsqueda
(investigación) que conlleva a que el sujeto desarrolle una postura reflexiva (idea
posteriormente refinada por Perrenoud, 2004). Para el desarrollo del pensamiento reflexivo,
Dewey (1910/1989) señaló ciertas actitudes profesionales que propician la reflexión.
Las actitudes profesionales que Dewey (1910/1989) propuso para propiciar la reflexión
en el profesorado son las siguientes tres:
Apertura intelectual, o dicho coloquialmente “mantener una menta abierta”. Implica
que el profesor sea capaz de escuchar a otras personas (colegas, estudiantes, padres de
familia) y comprender las situaciones desde distintas perspectivas.
Responsabilidad intelectual. Se refiere al principio de que el profesor, como actor
social, debe considerar las consecuencias de sus acciones (en el aula, en su escuela o
comunidad). También es un llamado a reconocer los efectos sociales y políticos de sus
actuaciones y las de las instituciones o grupos a los cuales pertenece. Perrenoud (2004)
se refiere a esto bajo la idea de implicaciones críticas de la práctica reflexiva.
Entusiasmo. Se refiere a la capacidad de prestar atención a posibles alternativas que
permitan transformar las realidades de la escuela: Ser consciente de que mantener una
apertura y responsabilidad intelectual son elementos intrínsecos de la profesión docente.
Dewey (1910/1989) también reconoció que en la reflexión del profesor hay un aspecto
social, aludiendo a la influencia de “tradiciones” (costumbres y los métodos usualmente
utilizados) en la escuela y en la práctica de la enseñanza. Es decir, el contexto social e
institucional en el que se desenvuelve el profesor afecta su práctica y, por ende, también
influencia su reflexión.
CAP. 7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
114
7.2.2. Influencia del contexto en la práctica del profesor y en su reflexión
Según Freire (1966/1997), la educación es una práctica social que se desarrolla en
escenarios institucionales específicos, por tanto, está condicionada por el medio social y las
historias personales de quienes hacen parte de ella.
Otros autores, también se han interesado en la influencia del contexto institucional en
la enseñanza, particularmente, en la enseñanza de las matemáticas. Chevallard (1994), y
posteriores investigadores (e.g. Bosch & Gascón, 2004), definen la dimensión institucional
como el conjunto de condiciones y restricciones que determinan el trabajo del profesor.
Chevallard (1994) señala que esta “dimensión institucional” en la cual el profesor desarrolla
su trabajo puede llevar a condicionar y potenciar su práctica.
Y como señaló Dewey, las condiciones sociales tienen injerencia y validan el
pensamiento y acciones del profesor (Dewey, 1910/1989), por lo que el contexto social
enmarca la reflexión. Por otro lado, Freire (1966/1977) señala que la reflexión del profesor se
desarrolla en contextos culturales, sociales e institucionales específicos, dependiendo de los
grupos colectivos en los que cada profesor participa. Así, tanto Dewey (1910/1989) como
Freire (1966/1997) señalan las implicaciones del contexto social para el desarrollo de su
pensamiento reflexivo; y el papel de la situación específica del profesor para comprender su
práctica y su reflexión. Estos son aspectos que consideramos importantes para nuestro estudio,
tal como se verá en la sección 7.5.
Una vez reconocida la naturaleza situada (cultural, social e institucional) de la
reflexión, continuamos profundizando en los conceptos de reflexión del profesor y
pensamiento reflexivo; para ello retomamos, en particular, algunas ideas de Schön (1992) –
quien también considera que las condiciones sociales determinan la reflexión del profesor y
sus posibilidades de desarrollar pensamiento reflexivo— y quien propone el modelo de
reflexión-en-la-acción que presentamos a continuación.
7.2.3. La reflexión en-la-acción
Schön (1992) plantea su modelo de reflexión-en-la-acción partiendo de la idea de que
la reflexión depende de la situación particular de cada profesor.
CAP. 7 LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
115
Para el desarrollo de su modelo, Schön (1992) distingue la reflexión del pensamiento
reflexivo, considerando la reflexión como un producto refinado del intelecto, y el pensamiento
reflexivo del profesor como el proceso mediante el cual los profesores transforman su práctica.
Así pues, Schön (1992) define la reflexión como la capacidad (i.e. competencia) del profesor
para analizar su práctica y modificarla dependiendo de la situación. Este autor señala que los
profesores competentes son aquellos que son capaces de aprender de su práctica a través de un
proceso sistemático de reflexión. La competencia en la práctica se relaciona directamente con
el conocimiento profesional (académico y práctico) y su habilidad para aprender mientras
desarrollan su trabajo. Para Schön (1992) la reflexión es una forma de conocimiento que
orienta la acción del profesor, fundamentada ésta en el análisis, donde el conocimiento teórico
(académico) es un instrumento para la misma reflexión. Por otro lado, Schön (1992) define el
pensamiento reflexivo del profesor como el proceso mediante el cual los profesores son
capaces de transformarse a sí mismos, mediante el diálogo de saberes y el trabajo
colaborativo.
Así, para este autor, el profesor que desarrolla su pensamiento reflexivo se denomina
“profesor reflexivo”, y es aquel capaz de desarrollar “pensamiento en la práctica” que le
permite enfrentarse a problemas de naturaleza práctica en medios complejos.
Para dar cuenta del pensamiento en la práctica, Schön (1992) plantea su modelo de
reflexión-en-la-acción mediante el cual se desarrolla la competencia del profesor para
manejar la complejidad del salón de clases y enfrentarse a sus diversas problemáticas. El
proceso de la reflexión-en-la-acción se considera útil para que el profesor aprenda a identificar
problemáticas y buscar estrategias y soluciones. Schön (1992) propone tres niveles de
reflexión para desarrollar pensamiento en la práctica:
Primer nivel: Conocimiento-en-la-acción.
Segundo nivel: La reflexión-en-la-acción y durante la acción.
Tercer nivel: La reflexión-sobre-la-acción, y reflexión sobre la reflexión-en-la-
acción.
El conocimiento-en-la-acción es el componente de primer nivel encargado de la
dirección de la acción o saber hacer. Se trata de un conocimiento tácito (presente y evidente)
que se va desarrollando a lo largo de la experiencia y que involucra saberes teóricos, prácticos
CAP. 7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
116
(de la experiencia), prejuicios, vivencias personales, inseguridades, miedos y valores. En
resumen, en el conocimiento-en-la-acción se distinguen dos tipos de conocimiento:
El conocimiento teórico, académico o proposicional; y
el conocimiento-en-la-acción desarrollado en la práctica profesional, el cual aparece
en forma de estrategias utilizadas, en la manera de definir las situaciones y en la
comprensión que se tenga de las mismas.
La reflexión-en-la-acción y durante la acción (i.e., que ocurre durante la acción)
corresponde a un conocimiento de segundo nivel, que viene marcado por la inmediatez del
momento y la captación in situ de las variables y matices de la situación. Se trata del
pensamiento producido, por la persona, sobre lo que hace (y cómo lo hace).
La reflexión-en-la-acción, aunque consciente, carece de sistematicidad y
distanciamiento del profesor respecto a sus acciones, para un análisis de la práctica; sin
embargo, permite que el profesor reoriente su acción y responda a planteamientos no
considerados previamente. Una de las cualidades de la reflexión-en-la-acción es que cuestiona
al conocimiento-en-acción (de primer nivel) y conduce a la experimentación sobre la práctica.
La reflexión-sobre-la-acción, y la reflexión sobre la reflexión-en-la-acción,
corresponden al conocimiento de tercer nivel, el cual implica un análisis a posteriori sobre las
características de la acción y constituye un proceso esencial en su desarrollo profesional.
Estos niveles de reflexión propuestos por Schön (1992) son considerados por otros
autores, como Parada Pluvinage y Sacristán (2013), quienes proponen un modelo para ayudar
a los profesores a reflexionar sobre la actividad matemática que promueven en sus clases. Para
esto, Parada Pluvinage y Sacristán (2013) plantean la existencia de tres momentos decisivos en
la reflexión del profesor:
La reflexión previa a la enseñanza: la cual incluye aspectos de la planificación de la
enseñanza que comprende la definición de los propósitos de enseñanza, el diseño (o
adaptación de las tareas) los recursos a considerar y las orquestaciones instrumentales a
poner en acto.
Reflexión-en-la-acción: la cual se establece en acto, y se refiere a la forma en cómo
el profesor toma decisiones, conduce el aprendizaje y la capacidad de responder a
situaciones inesperadas de la clase.
CAP. 7 LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
117
Reflexión retrospectiva: se trata del análisis e interpretación de la experiencia y que
puede dar lugar a realizar modificaciones en los propósitos de enseñanza, el diseño (o
adaptación de las tareas) y de los recursos considerados.
Las ideas de Parada Pluvinage y Sacristán (2013) son útiles para nuestro trabajo
porque nos brindan algunas pistas que tenemos en cuenta para el diseño metodológico de
nuestra investigación (ver Capítulo 7).
En conclusión, la reflexión del profesor constituye un elemento importante de su
práctica, particularmente, en su trabajo documental; implica que el profesor ponga en juego
sus conocimientos profesionales, los cuales pueden ser de distinta naturaleza. Nosotros
retomamos aspectos relacionados con las ideas anteriormente expuestas para el desarrollo de
nuestra técnica de introspección (que se presenta en el capítulo 9) partiendo de esa premisa de
que los profesores pueden tener una postura crítica hacia su práctica. En esa perspectiva, como
veremos más adelante, nosotros intentamos promover el pensamiento reflexivo sobre el
trabajo documental del profesor (el cual incluye la preparación de clases, el registro de su
trabajo en un diario de campo, discusiones con colegas, producción de reportes, difusión de
sus experiencias, etc.).
CAP. 7. LA REFLEXIÓN DEL PROFESOR
118
119
PARTE III: ASPECTOS METODOLÓGICOS Y
DISEÑO DEL ESTUDIO
120
8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
En esta sección se presentan las características metodológicas del estudio y el diseño
de la investigación; esto incluye, las fases de la investigación, los criterios de selección de los
participantes, así como los instrumentos de recolección de la información.
Recordamos que este estudio se ocupa de analizar el proceso de selección, de recursos
digitales, principalmente, que hacen profesores de primaria para enseñar geometría en
Colombia. Para ello, retomamos algunos elementos teóricos de la Aproximación Documental
de la Didáctica (ADD) de Gueudet y Trouche, (2009), tales como los de sistema de recursos
y de esquema (Vergnaud, 1990). Por otro lado, también tenemos en cuenta la idea de
paradigma que propone Kuzniak (2011) en el marco de los Espacios de Trabajo Matemático
(ETM).
Nuestro análisis hizo el seguimiento al trabajo documental de varios profesores de
primaria, y usa la metodología de la investigación reflexiva, que proponen Gueudet y
Trouche (2012), para analizar el proceso de selección de recursos. Más específicamente, para
comprender las acciones de los profesores y los conocimientos profesionales que se movilizan
en su selección de recursos, diseñamos y desarrollamos una técnica de introspección (ver
sección 7.5) que estimula la reflexión del profesor y nos permitió recabar los datos para
nuestro análisis. A través de dicha metodología, pudimos inferir los esquemas de los
profesores cuando seleccionan recursos (digitales y no digitales) para su enseñanza de la
geometría.
8.1. HIPÓTESIS DEL TRABAJO
La primera de nuestras hipótesis de trabajo es que es posible inferir los esquemas de
los profesores para enfrentarse a la situación de seleccionar recursos (digitales) para sus clases
de geometría en primaria. Pensamos que el diálogo teórico entre el concepto de esquema
CAP. 8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
121
(Vergnaud, 1998), y el de paradigma de Kuzniak (2011), nos permite profundizar en el
análisis de cómo se ponen en juego los conocimientos profesionales del profesor en la
selección y uso de recursos. De manera particular, consideramos que el análisis de los
esquemas del profesor (e.g. esquema para selección de recursos) está vinculado con la idea de
paradigma geométrico en la cual el profesor se desenvuelva para una clase específica.
Así, otra hipótesis es que las invariantes operatorias incluidas en el esquema de un
profesor para seleccionar de recursos (respecto a un tema específico) están vinculadas con el
(o los) paradigma(s) que orientan su práctica.
8.2. DISEÑO GENERAL DE LA INVESTIGACIÓN
El diseño metodológico de esta investigación es predominantemente exploratorio,
descriptivo y cualitativo. Utiliza estudios de caso (Stake, 2000), en los que se siguen aspectos
de la investigación reflexiva (Gueudet & Trouche, 2012). Así pues, en nuestro estudio nos
enfocamos en la particularidad de cada profesor participante, tomando en cuenta, en sus
respectivos estudios de caso, los antecedentes y contexto en los que el profesor trabaja.
Según Gueudet y Trouche (2012) la investigación reflexiva incluye varias estrategias
(o técnicas) para la recolección de datos como: hacer un seguimiento a largo plazo de la
práctica del profesor; llevar a cabo un análisis de la colección de recursos que el profesor usa;
promover la mirada retrospectiva del profesor, por ejemplo, a través de la producción de
mapas o diagramas en los que el profesor representa su sistema de recursos (parte de lo que
llamamos nuestra técnica de introspección –ver sección 7.5).
Así pues, en nuestra investigación utilizamos todas esas estrategias, realizando un
seguimiento de largo plazo, de entre dos años y tres meses, de cada uno de los profesores
participantes.
Como puede verse en la Figura 8.1, el diseño metodológico del estudio se fundamenta
en cuatro elementos, principalmente:
El problema y objetivos de investigación que orientan el desarrollo de la
investigación hacia la selección de recursos digitales por parte de profesores de primaria
para enseñar geometría.
CAP. 8 METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
122
Las “unidades de análisis”, es decir los conceptos provenientes del marco teórico, que
nos permiten identificar patrones y características en los datos y realizar el análisis de
los mismos mediante un proceso de categorización. Algunas de nuestras principales
unidades de análisis fueron los conceptos de: recurso, documento y esquema.
Realización de estudios de casos divididos en dos fases: Primera (piloto) y Segunda
(principal).
Categorías (y sub-categorías) que surgen a partir de los datos y su análisis.
Figura 8.1. Diseño metodológico general de la investigación
El trabajo de campo de la investigación se dividió en dos grandes fases:
Primera Fase: esta fase, que nos sirvió de fase piloto, consistió de dos etapas:
Etapa uno: Estudios de caso de dos profesores de primaria de Colombia. Su
propósito fue validar las unidades de análisis, los instrumentos de recolección
de la información y el procedimiento de tratamiento de los datos.
Etapa dos: Estudio de caso colectivo de un grupo de treinta maestros de
primaria (incluidos los dos maestros de la primera etapa). Su propósito era
complementar la información recabada en la etapa uno y tomar decisiones
organizativas para la Segunda Fase.
CAP. 8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
123
Segunda Fase: Una vez evaluados los avances de la Primera Fase, 17 meses después,
se desarrolló la Segunda Fase con cuatro maestros de primaria (uno de los de la Primera
Fase, y otros tres).
Cada fase y etapa tuvo cuatro momentos, descritos en la Figura 7.2:
Figura 8.2 [27]. Momentos en cada fase y etapa de la investigación
La Tabla 8.1 muestra detalles del número de participantes y de los periodos de la
recolección de datos, in situ, en cada una de las fases principales de investigación:
Tabla 8.1. Detalles del número de participantes y de los periodos de recolección de datos
Participantes Periodo de recolección de
datos, in situ
Primera
Fase
Un profesor de Primer Grado (Juan)
Un profesor de 5º Grado (Pedro)
Un grupo de treinta maestros
(todos de la misma escuela que Juan y Pedro
2015: 7 semanas
(entre julio y septiembre)
Segunda
Fase
Una profesora de Primer Grado (Laura)
Tres profesores de 5º Grado (Pedro, Miguel y Sonia)
2017-2018: 11 semanas
(entre octubre y febrero)
8.3. SELECCIÓN DE LOS PARTICIPANTES Y LAS ESCUELAS
En nuestro estudio, se hizo un estudio de caso de cinco profesores de primaria, en
servicio en escuelas de la región de Cali en Yumbo, en el departamento de Valle, Colombia.
Por ello, comenzamos esta sección presentando una breve descripción de ese municipio, para
proporcionar un contexto general del ambiente de trabajo y social de los profesores.
1.•Establecimiento de criterios de selección de los casos (de los participantes).
•Diseño de instrumentos de recolección de información.
2.
•Recolección de datos in situ: aplicación de instrumentos de recolección de información; observaciones de clase (y de planeación en la Fase Principal); videograbaciones; etc.
3.•Análisis de los datos.
4.•Organización de los resultados del análisis y conclusiones de la fase.
CAP. 8 METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
124
8.3.1. Descripción del municipio donde se llevó a cabo la investigación
Yumbo (ver Figura 8.3) es un municipio industrial del Departamento del Valle del
Cauca (en el sur-occidente de Colombia), que cuenta con más de 2000 empresas (entre
pequeñas, medianas e internacionales) dedicadas principalmente a la alimentación, químicos y
papel. Es un municipio con menos de 200 000 habitantes (casi todos en su área urbana) que se
encuentra a 11 Km. de Cali (capital del departamento)29.
Parque central de Yumbo30 Industria cervecera en Yumbo31
Figura 8.3. Imágenes del municipio de Yumbo (Colombia)
En este municipio se ofrece educación desde pre-escolar a universidad. De acuerdo con
la información publicada en la página web de la Secretaría de Educación Yumbo (2019a), el
municipio cuenta con 4 escuelas preescolares, 47 escuelas de primaria (que ofrecen un grado
de preescolar obligatorio) y 13 escuelas de bachillerato y media (preparatoria). Además cuenta
con una sede regional de la Universidad del Valle (carreras profesionales), el Sena (educación
técnica y para el trabajo) y sedes de dos universidades privadas. Cabe señalar que todas las
escuelas (pre-universitarias) tienen el mismo tipo de instalaciones, mobiliario, incluso
uniforme. Sin embargo, cada escuela desarrolla plan de estudios, de acuerdo a sus
necesidades.
Según los resultados de los años 2016 y 2017 (publicados por el Instituto Colombiano
para la Evaluación de la Educación – ICFES, 2017) de la “Prueba Saber 11”–evaluación
29 Información tomada de https://es.wikipedia.org/wiki/Yumbo 30 Imagen tomada de
https://losmejoressitiosdecolombia.weebly.com/uploads/4/0/1/9/40196141/971292160.jpg?762 31 Imagen tomada de http://www.elpais.com.co/valle/zona-industrial-de-yumbo-buscara-su-
modernizacion.html
CAP. 8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
125
nacional que se hace a todos los estudiantes de grado 11º (último grado de escolaridad previo a
la Universidad) en las áreas de matemáticas, lenguaje (inglés es opcional), ciencias naturales
(biología, química y física) y ciencias sociales (geografía, historia y filosofía)— el nivel de
desempeño de los estudiantes yumbeños es bajo-medio en todas las áreas evaluadas,
críticamente en matemáticas.
Dado que los profesores yumbeños ingresan al servicio público docente por medio de
un concurso público, a continuación describimos en qué consiste este ingreso a la carrera
docente por parte de los profesores en Colombia.
8.3.2. Ingreso al servicio público docente de los profesores en Colombia
En Colombia, a partir del año 2000, todos los profesores del nivel preescolar, básica
primaria, básica secundaria y media (preparatoria) que ingresan a la carrera docente (para ser
profesor con una plaza de tiempo completo), lo hacen a través de un “Concurso público de
méritos docentes” (MEN, 2019).
El “concurso de méritos” consiste en la realización de una prueba escrita que evalúa
conocimientos básicos, conocimientos según la especialidad del aspirante y conocimientos
pedagógicos. Si el aspirante logra el puntaje mínimo requerido en la prueba, es llamado a
entrevista personal y para validar que cumple con los requisitos (su título universitario,
experiencia docente, etc.). Los resultados de la prueba escrita, la entrevista y la validación de
requisitos son ponderados en un puntaje final. De acuerdo a este puntaje, el aspirante es
asignado como profesor en una escuela pública.
Una vez el profesor ingresa a la “carrera docente” tiene un período de prueba de un
año. Posterior a eso ya se le otorga el estatus de “profesor de carrera”. Todos los profesores de
carrera son de tiempo completo, con nombramiento indefinido y gozan de los servicios
sociales, bonificaciones y prestaciones de Ley según su profesión (MEN, 2019) .
Una particularidad de los docentes que ingresan por “concurso” es que son objeto de
una “evaluación de desempeño docente”. Obligatoriamente, cada año (al menos dos veces al
año), su jefe inmediato les realiza una evaluación basada en un protocolo (i.e. rúbrica)
proporcionado por el MEN (2018). En esta evaluación se valoran aspectos como: su práctica
docente (aquí se consideran aspectos de “innovación educativa”), su participación en las
actividades y proyectos de la escuela, su participación en programas de formación de
CAP. 8 METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
126
profesores, su capacidad de resolución de conflictos escolares y relaciones inter-personales,
entre otros.
Además de esto, si el profesor desea aspirar a mejoramiento salarial (ascenso en el
escalafón nacional), debe acreditar la culminación de estudios de posgrado (especializaciones,
maestrías o doctorados) y cierto puntaje promedio en sus “evaluaciones de desempeño”.
Vale la pena aclarar que todos los profesores que participaron en nuestra investigación
son “profesores de carrera”, nombrados mediante “concurso público” con su respectivo
“período de prueba" aprobado.
8.3.3. Criterios de elección de los profesores y las escuelas
Los criterios generales para elegir los profesores participantes en el estudio fueron:
Participación voluntaria.
Profesor, en servicio, de primaria en una escuela pública. (Se querían escuelas
públicas ya que éstas son más representativas de las condiciones sociales generales en
donde se desempeñan la mayoría de los docentes).
Interés en la enseñanza de la geometría, porque es el tema específico que escogimos
estudiar en esta investigación.
Uso regular de tecnologías digitales en su práctica; porque nuestro foco de estudio era
la selección de recursos digitales para la enseñanza, por lo que era importante que los
profesores seleccionados sí usaran esas tecnologías de manera regular.
Interés en su desarrollo profesional (e.g. participación en proyectos o posgrados) lo
que crea entusiasmo por su participar en investigaciones como la nuestra; y actitudes
profesionales que nos facilitaran el proceso de obtención de datos, tales como: capacidad
de analizar su práctica, responsabilidad intelectual frente a su trabajo y facilidades de
comunicación.
Para lo anterior, se buscaron escuelas
donde los maestros tuvieran algún acceso a recursos digitales (un uso alto, en el caso
de la Primera Fase – ver capítulo 10), lo que implicaba que esas escuelas contaran con la
infraestructura necesaria para ello; y
CAP. 8. METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
127
se contara con accesibilidad a la escuela para realizar la investigación, con
consentimiento de los maestros y padres de familia.
Aunque inicialmente (en la Primera Fase de la investigación) se quería que los
profesores tuvieran amplia experiencia docente (de al menos de 10 años), para la Segunda
Fase se modificó ese criterio por cuestiones prácticas, dado que no fue posible encontrar otros
profesores de esas características. Por ello, en esa Segunda Fase, algunos de los profesores
participantes contaban con menor experiencia docente.
Así, para la selección de los profesores participantes, intervinieron razones prácticas.
Además de la experiencia docente, también se quería originalmente tener una selección de
profesores que fueran representativos de los diversos grados de primaria. Sin embargo, solo
fueron profesores de primer y quinto grados quienes accedieron a participar en la
investigación y que cumplían con los criterios de selección antes descritos.
Así, los profesores participantes en cada fase, y de los cuales se realizaron estudios de
caso, fueron (pseudónimos):
En la Primera Fase, dos profesores de la misma escuela: Juan de primer grado y
Pedro de quinto grado (los detalles de estos profesores se dan en la sección 10.4).
En la Segunda Fase, participaron cuatro profesores, cada uno de una escuela
diferente: Miguel, Sonia y Pedro de quinto grado; y Laura de primer grado (los detalles
de estos profesores se dan en la Parte V de este documento: capítulos 17 al 20).
Así, en total fueron cinco profesores participantes en el estudio, en cuatro escuelas
diferentes del municipio de Yumbo. Los detalles de los participantes y de las escuelas se darán
en las descripciones de las fases y/o de cada estudio de caso.
8.4. LA RECOLECCIÓN DE DATOS
La recolección de datos para realizar la investigación se realizó a partir de distintas
fuentes (ver Tabla 8.2):
CAP. 8 METODOLOGÍA GENERAL DEL ESTUDIO
128
Tabla 8.2. Características generales de las fuentes de datos
Fuentes Características
Observaciones de la
planeación de clases
Incluye el análisis (por parte de los investigadores) de la bitácora del
profesor (llamado en Colombia: “parcelación”) con detalles de su plan
de clase.
Observaciones de clase Incluye el análisis de los recursos usados por el profesor.
Entrevistas al profesor En estas entrevistas, realizadas antes y después de las clases observadas,
se promovió, a través de una técnica de introspección –ver abajo— la
mirada retrospectiva del profesor para que analizara su práctica. Parte de
ello fue la producción de mapas o diagramas por parte del profesor,
como se describe a continuación.
Así pues, se realizaron observaciones, tanto de las planeaciones de clase, como de
algunas clases, de cada uno de los profesores participantes. Esto se complementó con
entrevistas antes y después de las clases observadas. Fue durante las sesiones de entrevistas
posteriores a las clases, que aplicamos nuestra técnica de introspección (descrita en la
siguiente sección).
Todas las sesiones observadas de planeaciones de clases, y de clases, así como las
entrevistas, fueron videograbadas y posteriormente transcritas. De cada sesión de observación
y entrevista, se transcribió lo que cada profesor estudiado hacía y decía, así como las
participaciones de los estudiantes con los que interactuaba. También se tomaron fotografías de
escenas, y recolectaron recursos y materiales (e.g. páginas web, fotocopias, etc.) usados por el
profesor; éstos se utilizaron en las entrevistas para estimular la reflexión e introspección de los
profesores, mediante la técnica que describimos en la siguiente sección.
Para el análisis de los datos se utilizaron las transcripciones de las observaciones de
clase, entrevistas, etc.; y se realizó una triangulación de las fuentes para una posterior
segmentación y priorización de los datos. Posteriormente, se realizaron categorías (y sub-
categorías) para su análisis, lo que se presentará en las Partes IV y V de este escrito (ver
capítulos 11 a 19).
A continuación, presentamos el desarrollo de la técnica de introspección que
utilizamos como una de las principales fuentes de datos para nuestra investigación.
129
9. DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE
INTROSPECCIÓN
Para promover lo que Gueudet y Trouche (2102) denominan la mirada retrospectiva
del profesor, en este estudio utilizamos una técnica de introspección, como instrumento
metodológico de investigación, la cual se fundamenta en algunas de las ideas sobre el
pensamiento reflexivo del profesor que expusimos en el capítulo anterior.
9.1. CARACTERÍSTICAS TEÓRICAS DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN
La principal característica de este instrumento es que promueve la reflexión e
introspección por parte de los docentes mediante la estimulación de la evocación de acciones
en situaciones particulares (Gass & Mackey, 2000).
Nuestra técnica de introspección se fundamenta en algunas ideas presentadas en el
capítulo 7 sobre la reflexión del profesor; tales como:
La reflexión alude a la capacidad o competencia del profesor para analizar su práctica
y modificarla o adaptarla dependiendo de la situación (Schön, 1992).
La reflexión del profesor se entiende como un producto de su pensamiento (Dewey,
1910/1989) por medio del cual, el profesor le da sentido a su trabajo.
La acción conlleva conocimiento, lo que Schön (1992) considera conocimiento-en-la-
acción; el cual puede llegar a ser explícito promoviendo la reflexión sobre-la-acción.
El diálogo es una de las maneras de desarrollar y explorar el pensamiento reflexivo
del profesor, incluyendo sus acciones y conocimientos subyacentes (Freire, 1966/1997).
El contexto personal (Freire, 1966/1997) e institucional (Chevallard, 1994) en el cual
el profesor desarrolla su trabajo documental.
CAP. 9 DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN
130
El papel de las actitudes profesionales de la reflexión propuestas por Dewey
(1910/1989), especialmente la apertura intelectual que le permite al profesor ampliar sus
perspectivas y comprensión sobre su propia práctica.
Asimismo, para el desarrollo de este instrumento tomamos en cuenta los principios de
la investigación reflexiva (Gueudet & Trouche, 2012), como, por ejemplo, el seguimiento del
trabajo documental del profesor a “largo plazo”, dentro y fuera de su salón de clases y la
posibilidad de que los profesores realicen miradas retrospectivas de su práctica.
Igualmente, consideramos algunas ideas de Rocha (2016, 2018), tales como retomar la
palabra “mapa” como una representación que realiza el profesor, a través de dibujos o
diagramas, de aspectos de su trabajo documental (e.g., mapas de su sistema de recursos). De
acuerdo a Rocha (ibíd.), las características de este “mapeo” son: que los profesores mismos
son los que realizan sus mapas reflexivos a través de una estimulación ofrecida por los
investigadores (ya que realizar este “mapeo” no es una “actividad natural” de los profesores);
y que sea un “mapeo progresivo” (para contar con varias versiones del mapa hecho por el
profesor).
Las anteriores consideraciones teóricas nos permitieron aplicar una técnica de
introspección, que utilizamos para recabar información sobre la práctica y trabajo documental
de cada profesor (además de ayudarnos a organizar y analizar los datos), y así comprender la
selección que hacen éstos de recursos (digitales) para enseñar geometría.
El uso de la técnica –ver más abajo— consiste en “estimular” la introspección y la
reflexión de cada profesor, durante las entrevistas, a partir de información (textual u
audiovisual) tomada de la propia práctica del profesor. Como se dijo anteriormente, grabamos
las entrevistas, clases y demás interacciones de cada profesor con los investigadores, tomamos
fotografías de escenas, recursos usados por el profesor o recolectamos materiales usados (e.g.
páginas web, fotocopias, etc.). Como en nuestro estudio nos enfocamos en el proceso
documental de selección de recursos, priorizamos todas las interacciones en las cuales los
profesores (participantes en la investigación) aludían directa o indirectamente sobre este tema.
Así, los datos fueron clasificados de acuerdo a cuánto aludían a nuestro tema de interés (i.e., la
selección de recursos para la clase). Posteriormente, las entrevistas y grabaciones fueron
transcritas, segmentadas, codificadas y analizadas por los investigadores para elegir extractos
CAP. 9. DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN
131
de la información que se presentarían a los profesores para estimular su reflexión (Vollstedt,
2015), como se describe a continuación.
Los profesores siempre estaban enterados del propósito de la investigación y del
funcionamiento de la técnica de introspección; además se les invitaba a que profundizaran en
la reflexión sobre su práctica como un ejercicio profesional importante.
9.2. APLICACIÓN DE LA TÉCNICA
Como mencionamos arriba, el estimulo de la reflexión del profesor, se realiza a partir
de información (textual u audiovisual) tomada de su propia práctica –fotografías o extractos de
videos de las planeaciones de clase, de episodios de clase, de los recursos seleccionados para
la clase, etc.—que se presenta al profesor generalmente una semana después de recabada esa
información. La información y extractos presentados se relacionaban con nuestro tema de
interés, siendo previamente analizados y priorizados para promover la reflexión del profesor,
de acuerdo a lo señalado por Vollstedt (2015).
Esa información le permite al profesor evocar, a posteriori, sus acciones, pensamientos
y acciones en un momento, situación o actividad específica, y de esa manera re-construir la
ruta “vivida” o “recorrida” en su proceso de selección de recursos. Al interactuar el profesor
con la información presentada, se le pide que realice una representación esquemática (un
diagrama o mapa reflexivo –Rocha, 2018) de la ruta que recorrió, y acciones que tomó, para
seleccionar determinados recursos para su clase (su ruta-recorrida), acompañada de
explicaciones verbales.
Las producciones de los profesores (e.g. mapas, diagramas, textos, conversaciones),
obtenidas mediante su trabajo reflexivo e introspectivo, constituyen un recuerdo estimulado
(Calderhead, 1981) que evoca parte de sus sistemas documentales: en particular, acciones
particulares mediante las cuales se pueden definir las rutas (rutas-recorridas) que los
profesores siguen en su selección de recursos.
Posteriormente, el análisis de esas producciones y rutas-recorridas en la Segunda Fase
de la investigación (ver Parte V), nos permitió inferir los esquemas de selección de recursos de
cada profesor, tomando en cuenta su “historia” (Vollstedt, 2015) –es decir, el contexto
personal e institucional en el que trabaja y dónde se llevó a cabo la selección de recursos.
CAP. 9 DESARROLLO DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN
132
Considerando la reflexión del profesor como una expresión de sus conocimientos
profesionales, el desarrollo de una técnica de introspección nos permitió recabar datos sobre
las acciones y pensamientos de los profesores, e inferir, a partir de ellos, los conocimientos
profesionales involucrados en sus procesos de selección. Para inferir estos conocimientos
profesionales de los profesores usamos el concepto de esquema de Vergnaud (1990), para lo
cual la técnica que usamos resulto ser muy útil.
9.3. RESUMEN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA TÉCNICA DE INTROSPECCIÓN
A continuación presentamos un resumen de algunas características de la técnica de
introspección, aplicada, específicamente en nuestro caso, para evocar el proceso de selección
de recursos de los profesores. Así, esta técnica:
Permite analizar las acciones y conocimientos del profesor en la situación específica
de su trabajo documental que es la selección de recursos.
En su aplicación, se define como ruta-recorrida a la representación esquemática del
camino transitado y evocado por el profesor durante su selección de recursos digitales.
Los mapas de la ruta-recorrida hechos por cada profesor se obtienen mediante una
estimulación específica: al profesor se le ofrecen fotos, videos u otros elementos que le
permitan evocar sus acciones y pensamientos mientras selecciona ciertos recursos para
su clase.
La información contenida en los mapas de la ruta-recorrida son acompañados por las
explicaciones respectivas del profesor; ello nos brinda datos que permiten inferir
elementos del esquema que orienta la selección de recursos por parte del profesor.
133
PARTE IV: PRIMERA FASE – DISEÑO Y
RESULTADOS
134
10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA
INVESTIGACIÓN
Como se mencionó arriba, la Primera Fase del estudio consistió de dos etapas.
Etapa uno: Estudios de caso individuales de dos profesores de primaria:
Juan y Pedro (ver sección 10.4, más abajo).
Etapa dos: Estudio de caso colectivo de un grupo de treinta maestros de
primaria (ver sección 10.5, más abajo), incluidos los dos maestros de la etapa
uno.
Cada etapa de la Primera Fase se tuvo en cuenta para la realizó de nuestros análisis y
se desarrolló en los cuatro momentos descritos en la Figura 7.2 del capítulo anterior
(Establecimiento de criterios de selección de los participantes, y diseño de instrumentos;
Recolección de datos; Análisis de datos; y Organización de los resultados).
10.1. RECOLECCIÓN DE DATOS EN LA PRIMERA FASE
Los instrumentos de recolección de información en esta Primera Fase se presentan en
la Tabla 10.1 donde se da su propósito (qué información se quería obtener con cada uno) y
algunos ejemplos de la información que se busca. Dichos instrumentos fueron:
Un cuestionario inicial que pretendía indagar sobre la formación inicial y continuada
de los profesores, así como su experiencia profesional y práctica de aula;
Observación de clases: se observaron (y video grabaron) 3 clases de geometría del
profesor Juan (primer grado) –una de ellas usando recursos digitales, que es la que se
reporta en la sección 11.1–; y 4 clases de geometría del profesor Pedro (quinto grado) –
una de ellas con recursos digitales, que es la se reporta en la sección 12.1. Cada clase
con recursos digitales tuvo una duración aproximada de dos horas.
CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
135
Entrevistas a cada profesor, antes y después de cada clase observada:
Al profesor Juan se le hicieron cuatro entrevistas (tres antes de clase analizada y
una posterior)
Al profesor Pedro se le hicieron tres entrevistas (una antes de la clase observada
y dos posteriores).
Un taller de “experiencias de selección de recursos para enseñar geometría” con todo
el grupo de 30 maestros de la escuela (ver capítulo 13, donde Juan y Pedro presentaron
sus criterios de selección de recursos y experiencias. En este taller (videograbado) se
realizó un ejercicio de reflexión en torno a lo compartido para obtener otros criterios y
experiencias de selección por parte de los demás profesores.
Tabla 10.1. Instrumentos de recolección de información en la Primera Fase de la investigación
Instrumento Propósito Ejemplos de preguntas o
información buscada
Cuestionario Determinar un perfil general de los participantes:
formación, experiencia, acceso a tecnologías
digitales en su escuela, etc.
Formación inicial
Años de experiencia docente
Programas cursados en uso
de tecnología
Entrevista
antes de clase
Se entrevistó a cada uno de los dos profesores con
el objeto de indagar tres aspectos fundamentales:
1. su experiencia en el uso de tecnologías
digitales,
2. sus criterios de selección de recursos
digitales,
3. sus propósitos de uso de recursos en la clase
de geometría.
¿Qué tipo de experiencia
tiene en el uso de tecnología
para enseñar matemáticas?
¿Qué criterios considera al
seleccionar un recurso para
trabajar en clase?
Entrevista
post-clase
Se entrevistó a cada uno de los dos profesores con
el objeto de profundizar en las selecciones y
decisiones que el profesor tomó en la clase.
¿Qué pretendía con esa
organización de la clase?
¿Cree que el recurso
respondió a sus propósitos?
Notas de
campo
Notas tomadas por la investigadora durante las
observaciones de las clases y las entrevistas.
Descripción general de la clase
y de la gestión del profesor.
Taller Se llevó a cabo un taller con el grupo de treinta
maestros de la escuela, donde Juan y Pedro
presentaron su experiencia de selección de
recursos para enseñar geometría, y los demás
profesores compartieron sus propias experiencias.
¿Qué tipo de recursos llevan
a sus clases y por qué?
CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
136
10.2. SELECCIÓN DE LOS PARTICIPANTES (Y LA ESCUELA) DE LA PRIMERA FASE
En la Primera Fase de este trabajo se llevó a cabo el estudio de dos profesores de
primaria (Juan y Pedro), que trabajan en una escuela pública en Colombia.
Aunque en el capítulo anterior se habían dado criterios generales para la participación
de los profesores en el estudio, los criterios específicos para la elección de la escuela y
maestros participantes en la Primera Fase, fueron los siguientes (Tabla 10.2):
Tabla 10.2. Criterios de selección de los casos de la Primera Fase de la investigación
Escuela
(1)
Profesores
(2 casos de estudio)
Grupo de profesores
(30 maestros)
Contar con políticas
institucionales que favorecen
la integración de tecnologías
digitales a las clases.
Proveer la infraestructura
necesaria para que profesores
y estudiantes puedan usar
recursos digitales.
Profesores de primaria en servicio
Interés en enseñanza de la geometría
Experiencia docente de más de 10
años.
Amplia participación en programas de
formación integración de tecnologías
digitales.
Experiencia en integración de recursos
digitales en la clase de matemáticas.
Profesores de primaria
Todos pertenecientes a
la misma escuela.
Conocimientos
básicos en tecnologías
digitales.
A continuación explicamos las razones que sustentan los criterios de selección
presentados en la Tabla 8.2.
Se requería de una escuela donde los maestros tuvieran acceso de manera habitual a
recursos digitales, lo que implica que cuente con infraestructura necesaria para ello.
Nos interesaba que tanto la escuela, como los maestros, fuesen usuarios activos de los
recursos para poder estudiar estos usos espontáneos de los maestros en sus clases.
También nos importaban cuestiones de orden práctico:
accesibilidad a la escuela para realizar la investigación y consentimiento de los
maestros para participar del estudio. Lo anterior implicaba tener permiso para
acceder a documentación institucional (planes de clase, textos usados por los
maestros, etc.) y para videograbar las clases (con el consentimiento de los padres
de familia)
consentimiento y disponibilidad de los maestros a participar en el estudio (ser
observados, entrevistados, etc.).
CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
137
En cuanto a los dos profesores que participaron en la Primera Fase y de quienes se
realizaron los estudios de caso, éstos se seleccionaron atendiendo a su amplia experiencia
docente. En esa etapa (la Primera Fase) se quería que los profesores tuvieran al menos 10 años
de experiencia docente, porque así era posible estudiar conocimientos profesionales más
establecidos (que los profesores han desarrollado a lo largo de un tiempo considerable) sobre
la enseñanza de la geometría y el uso de recursos digitales. Inicialmente queríamos explorar
las selecciones y usos que hacen de recursos digitales, profesores con experiencia de trabajo
en el aula con ese tipo de recursos. También consideramos importante recoger información
acerca de cómo usan los recursos digitales, profesores que han participado en procesos de
formación de este tipo de recursos y que los usan regularmente en sus clases.
Respecto a cómo se escogió el grupo de treinta profesores del cual se llevó a cabo el
estudio de caso colectivo, las razones de selección fueron que todos fueran profesores (en
servicio) de primaria de la misma escuela para que contaran con la misma accesibilidad al uso
de los recursos digitales y así fueran colegas de los profesores Juan y Pedro. Al tener un grupo
grande, de treinta profesores, se aseguraba contar con maestros de distintas edades,
formaciones y experiencias, lo que enriquecería los posibles datos obtenidos en esa fase de la
investigación.
10.3. DETALLES DE LA ESCUELA SELECCIONADA EN LA PRIMERA FASE
La escuela en la que se llevó a cabo la Primera Fase de la investigación es una
institución educativa pública, urbana, laica, que atiende población mixta proveniente
principalmente de un estrato socioeconómico medio-bajo. Esta escuela ofrece educación en los
niveles de Preescolar, Básica (primaria y secundaria), Media Técnica (preparatoria), con
énfasis en Gestión Empresarial. La escuela orienta sus esfuerzos pedagógicos en favorecer el
desarrollo individual y social del ciudadano, potenciando sus capacidades comunicativas,
científicas, deportivas y artísticas.
El plantel de la escuela (ver Figura 10.1) cuenta con veintinueve (29) aulas de clase,
una sala de artística, una sala de sistemas, un laboratorio, espacios para rectoría, una
coordinación, una secretaría y pagaduría, un restaurante escolar, una cancha, un kiosco y un
polideportivo.
CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
138
Figura 10.1. Instalaciones de la escuela de la Primera Fase
La propuesta pedagógica de la escuela, de acuerdo a documentos de la misma escuela
(Consejo Directivo, 2011), entiende la educación como un proceso constante, adoptando un
modelo pedagógico sociocultural desde la perspectiva de la teoría histórica cultural, inspirada
en los trabajos de Vigotsky, donde se prioriza el papel mediador del docente y la colaboración,
como pilares pedagógicos.
La escuela considera que el trabajo con recursos digitales supone un cambio en el
currículo escolar y permite a los maestros realizar sus propias propuestas de actividades
didácticas con el uso de tecnologías digitales.
Por otro lado, el área de matemáticas de la escuela no solo considera los referentes
pedagógicos institucionales arriba citados, sino que además destaca el impacto que tienen las
tecnologías digitales en el aprendizaje de las matemáticas y en la transformación de las
prácticas de los profesores.
10.4. CARACTERIZACIÓN DE LOS DOS PROFESORES ESTUDIADOS EN LA
PRIMERA FASE
La selección de los dos profesores Juan y Pedro, participantes en la Primera Fase,
obedeció a que son profesores interesados en continuar con su desarrollo profesional
participando en varios programas de formación de profesores y que desde hace algunos años
ya usan habitualmente recursos digitales en sus clases. En general, la mayoría de los
profesores de la escuela seleccionada para nuestro estudio, han tomado algunas de las
capacitaciones auspiciadas por el estado (a nivel nacional, departamental, municipal), tales
CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
139
como las de los siguientes programas: Computadores para Educar; Entre pares; Ciudadano
Digital; Tecnologías digitales para todos - Tit@; diplomados de los Centros de Innovación
Educativa Regional (CIER); entre otras iniciativas. Cabe señalar que muchos de esos
programas vienen acompañados de dotación de dispositivos a los docentes participantes, tales
como: computadores, tabletas, aulas digitales, etc. De esta manera, se han puesto a disposición
de los profesores, una gama considerable de recursos digitales.
A continuación se presenta el perfil de los maestros de primaria que participaron en la
Primera Fase de la investigación: Juan y Pedro (pseudónimos):
Juan tenía a su cargo un grado primero en la jornada de la tarde. Es maestro
normalista, licenciado en educación básica con énfasis en tecnología e informática. Con
experiencia docente de 14 años (todos en primaria), 6 de ellos en grado primero
(enseñando todas las asignaturas) en la escuela en la que labora actualmente. Ingresó al
servicio docente por concurso público de méritos. Se destaca por su amplia participación
en proyectos institucionales (e.g. miembro del consejo académico; diseño de la página
web de la escuela) y sus aportes al equipo de trabajo de profesores de grado primero. En
general, Juan se considera un entusiasta del uso de los recursos digitales en las clases de
matemáticas y expresa que con la integración de este tipo de herramientas los profesores
pueden transformar su trabajo de aula.
Pedro es maestro normalista, licenciado en matemáticas con énfasis en computación,
y tecnólogo en sistemas. Además de su trabajo como maestro, también ha laborado
como técnico haciendo reparaciones de equipos de cómputo. Tiene una experiencia
docente de 9 años (en primaria y secundaria); los últimos 3 años ha trabajado como
profesor de matemáticas (en la escuela participante en el estudio) en grados 4º y 5º.
Pedro participa ampliamente en redes virtuales de profesores de matemáticas y en
proyectos institucionales de integración de tecnologías digitales (dado que este profesor
también participa en la Segunda Fase de la investigación, se dan más detalles de éste en
el capítulo 17).
CAP. 10. DISEÑO DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
140
10.5. CARACTERIZACIÓN DEL GRUPO DE PROFESORES PARTICIPANTES DE LA
PRIMERA FASE
Como se había mencionado anteriormente, en la segunda etapa de la Primera Fase, se
trabajó con un grupo amplio de 30 maestros de primaria, todos pertenecientes a la misma
escuela, que incluía a Juan y Pedro.
Este grupo de 30 maestros contaba con seis maestros para cada uno de los cinco grados
(de 1º a 5º) de primaria. De manera general, todos los maestros tenían conocimientos básicos
en tecnologías digitales, y tienen acceso al uso de recursos digitales en su escuela. Sin
embargo, no todos usaban este tipo de recursos en sus clases, o lo hacían con poca frecuencia.
Algunas características generales del grupo se presentan en la Tabla 10.3.
Con este grupo de maestros se realizó un taller de retroalimentación de los resultados
obtenidos en los casos de Juan y Pedro, que sirvió para ampliar los datos obtenidos.
Tabla 10.3. Características generales del grupo de 30 maestros
Edades
24 años – 63 años.
Promedio de edad: 37 años
Años de experiencia docente 2 años – 37 años.
Promedio de años de experiencia docente: 16 años
Grupos a cargo De 1º a 5º grados de primaria. 6 maestros por grado.
Perfil de formación Licenciados en educación primaria (12)
Licenciados en matemáticas (3)
Licenciados en lenguaje y comunicación (5)
Ingenieros (8)
Psicólogos (2)
Turno laboral Mañana: 15 maestros
Tarde: 15 maestros
En el siguiente capítulo se presentan los análisis de los resultados de la Primera Fase,
del proceso de selección de recursos digitales, por parte de los profesores Juan y Pedro, para
enseñar geometría en primer y en quinto grado respectivamente.
141
11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS
ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL
RECURSO
El primer caso que vamos a presentar de la Primera Fase de esta investigación
corresponde a Juan, profesor de grado primero. El grupo de alumnos de Juan de ese grado, lo
componían 43 niños y niñas, con edades de 6 y 7 años.
Aquí describimos y analizamos el proceso de selección y uso de recursos digitales que
Juan propuso para una clase de geometría cuya meta de aprendizaje era que sus estudiantes
diferenciaran entre líneas geométricas abiertas y cerradas.
11.1. DETALLES DEL GRUPO DE JUAN Y DE LA CLASE OBSERVADA
Figura 11.1. Escena de la clase de Juan de primer grado
Se observó una clase de geometría correspondiente al tercer trimestre del año escolar.
La clase de geometría se desarrolló en un aula (laboratorio de cómputo) que cuenta con 50
computadoras, acceso a Internet en todos los equipos y cañón de proyección (ver Figura 11.1).
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
142
11.2. CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS Y ETM DE JUAN SOBRE LÍNEAS
ABIERTAS Y CERRADAS
La primera decisión de Juan, tuvo que ver con la meta de aprendizaje propuesta a sus
estudiantes: que diferenciaran entre líneas geométricas abiertas y cerradas; previamente habían
trabajado algunas figuras poligonales reconociendo vértices y lados.
En la primera entrevista (de tres), previa a la clase observada, se le preguntó a Juan
sobre el contenido geométrico de “líneas abiertas y cerradas” que pensaba poner en juego. A
continuación presentamos un fragmento de dicha entrevista:
Entrevistadora: ¿Qué es una línea abierta?
Juan: Yo entiendo que las líneas abiertas son aquellas cuyos extremos no son un
vértice… o que no tienen ningún vértice.
Entrevistadora: ¿Podrías darme un ejemplo?
Juan: Sí [hace una búsqueda en Internet –ver abajo]… mira estas son líneas
abiertas y cerradas [ver Figura 5.2]
Entrevistadora: Pero, ¿en qué se diferencian?
Juan: … mira [señalando a una figura en la pantalla], esta línea no tiene vértices
Entrevistadora: Pero, y estas intersecciones entre los lados de estas figuras
[señalando un ejemplo de línea abierta], ¿no es un vértice?
Juan: No, los vértices son solo en las figuras cerradas.
La búsqueda en Internet que Juan hizo durante la entrevista, para acompañar su
argumento, la hizo en Google usando las palabras clave: “líneas abiertas primaria”. Así obtuvo
algunas imágenes de las que seleccionó la mostrada en la Figura 11.2 para defender su
argumento de que solamente las líneas cerradas tienen vértices. Así, los señalamientos de Juan
en esa entrevista, se refieren únicamente a curvas simples (unidimensionales y planas).
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
143
Figura 11.2. Ejemplos de curvas abiertas y cerradas presentados por Juan32
Analizando lo anterior, pudimos hacer una primera determinación del espacio de
trabajo matemático (ETM) personal de Juan, en el que residen sus definiciones de “líneas
cerradas” y “líneas abiertas”, confundiendo a las líneas cerradas con líneas poligonales. Los
datos dan evidencia de algunas dificultades en su ETM personal:
Juan no consideró, de manera explícita, que segmentos de línea rectos son casos
particulares de curvas; por tanto, considera “líneas” y “curvas” como objetos
diferenciados.
Respecto a las líneas presentadas en la Figura 11.2, Juan tampoco consideró el hecho
de que en la intersección de varios segmentos de recta en las figuras abiertas, también se
encuentran vértices.
Juan parece haber considerado a los vértices como una propiedad exclusiva de las
líneas cerradas.
Juan no parece haber tenido claridad respecto a la idea de línea poligonal.
32 Imagen recuperada de http://www.conmishijos.com/uploads/tareas_escolares/ficha-lineas-abiertas-
cerradas.jpg
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
144
Este tipo de consideraciones nos parecen indicativas de que Juan no toma en cuenta los
elementos del currículo escolar (el cual forma parte del ETM de referencia) respecto al
introducción de “ideas topológicas” en edades tempranas; por tanto no se adentra en una
discusión de los aspectos matemáticos allí involucrados.
Un profesor de primaria, aunque no se espera que tenga un conocimiento muy refinado
de la geometría, al trabajar con las ideas de “abierto y cerrado”, debe considerar que las
figuras se clasifican de acuerdo a sus propiedades o cualidades; esas cualidades determinan la
“diferenciabilidad” entre una figura u otra, y pueden ser intuitivas (Pérez, 2007). En el caso de
Juan, aunque él sabe distinguir entre líneas abiertas y líneas cerradas, no logra expresar las
propiedades que caracterizan cada una de esas figuras (a pesar de repetidas preguntas al
respecto de nuestra parte), por lo que su conocimiento se queda en el nivel intuitivo; además
tiene una concepción aparentemente no del todo correcta, respecto a los conceptos de “línea
cerrada” y “vértice” (i.e., cuando Juan dice que solo las líneas cerradas tienen vértices).
11.3. SELECCIÓN POR JUAN DEL RECURSO PARA SU CLASE
La selección que hizo Juan del recurso para la clase que observamos, obedecía a varios
criterios, los cuales presentamos y discutimos más abajo, en la sección 11.3.2
11.3.1. El recurso seleccionado por Juan
El tema de la clase de Juan era el de líneas geométricas abiertas o cerradas. Para
abordar ese tema, Juan seleccionó un recurso libre –“Juego de curvas abiertas y cerradas”33
(ver Figura 11.3)— el cual es un software educativo en línea y gratuito, dirigido a niños
alfabetizados entre 6 y 7 años que permite manipular objetos para cumplir ciertas condiciones
(tareas).
Juan encontró ese recurso en un repositorio en internet
(http://www.mundoprimaria.com) que ha utilizado en otras ocasiones. Juan señaló que este
repositorio es de sus favoritos porque ofrece recursos organizados por grados de escolaridad y
temáticas, lo que le facilita la búsqueda mediante correspondencias entre lo que se quiere
trabajar en clase y lo proporcionado por el recurso.
33 http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas/juego-curvas-abiertas-y-cerradas/
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
145
Para interactuar con el recurso, el usuario debe seleccionar y arrastrar figuras de líneas
abiertas o cerradas dependiendo de las consignas propuestas en el recurso: si la respuesta es
correcta, el recurso envía un mensaje con una palomita; si la respuesta es errónea, envía un
mensaje de respuesta errónea y propone una nueva tarea.
Figura 11.3. Interfaz del recurso seleccionado por Juan
11.3.2. Criterios de Juan, para la selección del recurso
La selección que hizo Juan del recurso para abordar el tema de líneas geométricas
abiertas o cerradas, obedecía a varios criterios, algunos de los cuales se relacionaban con el
tipo de orquestación que pretendía llevar a cabo en su clase: por ejemplo, Juan quería que cada
estudiante trabajara inicialmente solo y después realizar una plenaria para validar los
conocimientos construidos por los niños. También quería que el recurso: (i) fuera de fácil
acceso, en línea; (ii) que los niños lo pudieran manipular fácilmente, con mucha retro-
alimentación; y (iii) que tuviera un tratamiento cercano a lo que venían trabajando en clase.
Así, inferimos que Juan tenía varios criterios de selección, los cuales definimos y
clasificamos de acuerdo a varios tipos: de coherencia curricular y cognitiva; relacionados
con las características didácticas o de contenido matemático o geométrico que se buscan
en el recurso; y con las características técnicas y de accesibilidad del recurso (criterio
ergonómico), y su procedencia. Esta categorización la presentamos en la Tabla 11.1; los
detalles, evidencias y explicaciones de cómo se determinaron esos criterios, se discuten más
abajo.
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
146
Tabla 11.1. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Juan)
Tipo de criterio
de selección
Definición Particularidades en el caso de Juan
Curricular Se refiere al propósito o meta de
enseñanza del profesor, y su
coherencia con las orientaciones
curriculares (nacionales e
institucionales)
Juan busca coherencia entre lo trabajado
previamente en clase y el contenido del
recurso.
Cognitivo Se refiere a cómo el recurso
puede apoyar el aprendizaje de los
alumnos.
Juan busca que el recurso atienda las
necesidades de aprendizaje de los
estudiantes, sus ritmos de aprendizaje y su
escolaridad previa.
Características
didácticas
Se refiere a las características
didácticas que aporta el recurso.
Juan considera el tipo de tareas o
actividades que presenta el recurso, cómo el
recurso estructura y ordena las tareas, y los
posibles tipos de respuesta de los usuarios a
las tareas del recurso.
Contenido
matemático
(Contenido
geométrico)
Alude al contenido matemático,
en este caso geométrico, que
facilita el recurso para las
actividades que los estudiantes
desarrollan con éste.
Juan considera el tipo de información
geométrica (visual) que el recurso
proporciona al estudiante.
Ergonómico
Se refiere a las características
técnicas y de procedimiento del
recurso. También incluye
características de la interfaz, la
disposición y funciones de las
herramientas.
Contempla anticipaciones de Juan sobre el
uso que sus estudiantes puedan darle al
recurso y posibles dificultades sobre su uso
por parte de los alumnos.
Procedencia El recurso seleccionado debe
provenir de una fuente confiable
y/o conocida por el profesor.
Juan considera que los repositorios de
universidades, entidades gubernamentales y
páginas usadas por profesores son fuentes
confiables de recursos.
Para su clase, Juan estableció lo que llamamos una meta “local” de aprendizaje para
sus estudiantes: La meta era abordar un tema específico y restringido para reforzar los
conocimientos de sus estudiantes respecto a las diferencias entre líneas geométricas abiertas y
cerradas). Esta meta orientó la selección del recurso que hizo Juan para una clase particular.
Pero como su meta solo involucra acciones y procesos relacionados con esa clase específica y
a corto plazo, y no con objetivos más amplios o de más largo plazo, consideramos que tanto la
meta, como la selección del recurso son “locales”.
Para su clase, Juan estableció lo que llamamos una meta “local” de aprendizaje para
sus estudiantes: La meta era reforzar sus conocimientos respecto a las diferencias entre líneas
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
147
geométricas abiertas y cerradas. Esta meta orientó la selección del recurso que hizo Juan para
una clase particular. Pero como su meta solo involucra acciones y procesos relacionados con
esa clase específica, y no con objetivos más amplios o de más largo plazo, consideramos que
tanto la meta, como la selección del recurso, fueron “locales”.
Los criterios de selección de Juan están interrelacionados y se orientaron por esa meta.
Más aún, consideramos que Juan estableció un principio estructurador para adecuar un ETM
para su clase: Para él era importante que el recurso seleccionado tuviera dinámica de “juego”
con una alta retroalimentación de manera que los niños se percaten si están generando
respuestas correctas y corregir sus errores (criterios cognitivos y de características didácticas
del recurso). En la entrevista posterior a la clase analizada Juan señala:
“En mis clases, para mí, es importante que los niños aprendan a ser autónomos,
que trabajen ellos mismos, que compartan entre ellos, conversen y que se enfrenten
a actividades que sean motivadoras… la metodología [del recurso] debe ser bien
didáctica, con mucha retroalimentación para que el niño aprenda, como dice
Brousseau, el matemático, para que se enfrente a las actividades y de ese mismo
enfrentamiento los niños aprendan. Y eso con la tecnología es mucho más fácil
porque ellos están acostumbrados a eso”.
(Juan, fragmento de entrevista; nuestro énfasis).
A partir de lo expresado por Juan, y de sus acciones, inferimos ese principio
estructurador y didáctico subyacente que busca que el recurso presente una situación que
movilice conocimientos en el estudiante mediante una amplia retroalimentación a las acciones
de los niños para poder reforzar los conocimientos que allí se construyen. Este principio era
importante para Juan: en este caso, para que los niños aprendieran de la retroalimentación y de
sus errores. También quería que los niños pudieran trabajar de manera autónoma con el
recurso (para que cada niño trabajara solo en la primera parte de la orquestación de la clase).
Consideramos a los principios anteriores como de tipo “interacción estudiante–recurso” (ver
sección 11.4 y Tabla 11.4).
Consideramos que este principio orientó la selección de Juan y determinó la esencia de
la orquestación que propuso en su clase. Allí, los criterios cognitivos y de características
didácticas, fueron los que principalmente orientaron su selección.
Respecto a los criterios curriculares, Juan quería que el recurso fuera coherente con las
directrices curriculares nacionales (MEN, 1998): Como se discutió en el apartado 5.3, de
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
148
acuerdo con el currículo colombiano de geometría, los estudiantes necesitan desarrollar el
pensamiento espacial a través de la representación, manipulación y transformación de objetos
geométricos; ese currículo también propone, como orientación didáctica, que los estudiantes
exploren el espacio a través del movimiento (MEN, 1998). Juan consideraba que el recurso
que seleccionó para su clase podía facilitar, en sus alumnos, el desarrollo de los conocimientos
y las habilidades que sugiere el currículo:
“… lo que quiero es que los niños avancen en su pensamiento espacial,
que muevan [arrastren] cosas, que interactúen [...] como dice el plan de
estudios. Que no solo trabajen con figuras muertas sino también con cosas
dinámicas, que se relacionen, que jueguen con las figuras para aprender...
Por eso me gusta trabajar con la tecnología [digital] para que puedan
moverse, mirar varias cosas y aplicar lo que habíamos visto en clase.”
(Juan, fragmento de entrevista)
El fragmento anterior exhibe también aspectos relacionados con el criterio de
características didácticas del recurso porque describe algunos tipos de tareas del recurso para
la clase de geometría como, por ejemplo, explorar el dinamismo de las figuras geométricas
modificando algunas de sus propiedades o explorándolas mediante el “arrastre”. Asimismo,
los comentarios de Juan de querer que el recurso fuera uno libre, que facilitara la interacción y
manipulaciones de los niños (“mover”, “mirar”), y que proporcionara retroalimentación,
indican que Juan consideraba criterios ergonómicos (técnicos o de procedimiento, y de
accesibilidad).
Un elemento interesante en el caso de Juan es que, durante las entrevistas, este profesor
no hizo explícitos criterios respecto al contenido geométrico del recurso; inferimos que eso se
debe a que el recurso trataba directamente el tema geométrico bajo estudio. Por otro lado, el
aspecto de contenido geométrico es expresado de manera indirecta en otros criterios como, por
ejemplo, en los criterios cognitivos, donde el profesor alude al aprendizaje de conceptos
geométricos en términos de “adecuar el contenido geométrico de acuerdo a la edad y
escolaridad de sus estudiantes”.
La Tabla 11.2 resume y ejemplifica (con detalles adicionales), los criterios de selección
de Juan, en aparente orden de importancia (de más a menos):
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
149
Tabla 11.2. Criterios de selección de un recurso digital en el caso de Juan
Meta local de aprendizaje
Reforzar conocimientos de los estudiantes respecto a las diferencias entre líneas geométricas abiertas y
cerradas.
Criterios de selección del recurso por Juan Tipo de criterio
El recurso debe proveer tareas que sean atractivas según su grado escolar
— característica que Juan llama “metodología”. Juan señala:
"[El recurso] debe tener una metodología adecuada porque no todos
los [recursos] son buenos [...] y deben ser buenos para la edad de los
niños".
El recurso debe proporcionar oportunidades para el aprendizaje y
variedad de posibles interacciones (con el recurso y con los
compañeros), y debe dar retroalimentación a los estudiantes en términos
de sus acciones:
“El recurso debe tener una buena estrategia para que los niños
aprendan… que los niños puedan arrastrar, interactuar… que los niños
puedan hacer las actividades por su cuenta y luego uno puede venir a
reforzar".
Características
didácticas
El contenido temático del recurso debe corresponder con el trabajo
previo del profesor y con las orientaciones curriculares. Juan señala:
“El currículo nos pide trabajar en situaciones en que el estudiante
tenga que mover las cosas, arrastrarlas, así, por toda la pantalla.
"El tema debe estar de acuerdo con lo que estamos trabajando en clase"
Curricular
Recurso en línea, gratuito, de fácil acceso y uso para los niños. Juan
señala:
“ Yo no quiero [un recurso] que los niños no sepan usar ... Yo busco
algo que sea fácil... parecido a los que los niños usan en los celulares o
en las tabletas”
Ergonómico
El recurso debe provenir de una fuente confiable para el profesor. Juan
señala:
"Me fijo si [el recurso] fue publicado por una institución reconocida,
como una universidad o algo similar ... lo que me da confianza de que
es de buena calidad ... y que otros maestros lo usan y lo recomiendan".
"Prefiero buscar [el recurso] en sitios especializados para la escuela
primaria"
Procedencia
El contenido geométrico movilizado en el recurso debe ser adecuado, de
acuerdo con la edad de los niños y su escolarización. Juan señala:
"No quiero que los niños se confundan con demasiadas cosas que no
pueden entender con su edad”.
Geométrico-cognitivo
11.4. USO Y ORQUESTACIÓN POR JUAN DEL RECURSO EN SU CLASE
En su clase, Juan primero reforzó la diferenciación conceptual entre líneas abiertas y
cerradas con algunos ejemplos dibujados en el pizarrón y le anunció a los niños lo que iban a
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
150
trabajar en el recurso, estableciendo las normas de trabajo en la clase (la forma de
orquestación): que los estudiantes primero trabajaran individualmente y después se socializara
el trabajo conjunto. Así, consideramos que la orquestación que Juan hizo de su clase
involucró los siguientes aspectos, los cuales elaboramos en la Tabla 11.3:
la meta que el profesor fijó para esta clase, la cual llamamos meta “local” de
aprendizaje;
la gestión de los recursos y artefactos disponibles;
la tarea propuesta a los estudiantes a través del uso del recurso; y
la organización de la clase.
Tabla 11.3. Aspectos de la orquestación de Juan en su clase de grado primero
Aspectos de la
orquestación de
Juan
Descripción
Propósito educativo:
Definición de la meta
de aprendizaje
El profesor define el propósito de esta clase específica (por lo que lo
consideramos de tipo “local”) donde la meta es: Reforzar el
aprendizaje de los alumnos sobre las diferencias entre líneas
geométricas abiertas y cerradas.
Gestión de los
recursos y artefactos
disponibles
El recurso seleccionado se utilizó en una sola clase (i.e. fue una
selección de tipo “local”), junto con artefactos como: un proyector de
video, la pizarra y (en el caso de los estudiantes) lápiz y papel.
Organización de la
clase
Juan organizó su clase en dos partes: primero, trabajo individual,
seguido de una discusión colectiva en el aula.
Trabajo individual de
los alumnos
(orquestación a
través del recurso)
El recurso proporciona la tarea a seguir por los estudiantes (quienes
tenían que identificar las figuras que cumplen con una condición –ser
abiertas o cerradas). Como el recurso proporciona información sobre
las acciones de los estudiantes (respuesta correcta o incorrecta), éstos
trabajan de manera individual y autónoma.
Discusión colectiva Cuando los niños empezaron a utilizar una estrategia de “ensayo y
error” para resolver la tarea propuesta en el recurso, el profesor
decidió pasar a la discusión con todo el grupo para socializar algunos
de los conocimientos que se estaban construyendo.
Así, la orquestación de Juan involucró tres tipos de organización de la clase:
interacciones “estudiante-recurso”, “profesor-recurso-estudiante” y “profesor-recurso-grupo”,
las cuales forman parte de lo que Drijvers et al. (2013) llaman el desempeño didáctico
(didactical performance) del profesor:
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
151
Primero los niños trabajaron individualmente con el recurso, en sus computadores
propios: la “interacción estudiante-recurso”.
Durante ese trabajo, Juan circulaba por el aula, e iba ayudando a estudiantes
individuales si tenían dificultades, haciéndoles preguntas u observaciones: la
“interacción profesor-recurso-estudiante”.
Luego, al final de la clase, Juan reunió a todos los niños al frente del salón y trabajó
directamente él con el recurso, usando una computadora conectada a un proyector. Los
niños participaron dando respuestas. De esta manera, el maestro esperaba "fortalecer" la
tarea propuesta en el recurso, haciendo preguntas a sus estudiantes y dando
explicaciones o ejemplos adicionales. Aquí se establece la interacción: “profesor-
recurso-grupo".
La Tabla 11.4 resume las interacciones que Juan orquestó en su clase:
Tabla 11.4. Tipos de orquestación (interacciones) de Juan en su clase de grado primero
Tipos de orquestación
(interacciones)
Desempeño didáctico y uso del recurso por Juan
Estudiante-recurso El profesor propone una organización de la clase en la que se enfatiza el
trabajo individual: cada estudiante cuenta con una computadora para
trabajar y debe asumir como propio el trabajo propuesto.
El conocimiento se valida a partir de la acción de los niños sobre el
recurso. La retroalimentación que el recurso le ofrezca a los niños es
central.
Profesor-recurso-
estudiante
Juan interacciona con varios estudiantes de manera individual. Sus
acciones son: checar el trabajo de los niños, hacer preguntas (y
responderlas), hacer aclaraciones y validar conocimientos. Juan usa la
información que obtiene de esta interacción para hacer intervenciones a
toda la clase (recomendaciones o sugerencias), o sea, para nutrir el
siguiente tipo de orquestación, la “interacción profesor-recurso-grupo".
Profesor-recurso-grupo Juan reúne a la clase y usa una computadora conectada a un proyector.
Va seleccionando estudiantes para que exhiban su trabajo frente al
grupo. Juan no resuelve las tareas, pero sí hace preguntas al niño que
presenta frente al grupo.
Juan valida conocimientos a partir de las intervenciones de los
estudiantes y hace una síntesis en el pizarrón. Los niños transcriben esa
síntesis en sus cuadernos.
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
152
11.5. REFLEXIÓN DE JUAN DESPUÉS DE LA CLASE SOBRE EL RECURSO Y SU
ORQUESTACIÓN
En la entrevista posterior a la clase aquí analizada, Juan consideró que su orquestación
fue adecuada. Sin embargo, el profesor se percató de las limitaciones y debilidades de la tarea
que el recurso proporcionaba a sus estudiantes: es decir, Juan se dio cuenta que la estrategia
principal que siguieron los niños para resolver la tarea fue la de ensayo y error. Esta estrategia
de los estudiantes se basó en la retroalimentación de "correcto o incorrecto" que daba el
recurso y que los niños usaron como información para escoger la figura correcta, sin
necesariamente considerar aspectos geométricos que determinaban si la figura era abierta o
cerrada. Cuando el profesor se percató de que los niños estaban usando el “ensayo y error”,
decidió que ya no tenía sentido que los niños continuaran individualmente con la actividad, y
que era el momento de iniciar la socialización (una “interacción profesor-recurso-grupo”).
Juan expresó explícitamente su preocupación al respecto de las limitaciones del
recurso, explicando que esta fue la razón por la cual la tarea fue seguida por una discusión
colectiva:
“... como maestro, uno tiene la responsabilidad de asegurarse de que los niños
aprendan. La herramienta [el recurso que seleccionó] puede ayudar, pero no
puede hacer todo ... al final de la clase, hago una discusión en clase con los niños,
uso la herramienta y trabajo con ellos para reforzar ideas, para que todo esté claro
y terminar bien la clase”.
(Juan, fragmento de entrevista).
11.6. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASO DE JUAN
Analizando las declaraciones de Juan en las entrevistas y sus acciones en clase,
inferimos que los elementos que orientaron su proceso de selección y uso del recurso digital,
fueron su ETM personal; y el tipo de ETM adecuado (i.e., adaptado didácticamente por Juan
para su clase):
Respecto al ETM personal de Juan, éste incluye, primeramente, los conocimientos
profesionales de Juan sobre las características de las líneas abiertas y cerradas y otros
conceptos relacionados (e.g. vértice y segmento de recta). Por otro lado, también incluye
sus consideraciones didácticas sobre la enseñanza del tema geométrico de su clase, su
CAP. 11. ESTUDIO DE CASO DE JUAN: ÉNFASIS EN LOS ASPECTOS ERGONÓMICOS Y DIDÁCTICOS DEL RECURSO
153
entendimiento de las orientaciones curriculares al respecto, y el uso de recursos digitales
para esa enseñanza.
Respecto al ETM adecuado por Juan para su clase: Él determina qué conocimientos
geométricos son los que se van a poner en juego en su clase y qué características de los
mismos se van a enfatizar. Además, establece una meta “local” de aprendizaje para sus
estudiantes, y un principio estructurador que se relaciona con todos sus criterios de
selección.
Estos aspectos que orientan el proceso de selección de Juan, involucran:
Criterios que Juan puso en juego para seleccionar el recurso digital para su clase.
La orquestación que Juan hizo de su clase usando ese recurso seleccionado.
A continuación presentamos el siguiente caso analizado en la Primera Fase de la
investigación (el caso del profesor Pedro de quinto grado).
154
12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL
RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA
CONSTRUCCIÓN Y LA EXPLORACIÓN
A continuación presentamos el segundo caso de estudio de la Primera Fase, sobre el
profesor Pedro y su clase de geometría de quinto grado. Pedro fue el único profesor de nuestro
estudio que participó en ambas fases (Primera y Segunda) de la investigación; por tanto,
presentaremos el análisis de su caso en las dos partes respectivas a cada fase. En este capítulo
presentamos la primera parte relacionada con los datos que se tomaron en la Primera Fase. La
segunda parte (correspondiente a los datos recabados durante la Segunda Fase, un año y medio
después de la Primera Fase) se discute en el capítulo 17.
12.1. DETALLES DEL GRUPO, META Y CLASE OBSERVADA DE PEDRO
Para la Primera Fase, la clase de Pedro estaba conformada por un grupo de 46 niños y
niñas de grado quinto, con edades entre 10 y 11 años.
Figura 12.1. Escena de la clase de Pedro de quinto grado
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
155
La meta de aprendizaje, propuesta por Pedro para el periodo en el que se ubicaba la
clase observada, no se restringía a esa única clase, sino que abarcaba un conjunto de clases de
geometría, en un rango de dos meses (durante el segundo trimestre del año escolar), por medio
de un “proyecto de aula” llamado “La casa de mis sueños”34 (ver Anexo I, y también la
sección 17.1) que implicaba el diseño de una casa culminando en la construcción de una
maqueta de ésta. Para el desarrollo de este proyecto, los estudiantes tenían que llevar a cabo
mediciones de figuras planas. Al ser una meta de aprendizaje a largo plazo con diversas
actividades, categorizamos a esa meta como global (una meta “global” de aprendizaje). La
meta, en sí, de Pedro, era el estudio de algunas magnitudes, como longitud, área y ángulos, sus
unidades de medida, su medición y la estimación de medidas.
En este caso, el profesor Pedro estableció lo que llamamos una meta “global” de
aprendizaje para sus estudiantes: La meta era abordar varios temas relacionados entre sí (e.g.
medidas, medición y comparación de longitudes, áreas y ángulos) a lo largo de un periodo de
varias semanas. Esta meta orientó la selección del recurso que hizo Pedro, buscando que el
recurso seleccionado se usara en varias clases y para diversas actividades. Como su meta
involucra tanto objetivos específicos como generales, relacionados con acciones, procesos y
actividades diversos, a mediano y largo plazo, consideramos a esa meta y a la selección del
recurso como “globales”.
En particular, Pedro quería que sus estudiantes pudieran comprender cuáles atributos
de los objetos son mensurables (e.g. la distancia, la amplitud angular y la superficie); y que
ellos identificaran unidades que les permitan hacer determinadas mediciones (ver sus
comentarios contenidos en la Tabla 12.1). La clase analizada (ver Figura 12.1) se insertaba en
ese “proyecto de aula”.
Una de las características del proyecto “La casa de mis sueños” es que los estudiantes
debían de trabajar colaborativamente en parejas. Siguiendo algunas indicaciones y requisitos
general que el profesor propuso (e.g. la medida del área total que debía ocupar la casa), cada
34 El proyecto de aula “La casa de mis sueños” (ver Anexo I) originalmente fue definido por la M.en C.
Myrian Vásquez Vásquez, durante un programa de formación docente en matemáticas en la escuela de
Pedro, durante los años 2012-2015. Después de esa formación, Pedro continuó con la implementación
de ese proyecto de aula en su práctica docente, adaptándolo. En la sección 17.2presentamos mayores
detalles sobre este proyecto y su desarrollo por parte del profesor Pedro.
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
156
pareja de estudiantes diseñó el plano de una casa, según su gusto, y realizaron varias
actividades que los llevaran a elaborar una maqueta de su casa.
En la clase anterior a la observada, los niños ya habían construido el plano de la casa
en su cuaderno (ver Figura 12.2). En la clase observada, Pedro trabajó cambios de escalas con
sus estudiantes. La actividad consistió en que parejas de alumnos modificaran la escala del
plano trabajado en la clase previa, pero ahora usando un recurso digital (Sweet Home 3D, ver
más abajo), y con éste visualizaran el nuevo plano en las ventanas 2D y 3D del recurso.
Figura 12.2. Trabajo previo de los estudiantes de Pedro
12.2. ETM DE REFERENCIA CON RESPECTO A LAS METAS DEL PROYECTO DE
AULA DE PEDRO
Como parte de nuestro análisis identificamos dos elementos importantes en el ETM de
referencia de Pedro: (i) los aspectos de las orientaciones curriculares que él tiene en cuenta
para desarrollar su proyecto de aula y (ii) las metas que el profesor establece para dicho
proyecto.
Respecto a las orientaciones curriculares que Pedro tuvo en cuenta, identificamos que
sus acciones estaban ancladas en las orientaciones del MEN (1998, 2006) sobre el estudio de
las magnitudes y su medida; el desarrollo del pensamiento métrico; y el pensamiento espacial.
De acuerdo a esto, Pedro estableció dos tipos de metas:
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
157
Como se dijo antes, la meta del “proyecto de aula” era el diseño de una casa, cuya
meta “global” de aprendizaje era que sus estudiantes aprendieran a identificar
magnitudes, medirlas, reconocer sus respectivas unidades de medida y realizar procesos
de medición. Llamamos “global” a esta meta ya que incluye actividades y procesos que
se desarrollan a largo plazo, en un periodo aproximado de dos meses (para mayores
detalles ver Tabla 12.1).
La meta “local” de aprendizaje es la correspondiente a la clase que analizamos. Esta
meta era que los niños aprendieran a hacer cambios de escala en un plano. Llamamos
“local” a esta meta ya que incluye actividades y procesos que se desarrollan en una sola
clase.
Como habíamos mencionado en el apartado 5.2, Berthelot y Sali (1992) señalan que el
aprendizaje del cambio de escalas (en representaciones planas) implica el desarrollo de
procesos de ubicación y orientación a distintos niveles. Asimismo, y como también
mencionamos en el apartado 5.2, Gálvez (1985) caracteriza tres distintos “tamaños del
espacio” de acuerdo a las distintas las interacciones que el sujeto puede llegar a tener con el
mismo: microespacio, mesoespacio y macroespacio.
En el caso de la clase de Pedro es notorio cómo el tipo de actividades que propone a
sus estudiantes involucra actividades en dos de los niveles propuestos por Gálvez (1985):
A nivel de microespacio: Pedro propuso actividades que involucran el espacio
próximo (e.g. tomar en cuanta objetos del salón de clases), la visualización de objetos
próximos (e.g. usando la vista 3D del recurso seleccionado para la clase), y el tener
control de dichos objetos (e.g. poder modificar el tamaño de objetos mediante las
herramientas disponibles en el recurso) .
A nivel de mesoespacio: Como el mesoespacio tiene extensión (Gálvez, 1985 –ver
sección 5.2), las nociones de distancia entre objetos y ángulo, cobran importancia, y se
debe tener una “visión global” que le permite al sujeto representar el espacio desde
distintos puntos de referencia (objetos fijos que sirven para ubicar otros objetos). En este
caso, al proponer Pedro el proyecto del diseño y construcción del plano de una casa, esto
implicaba actividades de medición de distancias, áreas y ángulos; y ,los niños tenían que
establecer o tomar en cuenta, distintos puntos de referencia (e.g. una pared o una puerta)
y orientarse de acuerdo a ellos (teniendo así una visión global).
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
158
Todas estos elementos que pudimos inferir en nuestras observaciones de la clase de
Pedro, se relacionan con los conocimientos geométricos del profesor que analizamos a
continuación.
12.3. CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS Y ETM PERSONAL DE PEDRO SOBRE LA
MEDIDA Y LA MEDICIÓN
Respecto al ETM personal de Pedro (sus conocimientos de geometría y su enseñanza),
se observa cierto grado de claridad en identificar y describir los aspectos geométricos
involucrados en su clase: magnitud, medida, medición de longitudes y superficies. En las
entrevistas (antes y después de la clase aquí analizada), Pedro mostró que sus conocimientos
de geometría de su ETM personal, le daban claridad sobre el contenido matemático que iba a
abordar en la clase, así como del aporte del recurso digital. Este ETM personal de Pedro
contemplaba algunos conceptos relacionados con la medida y la medición.
Como ejemplo de ello, en la Tabla 12.1, se muestran fragmentos de la entrevista previa
a la clase observada, donde Pedro dejó claro algunos de estos elementos de su ETM, respecto
al tema que propuso para su clase:
Tabla 12.1. Fragmentos de la entrevista previa a la clase observada de Pedro
Cuestión Fragmento
Comentarios
(Elementos del ETM de
Pedro)
Proyecto
de aula
Entrevistadora: ¿Cuál es su propósito con este proyecto?
Pedro: … con este proyecto de aula yo busco que los
niños aprendan a diferenciar qué se puede medir y
que cosas no… por ejemplo, que puedo medir las
magnitudes… como la distancia… pero que no
puedo medir cosas abstractas… como el amor…
También quiero que aprendan a usar las unidades
de medida, a hacer aproximaciones, cambios de
escala, leer un plano, usen herramientas para
poder las cosas que van a ir metiendo en sus
casas.
Pedro expresa conocimientos
sobre las magnitudes y su
medida. Específicamente
señala las características de
una magnitud en términos de
“qué se puede medir y qué
no”. Además, expresa
algunas ideas de actividades
relacionadas con la medición,
por ejemplo, la estimación y
el uso de instrumentos.
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
159
Usos del
recurso
digital
Entrevistadora: ¿Qué aporta el uso de este recurso
digital que va a usar en el proyecto?
Pedro: … pues tiene unas herramientas muy buenas para
identificar las unidades que los niños le deben
poner a una medida; los niños se tienen que fijar
bien en qué unidad para cada magnitud… porque
es muy común que confundan centímetros, con
centímetros cuadrados, y esas cosas, son confusas
para ellos… Lo que busco es que puedan asignar
la unidad de medida correcta… y que la usen y
vean como queda la casa usando las unidades
correctas.
Pedro señala la meta de
aprendizaje para los
estudiantes a través del
proyecto a desarrollar. Dicha
meta es coherente con los
conocimientos sobre
magnitudes y su medida que
el profesor había
contemplado anteriormente.
Tema
geométrico
Entrevistadora: Entonces, ¿van a trabajar con varias
magnitudes?
Pedro: Solo con distancia y áreas… superficies planas y
ángulos. Cosas sencillas que sean de la vida
misma de los niños.
El profesor determina con
qué magnitudes van a
trabajar en el proyecto; da
algunas razones que
justifican su elección.
Tema
geométrico
Entrevistadora: Como profesor, ¿qué tiene usted en
cuenta cuando está hablando de magnitudes como
la longitud?
Pedro: …cuando uno tiene dos o más segmentos, pues
puede ver sus características; que pueda hacer
que uno los compare… Uno, lo primera que
piensa, es compararlos por el tamaño… ese
tamaño… saber qué tan largo es… es la
longitud… Así, uno puede saber si un segmento es
más grande que otro, o de igual tamaño… Para
eso me sirve el recurso: vos podés comparar, ya
sea así, de ojo, o midiendo.
Pedro expresa algunas
consideraciones didácticas
sobre la enseñanza de las
magnitudes y su medida;
resalta algunos
procedimientos para la
comparación de magnitudes.
12.4. SELECCIÓN POR PEDRO DEL RECURSO PARA SU CLASE
Como mencionamos arriba, en la clase observada Pedro propuso continuar el diseño de
la casa usando un recurso digital.
12.4.1. El recurso seleccionado por Pedro
Para lograr que sus estudiantes alcanzaran la meta “global” de aprendizaje definida por
Pedro, éste propuso el proyecto que hemos descrito anteriormente del diseño de una casa, para
lo cual buscó una herramienta que le permitiera a sus estudiantes realizar las diversas
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
160
requeridas por el proyecto (e.g. el diseño de planos). El recurso que seleccionó fue
Sweet Home 3D35 (ver Figura 12.3).
Figura 12.3. Interfaz de trabajo del recurso seleccionado por Pedro
Sweet Home 3D es un software gratuito para el diseño arquitectónico de casas y diseño
de interiores. Contiene una serie de herramientas para construir, medir, adaptar y modificar
objetos de una casa (e.g. puertas, ventanas, muebles). Otra de sus características es que
permite hacer visualizaciones 2D y 3D de los objetos que se van construyendo. En la Figura
12.3 puede observarse la apariencia general del recurso.
Teniendo en cuenta esas características, la selección del recurso de Pedro satisfacía sus
necesidades, es decir, sus criterios subyacentes, los cuales discutimos a continuación.
12.4.2. Criterios de Pedro para la selección del recurso
A partir de lo expresado por Pedro en las entrevistas (antes y después de la clase
observada), y de nuestras observaciones de su clase, pudimos inferir y categorizar sus criterios
de selección del recurso. Primero, al insertarse el recurso en un proyecto de carácter “global”,
como señalamos arriba, consideramos que también la selección del recurso fue "global" (a
35 Sweet Home 3D se encuentra disponible en http://www.sweethome3d.com/
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
161
diferencia de "local", como en el caso de Juan), porque Pedro quería que ese recurso pudiera
usarse en varias clases. De hecho, Pedro expresó el requisito de que el recurso tuviera
características amplias para así poderse usar en distintas actividades y en múltiples clases, y
satisficiera sus criterios didácticos (e.g. que el recurso facilite la exploración y la construcción,
así como el trabajo colaborativo).
Así, inferimos los criterios de selección de Pedro (Tabla 12.2 y Tabla 12.3), usando las
categorías generales según el tipo de criterio: Curricular, Cognitivo, Características didácticas,
Contenido Geométrico y Ergonómico que ya habíamos definido previamente para el caso de
Juan (ver sección 11.3.2): En el caso de Pedro, inferimos que sus principales criterios de
selección del recurso estaban relacionados con el contenido matemático o geométrico y con
las características didácticas que se buscan en el mismo. Pedro también definió otros
requisitos para el recurso, asociados a los dos criterios anteriores; en particular, buscaba que el
programa (el recurso) tuviera ciertas características relacionadas con el criterio ergonómico,
tales como que incluyera comandos o herramientas para llevar a cabo mediciones, o para
visualizar en 2D y 3D. En resumen y de manera general, para Pedro el recurso debía tener las
siguientes características:
(i) Debía facilitar el aprendizaje del tema de la medición de longitudes, áreas y ángulos
(que se aplicaría en la construcción, visualización y verificación de la construcción de la casa a
través del recurso digital) –criterios de contenido matemático (geométrico), de tipo cognitivo y
de características didácticas del recurso.
(ii) Contar con herramientas para medir distintas magnitudes, hacer cambios de unidad
de medida y de escala, –criterios ergonómico y de contenido matemático.
(iii) Y ser una tecnología que permitiera que los estudiantes trabajaran mayormente de
forma autónoma en sus creaciones y medidas (y el profesor fuera solo un apoyo) pero que, a la
vez, facilitara el trabajo colaborativo (Pedro dijo explícitamente eso, ya que quería que los
estudiantes trabajaran en parejas) –criterios de características didácticas del recurso y de tipo
ergonómico
La Tabla 12.2 resume los criterios de selección de Pedro. Las evidencias de cada
criterio, se presentan más abajo, en la Tabla 12.3.
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
162
Tabla 12.2. Categorización de los criterios de selección del recurso digital (caso de Pedro)
Tipo de criterio
de selección
Definición Particularidades en el caso de Pedro
Curricular Se refiere a los propósitos o
metas de enseñanza del profesor
y su coherencia con las
orientaciones curriculares
(nacionales e institucionales).
Pedro contempla algunas recomendaciones del
currículo sobre la enseñanza de las magnitudes
y su medida y el desarrollo del pensamiento
métrico.
Cognitivo Se refiere a cómo el recurso
puede apoyar los aprendizajes de
los alumnos.
Pedro busca que el recurso facilite el
razonamiento respecto a las características de
las figuras, a través de la construcción y
visualización (procesos ubicados en el plano
cognitivo de los ETM por Kuzniak & Richard
(2014) – ver sección 4.2.2) .
Características
didácticas
Se refiere a las características
didácticas que aporta el recurso.
Pedro busca que cada pareja de estudiantes
pudiera trabajar de manera autónoma con el
recurso, pero que al a vez el recurso permitiera
el trabajo colaborativo. También considera las
maneras cómo el recurso puede integrarse con
las actividades de su proyecto de aula.
Contenido
matemático
(contenido
geométrico)
Alude al contenido matemático,
en este caso geométrico, que
facilita el recurso durante las
actividades que los estudiantes
desarrollan con éste.
Pedro considera cómo el recurso facilita
trabajar con magnitudes y su medida,
incluyendo, por ejemplo, el manejo de
equivalencias entre unidades de una misma
magnitud.
Ergonómico Se refiere a las características
técnicas y de procedimiento del
recurso. También incluye
características de la interfaz, la
disposición y funciones de las
herramientas.
Pedro toma en cuenta el tipo de herramientas
con las que cuenta el recurso (e.g., para medir,
trazar, modificar), las características visuales
de la interfaz incluyendo las posibilidades de
visualización en 2D y 3D de las
construcciones hechas por los estudiantes.
A partir de las entrevistas y acciones de Pedro, inferimos los criterios que orientaron su
proceso de selección del recurso digital para su clase. Consideramos que, en el caso de Pedro,
todos los criterios fueron importantes, aunque los asociados con el contenido matemático
(contenido geométrico) y las características didácticas del recurso fueron los más
predominantes, y de éstos dependieron los otros criterios.
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
163
Respecto a los criterios matemáticos, podríamos interpretar la postura de Pedro así: es
un proyecto de geometría, por tanto, los recursos que vamos a usar deben servir para hacer
geometría”, lo cual determinó la naturaleza de los criterios ergonómicos, curriculares y
cognitivos. Los criterios asociados a las características didácticas del recurso se asocian más
con la intención del profesor de que el recurso facilitara que sus estudiantes compartieran
ideas y se apoyaran mutuamente, lo que constituyó un principio estructurador basado en el
trabajo colaborativo.
Respecto a los criterios curriculares, Pedro menciona de manera explícita la necesidad
de responder a las demandas del currículo, especialmente a las de los Estándares Básicos de
Competencias (MEN, 2006) señalando su interés por trabajar aspectos del pensamiento
métrico: que los estudiantes puedan comparar las características mensurables de los objetos,
usar determinadas unidades de medida de acuerdo a la situación y hacer equivalencias entre
ellas, todo lo anterior en un contexto de la “vida diaria”.
Un poco relacionado con lo anterior identificamos los criterios cognitivos, estando
éstos enfocados en el razonamiento que puede facilitar el combinar visualización en 2D y en
3D, con lo que el profesor busca que el recurso le permita a sus estudiantes identificar las
características mensurables de las figuras, realizar estimaciones, construir el plano de la casa y
comprobar (monitorear) si este quedó bien hecho
La Tabla 12.3 presenta evidencias de los tipos de criterios (de contenido matemático o
geométrico; de características didácticas; curricular; y cognitivo) considerados por Pedro para
su selección del recurso digital:
Tabla 12.3. Criterios de selección de un recurso digital (Pedro)
Meta “global” de aprendizaje:
Identificar magnitudes, medirlas, reconocer sus respectivas unidades de medida y realizar procesos de
medición.
Criterio de selección usado por Pedro Tipo de criterio
La tarea que los niños desarrollan usando el recurso debe tener buen
contenido geométrico. Pedro señala:
"… es la clase de geometría, el proyecto es de geometría, el software debe
traer cosas de geometría y que se vean, que los niños sepan que están
usando los conceptos de la clase”.
Contenido
matemático
(contenido
geométrico)
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
164
El recurso debe facilitar la exploración y la construcción de los estudiantes.
Pedro señala:
"La idea de trabajar con Sweet Home, es que los niños vean qué cosas se
pueden medir, cuáles no, cómo mido cada cosa, qué unidades de media
debo usar y así van mirando, van probando, ensayan, se equivocan y van
aprendiendo… y van a aplicar eso en algo concreto… en la construcción de
algo que ellos mismos hacen a su gusto, con sus conocimientos”
Trabajo colaborativo. Pedro señala:
"Las tecnologías son para que los niños aprendan a trabajar con su
compañero, hacer trabajo colaborativo… a mi me gusta que una pareja de
ellos se haga adelante y que todos vean su trabajo, porque eso les sirve de
guía y a mí me ayuda porque ven cómo se hacen las cosas y los que van
más atrasados tiene un modelo para hacer lo suyo”.
Características
didácticas
Las tareas desarrolladas usando el recurso deben ser coherentes con las
orientaciones del currículo:
“Uno verifica antes cómo es que se hacen las cosas con el software para
poder explicarle a los niños, tratando uno de ver que los que los niños van
a hacer es lo que dicen los estándares, lo que nos dicen en las reuniones…
que usen las medidas en contextos reales, para su vida, que no se trata de
memorizar fórmulas de conversión sino de aplicar los conocimientos, que
distingan las magnitudes unas de otras y sepan usarlas dependiendo de los
que están haciendo.”
Curriculares
Al facilitar la visualización en 2D y 3D, el recurso apoya el razonamiento
respecto a las características de las figuras, a través de la construcción y
visualización. Pedro señala:
"[Al] ver la construcción en 3D y ven como queda [los alumnos] dicen:’ uy,
esa pared nos quedó muy larga, hay que medir otra vez y recortarla 2
metros’”
Cognitivo
El recurso debe proveer de herramientas variadas y facilitar la visualización
en 2D y 3D. Pedro señala:
"Lo que más me gusta de Sweet Home es que los niños van haciendo su
plano… hay bastantes herramientas para hacer las paredes, las puertas
todo, y luego ver la construcción en 3D y ven como queda”
El recurso debe ser apto para ser usado en varias clases y con varios
propósitos. Pedro señala:
"... Yo quiero un software que pueda usar de varias maneras, de muchas
formas, porque lo vamos a trabajar mucho tiempo, entonces queremos
hacer muchas cosas con él”
Ergonómico
12.5. USO Y ORQUESTACIÓN POR PEDRO DEL RECURSO EN SU CLASE
Para su clase, Pedro planificó previamente sus metas, actividades específicas para sus
estudiantes, seleccionó los materiales y recursos necesarios, y previó la forma en que se
organizaría su clase. Así, Pedro concibió un ETM adecuado, orquestado de manera que se
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
165
promoviera el trabajo colaborativo de los estudiantes: una pareja compartía su trabajo en el
proyector (pareja guía), mientras los demás alumnos trabajaban en pequeños grupos (parejas)
con el profesor checando el trabajo de cada pareja, haciendo intervenciones que todo el grupo
escuchara.
Así, consideramos que la orquestación que Pedro hizo de su clase involucró los
siguientes aspectos, elaborados en la Tabla 11.3:
las metas de Pedro: la global de su proyecto de aula, y la local para esta clase;
la gestión de los recursos y artefactos disponibles (en este caso, incluyendo el uso del
recurso digital propuesto por Pedro para su proyecto de aula);
la tarea propuesta a los estudiantes a través del uso del recurso; y
la organización de la clase.
Tabla 12.4. Aspectos de la orquestación de Pedro en su clase de grado quinto
Aspectos de la
orquestación de Pedro
Descripción
Propósito educativo:
Definición de las metas
de aprendizaje
El profesor define dos tipos de metas:
Meta “global” de aprendizaje: identificar magnitudes, medirlas,
reconocer sus respectivas unidades de medida y realizar procesos de
medición.
Meta “local” de aprendizaje: realizar cambios de escala en un plano.
Organización de la clase:
trabajo colaborativo
Pedro organizó su clase para que el trabajo de una “pareja guía” se
compartiera al resto del grupo, mientras los demás estudiantes trabajaban
en parejas de manera colaborativa y autónoma. El profesor apoyaba el
trabajo de cada pareja y hacía observaciones generales al grupo.
Gestión de los recursos y
artefactos disponibles
El profesor planeó usar el recurso seleccionado en varias clases y en
distintas actividades (i.e. fue una selección de tipo “global”), junto con
artefactos como: un proyector de video, la pizarra y (en el caso de los
estudiantes) lápiz, papel y regla graduada. Para el uso del recurso digital
en la clase observada, el profesor estableció que los estudiantes usaran (en
parejas) el recurso durante toda la clase, con una pareja de estudiantes
conectada a un proyector para guiar a los demás.
Propuesta de actividades
didácticas apoyadas en el
recurso digital
Pedro orquestó su clase en base a lo que pensaba que aportaría el uso del
recurso digital a su clase: apoyar las construcciones geométricas de los
estudiantes (en el diseño de una casa). En esta clase en particular, propuso
la actividad de cambiar escalas en el plano de la casa y verificar que se
cumplieran los requisitos (en cuanto a las medidas que debían de contener
el plano de la casa).
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
166
Así, la orquestación de Pedro involucró tres tipos de organización de la clase (ver
Tabla 12.5) organizada en cuatro tipos de orquestación: interacciones “pareja de estudiantes-
recurso”, “pareja guía-recurso-grupo”, “profesor-recurso-parejas de estudiantes” y “profesor-
recurso-grupo”, las cuales forman parte de lo que Drijvers et al. (2013) llaman el desempeño
didáctico (didactical performance) del profesor. La Tabla 12.5 resume las interacciones que
Pedro orquestó en su clase:
Tabla 12.5. Niveles de orquestación propuestos por Pedro en su clase de grado quinto
Tipos de orquestación
(interacciones)
Desempeño didáctico y uso del recurso por Pedro
Parejas de estudiantes-recurso El profesor planteó la tarea a realizarse en parejas. Cada pareja
contaba con acceso al recurso propuesto para la clase.
Pareja guía– recurso–grupo En la parte delantera de la clase, una pareja de alumnas sirvieron de
guía exhibiendo todo su trabajo al grupo, a través de un proyector.
El profesor usaba la información obtenida en esta interacción para
ejemplificar formas de trabajo a todo el grupo para así orientar la
actividad general de la clase.
Profesor– recurso– parejas de
estudiantes
El profesor interactuaba con los pequeños grupos (las parejas).
Hacía preguntas, daba orientaciones y hacía correcciones.
Aprovechaba para evaluar el avance del trabajo de cada grupo de
estudiantes.
Profesor – recurso - grupo El profesor hacía uso directo del recurso para dar instrucciones
generales a la clase sobre cómo usarlo o introducir algún ejemplo u
aclaración.
Figura 12.4. Pareja guía de la clase de Pedro
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
167
Teniendo en cuenta los niveles de orquestación que Pedro propuso en su clase,
identificamos que este profesor estableció un principio didáctico colaborativo para su clase y
este principio orientó su proceso de selección del recurso. Pedro seleccionó una herramienta
universal que le permitiría promover interacciones diversas entre los estudiantes y el recurso, y
propuso una configuración didáctica que contemplaba el papel de una “pareja guía” (ver
Figura 12.4) para orientar y apoyar el trabajo de los demás estudiantes y el suyo propio como
maestro. Para ello, Pedro seleccionó a dos estudiantes para que conformaran la “pareja guía”,
considerando su desempeño académico en la clase y que su participación fuera voluntaria.
Esta configuración de la clase que planteó Pedro, nos recuerda la configuración
propuesta por Trouche (2004) en la que un “estudiante sherpa” proyecta su trabajo en una
calculadora gráfica ante toda la clase; lo cual sirve como una referencia o guía para lo
estudiantes y para el profesor mismo. Trouche (2004) considera que este tipo de orquestación
favorece la gestión colectiva de los procesos de génesis instrumental, ya que lo que el
“estudiante sherpa” hace con su calculadora le permite al profesor obtener información sobre
los esquemas de acciones instrumentadas que están construyendo los estudiantes.
En el caso de Pedro, la pareja guía, como en el caso relatado por Trouche (2004),
también proyectaba su trabajo ante toda la clase, servía de referencia a sus compañeros y el
profesor aprovechaba esta situación para hacer orientaciones y explicaciones a toda la clase o
a algunos estudiantes particularmente. En la orquestación de Pedro estaba permitida la
interacción entre estudiantes, así que algunos de ellos aprovechaban para hacerle preguntas a
la “pareja guía”, y también se hacían preguntas o solicitaban ayuda entre ellos mismos o al
profesor.
En conclusión, nuestros análisis muestran que los conocimientos profesionales de
Pedro sobre la geometría; su enseñanza y aprendizaje; lo señalado por el currículo; así como
otros adicionales (en particular, sus conocimientos sobre las tecnologías digitales), orientan su
posible orquestación de la clase y por tanto sus criterios de selección de recursos. En la
siguiente sección presentamos nuestras conclusiones sobre cómo estos conocimientos del
profesor (desde la perspectiva de los ETM) se relaciona con el proceso de selección de
recursos seguido por Pedro.
CAP. 12. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (1ª PARTE): EL RECURSO DIGITAL COMO UN CONTEXTO PARA LA CONSTRUCCIÓN Y LA
EXPLORACIÓN
168
12.6. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASO DE PEDRO
Analizando las declaraciones de Pedro en las entrevistas y sus acciones en clase,
inferimos que los elementos que orientaron su proceso de selección y uso del recurso digital,
fueron los tres niveles del ETM (el ETM de referencia, su ETM personal y el tipo de ETM
adecuado, es decir, adaptado didácticamente por Pedro para su clase):
Respecto al ETM de referencia: Éste está influenciado por las orientaciones
curriculares que propone el MEN (1998, 2006) sobre el estudio de las magnitudes y su
medida y el desarrollo del pensamiento métrico y el pensamiento espacial. A partir de
estas orientaciones, Pedro determinó las metas de aprendizaje para sus estudiantes: una
meta “global” de aprendizaje relacionada con su proyecto de aula, y una meta “local” de
aprendizaje para su clase.
Respecto al ETM personal de Pedro: Incluye las consideraciones didácticas del
profesor sobre el desarrollo del pensamiento métrico (e.g. el papel del diseño como
estrategia didáctica), el uso de recursos digitales y su entendimiento de las orientaciones
curriculares.
Respecto al ETM adecuado por Pedro para su clase: Teniendo en cuenta lo
anterior, Pedro determinó qué conocimientos matemáticos (geométricos) eran los que se
iban a poner en juego en su clase y qué características de éstos se iban a enfatizar. En
base a eso, el profesor propuso las actividades que realizarían sus estudiantes, con qué
recursos o artefactos iban a trabajar y cómo los iban a usar, proponiendo también una
cierta configuración didáctica (basada en múltiples interacciones entre el recurso, los
estudiantes y él mismo).
Estos aspectos que orientaron el proceso de selección de Pedro, involucraron:
Criterios que Pedro puso en juego para seleccionar el recurso digital para su clase.
La orquestación que Pedro hizo de su clase usando ese recurso seleccionado, la cual
promovió el trabajo colaborativo de los estudiantes.
En el siguiente apartado presentamos el estudio del caso colectivo que realizamos en la
Primera Fase.
169
13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
Como se mencionó en el capítulo 10, la segunda etapa de la Primera Fase fue un
estudio de caso colectivo de un grupo de treinta profesores de primaria, que incluía a los
profesores Juan y Pedro (participantes en la primera etapa), con quienes ya se había trabajado
previamente.
13.1. ORGANIZACIÓN DEL TRABAJO COLECTIVO CON EL GRUPO DE MAESTROS
Meses después de haber trabajado con Juan y Pedro, organizamos una reunión (i.e.
taller de profesores) con el grupo de 30 profesores de primaria de su escuela (ver Capítulo 10),
para reflexionar colectivamente sobre la importancia de contar con criterios de selección de
recursos digitales. Para esto, se propuso que Juan y Pedro compartieran con el grupo de
profesores, sus experiencias y el análisis hecho de su trabajo con recursos. El diseño
metodológico de la reflexión retrospectiva llevada a cabo por el grupo de profesores constó de
tres momentos en una sesión de 6 horas (ver Tabla 13.1):
Tabla 13.1. Diseño de la sesión de reflexión colectiva (Primera Fase)
Introducción a la
experiencia
Narración por Juan y Pedro de sus experiencias y reflexiones sobre su
selección de recursos digitales.
Preguntas de los participantes y reflexión colectiva inicial.
“Re-cursando” la
experiencia
Proyección de videos de las clases de Juan y Pedro.
Debate respecto a la orquestación del recurso seleccionado.
Conclusiones del
análisis
Conclusiones del análisis colectivo de la experiencia de Juan y Pedro.
Reflexiones colectivas sobre la selección de los recursos digitales:
¿qué criterios adicionales se deben considerar?
13.2. DESCRIPCIÓN DE LA EXPERIENCIA Y RESULTADOS
Aquí presentamos algunos resultados del estudio de caso colectivo donde el grupo de
30 profesores reflexionó sobre la selección y uso de recursos que Juan y Pedro hicieron en las
clases que nosotros observamos.
CAP. 13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
170
En un primer momento, se hizo la introducción a la experiencia de Juan: éste narró que
había seleccionado un recurso libre (“Juego de curvas abiertas y cerradas” –ver sección
11.3.1) para el estudio de las líneas geométricas abiertas y cerradas, tomado de un repositorio
(http://www.mundoprimaria.com/juegos-matematicas) que él consideraba de sus favoritos,
porque ofrece recursos dispuestos en grados de escolaridad y temáticas, lo que le facilita su
búsqueda.
Durante su narración, Juan expresó que antes de seleccionar el recurso, había tomado
en cuenta el tipo de organización que pretendía proponer en su clase: que cada estudiante
trabajara inicialmente solo, para después compartir y validar los conocimientos que
construyeron los niños, de forma plenaria.
En el caso de Pedro, su narración resaltó la selección del recurso que utilizó (Sweet
Home 3D –ver sección 12.4.1) como un software gratuito para el diseño arquitectónico de
casas e interiores que contiene una serie de herramientas para construir, medir, adaptar y
modificar objetos de una casa (e.g. puertas, ventanas, muebles). Pedro señaló que para él fue
importante proponer una organización de la clase basada en el trabajo colaborativo entre
pequeños grupos y el grupo completo. Pedro explicó que le interesó establecer un tipo de
trabajo colaborativo en la clase y la selección del recurso responde a esa intención.
En el segundo momento, que llamamos “re-cursando la experiencia”, el grupo de
profesores interactuó con los recursos seleccionados por sus colegas (ver Figura 13.1).
Figura 13.1. Profesores interactuando con los recursos seleccionados por Juan y Pedro
CAP. 13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
171
Durante este segundo momento, a sugerencia mía, la discusión se centró en los
aspectos matemáticos y didácticos del recurso. Para los profesores, el contenido matemático
del recurso pareciera ser transparente y no ameritar mayor discusión. Nuestra hipótesis frente a
este fenómeno tiene que ver con el conocimiento matemático de los mismos profesores que no
les facilita el tener una mirada crítica y propositiva al respecto. Los profesores debatieron
sobre los criterios ergonómicos y su importancia. Una profesora de grado 3º opinó:
“Lo primero que hay que ver es si eso [el recurso] se puede usar, porque uno
puede encontrar maravillas, pero valen plata, o no se puede usar en los
computadores de la escuela… primero, hay que ver que sirva y que uno lo pueda
usar y los niños. Porque hay cosas complicadas y uno va a gastar un montón de
tiempo en eso y no vale la pena.” (Profesora de tercer grado)
Este tipo de opiniones fueron compartidas por todos los participantes. Los profesores
estuvieron de acuerdo en que los criterios ergonómicos (técnicos, de disponibilidad y
accesibilidad, y de funcionamiento) del recurso, son fundamentales. Al respecto, estuvieron de
acuerdo con los criterios de Juan y Pedro, pero agregaron que es importante considerar la
posibilidad de trabajar con recursos que puedan usarse en diferentes tipos de dispositivos
(tanto en PCs, como en celulares o tabletas); reflexionaron sobre la portabilidad del recurso y
la posibilidad de trabajar con tecnologías digitales en espacios distintos al salón de clases o la
sala de Informática (e.g. la biblioteca o el patio). Los profesores también discutieron la
importancia de que el uso de los recursos digitales, en general, no se restrinja solo a una única
asignatura, sino que se usen en varias, así como en distintas actividades de la vida escolar (e.g.
el uso de Facebook para apoyar el desarrollo de actividades culturales).
Un aspecto relevante que se debatió tuvo que ver con la disponibilidad de recursos para
la enseñanza de la geometría en primeros grados. Los profesores estuvieron de acuerdo en que
no son abundantes los recursos para estos grados (ni de la mejor calidad), lo que conlleva a
que los profesores estén más limitados. Aquí se resaltó la pertinencia de tener criterios de
procedencia del recurso y de la importancia de los portales sugeridos por las autoridades
educativas (e.g. www.colombiaaprende.edu.co). Este aspecto nos parece muy importante: que
los profesores cuenten con una oferta de recursos avalados por las autoridades educativas y
expertos, que les permita hacer selecciones más seguras y pertinentes ya que son propuestas
realizadas. Al respecto, los profesores del estudio dijeron sentirse más cómodos cuando
seleccionan recursos de fuentes institucionales.
CAP. 13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
172
Finalizada esta discusión, Juan y Pedro presentaron sus reflexiones finales sobre el uso
de recursos digitales en sus clases. En su reflexión final, Pedro hizo hincapié en la necesidad
de tener claridad en el propósito educativo del recurso: ¿Para qué y cómo usar el recurso?
Algunos participantes respondieron que el cómo usar los recursos, depende también de
los conocimientos que tienen los niños de las tecnologías (que pueden ser más avanzados que
los de los profesores), y la dinámica propia de la clase:
“uno les lleva actividades con tecnología y no se sabe qué va a pasar porque los
muchachos la pueden manejar mejor que uno… hay que estar preparado para
todo”. (Profesora de quinto grado).
En todo caso, existió un consenso en que es muy importante tener una planeación
didáctica porque permite tener una “carta de navegación” de la clase, como señaló un
profesor:
“Uno no puede llegar al salón sin saber qué es lo que va a hacer. Desde la Normal
le enseñan a usted cómo planear la clase y qué recursos usar; eso no es nuevo…
Pero, si usted está preparado y tiene una buena carta de navegación: ah, ya sabe
cómo van a ser las cosas y le salen mejor.” (Profesor de cuarto grado)
Continuando con la discusión, los profesores pasaron al tema de la pericia del profesor
para hacer búsquedas eficaces (e.g. saber usar motores de búsqueda de internet) y ser capaz de
prever qué pueden aprender los estudiantes cuando trabajan con el recurso:
“Eso de buscar el recurso no es tan fácil. Uno aprende con el tiempo dónde hay
cosas que le sirvan… o también otro compañero te puede decir que usó eso, de tal
página, y uno mira a ver. Pero, entre más uno busca, aprende, y viendo el recurso
se imagina que pueden hacer los muchachos… para que clase le puede servir”.
(Profesora de segundo grado)
Otro punto que analizaron los profesores tuvo que ver con la organización de la clase.
De manera general, insistieron que una organización colaborativa es la más deseable, pero no
siempre es posible. También hablaron de que debía haber variedad en la organización del
trabajo y en las actividades:
“es que debe haber de todo, que trabajen en grupo, o en solitario, o con los
papás… para que haya variedad y aprendan a hacer cosas distintas”
(Profesora de primer grado)
CAP. 13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
173
Finalmente, los profesores anexaron otros criterios a los ya propuestos: por ejemplo,
consideraron criterios éticos, como que el recurso no debe incitar a la violencia o la
discriminación, resaltando la responsabilidad social del profesor en sus procesos de selección
de recursos para la clase:
“no debe movilizar mensajes nocivos para los niños. En internet hay de todo,
incluso videos de cosas que no son aptas para los niños. Hay que tener cuidado con
eso”. (Profesora de segundo grado)
13.3. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
Observamos que los profesores no acostumbran a reflexionar retrospectivamente (a
posteriori) sobre sus experiencias de enseñanza. La reflexión es un proceso complejo de la
actividad profesional del profesor que va más allá de dar una opinión, y que necesita de un
ambiente propicio para su desarrollo (Parada, Figueras & Pluvinage, 2011).
En este caso, fue necesario contar con la narración de colegas y utilizar documentos
(tales como videos y materiales escritos), así como la orientación de un investigador
participante, para suscitar discusiones respecto a qué criterios se consideran cuando se
selecciona un recurso digital para la clase de geometría.
Sin embargo, a partir de las declaraciones de los profesores, inferimos que los
profesores se concientizaron más sobre la importancia de contar con criterios claros que
orienten sus procesos de selección. Asimismo, los profesores resaltaron la importancia de
discutir y compartir (como lo hicieron en el taller) en sus grupos de trabajo para cada grado,
criterios de selección de recursos digitales; además de contar con recursos compartidos.
Aparentemente, los profesores también se percataron de que la selección de un recurso
requiere poner en práctica su conocimiento profesional e implica decisiones que impactarán
fundamentalmente su trabajo.
Un resultado notorio es que los criterios ergonómicos y de procedencia del recurso
fueron los más considerados por los profesores; mientras que los criterios de contenidos
matemáticos y de características didácticas no fueron casi discutidos, por lo que fue necesario
que la investigadora los invitara a hablar de ellos.
El hecho de que los profesores se enfoquen, al menos inicialmente, en los aspectos
ergonómicos y de procedencia del recurso quizás se deba a que la mayor parte de cursos de
CAP. 13. ESTUDIO DE CASO COLECTIVO
174
formación de profesores, relacionados con recursos digitales, que se les ha ofrecido a estos
maestros hacen énfasis en cuestiones técnicas (e.g., aprender a manejar determinado software)
dejando de lado los aspectos de contenido.
Respecto a la formación de profesores, nosotros consideramos que ésta debe buscar
que los profesores de primaria fortalezcan sus conocimientos matemáticos (geométricos) que
se fomentan al usar ciertos recursos como, por ejemplo, la geometría dinámica para explorar
las propiedades de las figuras geométricas. Un énfasis en los aspectos del contenido, en un
programa de formación dirigido a profesores de primaria, permitiría que éstos tomen más en
cuenta sus conocimientos matemáticos para realizar sus consideraciones didácticas (entre ellas
la selección de recursos para sus clases) para su enseñanza de las matemáticas y, en general,
en su práctica docente.
Por otro lado, la etapa de estudio colectivo de la Primera Fase de la investigación, nos
permitió identificar la importancia de la reflexión del profesor como una estrategia
metodológica para obtener datos valiosos respecto al proceso de selección de recursos; por
tanto, decidimos tener en cuenta el aspecto de la reflexión del profesor como un elemento
importante en el diseño metodológico de la Segunda Fase del estudio.
Adicionalmente, esta etapa nos permitió obtener datos adicionales sobre los
conocimientos profesionales de los profesores. Particularmente, nos hizo posible identificar un
tipo de criterio de selección de recursos, que ni Juan o Pedro habían considerado previamente:
nos referimos al criterio ético, es decir, el que toma en cuenta lo relacionado con la
responsabilidad social del profesor al seleccionar recursos para su clase.
En la siguiente sección presentamos las conclusiones finales de la Primera Fase de la
investigación, la cual toma en cuenta los análisis de los casos de Juan, de Pedro y del taller con
el grupo de profesores que acabamos de presentar.
175
14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA
INVESTIGACIÓN
En el desarrollo de esta Primera Fase, nuestra intención era obtener información sobre
la práctica de los maestros al seleccionar tecnologías digitales (no necesariamente analizando
la efectividad de ese uso). Al analizar el proceso de selección seguido por Juan y Pedro, y las
discusiones y reflexiones durante el taller de 30 maestros, aprendimos que diferentes tipos
criterios de selección de recursos –matemáticos (geométricos), características didácticas,
curriculares, cognitivos, ergonómicos y de procedencia del recurso– adquieren más o menos
importancia según los objetivos didácticos del docente.
En nuestro análisis también identificamos cómo estos “tipos de criterios” expresan, en
términos de Ball, Thames y Phelps (2008), conocimientos profesionales especializados de los
profesores, que se van construyendo a lo largo del tiempo y que son importantes para la
apropiación de los recursos digitales. A continuación, empezamos con esto.
14.1. CONOCIMIENTOS PROFESIONALES Y PERSONALES DE LOS PROFESORES
QUE IMPACTAN SU SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES
Aquí presentamos nuestras conclusiones respecto a los conocimiento profesionales de
los profesores que identificamos durante su proceso de selección de recursos digitales para sus
clases de geometría. En la Primera Fase de la investigación, obtuvimos datos que nos
permitieron inferir algunos de esos conocimientos profesionales especializados: por ejemplo,
los “tipos de criterios de selección” que mencionábamos anteriormente, además de otros
aspectos como las “orientaciones personales de los profesores” que Thomas y Palmer (2014)
mencionan en su modelo PTK. Nuestro análisis de dichos conocimientos profesionales tomó
en consideración, además, algunos aspectos del modelo de los ETM, como presentamos a
continuación.
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
176
14.2. ETMS IDENTIFICADOS DE LOS PROFESORES DE LA PRIMERA FASE DEL
ESTUDIO
El marco teórico propuesto Kuzniak y Richard (2014) nos permitió hacer un análisis de
los conocimientos de los profesores respecto a los tres niveles de los ETM: de referencia,
personal del profesor y adecuado.
Respecto al ETM de referencia es notorio cómo el currículo (en particular los
lineamientos propuestos en MEN,1998), orientaron el proceso de selección de los profesores.
Tanto Juan, como Pedro, expresaron las ideas (sus conocimientos) del currículo que cada uno
de ellos tomaba en cuenta; y su requerimiento que las tareas desarrolladas usando el recurso
fueran coherentes con las orientaciones del currículo y el trabajo previo desarrollado durante
la clase.
En cuanto al ETM personal, nuestros datos nos permitieron inferir qué conocimientos
de Juan y Pedro sobre la geometría y su enseñanza, incluyen aspectos de orden matemático
(geométrico) que orientan el proceso de selección del recurso y su orquestación. Otros
aspectos del conocimiento profesional, relacionados con el ETM personal de cada profesor,
tienen que ver con sus consideraciones didácticas sobre la enseñanza de la geometría, las
cuales se cristalizan en sus requerimientos para el recurso a seleccionar para su clase
(requerimientos correspondientes al criterio de características didácticas). En este ETM
personal también consideramos que se encuentran los conocimientos del profesor sobre las
tecnologías digitales, los cuales a su vez pueden orientar sus criterios ergonómico, y de
procedencia, para seleccionar su recurso digital.
Respecto al ETM adecuado, a partir del análisis realizado, concluimos que éste
incluye conocimientos del profesor sobre el aprendizaje de los estudiantes (correspondientes al
criterio cognitivo) que junto con sus consideraciones didácticas determinan, en mayor medida,
el tipo de ambiente de aprendizaje que él concibe para su clase. Lo anterior incluye el tipo de
actividad que el profesor le propone a sus estudiantes y el papel que le asignó al recurso digital
en la orquestación de su clase. Consideramos que el ETM adecuado es aquel que pone en
juego todos sus conocimientos profesionales y en buena medida informa sobre el proceso de
selección realizado por el profesor.
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
177
De manera general, consideramos que la mirada de los ETM, enfatiza, principalmente,
los aspectos más “formales” del conocimiento profesional del profesor: su conocimiento del
contenido a enseñar y cómo enseñarlo.
En esta fase de la investigación, nos centramos en analizar los conocimientos de los
profesores atendiendo a los tres niveles de los ETM, como presentamos arriba. Sin embargo,
consideramos que es importante profundizar aún más en el conocimiento matemático
(geométrico) del profesor: Por ello, y teniendo en cuenta los resultados de la Primera Fase, en
la Segunda Fase de la investigación, decidimos introducir la idea de “paradigma” que
menciona Kuzniak (2011) para profundizar en las consideraciones de orden epistemológico
que el profesor tiene sobre la geometría y cómo éstas se relacionan con su proceso de
selección de recursos.
Por otro lado, en nuestro análisis también consideramos otro tipo de conocimientos
profesionales relacionados con las orientaciones personales y percepciones personales de los
profesores sobre el uso de recursos digitales; ese tipo de consideraciones las presentamos en el
siguiente apartado.
14.2.1. ORIENTACIONES Y PERCEPCIONES PERSONALES DE LOS PROFESORES
QUE IMPACTAN SU SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES
Thomas y Palmer (2014), en su modelo PTK con relación a los conocimientos
involucrados en el uso de recursos digitales para la enseñanza (ver sección 4.1.3), señalan que
las orientaciones y percepciones de los profesores son un componente importante de su
conocimiento profesional. Desde nuestra perspectiva, nosotros consideramos que esas
orientaciones y percepciones también impactan el proceso selección de recursos, al influir en
los criterios de selección que los profesores ponen en juego.
Por ello, llevamos a cabo un análisis sobre las orientaciones personales de los
profesores, el cual, siguiendo las ideas de Thomas y Palmer (2014), dividimos: (i) las
creencias de los profesores sobre el valor de las tecnologías digitales y su papel en el
aprendizaje de las matemáticas; (ii) las percepciones de los profesores sobre la naturaleza del
conocimiento matemático y cómo debería aprenderse la matemática; (iii) los aspectos
afectivos, como la confianza; y (iv) otras percepciones adicionales.
Así, para los casos estudiados en la Primera Fase, inferimos lo siguiente:
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
178
(i) Respecto a las creencias de los profesores sobre el papel de las tecnologías
digitales en el aprendizaje de las matemáticas particularmente de la geometría:
Identificamos que para Juan y Pedro, esta creencias se hacen explícitas cuando
describen sus criterios de tipos ergonómico, y de características didácticas de selección de un
recurso digital para su clase.
Por ejemplo, en el caso de Pedro, éste señala que las “[l]as tecnologías son para que
los niños aprendan a trabajar con su compañero”; en este caso, Pedro tiene la creencia de que
las tecnologías digitales pueden promover el trabajo colaborativo entre los estudiantes, y toma
eso en cuenta para su selección y orquestación del recurso y la clase.
En el taller con el grupo de profesores también se hicieron presentes otras creencias
relacionadas con el uso de las tecnologías digitales y su papel en la enseñanza: Por ejemplo,
una profesora expresó que al usar estas tecnologías en la clase, el profesor debe estar
preparado para afrontar muchos imprevistos: “uno les lleva actividades con tecnología y no se
sabe qué va a pasar … hay que estar preparado para todo”. Otros comentarios fueron en el
sentido de que los profesores pueden usar los recursos digitales de diversas maneras: por
ejemplo, algunos profesores recomendaban trabajar con recursos que se puedan usar en
diferentes tipos de dispositivos (tanto en PCs, como en celulares o tabletas), o en espacios
distintos al salón de clases o la sala de Informática (e.g. la biblioteca o el patio); y que el uso
de los recursos digitales se aproveche en distintas actividades escolares sin, en general,
restringirse a una única asignatura.
(ii) Respecto a las percepciones de los profesores sobre la naturaleza del
conocimiento matemático:
A través de nuestro análisis usando los distintos niveles de los ETM (Kuzniak y
Richard, 2014), como señalamos al final de la sección anterior, pudimos percatarnos que los
criterios de orden matemático (geométrico), influyen en buena medida en el proceso de
selección del recurso. En particular notamos que las percepciones de Juan y Pedro sobre la
naturaleza del conocimiento matemático (geométrico), se relacionan con distintos criterios de
selección de recursos –como los de los tipos de cognitivos y de consideraciones didácticas.
También observamos que las percepciones de Juan y Pedro sobre la naturaleza del
conocimiento matemático, influyeron en sus consideraciones de orden didáctico (cómo, cada
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
179
uno de ellos entendía, debería aprenderse geometría usando recursos digitales). Por ejemplo,
Juan señaló lo siguiente, respecto al uso de recursos digitales en la clase:
"Cuando uno mete un juego didáctico tecnológico, a la clase, hay que fijarse qué
van a hacer los niños con ese juego, porque a veces los juegos [recursos digitales]
traen cosas que no van con el grado de los niños, porque son difíciles o los niños
no las conocen […] No quiero que los niños se confundan con demasiadas cosas
que no pueden entender con su edad”
(Profesor de quinto grado, fragmento de intervención)
Allí estaba expresando parte de sus percepciones sobre si son adecuados para los niños,
según su edad y nivel de escolaridad, los contenidos matemáticos facilitados en las actividades
con un cierto recurso digital.
(iii) Respecto a los aspectos afectivos que tiene cada profesor al usar tecnologías
digitales:
Uno de los aspectos que pudimos vislumbrar en la configuración didáctica y en las
maneras en que Juan y Pedro orquestaron sus respectivas clases, fue el “gusto” de los
profesores, y el que perciben en sus estudiantes, por utilizar tecnologías digitales en sus clases.
Por ejemplo, Juan expresa:
“A mi me gusta trabajar con juegos, interactivos y cosas que le llaman la atención
a los niños […] Ya llevo unos tres años haciendo esas cosas, y a ellos les gusta, a
mí también porque se sale uno de la rutina del salón y aprende allí con ellos.”
(Juan, en entrevista posterior a la clase observada)
También inferimos, de manera implícita en sus percepciones favorables, que este
profesor, al igual que Pedro, siente un nivel de confianza suficiente para integrar las
tecnologías digitales a su práctica docente.
(iv) Respecto a otros tipos de percepciones de los profesores:
Una percepción generalizada entre los profesores, fue en el sentido de percibirse
menos hábiles en el manejo de la tecnología que sus alumnos. Por ejemplo, una profesora
expresó que “los muchachos la pueden manejar [la tecnología] mejor que uno”, aseveración
que fue compartida por todo el grupo de profesores.
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
180
Sin embargo, algunos profesores expresaron que esa misma situación de “saber menos
que los estudiantes” respecto al uso de tecnologías digitales, también podía ser una
oportunidad de formación para los profesores:
“Claro, ellos saben más de estas cosas tecnológicas y de los celulares y eso y con
ellos uno aprende porque ellos le enseñan a usted que está viejo. Lo bueno, es que
podemos aprovechar eso, dándoles qué hacer en la clase: ‘Vea, mi hijo, conecte el
videobeam, ponga esto o haga lo otro…’. [O sea,] ayudarse de los muchachos. A
ellos le encanta sentirse útiles y uno va aprendiendo, porque de eso se trata: de
aprender”. (Profesora de tercer grado)
Otra percepción de los participantes del taller (incluidos Juan y Pedro), fue en relación
a la falta de disponibilidad de recursos; es decir, señalaban no contar con una oferta suficiente
(ni de la mejor calidad, y menor que en otros niveles educativos) de recursos digitales para
enseñar matemáticas a nivel de la primaria. Al respecto, una de las profesoras señaló:
“Para primaria siempre hay muchos materiales y ayudas didácticas, pero no tanto
de estas cuestiones tecnológicas. Empezando que en los cursos, al menos lo que nos
dan a nosotros, siempre ponen ejemplos del bachillerato con GeoGebra y
programas así”. (Profesora de quinto grado)
Finalmente, también identificamos, en el taller, la percepción de la importancia de la
planeación de la clase: los profesores señalaron que la planeación de la clase es muy
importante para orientar su trabajo docente:
“Uno no puede llegar al salón sin saber qué es lo que va a hacer. . […] Pero, si
usted está preparado y tiene una buena carta de navegación: ah, ya sabe cómo van
a ser las cosas y le salen mejor […]. En la planeación de la clase usted mira las
actividades, el tiempo, mira los recursos, los materiales para los niños, usted
repasa el tema, se prepara.” (Profesor de cuarto grado)
Nosotros inferimos que la planeación de la clases es un momento importante en el
trabajo del profesor, en el que éste toma decisiones, tales como decidir qué recurso seleccionar
para su clase y determinar de qué maneras los va a usar.
En la siguiente sección profundizamos sobre los usos de los recursos en la clase y su
orquestación por Juan y Pedro, los cuales consideramos se relacionan con sus procesos de
selección.
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
181
14.2.2. LA SELECCIÓN DE RECURSOS Y LA ORQUESTACIÓN DE LA CLASE:
PROCESOS COMPLEMENTARIOS
Nuestros resultados en la Primera Fase muestran que los profesores seleccionan sus
recursos digitales pensando (i.e., previendo, anticipando) en su futura orquestación de la clase.
Así pues, llegamos a la conclusión de que no es posible estudiar los procesos de selección sin
tener en cuenta la orquestación que el profesor hace la clase.
En nuestro análisis identificamos que existen conocimientos de los profesores que se
constituyen en lo que Vergnaud (1998, 2003) reconoce como “anticipaciones”, es decir,
conocimientos que le permiten al sujeto reconocer las características de una situación
particular, establecer metas de acción e inferencias (i.e. adaptaciones de su acciones) respecto
a una variedad de situaciones más o menos parecidas.
En nuestros análisis evidenciamos que mientras el profesor está seleccionando un
recurso digital, realiza diversas anticipaciones respecto a la orquestación de la clase. Estas
anticipaciones orientan en buena medida el proceso de selección.
Al respecto, encontramos que las principales anticipaciones de los profesores (e.g. los
aspectos que toman en cuenta para su orquestación), tienen que ver con la configuración
didáctica y de la gestión de los artefactos disponibles. Por ejemplo, en el caso de Juan, este
profesor quería una configuración didáctica donde cada estudiante trabajara individualmente
y, posteriormente, se realizara una socialización; en el caso de Pedro, el profesor buscó una
organización de la clase basada en el trabajo colaborativo. En ambos casos, los profesores
primero determinaron cómo querían usar el recurso y después buscaron y seleccionaron un
recurso que les permitiera desarrollar lo que tenían previsto.
Consideramos que ambos profesores, Juan y Pedro, usaron el recurso digital que cada
uno seleccionó, para promover interacciones diversas de trabajo en la clase, como el trabajo
individual, en parejas o colaborativo. Asimismo, ambos profesores buscaron que el recurso
digital proveyera algún tipo de retroalimentación que apoyara el aprendizaje de los
estudiantes. La Tabla 14.1 resume los usos del recurso (la orquestación) que ambos profesores
propusieron para las clases que nosotros observamos.
182
Tabla 14.1. Orquestación de la clase y usos del recurso en las clases de Juan y Pedro
Usos del recurso Descripción Ejemplos de la clase de Juan Ejemplos de las clase de Pedro
Organizar y
disponer la clase
Introduce, presenta ideas
matemáticas.
[A todos los niños, mientras ellos leen la
pantalla] “¿Cómo se llama el juego? ‘Juego de
curvas abiertas y cerradas.’ Ese es el tema de
la clase de hoy… lo que ya vimos la semana
pasada, ¿se acuerdan?
“… estamos trabajando las áreas… eso lo empezamos
a ver en la clase de geometría… hoy vamos a hacer
una actividad usando áreas…”
Asigna reglas de trabajo
en la clase y modos de
participación.
“Primero, cada uno va a trabajar solo con su
computador. Yo los voy ayudando… Al final de
clase, vamos a reunirnos todos y revisar qué
fue lo que hicimos… ustedes van a salir al
frente […] yo escojo quiénes salen acá
adelante.”
“… van a trabajar conectadas al videobeam para
que todos puedan ver cómo se hace la actividad”.
Retroalimentar las
acciones de los
estudiantes
Resume, ejemplifica y
resalta ideas importantes.
“… esto que vemos (señalando la pantalla) son
ejemplos de líneas cerradas, recordemos qué
es una línea cerrada…”
[A un niño:] “Eso que acabás de hacer es calcular el
área de la sala; ¿qué tanto mide la sala de la casa?,¿
qué tan grande es?, ¿qué tanto espacio ocupa?”
Indaga y corrige
procedimientos de los
estudiantes.
[A un niño:] “El juego te está diciendo que
tuviste un error, vas a la flecha de acá, se
devuelve y lo vuelve a hacer.”
“Mira lo que … están haciendo, debes devolverte y
corregir tu trabajo… las paredes deben ser
perpendiculares”.
Institucionalizar
conocimientos
matemáticos
Valida conocimientos de
los estudiantes.
[A un niño, frente a todo el grupo:]
“Muy bien… tiene la razón, una línea abierta,
porque este punto [señala el pizarrón] no es
vértice.”
“Como no podemos hacer el plano de la casa en su
tamaño real, porque no nos cabría aquí en el salón,
para usamos la escala. En este caso, Sweet Home nos
dice: haga una escala de reducción [señala una
herramienta del software], que es hacer el mismo
plano de la casa pero más pequeñito, pero con la
misma forma.”
Clausura, cierra la clase. [A un niño frente a todo el grupo:] “Pase a
hacer el juego y entre todos vamos a ver si está
bien o tenés que corregir algo, con eso ya
terminamos la clase por hoy.”
“Cuando terminen el plano, guardan y cierran.
Seguimos la próxima clase…. No olviden guardar en
su memoria [USB]”
183
En conclusión, los procesos de selección de recursos para la clase y la orquestación de
la clase, son procesos del trabajo documental del profesor, que se complementan y nutren el
uno al otro.
14.3. CRITERIOS DE SELECCIÓN DE RECURSOS DIGITALES
Como se vio en los capítulos anteriores, Juan y Pedro presentaron cada uno su proceso
particular de selección de recursos para su clase. Por supuesto, esto se debe a que cada uno se
encuentra en una situación diferente: el grado que enseña (uno enseña primer grado y el otro
quinto grado), las necesidades educativas de sus estudiantes, su propia experiencia, etc. Sin
embargo, al contrastar a estos profesores que se encontraban en situaciones diferentes, aunque
fue posible discernir criterios diferenciados que dependían del propósito educativo de sus
clases, también observamos que hay ciertos criterios que se manifiestan de manera similar, a
pesar de las diferencias; a continuación discutimos esos criterios similares.
14.3.1. Criterios similares de selección de recursos
En las entrevistas previas y posteriores a la clase analizada, y durante el taller con el
grupo de 30 maestros, Juan y Pedro describieron sus criterios para seleccionar los recursos que
usarían en sus clases de geometría. Es notorio que, de manera general, ambos profesores
exhibieron criterios que se manifiestan de manera similar (e.g., en cuando a gratuidad y
accesibilidad de los recursos).
En particular, ambos profesores tenían requisitos ergonómicos generales similares
(sobre aspectos técnicos y de procedimiento): por ejemplo, ambos buscaban que los recursos
fueran libres, fáciles de usar y que pudieran tener acceso a ellos en sus escuelas. Durante el
taller colectivo con los profesores (que incluía a Juan y Pedro), también se destacó a esos
mismos criterios ergonómicos como importantes en los procesos de selección de recursos
digitales para las clases.
Por otro lado, Juan y Pedro también expresaron la necesidad de que los recursos
digitales contaran con lo que los profesores perciben como “buenas características didácticas”:
por ejemplo, ser “adecuado y ajustado” a la edad (palabras de Juan); o satisfacer las
necesidades educativas de los estudiantes, y las de la orquestación que el profesor desea poner
en juego.
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
184
Igualmente, ambos profesores consideraron aspectos del contenido matemático
(geométrico) del recurso, coincidiendo en cuestiones generales, tales como que el recurso hace
explícitos elementos del tema de matemáticas a abordar (en este caso, de geometría).
Asimismo, Juan y Pedro también expresaron criterios curriculares similares, tales
como el requisito de que el recurso se relacione con las metas de enseñanza del profesor y se
pueda tener coherencia con las orientaciones curriculares.
La Tabla 14.1 resume los criterios similares en los casos de Juan y Pedro y su
respectiva definición, en orden descendiente de cuánto los dos profesores concurrieron en los
criterios:
Tabla 14.2. Manifestaciones similares en los criterios de selección de recurso (Primera Fase)
Criterio de
selección
Definición Criterios similares de Juan y Pedro
Ergonómico Se refiere a las características técnicas
y de procedimiento del recurso.
También incluye características de la
interfaz, la disposición y funciones de
las herramientas.
El recurso debe:
ser gratuito,
de fácil acceso, y
de uso fácil para los estudiantes.
Curricular Se refiere a los propósitos o metas de
enseñanza del profesor y su coherencia
con las orientaciones curriculares
(nacionales e institucionales).
El contenido temático del recurso debe
corresponder:
con las orientaciones curriculares, y
con el trabajo previo de la clase.
Características
didácticas
Se refiere a las características
didácticas que aporta el recurso.
Las actividades desarrolladas por los
estudiantes usando el recurso deben de:
proporcionar algún tipo de
retroalimentación al estudiante, y
posibilitar diversas interacciones en la
clase (e.g. con el recurso; con los
compañeros).
Contenido
matemático
(contenido
geométrico)
Alude al contenido matemático, en
este caso geométrico, que facilita el
recurso durante las actividades que los
estudiantes desarrollan con éste.
Las actividades que los niños desarrollan
usando el recurso debe hacer explícito el
contenido geométrico.
Cognitivo Se refiere a cómo el recurso puede
apoyar los aprendizajes de los
alumnos.
El recurso debe proporcionar oportunidades
para el aprendizaje de los estudiantes.
Consideramos que estas manifestaciones similares en los procesos de selección de
recursos digitales por profesores en situaciones diferentes, es información valiosa respecto a
los conocimientos profesionales que se ponen en juego al integrar tecnologías digitales en la
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
185
práctica docente. Este hallazgo nos permite sospechar que existen aspectos generales que se
repiten en los procesos de selección de los profesores.
14.3.2. Criterios adicionales de selección de recursos
Sin embargo, en otros aspectos del proceso de selección del recurso digital y su
orquestación, cada profesor siguió enfoques muy diferentes, como se ha descrito
anteriormente según las particularidades en cada caso.
En esta sección planteamos algunos criterios adicionales que detectamos en algunos (si
bien, no todos) los casos. Éstos se relacionan con la procedencia y la función social de los
recursos digitales para la enseñanza (en este caso, de las matemáticas en educación primaria).
Por ejemplo, Juan (pero no Pedro) toma en cuenta el criterio de procedencia del
recurso (este criterio surgió también en el estudio de caso colectivo, es decir en el taller
con los maestros). En el caso de Juan, éste considera que los recursos deben de proceder
de una fuente “confiable”; otros maestros (incluido Pedro) expresaron estar de acuerdo
con Juan y señalaron que, preferiblemente, los recursos deben de provenir de
repositorios oficiales. Este criterio se podría considerar un criterio de tipo ergonómico,
aunque también es una consideración didáctica.
Otro criterio que surgió, fue el que llamamos el criterio ético. Identificamos este tipo
de criterio durante el desarrollo del estudio colectivo, donde los profesores señalaron la
importancia de que el recurso no incite al comportamiento agresivo, que no incluya
cuestiones como la discriminación, etc. Este criterio no se refiere a un contenido
temático particular, sino que se relaciona con aspectos de ética y de valores; es decir,
con la función social del recurso y de la práctica docente.
14.4. RESUMEN DE CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE
Podemos decir que los procesos de selección seguidos por Juan y Pedro, además de las
reflexiones y comentarios durante el taller con maestros, ilustran las maneras en que
profesores con algo de experiencia en la integración de tecnologías digitales, seleccionan
recursos que utilizarán y orquestarán en sus clases. Como vimos anteriormente, nosotros
concluimos que los profesores realizan la selección de recursos de acuerdo a la orquestación
que desean realizar de su clase: por ejemplo, la configuración didáctica de ésta, incluyendo el
CAP. 14. CONCLUSIONES DE LA PRIMERA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
186
papel del recurso en las interacciones sociales de la clase (e.g. profesor-recurso-pareja de
estudiantes).
En conclusión, identificamos que diferentes criterios de selección de recursos –de
contenido matemático (geométrico), curriculares, de características didácticas, cognitivos,
ergonómicos y de procedencia del recurso– adquieren más o menos importancia según los
objetivos o metas didácticos del docente (que, como vimos, pueden ser locales o más
globales). Esta selección de recursos implica decisiones y acciones que pertenecen al
conocimiento profesional construido a lo largo del tiempo, y por lo tanto es algo que debería
ser abordado en los programas de capacitación de maestros.
14.5. HACIA LA SEGUNDA FASE DEL ESTUDIO A PARTIR DE LOS RESULTADOS
DE LA PRIMERA FASE
En la Primera Fase de la investigación, obtuvimos datos que nos permitieron inferir los
“criterios de selección” de recursos, de los profesores analizados. Partiendo de la premisa de
que los conocimientos profesionales de los profesores orientan sus procesos de selección de
recursos para la clase, tratamos de analizar éstos. Para ello, en la Primera Fase, un enfoque que
tomamos fue analizar los conocimientos profesionales de los profesores atendiendo a los tres
niveles de los ETM presentados anteriormente. También identificamos que las “orientaciones
personales de los profesores” que Thomas y Palmer (2014) mencionan en su modelo PTK,
influyen en los “criterios de selección”.
Sin embargo, los resultados de esa fase nos indicaron que es necesario profundizar más
en la práctica del profesor y su trabajo documental, para lograr inferir, con mayor detalle, el
tipo de conocimiento profesional (e.g., el conocimiento matemático o geométrico) que los
profesores de primaria ponen en juego mientras seleccionan recursos digitales para la
enseñanza de la geometría. Para ello, como describiremos en la sección 15.1, en la Segunda
Fase propusimos utilizar una técnica de introspección (ver sección 9.2) para hacer seguimiento
al trabajo documental individual de los profesores y obtener datos que nos permitieran inferir
posibles “esquemas”, en el sentido de Vergnaud (1998, 2013); y para analizar esos posibles
“esquemas”, propusimos utilizar la idea de “paradigma” de Kuzniak (2011).
A continuación presentamos el desarrollo de la Segunda Fase de la investigación en la
cual hacemos el seguimiento a cuatro profesores de primaria.
187
PARTE V: SEGUNDA FASE – DISEÑO Y
RESULTADOS
188
15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA
INVESTIGACIÓN
En este capítulo se dan detalles de la metodología y actividades principales realizadas
en la Segunda Fase, y cómo éstas se determinaron a partir de los resultados obtenidos en la
Primera Fase. Comenzamos presentando los cambios que realizamos en la metodología con
base en los resultados obtenidos en la fase anterior.
15.1. CAMBIOS EN LA METODOLOGÍA CON BASE A LOS RESULTADOS DE LA
PRIMERA FASE
En la Segunda Fase se realizaron varios cambios en la metodología, a partir del análisis
del desarrollo y de los resultados de la Primera Fase de la investigación. A continuación
explicamos dichos cambios en términos de: los criterios para escoger los participantes del
estudio; de su seguimiento; y de cómo obtener mayor información, a través de la técnica de
introspección descrita en el capítulo 9, de los procesos de selección de recursos de los
profesores:
Cambios en los criterios de elección de los casos a estudiar: En la Primera Fase se
quería que los profesores a estudiar tuvieran al menos 10 años de experiencia docente;
en esta fase consideramos trabajar con profesores que contaran con distinta experiencia
docente, con el fin de ampliar el número de casos a estudiar (ver Tabla 15.3).
Cambios en los criterios de elección de la escuela en la cual trabajaban los
profesores participantes en el estudio: En la Primera Fase se quería que la, o las,
escuelas participantes fueran escuelas públicas, que su participación fuese voluntaria, y
que dispusieran de recursos digitales en sus instalaciones. Todos esos criterios se
mantuvieron en la Segunda Fase. Sin embargo, en la Primera Fase también se había
puesto como requisito que las escuelas contaran con políticas internas que promovieran
el uso de tecnologías digitales; pero este criterio se desechó en la Segunda Fase con el
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
189
propósito de contar con la participación de profesores de un mayor número de escuelas
y, por tanto, representantes de diversas situaciones (ver Tabla 15.3).
Cambios metodológicos para enfocarse en el seguimiento de profesores
individuales. Otra modificación es que en la Segunda Fase no se realizó ningún estudio
de caso colectivo (como el taller de reflexión colectiva con los 30 maestros de la Primera
Fase); solo estudios de caso individuales: de los profesores Laura, Pedro, Miguel y Sonia
(ver sección 15.4.3). Nuestro propósito, en esta fase, era profundizar en el trabajo
documental de los profesores estudiados, por tanto nos centramos en inferir “sus
esquemas de selección de recursos digitales para la enseñanza de algún tema de
geometría en determinado grado de primaria”. Adicionalmente, en los dos últimos casos
(de los profesores Miguel y Sonia) también estudiamos su “sistema de recursos para la
enseñanza de la geometría” (debido a la oportunidad que se nos presentó de un largo
seguimiento a Miguel); este último análisis nos proporcionó datos adicionales para
complementar el análisis del proceso de selección de recursos de los profesores.
Tiempo de trabajo con los profesores observados: En la Primera Fase se trabajó
con los dos profesores (Juan y Pedro) durante 7 semanas, periodo en el que se les
hicieron entrevistas y se les observó en clases (3 en total de Juan; 4 de Pedro; aunque
solo durante una, a cada uno, con uso de recursos digitales). En cambio, en la Segunda
Fase, el tiempo de trabajo con los profesores individuales se amplió hasta 11 semanas,
periodo donde se les entrevistó aplicando una técnica de introspección (ver abajo); y se
les hizo seguimiento, no solo mediante observaciones a sus clases, sino a sus sesiones de
planeación.
Producción de “mapas” por parte del profesor: En esta fase, retomamos uno de
los elementos de la investigación reflexiva, propuesto por Gueudet y Trouche (2012): la
producción de representaciones esquemáticas o “mapas” por parte del profesor mismo
(Rocha, 2016). Mediante la realización de estos “mapas reflexivos” el profesor puede
representar aspectos de su trabajo documental (e.g. su proceso de selección de recursos).
En esta fase, analizamos dos tipos de mapas hechos por los profesores: (i) Mapas en los
cuales los profesores representaban su “sistema de recursos”. Y (ii) mapas en los cuales
los profesores representaban su proceso, o “ruta-recorrida”, de selección de recursos.
Estos dos tipos de mapas se diferencian entre sí, en el sentido que representan aspectos
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
190
distintos del trabajo documental del profesor: (i) su sistema de recursos; y (ii) su proceso
de selección de recursos (su ruta-recorrida). Además:
(i) En la producción de los mapas de sistemas de sus recursos, los profesores
“nombran” los recursos que usan para su enseñanza y los organizan en categorías.
Para la producción de este tipo de mapas el profesor reflexiona sobre su enseñanza
durante una “visita guiada” en la cual enseña los recursos que usa para su
enseñanza. En nuestro estudio, estos mapas constituyen una representación de los
“artefactos” de su sistema de recursos.
(ii) Para la producción de los mapas de sus rutas-recorridas, los profesores
evocan (a posteriori) sus acciones y pensamientos del proceso de selección, y los
representan en esos mapas. Para estimular al profesor a que evoque y recuerde
sus acciones y conocimientos, aplicamos la técnica de introspección, como
explicamos a continuación.
Uso de una técnica de introspección: A diferencia de la Primera Fase, en la
Segunda Fase, durante muchas de las entrevistas, se aplicó la técnica de introspección
que describimos en la sección 9.2. Esta técnica de introspección consistió en estimular al
profesor (mediante fotos o videos principalmente) para que evocara proceso de selección
(su ruta-recorrida) mientras seleccionaba recursos en una situación específica y
produjera mapas de rutas-recorrida (mapas tipo ii). Esta técnica se aplicó con el
propósito de obtener datos que nos permitieran inferir los esquemas de utilización (en
particular, las “invariantes operatorias”) que los profesores pusieron en juego en su
selección de recursos digitales para sus clases. Cabe señalar que la producción de los
mapas de sistemas de recursos (mapas tipo i), no requiere aplicar la técnica de
introspección ya que no requiere evocar eventos o acciones pasadas; al contrario, el
profesor solamente reflexiona sobre su enseñanza “aquí y ahora” durante las visitas
guiadas.
Cambios en la metodología de análisis: En esta fase no realizamos un análisis del
ETM completo (como se hizo en la Primera Fase) porque quisimos enfocarnos en otros
aspectos del análisis. Lo que hicimos fue profundizar en el estudio de las “invariantes
operatorias” contenidas en los esquemas de los profesores, para ello, utilizamos la idea
de “paradigma geométrico” que propone el modelo de los ETM de Kuzniak (2011).
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
191
En la siguiente sección presentamos mayores detalles de las actividades que realizamos
en la Segunda Fase de la investigación.
15.2. ACTIVIDADES DE LA SEGUNDA FASE
La Segunda Fase de la investigación se llevó a cabo en los cuatro momentos descritos
en la Figura 8.2 del capítulo 8, cuyos detalles, en esta fase, fueron:
1. Determinación y aplicación de criterios e instrumentos para seleccionar los
profesores participantes; y diseño de otros instrumentos de recolección de datos:
Establecimiento de criterios de selección de los profesores
participantes: que fueran profesores de primaria; con participación
voluntaria, e ,interés en la enseñanza de la geometría: que usaran recursos
digitales en su enseñanza; y que tuvieran interés en su desarrollo
profesional (ver más detalles en la sección 15.4).
Diseño de instrumentos: los cuales incluyeron cuestionarios, y
protocolos de entrevistas y de observación de clases.
Verificación de qué profesores cumplían con los criterios de selección
para participar en el estudio, y la selección de los profesores que
participaron.
2. Recolección de datos:
Para caracterizar y contextualizar los casos a estudiar, a través de la
aplicación de un cuestionario (el C2 –ver anexo B); una o dos entrevistas
previas al profesor (dependiendo del caso); y una visita a la escuela (que
incluyó una entrevista al director de la escuela).
Para el seguimiento al trabajo documental de los profesores, se
incluyeron las siguientes actividades (ver Tabla 15.1.):
Exploración: para identificar qué recursos usaba regularmente cada
profesor para su enseñanza de la geometría y qué tipo de criterios
consideraba en su proceso de selección.
Aplicación de la técnica de introspección: para obtener datos acerca del
proceso de selección de recursos de los profesores. Esta tuvo dos etapas:
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
192
Focalización: para inferir el esquema de selección.
Profundización: se promueve la mirada retrospectiva
del profesor y el análisis de su práctica con el objeto
de complementar nuestros datos sobre su proceso de
selección de recursos.
3. Análisis de datos.
4. Organización de los resultados del análisis y conclusiones de la fase.
En la siguiente Tabla 15.1, se dan los detalles de cada uno de esos momentos de la
Segunda Fase:
Tabla 15.1. Detalles de los momentos de la Segunda Fase de la investigación
Momentos de la
Segunda Fase
Descripción
Establecimiento y
aplicación de
criterios e
instrumentos de
selección de los
casos.
Diseño de otros
instrumentos de
recolección de
datos.
Establecimiento de criterios de selección de los profesores participantes en el
estudio, ampliándolos con respecto a la Primera Fase de la investigación (ver
sección 15.1).
Diseño de instrumentos para recolectar información: cuestionarios;
protocolos de entrevistas; y protocolos de observación de clases.
Aplicación del cuestionario C1 para la selección inicial de los casos a
estudiar: este cuestionario se aplicó a 17 maestros de tres escuelas públicas
en Colombia (ver Anexo A: Cuestionario C1 de identificación de casos de
estudio).
Selección de los profesores de los casos a estudiar: a partir del grupo de 17
maestros, se seleccionaron 4 maestros participantes a seguir en la Segunda
Fase de la investigación.
Determinación de las variables del estudio: se identificaron diferencias entre
los profesores participantes en el estudio: años de experiencia docente,
acceso a recursos digitales en sus escuelas, etc.
Recolección de
datos
Caracterización y contextualización de los casos a estudiar
Se identifican las características de cada profesor participante en el estudio,
tales como: su formación, experiencia, y contexto en el cual trabajo.
Para ello aplicamos el cuestionario C2 (ver Anexo B: Cuestionario C2 de
caracterización de casos de estudio).
Realizamos una o dos visitas iniciales a cada profesor en su escuela para
conocer el contexto en el que trabajaba. Se hizo una primera entrevista a
cada profesor para recolectar datos adicionales sobre aspectos generales de
su formación, experiencia profesional y ambiente de trabajo.
A partir de lo anterior, se definió una caracterización y contextualización de
los casos.
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
193
Seguimiento del trabajo documental de los profesores participantes
Mediante el desarrollo de las actividades de exploración, y de aplicación de la
técnica de introspección con sus etapas de focalización y profundización:
Observación de la planeación que cada profesor hizo para sus clases de
geometría.
Observación de clases de geometría de cada profesor.
Entrevistas a cada profesor antes y después de las clases observadas, con
duración de entre 15 y 75 minutos.
Durante las entrevistas post-clase, mediante la técnica de introspección:
Mapeo del proceso de selección de recursos: aplicamos la técnica de
introspección para promover la producción de “rutas recorridas” por
parte de cada profesor.
Mapeo del sistema de recursos de los profesores Miguel y Sonia.
Análisis de los
datos
Realizamos el análisis de los datos (por cada caso estudiado) mediante su
codificación y categorización, enfatizando tres aspectos:
Caracterización general del proceso de selección de recursos
Determinación de las situaciones de selección de recursos por parte de cada
profesor participante.
Análisis de los conocimientos profesionales del profesor a partir de inferir
sus esquemas de selección de recursos digitales; incluye inferencias de
invariantes operatorias categorizadas como criterios de selección de recursos
digitales para la enseñanza de la geometría.
Discusión de los resultados obtenidos a la luz de ideas teóricas propuestas en
algunos modelos de conocimiento del profesor.
15.3. RECOLECCIÓN DE DATOS EN LA SEGUNDA FASE
Los instrumentos de recolección de información para cada una de las etapas
anteriormente descritas de la Segunda Fase, fueron los siguientes:
Cuestionarios a maestros:
El cuestionario C1 nos sirvió para identificar qué profesores cumplían con los
requerimientos para participar en el estudio. (Ver Anexo A).
El cuestionario C2 nos sirvió para obtener datos iniciales de la práctica del
profesor y el contexto en el cual trabaja. (Ver Anexo B).
Protocolos de entrevistas:
Entrevistas a profesores observados para profundizar en su proceso de
selección de recursos digitales. (Ver Anexo C)
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
194
Entrevistas a directores de escuelas para obtener información general sobre la
escuela y el contexto en el que se encuentra. (Ver Anexo D).
Protocolos de observaciones de los profesores seleccionados:
de sus sesiones de planeación para sus clases de geometría (ver Anexo E);
de sus clases, en sí, de geometría (ver Anexo F).
Fuentes documentales, especialmente documentos usados o producidos por los
profesores observados
Notas de campo llevadas por la investigadora en la cual se realizaba un análisis in
situ, y se registraban las impresiones e interpretaciones de lo observado.
En la Tabla 15.2, se resumen y detallan estas fuentes de información.
Tabla 15.2. Instrumentos de recolección de información en la Segunda Fase
Fuentes de información Descripción
Cuestionarios a maestros Se usaron los cuestionarios C1 y C2 para seleccionar los casos. Son
cuestionarios que indagan información general del profesor y su
práctica.
Entrevistas (a maestros
observados y directores de
escuelas)
Las entrevistas semi-estructuradas pretendían explorar y profundizar la
práctica del profesor, reconocer su contexto y la dimensión institucional
en la cual trabaja.
Observación del trabajo
documental del profesor
Se observaron y videograbaron sesiones de planeación de clases,
selección de recursos para usar en clase, momentos reflexivos del
profesor (antes o después de una clase particular) y reuniones de
profesores
Observación de clases Se observaron, videograbaron y tomaron fotografías de varias clases de
geometría de los profesores en las cuales hacían uso de recursos diversos
Fuentes documentales Documentos escolares y de profesores, programa curricular de
matemáticas de cada escuela, planes de clase, recursos, notas de los
profesores, diarios de campo de los profesores (llamados en Colombia
“parceladores”), cuadernos de estudiantes, etc.
Notas de campo Registro de la investigadora, in-situ de acciones, situaciones o
comentarios, a partir de las observaciones realizadas.
15.4. ELECCIÓN DE LOS CASOS Y VARIABLES DEL ESTUDIO
En esta sección presentamos cómo fue el proceso que realizamos para la elección de
los profesores participantes en esta fase del estudio; iniciamos presentando los respectivos
criterios de elección y las variables que distinguen a los diferentes participantes.
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
195
15.4.1. Criterios de elección de los participantes
En esta sección describimos los criterios de elección de los participantes del estudio
(incluyendo la elección de las escuelas a los que ellos pertenecían, junto con las variables que
se tomaron en cuenta; ver Tabla 15.3:
Tabla 15.3. Criterios y variables de estudio
Criterios de elección de los profesores
participantes en el estudio
Variables de los profesores
Profesores de primaria
Participación voluntaria
Uso de recursos digitales en la enseñanza
Enseñanza de la geometría
Interés en su desarrollo profesional
Uso de recursos digitales:
muy poco, de vez en cuando, regularmente o
intensivamente
Participación en cursos y programas de
formación de profesores:
nunca, de vez en cuando, regularmente o
intensivamente
Criterios de elección de las escuelas
participantes en el estudio
Variables de las escuelas
Escuelas públicas, urbanas
Participación voluntaria
Dispone de recursos digitales para el uso de
los profesores (e.g. computadores, internet,
etc.)
Calidad de los recursos disponibles en la
escuela
Disponibilidad de tiempos y espacios para el
trabajo colaborativo de los profesores
Además de los aspectos señalados arriba (y señalados también en la sección 8.3 del
capítulo de metodología general), para la selección de los participantes de la Segunda Fase,
tuvimos en cuenta los resultados de la Primera Fase y, por tanto, decidimos buscar profesores
de primaria que contaran con distinta formación y experiencia. Lo anterior lo decidimos así,
porque nos interesa estudiar el trabajo de profesores en situaciones y contextos institucionales
diversos, con el fin de identificar posibles aspectos de sus procesos de selección que se
manifiesten de manera similar.
15.4.2. Proceso de determinación de los participantes
Con la ayuda de varios directores de las escuelas de Yumbo, contactamos a 17
profesores de primaria que podrían estar interesados en participar en nuestros estudio. A este
grupo inicial de profesores se les facilitó impreso el cuestionario C1 (ver Anexo A) para
identificar si cumplían con los criterios de selección de los participantes que habíamos
determinado previamente. De este grupo de 17 profesores, solamente 9 contestaron el
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
196
cuestionario C1. Los resultados del cuestionario C1 nos mostraron los siguientes aspectos
generales:
4 maestros, que enseñaban en el primer ciclo de la primaria (1º a 3º), expresaron que
no enseñaban geometría.
6 maestros señalaron que no integraban a sus clases ningún tipo de recurso digital;
incluso una profesora expresó que ese tipo de recursos no era adecuado para niños del
primer ciclo de la primaria (1º a 3º) en el cual ella enseñaba.
De los 6 maestros que señalaron que no trabajaban con recursos digitales, 5 maestros
expresaron que no tenían acceso a este tipo de tecnologías en sus escuelas por:
Falta de equipo (4 maestros): en el caso de dos maestros, su escuela no
había sido beneficiaria de equipos digitales; en el caso de los otros dos, la
escuela entregó los equipos digitales a los niveles de secundaria y media
(preparatoria), pero no a primaria; y,
Falta de electricidad (1 maestro): la escuela no contaba con un sistema
óptimo de electricidad en ese momento.
Los resultados obtenidos en este cuestionario nos mostraron que, de los 9 maestros
que contestaron el cuestionario C1, solo 3 profesores (Laura, Sonia y Miguel) cumplían con
los criterios para participar en el estudio. El profesor Pedro que participó en la Primera Fase ya
había dado su consentimiento de continuar.
Vale la pena señalar que el hecho de que se traten de profesores de los grados primero
y quinto, no fue intencional. De hecho, se hubiera querido tener profesores de todos o más
grados de primaria, pero los mencionados fueron los únicos profesores de los que llenaron el
cuestionario, que cumplieron con los requisitos para participar en nuestra investigación.
15.4.3. Detalles de los profesores seleccionados
Así, a partir del proceso de elección de los profesores (y sus respectivas escuelas)
participantes en el estudio, finalmente resultaron seleccionados, de primer y quinto grado (al
igual que en la Primera Fase), cuatro profesores (pseudónimos), cada uno de una escuela
diferente:
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
197
De primer grado: Laura
De quinto grado: Pedro (quien participó en la Primera Fase), Miguel y Sonia.
En la Tabla 15.4 se presentan los datos generales de los cuatro profesores que
participaron en la Segunda Fase de la investigación, y el tiempo durante el cual les hicimos
seguimiento:
Tabla 15.4. Datos generales de los profesores participantes en la Segunda Fase
Nombre Edad Género Experiencia
docente
(en años)
Formación
inicial
Formación de
posgrado
Grado de
enseñanza
observado
Tiempo de
seguimiento
Laura 27 Fem. 4 Licenciada en
primaria
Estudiante
especialista en
promoción de
lectura
1º 5 semanas;
3 clases
observadas;
4 entrevistas
Pedro 38 Masc. 9 Normalista,
Lic. en Matemáticas,
Tecnólogo en
Sistemas y
Computación
Ninguna 5º
9 semanas;
6 clases
observadas;
9 entrevistas
Miguel 56 Masc. 28 Normalista, Ingeniero Magíster en
Enseñanza de las
ciencias y las
matemáticas
5º 11 semanas;
9 clases
observadas;
16 entrevistas
Sonia 32 Fem. 11 Normalista,
Lic. en Educación
Matemática
Estudiante
maestría en
educación
matemática
5º
8 semanas;
4 clases
observadas;
7 entrevistas
Mayores detalles de cada uno de estos profesores se presentaran en los capítulos
siguientes (correspondientes a cada uno de ellos).
En la siguiente sección presentamos cómo se realizó el proceso del análisis de los datos
que obtuvimos de los profesores participantes en la Segunda Fase de la investigación.
15.5. PROCESO DE ANÁLISIS DE LOS DATOS
Para el análisis de los datos realizamos el siguiente proceso:
1. Análisis in situ: En el lugar y momento de recolección de datos, se realizó un
primer análisis a partir de las impresiones e interpretaciones de la investigadora
sobre cómo fue el proceso de recursos, tomando notas de campo al respecto.
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
198
2. Transcripción de los datos y organización preliminar de éstos.
3. Segmentación en episodios: identificación de segmentos con información
relevante a partir de las transcripciones de las entrevistas, clases grabadas,
notas de campo, etc.
4. Triangulación de los datos: Comparación de datos obtenidos a través de
diversos instrumentos para verificar la coherencia de la información recabada.
5. Codificación de los datos: Identificación de “palabras-código” a partir de los
datos para determinar categorías de análisis
6. Determinación de categorías: a partir de los códigos y una articulación con el
marco teórico, se determinaron categorías para los datos.
7. Categorización de los datos: Estructuración de los datos según las categorías (y
sub-categorías) de análisis propuestas
8. Foco del análisis: Análisis profundo de los casos mediante un diálogo entre
temas emergentes de los datos, y las categorías de análisis
9. Redacción del informe
A partir del proceso anterior, se determinaron cuatro categorías de análisis presentes en
los datos recogidos durante el trabajo de campo:
Selección de recursos para la clase (SR)
Usos de recursos digitales (UR)
Sistema de recursos del profesor (SRP)
Trabajo documental del profesor (D)
La Tabla 15.5 presenta estas categorías emergentes, su respectivo código y la
definición de cada una:
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
199
Tabla 15.5[23]. Categorías de análisis
Categoría Código Definición
Selección de
recursos para la
clase
SR Incluye:
conocimientos de los profesores sobre cómo usar los recursos,
sus comprensiones e
intencionalidades,
en cuanto al currículo y el aprendizaje de sus estudiantes.
Estas intencionalidades dependen de su formación, experiencia,
expectativas profesionales y de los recursos disponibles.
Usos de
recursos
digitales
UR Incluye:
las intencionalidades didácticas de los profesores;
la organización y disposición de los recursos; y
las maneras como el profesor conduce la clase y gestiona las
situaciones propuestas a los estudiantes y los modos de
participación.
Éstos están representados por la orquestación que proponen los
profesores:
qué recurso usar,
con qué intención,
cómo ponerlo en juego,
cuando, y
para qué.
Sistema de
recursos del
profesor
SRP Alude al conjunto organizado de:
recursos,
conocimientos, y
actividades profesionales
sobre los recursos (y como usarlos), necesarios para que un maestro
actúe y lleve a cabo su práctica.
Aspectos del
trabajo
documental del
profesor
D El trabajo documental del profesor se relaciona con los aspectos
institucionales y el currículo. Implica actividades profesionales
como:
seleccionar, organizar, adaptar y reelaborar recursos,
el análisis y reflexiones del profesor sobre su práctica, y,
el trabajo colaborativo con otros colegas.
Una vez identificadas las cuatro categorías centrales de la investigación (SR, UR, SRP
y D), se identificaron, mediante “palabras-código” (ver Anexo G) que se definieron para el
análisis de los datos, varias sub-categorías dadas en la siguiente Tabla 15.6:
CAP. 15. DISEÑO DE LA SEGUNDA FASE DE LA INVESTIGACIÓN
200
Tabla 15.6. Sub-categorías de análisis
Categorías Sub-categorías
Selección de recursos digitales
para la clase
Criterios de selección de recursos para enseñar geometría
Rutas-recorridas por el profesor en su proceso de selección
Usos de los recursos digitales Recursos para enseñar geometría
Recursos para planificar la enseñanza de la geometría
Orquestación y ETM adecuados propuestos por los profesores
Sistema de recursos del profesor Recursos disponibles para la clase de geometría
Organización de los recursos disponibles
Calidad de los recursos
Aspectos del trabajo
documental del profesor
Trabajo colaborativo
Actividades del trabajo documental
Conocimientos sobre cómo usar los recursos
En los siguientes capítulos se presentan los estudios de caso de los profesores
participantes en la Segunda Fase y sus respectivos análisis.
201
16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA
ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
El primer caso que vamos a presentar de la Segunda Fase corresponde a Laura,
profesora de primer grado en una escuela pública del municipio de Yumbo. Comenzamos
dando un contexto de los antecedentes y ambiente de trabajo (escuela) de Laura, y luego
describimos el estudio de caso de esta profesora. En ese estudio de caso, analizamos el
proceso de selección de recursos digitales de Laura para la enseñanza de la estimación de
longitudes.
16.1. ANTECEDENTES Y CONTEXTO PROFESIONAL DE LAURA
En el momento del estudio, Laura era una profesora de 27 años, con 4 años de
experiencia docente, todos en grado primero y en la misma escuela. Es licenciada en
Educación Primaria con énfasis en Lenguaje, e ingresó a la carrera docente por concurso
público.
Laura ha participado en varios programas o cursos de formación de profesores; de
hecho, durante el estudio, estaba cursando, una especialización docente en promoción de la
lectura. Entre los cursos que tomó, habían varios sobre el uso de tecnologías digitales en la
enseñanza en general (no exclusivamente en la enseñanza de las matemáticas):
Particularmente, un par de meses antes de la toma de datos, Laura había tomado un
“Diplomado de formación docente sobre el uso de tecnologías digitales para la enseñanza”;
este Diplomado había tenido una duración de dos meses y fue ofrecido por el Centro de
Innovación Educativa Regional del Suroccidente (CIER-Sur).
Laura labora en una escuela (ver Figura 16.1) del municipio de Yumbo, ubicada en una
zona de ladera de un cerro, que ofrece Educación Primaria exclusivamente (grados 1º a 5º) a
estudiantes de una zona vulnerable de ese municipio, atendiendo aproximadamente a 500
estudiantes en dos jornadas: mañana y tarde.
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
202
Como se dijo arriba, Laura impartía clases de primer grado en esa escuela (jornada
tarde); también pertenecía al Consejo Académico de la escuela (i.e., un comité técnico-
pedagógico). Durante el estudio, el grupo de primer grado de alumnos de Laura, lo
componían 42 niños y niñas, con edades de 6 y 7 años.
Figura 16.1. Escuela donde laboraba Laura
16.2. CONCEPCIÓN DE LAS CLASES DE LAURA
El seguimiento a Laura se desarrolló durante 5 semanas (entre noviembre 2017 y enero
de 2018) en las cuales observamos 3 clases. En ese año escolar 2017-2018, Laura inicialmente
había planeado dedicar una hora a la semana para su clase de geometría, pero luego no pudo
cumplirlo: muchas semanas tuvo que dedicar tiempo a otras actividades o asignaturas. Laura
señaló que iba a “aprovechar la oportunidad” de participar en nuestra investigación, para
retomar sus clases de geometría durante las siguientes semanas y selecciona un tema
geométrico que ella considera adecuado para sus estudiantes. La profesora consideraba,
además, que el uso de tecnologías digitales en su clase de geometría iba a generar entusiasmo
en sus estudiantes, lo que en parte, fue una de sus razones para introducir ese tipo de recursos
a su clase. Al respecto, Laura señaló:
“No hemos tenido mucho tiempo de dar las clases de geometría… porque me he
dedicado más la lectura y a lo de la escritura y matemáticas… los números, la
suma, la resta, esas cosas. Pero quiero aprovechar esta oportunidad para
dedicarme un poquito a geometría y [a] este tema de la medida. Me gusta [este
tema] porque aplican lo que saben ya de los números y es algo muy de la realidad
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
203
de los niños, de su vida diaria. Por eso me quiero dedicar a lo de geometría ahora.
Yo estoy segura que les va a gustar mucho porque además vamos a usar
tecnologías y,¡uf!, seguro eso los anima un montón”.
(Entrevista a Laura)
Durante las semanas que le hicimos seguimiento, propuso una secuencia de tres clases
de geometría, las cuales desarrolló durante dos semanas. En esa secuencia de clases, Laura se
propuso enseñar la estimación de medidas de longitud. Previamente, durante el año escolar,
Laura había trabajado, en sus clases de geometría, algunas características de las figuras
geométricas (círculo, triángulo y cuadrado).
16.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR LAURA
En nuestro seguimiento, identificamos que Laura habitualmente usaba en sus clases de
geometría los siguientes recursos: libros de texto para planear la clase y para seleccionar
actividades para sus estudiantes (hojas de trabajo); imágenes descargadas de internet que
usaba para diseñar hojas de trabajo para sus estudiantes o para proyectar durante la clase; y el
pizarrón acompañado de una regla graduada.
Además de esos recursos no-digitales, para trabajar su secuencia de tres clases sobre la
estimación de longitudes, Laura utilizó, como recurso digital, un repositorio oficial36 llamado
“Contenidos para Aprender” (también conocido como “Cápsulas educativas digitales”) en el
cual se ofrecen “contenidos digitales” (i.e. recursos digitales para el profesor) en las áreas de
Matemáticas, Lenguaje y Ciencias para todos los grados de Primaria, Secundaria y Media
(preparatoria). Estos contenidos digitales fueron concebidos de acuerdo a las orientaciones
curriculares de los Derechos Básicos de Aprendizaje o DBA (MEN, 2016).
El repositorio “Contenidos para aprender” (ver Figura 16.2 ) está organizado de la
siguiente manera:
Inicialmente, se presenta una interfaz (Figura 16.2 , izquierda) que presenta tres
niveles educativos: Básica Primaria, Básica Secundaria, y Media.
36 Contenidos digitales desarrollados por el MEN (Colombia) como parte de su estrategia
“Colombia Aprende”. La información aquí presentada fue tomada de:
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/index
.html
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/contenidoslo
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
204
Al ingresar al nivel educativo de interés, se despliegan las opciones de grado (Figura
16.2 , centro): 1º a 5ª en el caso de primaria.
Al seleccionar el grado de interés, se presentan opciones para seleccionar el área
(Figura 16.2 , derecha): Matemáticas, Ciencias o Lenguaje.
Figura 16.2. Repositorio “Contenidos para Aprender”
Una vez el usuario ingresa al área de su interés según el grado, se le presenta,
numerado el listado de DBA (ver Figura 16.3).
Para cada DBA, se presentan los “objetos digitales de aprendizaje” que el repositorio
tiene disponibles. Cada uno de estos “objetos” o “cápsulas” consta de:
Guía para el docente: archivo en pdf, dirigido al profesor, que incluye los objetivos de
aprendizaje y sugerencias didácticas para el uso de los contenidos digitales
Introducción: video sobre el tema dirigido a los estudiantes.
Objetivos: un interactivo dirigido para los niños en el que se les anuncia qué
van a aprender en determinado contenido digital.
Desarrollo: se presentan las actividades digitales para los niños.
Resumen: interactivo que recoge las principales ideas trabajadas en el contenido.
Tarea: actividad digital para que los niños realicen en casa.
Actividades imprimibles: hojas de trabajo para los estudiantes.
Laura utilizó dicho repositorio porque lo había conocido y utilizado durante el
“Diplomado de formación docente sobre el uso de tecnologías digitales para la enseñanza” que
había cursado un par de meses antes. También le gustaba la “organización curricular” de ese
repositorio, y que el contenido corresponde exactamente a lo que propone MEN (2016, 2017)
e incluye materiales para el profesor y hojas de trabajo para sus estudiantes. Al respecto, Laura
señaló:
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
205
“Hicimos el Diplomado del CIER y por eso quiero aplicar de lo que aprendí
porque nos enseñaron a usar contenidos digitales, cómo usarlos en la clase, y todo
eso. Quiero usar de esos contenidos digitales en la clase para que los niños hagan
cosas distintas. Además le ayuda mucho a uno como profesor, porque le dicen [en
el diplomado]: ‘vean, estas son las actividades, así están organizadas’, y uno
escoge lo que más le guste.”
“Me encanta la organización de este portal, porque está todo lo que nos pide el
Ministerio, por cada materia, grado y entonces uno entra y, vea, aparecen los
contenido por cada “Derecho de Aprendizaje”. No tengo que ir y buscar en mil
partes, sino que aquí le dan a uno todo organizadito y listo… Están los contenidos,
pero también imprimibles para los niños, la guía del profesor. Esta vaina está
completa y, para uno que no es especialista en lo de matemáticas, ayuda mucho…
te orienta, le dice cómo hacer las actividades.” (Entrevista a Laura)
Al entrar al repositorio, Laura seleccionó, la opción de Grado 1º Matemáticas,
particularmente, el contenido “Derecho Básico de Aprendizaje 8”, que se refiere a la
estimación de medidas de longitud (ver Figura 16.3):
Figura 16.3. Contenido digital seleccionado por Laura37 del repositorio “Contenidos para
Aprender”
Para poder seleccionar cuáles de los recursos disponibles en el repositorio, iba a
utilizar, y para planear sus clases, Laura consultó y tomó en cuenta la “Guía para el docente”
37 Las imágenes del repositorio “Contenidos para Aprender”, que presentamos en este escrito,
corresponden a capturas de pantalla del computador personal de Laura, realizadas durante las sesiones
de observación de planeación de clases y entrevistas.
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
206
correspondiente al contenido “Derecho Básico de Aprendizaje 8” de estimación de medidas de
longitud (ver Figura 16.4).
Figura 16.4. Elementos de la “Guía para el docente” del “Contenido digital” que Laura
seleccionó
De todas las actividades propuestas y descritas en la “Guía para el docente”, Laura
decidió enfocarse en la comparación de objetos del entorno, estimación de longitudes y
ordenar objetos según su longitud. La meta de aprendizaje que Laura estableció para su
secuencia de clases fue que los niños compararan objetos mediante la estimación de longitudes
(para, por ejemplo, poder decir “más largo que”) y ordenarlos (e.g. organizar los objetos del
más grande al más pequeño). Esta meta de Laura fue una adaptación de la información que se
encontraba en la guía. En la Figura 16.5, se muestran algunas de las actividades ofrecidas por
el repositorio y que Laura tuvo en cuenta:
Figura 16.5. Actividades consideradas por Laura, del repositorio “Contenidos para Aprender”
Así, a partir de las sugerencias didácticas dadas en la “Guía para el docente”, Laura
seleccionó para su secuencia de clases, un conjunto de recursos digitales y no-digitales
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
207
relacionados: un video38 (Figura 16.6), una actividad interactiva39 (Figura 16.7) y unas hojas de
trabajo (imprimibles) para los estudiantes (Figura 16.8; versión completa en Anexo H).
Figura 16.6. Captura del video seleccionado
por Laura
Figura 16.7. Parte del interactivo seleccionado
por Laura y relacionado al video
Figura 16.8. Primera hoja de trabajo (imprimible) adaptada por Laura (ver Anexo H) , y
relacionada con el video y el interactivo correspondientes
38 Recurso disponible en:
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_1/M/M_G
01_U04_L01/M_G01_U04_L01_01_01.html 39 Recurso disponible en:
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_1/M/M_G
01_U04_L01/M_G01_U04_L01_03_01.html
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
208
Posterior a este proceso de planeación, que incluyó la selección de los recursos con los
que iba a trabajar, Laura desarrolló sus tres clases; la clase final ocupó prácticamente toda la
jornada escolar del día en que la desarrolló. En la Figura 16.9 se muestra una escena de esta
última clase de Laura, en la que los niños estaban trabajando comparación de longitudes (“más
largo que”, “más corto que”, “igual de largo que”) para posteriormente ordenar los objetos del
más largo al más corto. En esta clase los niños estaban trabajando con una de las hojas de
trabajo (“imprimibles”) que la profesora seleccionó del repositorio.
Figura 16.9. Estudiantes de Laura trabajando
16.4. USO Y ORQUESTACIÓN POR LAURA DE LOS RECURSOS EN SU CLASE
Como ya hemos mencionado anteriormente, en nuestro estudio nos interesa dar cuenta
de la orquestación en la medida en que ésta informa sobre el proceso de la selección de
recursos por cada profesor. Específicamente, en el caso de Laura, como parte de su Esquema
de Selección de Recursos Digitales de Laura (o ESRD_L) – ver siguiente sección 16.5–, ella
anticipó la configuración didáctica de sus clases e incluso realizó posibles inferencias para
clases futuras. Esas anticipaciones de Laura se relacionan con su orquestación de las clases
que presentamos a continuación.
En su secuencia de clases, Laura se enfocó en el estudio de la comparación de
longitudes; para ello hizo uso de la complementariedad de las actividades presentadas en el
video, en el interactivo y en las hojas de trabajo. A continuación presentamos un resumen de
lo ocurrido en las clases observadas de Laura:
En la primera clase, la profesora les expresó a los niños que iban a trabajar varias
clases sobre la medida y les describió qué tipo de actividades iban a realizar. En esa
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
209
clase, inicialmente, Laura les pidió a los niños realizar saltos en el salón y que
intentaran comparar quien saltaba más alto, o quien saltaba más lejos; los niños
expresaron que no sabían con certeza quién lo había hecho. Utilizando esas
experiencias como punto de partida, Laura introdujo un video del repositorio oficial
(ver Figura 16.6, arriba), en el cual se presentan algunas situaciones de comparación de
longitudes en un contexto deportivo. Laura dispuso a sus estudiantes en la parte central
del salón, sentados en el piso, observando la proyección del video; el sonido lo
reprodujo por medio de bocinas (que ella misma trajo de su casa). Posterior a la
presentación del video, Laura hizo una socialización con todo el grupo sobre lo que
vieron allí, escribiendo en el pizarrón, un pequeño resumen (de dos líneas),de las ideas
del video, que los niños transcribieron a su cuaderno. De tarea para realizar en casa,
Laura pidió a los niños que recortaran y pegaran “barritas de papel” organizadas de la
más larga a la más corta.
En la segunda clase, Laura contó con el apoyo de cinco madres de familia. La
profesora inició su clase recordando a los niños lo que habían trabajando la clase
pasada (en la semana anterior) y recogió los cuadernos de los niños para revisar la
tarea. Hecho eso, organizó a los niños en parejas y les entregó un computador portátil
por pareja. Ayudada por las madres de familia, Laura les indicó a los niños cómo
ingresar al recurso digital que iban a trabajar en la clase, y les dio indicaciones
generales sobre su uso. En esta ocasión, el recurso seleccionado correspondía a un
“contenido interactivo”40, ligado al video, que proponía una secuencia de actividades a
los niños (ver Figura 16.7, arriba). Estas actividades estaban contextualizadas en las
escenas del video y correspondían a tareas de comparación del longitudes, y
organización de mayor a menor o viceversa. Los niños desarrollaban la secuencia de
actividades, pasando de una a otra, ayudados por las madres de familia y la profesora.)
En la tercera y última clase, Laura les propuso a los niños trabajar con un conjunto
de hojas de trabajo (imprimibles), ligadas al video y al interactivo, que facilitaba el
repositorio. Como estos imprimibles (en formato pdf) incluyen un total de 25
40 Este recurso se encuentra disponible en:
http://aprende.colombiaaprende.edu.co/sites/default/files/naspublic/ContenidosAprender/G_1/M/M_G
01_U04_L01/M_G01_U04_L01_03_01.html
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
210
actividades para los niños, Laura imprimió todo el documento, y recortó y pegó
determinadas actividades, según sus intereses, para diseñar sus propias hojas de trabajo
de 9 actividades (ver Anexo H). La Figura 16.8 (arriba) muestra la primera página de
las hojas de trabajo adaptadas por Laura. Otra actividad se muestra en la Figura 16.10.
En esta tercera clase, Laura dedicó casi todo el tiempo a una actividad de comparación
de longitud de objetos en situaciones del “mundo real”, donde no se utilizan unidades
de medida y la validación es “a ojo” con comparaciones visuales (“ostensiva” en
términos de Kuzniak, 2011). Así explicó la actividad a sus alumnos:
Figura 16.10. Actividad en las hojas de trabajo adaptadas por Laura
“Vamos a mirar la actividad número 4. ¿Ven que es de lo mismo que vimos en el
video? Vamos a hacer lo mismo que allí nos mostraron: ordenar los saltos de los
niños. Lo vamos a hacer así: del más corto, al más largo. Miren, es como hicimos
con el interactivo el otro día, ¿se acuerdan niños? Comparamos las barritas y le
ponemos un número: le ponemos 1 al más corto; luego, le ponemos 2 al que sigue;
y así, hasta llegar al 4”. (Laura hablando a sus estudiantes en clase)
Así pues, en la orquestación que hizo Laura de sus clases, propuso situaciones a sus
estudiantes relacionadas con actividades del mundo real, particularmente, en el contexto de las
competencias deportivas. Esta decisión de querer ligar las actividades con el mundo real,
también estuvo presente en su proceso de selección del recurso y se hizo explícita en la
orquestación de la clase a través de lo que Laura decía a sus estudiantes:
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
211
“Estamos viendo cómo usar las medidas. El video nos mostró el ejemplo de los
deportes ¿a quién le gustan los deportes? A todos nos gustan, ¿verdad? Pues, así
como usamos medidas para saber qué deportista salta más largo, así, igualito,
usamos las medidas cuando vamos al supermercado y pesamos las frutas o cuando
vamos con la modista y nos toman medidas del cuerpo con el metro ¿Ustedes han
ido a la modista?” (Laura hablando a sus estudiantes en clase)
Así, consideramos que la orquestación que Laura hizo de sus clases, involucró los
siguientes aspectos (ver Tabla 16.1):
las metas (propósitos educativos) de Laura;
la gestión de los recursos y artefactos disponibles;
las actividades propuestas a los estudiantes a través del uso de los recursos; y
la organización de la clase.
Tabla 16.1. Aspectos de la orquestación de Laura en su secuencia de clases en primer grado
Aspectos de la
orquestación de
Laura
Descripción
Definición de las
metas de aprendizaje
Laura define una única meta de aprendizaje para su secuencia de tres clases:
Realizar estimaciones de medidas de longitud, que permitiera a los niños
comparar objetos (e.g. “más largo que”) y ordenarlos (e.g. “organizar
objetos del más grande al más pequeño”).
Organización de la
clase
Laura dispuso sus clases de distintas maneras:
Clase 1:
Realización de actividades corporales (saltos) para comparar alturas.
Todo el grupo de estudiantes, sentados en el piso, observa la proyección
del video.
Socialización de ideas del video con todo el grupo.
Cada estudiante transcribe el texto que Laura escribió en el pizarrón.
Clases 2 y 3:
Cada estudiante realiza estimaciones de medidas de longitud para
comparar objetos (e.g., “más largo que”) y ordenarlos (e.g. organizar
objetos del más grande al más pequeño), mediante el interactivo (clase 2)
y mediante las hojas de trabajo (clase 3)
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
212
En el siguiente apartado presentamos nuestro análisis del proceso de selección de
recursos digitales seguido por Laura.
16.5. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SELECCIÓN DE LAURA
16.5.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Laura
sobre su ruta-recorrida
Mediante la aplicación de la técnica de introspección, Laura realizó varias versiones de
sus mapas de “ruta-recorrida” para seleccionar recursos digitales para sus clases de geometría.
Estos mapas iban acompañados por las explicaciones y reflexiones de Laura, los cuales nos
aportaron datos para poder inferir el esquema de selección de recursos digitales de Laura para
enseñar estimación de longitudes a su grupo de primer grado.
Durante la realización de esos mapas, Laura centró su reflexión en sus acciones como
maestra y cómo puede ayudar a que sus estudiantes. Laura se considera como una profesora
que tiene los conocimientos necesarios para realizar su trabajo, pero al mismo tiempo expresó
su interés de aprender a partir de su práctica. En cuanto al uso de recursos, Laura resaltó la
importancia de que los profesores cuenten con un universo amplio de recursos que les
permitan desarrollar mejor su trabajo. A partir de su reflexión, Laura logró darse cuenta que
muchos de los recursos que ella (y sus colegas de primer grado) usan regularmente pueden
limitar o proyectar los aprendizajes de los estudiantes.
Gestión de los
recursos y artefactos
disponibles
La profesora estableció las siguientes maneras de usar los recursos en la clase:
El pizarrón para apoyar el trabajo durante todas las clases
El video para introducir la secuencia de clases y conectar las actividades
diarias de los niños y el tema geométrico
El “contenido interactivo” para que los niños trabajaran en parejas durante
la segunda clase
Las hojas de trabajo para trabajo individual en la tercera clase
Propuesta de
actividades didácticas
apoyadas en el
recurso digital
Las actividades propuestas en el “contenido interactivo” estaban relacionadas
con las situaciones que se presentaban en el video y con las que
posteriormente se presentaron en las hojas de trabajo. Estas actividades del
tipo “selecciona qué personaje saltó más largo o qué objeto es más ancho”
están enfocadas en la estimación de la longitud y la comparación de objetos
uno respecto a otro.
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
213
“Eso de quedarse trabajando con un libro de texto y nada más, está muy mal. Los
profesores debemos usar las cosas del entorno, tener materiales, varias fuentes
para consultar… En eso, la página de los DBA ayuda mucho.
“A mi me gusta aprender, y donde uno más aprende es en salón de clase, porque
allí es que se da cuenta si tiene los conocimientos para ser buen maestro… Yo creo
que sí tengo buenos conocimientos pero que falta mucho, por eso voy a los cursos,
pregunto a los compañeros, uno busca su manera. […]
“Cuando uno empieza a pensar en los recursos que usa, –uy— se da cuenta que
como profesor, actúas de manera automática y no te ponés a mirar qué cosas estás
usando… Para grado primero, uno como se contenta con cosas muy básicas y eso
tampoco es bueno porque como que limita a los niños a lo más básico. Mire estos
contenidos digitales. Esto, es muy complejo: que ¿qué cosa es la medida y eso? Y
uno, con una idea tan vaga de la matemática.” (Entrevista a Laura)
Posteriormente, nuestro análisis del proceso de Laura para seleccionar recursos,
particularmente digitales, para sus clases sobre la estimación de longitudes de primer grado, se
enfocó en inferir la ruta-recorrida por la profesora, usando la técnica de introspección (ver
sección 9.1). Mediante la aplicación de esa técnica, Laura pudo reconstruir su ruta-recorrida.
Esta ruta-recorrida nos permitió evidenciar las “huellas del trabajo documental” de Laura en la
selección de los recursos que usó en sus clases.
Figura 16.11. Primera versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su clase
En la primera versión del mapa de su ruta-recorrida (Figura 16.11), dibujado por
Laura, la profesora explicitaba solo algunos elementos generales de su proceso de selección de
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
214
recursos entorno a tres grandes momentos : (i) “‘Planeo’, entonces, miro qué recursos puedo
usar.” (ii) “‘Busco’, porque tengo mis razones (didácticas) para escoger.” (iii) “‘Uso’,
entonces, puedo trabajar con tecnología en mi clase.” Laura explicó que hizo su selección del
recurso digital pensando en su orquestación posterior: “uno no puede escoger un recurso
tecnológico para la clase si no tiene idea de cómo lo va a usar”.
En su segunda versión del mapa (Figura 16.12), Laura identificó que era importante
para ella tomar el “tema de enseñanza” como punto de partida. Al respecto Laura señaló: “Lo
primero para buscar un recurso es tener en cuenta el tema a enseñar, porque no es lo mismo
buscar algo para matemáticas que para lenguaje; es totalmente diferente”.
Figura 16.12. Segunda versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su clase
A medida que su reflexión avanzaba, Laura empezó a notar cosas interesantes: que
tiende a usar recursos que ya ha usado antes, o que se parecen en algo a los que ya ha usado; y
así identificó que, en sus procesos de selección, siempre tiene en cuenta cosas más o menos
similares. En ese momento, Laura empezó a evidenciar la existencia de tres “hitos reflexivos”
en su proceso de selección de recursos, diciendo: “planeo, busco y uso” recursos; y en la
última versión de su mapa (Figura 16.13), donde representaba su ruta-recorrida, mostraba esos
hitos (lado derecho de la figura), como momentos decisivos para su selección. En nuestro
análisis identificamos que estos hitos corresponden a “oportunidades de aprendizaje para el
profesor” y son de vital importancia en la retroalimentación de su práctica.
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
215
“En la planeación de la clase, me debo detener en varios puntos… Yo les llamo
hitos porque son como puntos clave, puntos de inflexión para mí. Si ya los tengo
definidos, ¡listo! Ya tengo como un panorama de mi plan, de mi clase, y de qué
recursos voy a integrar.” (Entrevista a Laura)
También, mediante su proceso reflexivo, Laura empezó a pensar en otros elementos
importantes: Además de sus tres grandes “hitos reflexivos”, agregó al mapa (Figura 16.13)
otros elementos, tales como preguntas (en el lado izquierdo de su mapa) y flechas de conexión
(con explicaciones adicionales) sobre cada una de sus acciones evocadas para seleccionar
recursos.
Figura 16.13. Última versión del mapa, dibujado por Laura, de su ruta-recorrida en su selección
de recursos para su clase
16.5.2. Componentes del esquema de Laura para seleccionar recursos digitales
A partir de los elementos en los mapas de su ruta-recorrida, así como otros datos
obtenidos en las entrevistas a Laura, y la observación de su planeación y ejecución de sus
clases de geometría, pudimos inferir algunos de sus conocimientos profesionales sobre los
recursos digitales y cómo los usaba Laura. En particular, pudimos inferir el Esquema de
Selección de Recursos Digitales de Laura (que llamamos ESRD_L), el cual se hizo en
términos de los elementos constitutivos de los esquemas (situación, metas, anticipaciones,
reglas de acción, invariantes operatorias, y posibilidades de inferencia) de los cuales nos habla
Vergnaud (1998, 2013) y que nosotros presentamos en la sección 6.1:
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
216
La situación en la que se encontraba Laura tenía las siguientes características: ella
sabía que iba a seleccionar recursos digitales para una secuencia de tres clases de
geometría para las que había determinado el tema de enseñanza (estimación de medidas
de longitud); para ello se guió por las orientaciones curriculares de los DBA (MEN,
2016) y las usó como punto de partida. Laura resaltó que la selección de recursos
digitales no es necesariamente una práctica usual para un profesor de primer grado; al
respecto señaló: “Uno siempre busca materiales para sus clases, pero no siempre uno
hace esa búsqueda pensado en estos recursos tecnológicos; no es lo primero que te
viene a la cabeza si usted es profe de primero”.
Las metas de Laura en el proceso de selección de recursos digitales, son claras, en el
sentido en que, al aceptar participar en el estudio, ella intencionalmente se enfocó usar y
buscar ese tipo de recursos. Sin embargo, ella consideraba que también hay que tener en
cuenta recursos no-digitales que se puedan usar de manera complementaria a los
digitales. Laura señaló: “Voy a buscar un recurso tecnológico, OK, pero solo con eso no
puedo hacer la clase, se necesitan otras cosas, otras tareas, tengo que mirar eso
también”. Además, Laura parecía también tener como meta, ver cómo iba a adaptar los
recursos (digitales y no digitales) para su clase.
En cuanto a sus anticipaciones, identificamos dos elementos importantes: Por un
lado, Laura anticipó que iba a usar el uso del repositorio oficial, y que ese repositorio
estaría alineado con las orientaciones curriculares; por tanto priorizó el uso de ese
repositorio en su proceso de selección. Por otro lado, Laura anticipó posibles
configuraciones didácticas de sus clases, particularmente, las maneras en como iba a
usar los recursos seleccionados.
Las reglas de acción de Laura parten de sus consideraciones sobre las orientaciones
curriculares (MEN, 2016): “Esto es lo primero que tengo que tener en cuenta, lo que me
dice el Ministerio”. A partir de este punto de partida, se despliegan sus acciones
posteriores: por ejemplo, el priorizar el repositorio oficial para su búsqueda (aunque
existen disponibles otros repositorios oficiales que Laura también conoce –e.g., los que
se presentan en la página de “Colombia aprende”41).
41 http://aprende.colombiaaprende.edu.co/es/docentes
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
217
Las invariantes operatorias de Laura corresponden a sus conocimientos
profesionales, los cuales orientan su proceso de selección de recursos digitales.
Presentamos, más abajo, estas invariantes organizadas como conceptos-en-acto
(categorizados como criterios de selección de recursos) y teoremas-en acto (ver la Tabla
16.2, abajo).
A partir de sus invariantes operatorias, las posibilidades de inferencia de Laura se
basan en sus señalamientos de cómo podía aplicar sus conocimientos en otras posibles
situaciones similares (e.g., al seleccionar recursos para otras clases de matemáticas, o
incluso de otras asignaturas). Al respecto, Laura expresó: “Con todo este trabajo, como
que te haces un panorama general de cómo buscar los recursos tecnológicos, no solo
para estas clases, sino también para otras de matemáticas o de las demás materias”.
A continuación, en la Tabla 16.2, presentamos un resumen (y detalles adicionales) de
los componentes del esquema de selección de recursos digitales de Laura (ESRD_L):
Tabla 16.2. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Laura (ESRD_L)
Situación En su salón de clases, Laura estaba planeando una secuencia de tres clases de geometría
sobre la estimación de medidas de longitud en su clase de primer grado. Para lograr este
trabajo, tenía varias opciones para seleccionar diversos recursos (digitales o no digitales)
disponibles en el repositorio oficial.
Metas Meta general:
Seleccionar recursos digitales para su secuencia de tres clases de geometría sobre
estimación de longitudes.
Sub-metas:
Identificar qué recursos (digitales y no-digitales) disponibles en el repositorio oficial,
son adecuados para sus clases.
Adaptar los recursos seleccionados según su planeación de las clases.
Anticipa-
ciones
Laura anticipó que realizaría su selección tomando el repositorio oficial como punto
de partida, y que, al tratarse de un repositorio oficial, éste estaría alineado con las
orientaciones curriculares. Laura señaló:
“En el CIER me dijeron que este portal es muy bueno, que está hecho basado en
los DBA y que está pensado en los maestros, así que allí voy a buscar lo que voy a
usar en las clases.”
Laura anticipó una posible configuración didáctica de su clase mientras seleccionaba
los recursos que usaría. Al respecto Laura señaló:
"Tengo que ver cómo es que voy a usar estos contenidos en mis clases…; eso se
hace al mismo tiempo: miras el recurso y vas pensando cómo usarlo, es como el
chip del profesor.".
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
218
Reglas de
acción
Pasos seguidos por Laura al planificar sus clases y seleccionar los recursos a usar:
Paso 1: Considera las orientaciones curriculares (DBA) dadas en MEN (2016), como
punto de partida.
Paso 2: Prioriza los recursos recomendados por las autoridades educativas.
Paso 3: Selecciona, de entre las recomendaciones de las autoridades, el repositorio
oficial para buscar recursos para su clase.
Paso 4: Revisa el repositorio e identifica una posible meta de aprendizaje para sus
estudiantes.
Paso 5: Selecciona los recursos que va a usar en sus clases.
Paso 6: Prevé aspectos de la configuración didáctica de su clase, y determina qué
recursos usar en cada clase.
Invariantes
operatorias:
Conocimientos
-en-acto
Conocimientos-en-acto de Laura, categorizados como “criterios de selección” de
recursos digitales para sus clases. Estos criterios se presentan en el orden de importancia
que inferimos les dio Laura:
Procedencia: el recurso debe provenir de una fuente oficial; si es así, el recurso es
adecuado para ser usado en clase.
Curricular: el recurso debe estar alineado con las orientaciones curriculares (lo cual
se cumple automáticamente, al tener procedencia oficial).
Características didácticas: las actividades propuestas en los recursos seleccionados
deben de abordar la temática de la clase y complementarse entre ellos. (Lo cual se
cumple al tener, los recursos, procedencia oficial alineada con las orientaciones
curriculares; sin embargo, Laura también tomó decisiones de selección y adaptación).
Contenido matemático (geométrico): el uso de actividades relacionadas con la
medición como “estimar, comparar, ordenar” en actividades que sean cercanas a la
vida diaria de los niños (e.g. el deporte).
Cognitivos: el recurso debe apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes sobre
las medidas y cómo usarlas en actividades como el deporte.
Afectivo: el recurso debe generar entusiasmo en los estudiantes.
Invariantes
operatorias:
Teoremas-en-
acto
En algunas de las entrevistas Laura señalaba los siguientes teoremas-en-acto:
Criterio de procedencia: “La gente que trabaja en el ministerio sabe de las
cuestiones pedagógicas, son un equipo muy grande y trabajan con las universidades,
hacen pruebas de los contenidos con maestros… si eso ya sale publicado es porque
es muy bueno.”
Criterios procedencia (y de características didácticas): “Yo no soy especialista en
matemáticas… pero, si leo la guía del profesor y allí me explican bien cómo hacer
las cosas, cómo trabajar las actividades con los niños, ya tengo mucha ganancia…
porque la cápsula es para ayudarle a uno a enseñarle a los niños, es un apoyo.”
Criterio curricular:
“Si yo tengo claro qué me piden los DBA, entonces puedo buscar los recursos más
adecuados. Pero, primero, yo como maestra, debo saber qué deben aprender los
niños y cómo deben hacerlo.”
“Esto es lo primero que tengo que tener en cuenta, lo que me dice el Ministerio.”
Criterios de características didácticas (y de procedencia): “Las actividades, yo las
organizo como quiero en mi clase, pero también depende de cómo vengan en la
cápsula; y, bueno, yo supongo que el que hizo la cápsula, como es especialista en
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
219
matemáticas, sabe cómo deben ser las actividades, en qué orden, que unas
actividades se complementan con otras… pero yo, como maestra, soy al final la que
ve como las usa… sí, y en qué orden.”
Criterios de contenido matemático (geométrico) y cognitivo:
“Yo quiero enfocarme en que los niños comparen, y sepan cómo lo están haciendo, y
entonces pongan un orden; así, yo tengo todas estas cosas, las puedo ordenar de más
largo a más corto.”
“No es fácil saber que un centímetro es una parte pequeñita de un metro, eso es
complicado. Por eso yo empiezo con cosas más fáciles, así, de estimar, de ordenar
objetos, y después ellos irán aprendiendo más.
Criterio afectivo: “Yo estoy segura que les va a gustar mucho porque además
vamos a usar tecnologías y,¡uf!, seguro eso los anima un montón.”
Posibilidades
de inferencia
El proceso de selección de recursos, le permite a Laura anticipar características generales
de futuros procesos de selección de recursos digitales para clases de matemáticas (no
necesariamente geometría) y otras asignaturas.
16.5.3. Análisis de los conocimientos matemáticos de Laura involucrados en su
proceso de selección de recursos digitales
A continuación, profundizamos en relación a los conocimientos profesionales de Laura
sobre su tema de enseñanza: la estimación de magnitudes en primer grado –i.e., sobre sus
invariantes operatorias sobre características didácticas del recurso y contenido matemático o
geométrico, que corresponderían al conocimiento matemático para la enseñanza o MKT (Ball
et al., 2008): Para Laura era importante reconocer lo que MEN (1998) denomina “la función
social de la medición” en la cual se reconoce que los sistemas de medida nos han permitido
construir el mundo tal y como lo conocemos (comercializar, construir, movilizarnos, etc.).
Para esta profesora, esta era una consideración didáctica central. Además, Laura señaló que
sus estudiantes (de una edad aproximada de 6 años) estaban en una edad propicia para
desarrollar conocimientos y habilidades sobre la medida:
“Los niños a esta edad están dispuestos a aprender todas las cosas que tengan que
ver con medir, con contar, con usar el metro; eso les encanta porque ellos lo ven
cuando van al supermercado o cuando el médico los pesa. En esta edad, ellos
tienen sus capacidades al cien, para mirar y aprender de eso; por eso, para mí es
importante que relacionen esto que vemos en la clase, con su vida, con lo que
hacen con su mamá, con su familia”. (Entrevista a Laura)
Los señalamientos de Laura, se relacionan con aspectos de los conocimientos de los
profesores sobre medida y medición propuestos por Chamorro (2013): Tomando en
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
220
consideración los estudios sobre la medida de Piaget, Chamorro (2003) señala que la
apropiación de la magnitud, la medida y la unidad (de medida) son procesos que se desarrollan
en los estadios sensorio-motrices. En estos estadios, las acciones más dominantes
corresponden a la observación, la capacidad de identificar patrones y el lenguaje –todas
acciones fundamentales para el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.
A partir de las acciones de Laura durante sus clases, fue posible inferir algunos de sus
conocimientos profesionales sobre la medida: mientras ella orquestaba su clase, proponía
actividades de estimación de medidas de longitud (e.g., “más largo que”), de comparación
(e.g., “este objeto es más largo que aquel”) y de ordenamiento (e.g., “organizar objetos del
más grande al más pequeño”). En todas estas actividades, inferimos que la idea que Laura
tenía del proceso de estimación era como una actividad mental que se realiza “a ojo”, es decir
sin el uso de instrumentos, ni unidades de medida.
Lo anterior corresponde con lo que Laura considera: que la medida de una cantidad de
magnitud no es una acción espontánea, ni fácil, sino que debe aprenderse. Al respecto, ella
señaló:
“No es fácil saber que un centímetro es una parte pequeñita de un metro, eso es
complicado. Por eso yo empiezo con cosas más fáciles, así de estimar de ordenar
objetos y después ellos irán aprendiendo más.”
Chamorro (2003) explica que la adquisición del concepto de medida requiere de la
experiencia del sujeto y de una serie de tareas relacionadas con estimaciones, clasificaciones y
seriaciones. Sin embargo, esta autora destaca que todas estas tareas, parten de establecer el
atributo o la cantidad de magnitud con la cual se va a medir. En el caso de Laura, esta
profesora no considera ideas sobre “cantidad de magnitud”, pero sí expresa algunas cuestiones
sobre las cualidades de los objetos que podemos medir:
“Leyendo la guía del profesor, me doy cuenta que tengo que hablarle a los niños
sobre las cualidades mensurables de los objetos; o sea, lo que uno le puede medir a
algo. Eso así no se entiende mucho, pero yo lo que voy a hacer es dar ejemplos;
creo que esa es la manera más fácil. (Entrevista a Laura)
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
221
16.6. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO DE LAURA
La evocación de la ruta-recorrida por Laura, mediante la aplicación de la técnica de
introspección, nos permitió inferir el proceso de selección de recursos digitales de esta
profesora. La representación de Laura en sus mapas “evoluciona” en la medida en que tiene la
oportunidad de reflexionar de una manera más sistemática sobre sus acciones, pensamientos y
los conocimientos allí involucrados.
En dicho proceso se visibilizó la variedad y complejidad de conocimientos
profesionales especializados de Laura, incluidos en su esquema para seleccionar recursos de
acuerdo a una situación específica (su ESRD_L), y se explicitan, particularmente, en sus
invariantes operatorias (conocimientos-en-acto y teoremas-en-acto). Categorizamos los
conocimientos-en-acto como “criterios de selección de recursos”. En esta categorización
inferimos un criterio, para el caso de Laura, que no se había presentado en la Primera Fase de
la investigación; nos referimos al criterio afectivo relacionado con la posibilidad de que el
uso del recurso genere entusiasmo entre los estudiantes.
En cuanto a los conocimientos de Laura sobre su tema de enseñanza (su MKT),
concluimos que la comprensión que Laura tiene de las orientaciones curriculares fue
indispensable para orientar su proceso de selección de recursos digitales. Aunque sabemos que
medir y estimar medidas son dos procedimientos distintos, éstos mantienen una estrecha
relación y se complementan entre sí. Laura, atenta a las orientaciones curriculares que le
sirven de punto de partida para su proceso de selección, optó por enfocarse en actividades de
estimación, aún sin tener muy claro las sutilezas de los conceptos matemáticos allí
involucrados. Para Laura, la medida, es un conocimiento social complejo, y por ello, considera
que su enseñanza escolar es importante.
Por otro lado, la orquestación de Laura nos permitió observar cómo muchos de sus
criterios de selección se manifiestan en las maneras como Laura organiza y dispone su clase y
el tipo de actividad que promueve en sus estudiantes: por ejemplo, en su interés en que las
actividades desarrolladas en sus clases tengan una fuerte relación con la “vida diaria” de los
niños (algo necesario en primer grado de primaria).
CAP. 16. ESTUDIO DE CASO DE LAURA: RECURSOS PARA ENSEÑAR ESTIMACIÓN DE LONGITUDES
222
En el siguiente capítulo presentamos el seguimiento al caso de otro profesor que
participó en el estudio: el profesor Pedro de quinto grado, del cuál ya habíamos hecho un
primer estudio de caso en la Primera Fase (ver capítulo 12) .
223
17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE):
RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE
GEOMETRÍA
El profesor Pedro es el único participante de la Primera Fase (ver Capítulo 12) que
también participó en la Segunda Fase del estudio, aproximadamente un año y medio después
de su participación en la Primera Fase. Su participación en la Segunda Fase, permitió
profundizar en el estudio de los conocimientos profesionales que Pedro pone en juego,
mientras selecciona recursos, particularmente digitales, para su enseñanza de la geometría en
5º grado.
Comenzamos complementando sobre lo mencionado en la Primera Fase (en el
Capítulo 10), en relación a los antecedentes y contexto laboral de Pedro.
17.1. ANTECEDENTES DE PEDRO Y DEL CONTEXTO EN EL QUE LABORA
En el momento de la Segunda Fase, Pedro contaba con 38 años de edad, y 11 años de
experiencia docente. Su formación incluye ser:
Normalista egresado de la Escuela Normal Departamental;
Licenciado en matemáticas con énfasis en computación de la Universidad Santiago
de Cali; y
Tecnólogo en Sistemas y Computación del Servicio Nacional de Aprendizaje
(SENA).
Además de su trabajo como docente de nivel primaria en la escuela José María
Córdoba de Yumbo, Pedro también trabajaba como profesor catedrático en educación superior
en el SENA-Yumbo impartiendo clases de: “Álgebra lineal y geometría analítica”;
“Algoritmos y estructuras de datos” y “Sistemas operativos” a estudiantes de las carreras
tecnológicas que el SENA-Yumbo ofrece. Al respecto, Pedro señaló que:
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
224
“Estar con el SENA es una gran oportunidad porque estoy más al día en los
desarrollos en tecnologías computacionales y eso me ayuda mucho como profesor
acá en la escuela [primaria], ya sea para colaborar en los proyectos como soporte
técnico pero también dando asesoría a la institución…Para mí, ambos trabajos se
complementan, hacen que yo tenga una mirada más amplia y eso me gusta”.
(Entrevista a Pedro).
Un aspecto interesante de la escuela en la que Pedro trabaja como maestro de primaria
tiene que ver con el trabajo colaborativo y la formación de profesores. En particular, la
institución, durante los años 2011-2015, desarrolló un programa de formación y asesoría a los
profesores de primaria (quienes participaron en el taller que reportamos en el Capítulo 13). En
este programa de formación, se apoyó la aplicación de proyectos de aula en todos los grados
de primaria (1º a 5º). Para el caso particular de 5º grado, uno de los proyectos desarrollados
fue el de “La casa de mis sueños” (ver Anexo I), el cual Pedro siguió desarrollando, con
algunas modificaciones y adaptaciones, como se describe en la siguiente sección 17.2.
17.2. EL PROYECTO DE AULA “LA CASA DE MIS SUEÑOS” DESARROLLADO POR
PEDRO
Como se dijo en la sección 12.1, el proyecto de aula “La casa de mis sueños” (ver
Anexo I) implicaba el diseño de una casa, culminando en la construcción de una maqueta de
ésta (ver Figura 17.1).
Figura 17.1. Estudiantes de Pedro mostrando el resultado (maqueta) de su proyecto de aula
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
225
Para el desarrollo de este proyecto, los estudiantes tenían que trabajar con planos de
una casa, lo que implica llevar a cabo mediciones de figuras planas. Al igual que en su
proyecto (año 2015-16) de la Primera Fase, en el desarrollo de su proyecto (año 2016-17) de la
Segunda Fase, Pedro utilizó el software Sweet Home 3D para que sus estudiantes, trabajando
en parejas, diseñaran el plano de una casa (ver Figura 17.2 y Figura 17.3). Pedro explicó cómo
era este proyecto y cómo lo fue adaptando:
“Al principio el proyecto estaba más apegado a que los niños trabajaran con los
planos y la información de las revistas [inmobiliarias] y que se basaran en eso
para hacer su casa. Y las actividades estaban como más dirigidas. Ahora partimos
de allí pero yo no les doy las cosas. Ellos buscan en Internet yo les digo dónde y
ellos mismos escogen las cosas. Nosotros teníamos una asesora y ella nos enseñaba
cómo hacer las actividades con los niños, cómo desarrollar el proyecto, todo;
teníamos reuniones, analizábamos clases. Eso me gustaba, me parecía bien, pero el
proyecto fue cambiando, porque yo lo hago, año tras año, y siempre uno mete
cosas nuevas. Por ejemplo: lo de trabajar con Sweet Home, eso fue idea mía. Lo de
hacer la socialización en el patio de la escuela, y los padres de familia, también yo
lo metí también –este es el primer año que se hace…: le pusimos de nombre la
“Feria de la Finca Raíz y vivienda”…; así como hacen en las exposiciones, los
niños actúan como si fueran arquitectos, ingenieros y te quieren vender su idea de
la casa. Todo eso no estaba antes en el proyecto… yo creo que ha cambiado
mucho.” (Entrevista a Pedro)
Figura 17.2. Estudiantes de Pedro trabajando
en el diseño del plano de una casa, con Sweet
Home 3D
Figura 17.3. Ejemplo de un plano producido por
una pareja de estudiantes usando Sweet Home
3D
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
226
Para el desarrollo del proyecto (año 2016-17), Pedro planeó una secuencia de ocho
actividades a desarrollarse en un período aproximado de dos meses. Estas actividades
implicaban el estudio del número en contextos de medida; construcción de planos; cambios de
escala; uso de coordenadas; estudio de los conceptos de perímetro y área; la elaboración de
maquetas y su presentación ante la comunidad educativa (Figura 17.1) donde las parejas de
estudiantes explicaban el proceso de diseño de su casa.
Como toda esta secuencia de actividades requería un tiempo considerable, además de
la hora semanal que correspondía a la asignatura de “Geometría”, Pedro utilizó horas
adicionales de la asignatura de “Matemáticas”. Justamente, el tema de los tiempos fue una de
las mayores preocupaciones de Pedro, ya que el proyecto abarcaba “más del tiempo
destinado”, en el programa escolar, al estudio de las magnitudes, su medida y medición. Al
respecto, Pedro señaló:
“¿Cuál es mi gran preocupación cuando se piensa en un proyecto como este? Los
tiempos, porque pensado, abarcaría lo que resta del tercer período, y el cuarto. Y
eso es más de lo estipulado a los conceptos que deben verse dentro del pensamiento
métrico. Pero igual, yo le apuesto al proyecto y tomo tiempos de la otra clase o me
acomodo con los muchachos. “ (Entrevista a Pedro)
A continuación presentamos la planeación propuesta por Pedro:
Actividad No. 1. Reconocimiento e interpretación del número en distintos contextos.
(Análisis numérico de por lo menos 6 proyectos de 10 que oferta la página de
mayor interés para los niños y niñas una vez se hayan reconocido).
Actividad No. 2. Ubicación espacial en planos y mapas de los proyectos. (Sistemas
de coordenadas e interpretación de planos, análisis de valorización según zona
para Cali u otras ciudades).
Actividad No. 3. Medida de superficies planas, recubrimiento con m2 en físico y con
el Sweet Home. (Concepto de área: medida de la superficie del salón como
parámetro de comparación con relación a la superficie de los proyectos).
Actividad No. 4. Área de superficies planas vs. Área construida. (Concepto de área
construida para el caso de los inmuebles a analizar, tomar de ejemplo tres
proyectos: Palo Verde, Lagos de Verde Alfaguara y Brisas de los Álamos Sauces.
Ideal visitar un proyecto en la pagina web).
Actividad No. 5. Cálculo de área de superficies planas usando Sweet Home.
(Formula numérica y varios ejemplos a partir de los distintos proyectos donde se
formalice el cálculo numérico una vez conocidas las dimensiones).
Actividad No. 6. Perímetro y área de una superficie plana. (Concepto de perímetro y
su interrelación con el concepto de área. Medida del perímetro del salón. Cálculo
de superficies a escala de su área y perímetro).
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
227
Actividad No. 7. Reevaluación de los proyectos para la elección de “La casa de mis
sueños”. Sustentación de las características del inmueble retomando el análisis
numérico y de valorización realizado por las parejas.
Actividad No. 8. Elaboración de las maquetas y socialización a la comunidad
educativa.
(Información textual proporcionada por el profesor Pedro, 2017)
Las Figura 17.4 y Figura 17.5 muestran el trabajo de algunos estudiantes al llevar a
cabo actividades del proyecto (de las presentadas arriba).
Figura 17.4. Actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula
Figura 17.5. Otra actividad desarrollada por estudiantes de Pedro para su proyecto de aula
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
228
Un comentario que queremos hacer del trabajo de Pedro tiene que ver su propuesta de
trabajar elementos de una enseñanza basada en proyectos. Al respecto, Pedro señaló:
“Lo de trabajar con proyectos de aula es una idea que surgió acá entre
todos en la escuela y hasta tuvimos cursos [formación] para eso, porque
queríamos que los niños se metieran como más en su aprendizaje, que fueran
más activos, [y] contar más con las familias […] Este proyecto [‘La casa de
mis sueños’] parte de que los niños tengan sus ideas y hagan las cosas a su
gusto; uno les va enseñando, pero ellos son los que hacen el trabajo; lo mío
es más como ayudarles.” (Entrevista a Pedro)
Teniendo en cuenta lo señalado por Pedro, consideramos que su propuesta del proyecto
de aula “La casa de mis sueños”, es afín a aspectos propuestos por Papert (1981), tales como
que el estudiante se involucre en actividades y proyectos de construcción de objetos externos y
compartibles. Como hemos visto anteriormente, Pedro en su proyecto propone que los niños
construyan el diseño de una casa que luego presenten a su comunidad; un proyecto donde
Pedro actúa más como mediador (él también señaló: “yo les ayudo, les doy ideas, pero el
trabajo es de ellos”). Papert (1981) consideraba que este tipo de proyectos hacen más
comprensibles los conceptos abstractos. Pedro, de igual manera, considera que es importante
que los niños trabajen en un proyecto “en que se sientan motivados porque lo hacen según sus
ideas y sus gustos”; esta idea se relaciona con los planteamientos de Papert (1981) sobre que
los niños aprenden mejor cuando construyen objetos que les interesan personalmente.
Ahora bien, para la implementación de su proyecto de aula, Pedro usó determinados
recursos; la selección de estos recursos, como discutiremos en la siguiente sección, tuvo que
atender aspectos de la enseñanza basada en proyectos que el profesor adoptó, donde los
estudiantes tenían que construir el plano de su casa.
17.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR PEDRO PARA SU PROYECTO DE AULA
En el desarrollo de su proyecto de aula (el diseño de una casa), Pedro integró distintos
tipos de recursos no-digitales y digitales: lápiz y papel; regla graduada; el pizarrón; proyector
o videobeamer; materiales para la construcción de maquetas; editor de diapositivas (i.e.,
PowerPoint); y, en particular, el recurso digital Sweet Home 3D42 (ver la descripción de este
42 http://www.sweethome3d.com/
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
229
recurso en la sección 12.4.1) para producir planos de casas (la Figura 17.3 presenta un ejemplo
del tipo de planos que produjeron los estudiantes de Pedro, trabajando en parejas, durante el
proyecto de aula, usando el recurso digital Sweet Home).
Pedro también consideró otras opciones de recursos digitales (e.g. GeoGebra) para las
actividades de construcción geométrica de sus estudiantes. Sin embargo, seleccionó trabajar
con Sweet Home 3D debido a las características del mismo, así como su experiencia previa
con el recurso como usuario del programa fuera del ámbito escolar para hacer arreglos en su
casa:
“El proyecto también se podría hacer con GeoGebra, claro, pero yo prefiero el
Sweet porque tiene cosas que GeoGebra no tiene, por ejemplo: pasar así de fácil de
la vista 2D a la 3D, eso en GeoGebra es más complicado; además tampoco tiene
las herramientas para diseño arquitectónico y ese es el punto en que Sweet es
fuerte. […]
Trabajamos con Sweet en este proyecto el año pasado y me gustó. Creo que los
muchachos aprendieron mucho y funcionó muy bien […] Yo lo conocí casi como
accidente: estaba haciendo arreglos en mi casa y busqué algo para hacer el plano
y me encontré con este programa y vi que era libre y todo eso, y dije “uy, esto me
sirve para el proyecto de la ‘Casa de mis sueños’ […] entonces empecé a usarlo y
pensando que lo podía meter al proyecto y funcionó muy bien”
(Entrevista a Pedro)
Figura 17.6. Ejemplo del tipo de información disponible en el repositorio “Finca Raíz”
Otro de los recursos digitales seleccionados por Pedro para integrar a su proyecto fue
páginas de Internet, particularmente la página web43 de una organización (Finca Raíz) que
43 https://www.fincaraiz.com.co/inmobiliarias/cali/
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
230
agrupa las principales empresas inmobiliarias de Cali y su área metropolitana. La Figura 17.6
presenta un ejemplo del tipo de información proporcionada por el repositorio “Finca Raíz”
para la ciudad de Cali; allí se muestran algunos de los proyectos de vivienda disponibles en
diferentes zonas de la ciudad y datos adicionales.
De este repositorio, Pedro les propuso a sus estudiantes que retomaran información
para el diseño de sus casas: e.g., distribución de los cuartos; tamaños de los espacios de la
casa; ideas sobre la arquitectura y diseño de interiores; precios; zonas en las que están
ubicadas las casas, etc. Con esta información, las parejas de estudiantes complementaron sus
planos realizados en Sweet Home 3D y realizaron un presentación en PowerPoint, llamada
“proyecto de vivienda” que socializaron ante la comunidad educativa junto con la presentación
de sus maquetas.
Así, tenemos que Pedro, en esta fase, hizo una selección de recursos digitales
dependiendo del uso didáctico que anticipó para cada uno:
Recursos digitales para “diseñar en la clase de geometría”: Sweet Home 3D. Este
es el único recurso digital que Pedro había incluido para el proyecto de aula, en el año
escolar anterior (como observamos en la Primera Fase del estudio).
Recursos digitales para que los estudiantes encuentren información para el
diseño de sus planos: Página Web de “Finca Raíz”.
Recursos digitales para que los estudiantes socialicen sus resultados del proyecto
de aula: PowerPoint.
En la siguiente sección presentamos nuestro análisis de este proceso de selección de
recursos digitales realizado por el profesor Pedro.
17.4. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SELECCIÓN DE RECURSOS (DIGITALES) DE
PEDRO
En la Segunda Fase, el seguimiento al caso de Pedro se hizo durante 9 semanas
(observadas), en las cuales observamos 6 clases de geometría, 3 sesiones de planeación de
clases y realizamos 9 entrevistas (2 antes de la observación de clases y 7 post-clase) (ver
sección 15.4.3).
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
231
Durante las 7 entrevistas post-clase, se aplicó la técnica de introspección. En cada una
de esas entrevistas, Pedro realizó una versión de sus mapas de selección de recursos digitales
para sus clases de geometría, acompañándolos con sus explicaciones (y reflexiones). De esta
manera, obtuvimos datos que nos permitieron inferir el esquema de selección de recursos
digitales de Pedro; en particular, sus invariantes operatorias.
17.4.1. Resultados de la aplicación de la técnica de introspección: Mapas de Pedro
sobre su ruta-recorrida
En la primera versión de su mapa de su “ruta recorrida” (Figura 17.7), Pedro identificó
tres momentos en su proceso de selección de recursos: (i) “Definir objetivos”. (ii) “Definir el
software”. Y (iii) “definir la clase”. Pedro resaltó que el proceso de selección de recursos es
un proceso dinámico, donde el profesor aprende a adaptarse según los recursos que tiene
disponibles, lo que lo puede llevar incluso hasta a modificar sus objetivos de enseñanza. Al
respecto, Pedro señaló:
“Para mí, así es cómo yo selecciono lo recursos: Primero, defino los objetivos –
que quiero hacer esto, o lo otro, y que vamos a ver estos temas, etc. Después, ah,
pues uno mira qué software le ayuda para lograr esos objetivos, o hasta puede que
cambie los objetivos un poco, todo depende […] del recurso que usted encuentre y
cómo lo puede aprovechar. Para mí es un proceso cambiante, usted se va
adaptando. Al final, ya define cómo va a ser la clase […] define bien las
actividades.” (Entrevista a Pedro)
Figura 17.7. Primera versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su proyecto de aula
En la segunda versión de su mapa (Figura 17.8), Pedro agregó detalles adicionales. Por
ejemplo, introdujo numeración a sus actividades en el proceso de selección de recursos e
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
232
incluyó el “tema matemático” como punto de partida del proceso. Además, especificó que su
“definición de los objetivos” se refiere a determinar “qué es lo que va a enseñar”. Para Pedro,
este último punto es vital para “definir cuál va a ser el software que voy a usar”. Finalmente,
Pedro incluyó la “organización del trabajo” de la clase como una consideración adicional en su
proceso de selección. Al respecto, Pedro señaló:
“Mi esquema ahora está como más completo. Primero, ya parto del tema
matemático, de allí a los objetivos […] esos objetivos sobre qué voy a enseñar, sí,
sobre de qué va a ser la clase. Ya de allí defino mejor el software y miro, ahora sí,
cómo es que voy a organizar el trabajo de los muchachos: que va a ser en grupo,
que van a hacer una socialización, y yo defino cómo se va a hacer todo eso.”
(Entrevista a Pedro)
Figura 17.8. Segunda versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su proyecto de aula
En la última versión de su mapa (ver Figura 17.9), hay varios elementos a tener en
cuenta y que Pedro enfatizó al explicar su ruta: la necesidad de contar, a la hora de escoger un
recurso digital para la clase, con criterios matemáticos y didácticos claros (considerando
aspectos relacionados sobre el uso del recurso en la clase). Al respecto, Pedro señaló:
“Lo primero, para escoger un recurso, un material para la clase, lo que sea, es
tener claro qué voy a enseñar: Cuál es el tema matemático que vamos a trabajar y
cómo se conecta con otros temas –con temas de la vida real o con otras cosas de
las matemáticas. Pero para eso, el profesor debe de conocer bien el tema que va a
enseñar, para poder entender todas esas conexiones. Otra cosa que yo puse es lo de
los objetivos de la clase, o de las clases: allí voy a decir qué voy a enseñar, cómo
lo voy a hacer y qué recursos voy a usar –recursos humanos, espacios, tecnologías,
todo. Ya después, escoger el software no es tan complicado, por que yo ya sé qué es
lo quiero y quiero que sea ¡motivante! Para que los muchachos se animen a
trabajar, y como el Sweet es un programa que usan los arquitectos en la vida real,
entonces ellos se proyectan y se apersonan de su proyecto.”
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
233
[…]
“Hay que mirar varias cosas: por ejemplo, si los niños pueden usar el Sweet aquí
o en la casa y que sea gratis, por si no, cómo? También mirar qué herramientas
tiene el software, porque yo busco algo que les sirva a los niños para construir,
para hacer su casa, no es como un Paint o algo así, sino que tenga herramientas
de matemáticas”.
[…]
“Ya después usted mira qué le va poner de trabajo a los niños, mi idea es que ellos
usen el Sweet en varias cosas: para medir, para trazar el plano, cambiar la
escala, hacer todo el diseño arquitectónico, tomar medidas, y eso. Pero no es
dejarles el software allí no más, yo les tengo que decir qué vamos a hacer y cómo
lo vamos a hacer: trabajando en parejas, compartiendo el aprendizaje, para eso
es que vale la pena trabajar con estas vainas tecnológicas”.
(Entrevistas a Pedro; énfasis añadidos)
Así pues, Pedro seleccionó el recurso dependiendo de si puede adaptarse a sus
objetivos: lo que implica, en este caso, que el recurso disponga de herramientas (criterio de
orden ergonómico) para el diseño y la medición (criterio de contenido matemático); que el uso
didáctico del recurso promueva el trabajo colaborativo (criterio de características didácticas) y
luego define otros requerimientos (en particular, el criterio afectivo: que el recurso sea
“agradable” y “motivante”) y otros de orden ergonómico (e.g. que el recurso sea de libre
acceso).
Figura 17.9. Última versión del mapa, dibujado por Pedro, de su ruta-recorrida para su selección
de recursos para su clase
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
234
17.4.2. Componentes del esquema de Pedro para seleccionar recursos digitales
A partir de los datos obtenidos en las entrevistas a Pedro, de sus mapas de su ruta-
recorrida, y de la observación de su planeación y ejecución de sus clases de geometría,
pudimos inferir su Esquema de Selección de Recursos Digitales (ESRD_P). Este análisis
(resumido en la Tabla 17.1), se hizo en términos de los elementos constitutivos de los
esquemas de los cuales nos habla Vergnaud (1998, 2013) –ver sección 6.1: situación, metas,
anticipaciones, reglas de acción, invariantes operatorias, y posibilidades de inferencia.
Cabe señalar que Pedro construyó su situación con base a su experiencia con
situaciones similares en años anteriores donde ya había aplicado el proyecto de aula
de manera parecida (como en la Primera Fase —ver capítulo 12). Lo anterior explica
muchas de las acciones de Pedro, por ejemplo, las adaptaciones que realizó a su
proyecto de aula; también explica por qué el profesor seleccionó los recursos en
términos de su experiencia habiéndolos usado antes.
Las metas de Pedro se enfocaron en su selección de recursos digitales. Esta
selección, Pedro la realizó pensando en qué tipo de actividades sus estudiantes
pudieran llevar a cabo con el recurso seleccionado, y en cómo este recurso puede
integrarse en el desarrollo de su proyecto de aula.
Las anticipaciones de Pedro se enfocaron en configuraciones didácticas
“globales”; en el sentido en que implican tiempos, espacios y actividades diversas a
lo largo de una tiempo considerables. Tanto en la Primera (ver sección 12.5) como en
la Segunda fases, el profesor anticipó configuraciones didácticas “globales” en las
cuales consideró el tipo de actividad a realizar por sus estudiantes: En la Primera
Fase, estas anticipaciones estaban más ligadas a la meta “global” de aprendizaje, la
cual orientó la orquestación que hizo de sus clases. En esta Segunda Fase,
identificamos que estas anticipaciones “globales” fueron más complejas que las
identificadas en la Primera Fase, ya que el profesor consideró la gestión de una
variedad mayor de recursos (digitales y no digitales); también consideró cómo los
estudiantes iban a usar esos recursos y cómo todo lo anterior contribuiría al desarrollo
del proyecto de aula. Por ejemplo, el profesor consideró de qué maneras los
estudiantes iban a usar la información que tomaran de la página web de Finca Raíz
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
235
(ver sección 17.3) para el diseño de sus planos en Sweet Home 3D; y cómo iban a
usar estos planos para construir sus maquetas y diapositivas para la presentación ante
la comunidad educativa.
Teniendo en cuenta los anterior, las reglas de acción de Pedro tomaron como
punto de partida, y basaron su planeación, en las actividades del proyecto,
contemplando posibles modificaciones al mismo, sobre todo en términos de los
recursos digitales que pretendía seleccionar. Aquí es interesante notar que el profesor,
desde la Primera Fase, expresó su interés en “trabajar con tecnologías digitales” y,
por tanto, sus reglas de acción correspondían a esa intencionalidad.
En cuanto a sus invariantes operatorias hay varios elementos a considerar. Cabe
señalar que varios de los “criterios de selección” de Pedro, que habíamos inferido en
su seguimiento en la Primera Fase del estudio (ver capítulo 12), continuaron, pero se
modificaron en términos de la importancia que Pedro les otorgó en esta Segunda
Fase.
Primero, Pedro señaló: “Como lo usé [Sweet Home 3D] el año pasado, ya sé
que hacer con él,” lo cual indica que su experiencia previa con el recurso (como
usuario del recurso fuera del ámbito escolar y como profesor que usó el recurso
en un proyecto de aula) le ha dado conocimientos (así como un cierto nivel de
confianza) que orientaron su acción y decisión de usar el recurso (i.e., Pedro ya
sabe qué puede hacer con el recurso).
En esta Segunda Fase, Pedro señaló que para él era ahora más importante
que antes, el uso didáctico del recurso (el criterio de características didácticas),
las tareas de diseño y construcción geométricos por parte de los alumnos usando
el recurso (criterio de contenido matemático), y las maneras en que el recurso
puede apoyar y facilitar el aprendizaje de sus estudiantes (criterio cognitivo).
En cambio habló menos de criterios como el curricular (había ya
identificado previamente de qué manera el uso del recurso se relaciona con las
orientaciones del currículo) y el ergonómico (ya que ya conocía bastante bien las
características técnicas el recurso). Inferimos que estos dos criterios se
mantuvieron más o menos igual que en la Primera Fase, aunque no se hablara
tanto de ellos.
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
236
Sin embargo, entre los criterios ergonómicos, Pedro contempló
adicionalmente en esta ocasión, que el recurso también pudiera usarse en casa.
Esto lo había mencionado en la Primera Fase, pero sin darle mucha importancia,
mientras que en la Segunda Fase pareció valorarlo mucho más.
Otra invariante operatoria que inferimos en Pedro durante la Segunda Fase,
tuvo que ver con el criterio afectivo, en el sentido de que para él era importante
que el uso del recursos digital principal (el Sweet Home) fuera “motivante” para
los estudiantes. Este tipo de creencias positivas (orientaciones personales)
respecto al uso de recursos digitales, se basaron en su experiencia previa que le
había dado confianza en lo que se podía hacer y lograr con el recurso en sus
clases.
Finalmente, identificamos que en el caso de Pedro, sus posibilidades de
inferencia se relacionan con sus orientaciones personales y percepciones (Thomas &
Palmer, 2014) respecto a la integración de tecnologías digitales a la enseñanza. Por
ejemplo, Pedro creía en que trabajar con tecnologías digitales puede permitirle
innovar en su trabajo; a partir de eso, inferimos que el podría buscar otras maneras de
usar los recursos digitales que ha usado antes, en versiones futuras de su proyecto de
aula (o fuera de él), tales como el de Sweet Home 3D, u otros recursos como la
geometría dinámica o videos de YouTube. Al respecto Pedro señaló:
“¿Cómo pienso usar esto [Sweet Home 3D], en el futuro? A ver, ¿de que lo sigo
usando para el proyecto? sí, claro […] Trabajar con tecnologías… como que te
da la oportunidad de innovar, ¿no?, de cambiar lo que siempre hacés como
profesor y eso me gusta, me hace sentir bien… porque ves que a los muchachos
les gusta, es motivante para ellos […] Como que te abre la mente para trabajar
más con tecnologías, ¿no? […] dependiendo, con GeoGebra, con cosas de
YouTube, con OVAs [Objetos Virtuales de Aprendizaje]”
(Entrevista a Pedro, énfasis añadido)
A continuación, en la Tabla 17.1, resumimos los elementos arriba descritos del
esquema ESRD-P de Pedro. (En la sección 17.4.3 presentaremos un análisis más detallado de
los conocimientos matemáticos de Pedro involucrados en su proceso de selección).
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
237
Tabla 17.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Pedro (ESRD_P)
Situación En su salón de clases, Pedro planeó varias clases de Geometría para su proyecto de
aula “La casa de mis sueños”.
Experiencia previa del profesor (derivada de haber sido usuario del recurso fuera del
ámbito escolar; y de haberlo utilizado el recurso en el año escolar previo).
Para ese proyecto, tuvo varias opciones para seleccionar diversos recursos (digitales y
no digitales) –en particular mencionó GeoGebra— de las cuales seleccionó Sweet
Home 3D (ver sección 17.3) como recurso para “diseñar en la clase de geometría”.
Pedro también consideró incluir actividades adicionales con otros recursos digitales,
en su proyecto de aula, que no había desarrollado en ocasiones anteriores (ver sección
17.2), por ejemplo, el uso de una página web para que los estudiantes tomaran
información.
Metas Meta general:
Seleccionar recursos digitales que sus estudiantes puedan utilizar para el desarrollo
de su proyecto de aula de acuerdo a sus criterios (ver invariantes operatorias, abajo).
Sub-metas:
Adaptar los recursos seleccionados de acuerdo a su planeación de las actividades del
proyecto.
Prever una configuración didáctica “global” que involucra distintos recursos
digitales.
Anticipa-
ciones
Pedro señaló:
" Yo ya he hecho [enseñanza] con proyectos varios años: conozco qué materiales
usar, así que tengo una idea previa de cómo van a funcionar las actividades. Pero
de todas formas, este año quiero hacer cosas nuevas; entonces, por eso, tengo que
cambiar cosas, mirar la logística de la socialización y cómo es que vamos a usar
Sweet Home para que los niños presenten."
Pedro anticipó modificaciones en la realización de sus actividades del proyecto,
respecto a años anteriores.
Pedro anticipó posibles configuraciones didácticas (dentro y fuera del salón de
clases) que involucraran recursos digitales y recursos no-digitales.
Reglas de
acción
Paso 1: revisar el plan de las actividades del proyecto
Paso 2: realizar posibles modificaciones al plan de actividades del proyecto
Paso 3: identificar qué actividades del proyecto requerían el uso de recursos digitales.
Paso 4: prever posibles configuraciones didácticas “globales” (dentro y fuera del
salón de clases) que incluyeran recursos digitales y no-digitales.
Invariantes
operatorias
Conocimientos
-en-acto
Conocimientos-en-acto de Pedro categorizados como “criterios de selección”. Los
presentamos según el orden de importancia que inferimos que Pedro les otorgó:
Características didácticas: el uso didáctico del recurso debe promover el trabajo
colaborativo.
Contenido matemático (geométrico): El recurso debe facilitar tareas de diseño y
construcción por parte de los alumnos.
Cognitivo: el recurso debe apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes
Ergonómico: el recurso digital debe ser gratuito, fácil de instalar y de usar (en la
escuela y en la casa) por los niños.
Afectivo: el uso del recurso debe de ser motivante para los estudiantes.
Curricular: el recurso debe estar alienado con las orientaciones curriculares.
Invariantes Teoremas-en-acto. En algunas de las entrevistas Pedro señalaba:
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
238
operatorias
Teoremas-en-
acto
Características didácticas:
- “Como lo usé el año pasado, ya sé que hacer con él.”
- "Quiero que el uso de la tecnología sea para el trabajo en grupo de los niños; me
gusta trabajar con parejas [de estudiantes], para hablar sobre lo que están
haciendo, para que se ayuden entre ellos, igual los papás les ayudan, los otros
compañeros, hasta los papás aprendieron a usar el programa. "
Contenido matemático (geométrico):
- "La idea es que, al trabajar con Sweet, es que los niños pueden ver qué cosas se
pueden medir y qué cosas no se pueden, y que prueben diferentes funciones para
hacerlo”.
- “Lo que quiero que los niños aprendan es a usar la geometría: que construyan,
diseñen, hagan medidas, comparen cosas y apliquen lo que vemos en las clases, que
corrijan sus planos, los ajusten según los parámetros que yo les doy.”
- "Debemos prestar atención a la parte matemática: asegurarse de que no haya
errores o contenidos que no correspondan al nivel de los niños ... si [las
matemáticas] son demasiado complicadas, puede confundirlos."
Cognitivo: “De lo que más me gusta del Sweet es lo de la vista 3D, que los niños
pasan fácil del plano 2D a la vista 3D y entonces allí miran si están haciendo bien
las cosas y cómo va quedando su casa.”
Criterio ergonómico: "Busco un software que sea útil para muchas cosas, porque
estamos trabajando en un proyecto largo, entonces yo quiero algo que se adapte a lo
que queremos hacer en el proyecto.”
Afectivo: “Ya después, escoger el software no es tan complicado, por que yo ya sé
qué es lo quiero y quiero que sea ¡motivante! Para que los muchachos se animen a
trabajar, y como el Sweet es un programa que usan los arquitectos en la vida real,
entonces ellos se proyectan y se apersonan de su proyecto”.
Curricular: “Sobre todo que apliquen, como dicen los Estándares y el currículo,
que apliquen sus conocimientos y no que repitan como loros, sino que hagan las
cosas, así como lo hace un ingeniero o un arquitecto en la vida común y corriente."
Posibilidades
de inferencia
Las posibilidades de inferencia de Pedro se relacionaban con sus percepciones favorables
sobre el papel de las tecnologías digitales en su enseñanza; al respecto, Pedro podría
inferir:
posibles usos del recurso digital (Sweet Home ·3D) en versiones posteriores de su
proyecto de aula.
posibles usos que podría darle a otros recursos digitales (e.g. geometría dinámica o
videos de YouTube) en actividades del proyecto de aula o fuera de él.
En la siguiente sección presentamos nuestro análisis de los conocimientos matemáticos
de Pedro involucrados en sus invariantes operatorias y que orientan su proceso de selección de
recursos digitales.
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
239
17.4.3. Paradigma geométrico relacionado con las invariantes operatorias de
Pedro
A continuación, profundizamos en relación a los conocimientos profesionales de Pedro
sobre su tema de enseñanza: las magnitudes y su media en quinto grado –i.e., sobre sus
invariantes operatorias o criterios de: contenido matemático (geométrico); de
características didácticas del recurso, cognitivo y curricular— que corresponderían al
conocimiento matemático para la enseñanza o MKT (Ball et al., 2008).
Recordamos que este análisis lo realizamos orientados por las ideas de Kuzniak (2011)
sobre “paradigmas geométricos” los cuales, según este autor, vinculan las consideraciones
epistemológicas del profesor, con la enseñanza que éste hace de la geometría. Así, aquí
profundizamos en los paradigmas relacionados con las invariantes operatorias de Pedro
presentadas arriba.
Desde la Primera Fase (ver sección 12.3), Pedro había expresado algunos de sus
conocimientos sobre las magnitudes y su medida. Específicamente, este profesor definía las
características de una magnitud, en términos de “qué se puede medir y qué no”. Además,
expresaba algunas ideas respecto a actividades relacionadas con la medición como, por
ejemplo, el papel de la estimación y el uso de instrumentos.
En las invariantes operatorias de Pedro, es posible inferir cómo sus conocimientos
respecto a las magnitudes y su medida se relacionan con el paradigma de la geometría
natural o elemental (Kuzniak, 2011), aquella geometría que opera sobre los objetos reales y
requiere de un uso intensivo de la intuición y del lenguaje para expresar las ideas. Así, este
paradigma se manifestó en las invariantes operatorias de Pedro cuando él hablaba del tipo de
actividad geométrica que deseaba promover en su clase y de sus propósitos educativos (“que
los estudiantes apliquen lo que aprenden”); también cuando expresaba que “los niños deben
de medir para saber que están haciendo las cosas bien”.
En nuestro análisis pudimos inferir que las invariantes operatorias de Pedro están
fuertemente relacionadas con los siguientes tres elementos de la geometría elemental:
La actividad geométrica priorizada por Pedro en sus clases fue el diseño de planos
arquitectónicos. Esta actividad se relaciona con la “construcción geométrica” ya que
requiere definir procesos o procedimientos que involucran objetos geométricos (e.g.
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
240
puntos y segmentos de recta). Así pues, se favorece el trazo de gráficos en papel,
ordenador o maquetas (Kuzniak, 2011).
Para apoyar estos procesos de construcción, Pedro contemplaba el uso de recursos
digitales y no digitales, la cual es una característica de la geometría elemental: el uso de
instrumentos (Kuzniak, 2011).
El profesor evidentemente enfatizaba actividades que implican la medida y la
medición como fuente de validación. El profesor tenía la intención de evocar situaciones
“de la vida común y corriente” de los niños en su clase de geometría y de acuerdo a
ello, promovía razonamientos de validación empírica: el profesor promovía que los
niños hicieran uso de pruebas “ostensivas”, es decir, aquellas relacionadas con el mundo
real y sensible (Kuzniak, 2011).
En las anteriores consideraciones es notorio cómo Pedro tomaba en cuenta aspectos
relacionados con la función social de la medición, particularmente, en la construcción de
viviendas. Lo anterior, le permitió al profesor el juego de ir y volver entre el modelo y la
realidad (Kuzniak, 2011), donde prevalecen las actividades de aproximación y medición.
En la siguiente sección presentamos algunas conclusiones de esta segunda parte del
estudio de caso de Pedro, haciendo énfasis, en el análisis de las invariantes operatorias de este
profesor.
17.5. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO DE PEDRO
Para el estudio de este proceso, la evocación de la ruta-recorrida por Pedro, mediante la
aplicación de la técnica de introspección, nos permitió analizar su proceso de selección de
recursos digitales, así como inferir el esquema asociado.
Por un lado, las representaciones y explicaciones de Pedro en sus mapas evolucionaron
de manera que permitieron que se manifestaran sus conocimientos profesionales sobre la
selección de recursos digitales para su proyecto de aula.
Por ejemplo, en esta segunda parte del estudio de caso de Pedro, al igual que en la
Primera Fase de la investigación, se hicieron evidentes algunas de sus orientaciones personales
sobre el uso de tecnologías digitales en la enseñanza (Thomas y Palmer, 2014). En este caso el
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
241
profesor expresaba sus creencias sobre el valor de las tecnologías: para promover el trabajo
colaborativo (criterio de características didácticas del recurso), como algo motivante (criterio
afectivo) y que le permitiría innovar en su práctica docente (posibilidad de inferencia), etc.
Siguiendo las ideas de Thomas y Palmer (2014), concluimos que estas percepciones de Pedro
redundan en sus niveles de confianza para la integración de tecnologías digitales en su
enseñanza. Este tipo de orientaciones personales se hicieron presentes en buena parte del
proceso de selección de recursos de Pedro.
También notamos cómo el proceso se hizo mucho más complejo en esta Segunda Fase
de la investigación, ya que Pedro contempló recursos digitales para “hacer geometría” y otros
recursos digitales que apoyaban las actividades del proyecto, como las páginas web para
consulta de información y PowerPoint para que los alumnos presentaran sus proyectos. Como
hemos mencionado anteriormente, el profesor realizó su selección del recurso digital pensando
en la orquestación que iba a hacer de éste; en este caso, Pedro anticipó que su orquestación iba
a involucrar varios recursos digitales y no-digitales (páginas web, Sweet Home 3D,
PowerPoint, maquetas), lo que determinaba los usos específicos de esos recursos en
actividades diversas de su proyecto de aula (e.g. consultar información, diseñar un plano,
hacer una presentación).
En cuanto a los componentes del esquema de Pedro para seleccionar recursos de
acuerdo a una situación específica (su ESRD_P), particularmente, sus invariantes operatorias
(conocimientos-en-acto y teoremas-en-acto), observamos, por ejemplo que sus criterios de
características didácticas, contenido matemático (geométrico) y cognitivo fueron
determinantes para orientar su proceso de selección ya que Pedro les otorgaba mayor
importancia.
En relación con esos criterios de Pedro, notamos que se relacionaban con aspectos del
paradigma de la geometría elemental (o natural) descrito por Kuzniak (2011): En particular,
Pedro hacía énfasis en el trazo de gráficos y en el uso de la medida para validar las
construcciones (contenido matemático) que son algunas de las características que Kuzniak
(2011) identifica en la geometría elemental. Pedro. también decidió que los niños trabajaran en
parejas “para que hablen de lo que están haciendo” (criterio de características didácticas); y
promovió el razonamiento visual en 2D y 3D (criterio cognitivo), lo cuál corresponde a otras
CAP. 17. ESTUDIO DE CASO DE PEDRO (2ª PARTE): RECURSOS PARA DISEÑAR EN LA CLASE DE GEOMETRÍA
242
de las características de ese paradigma mencionadas por Kuzniak (2011): el uso del lenguaje
natural para explicar las ideas geométricas, y el énfasis en procesos como la visualización.
En el siguiente capítulo presentamos el seguimiento al caso de otro profesor que
participó en el estudio: el profesor Miguel de quinto grado y su proceso de selección de
recursos digitales para enseñar transformaciones geométricas en quinto grado.
243
18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA
“HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
El tercer caso que vamos a presentar en la Segunda Fase corresponde al profesor
Miguel, quien enseñaba en grado 5º. Comenzamos describiendo algunos antecedentes de este
profesor y el contexto escolar en el que trabajaba.
18.1. ANTECEDENTES DE MIGUEL Y DEL CONTEXTO EN EL QUE LABORA
18.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Miguel
El profesor Miguel que contaba con 56 años en el momento del estudio, tenía una
trayectoria profesional amplia, casi toda en primaria y secundaria. Algunos detalles de su
formación profesional (y personal), se reseñan a continuación:
Oriundo del municipio de Yumbo, cursó estudios de bachillerato en la Normal de
Zarzal (otro municipio a 3 horas de Yumbo), obteniendo el título de Maestro Bachiller.
Se desempeñó como profesor en escuelas primarias y programas nocturnos de
primaria para adultos en Yumbo en modalidad de contrato por 20 años.
Obtuvo el título de Ingeniero en Sistemas y Computación de la Universidad Santiago
de Cali en 2005 (programa sabatino).
Obtuvo el título de Maestría en Enseñanza de las Ciencias y las Matemáticas en 2011.
Ingresó a la carrera profesional docente por concurso de méritos en 2010 y a partir de
ese momento laboró en la escuela primaria donde realizamos el estudio. En el periodo
del estudio, llevaba 8 años enseñando grado 5º en la jornada de la mañana en esa misma
escuela.
Además de la docencia ejerce el oficio de ebanista.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
244
Se consideraba como un profesor entusiasta del uso de recursos digitales en la clase y
participaba en grupos y proyectos (tales como el del Programa Ondas-Colciencias44 y el del
Instituto GeoGebra Cali) relacionados con sus temas de interés.
Miguel no trabajaba solo: él y su compañera María45 (seudónimo), con quien se veía
todos los días, llevaban a cabo trabajo colaborativo, compartiendo materiales y conversando
sobre sus experiencias durante los 5 años previos al estudio. Miguel valoraba mucho el
conocimiento profesional de María, sobre todo en temas curriculares y didácticos, y expresaba
haber aprendido mucho trabajando con ella. En esta investigación, aunque nos centramos en el
trabajo documental de Miguel e hicimos un estudio de caso individual, reconocemos la
importancia de su trabajo colaborativo. De hecho, como mencionamos abajo, la escuela de
Miguel promovía el trabajo colaborativo entre los docentes.
18.1.2. Detalles de la escuela en la que Miguel trabajaba
La escuela donde laboraba Miguel cuando realizamos su seguimiento, es una ubicada
en el centro del casco urbano de Yumbo (ver Figura 18.1). Ésta es una institución, pública,
urbana, mixta que atiende estudiantes de estrato socio-económico medio-bajo en los grados de
preescolar a quinto. Casi la totalidad de sus estudiantes continúan a educación secundaria (en
instituciones de básica secundaria) y finalizan la educación media (bachillerato). Un 30%
(aproximadamente) de sus egresados ingresan a la universidad. De acuerdo a información
proporcionada por la directora de la escuela (comunicación personal), el proyecto educativo de
esa escuela se considera afín las ideas socio-culturales en educación y promueve el trabajo
colectivo entre maestros y estudiantes; y es una escuela reconocida en su comunidad como una
de alto desempeño académico. En esa escuela se estimula el trabajo colaborativo entre
profesores (e.g. reuniones, equipos de trabajo, diseño de recursos curriculares, etc.).
La organización usual de las clases en esa escuela es en “grupos nucleares” es decir,
que el grupo de estudiantes (en cada clase) es organizada en grupos (o “núcleos”) de cinco
estudiantes que se mantienen, en su mayoría, durante todo el año escolar.
44 https://www.colciencias.gov.co/cultura-en-ctei/ondas 45 María no quiso participar en nuestro estudio.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
245
Figura 18.1. Escuela donde laboraba Miguel
18.1.3. Clases desarrolladas por Miguel durante su periodo de seguimiento
A Miguel le hicimos seguimiento durante 11 semanas46, en el año escolar 2016-17.
Durante este periodo este profesor desarrolló sus clases semanales de geometría tal cual las
tenía planeadas; es decir, no alteró, ni adaptó el desarrollo de su trabajo a raíz de nuestra
observación.
En esas 11 semanas, Miguel abordó tres temáticas en sus clases de geometría:
(i) sólidos geométricos (SG), (ii) construcción de geoplanos (GP) y (iii) transformaciones
geométricas (TG), en un “taller” con GeoGebra. De estos temas abordados por Miguel
solamente su “taller” contaba con el uso de recursos digitales. Cada temática se desarrolló en
tres clases cada una.
(i) La secuencia de 3 clases sobre sólidos geométricos (SG) ocurrió de la siguiente
manera:
En la primera clase, Miguel hizo una presentación oral, recordando a sus estudiantes
(que ya habían abordado inicialmente ese tema en 4º grado) algunas de las principales
características de los sólidos geométricos; particularmente, Miguel destacó los
componentes (lados, vértices, aristas) de los sólidos y su clasificación según su número
de lados.
En la segunda y tercera clases, Miguel propuso a sus estudiantes, una secuencia de
27 actividades dispuestas en 4 hojas de trabajo (con las que ya había trabajado en años
anteriores) – ver Figura 18.2. Cada niño contaba con sus propias hojas de trabajo, pero
46 En el caso de Miguel tuvimos la oportunidad única de que el profesor (y su escuela) nos permitieran
hacer un mayor tiempo de seguimiento a su trabajo.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
246
trabajaban apoyándose en su grupo nuclear. Miguel les iba explicando las actividades a
sus estudiantes pasando por los grupos o haciendo intervenciones para toda la clase.
Miguel planteó esta secuencia de clases de manera “conceptual” dado que en años
escolares pasados; al respecto dijo: “Ya hicieron los sólidos con palillos y cartulina;
ahora, solo quiero reforzarles lo teórico”. Al final de la tercera clase Miguel hizo un
repaso general de los temas.
Figura 18.2. Hoja de trabajo para el estudio de “sólidos geométricos”, propuesta por Miguel
(ii) En las 3 clases sobre construcción de geoplanos (GP), Miguel propuso trabajar
dos tipos de geoplanos: el geoplano convencional y el geoplano circular. La Figura
18.3 muestra ejemplos de esos geoplanos realizados por los estudiantes en la clase de
Miguel. El objetivo de Miguel en esta secuencia de tres clases era “reforzar los temas
de ángulos y propiedades de los polígonos” y permitía a sus estudiantes repasar temas
y desarrollar ciertas habilidades motrices (para tener una mayor precisión en los
movimientos de la mano y poder manejar herramientas como la regla o el
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
247
transportador, etc.) como veremos en la sección 18.3.1.
Miguel consideraba que este trabajo servía de antecedente para la realización del taller
sobre transformaciones geométricas que le siguió (ver a continuación).
Figura 18.3. Ejemplo de un geoplano “convencional” (izquierda) y un geoplano “circular”
(derecha) realizados en la clase de Miguel
(iii) Al final de la secuencia de clases sobre geoplanos, Miguel anunció a sus
estudiantes el “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra”
(TG), el cual sería abordado en las siguientes tres clases en la “sala de sistemas”. Los
estudiantes de Miguel ya habían trabajado previamente con GeoGebra a lo largo del
año escolar. Los detalles de esta secuencia de clases dedicada al “taller” se presentan en
la sección 18.4.1 más adelante.
18.1.4. Metodología del seguimiento a Miguel
Como mencionamos arriba, a Miguel le hicimos seguimiento durante 11 semanas,
donde observamos:
4 planeaciones de clase (una para SG, una para GP, y dos para TG),
9 clases de geometría (tres de cada tema),
y le realizamos 16 entrevistas (principalmente antes y después de las 9 clases
observadas –ver Tabla 18.1.)
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
248
Como habíamos mencionado anteriormente en la sección 15.1, además de inferir el
esquema de selección de recursos digitales de Miguel para la enseñanza de las
transformaciones geométricas en quinto grado, el largo seguimiento de 11 semanas también
nos permitió, adicionalmente, estudiar su sistema de recursos para la enseñanza de la
geometría en general. Consideramos que el estudio del sistema de recursos de Miguel es algo
que aporta datos que complementan el análisis de la selección de recursos por parte del
profesor.
El seguimiento a Miguel lo realizamos de la siguiente manera:
1. Cuando Miguel abordó el tema de sólidos geométricos (SG), observamos una sesión
de Miguel planeando su clase y 3 de sus clases de Miguel (sin recursos digitales)
sobre el tema; asimismo, le realizamos 3 entrevistas.
2. Cuando Miguel abordó la construcción de geoplanos (GP), observamos una sesión
de planeación de clases y 3 clases de sus clases de geometría (sin recursos
digitales); le realizamos 4 entrevistas al profesor para estudiar su sistema de
recursos para la enseñanza de la geometría (ver sección 18.2 abajo).
3. Cuando Miguel abordó su “Taller sobre transformaciones geométricas usando
GeoGebra” (TG), observamos 2 sesiones de planeación de clases, 3 clases de
geometría (ver sección 18.4.1) y 6 entrevistas. Cada una de las clases ocupaban casi
la totalidad de la jornada escolar (aproximadamente 5 horas cada una).
4. Posterior a la observación de clases del “Taller sobre transformaciones geométricas
con GeoGebra” realizamos otras 3 entrevistas a Miguel para la aplicación de la
técnica de introspección.
La Tabla 18.1 resume las actividades de seguimiento realizadas cada semana (de las 11
semanas) en que observamos el trabajo de Miguel. En esta tabla se muestra cuándo se realizó
cada actividad de seguimiento. Particularmente, las entrevistas aparecen codificadas47 de
acuerdo al profesor, al número de entrevista, y a los diferentes temas que fueron: Sistema de
Recursos (SR); Selección de Recursos Digitales (SRD) y Orquestación de la clase (OC). Por
ejemplo, la entrevista codificada como EM2-SR representa:
47 Esta codificación sólo la mostramos, para beneficio del lector, para el caso de Miguel, debido al alto
volumen de entrevistas que se le realizaron a él.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
249
E (entrevista)
M (Miguel)
2 (número consecutivo de entrevista)
SR (tema de la entrevista en este caso, Sistema de Recursos – SR)
Tabla 18.1. Actividades del seguimiento a Miguel
Semana de
seguimiento
Observación de planeación
de clases
Clases
(y tema)
observados
Entrevistas
previas a clases
observadas
Entrevistas
posteriores a
clases observadas
1 1 (EM1-SR)
2 1 (sólidos geométricos -SG) 1 (SG) 1 (EM2-OC)
3 1 (SG)
4 1 (SG) 1 (EM4-OC)
5 1 (geoplanos - GP) 1 (GP) 1 (EM3-SR) 1 (EM5-SR)
6 1 (GP) 1 (EM6-OC)
7 1 (GP) 1 (EM7-SR)
8 1 (transformaciones -TG) 1 (TG) 1 (EM8-SRD) 1 (EM9-OC)
9 1 (TG) 1 (TG) 1 (EM10-SRD) 1 (EM11-SRD)
10 1 (TG) 1 (EM12-SRD) 1 (EM13-OC)
11 3 (EM14-SRD,
EM15-SRD,
EM16-SRD)
Cabe señalar que durante este periodo de seguimiento, Miguel solamente usó recursos
digitales en la implementación de su “Taller sobre transformaciones geométricas” (que
presentaremos en la sección 18.5). Sin embargo, como señalamos arriba, consideramos útil e
informativo analizar todo el sistema de recursos de Miguel para enseñar geometría en general,
lo cual presentamos a continuación.
18.2. SISTEMA GENERAL DE RECURSOS DE MIGUEL PARA SU ENSEÑANZA DE
GEOMETRÍA EN QUINTO GRADO
Utilizamos la idea de “sistema de recursos” que proponen Gueudet y Trouche (2009)
para referirnos a todos los recursos, en este caso usados por Miguel durante su enseñanza de la
geometría en quinto grado. Durante sus 20 años de experiencia docente, Miguel ha
consolidado un sistema de recursos que incluye los siguientes recursos nombrados por el
profesor: talleres para estudiantes, recursos curriculares, reportes, videos, presentaciones en
diapositivas, imágenes, recursos digitales, instrumentos para construir (regla, escuadras,
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
250
compás), interacciones con colegas e investigadores, etc. Con el paso del tiempo, Miguel ha
ido guardando los recursos que usa y varios de ellos aparecen dispuestos para su uso en su
salón de clase (ver Figura 18.4, más abajo).
Como explicamos anteriormente, aprovechamos la oportunidad de poder tener un largo
seguimiento a Miguel, para estudiar su sistema de recursos los cuales nos podrían informar
sobre:
qué tipo de recursos ha seleccionado Miguel anteriormente;
qué recursos privilegia Miguel durante su enseñanza y por qué;
algunos conocimientos profesionales específicos de Miguel respecto a los recursos
que usa; y, principalmente,
los criterios de selección de recursos que Miguel toma en cuenta.
El obtener datos adicionales sobre esos aspectos nos sirve para profundizar en el
estudio del proceso de selección de recursos de Miguel. Para recolectar esos datos, realizamos
dos tipos de actividades, mediante 4 entrevistas a Miguel (las cuales aparecen en la Tabla 18.1
con el código SR): (i) en la primera entrevista (EM1-SR), Miguel nos mostró los recursos que
usa en su clase en una “visita guiada”; y (ii) en otras 3 siguientes entrevistas (no secuenciales:
EM3-SR; EM5-SR y EM7-SR) sobre el tema de sistema de recursos, Miguel creó
representaciones o “mapas” de los recursos que utiliza para enseñar geometría.
18.2.1. Visita guiada a los recursos generales de Miguel
En la primera entrevista (EM1-SR), al profesor le pedimos que nos realizara una visita
guiada por su salón de clases y nos enseñara los recursos, materiales o manipulativos que usa
para su enseñanza de la geometría. En la Figura 18.4. podemos ver algunos ejemplos de los
recursos que Miguel nos enseñó durante la visita guiada por su salón de clases.
En esta primera entrevista (EM1-SR), Miguel nombró los recursos que habitualmente
usa en sus clases de geometría, y también nos mencionó que tenía pleno acceso (un día a la
semana) a la sala de computación donde hay equipos para cada estudiante y servicio de
Internet (aunque limitado). Al respecto de los recursos que Miguel utilizaba para su enseñanza
de la geometría, él señaló:
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
251
“Además de GeoGebra, usamos el geoplano, el manejo de las escuadras… Yo, en
casi todas mis clases, uso mis presentaciones [en PowerPoint], además, porque es
una ayuda para uno, para los estudiantes y queda el registro de lo que ví con ellos.
[…]
Para trabajar en el tablero, uso las escuadras de 60 y 90 [grados]. También uso
papel para origami o cosas de arte pero de geometría. Hacemos dibujo técnico
para usar las escuadras, el transportador, el compás… Voy sacando actividades de
los libros o de Internet […]
Conecto mi computador al videobeam [proyector] y voy explicando con el
GeoGebra. […]
Este es un modelo del triángulo de Pitágoras, eso también lo explico pero sencillo
para que los niños lo entiendan, pero lo ven, lo mueven, poco a poco van
entendiendo”. (Entrevista EM1-SR a Miguel)
Figura 18.4. Recursos para la enseñanza de la geometría en el salón de Miguel
Podemos resumir y clasificar estos recursos mencionados por Miguel, de la siguiente
manera:
Recursos para construir: papel, regla y compás, escuadras de 90º y 60º,
transportador, geoplanos; así como el recurso digital GeoGebra.
Recursos para apoyar el desarrollo de sus clase: su computadora personal,
proyector (videobeamer), actividades tomadas de libros de texto o Internet,
presentaciones de diapositivas.
Recursos que “modelan” conceptos geométricos: e.g., modelo de una “prueba” del
teorema de Pitágoras, poliedros hechos con origami.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
252
Semanas después de la visita guiada, en una de las ultimas entrevistas a Miguel
(EM11-SRD), señaló que para él era importante que todos los recursos que usa para enseñar
geometría, ayuden a sus estudiantes en la conceptualización:
“Todo lo que hacemos en clase –con GeoGebra, con el geoplano, con las planchas
de dibujo técnico, todo— es para apoyar la conceptualización, que el niño tenga
ejemplos, que trabaje sobre los mismos conceptos en todo lo que se haga… Ya
después, para los últimos meses del año, empezamos a trabajar problemas
sencillos, pequeños, para que se aplique lo que hemos visto.”
(Entrevista EM11-SRD a Miguel)
Por tanto, inferimos que Miguel prioriza un sistema de recursos que cumpla,
primordialmente, con los criterios cognitivo, de contenido matemático y de características
didácticas de selección de recursos.
A continuación presentamos los mapas hechos por Miguel de su sistema de recursos.
18.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Miguel
Como habíamos mencionado en la sección 15.1, en nuestra investigación le pedimos a
los profesores que produjeran dos tipos de representaciones esquemáticas o “mapas”: (i) unos
para representar los recursos que usan (su sistema de recursos) para su enseñanza (solamente
en los casos de Miguel y Sonia –ver capítulo 19); y (ii) otros mapas que para representar su
proceso de selección de recursos. Aquí describimos las producciones de Miguel respecto al
primer tipo de mapas.
Cabe recordar (como mencionamos en la sección 15.1) que para la producción de los
mapas que representan sus sistemas de recursos, no aplicamos la técnica de introspección ya
que, para su elaboración, no se requiere de un recuerdo estimulado, ni de evocar acciones
pasadas; solamente se requiere que, durante la visita guiada (ver arriba), el profesor se ubique
en el “aquí y ahora” de su enseñanza e identifique qué recursos usa para luego representarlos
en mapas.
Así pues, después de la visita guiada que nos hizo Miguel, le pedimos a este profesor,
durante la entrevista EM3-SR, que realizara un mapa que representara los recursos que usaba
para su enseñanza de la geometría. Una vez realizado su mapa le pedimos que nos explicara
los elementos del mismo y detalles adicionales.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
253
Para la realización de sus “mapas de su sistema de recursos”, le pedimos a Miguel que
identificara todos los recursos que usa para sus clases de geometría. La consigna para Miguel
era que escribiera, dibujara o hiciera un diagrama de los recursos que usaba; para ello le
sugerimos el uso de colores, flechas u otros conectores para diferenciar o ligar las ideas, y usar
notitas para incluir sus comentarios cuando explicaba sus mapas. Durante la entrevista, Miguel
gustaba de hacer borradores de sus mapas y allí mismo pulirlos , para añadir elementos
adicionales o realizar correcciones. Así surgieron las distintas versiones de sus mapas de
sistema de recursos.
En las primeras representaciones, o mapas, de Miguel sobre su sistema de recursos (ver
Figura 18.5), Miguel enlistó los recursos (materiales) que usaba con mayor frecuencia en sus
clases en su salón habitual de clases, sin tener en cuenta los recursos de la sala de
computación. Mientras Miguel realizaba la primera versión (Figura 18.5) de su “mapa de
sistema de recursos” (durante la entrevista EM3-SR), señaló que contaba con los recursos
básicos para la clase, aunque reconocía que recursos como las tabletas electrónicas podrían ser
muy convenientes.
Figura 18.5. Primera versión del mapa de recursos de Miguel
“Yo tengo lo necesario para dar mis clases, lo que uno necesita… Lo que necesito,
se lo pido a los niños, o a un compañero, a la directora de la escuela, o a los
padres de familia… Como llevo dando varios años, grado quinto, uno va
recogiendo material, lo que le sirve… Ahora toda la información de la escuela es
por el computador, todo: que los planes, las circulares, todo se lo mandan a uno
por allí… el correo electrónico, la plataforma de evaluación, la página web de la
escuela, Facebook, hasta WhatsApp. Para mi, la educación va cambiando y uno lo
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
254
tiene que entender y ser parte del cambio. Las tabletas son buenas, usar Internet en
la clase –que ahorita no tenemos—, todo son cosas que uno debe aprovechar.”
(Entrevista EM3-SR a Miguel)
Lo interesante en estas primeras reflexiones de Miguel (puestas como notitas de papel
sobre su mapa –ver Figura 18.5) fue, por ejemplo, su insistencia en el protagonismo de los
recursos digitales y en que es trabajo del profesor sacarle provecho a los recursos que usa.
Para Miguel era importante que se les suministren materiales a los estudiantes (que contengan
situaciones atractivas) y que la clase no sea solamente el discurso del profesor.
Aquí surge un punto importante en el análisis: reconocer qué potenciales recursos tenía
disponibles Miguel, en términos de oportunidades de acceso a recursos, que aún no eran parte
de su sistema de recursos. Al respecto, durante la entrevista EM5-SR, Miguel enfatizó el papel
del Internet como una oportunidad importante para disponer de recursos variados, pero
teniendo en cuenta varios criterios: el idioma de muchos de los recursos disponibles, la
demanda cognitiva involucrada en el recurso y criterios ergonómicos (e.g. recurso libre y fácil
de usar para el profesor y los estudiantes).
Figura 18.6. Versión final del mapa, hecho por Miguel, de su sistema de recursos
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
255
“Tener los materiales, los recursos para trabajar es muy importante, pero también
uno debe saber qué hacer con lo que tiene. ¿De qué me sirve tener aquí un
computador si no lo sé usar? De nada… Yo busco cómo usar el geoplano, como
sacarle el provecho con los niños, cómo hacer la clase más dinámica con
GeoGebra… Para mí, aprender a usar GeoGebra fue muy importante… todavía
estoy aprendiendo, veo tutoriales, hago cosas… Porque no se trata de yo usar el
GeoGebra, y que los niños me vean y digan “que bonitas las cosas que hace el
profesor”; se trata de que ellos lo usen, que ellos mismos aprendan… Para eso se
necesitan las hojas de trabajo, así sean unas instrucciones copiadas en el tablero,
pero que guíen a los niños en los que deben hacer, paso a paso”.
(Entrevista EM5-SR a Miguel)
En su última versión del mapa de su sistema de recursos (Figura 18.6), realizado
durante la entrevista EM7-SR, Miguel incluyó información adicional:
Hizo evidentes algunas orientaciones curriculares: en el mapa puso “Planes de área”
(de su escuela) y el Proyecto Educativo Institucional (PEI). Al respecto, Miguel explicó
verbalmente: “nosotros hicimos el plan de área tomando lo que dice el Ministerio y
miramos de allí qué es lo mejor para nosotros” (EM7-SR).
Incluyó recursos “históricos” (en el mapa puso: “Mis archivos históricos”), tales
como sus planeaciones de años pasados y cuadernos (propios de él, así como de algunos
de sus ex-estudiantes). Lo anterior lo relacionó con su capacidad de ser “ordenado” y
“guardar” materiales que ha usado a lo largo de sus años de experiencia: en el mapa
señaló “Soy ordenado” y en otra parte “Guardo lo que hago”; también añadió una notita
donde decía “Con los años uno va guardando las cosas y las usa”.
Incluyó un recurso “no material”: el trabajo colaborativo con sus compañeros
docentes: en el mapa puso una notita “Soy favorecido porque tengo un excelente grupo
de compañeros”; también escribió “cosas buenas comparto”. Al respecto, Miguel
explicó: “Sin recursos humanos no podemos hacer nada. Una de las claves del éxito de
esta escuela es el trabajo en grupo, que nos ayudamos, compartimos, hacemos las cosas
por consenso” (EM7-SR).
En su listado de recursos “materiales” nombró herramientas de construcción, recursos
digitales (GeoGebra e Internet) y recursos para apoyar sus clases (videobeamer,
parlantes o sonido y fotocopias u hojas de trabajo).
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
256
Una vez realizado su mapa, durante la entrevista (EM7-SR), Miguel explicó su proceso
de “guardar o conservar” determinados recursos; también señaló las maneras en que consigue
los recursos que usa, y el papel de la escuela en este proceso. Al respecto, Miguel expresó lo
siguiente:
“A medida que vas enseñando, vas guardando material; las cosas buenas usted las
conserva y las usa otra vez y las va mejorando cada año… a mi me gusta yo hacer
mis cosas, ese es el trabajo de uno… y te vas haciendo a los materiales; uno los
hace [e.g., los geoplanos] con los estudiantes, otros se van consiguiendo, pero eso
no es trabajo solo mío, sino también de la escuela que le pregunta al profesor:
‘vea, ¿usted qué necesita?’” (Entrevista EM7-SR a Miguel)
En estas declaraciones de Miguel, hay varias cosas interesantes. Primero, reconocía
que es trabajo del profesor diseñar recursos, irlos mejorando, adaptando; que son recursos
perfectibles y re-utilizables. También expresaba estrategias para acceder a los recursos,
hacerlos en clase (como hizo el geoplano con sus estudiantes), o contar con el apoyo de la
escuela. Este último es un elemento que Miguel siempre resaltaba.
Por otro lado, algunos elementos interesantes de esta última versión del mapa del
sistema de recursos de Miguel, es la existencia de dos grandes categorías de recursos:
Recursos para planear la clase — e.g., el proyecto educativo de la escuela, el plan
anual de matemáticas de la escuela, planeaciones de años anteriores, cuadernos, etc.). En
el mapa aparecen éstos a la izquierda en color negro; al respecto Miguel señaló: “éstos
de acá me sirven para planear las clases, para saber a dónde quiero llegar, qué temas
debo ver y cuál es la mejor manera de hacerlo” (EM7-SR)
Recursos para hacer geometría durante la clase con énfasis en herramientas para
construir (e.g., regla, escuadras, GeoGebra). En el mapa aparecen éstos arriba, a la
derecha, en color azul; al respecto Miguel señaló: “éstos de aquí son los materiales para
hacer las construcciones; en primer lugar están las herramientas, GeoGebra y estas
otras cosas también sirven para construir” (EM7-SR).
En nuestro análisis identificamos que estas dos grandes categorías de recursos de
Miguel obedecen a la intencionalidad que él le otorga a cada uno. Para organizar los recursos
en su mapa, Miguel se preguntaba: “¿para qué uso cada cosa? ¿para qué la necesito?” A
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
257
partir de su reflexión, inferimos que Miguel era consciente de que podía disponer de varios
recursos para su clase y de otros posibles que podría incluir en el futuro.
Finalmente, Miguel señaló que normalmente los profesores no se detienen a
reflexionar sobre los recursos que utilizan y eso los limita. Sin embargo reconoció cómo,
reflexionar sobre los recursos, le ayuda a “actualizarse”; así como compartir y colaborar con
otros profesores, le sirve para determinar qué recursos usar. Al mismo tiempo señaló que, más
importante que los recursos, es la organización y ambiente de la clase:
“Es que lo mejor es que uno mire que todo esté organizado en el salón, que los
niños se sientan cómodos y que el ambiente sea agradable… Uno no se detiene a
pensar sobre los recursos que puede usar, sino que se va como limitando,
acostumbrando. Pero si uno analiza, se da cuenta y ve [si] esto también me sirve o
esto otro, y así, mejor, porque se va actualizando... puede compartir con otros
profesores o recibir de ellos ayuda.” (Entrevista EM7-SR a Miguel)
En la siguiente sección presentamos cómo Miguel orquestó sus clases.
18.2.3. Orquestación general de las clases de geometría de Miguel
Miguel expresó un principio didáctico para el uso general de recursos en sus clases
regulares de geometría, explicando que se necesita complementariedad entre los recursos
puestos en juego (regla, escuadras, compás, geoplano, GeoGebra):
“Hacemos el trabajo en tres partes: Primero, se hace la parte teórica; nosotros
trabajamos conceptos como adyacentes, opuestos, perpendiculares. Y luego de que
hemos hecho ejemplos, construcciones con escuadras y todo. [Finalmente] vamos
con GeoGebra y vemos más ejemplos y construcciones que ya hemos visto y saben
cómo hacer.” (Entrevista EM9-OC a Miguel)
Así pues, Miguel planteó que sus clases regulares de geometría generalmente se
desarrollaban dividiendo el trabajo en tres momentos:
1. El profesor exponía un tema geométrico (explicaba, hacía y respondía preguntas) y
ejemplificaba usando recursos no-digitales (pizarrón, etc.) y digitales (videos,
GeoGebra). Específicamente hacía énfasis en lo conceptual, trabajando sobre
gráficos (en el pizarrón, mediante imágenes estáticas, proyectando videos, o en
GeoGebra usando un proyector videobeamer). Miguel se esforzaba en que sus
estudiantes participaran en la clase y tomaba en cuenta sus contribuciones.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
258
2. Miguel proponía ejercicios a sus estudiantes (principalmente de construcción)
usando recursos como lápices de colores, regla, escuadras, papel o imágenes
proyectadas con un videobeamer. Hacía explícito los procedimientos de
construcción con el objetivo de favorecer la conceptualización (de ideas
geométricas) de sus estudiantes. Los primeros ejemplos, habitualmente, los
presenta él; otras veces convocaba la participación de estudiantes para que lo
acompañaran en el pizarrón.
3. Miguel proponía ejercicios en GeoGebra, adaptando los procedimientos de
construcción ya trabajados en lápiz y papel. En esa instancia, Miguel prefería darle
mayor autonomía a los estudiantes. Al final, el profesor gustaba hacer
socializaciones para que los estudiantes presentaran sus trabajos. Cabe señalar que
Miguel hacía uso de GeoGebra a lo largo del año escolar (es decir, no solo durante
el “Taller de transformaciones geométricas con GeoGebra”).
Como ya se mencionó más arriba, la organización usual de las clases en esa escuela era
en “grupos nucleares” de 5-6 niños que se mantenían todo el año escolar. Para la construcción
de geoplanos, Miguel dispuso que sus estudiantes trabajaran en sus “grupos nucleares”
habituales; aunque cada estudiante tenía asignada la realización de su propio geoplano. Miguel
nos explicó que así se le hizo más fácil pasar por cada grupo nuclear y explicar el proceso de
construcción de geoplanos:
“Al inicio de la clase, uno les explica a los muchachos qué vamos a hacer, pero
después toca pasar grupo por grupo e irles ayudando, explicándoles cómo tomar
las medidas, cómo acomodar el transportador, hasta cómo agarrar el martillo, allí
que me vean cerquita.” (Entrevista EM6-OC a Miguel)
En relación a cómo Miguel organizaba su clase, recalcamos lo citado en la sección
anterior, donde él mencionó que tener una buena organización y disposición de los recursos
contribuye a que el ambiente de la clase sea mejor: “Es que lo mejor es que uno mire que todo
esté organizado en el salón, que los niños se sientan cómodos y que el ambiente sea
agradable…” (EM7-SR).
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
259
18.2.4. Aporte del análisis del sistema general de recursos para nuestra
investigación
Arriba describimos el sistema de recursos usados por Miguel, y algo de su
orquestación, durante su enseñanza de la geometría en quinto grado. Siguiendo las ideas de
Gueudet y Trouche (2009), sabemos que los conocimientos profesionales de Miguel inciden
en este sistema de recursos; además, este sistema de recursos es parte fundamental del
sistema documental del profesor (conformado por su sistema de recursos junto con sus
respectivos esquemas de utilización).
Así pues, el estudio del sistema de recursos informa sobre los esquemas de utilización
de los recursos por los profesores; estos esquemas, a su vez, orientan los procesos de selección
de recursos (ver sección 18.5.2). En este caso, a partir del análisis del sistema de recursos de
Miguel, inferimos los siguientes aspectos de su proceso de selección de recursos:
Identificamos que Miguel seleccionó recursos con distintos propósitos: recursos para
planear su clase; recursos para hacer geometría durante la clase; y recursos para apoyar
el desarrollo de sus clases.
Observamos que Miguel incluyó recursos digitales para cada uno de esos propósitos:
Internet (para planear su clase), GeoGebra (para hacer geometría durante la clase) y
presentaciones de diapositivas (para apoyar sus clases).
Identificamos que Miguel hace un uso recurrente de recursos digitales durante sus
clases a lo largo del año escolar.
Inferimos que Miguel priorizó aspectos de orden matemático en su sistema de
recursos; eso nos hace suponer que sus criterios de contenido matemático (geométrico)
fueron importantes en su proceso de selección. Eso nos anuncia algunas posibles
características que podrían tener sus teoremas-en-acto relacionados con las maneras en
que Miguel entiende la geometría y su enseñanza.
También pudimos inferir que Miguel seleccionaba recursos pensando en el uso
didáctico de éstos; eso no hace sospechar que sus criterios de características didácticas
estuvieron relacionados con la capacidad del recurso para apoyar procesos como la
construcción geométrica o la conceptualización.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
260
Metodológicamente, estos datos obtenidos previo a nuestra aplicación de la técnica de
introspección nos fueron muy provechosos porque nos ayudaron a:
Tener hipótesis particulares sobre las posibles invariantes operatorias de Miguel,
particularmente, las referidas a las consideraciones epistemológicas de este profesor
sobre la geometría y su enseñanza.
Alimentar, a priori, nuestro listado de palabras-código con las que esperábamos
analizar los datos obtenidos a partir de la aplicación de la técnica (ver Anexo G).
Hacer una buena elección de los videos o fotografías con las cuales estimularíamos
los recuerdos de Miguel sobre su ruta-recorrida de selección de recursos, al aplicar,
posteriormente, la técnica de introspección.
En conclusión, las consideraciones anteriores nos ayudaron a realizar el análisis del
proceso de selección de recursos de Miguel, que presentaremos más adelante (ver sección
18.5). Antes de eso, en la siguiente sección, presentamos los recursos que Miguel seleccionó
para el desarrollo de su “Taller para la enseñanza de las transformaciones geométricas en
quinto grado”.
18.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR MIGUEL PARA EL DESARROLLO DE SU
“TALLER”
En esta sección presentamos los recursos seleccionados por Miguel, tanto para la
preparación del taller (para actividades previas al taller), como para la implementación del
mismo.
18.3.1. Recursos (no-digitales) y actividades previos al taller
Como parte de la configuración didáctica para el taller con Geogebra, Miguel
consideraba importante que los estudiantes trabajaran previamente en ambientes de lápiz y
papel, con el geoplano, y posteriormente, en el ambiente digital.
Según Miguel, el trabajo de construcción de geoplanos, servía de antecedente a la
realización del taller sobre transformaciones geométricas:
“Con los geoplanos repasamos varios temas que después vamos a volver a ver en
el taller… Por ejemplo, vemos las propiedades de los polígonos, que tienen lados,
vértices, que se clasifican según su número de lados… Esos polígonos los hacemos
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
261
con el geoplano. También vemos todo lo de ángulo porque, para hacer el geoplano
circular, necesitan usar el transportador y medir ángulos; allí aprovechamos para
repasar la clasificación de ángulos… y todo eso lo vamos a tocar en el taller.”
(Entrevista EM6-OC a Miguel)
Así pues, los objetivos de Miguel de llevar a cabo la secuencia de clases del geoplano,
era:
El repaso de temas como el de propiedades de los polígonos y ángulos que servirían
para desarrollar las actividades del taller sobre transformaciones. (Criterio de contenido
matemático de selección del recurso de construcción de un geoplano).
El desarrollo de habilidades motrices, para tener una mayor precisión en los
movimientos de la mano y así poder manejar herramientas como la regla o el
transportador, u otras, como un martillo. (Criterio ergonómico de selección del recurso
de construcción de un geoplano):
“[La construcción del geoplano] sirve de repaso y así trabajamos otras maneras
de hacer construcciones, de trabajar la motricidad, de usar las herramientas. Para
hacer el material, los niños deben usar bien la regla y el transportador, medir con
cuidado, saber usar un martillo, puntillas, concentrarse”.
(Entrevista EM6-OC a Miguel)
Adicionalmente, durante la entrevista previa a la implementación del taller (EM8-
SRD), Miguel tuvo la idea de incluir otra actividad previa al taller en la que los estudiantes
realizaran movimientos con su cuerpo (motricidad gruesa y fina; y manejo del espacio –e.g
girar el cuerpo 90º a la derecha). Miguel decidió incluir esta actividad previa ya que sus
estudiantes iban a usar el concepto de ángulo durante el taller (en las actividades sobre
rotaciones) y consideraba que éste es un concepto complejo para sus estudiantes: por tanto, él
quería ayudarles a afianzar sus ideas previas al respecto.
De esta manera, recursos seleccionados previos al taller, eran los del trabajo en
ambientes de lápiz y papel, las actividades de construcción del geoplano, y el recurso del
trabajo corporal.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
262
18.3.2. Recursos y actividades del taller
Para el desarrollo de su taller, Miguel tomó varias decisiones importantes respecto a la
configuración didáctica de éste (las cuales observamos durante la primera sesión de planeación
del taller):
las actividades del taller debían de desarrollarse usando GeoGebra;
para realizar estas actividades, los niños contarían con hojas de trabajo (ver Figura
18.9); y,
una vez finalizadas las tres clases destinadas al taller, los niños debían enviar sus
archivos digitales de su trabajo realizado en el taller, al correo electrónico del profesor.
Haciendo énfasis en que era importante considerar el uso de recursos para realizar
construcciones geométricas, Miguel dijo lo siguiente, donde explica por qué seleccionó
GeoGebra para su taller de transformaciones geométricas:
“Es que es geometría y solo se puede hacer con herramientas, la que sea, eso
depende de usted […] Para el taller, usamos GeoGebra […] porque es un software
especial para geometría […] Los mismos pasos que se hacen con regla y compás,
así igual se hacen en GeoGebra, solo que con GeoGebra es más fácil seguir el
orden: si va a hacer una traslación, primero hace el triángulo, luego el vector,
luego aplica la traslación al triángulo de acuerdo al vector. En eso ayuda
GeoGebra: en que se hace con más lógica la construcción.”
(Entrevista EM9-OC a Miguel)
Todos estos recursos (GeoGebra, lápiz y papel, etc.) que seleccionó Miguel para su
taller, y previo a éste, forman parte del sistema general de recursos que utilizaba Miguel para
sus clases de geometría.
A continuación presentamos los detalles del taller, implementado por Miguel.
18.4. EL “TALLER SOBRE TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS USANDO
GEOGEBRA” DE MIGUEL
Como mencionamos arriba, Miguel desarrolló un proyecto en quinto grado titulado
“Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra”. Aquí, analizamos con más
detalle este taller ya que fueron las únicas clases, durante el periodo de seguimiento, donde
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
263
Miguel utilizó un recurso digital (GeoGebra). Comenzamos describiendo las principales
características de dicho taller.
18.4.1. Descripción general del taller de Miguel
Este “taller” (como el profesor, generalmente, se refería a éste) era un proyecto o
secuencia didáctica que Miguel impartió a sus estudiantes sobre transformaciones en el plano,
donde los niños desarrollaron tareas sobre traslaciones, rotaciones, simetrías y teselaciones
(sumas o composiciones de las transformaciones anteriores).
Este fue el segundo año en que Miguel impartió este taller. Inicialmente se lo había
suministrado su colega de grado en la escuela, María (a quien se lo habían enseñado en la
universidad) y ambos lo adaptaron (seleccionando tareas para los niños y complementado
algunas consignas). En ese año escolar anterior (2015-16), Miguel y María planearon su
implementación para cuatro sesiones de clase de 2 horas cada una (para un total de 8 horas de
trabajo aproximadamente) y lo pusieron en práctica.
En el siguiente año escolar (2016-17 –cuando nosotros realizamos el seguimiento),
Miguel llevó a cabo su taller de manera individual y decidió trabajarlo, en esa ocasión, durante
más tiempo: en 3 clases (jornadas escolares), con duración aproximada de 4 horas cada una
(para un total de 12 horas de trabajo aproximadamente). Estas fueron las 3 “clases” que
observamos. Al respecto, Miguel explicó:
“Este año prefiero trabajarlo en tres clases, pero largas; nos tomamos toda la
mañana. Porque para hacer el taller los muchachos necesitan más tiempo; ellos se
demoran haciendo las construcciones y, mientras, yo voy viendo y ayudando. Así se
nos pasa la mañana, no es una cosa que se pueda hacer corriendo.”
(Entrevista EM9-OC a Miguel)
Miguel propuso (también por iniciativa individual) que el taller fuera desarrollado
usando GeoGebra apoyándose en hojas de trabajo. El desarrollo del taller lo hizo en la “sala de
sistemas” (ver Figura 18.7) para así poder utilizar GeoGebra. También propuso (a diferencia
del año anterior) que el contenido del taller fuera inter-disciplinar: involucrando geometría,
artes y computación. Para Miguel, éste era un proyecto importante que además pensaba
compartir en una próxima reunión del Instituto de GeoGebra de Cali, Colombia.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
264
Figura 18.7. Niño trabajando en el taller sobre transformaciones geométricas propuesto por
Miguel
18.4.2. Orquestación y uso de los recursos en el taller de Miguel
Miguel impartió su taller hacia el final del año escolar; Miguel consideraba que, hacia
el final del año escolar, los niños ya tienen las capacidades para enfrentarse a un trabajo más
autónomo y colaborativo; por ello, en el “taller”, Miguel propuso que el trabajo de los
alumnos fuera en parejas (ver Figura 18.8).
Figura 18.8. Escena del “Taller sobre transformaciones geométricas usando GeoGebra”
Las tareas que Miguel propuso en su taller (con algunas variaciones) fueron del tipo:
“construye una figura”, “aplica una transformación”, “arrastra la figura”, “mide” (lados o
ángulos), “describe qué sucede”. Al final del taller, Miguel propuso algunas tareas respecto a
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
265
la congruencia entre figuras que están relacionadas mediante una transformación o
composición de transformaciones (tema incluido en ese año escolar).
Figura 18.9. Ejemplos de las actividades propuestas en las hojas de trabajo del “Taller de
transformaciones geométricas con GeoGebra” de Miguel
En las tareas de su taller, Miguel puso énfasis en su interés por los procedimientos y la
conceptualización (en términos de que los niños sepan describir propiedades geométricas): al
respecto señaló que “es importante que los niños conceptualicen” (ver también al final de la
sección 18.2.1); con ello, Miguel se refería a que quería que sus alumnos identificaran,
describieran, caracterizaran propiedades o relaciones, y que aprendieran a construir siguiendo
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
266
procedimientos. La Figura 18.9 presenta la primera página de las 4 hojas de trabajo que
conforman el taller propuesto por Miguel; como se había mencionado antes, y en palabras de
Miguel (EM9-OC), las tareas del taller estaban “hechas para hacerse con GeoGebra, todas”
y, según él, pretendían ser lo suficientemente claras para orientar el trabajo de sus estudiantes.
Miguel consideraba que las actividades de construcción “son procedimientos”
(EM9-OC) que mantienen una estructura más o menos parecida tanto en lápiz y papel (usando
regla y compás), como en GeoGebra. En cuanto a las construcciones en GeoGebra, Miguel
expresó que “no es que sean más fáciles” sino que, dado que los niños tienen cierta
experiencia previa trabajando en lápiz y papel “pueden hacer lo mismo con GeoGebra”
(EM11-SRD). Respecto a lo que consideraba el profesor que aporta GeoGebra a su clase,
Miguel señaló:
“Para mí, lo que aporta GeoGebra son las herramientas especiales de geometría;
por ejemplo: “inserte un vector”. Los niños, aunque tiene una idea vaga, ven qué
es un vector y van entendiendo más, porque incluso les dice “vector a” y allí
empiezan a manejar las palabras geométricas”. (Entrevista EM11-SRD a Miguel)
En las actividades del taller, además de las construcciones, Miguel les pedía a sus
estudiantes: “arrastren ciertos objetos para observar alguna propiedad” y les decía “observa
qué pasó después de que arrastraste” (observaciones de la primera clase del taller, semana 8 de
seguimiento). Algunos estudiantes lograban describir algunos efectos de las transformaciones
sobre las figuras geométricas. Por ejemplo, como presentamos a continuación, una niña
explicaba a Miguel, lo que observó después de aplicar una traslación a un triángulo:
“Si pongo encima este triángulo, son igualitos; parecen uno, ¿si ve? […] Muevo
esta flechita, así, más grande o más chiquita […] y entonces, se mueve el triángulo
de acá.” (Comentarios de una niña en la primera clase del taller)
Para cerrar su taller, en la última de las tres clases, Miguel realizó una jornada de
socialización donde los estudiantes expusieron sus trabajos pasando al frente y mostrando qué
habían hecho con GeoGebra. Miguel aprovechó esas intervenciones de sus alumnos para
aclarar algunas ideas. Al final de la clase, Miguel hizo un cierre del taller retomando las ideas
más importantes que sus estudiantes habían mencionado anteriormente.
Así pues, la orquestación que Miguel hizo de sus clases durante su taller, involucró los
siguientes aspectos:
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
267
Los propósitos educativos de Miguel en su taller;
su organización de la clase.
su gestión de los recursos y artefactos disponibles;
las actividades propuestas a los estudiantes en las hojas de trabajo.
Consideramos que esta orquestación cumplía con lo señalado en el punto 3 de la
sección 18.2.3, ya que durante el taller se privilegió un trabajo más autónomo de los
estudiantes haciendo énfasis en actividades de construcción y en el uso del arrastre para
verificación de propiedades. La orquestación y uso de GeoGebra en ese taller fue de la
siguiente manera:
Como se dijo anteriormente, durante el taller, Miguel dispuso que sus estudiantes
trabajaran con GeoGebra en parejas, para que “entre ellos se ayuden” (EM9-OC).
Miguel usó GeoGebra en su taller para que sus estudiantes hicieran construcciones.
“Construir” para Miguel equivalía a plantear, seguir y/o describir un procedimiento
“paso a paso” (EM13-OC). Miguel consideraba esta misma idea de “construcción” tanto
para geometría dinámica o para ambiente lápiz y papel (e.g. regla y compás o sólo
regla).
Miguel propuso actividades en su taller que implicaban el uso del arrastre en
GeoGebra para que sus estudiantes pudieran “comprobar que si dos figuras eran iguales”
(EM9-OC). Este tipo de tareas se limitaban a que los estudiantes describieran sus
observaciones.
La Tabla 18.2 resume los principales aspectos de la orquestación de las clases de
Miguel durante la implementación de su taller:
Tabla 18.2. Aspectos de la orquestación de Miguel en su taller
Aspectos de la
orquestación
de Miguel
Descripción
Propósitos
educativos de
Miguel
Miguel determinó tres metas de aprendizaje para sus estudiantes:
Describir las principales características de las transformaciones geométricas:
traslaciones, rotaciones, simetrías y teselaciones.
Reconocer los efectos de estas transformaciones sobre las figuras geométricas.
Explicar procedimientos de construcción utilizando lenguaje verbal (natural) y
lenguaje simbólico.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
268
En el siguiente apartado presentamos nuestro análisis del proceso de selección de
recursos digitales seguido por Miguel para el “Taller sobre transformaciones geométricas
usando GeoGebra”.
18.5. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SELECCIÓN DEL RECURSO DIGITAL DEL
TALLER DE MIGUEL
Como explicamos antes, para indagar sobre el proceso de proceso de selección de
recursos digitales seguido por Miguel para su taller, utilizamos la aplicación de la técnica de
Organización de
la clase
Miguel dispuso sus tres clases de la siguiente manera:
Trabajo en la “sala de sistemas” para disponer de computadoras, donde cada una
contaba con GeoGebra.
Uso de toda la jornada escolar para desarrollar las actividades del taller.
Trabajo de los estudiantes en parejas.
Al inicio de cada clase Miguel introducía el trabajo a realizar ese día y realizaba
recomendaciones generales.
Durante la clase, Miguel recorría el salón de clases haciendo observaciones o
ayudando a los estudiantes que lo requieran.
Al final de cada una de las clases, Miguel hacía un “cierre” para recoger las
ideas más importantes y hacer indicaciones a sus estudiantes.
Gestión de los
recursos y
artefactos
disponibles
Cada pareja de estudiantes disponía de un computador (con GeoGebra) y de un
juego completo de las 4 hojas de trabajo del taller.
Cada estudiante disponía de su cuaderno de geometría, y de lápiz y papel, para
realizar diagramas o dibujos auxiliares si lo considera necesario.
En la tercera y última clase del taller, Miguel dispuso de un proyector
(videobeamer) para que algunos de sus estudiantes (que él seleccionaba)
pudieran presentar su trabajo frente a sus compañeros.
Una vez finalizado el taller, cada pareja de estudiantes debía enviar sus archivos
digitales de sus actividades realizadas, al correo electrónico del profesor (se les
daba un plazo de un día adicional para realizar ese envío).
Propuesta de
actividades
didácticas
apoyadas en el
recurso digital
Las hojas de trabajo propuestas por Miguel contenían un total de 27 tareas,
todas para realizarse usando GeoGebra.
Cada tarea de “construcción” involucraba un procedimiento a realizar en
GeoGebra; esos procedimientos eran explicados paso a paso para que los
estudiantes los siguieran (e.g., ver Figura 18.9).
Las tareas propuestas en las hojas de trabajo eran de la forma: “sigue estas
instrucciones para aplicar una transformación”; después, arrastra “algún objeto
en la pantalla” y describe lo que observas.
Las tareas propuestas en el taller hacían énfasis en el uso de lenguaje simbólico
geométrico.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
269
introspección (ver sección 9.2) para que el profesor evocara sus acciones y las representara en
mapas de su “ruta recorrida” para seleccionar recursos para su taller. Iniciamos mostrando
esos mapas de la ruta-recorrida por Miguel.
18.5.1. Mapas de la “ruta-recorrida” hechos por Miguel
Como resultado de la aplicación de la técnica de introspección, Miguel produjo varias
versiones de mapas que representaban su ruta-recorrida durante su proceso de selección de
recursos. Como mencionamos en la sección 15.1 de metodología, las rutas-recorridas se
diferencian de los mapas de sistemas de recursos en el sentido que representan el proceso de
selección y surgen a partir de un recuerdo estimulado, del profesor; de allí que sean mapas
“evocados” a posteriori por el profesor.
A continuación analizamos los mapas de las rutas-recorridas por Miguel, cuando
seleccionó el recurso digital GeoGebra para su taller.
Figura 18.10. Primera versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su taller
La primera versión del mapa de ruta recorrida (Figura 18.10) fue hecha por Miguel
después de la segunda clase del taller, durante la entrevista EM10-SRD. Para Miguel, el punto
de partida son los recursos que “tiene a mano”; a partir de ello, su proceso de selección se
enfocaba en “buscar materiales” que orientaran las actividades dirigidas a sus estudiantes. Al
respecto, Miguel señaló la importancia de “organizar el material” en el sentido de adaptar un
recurso para su clase.
“Es partir de lo que hay a la mano. Tengo mi salón, mis cosas que están aquí y
tengo Internet. Entonces se trata de llevar un orden: Primero es buscar materiales:
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
270
tengo el GeoGebra, más o menos sé que puedo hacer con él, pero necesito las
actividades para que los muchachos trabajen. Eso ya no es tan fácil de buscar
porque hay que pensar en organizar ese material para mi grupo”.
(Entrevista EM10-SRD a Miguel)
A partir de este primer mapa, notamos que las representaciones de Miguel parecían
describir su proceso de selección a manera de un “diagrama de flujo” que en las siguientes
versiones se fue modificando. La segunda versión del mapa de la ruta-recorrida por Miguel
(Figura 18.11) fue realizada una semana después de la planeación, durante la entrevista
EM12-SRD (en la semana en que ocurrió el taller).
Figura 18.11. Segunda versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su taller
En esa ocasión Miguel añadió varios elementos de su mapa: amplió las características
de su búsqueda; resaltó la importancia de complementar, adaptar y transformar recursos según
sus “conveniencias”, que interpretamos como sus propósitos educativos. Miguel también
señaló algunas características de las actividades que le propuso a sus estudiantes (e.g. que
contaran con instrucciones claras). Para Miguel su proceso de selección de recursos era parte
del “mejoramiento continuo” de su práctica. Respecto a lo anterior, Miguel señaló:
“Bueno, inicio mi búsqueda mirando qué tengo, lo evalúo, si hay algo que sirve,
pues ya miro. Entonces, combino cosas nuevas que voy encontrando con lo que ya
tenía y allí lo que hice es combinar, mirar qué nos conviene más. Organicé las
actividades del taller, metí cosas nuevas, claro, pero mantuve más o menos lo
mismo. Cuando ya tuve eso, me fijé en que las actividades para los muchachos
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
271
fueran bien claras, concretas, bien explicadas, así, paso a paso. Todo eso es para
el mejoramiento continuo, es un proceso, vas conociendo cada vez más”.
(Entrevista EM12-SRD a Miguel)
En la última versión del mapa dibujado por Miguel (ver Figura 18.12) durante la
entrevista EM14-SRD realizada una semana después del fin del taller, observamos un
elemento importante: el profesor recalcó la importancia de llevar a cabo una buena selección
de recursos para usar en la clase. Miguel prefería tener tiempo para revisar materiales de años
pasados que consideraba exitosos, y adaptarlos según consideraba necesario; señaló que era su
responsabilidad preparar recursos de calidad para la clase.
“Uno, como profesor, tiene que hacer bien su trabajo, preparar la clase,
prepararse uno sobre el tema… Hay que mirar antes qué cosas se van a hacer,
cómo las vamos a hacer y eso debe mirarse antes... Yo guardo lo que me sirve.
Como no es primera vez que doy grado quinto, es más fácil saber qué cosas sí
puedo usar y cuáles no… Trato de guardar mucho material en mi computador
porque es más fácil y rápido para buscar, para organizar y para cambiar cualquier
cosa que uno vea que se debe cambiar”.
(Entrevista EM14-SRD a Miguel)
Figura 18.12. Última versión del mapa, dibujado por Miguel, de su ruta-recorrida para su
selección de recursos para su taller
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
272
18.5.2. Componentes del esquema de Miguel en la selección de su recurso digital
para su taller
A partir de los elementos en los mapas de su ruta-recorrida, así como otros datos
obtenidos en las entrevistas a Miguel, y la observación de su planeación y ejecución de sus
clases de geometría, pudimos inferir algunos de sus conocimientos profesionales sobre los
recursos digitales y cómo los usaba Miguel. Al igual que para los otros profesores, dicho
análisis lo hicimos en términos de los elementos constitutivos de los esquemas que presenta
Vergnaud (1998, 2013): metas, anticipaciones, reglas de acción, invariantes operatorias y
posibilidades de inferencia. Al esquema de Selección de Recursos Digitales de Miguel lo
denominamos ESRD_M, cuyas componentes describimos a continuación:
La situación de Miguel presenta varias características: primero, Miguel decidió
“reciclar” unas hojas de trabajo o “taller” que ya había trabajado previamente; pero
también decidió hacerlo con algunas modificaciones a las mismas. La principal
modificación que Miguel había previsto para dichas actividades consistió en que todas
las tareas del taller se realizarían con el uso de GeoGebra.
La meta general de Miguel en su esquema, es clara: deseaba buscar un recurso (o
varios) para una secuencia de clases (taller de geometría); para eso estableció varias sub-
metas relacionadas con esa acción. Aquí se destacan dos cosas: por un lado, (i) que el
uso del recurso a seleccionar debía contribuir al alcance de los propósitos educativos que
Miguel había propuesto para su taller (ver Tabla 18.2); y (ii) la necesidad de adaptar, re-
combinar y complementar el recurso seleccionado con las hojas de trabajo de las que
Miguel ya disponía previamente.
Las anticipaciones de Miguel se organizaron en dos tipos: (i) Aquellas relacionadas a
cualidades deseables del recurso a seleccionar (criterios cognitivo, y de características
didácticas; curriculares, y ergonómicos). Y (ii) aquellas relacionadas con los posibles
cambios que considere realizar a las hojas del trabajo que van a acompañar el uso del
recurso digital durante el taller.
En relación a las anticipaciones del primer tipo, Miguel anticipaba ciertas actividades a
trabajar con GeoGebra que estuvieran relacionadas con las maneras como este recurso
puede llegar a promover la conceptualización de ideas geométricas de sus estudiantes
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
273
(criterio de características didácticas) y que siguieran las orientaciones del currículo
(aspectos de orden curricular).
En relación a lo segundo, Miguel consideraba que seleccionar recursos no es una tarea
fácil para el profesor, ya que existe una oferta abundante de recursos disponibles y eso
requiere entonces que el profesor haga una selección con detenimiento.
Las reglas de acción de Miguel se dividen en: (i) reglas de búsqueda de información
y (ii) reglas de control. Las reglas de búsqueda de información orientaban su acción en
términos de aquello que es posible hacer para realizar la selección. Las reglas de control
eran útiles para darle orientación a la acción del profesor en esta selección de recursos
digitales para su taller.
Las invariantes operatorias constituyen la médula del ESRD_M y corresponden a
los conocimientos (explícitos o implícitos) contenidos en el esquema que le permitió a
Miguel orientar su acción para dar cuenta de la situación en la que se encontraba. Las
invariantes operatorias de Miguel (conocimientos-en-acto y esquemas-en-acto) tuvieron
que ver con:
sus consideraciones epistemológicas sobre la geometría; particularmente sus
ideas sobre qué es construir en geometría, las cuales corresponden al criterio de
contenido matemático del recurso;
su manera de entender las orientaciones curriculares, en especial el énfasis que
MEN (1998) propone de que los estudiantes describan los efectos de las
transformaciones sobre las figuras geométricas, lo cual corresponde al criterio
curricular;
sus consideraciones didácticas sobre el aporte del recurso a los procesos de
conceptualización de los estudiantes, lo cual corresponde al criterio de
características didácticas del recurso; y,
el papel que Miguel asigna a la visualización, en especial mediante el uso del
arrastre en geometría dinámica, lo cual corresponde al criterio cognitivo.
Consideramos que estas invariantes operatorias de Miguel estuvieron regidas por el
paradigma de la geometría elemental (Kuzniak, 2011): Por ejemplo, Miguel exhibió un
conocimiento-en-acto cuando sostuvo que los niños de 5º grado no requieren aprender
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
274
explícitamente la axiomática de la geometría que están trabajando (euclidiana); al mismo
tiempo sostuvo que, como profesor, sí debe de saber dicha axiomática y tenerla en
cuenta en las actividades que propone en clase. Este es un acuerdo central en el
paradigma de la geometría elemental y un conocimiento fundamental en la acción de
Miguel.
Finalmente, identificamos que las posibilidades de inferencia de Miguel se
relacionaban con:
El “reciclaje” que el profesor puede hacer, en el futuro, del taller y los recursos
para éste, haciendo algunas modificaciones. Miguel señaló que “pienso seguir
usando el taller, pero debo seguir haciéndole cambios” (EM15-SRD ).
sus anticipaciones sobre esas futuras modificaciones del taller, por ejemplo
incluyendo más actividades artísticas;
la importancia de re-combinar y complementar los recursos para sus próximas
implementaciones del taller. Al respecto, Miguel señaló: “Podría mirar qué otras
cosas puedo usar para mejorar el taller: de pronto algo con doblado de papel
para las simetrías; no sé, tengo que pensar bien en eso para el próximo año”
(EM15-SRD).
A continuación, en la Tabla 18.3, resumimos nuestro análisis del Esquema de
Selección de Recursos Digitales de Miguel (ESRD_M) para su taller sobre transformaciones
geométricas en 5º grado:
Tabla 18.3. Componentes del Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de
Miguel (ESRD_M)
Situación En su salón de clases, Miguel planeó una secuencia de cuatro clases para enseñar
transformaciones geométricas (traslación, rotación, simetría axial y teselaciones) a sus
estudiantes de 5º grado. Para lograr este trabajo, tuvo varias opciones para seleccionar
recursos (digitales y no digitales).
Metas Meta general:
Seleccionar uno o varios recursos para su taller sobre transformaciones
geométricas.
Sub-metas:
Identificar recursos que sean adecuados según sus propósitos educativos para su
taller (ver Tabla 18.2).
Adaptar los recursos seleccionados pensando en el aprendizaje de los estudiantes
(demanda cognitiva vinculada al recurso).
Re-combinar y complementar los recursos seleccionados (configuración didáctica).
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
275
Anticipaciones Debe existir coherencia curricular entre el contenido del recurso seleccionado, lo
que se ha trabajado anteriormente y lo que se trabajará a continuación.
El recurso debe promover la conceptualización de ideas geométricas con
actividades interesantes, y que favorezcan la participación de los estudiantes.
Pueden existir diversos recursos disponibles, lo que hace difícil hacer una
selección; por eso es mejor tomarse tiempo para hacer la selección.
Los cambios a realizar a las hojas del trabajo que van a acompañar el uso del
GeoGebra durante el taller.
Reglas de
acción
Paso 1: Miguel consulta los recursos que tiene a mano (e.g. libros de texto)
Paso 2: Si tiene acceso a internet, prefiere usarlo para hacer alguna consulta sobre el
tema que va a tratar en su clase.
Paso 3: En sus consultas, Miguel prefiere recursos que provengan de una fuente
oficial.
Paso 4: Miguel revisa que exista coherencia entre las actividades que puede realizar
con el recurso y las orientaciones del currículo.
Invariantes
operatorias
Conocimientos-
en-acto
Conocimientos-en-acto de Miguel, categorizados como “criterios de selección” de
recursos digitales para sus clases. Estos criterios se presentan en el orden de importancia
que inferimos les dio Miguel:
Criterio de contenido matemático (geométrico): las tareas desarrolladas en los
recursos seleccionados deben abordar de promover la “construcción geométrica”.
Criterio Cognitivo: el uso del recurso debe enfatizar actividades como la
visualización y la prueba del arrastre en geometría dinámica, para promover el
razonamiento de los estudiantes.
Criterio de Características Didácticas del recurso: el recurso debe tener
características que los niños exploren las ideas geométricas y así ayuden a
promover los procesos de conceptualización.
Criterio Curricular: el recurso debe estar alineado con las orientaciones
curriculares, principalmente con lo relacionado con el desarrollo de la enseñanza de
las transformaciones geométricas (MEN, 1998).
Invariantes
operatorias
Teoremas-en-
acto
Teoremas-en-acto (comentarios de Miguel):
Criterios de contenido matemático (geométrico):
“La axiomática de la geometría no debe ser explícita para el estudiante, pero el
profesor debe tenerla en cuenta.” (EM15-SRD)
Criterios cognitivos y de contenido matemático (geométrico):
“Cuando los niños están trabajando con GeoGebra, ellos deben de saber qué tema
están viendo, saber qué es lo que están aprendiendo, para que no sientan que lo
que hacen con tecnología está por fuera de la clase, sino que hace parte de la clase
y eso les ayuda a conectar las ideas.” (EM16-SRD)
“Los estudiantes necesitan aprender a construir usando herramientas,
herramientas de geometría y eso ahora, en esta época moderna, nos lleva a las
tecnologías.” (EM8-SRD)
“Para favorecer la conceptualización, los niños necesitan trabajar con las figuras,
tocarlas, sentirlas, visualizarlas en su mente.” (EM16-SRD)
“El arrastre me sirve para probar si una construcción está bien hecha.” (EM8-
SRD)
“La geometría dinámica promueve la visualización.” (EM8-SRD)
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
276
Criterios de características didácticas y de contenido matemático (geométrico):
“Si uso GeoGebra es para que los niños construyan, hagan geometría, vayan
conceptualizando. En eso, GeoGebra les ayuda mucho porque les va enseñando
cómo se llaman las cosas y cómo es el proceso de irlas haciendo.” EM15-SRD
“Con el mismo GeoGebra, los niños van aprendiendo a hacer las
transformaciones, porque el programa les exige que tengan en cuenta los objetos
que necesitan para hacerlas.” (EM8-SRD)
Criterio curricular:
“Si selecciono un recurso, entonces debe ir acorde al currículo de la escuela; si
selecciono recursos parecidos a los que usualmente uso en clase, entonces es más
fácil adaptarlos para mi enseñanza” (EM16-SRD)
Posibilidades de
inferencia
Las posibilidades de inferencia de Miguel se relacionaban con:
El "reciclaje" que puede hacer de los recursos en el futuro; haciendo algunas
modificaciones.
sus anticipaciones sobre las futuras modificaciones al recurso,
la importancia de complementar los recursos que usó para sus próximas
implementaciones del taller.
18.6. PARADIGMAS GEOMÉTRICOS QUE ORIENTARON, EN MIGUEL, SU PROCESO
DE SELECCIÓN DE RECURSOS PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA
La geometría dominante en la selección de Miguel de los recursos que usaba,
corresponde principalmente al paradigma de la geometría (natural o) elemental (Kuzniak,
2001), dado que Miguel promovía razonamientos de validación empírica (i.e., que se
relacionaran con la experiencia sensorial de los niños “en el mundo real”), por medio de la
superposición de figuras (mediante el arrastre) y la medición. En varias ocasiones (e.g.
observaciones de clase o entrevistas) fue posible reconocer que Miguel ponía énfasis en
actividades propias del paradigma de la geometría elemental (Kuzniak, 2011): en este
paradigma, la actividad está estrechamente ligada con el mundo real, donde la fuente de
validación es lo sensible, donde es posible el juego modelo-realidad y es muy importante la
medida, la aproximación y la estimación.
Miguel propuso en su taller actividades propias de la geometría elemental, tales como:
el uso de instrumentos (esencial en esta geometría) tales como regla y compás para la
construcción del geoplano (ver Figura 18.13); un uso intensivo de gráficos (en GeoGebra) y de
actividades como “arrastrar” para hacer “pruebas ostensivas” (i.e. a “ojo) de que dos figuras
eran congruentes.
En las clases de Miguel, aún no se hacía explícito el paso a la geometría axiomática
natural, aunque el profesor expresó (en la entrevista EM13-OC) que le interesaba preparar a
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
277
sus estudiantes para que en un futuro pudieran trabajar con sistemas axiomáticos; lo anterior
explica la insistencia de Miguel, en sus clases, por que sus estudiantes “conceptualicen”: es
decir, identifiquen, describan, caractericen propiedades o relaciones geométricas usando
lenguaje verbal acompañado de algunos elementos del lenguaje simbólico propio de la
geometría.
Figura 18.13. Construcción del geoplano en la clase de Miguel
Sin embargo, podemos inferir que se encuentran presentes algunos elementos de la
geometría axiomática natural en el taller desarrollado por Miguel, cuando éste realizó
modificaciones (durante la observación de planeación de clases—previo a la implementación
del taller) a las tareas contenidas en las hojas de trabajo.
En estas modificaciones, el profesor incluyó algunos elementos de la geometría
axiomática natural:
Miguel enfatizó en un mayor uso del lenguaje simbólico en las consignas de las
tareas, incluidas en las hojas de trabajo del taller. Por ejemplo:
“Para hacer Rotación (R) debe seleccionar el triángulo ABC, luego el punto O y al final
el ángulo a.” (Segmento de la tarea 12 de las hojas de trabajo).
Miguel enfatizó en que sus estudiantes describieran la congruencia como propiedad
invariante y lo comprobaran por medio de la “prueba del arrastre”. Por ejemplo:
“Después de aplicar la simetría, cómo son las figuras ABCDE y A´B´C´D´? Arrastra las
figuras para comprobarlo.” (Segmento de la tarea 19 de las hojas de trabajo).
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
278
Figura 18.14. Actividad en GeoGebra (con hoja de trabajo) sobre composición de
transformaciones, por un estudiante de Miguel
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
279
Miguel incluyó, durante el taller, algunas tareas para trabajar la composición (o suma)
de transformaciones en GeoGebra, donde se hace énfasis en describir el procedimiento
de construcción “paso a paso” (Figura 18.14).
En esas tareas, Miguel decidió que se mostrara, en GeoGebra, la notación simbólica
(e.g., A, A') de cada punto de la figura denotados y también decidió incluir los ejes de
coordenadas de GeoGebra (ver Figura 18.15).
Figura 18.15. Detalle de la actividad en GeoGebra sobre composición de transformaciones, por
un estudiante de Miguel
Las hojas de trabajo correspondientes también presentan algunos elementos del
lenguaje propio de la geometría (“línea poligonal”, “polígono”, “línea” “ángulo de
120º”), como se ve en la hoja de trabajo de la tarea 22 sobre composición (o suma) de
rotaciones, mostrada en la Figura 18.14 y transcrita a continuación:
Ahora, vamos de nuevo al comando Poligonal
[…]
y tracemos una línea que parta de uno de los extremos, al otro lado de la figura,
conformada por tres puntos, así: […]
Recuerden cerrarla donde partieron […]
Luego, esa línea poligonal que hicimos vamos a rotarla, pero ahora con un ángulo
de 120º entorno a cada uno de los extremos, así: […]
Obtenemos algo así: […]
Sigamos repitiendo hasta llegar a esto […]
Ahora vamos [al comando] Polígono […]
y formamos un polígono con todos los puntos del contorno de la figura.
Uno por uno, así […]
(Tarea 22 sobre composición o suma de rotaciones, del taller de Miguel)
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
280
18.7. CONCLUSIONES SOBRE EL ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL
Contar con un mayor tiempo de seguimiento al trabajo de Miguel, nos permitió
estudiar su sistema de recursos para la enseñanza de la geometría, su orquestación de las clases
con mayor profundidad, así como poder llevar a cabo una aplicación mucho más detallada de
la técnica de introspección.
Iniciamos presentando nuestras conclusiones sobre el sistema de recursos de Miguel.
18.7.1. Sobre el sistema de recursos de Miguel
En cuanto a nuestro estudio del sistema de recursos de Miguel para su enseñanza de la
geometría en quinto grado, encontramos que Miguel seleccionó recursos con distintos
propósitos: (i) recursos para planear su clase; (ii) recursos para hacer geometría durante la
clase y (iii) recursos para apoyar el desarrollo de sus clases. Para cada uno de esos propósitos,
Miguel señaló recursos digitales como, respectivamente, Internet, GeoGebra y presentaciones
de diapositivas, de los cuales hacía un uso habitual a lo largo del año escolar.
En cuanto a nuestro análisis de los mapas, realizados por Miguel, de su sistema de
recursos (Figura 18.6), pudimos identificar que el profesor consideró el papel de las
orientaciones curriculares en su enseñanza; incluyó recursos “históricos” como sus
planeaciones de años pasados y cuadernos; además de lo que Gueudet, Pepin y Trouche
(2012) llaman “recursos vivos”, tales como el trabajo colaborativo con sus compañeros
docentes.
En su sistema de recursos, Miguel también nombró recursos que le sirven de
herramientas para apoyar la construcción geométrica, incluyendo recursos digitales y no-
digitales. La importancia que le da Miguel al manejo de herramientas, tales como regla y
compás, escuadras, el geoplano y GeoGebra, se relaciona lo discutido en la sección 2.1 dónde
hicimos una reseña histórica de los recursos: En esa sección señalábamos cómo el uso de uso
de ciertas herramientas (e.g. el perspectógrafo o la brújula) modifican las maneras de hacer
geometría, se integran a los conocimientos de esta disciplina y tienen un lugar importante en el
desarrollo de conocimientos geométricos nuevos; como la perspectiva o la orientación,
respectivamente en nuestros ejemplos. Para Miguel, el uso de recursos como el geoplano o
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
281
GeoGebra, también forman parte de cómo se hace geometría; y es una de las razones por las
cuales las enfatiza en su sistema de recursos.
Respecto a los recursos no-digitales, incluidos en su sistema de recursos, en particular
el geoplano (previo a la implementación del taller), identificamos cómo en la selección de
éste, Miguel enfatizaba los criterios de orden matemático relacionados con las posibilidades de
construcción de figuras geométricas al utilizar este recurso no-digital.
En conclusión, este estudio sobre el sistema de recursos de Miguel, nos permitió inferir
que Miguel priorizaba aspectos de orden matemático en su sistema de recursos. Esto nos
brindó hipótesis sobre la influencia de cómo Miguel entiende la geometría y su enseñanza, en
sus invariantes operatorias (incluidas en su esquema ESRD_M) dónde priorizaría los criterios
de contenido matemático (geométrico) para la selección de los recursos de su taller. Gracias a
ello, nos brindó la oportunidad de una aplicación mucho más contextualizada de la técnica de
introspección para la producción por Miguel de sus mapas de las rutas-recorridas.
18.7.2. Sobre las rutas-recorridas por Miguel en su proceso de selección de
recursos
En cuanto a las rutas-recorridas representadas por Miguel en sus mapas (sección
18.5.1), identificamos cómo la reflexión que hizo este profesor durante la aplicación de la
técnica de introspección, lo llevó a refinar aspectos importantes de su proceso de selección.
En la última versión del mapa dibujado por Miguel (ver Figura 18.12), durante la
entrevista EM14-SRD realizada una semana después del fin del taller, observamos un
elemento importante: el profesor recalcó la importancia de llevar a cabo una buena selección
de recursos para usar en la clase, señalando que era su responsabilidad preparar recursos de
calidad para la clase.
Al respecto, Miguel prefería revisar materiales de años pasados que consideraba
exitosos, y adaptarlos según consideraba necesario. Al respecto, señaló: “Yo guardo lo que
me sirve. Como no es primera vez que doy grado quinto, es más fácil saber qué cosas sí puedo
usar y cuáles no” (EM14-SRD). En varias ocasiones Miguel subrayó la importancia de
“reciclar” recursos que él consideraba le podrían seguir siendo útiles en el futuro. En otros
momentos, también mencionó la necesidad de adaptar y hacer modificaciones a estos recursos
reciclados, para continuar mejorándolos.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
282
Otro aspecto que nos llamó la atención fue el énfasis de Miguel hizo respecto a la
manera en que regularmente los profesores seleccionan recursos en su práctica. Miguel señaló
que normalmente los profesores no se detienen a reflexionar sobre los recursos que utilizan y
que eso los limita; a partir de esa reflexión, él mismo señaló la importancia de detenerse a
pensar sobre los recursos que se van a usar en las clases. A partir de este tipo de declaraciones
de Miguel, consideramos que es importante fomentar (e.g., en el desarrollo profesional) que
los profesores reflexionen sobre los recursos que usan para su enseñanza.
18.7.3. Sobre el esquema ESRD_M de Miguel para su selección de recursos
Nuestro análisis de los mapas de las rutas-recorridas de Miguel nos aportó datos para
inferir el Esquema de Selección de Recursos Digitales de Miguel (ESRD_M), descrito en la
sección 18.5.2. Este esquema se relacionó con las acciones de Miguel para seleccionar
recursos para su taller, a través de adaptar, re-combinar y complementar recursos previamente
utilizados por él. A continuación presentamos un resumen de algunos de los componentes de
ese esquema:
Las anticipaciones de Miguel estuvieron enfocadas a cómo implementaría su taller
en ese año escolar. Ello implicaba analizar las modificaciones necesarias a lo
previamente diseñado e implementado un año antes, incluyendo cómo la integración de
GeoGebra para todas las actividades del taller requería adaptaciones de su orquestación
y de las hojas de trabajo del taller.
En cuanto a las invariantes operatorias, tuvimos la oportunidad de estudiarlas con
mayor profundidad. Las invariantes operatorias que más sobresalieron en el caso de
Miguel fueron: criterios cognitivos; criterios de características didácticas; criterios
curriculares; y, principalmente, criterios de contenido matemático (geométrico).
Criterio Cognitivo: el uso del recurso debe enfatizar actividades como la
visualización y la prueba del arrastre en geometría dinámica, para promover la
conceptualización de los estudiantes.
Criterio de Características Didácticas: el recurso debe permitir que los
estudiantes realicen construcciones geométricas y favorecer sus procesos de
conceptualización.
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
283
Criterio Curricular: el recurso debe estar alineado con las orientaciones
curriculares, principalmente con lo relacionado con la enseñanza de las
transformaciones geométricas (MEN, 1998).
Criterios de Contenido matemático (geométrico): Como mencionamos más
arriba, para Miguel no es posible pensar la actividad geométrica
independientemente de las herramientas que la acompañan y definen; en este
sentido, reconoce que GeoGebra es una herramienta que facilita el aprendizaje de
la geometría y la realización de construcciones geométricas: “Con GeoGebra es
más fácil seguir el orden: si va a hacer una traslación, primero hace el triángulo,
luego el vector, luego aplica la traslación al triángulo de acuerdo al vector”
(EM9-OC).
Así, identificamos que estos criterios se orientaban por las consideraciones
epistemológicas de Miguel o sus paradigmas geométricos, lo cual describimos en
la siguiente sección 18.6.
Las posibilidades de inferencia de Miguel se relacionaban con el reciclaje que
podría hacer, en el futuro, del taller y los recursos para éste, haciendo algunas
modificaciones adicionales, por ejemplo, la de incluir más actividades de orden artístico.
18.7.4. Sobre los “paradigmas geométricos" de Miguel
Como ya señalamos antes, en nuestro análisis pudimos identificar aspectos
epistemológicos (como los presentados arriba) que influenciaban las invariantes operatorias de
Miguel incluidas en su esquema ESRD_M. En particular, inferimos que estas invariantes
operatorias (criterios) estaban relacionadas fundamentalmente con aspectos de la geometría
elemental (Kuzniak, 2011); pero también incluían algunas características de la geometría
axiomática-natural (ibíd.)
En particular, encontramos que el paradigma de la geometría elemental es el que
orientó fundamentalmente las acciones de Miguel en su proceso de selección de recursos, así
como su orquestación de sus clases. Ese paradigma de la geometría elemental que orientó las
acciones de Miguel, se manifestó en su interés de trabajar con modelos próximos de la
realidad (como su modelo concreto del teorema de Pitágoras que nos enseñó durante la visita
CAP. 18. ESTUDIO DE CASO DE MIGUEL: RECURSOS PARA “HACER Y APRENDER GEOMETRÍA”
284
guiada); y el desarrollo de la intuición espacial, por ejemplo en su énfasis en la motricidad
(precisión en los movimientos de la mano).
Para Miguel hay una conexión epistemológica entre la geometría, y el uso intensivo de
herramientas para la construcción geométrica (lo que corresponde al paradigma de la
geometría elemental). Esto se manifestó, en su proceso de selección, en sus criterios de
contenido matemático (geométrico); por ejemplo, cuando mencionaba: “Es que es geometría y
solo se puede hacer con herramientas, la que sea, eso depende de usted […] Para el taller,
usamos GeoGebra” (EM9-OC).
Miguel también incorporó algunos elementos del paradigma de la geometría
axiomática-natural (Kuzniak, 2011), tales como el uso del lenguaje simbólico propio de la
geometría. Por ejemplo, en las modificaciones que Miguel hizo de las hojas de trabajo del
taller, Miguel insistió en usar lenguaje simbólico para describir “paso a paso” las
construcciones geométricas (ver sección 19.5). En ese mismo sentido, en la orquestación del
taller, también notamos ese interés de Miguel por promover actividades más cercanas a la
geometría axiomática-natural, cuando le insistía y le daba ejemplos a sus estudiantes, de
explicar sus razonamientos haciendo uso de propiedades geométricas.
En el siguiente capítulo presentamos el seguimiento al último caso presentado en este
documento: el de la profesora Sonia de quinto grado y su proceso de selección de recursos
digitales para enseñar estimación, medición y unidades de medida de longitud (múltiplos y
submúltiplos del metro).
285
19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS
NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
El último caso que vamos a presentar corresponde a la profesora Sonia, de quinto
grado. Para presentar este caso primero vamos a describir algunos aspectos del contexto
escolar y, posteriormente, presentaremos el análisis de su proceso de selección de recursos
para sus clases de geometría.
19.1. ANTECEDENTES Y CONTEXTO PROFESIONAL DE SONIA
19.1.1. Detalles de la formación y experiencia docente de Sonia
La profesora Sonia durante el periodo de seguimiento, contaba con 32 años de edad y
tenía una experiencia de 11 años de docencia, todos en primaria y los tres anteriores a nuestro
estudio, enseñando quinto grado. Sonia se consideraba una profesora en constante proceso de
formación, interesada en el estudio de la Educación Matemática y entusiasta del uso de
tecnologías digitales en la clase de matemáticas. Algunos detalles de su formación profesional
(y personal), se reseñan a continuación:
Sonia es originaria del municipio de Cali
Cursó estudios de bachillerato en la Normal Nacional de Señoritas de Cali,
donde obtuvo el título de Maestra Bachiller. Luego, en 2011, obtuvo su título de
Licenciada en (Enseñanza de las) Matemáticas con énfasis en educación primaria;
donde su trabajo de grado se enfocó en la enseñanza del sistema de numeración
decimal en primer grado.
En el periodo de seguimiento, estudiaba una Maestría en Educación Matemática
(modalidad enseñanza) y su trabajo de grado estaba enfocado en el diseño de una
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
286
secuencia didáctica para fortalecer la ideas de número y sistemas numéricos en
quinto grado.
Ingresó a la carrera profesional docente por concurso de méritos desde 2013 en
la escuela en la que trabajaba durante nuestro estudio (ver siguiente sección).
19.1.2. Detalles de la escuela en la que Sonia laboraba
La escuela en la que Sonia laboraba (ver Figura 19.1) mientras participaba en nuestro
estudio, es una escuela pública, urbana, mixta; de las más antiguas de su municipio (fundada
en 1941), la cual atiende estudiantes desde grado Transición (grado obligatorio de preescolar),
primaria, secundaria y media técnica (preparatoria). Actualmente la escuela cuenta con un
equipo de 51 maestros y atiende más de 1,500 estudiantes organizados en dos jornadas
(mañana y tarde). Esa escuela atiende población vulnerable, por lo que muchos niños están en
riesgo de deserción del sistema escolar.
Figura 19.1. Instalaciones de la escuela en la que Sonia laboraba
Los maestros de esa escuela trabajan organizados en grupos por grados, coordinados
por un maestro; el grupo de quinto grado está conformado por cinco maestros y, en el
momento del estudio, era coordinado por Sonia. Las principales actividades de este grupo
eran: diseño curricular, selección de textos y materiales, seguimiento a la evaluación de los
estudiantes y detección de casos de estudiantes vulnerables.
19.1.3. Detalles del seguimiento al trabajo de Sonia
A esta profesora le hicimos seguimiento durante 5 semanas durante las cuales
observamos:
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
287
3 clases de geometría sobre el tema de estimación, medición y unidades de medida de
longitud (múltiplos y submúltiplos del metro).
2 sesiones de planeación de clases (previas a dos de las clases observadas –la primera
y la tercera)
3 entrevistas previas las clases observadas
3 entrevistas posteriores a cada una de las clases observadas
Dado que hicimos el seguimiento a Sonia justo después de Miguel (de quien
estudiamos su sistema de recursos para la enseñanza de la geometría), decidimos también
hacer un estudio del sistema de recursos de Sonia. Así pues, aunque tuvimos solo 5 semanas
de seguimiento con la profesora Sonia, pudimos realizar un análisis más completo de su
trabajo documental, al: (i) estudiar su sistema de recursos para la enseñanza de la geometría; e
(ii) inferir su esquema de selección de recursos digitales para la enseñanza de la medida y
medición de longitudes en quinto grado.
19.2. SONIA Y SU SISTEMA DE RECURSOS PARA SU ENSEÑANZA DE LA
GEOMETRÍA
Para el estudio del sistema de recursos de Sonia, al igual que en el caso de Miguel, le
pedimos a esta profesora que nos hiciera una “visita guiada” y luego produjera mapas de los
recursos que usaba para su enseñanza de la geometría. Iniciamos presentando la visita guiada
que Sonia nos hizo a su a salón de clases enseñándonos los recursos que usaba.
19.2.1. Visita guiada de los recursos generales de Sonia
En la primera entrevista (previa a la clase observada y con una duración aproximada de
dos horas), al igual que a Miguel, le pedimos a Sonia que nos realizara una visita guiada por su
salón de clases y nos enseñara los recursos que usaba para su enseñanza de la geometría. Sonia
inició la visita señalando que se consideraba a sí misma como una profesora interesada en su
desarrollo profesional; por tanto, se describía abierta a considerar nuevas estrategias y recursos
que le permitieran enriquecer su clase y promovieran el aprendizaje de sus estudiantes.
“Si uno no se prepara, no estudia, pues no mejora como maestro, no avanza. Y en
la universidad te van enseñando cosas nuevas y eso a mí me encanta. Me encanta
probar cosas nuevas diferentes. Uno, como profe, no puede cerrarse a la banda,
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
288
sino [debe] mirar qué otras cosas, materiales, actividades, podría meter en mis
clases”. (Entrevista a Sonia)
Durante su planeación de clases, dependiendo de las necesidades educativas de sus
estudiantes, Sonia gustaba de revisar los recursos que tenía disponibles y los iba modificando.
“Primero, me fijo en cómo mis niños pueden avanzar; no puedo soltarles un
montón de cosas, sino [deben ir] despacio, con ayuda. Entonces, este…, planeo mi
clase, me pongo un objetivo, y me preparo con los materiales, con las actividades,
con el apoyo que voy a tener; pero pensando en ellos y en su dificultades, porque
aquí nos llegan niños con muchos problemas y yo me tengo que adaptar a eso”.
(Entrevista a Sonia)
A través de su experiencia docente, Sonia había recopilado recursos variados
(conformando un sistema de recursos). Empezaremos presentando los libros escolares que
Sonia mencionó durante la visita guiada. Al respecto, Sonia señaló:
“Para matemáticas tengo tres libros para consulta. Este libro de aquí [A] es de
universidad y me sirve a mí para tener bien claros los temas, los ejemplos, las
definiciones. Es un libro más para mí, como profe. […] Estos otros dos libros: el
[B] de Santillana y el de Norma [C] son libros de matemáticas para 5º. Me gusta
mucho el libro de Norma [C] porque trae un cuadernillo de ejercicios y es súper
bueno para sacar fotocopias, trae modelos de evaluaciones, talleres de repaso. Del
otro libro saco ejercicios, ideas de otras cosas”. (Entrevista a Sonia)
En la Figura 19.2, podemos ver, a la izquierda, algunos ejemplos de los libros de texto
presentes en el salón de clases de Sonia; y al lado derecho, presentamos la portada del libro A
de nivel universitario que mencionó Sonia en la entrevista. De esos tres textos escolares que
Sonia mencionó, nos llama la atención la existencia de un libro que sirve de referente para la
profesora: el libro “A” –Curso de Geometría Métrica (Puig, 1986)— de nivel universitario,
del cual ella toma información para la preparación de sus clases. Respecto a los dos libros
restantes, el “B” –Rutas matemáticas 5 (Martínez, 2016) — y el “C” –Avanza Matemáticas 5
(Silva, Báez & Sarmiento, 2016)— Sonia enfatizaba en el uso de un “cuadernillo de
ejercicios”, anexo al libro de texto “C”, del cual gustaba tomar (y fotocopiar) hojas de trabajo
para sus estudiantes.
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
289
Figura 19.2. Algunos libros de texto usados por Sonia
Continuando con la visita, Sonia señaló que, además de los libros de texto
mencionados anteriormente, también contaba con textos escolares adicionales. Uno era la
Guía del Maestro (MEN, 2013) producida por el Ministerio de Educación Nacional en el
marco del “Programa Todos a Aprender” (PTA) 48. Sonia contaba con un ejemplar de esta guía
y comentó que lo usaba en la planeación de sus clases, ya que esta guía contiene elementos de
las orientaciones curriculares y sugerencias didácticas que ella ha utilizado previamente. Al
respecto Sonia señaló:
“Esta guía del docente es de mucha ayuda para mí porque no es solo
material para los estudiantes, es material para mí: trae los estándares, la
planeación de los temas, sugerencias didácticas, sugerencias de actividades
[…] Cuando voy a iniciar un tema nuevo, casi siempre miro primero esta
guía porque es muy útil […] Acabamos de ver el tema de polígonos y de allí
saqué muchas ideas para mi clase” (Entrevista a Sonia)
En la Figura 19.3 se observan detalles de la “Guía del maestro” oficial que Sonia
consultaba para la preparación de sus clases; presentamos la portada y un ejemplo del
contenido (sobre polígonos) que ella mencionó en la entrevista:
48 Programa “Todos a Aprender”: https://www.mineducacion.gov.co/1621/w3-propertyvalue-
48336.html
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
290
Figura 19.3. Guía del maestro oficial, consultada por Sonia
Otros recursos mencionados por Sonia durante la visita guiada fueron “Todo lo que me
sirva para recortar, pegar o trazar” como hojas de trabajo (fotocopias), reglas, papel y lápiz,
pegamento, tijeras. En la Figura 19.4 mostramos ejemplos de estos recursos:
Figura 19.4. Recursos para “recortar, pegar o trazar” mencionados por Sonia
Sonia también mencionó recursos digitales durante su visita guiada. Señaló que
contaba con un videobeamer (ver Figura 19.5) en su salón de clases (instalado frente a su
pizarrón) y una computadora personal con conexión a Internet que usaba con regularidad en
sus clases. Sonia resaltó la importancia de la visualización en el aprendizaje de la geometría y
cómo los recursos digitales le ayudan a trabajar con representaciones visuales en sus clases. Al
respecto, Sonia señaló:
“Tenemos el videobeam; yo conecto mi equipo. Tengo Internet. Hemos hecho cosas
con GeoGebra. O pongo imágenes que se proyectan en el tablero [pizarrón] y allí
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
291
encima voy explicando, o pongo el pdf de algún libro, etc. Como geometría es tan
visual, el videobeam lo uso en casi todas las clases porque se ponen las imágenes
con colores, o ven las figuras en GeoGebra moviéndose; [así] es más fácil para
ellos [los estudiantes] entender”. (Entrevista a Sonia)
Figura 19.5. Videobeamer instalado frente al pizarrón en el salón de clases de Sonia
Al final de la visita guiada, Sonia señaló la necesidad de digitalizar (en su computadora
personal) la mayor parte de los materiales que usaba; en su opinión, eso le facilitaba su
organización, búsqueda, acceso y adaptación de esos recursos:
“Para mi es importante que los niños y los padres de familia vean un trabajo bien
hecho. Si les voy a dar [hojas de trabajo] que no sea cualquier fotocopia, sino un
material organizado, con los logos de la escuela y bien presentado, hecho en
computador… Yo prefiero tener todo en formato digital porque lo puedo guardar
mejor y cambiarlo según lo que necesito. [Luego] le pongo más preguntas o le
quito otras, o le meto más indicaciones, cada año uno tiene [hojas de trabajo] más
organizad[a]s”. (Entrevista a Sonia)
19.2.2. Mapas del sistema general de recursos de Sonia
Al final de la visita guiada que nos hizo Sonia, le pedimos a esta profesora que
realizara un mapa que representara (escribiendo, dibujando o haciendo un diagrama) los
recursos que usaba para su enseñanza de la geometría. Una vez realizado su mapa le pedimos
que nos explicara los elementos del mismo y detalles adicionales. En el caso de Sonia solo
tuvimos una sola versión (Figura 19.6) de su mapa de sistema de recursos.
Durante esta entrevista, Sonia expresó que esta actividad (de hacer el mapa) resultó ser
para ella una reflexión importante, ya que, en su opinión, resumía la planeación de su clase.
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
292
“Este mapa es como planear la clase, porque pienso en todo lo que necesito: qué
recursos voy a usar, cómo lo voy a utilizar en mi clase, para qué… hacer esto es
muy importante, es como otra forma de hacer la planeación, como más visual.”
(Entrevista a Sonia)
Para Sonia, su planeación de la clase incluía determinar qué recursos usar, cuándo y
cómo usarlos. Sin embargo, Sonia expresó que, en un solo mapa, no es posible representar
todos los recursos relacionados con su enseñanza, sino que se requieren, en palabras de Sonia,
establecer “niveles de mapas” de acuerdo a la especificidad de cada uno. Estos “niveles”
mencionados por Sonia corresponden a unas categorías que la profesora estableció para
organizar su sistema de recursos. Al respecto, ella señaló:
“Primero hay que pensar a un nivel meta, donde van los recursos que son como
más generales, lo que se usa en cualquier clase, pues, sin importar el tema.
Después, vendría el nivel de los recursos para enseñar geometría, porque esos son
más específicos; por ejemplo, GeoGebra, eso es para geometría; regla y compás,
esos son recursos solo para la clase, este es un nivel de los recursos para la clase
de geometría. Y habría un nivel muy pequeñito de recursos especiales para enseñar
un tema: por ejemplo, un taller [hojas de trabajo], eso es para una clase, para un
tema específico y para nada más [Entonces] estos mapas van así por niveles.
[…]
Por eso es que es tan importante planear la clase, porque vas viendo qué recursos
usar, desde lo más general, hasta lo más específico. […] Allí es donde usted
prepara las actividades didácticas, piensa en los recursos, etc.”
(Entrevista a Sonia)
Así pues, Sonia dividió los recursos que utilizaba, en tres “niveles”, que re-definimos
nosotros como los siguientes (usando datos dados por Sonia en las entrevistas):
Recursos tipo I: compuestos por recursos generales, i.e., los que son
fundamentales para la enseñanza (e.g. el pizarrón, lápiz y papel, etc.).
Recursos tipo II: recursos especializados para la enseñanza de la geometría
(e.g., regla y compás, geometría dinámica).
Recursos tipo III: recursos muy enfocados a un situación particular, ya sea un
tema específico de enseñanza o una problemática de aprendizaje (e.g., una hoja de
trabajo, un video, un applet).
Esta organización que Sonia propuso de su sistema de recursos, corresponde a sus
intencionalidades y maneras de organizar la enseñanza, tomando en cuenta aquellos elementos
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
293
que ella considera al planear su trabajo. La planeación era para Sonia, una actividad
fundamental que le permitía prever las estrategias de enseñanza y los recursos a usar.
En el mapa que Sonia hizo de su sistema de recursos para enseñar geometría (Figura
19.6) podemos observar varias características que ella también explicó durante la entrevista: el
primero es que para Sonia esta representación correspondía a un nivel macro; el segundo, la
existencia de ligas entre varios elementos de su sistema; y, el tercero, la explicitación del
sentido y usos de algunos de los recursos allí representados, particularmente, los recursos
curriculares:
“Este mapa, para mí, es de la enseñanza de geometría, así de forma global. Mirá
que no me sirve para la enseñanza de otra cosa, del lenguaje por ejemplo; no, allí
metería otras cosas. Aquí hay cosas que son solo de la clase de geometría y nada
más […]: por ejemplo los planes de clase, o lo de los rompecabezas, las reglas, eso
de geometría.
[…]
¿Ves? Esta flecha conecta todo lo del currículo con los recursos para preparar la
clase, las actividades. Y también conecta con estos materiales que son para los
niños. Todo se va juntando.
[…]
El currículo, como que orienta todo lo demás, te sugiere qué hacer, y de allí usted
ya busca las actividades, los manipulativos, todo lo demás, pero eso [el currículo]
va primero.”
Figura 19.6. Mapa, dibujado por Sonia, de su sistema de recursos
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
294
En el mapa se puede observar que Sonia organizó los recursos que usaba en cuatro
grandes categorías:
recursos para planear (ya sea la clase, o actividades específicas), ubicados en el
mapa arriba a la izquierda;
recursos dirigidos a los estudiantes; es decir, recursos para apoyar el aprendizaje
(e.g. talleres, fotocopias), ubicados en la izquierda abajo;
recursos curriculares, ubicados a la derecha, y relacionados con los recursos para
planear y los recursos para los estudiantes; y,
recursos manipulativos, ubicados abajo.
Al respecto, un aspecto interesante, antes mencionado, son las conexiones o ligas que
Sonia representó usando flechas en su mapa. Estas flechas relacionan algunas categorías del
sistema. Al respecto, explícitamente en este mapa (Figura 19.6), Sonia señaló las relaciones
entre: “recursos curriculares”, “recursos para planear”, y “recursos dirigidos a los estudiantes”.
En estas conexiones son evidentes las maneras en que Sonia consideraba las relaciones entre
distintos grupos de recursos.
Para Sonia, el corazón del mapa de su sistema de recursos son los recursos
curriculares; en su opinión, es a partir del currículo (nacional e institucional) que es posible
organizar y darle sentido a las demás categorías del sistema. Algunas ideas del currículo son
retomadas por Sonia en varios momentos: la insistencia del currículo en los procesos de
visualización (pensar acerca de las figuras y sus propiedades); la recomendación de usar
recursos digitales; y la importancia de la exploración. Esas fueron algunas de las ideas que
Sonia recuperó del currículo y que se explicitan en sus criterios de selección de recursos:
“De lo que me dicen los estándares, para mí lo más importante es lo de la
visualización, que los niños desarrollen pensamiento visual […] que piensen sobre
las propiedades de las figuras que están viendo. […] También te recomiendan usar
tecnologías digitales; yo trato de hacerlo lo más que puedo, en la medida de mis
posibilidades aquí [en la escuela …] que exploren las figuras, que las midan, las
volteen, que jueguen con ellas, las hagan grandes o pequeñas y vean qué es lo que
pasa”. (Entrevista a Sonia)
Como parte de nuestro análisis también tuvimos en cuenta el papel que Sonia le
asignaba a los recursos digitales en su sistema. Éstos aparecen explícitamente en la categoría
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
295
de recursos para planear, donde la profesora explicó que usaba recursos digitales para
planear su clase “Uno aprovecha y busca en Google a ver qué hay que pueda traer para la
clase”.
También es llamativa la mención que hizo Sonia, en esa categoría de recursos-para-
planear, del uso de algunas redes sociales (e.g, Facebook) como espacios de interacción con
colegas, y mediante los cuales puede compartir información y materiales.
“Yo estoy en varios grupos de Facebook […] de maestros. Allí ponen información,
artículos, noticias, materiales, en fin, muchísimas cosas que te sirven. También
conoce otros profes de otras partes, se comentan las publicaciones; hay como
cierta interacción.” (Entrevista a Sonia)
En la siguiente sección presentamos los recursos que Sonia seleccionó para una
secuencia de tres clases de geometría respecto a un tema específico: estimación, medición y
unidades de medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro).
19.3. RECURSOS SELECCIONADOS POR SONIA Y SU ORQUESTACIÓN
Sonia decidió trabajar el tema de medición y unidades de medida de longitud en una
secuencia de tres clases de dos horas aproximadamente cada una. En esta secuencia de clases,
Sonia decidió usar dos recursos digitales: un video de YouTube y un applet de GeoGebra, así
como recursos no-digitales: una hoja de trabajo y recursos para “recortar, trazar y pegar” que
presentaremos más abajo.
En la planeación de su primera clase de la secuencia de tres, Sonia decidió consultar el
manual oficial Guía del Maestro (MEN, 2013) que nos había enseñado durante la visita
guiada, sobre el tema que iba a abordar: “Medición” (ver Figura 19.7). Éste fue su punto de
partida. Especialmente, Sonia se fijó en las recomendaciones de las orientaciones curriculares
(los “Estándares”) ubicadas a la izquierda de la figura; y en las sugerencias didácticas,
ubicadas a la derecha arriba.
A partir de dicha consulta, Sonia diseñó hojas de trabajo (Figura 19.8) que le propuso a
sus estudiantes. Éstas incluían algunas actividades, donde solo se utilizarían manipulativos
concretos (i.e., no-digitales), de estimación de longitudes mediante comparaciones de líneas
con igual longitud, aunque distinta forma. Durante el desarrollo de esta primera clase, Sonia
hizo una introducción general al tema y luego presentó las hojas de trabajo a sus estudiantes,
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
296
Posteriormente, introdujo el uso de la cinta métrica para que los niños agregaran marcas a una
tira de papel.
Figura 19.7. Tema de “Medición” en la “Guía del Maestro”, consultado por Sonia para su
planeación de clases
Figura 19.8. Actividades de estimación y medición propuestas por Sonia
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
297
Para apoyar el desarrollo de la actividad, Sonia proyectó la hoja de trabajo en el
pizarrón y usaba esta información visual (estática) para explicar la actividad o hacer
indicaciones sobre la misma
Figura 19.9. Proyección de la hoja de trabajo en el tablero
En la segunda clase, Sonia decidió introducir algunas ideas del sistema métrico
decimal; en ese momento consideró usar recursos digitales, tales como un video de YouTube49
(Figura 19.10) que lo seleccionó debido a que tenía un lenguaje que ella consideraba sencillo y
accesible para sus estudiantes.
Figura 19.10. Video seleccionado por Sonia para su clase
“Como los niños ya hicieron estimaciones usando su propia regla, hecha por ellos
mismos, ya tienen idea de qué es la medida y cómo es la técnica para hacer la
49 Recurso disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=kzrplJ1jvko
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
298
medición. Yo no quiero que la clase se vuelva: ‘aprenderse la tabla de
equivalencias’; sino que ellos mismos caigan en cuenta de eso… Primero,
presentarles un video sobre qué es la medición, las medidas de la longitud…
porque yo les puedo explicar, pero que ellos vean el video es más motivante, luego
yo les profundizo las cosas importantes.” (Entrevista a Sonia)
Posteriormente, en una tercera clase, una semana después, Sonia usó un applet en
GeoGebra (ver Figura 19.11 y Figura 19.12), para hacer una “presentación ostensiva”50, en el
sentido de Martínez y Porras (1997), de la equivalencia en el sistema métrico51 y haciendo
pasar a algunos alumnos para que tuvieran la oportunidad de interactuar con el applet. Los
principales criterios de Sonia para la selección del applet fueron de orden didáctico-cognitivo:
la visualización, la aplicación de las equivalencias y la interacción estudiantes-recursos. En
particular quería que el applet promoviera que los estudiantes pudieran medir longitudes por
medio de una regla graduada, y también que presentara representaciones gráficas de las ideas
geométricas.
La búsqueda de este applet la realizó Sonia en un portal especializado de recursos de
GeoGebra, haciendo una búsqueda concienzuda acerca del tipo de recurso que quería
encontrar. En este caso vemos unos criterios de selección refinados, y un sistema de recursos
enfocado en una situación específica del trabajo documental de la profesora.
Figura 19.11. Aspecto del applet seleccionado por Sonia para su clase
50 51 Recurso disponible en: https://www.geogebra.org/m/qYHjHDAf
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
299
Figura 19.12. Escena de la clase de Sonia usando el applet de GeoGebra
19.4. ANÁLISIS DEL PROCESO DE SONIA PARA SELECCIONAR RECURSOS
(DIGITALES)Para profundizar en el análisis del proceso de Sonia (su ruta-recorrida)
para la selección de recursos digitales para su enseñanza del tema de estimación, medición y
unidades de medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro), aplicamos la técnica de
introspección de investigación. Mediante esa técnica, le propusimos a Sonia mapear su ruta de
selección de los recursos digitales usados en sus clases (applet de GeoGebra y video de
YouTube).
19.4.1. Resultados de la técnica de introspección: “Rutas-recorridas” dibujadas
por Sonia
Durante la entrevista posterior a la primera clase observada, estimulamos los recuerdos
de Sonia para que produjera un mapa (Figura 19.13) de su ruta-recorrida para la selección de
sus recursos, presentándole un video de la sesión en la cual ella buscaba el video de YouTube y
después el applet por Internet (sesión de planeación de clase observada hacía una semana
antes).
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
300
Figura 19.13. Primera versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar
recursos para sus clases
La primera versión del mapa de la ruta-recorrida de Sonia, para seleccionar recursos
digitales para su secuencia de tres clases, se divide en cuatro apartados: (i) “Revisar libros de
texto”; (ii) “Escoger actividades”; (iii) “Acomodar las actividades” y, (iv) “Aplicar las
actividades”. A continuación presentamos detalles de cada apartado:
(i) En la parte “Revisar libros de texto”, ubicada arriba en el mapa, Sonia, además de
los textos escolares, agregó “parcelador” refiriéndose a su bitácora diaria de clases.
Esta primera revisión le sirvió a Sonia de punto de partida para “buscar actividades” y
además “saber cuál es el plan que voy a tener en mi clase, qué he visto antes, y para
dónde quiero ir” (Entrevista a Sonia).
(ii) En la parte “Escoger actividades”, Sonia se refería a seleccionar actividades de los
textos escolares o de Internet: “Como ya tengo un plan, ya busco en los libros o en
Internet qué actividades van acorde a mi plan, al tema de la clase, al grado”
(Entrevista a Sonia).
(iii) En la parte “Acomodar las actividades”, Sonia destacó la necesidad de
“acomodar”, en el sentido de adaptar, las actividades que seleccionó: “Ya uno mira, por
ejemplo, yo dije: ‘primero miramos el video, lo socializamos, conversamos,’ y de allí,
paso a GeoGebra para comprobar cosas de las que se decía en el video; así las
actividades van acomodadas” (Entrevista a Sonia).
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
301
(iv) En la parte “Aplicar las actividades”, ubicada abajo en el mapa, Sonia se refería a
cómo preveía sea su posible orquestación de la actividades en la clase: “Ya cuando
vaya a aplicar el applet, allí en la clase voy a ver cómo sacarle más el jugo”.
Dos semanas después, durante la entrevista posterior a la tercera (y última) clase
observada, Sonia realizó su segunda versión de su mapa de ruta-recorrida (Figura 19.14).
Mientras nos explicaba su ruta-recorrida, Sonia agregaba detalles al mapa, como la
numeración y algunas explicaciones.
Figura 19.14. Segunda versión de Sonia de su mapa de su ruta-recorrida para seleccionar
recursos para sus clases
En este mapa de ruta-recorrida, es notorio el interés de Sonia por organizar sus
acciones en bloques de actividades consecutivas (que aparecen numerados del 1 al 4 al margen
izquierdo del mapa):
En el bloque 1 de su mapa, Sonia señaló dos actividades:
“Revisar el plan”, es decir, las orientaciones curriculares, sobre todo en términos de
“competencias” y sugerencias metodológicas (ella escribió “metodología” en su mapa).
“Reviso mi parcelador,” es decir, su bitácora de seguimiento de clases. Su propósito
de esto era identificar qué temas había visto antes y posibles dificultades de sus
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
302
estudiantes. Para Sonia era importante ubicar su selección de acuerdo a lo que ya había
hecho anteriormente y hacia donde quería ir con sus estudiantes.
En el bloque 2 de su mapa, Sonia destacó dos actividades:
“Revisar mis libros de texto actuales”, para buscar “definiciones, ejemplos y
actividades”. Sonia explicó: “Porque traen actividades nuevas más en términos de
los estándares, de competencias.”
“Busco si tengo talleres [hojas de trabajo], fotocopias, actividades” acorde a lo que
ella “busca que aprendan sus estudiantes”; es decir, acorde a sus propósitos
educativos.
En el bloque 3 de su mapa, Sonia también escribió:
“Busco actividades con TICS” refiriéndose a recursos digitales que se pueden
encontrar en “Google, blogs de maestros y páginas de Facebook”.
En esta “búsqueda” Sonia señaló que es importante “mirar cómo acomodarlas”
refiriéndose a las adaptaciones y complementariedad entre los recursos.
En el bloque 4 de su mapa Sonia señaló:
“Evalúo si las actividades sí van con el plan” refiriéndose al plan de matemáticas
de su escuela y
realizar “cambios o mejoras”, en el sentido de modificar y adaptar las actividades
según las necesidades educativas de sus estudiantes.
Entre las explicaciones de Sonia sobre su mapa, es interesante que la profesora
contemplaba el papel de los recursos no-digitales en su selección de un recurso digital. Para
Sonia era importante contar con material complementario (e.g. hojas de trabajo) que sirviera
para apoyar el trabajo con el recurso digital que estaba buscando.
Así pues, en esta ruta-recorrida es notoria la interacción de Sonia con distintos tipos de
recursos ya contenidos en su sistema de recursos, y la importancia de adaptar los recursos
seleccionado a la enseñanza. Nos llama la atención que en su bloque 3, referente a “Busco
actividades con TICS”, Sonia incluyó redes sociales y blogs de maestros (los cuales no había
mencionado antes en su sistema de recursos). En la entrevista, Sonia explicó que las redes
sociales le son útiles para “acceder a información” como “artículos, noticias, materiales,
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
303
[…] muchísimas cosas que te sirven”; y además le sirven como espacios de “interacción” con
otros colegas.
Una de las características de la ruta-recorrida de Sonia es la importancia que le da a las
necesidades educativas de sus estudiantes:
“Yo no puedo escoger una actividad que los niños no puedan hacer, que sea difícil
o que no entiendan, yo me pongo en los zapatos de ellos y analizo qué dificultades
pueden tener, qué es lo que van a aprender y qué es lo que van a hacer”
(Entrevista a Sonia).
19.4.2. Componentes del esquema de Sonia para seleccionar recursos digitales
A partir de los elementos en los mapas de su ruta-recorrida, así como otros datos
obtenidos en las entrevistas a Sonia, y la observación de su planeación y ejecución de su
secuencia de tres clases, pudimos inferir algunos de sus conocimientos profesionales sobre los
recursos digitales y cómo los usaba. Al igual que para los otros profesores que presentamos
anteriormente, dicho análisis lo hicimos en términos de los elementos constitutivos de los
esquemas que presenta Vergnaud (1998, 2013): situación, metas, anticipaciones, reglas de
acción, invariantes operatorias y posibilidades de inferencia.
Al esquema de Selección de Recursos Digitales de Sonia lo denominamos ESRD_S,
cuyas componentes describimos a continuación:
La situación de selección de Sonia fue bastante específica: ella buscó recursos
digitales que se complementaran con un trabajo previo realizado en una hoja de trabajo
(que incluía recursos no-digitales), durante la primera clase, de la secuencia de tres, para
la enseñanza de la estimación, medición y unidades de medida de longitud (múltiplos y
submúltiplos del metro).
Las metas de Sonia se relacionaban con seleccionar recursos digitales para una
secuencia de clase para enseñar estimación y medición de longitudes. Como sub-metas,
Sonia se propuso identificar un repositorio que permitiera el acceso a recursos de alta
calidad (ergonómica y didáctica). Al respecto Sonia señaló: “Uno no puede escoger
cosas de cualquier parte; aquí en GeoGebraTube[52] usted sabe que hay cosas de cierta
calidad, va mirando y escogiendo, pero va como más a la fija”. Otras de sus sub-metas
52 Repositorio digital donde profesores comparten recursos de GeoGebra: www.geogebratube.org
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
304
se enfocaron en adaptar los recursos seleccionados pensando en el aprendizaje de sus
estudiantes y en complementar el uso de los recursos digitales seleccionados con los
recursos-no-digitales que había trabajando en su primera clase (de la secuencia).
Sus anticipaciones se relacionaron fundamentalmente con dos aspectos:
(i) Anticipaciones respecto a cómo habría de adaptar y complementar las actividades con
recursos digitales y no-digitales en el desarrollo de su secuencia de clases.
(ii) Prever cómo sería su posible orquestación de la clase, enfatizando en cómo podría
usar los recursos digitales (el video y el applet) de una manera más efectiva: “Ya cuando
vaya a aplicar el applet, allí en la clase, voy a ver cómo le saco más el jugo”.
Las invariantes operatorias que inferimos como parte del esquema de Sonia para
seleccionar recursos digitales para su clase, se centraron en las maneras como ella
entendía el papel de la estimación (de cantidades de longitud), de la equivalencia, el
sentido de las unidades de medida y el uso de geometría dinámica en el aprendizaje de
sus estudiantes.
Dichas invariantes muestran el interés de Sonia por focalizar su enseñanza de acuerdo
a las necesidades educativas de sus estudiantes, que en su caso se refería a promover la
comprensión del sistema métrico, más allá de que sus estudiantes simplemente se
aprendieran las fórmulas de equivalencia entre unidades de medida.
Sus criterios para seleccionar los recursos digitales (video de YouTube y applet de
GeoGebraTube), en el orden de importancia que inferimos en las acciones de Sonia
fueron:
Criterio de características didácticas: el contenido del recurso debe promover
la comprensión del sistema métrico, particularmente, el funcionamiento de las
equivalencias de unidades de medida.
Criterio Cognitivo: el recurso debe contener información que sea adecuada
para el nivel y comprensión de sus estudiantes.
Procedencia del recurso: el recurso debe provenir de sitios reconocidos por su
calidad; Sonia prefería repositorios usados regularmente por otros maestros.
Criterio de contenido matemático (geométrico): el recurso debe contener
información que adecuada sobre las magnitudes y su medida.
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
305
Curricular: el recurso debe estar orientado por las sugerencias de los
Estándares Básicos de Competencias (MEN, 2006) sobre el desarrollo del
pensamiento métrico.
Las posibilidades de inferencia de Sonia se enfocaron en cómo los recursos digitales
podrían apoyar el aprendizaje de estudiantes con dificultades. Al respecto Sonia señaló:
“Todo esto me da ideas de como puedo usar las tecnologías para ayudarle a mis
niños que tengan dificultades, que están atrasados o que se sienten desmotivados
con las matemáticas. Porque viendo videos, haciendo cosas con GeoGebra o con
otras herramientas, ellos pueden nivelarse en muchos temas.”
(Entrevista a Sonia)
En la Tabla 19.1 resumimos nuestro análisis del Esquema de Selección de Recursos
Digitales de Sonia (ESRD_S) para su enseñanza de la estimación, medición y unidades de
medida de longitud (múltiplos y submúltiplos del metro):
Tabla 19.1. Componentes del Esquema de Selección de Recursos Digitales de Sonia (ESRD_S)
Situación En su salón de clases, Sonia planeó dos clases para continuar su secuencia de enseñanza
sobre la estimación y medición de longitudes en grado quinto. Sonia ya había ejecutado
una clase anterior para introducir el tema (usando recursos manipulativos) y en las dos
clases siguientes pretendía usar recursos digitales. Para lograr este trabajo, tuvo varias
opciones para seleccionar esos recursos.
Metas Meta general: Seleccionar recursos digitales para una secuencia de clase para enseñar
estimación y medición de longitudes.
Sub-metas:
Identificar un repositorio que permitiera el acceso a recursos alta calidad
(ergonómica y didáctica).
Adaptar el recurso seleccionado pensando en el aprendizaje de los estudiantes
(demanda cognitiva vinculada al recurso).
Re-combinar y complementar el recurso seleccionado con recursos-no-digitales ya
contemplados en su enseñanza (configuración didáctica).
Anticipaciones El recurso seleccionado se debería articular muy bien con los recursos-no-digitales
ya contemplados.
Sonia prevé cómo sería su orquestación de la clase para sacar el mejor provecho
posible al uso de los recursos digitales.
Reglas de
acción
Inferimos el siguiente orden en las acciones de Sonia:
1. “Primero, tener definido el tema. [Así] ya tengo más o menos idea de qué buscar y
qué tipo de cosas quiero llevar al aula”
2. “Si consulto primero los recursos curriculares y libros de texto que uso voy a tener
una mejor idea de qué estoy buscando”
3. “Si hago mi búsqueda en GeoGebraTube voy a encontrar mejores cosas allí
[…]así, en cualquier otra parte”
4. “Para saber si el recurso es bueno, primero veo el video, cómo que lo estudio,
analizo qué es lo que dice.”
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
306
Invariantes
operatorias
(Conocimientos-
en-acto)
Conocimientos-en-acto de Sonia, categorizados como “criterios de selección” de
recursos digitales para su secuencia de clases. Estos criterios se presentan en el orden de
importancia que inferimos les dio Sonia:
Criterio de características didácticas: el contenido del recurso debe promover la
comprensión del sistema métrico, particularmente, el funcionamiento de las
equivalencias de unidades de medida.
Criterio Cognitivo: el recurso debe contener información que sea adecuada para el
nivel y comprensión de sus estudiantes.
Procedencia del recurso: el recurso debe provenir de sitios reconocidos por su
calidad.
Criterio de contenido matemático (geométrico): el recurso debe contener
información que sea adecuada, sobre las magnitudes y su medida.
Curricular: el recurso debe estar orientado por las sugerencias de los Estándares
Básicos de Competencias (MEN, 2006) sobre el desarrollo del pensamiento
métrico.
Invariantes
operatorias
(Teoremas-en-
acto)
Sonia señaló:
Criterio de características didácticas:
“De nada sirve que los niños se aprendan las tablas de equivalencia del sistema
métrico, si eso no tiene sentido para ellos.”
“Para mi es muy importante la estimación porque es la experiencia de los niños
intentando medir por sus propios medios, calculando a ojo, haciendo sus propios
cálculos.”
“Uno de mis objetivos es que los niños puedan relacionar la longitud con las
unidades de medida que van con ella, que no se confundan entre kilómetro y
kilogramo, que sepan que son cosas distintas.”
“Usando GeoGebra los niños pueden estimar, medir, mover, hacer cosas diferentes
pero en una actividad controlada que no sea mover por mover puntos sino que sea
guiada y que les quede claro que están estudiando”.
“Como ya tengo un plan, ya busco en los libros o en Internet qué actividades van
acorde a mi plan, al tema de la clase, al grado.”
Criterios cognitivos:
“Yo busco algo que sea acorde a los que mis niños saben, que se adapte a sus
necesidades.”
“De nada me sirve traerles algo que ellos no van a entender, [i.e.,] con un lenguaje
que sea raro para ellos.”
Criterios de contenido matemático (geométrico):
“Miré el video con mucho cuidado porque hay muchos errores, y hay que verificar
que se les presente a los niños contenidos que sean correctos”“
“El applet debe manejar bien las equivalencias, porque cómo les voy a enseñar yo
a ellos si esto tiene errores; no puedo.”
Criterio curricular:
“Los Estándares me dicen que para desarrollar el pensamiento métrico me enfoque
en la estimación, en el funcionamiento del sistema, no en aprenderse las fórmulas.
Yo quiero que el video vaya de acuerdo con eso.”
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
307
Procedencia del recurso:
“Uno no puede escoger cosas de cualquier parte, aquí en GeoGebraTube usted
sabe que hay cosas de cierta calidad, va mirando y escogiendo, pero va como más
a la fija [a lo seguro].”
Posibilidades de
inferencia
Sonia tendría la posibilidad de inferir cómo usar los recursos digitales para atender las
necesidades educativas de estudiantes que tengan dificultades en el aprendizaje o
necesiten regularizarse.
19.5. PARADIGMAS GEOMÉTRICOS QUE ORIENTARON LAS ACCIONES DE SONIA
En el caso de Sonia es evidente que sus invariantes operatorias se encontraban
alineadas con el paradigma de la geometría elemental descrito por Kuzniak (2011). Por
ejemplo en la Figura 19.15 podemos observar el uso que Sonia hizo de los recursos para
recortar, doblar y pegar.
Figura 19.15. Ejemplo de uso de recursos de “recortar, doblar y pegar” en las clases de Sonia
Así pues, las principales acciones de Sonia relacionadas con las características de este
paradigma fueron que:
Priorizó el uso del lenguaje natural para explicar las ideas geométricas.
Enfatizó en el uso de representaciones gráficas, por ejemplo, en el uso del applet.
Presentó la medición como una actividad recurrente en la vida cotidiana y con un
amplio uso social.
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
308
Enfatizó en actividades de estimación “a ojo” de cantidades de longitud.
Los razonamientos que se movilizarían en clase se basan a la experiencia.
Todas las formas de validación fueron empíricas.
A continuación presentamos nuestras conclusiones del estudio de caso de Sonia.
19.6. CONCLUSIONES DEL ESTUDIO DE CASO DE SONIA
Nuestro estudio del sistema de recursos de Sonia estuvo muy influenciado por la
experiencia que adquirimos en el seguimiento hecho a Miguel. En este caso no contábamos
con la misma cantidad de tiempo; sin embargo, logramos obtener datos útiles para nuestro
estudio.
Un aspecto importante de los datos de Sonia fue los “niveles” de sistemas de recursos
que señaló ella en sus mapas. Estos niveles nos fueron muy útiles para comprender la
organización del sistema de recursos de esta profesora para su enseñanza de la geometría,
además de permitirnos inferir algunos de sus conocimientos profesionales.
Algo útil para nuestro estudio fue el papel que Sonia le confería a los textos escolares
en su sistema de recursos y que, en muchos casos, le sirvieron de punto de partida para su
proceso de selección de recursos. La variedad de textos escolares de Sonia –en términos de:
textos para su consulta sobre temas matemáticos; textos “guía del docente”; y textos para
tomar actividades— nos señaló la importancia que esta profesora le daba a los aspectos de
orden matemático y didáctico a su proceso de selección de recursos.
Otro aspecto que nos llamó la atención en el mapa del sistema de recursos de Sonia, es
su mención de redes sociales que sirven a los profesores como espacio para interactuar con
otros colegas, compartir información y acceder a recursos, principalmente, digitales.
En cuanto a los mapas realizados por Sonia de su ruta-recorrida pudimos identificar las
maneras en que esta profesora le daba secuencialidad a sus acciones, partiendo de referentes
como los libros de texto, hasta llegar a la adaptación y complementariedad que Sonia hacía
entre los recursos no-digitales y los recursos digitales en su secuencia de clases.
A partir de la información contenida en los mapas de la ruta-recorrida de Sonia,
pudimos comprender sus acciones para seleccionar recursos digitales para sus clases, y, a
partir de allí, inferir su esquema (ESRD_S) donde se muestra su intencionalidad como
CAP. 19. ESTUDIO DE CASO DE SONIA: ÉNFASIS EN LAS NECESIDADES DE SUS ESTUDIANTES
309
profesora (metas), y la secuencialidad y organización de su proceso de selección (reglas de
acción), además de las otras componentes de ese esquema.
Respecto a las invariantes operatorias de Sonia pudimos dar cuenta de cómo sus
criterios de características didácticas, cognitivos y de procedencia fueron predominantes en
su proceso de selección. En este sentido resaltamos que, para Sonia, el contenido del recurso
debe promover la comprensión del sistema métrico; contener información que sea adecuada
para el nivel y comprensión de sus estudiantes; así como proceder de un sitio o repositorio
confiable y usado por maestros (e.g. GeoGebraTube).
En cuanto al paradigma geométrico que se relaciona con las invariantes operatorias de
Sonia, evidenciamos las maneras en que el paradigma de la geometría elemental (Kuzniak,
2011) se hace presente en varias de las acciones de Sonia: el énfasis en que el video que buscó
tuviera un lenguaje sencillo para sus estudiantes; y que el applet promoviera que los
estudiantes pudieran medir longitudes por medio de una regla graduada, y presentara
representaciones gráficas de las ideas geométricas.
En el siguiente capítulo presentamos las conclusiones finales de la Segunda Fase de la
investigación, la cual toma en cuenta los análisis de los casos de Laura, de Pedro, de Miguel y
el de Sonia que acabamos de discutir.
310
20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA
SEGUNDA FASE
A continuación presentamos nuestras conclusiones de los resultados que obtuvimos en
la Segunda Fase de nuestra investigación. Como ya se ha mencionado antes, durante esta fase,
le hicimos seguimiento al trabajo de cuatro profesores de primaria mientras seleccionan
recursos digitales para su enseñanza de la geometría. Iniciamos presentando las conclusiones
sobre el análisis que hicimos de los sistemas de recursos de los profesores y de la orquestación
de sus clases, y sobre cómo lo anterior informa sobre el proceso de selección de recursos
digitales.
20.1. SOBRE LOS SISTEMAS DE RECURSOS DE LOS PROFESORES Y LA
ORQUESTACIÓN DE LA CLASE
20.1.1. Acerca de los sistemas de recursos de los profesores
Como hemos mencionado antes, en el caso de los profesores Miguel y Sonia tuvimos
la oportunidad de analizar sus sistemas de recursos para la enseñanza de la geometría, lo cual
nos informó sobre algunos aspectos de su proceso de selección de recursos.
En el caso del sistema de recursos de Miguel para enseñar geometría (ver sección 18.2)
encontramos los siguientes aspectos:
Miguel consideró que las orientaciones curriculares dadas por el MEN (1998) eran un
referente útil para planear la clase.
Incluyó recursos que él llamó “históricos”, es decir recursos que había usado antes y
que consideraba podría seguir usando en el futuro.
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
311
Nombró recursos que enfatizaban aspectos matemáticos, lo que lo llevó a priorizar
recursos que fueran útiles para realizar construcciones geométricas, tales como, regla y
compás, escuadras, geoplano y GeoGebra.
Consideró recursos “de apoyo”: es decir, que le sirvieran para “apoyar sus clases”
tales como, videobeamer, parlantes o bocinas, y fotocopias u hojas de trabajo.
Señaló como recurso al trabajo colaborativo con sus compañeros docentes (lo que
sería un “recurso vivo” en el sentido de Gueudet, Pepin y Trouche (2012).
En el caso del sistema de recursos de Sonia, encontramos que ella dividió los recursos
que utilizaba para su enseñanza de la geometría, en tres “niveles”. Estos niveles expresaban las
maneras que tenía Sonia de organizar su enseñanza (ver sección 19.2.2). En nuestro análisis
re-definimos estos tres niveles de la siguiente manera:
Recursos tipo I: recursos generales para la enseñanza (e.g pizarrón,
videobeamer).
Recursos tipo II: recursos especializados para la enseñanza de la geometría
(e.g., regla y compás, geometría dinámica, recursos curriculares).
Recursos tipo III: recursos para la enseñanza de un tema específico (e.g., una
hoja de trabajo, un video, un applet).
En síntesis, los sistemas de recursos de Miguel y Sonia para su enseñanza de la
geometría contaban con recursos de distintos tipos (curriculares, de apoyo para la clase, etc.)
de manera que manifestaban los propósitos educativos de cada profesor y sus maneras de
entender la geometría y su enseñanza.
Estos análisis de los sistemas de recursos de los profesores Miguel y Sonia, fue útil
para nuestro estudio porque nos permitió:
Identificar que durante su enseñanza de la geometría, los profesores seleccionaban
sus recursos de acuerdo a los propósitos que eran prioritarios para cada uno de ellos:
mientras Miguel prefería seleccionar recursos que le fueran útiles para “hacer
geometría” en su clase, como el geoplano o GeoGebra, Sonia prefería seleccionar
recursos que le sirvieran para planear la clase, por ejemplo los libros de texto.
Observar cómo, y qué tan frecuentemente, los profesores se refieren a los recursos
digitales al describir los recursos que usan para su enseñanza, y a partir de ello, inferir
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
312
qué tanto usan estos recursos en su práctica. Por ejemplo, Miguel mencionó que usaba
GeoGebra de manera regular durante el año escolar, mientras que Sonia señaló que
prefería usar de manera regular videos.
Inferir qué aspectos de orden matemático, didáctico o curricular se evidencian en los
sistemas de recursos de los profesores. Eso nos permitió prever, parcialmente, algunos
de sus criterios de contenido matemático (geométrico), características didácticas y
curriculares que luego se hicieron evidentes en su proceso de selección de recursos.
20.1.2. Aportes a nuestro estudio del análisis de la orquestación de la clase
Por otro lado, la orquestación de la clase que realizaron todos los profesores a los que
les hicimos seguimiento en la Segunda Fase, también nos informó sobre aspectos del proceso
de selección de recursos digitales. Particularmente, los profesores seleccionaban recursos
digitales para sus clases, pensando en cómo iban a usarlos; es decir, anticipando su
configuración didáctica de la clase, e “imaginando” cómo iba a ser su orquestación de la
misma. En otras palabras, los profesores, para su orquestación, tenían anticipaciones que les
servían para seleccionar sus recursos. Estas anticipaciones concebían posibles adaptaciones o
modificaciones a los recursos; así como maneras de integrar esos recursos en la configuración
didáctica y orquestación de la clase.
También consideramos que la orquestación que hicieron los profesores, usando los
recursos digitales que habían seleccionado, involucró los siguientes aspectos (ver Tabla 16.1):
Los propósitos educativos de cada profesor que variaban de acuerdo al grado de
escolaridad, el tema de la clase, las necesidades educativas de sus estudiantes; pero que
también dependía de las consideraciones del profesor sobre la geometría. Mientras que
profesores como Laura y Sonia tenían propósitos “locales” relativos a determinadas
clases (ver secciones 16.4 y 19.3, respectivamente); Pedro y Miguel expresaban
propósito “globales” en los que se involucraban procesos y actividades que requerían
mucho más tiempo (ver secciones 17.3 y 18.2.3, respectivamente). Estos propósitos
fueron determinantes para la selección de recursos que realizaron los profesores; así
pues, Pedro y Miguel prefirieron seleccionar recursos que les permitieran realizar
distintos tipos de actividades, mientras que Laura y Sonia seleccionaron recursos para un
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
313
uso más “local”, es decir, para un uso más específico en una sola clase (e.g. Laura y
Sonia seleccionaron videos que utilizaron en una única clase).
La gestión de los recursos y artefactos disponibles manifestaba muchas de las
anticipaciones realizadas previamente por los profesores durante su selección de los
recursos y exhibía las maneras en que complementaban el uso de distintos tipos de
recursos durante la clase. Por ejemplo, Sonia contempló, durante su proceso de
selección, cómo iba a usar sus recursos y en qué momentos de la clase, comenzando en
una primera sesión (ver sección 19.3) con una hoja de trabajo (recurso no-digital),
complementando esa actividad en sesiones posteriores haciendo, respectivamente, un
uso demostrativo del video y del applet de GeoGebra, pero también invitando a algunos
de sus estudiantes a interactuar con el applet delante del resto del grupo.
Las actividades propuestas a los estudiantes, a través del uso de los recursos,
mostraban el tipo de actividad geométrica que los profesores promovían en su clase, con
énfasis, ya fuera en actividades de construcción geométrica (como Miguel o Pedro) (ver
secciones 18.4.2 y 12.5, respectivamente), o para la comprensión de ideas geométricas
en contextos no geométricos (como Laura) (ver sección 16.4).
La organización de la clase manifestaba las anticipaciones que habían tenido los
profesores al seleccionar sus recursos (digitales o no), de cómo disponer y gestionar esos
recursos en las actividades de sus estudiantes.
Además de lo anterior, a través del análisis de la orquestación identificamos algunos
aspectos de las invariantes operatorias que los profesores ponían en juego mientras
seleccionaban recursos (ver sección 20.3 abajo). Por ejemplo, pudimos inferir algunos de los
criterios de selección de los recursos que los profesores consideraban importantes; por
ejemplo, que el uso del recurso en la clase promoviera la conceptualización de los estudiantes
(criterio cognitivo), o que el recurso se pudiera usar de manera independiente por parte de los
estudiantes (criterio ergonómico).
20.2. SOBRE LAS “RUTAS RECORRIDAS” POR LOS PROFESORES
La aplicación de la técnica de introspección nos permitió dar cuenta de la existencia de
ciertos conocimientos profesionales específicos de los profesores representados en sus mapas
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
314
de sus rutas-recorridas, las cuales nos permitieron inferir el esquema de selección de recursos
digitales de cada profesor. En general, los profesores señalaron que la aplicación de esta
técnica les permitió reflexionar sobre su práctica, particularmente, respecto a la importancia de
la selección de los recursos para la clase.
En las versiones de los mapas hechas por los profesores, encontramos los siguientes
aspectos comunes:
Todos los profesores consideraron el currículo –las orientaciones curriculares
proporcionadas por el MEN (1998, 2006, etc.) o el plan de área de su escuela—como un
elemento más o menos importante en su proceso de selección de recursos.
Todos los profesores recalcaron la importancia de llevar a cabo una buena selección
de recursos para usar en la clase, señalando que era su responsabilidad docente preparar
recursos de calidad para la clase.
Uno de los puntos de partida más recurrentes para los profesores fue el considerar
“qué es lo que estaban buscando” y qué recursos “tenían a mano”; y, a partir de esa
información, determinar cómo iba a ser su proceso de selección.
Al respecto, todos los profesores señalaron que era importante revisar materiales de
años pasados que consideraban exitosos, y adaptarlos según fuera necesario. En
particular, aludieron a la idea de “reciclar” recursos que consideraban les habían sido
útiles en el pasado o que les podrían seguir siendo útiles en el futuro.
Casi todos los profesores consideraron muy importante contar con recursos
complementarios (e.g. hojas de trabajo para sus estudiantes) para acompañar el uso
didáctico de los recursos digitales. Sólo Pedro, por la naturaleza de su proyecto de aula
(ver sección 17.2), no sintió la necesidad de utilizar esos recursos complementarios.
20.3. SOBRE LOS ESQUEMAS (Y CRITERIOS) DE SELECCIÓN DE RECURSOS
DIGITALES DE LOS PROFESORES, Y SUS CONOCIMIENTOS INVOLUCRADOS
Hemos mencionado que, a partir de nuestra aplicación de la técnica de introspección,
pudimos inferir los esquemas que orientaron la selección de recursos de estos profesores, en
particular las invariantes operatorias contenidas en ellos. Categorizamos estas invariantes
operatorias de acuerdo a los criterios de selección de recursos que habíamos identificado
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
315
previamente en la Primera Fase del estudio. En particular, nuestro intento por identificar y
categorizar los conocimientos profesionales de los profesores nos permitió reconocer la
variedad de conocimientos profesionales involucrados, conocimientos que constituían
conocimientos-en-acto (Vergnaud, 1998) ya que los profesores los consideraban como
conocimientos relevantes de acuerdo a las características de la situación en la que se
encontraban realizando dicha selección.
20.3.1. Criterios de selección de recursos
Al analizar el proceso de selección de cada uno de los profesores de la Segunda Fase,
pudimos categorizar a manera de criterios de selección, estos conocimientos-en-acto, los
cuales resumimos a continuación, en orden descendiente de cuánto los profesores concurrieron
en los criterios:
Criterio de contenido matemático (geométrico): El contenido del recurso debe
facilitar la exploración de ideas geométricas y/o promover actividades de construcción
matemática (geométrica) por parte de los alumnos.
Criterio de características didácticas del recurso: Se refiere a las características
didácticas que aporta el recurso, el cual debe incluir o facilitar actividades que aborden
la temática de la clase.
Criterio cognitivo: el recurso debe apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes
sobre el tema abordado en la clase. Además debe contar con un lenguaje que sea
apropiado para los niños y promover procesos como la conceptualización y la
visualización.
Criterio curricular: el contenido del recurso debe estar alineado con las
orientaciones curriculares del MEN o con el plan de área de matemáticas de la escuela.
Criterio afectivo: el uso recurso debe generar entusiasmo o motivación entre los
estudiantes.
Criterio ergonómico: Se refiere a las características técnicas y de procedimiento del
recurso. En este caso, los profesores buscaban recursos gratuitos, fáciles de instalar y de
usar en la clase, o fuera de ella.
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
316
Criterio de procedencia del recurso: este criterio puede considerarse un sub-
criterio del criterio ergonómico y se refiere a que el recurso debe provenir de una
fuente confiable, ya sea un repositorio oficial o uno que sea ampliamente usado y
bien considerado por los profesores.
Al igual que en la Primera Fase, consideramos que estas manifestaciones de
conocimientos profesionales similares en los procesos de selección de recursos digitales por
profesores, en situaciones diferentes, implican que existen aspectos generales que se repiten en
los procesos de selección de los profesores. A continuación realizamos una síntesis de los
conocimientos de los profesores de la Segunda Fase, que inferimos estuvieron involucrados en
sus procesos de selección de recursos.
20.3.2. Conocimientos profesionales y personales de los profesores que impactan
su selección de recursos digitales
En esta fase, obtuvimos datos que nos permitieron inferir algunos de los
“conocimientos profesionales especializados” de los profesores involucrados en sus procesos
de selección de recursos para la clase. Así, a partir del análisis de los datos en esta fase,
podemos resumir los conocimientos profesionales de los profesores a los que les hicimos
seguimiento, de acuerdo a los principales elementos que conforman el modelo de
Conocimiento Matemático para la Enseñanza (MKT) de Ball, Thames y Phelps (2008):
Respecto al Conocimiento del Contenido de la Materia (Subject Matter
Knowledge), este tipo de conocimiento se manifestó cuando los profesores tomaban en
cuenta criterios de contenido matemático (geométrico) en su proceso de selección de
recursos digitales –por ejemplo, cuando consideraban qué tipo de tareas geométricas
(contenidas en los recursos) eran adecuadas para sus estudiantes de acuerdo al grado
escolar en que desarrollaban su enseñanza.
Así pues, no nos sorprendió encontrar diferencias entre los profesores que
trabajaban en grados distintos, aunque abordaran el mismo tema de enseñanza,
como por ejemplo, Laura de primer grado, y Sonia de 5º, quienes trabajaron ambas
el tema de estimación y medición de longitudes:
En el caso de Laura (ver sección 16.5.3), en sus criterios matemáticos
(geométricos) se manifestaban algunos de sus conocimientos del contenido de
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
317
la geometría relacionados con lo que la profesora entendía por “magnitud” y
“cantidad”: como señalamos en esa sección 16.5.3, inferimos que para esta
profesora la noción de “magnitud” se refiere a las características de los objetos
que pueden ser medidas –por ejemplo, el largo de un salto—, mientras que la
“cantidad” se refiere a la medida. En sus clases de primer grado, Laura no
consideraba ideas sobre "cantidad de magnitud", pero sí expresaba algunas
cuestiones sobre las cualidades de los objetos que podemos medir. Estos
conocimientos de Laura se reflejaron cuando seleccionó recursos digitales para
su clase que abordaran situaciones de la vida cotidiana (como el deporte),
donde los niños realizaran actividades de estimación de medidas de longitud, de
comparación y de ordenamiento; y en todas esas tareas, inferimos que Laura
concebía el proceso de estimación como una actividad mental que se realiza “a
ojo”, es decir sin el uso de instrumentos, ni unidades de medida.
Mientras que, en el caso de Sonia (ver sección 19.4.2), profesora de 5º grado,
este tipo de conocimiento estaba asociado con cómo esta profesora concebía,
para sus clases, las características del sistema métrico decimal; estas
características se reflejaban en su insistencia en que sus estudiantes
comprendieran el sistema de equivalencias para medir la longitud (múltiplos y
submúltiplos del metro). Este conocimiento de Sonia se evidenció cuando
seleccionó recursos digitales cuyo contenido enfatizaba en el reconocimiento de
las características del sistema métrico.
Sin embargo, los profesores que más pusieron en juego sus conocimientos del
contenido de la geometría fueron Pedro y Miguel, ambos de 5º grado, ya que
manifestaron consideraciones epistemológicas sobre la naturaleza de la geometría,
que orientaron buena parte de su proceso de selección de recursos:
En el caso de Pedro, él concebía la geometría como algo que se aplica en
otros campos del conocimiento (como la ingeniería o la arquitectura) (ver
sección 17.4.3), e incluso, seleccionó un recurso digital (Sweet Home 3D) que
es usado por arquitectos y diseñadores en el desarrollo de su trabajo.
Mientras que en el caso de Miguel, su concepción de geometría partía de
considerar cómo las herramientas forman parte del quehacer de la geometría, lo
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
318
cual explica su selección de un recurso como GeoGebra donde se pueden
realizar distintos tipo de construcciones geométricas (ver sección 18.7.4).
Por otro lado, en las anticipaciones de los profesores y sus criterios de
características didácticas, se manifestaron algunos elementos de su Conocimiento
Pedagógico (o Didáctico) del Contenido (Pedagogical Content Knowledge):
Sus anticipaciones sobre cómo usar el recurso en la clase, son una
manifestación de los Conocimientos del Contenido y de su Enseñanza de los
profesores, ya que se refieren a cómo los profesores saben prever la disposición de
la clase y el tipo de trabajo que asignarían a sus estudiantes.
Sus criterios de características didácticas son expresiones de sus
Conocimientos Pedagógicos que les permitieron, a los profesores, determinar los
rasgos o particularidades del recurso y el uso didáctico que podría dársele. Por
ejemplo, en la sección 17.4.2 apuntábamos que Pedro señaló que el recurso digital
que usó (Sweet Home 3D) le permitía (gracias a ser multiplataforma y permitir el
trabajo independiente de los alumnos) promover el trabajo colaborativo de sus
estudiantes. Por su parte, Miguel sostenía que el recurso (GeoGebra) le ayudaba a
sus estudiantes a comprender mejor los procesos de construcción geométrica.
Por otro lado, los criterios curriculares y de contenido matemático de los
profesores son manifestaciones de sus Conocimientos del Contenido y del
Currículo.
Por ejemplo, para Laura (ver sección 16.5) ella sabía que los DBA (el
manual de Derechos Básicos de Aprendizaje –MEN, 2017) contenían los
lineamientos curriculares para la enseñanza del tema de “Estimación de
medidas de longitud” y por lo tanto partió de allí para su proceso de selección
(seleccionando recursos del repositorio oficial recomendado en los DBA); esto
también implicó tomar en cuenta criterios como el de procedencia (Laura dijo:
“el recurso debe provenir de una fuente oficial; si es así, el recurso es
adecuado para ser usado en clase”) y de características didácticas.
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
319
Por otro lado, Miguel (ver sección 18.5.2) sabía que GeoGebra podría
ayudar a sus estudiantes a lo que las orientaciones curriculares señalan como
“describir los efectos de las transformaciones sobre las figuras geométricas”
(MEN, 1998), y también sabía (conocimiento del contenido) que con
GeoGebra, los estudiantes pueden explorar cómo las propiedades de las figuras
se mantienen invariantes bajo transformaciones; estos conocimientos se
manifestaron en sus criterios de contenido matemático, curriculares y de
características didácticas por los que seleccionó GeoGebra para su taller.
Respecto al Conocimiento del Contenido y de los Estudiantes, identificamos
que este tipo de conocimiento se manifestó en los criterios cognitivos de los
profesores; sobre todo en términos de que los recursos seleccionados debían
apoyar y facilitar el aprendizaje de los estudiantes sobre la geometría.
En el caso de Laura (ver sección 16.5), ese apoyo se refería específicamente
al contenido de enseñanza; es decir, Laura buscaba que los recursos digitales
seleccionados le permitieran a sus estudiantes realizar actividades de “estimar,
comparar y ordenar” longitudes.
Otros profesores hicieron énfasis en procesos cognitivos propios del
pensamiento geométrico, por ejemplo, Pedro (ver sección 17.4.2) consideraba
cómo el recurso digital seleccionado les ayudaba a sus estudiantes con los
procesos de visualización, o con los procesos de conceptualización como en el
caso de Miguel (ver sección 18.5.2).
Otro aspecto en el que se manifestó el Conocimiento del Contenido y de los
Estudiantes, fue en la orquestación que realizaron los profesores de sus clases; ya
que mostraba cómo los profesores sabían organizar y exponer los temas en su
clase de acuerdo a las necesidades educativas de sus estudiantes.
Por ejemplo, Pedro (ver sección 17.3) orquestó sus clases a partir de sus
consideraciones sobre la importancia de que sus estudiantes fueran activos
durante su aprendizaje; al respecto, Pedro sabía qué tipos de actividades
podrían ser llamativas para sus estudiantes y cómo él podría ayudarles en caso
de que lo requirieran.
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
320
Por otro lado, en nuestro estudio también encontramos indicios del papel de aspectos
relacionados con las “orientaciones personales de los profesores” que Thomas y Palmer
(2014) mencionan en su modelo PTK:
Particularmente, en el caso de Pedro, pudimos dar cuenta de que las percepciones
“positivas” de Pedro respecto al uso de tecnologías digitales en la enseñanza (Thomas y
Palmer, 2014) redundan en sus niveles de confianza para la integración de tecnologías
digitales en su enseñanza. En ese caso, inferimos cómo este tipo de orientaciones
personales se hicieron presentes en buena parte de su proceso de selección de recursos:
Por ejemplo, cuando Pedro (ver sección 17.4.2) expresaba sus creencias sobre el valor
de las tecnologías: para promover el trabajo colaborativo (criterio de características
didácticas del recurso), como algo motivante (criterio afectivo) y que le permitiría
innovar en su práctica docente (posibilidad de inferencia), etc.
Relacionado con estos conocimientos profesionales, en particular con los
conocimientos de la materia (en este caso de la geometría) están los conocimientos
involucrados en los paradigmas geométricos definidos por Kuzniak (2011) que utilizamos en
nuestro análisis. A continuación resumimos algunos resultados de ese análisis.
20.3.3. Paradigmas geométricos que orientaron el proceso de selección de recursos
de los recursos
A partir del uso que hicimos de la idea de “paradigma geométrico”, propuesta por
Kuzniak (2011), pudimos profundizar en las consideraciones epistemológicas de los
profesores, sobre la naturaleza de la geometría , relacionadas con sus invariantes operatorias.
Debido a que los profesores analizados eran de nivel primaria, no es de sorprenderse
que el referente geométrico que orientó las acciones de los profesores, tanto en su selección de
recursos, como en la orquestación de sus clases, fue el de la geometría elemental, que
Kuzniak (2011) considera propia de la educación primaria.
Así pues, notamos cómo los profesores se centraban en actividades de la geometría
elemental, tales como, arrastrar, superponer, cortar, doblar y pegar. Las anteriores actividades
se encontraban muy relacionadas con el desarrollo de habilidades motrices que permiten a los
estudiantes tener una mayor precisión y coordinación en los movimientos de sus manos, y así,
poder manejar las herramientas necesarias para hacer geometría. También, encontramos que
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
321
los profesores manifestaron sus interés por trabajar con gráficos, incorporar modelos próximos
de la realidad de sus estudiantes; promover aspectos la intuición espacial, y promover un uso
amplio del lenguaje natural para explicar las ideas geométricas.
Aunque las actividades de todos estos profesores de primaria correspondían
principalmente al paradigma de la geometría elemental, el profesor Miguel incorporaba
también algunos elementos de la geometría axiomática natural (Kuzniak, 2011). En el caso
de este profesor se evidenció su interés por incluir algunos aspectos del lenguaje simbólico
propio de la geometría; además hacía énfasis por describir “paso a paso” las construcciones y
por promover que sus estudiantes explicaran sus razonamientos haciendo uso de propiedades
geométricas.
Las consideraciones anteriores corroboran los planteamientos de Kuzniak (2011) quien
plantea que la geometría elemental no rompe con la geometría axiomática natural, sino que
ambas se retroalimentan durante la enseñanza. Así pues, este autor considera que las
aproximaciones empíricas e hipotético-deductiva de la geometría, no se excluyen, ni se
restringen la una ni a la otra, tal como pudimos observar en el caso de Miguel.
En la siguiente parte del documento, presentamos las Conclusiones Generales del
trabajo, en la cual resumimos nuestras conclusiones de la Primera y la Segunda parte, además
de algunos aspectos adicionales.
CAP. 20. CONCLUSIONES DE LOS RESULTADOS DE LA SEGUNDA FASE
322
323
PARTE VI: CONCLUSIONES GENERALES
324
21. CONCLUSIONES
A continuación presentamos las conclusiones generales sobre nuestro estudio de la
selección de recursos. Iniciamos presentando un resumen de los resultados que obtuvimos en
las dos fases del estudio.
21.1. RESUMEN DE LOS RESULTADOS DEL ESTUDIO
Presentamos el resumen (y síntesis) de los resultados de todo el estudio respecto a tres
puntos fundamentales: (i) los recursos seleccionados por los profesores, (ii) los criterios de
selección que los profesores manifestaron (sus invariantes operatorias), y (iii) los
conocimientos profesionales relacionados con el proceso de selección.
Cabe notar que para poder entender los procesos de selección de recursos por los
profesores participantes, e inferir los conocimientos (esquemas) involucrados, y sus criterios
de selección, nos fue muy útil promover la reflexión de los profesores, en particular, mediante
la aplicación de la técnica de introspección.
21.1.1. Acerca de los recursos digitales seleccionados por los profesores
Durante nuestro período de seguimiento, los profesores seleccionaron distintos tipos de
recursos digitales; en la Tabla 21.1 presentamos un resumen de dichos recursos y de las
principales características de los mismos que los profesores tuvieron en cuenta.
Tabla 21.1. Resumen de los recursos seleccionados por los profesores participantes en el estudio
Profesor Recursos
seleccionados
Características del recurso tomadas en cuenta por los profesores
Juan
1º
Juego
interactivo
Recurso en línea
Disponible en un repositorio de recursos especializado en la
educación primaria.
Recurso para la enseñanza de un tema específico
Provee alta retroalimentación a las acciones de los estudiantes
Permite el trabajo independiente del estudiante
325
Laura
1º
Video
Interactivo
Recursos disponibles en un repositorio educativo oficial.
Recursos para la enseñanza de un tema específico.
Se pueden descargar para trabajo off line.
Alta alineación del contenido del recurso con las orientaciones
curriculares.
Alta complementariedad entre el contenido del video y el del
interactivo.
Recursos acompañados por una “guía del docente”
Pedro
5º
Sweet Home
3D
Software libre de uso no-escolar
Multiplataforma; se puede trabajar off line
Útil para el diseño de planos arquitectónicos
Cuenta con herramientas de construcción (de planos) y medición.
Permite visualización de planos en 2D y 3D
Permite el trabajo independiente del estudiante.
El recurso se puede usar para la enseñanza de diversos temas y en
distintas actividades
Miguel
5º
GeoGebra Geometría dinámica
Software libre de uso escolar
Cuenta con herramientas especializadas de geometría (y medición)
Permite la construcción de figuras geométricas
Posibilita la exploración de propiedades por medio del arrastre
Incluye lenguaje simbólico de la geometría
El recurso se puede usar para la enseñanza de diversos temas y en
distintas actividades
Sonia
5º
Video
Applet de
GeoGebra
Recursos para la enseñanza de temas específicos
Uso en línea
Disponibles en repositorios ampliamente usados por profesores
Permiten una presentación ostensiva de las ideas geométricas
En el caso del applet, permite cierto nivel de interacción.
En resumen, tenemos dos grandes categorías de recursos digitales seleccionados por
los profesores a los que les hicimos seguimiento:
Recursos de “uso expedito” (Palmas, 2018) o “local”: como los videos, los
interactivos y el applet, los cuales corresponden a recursos cuyo contenido aborda una
temática específica de clase, hacen énfasis en una “presentación ostensiva” (Martínez y
Porras, 1997) de las ideas geométricas.
Recursos universales (GeoGebra) o de uso “global” (Sweet Home 3D o GeoGebra):
recursos que se pueden usar en proyectos o más de una clase, para la enseñanza de
diversas nociones geométricas, con énfasis en actividades de construcción geométrica.
326
21.1.2. Criterios de los profesores para su selección de recursos
Al analizar el proceso de selección de cada uno de los profesores durante la Primera y
la Segunda Fase del estudio, pudimos definir, a manera de criterios de selección, los
conocimientos-en-acto puestos en juego por dichos profesores.
A continuación, en la Tabla 21.3, resumimos estos criterios de selección, en orden
(descendiente) de hasta qué grado53 los profesores concurrieron en los criterios:
Tabla 21.2. Resumen de los criterios de selección de recursos tenidos en cuenta por los profesores
observados
Tipo de criterio de
selección
Definición general
Curricular El contenido del recurso debe estar alineado con las orientaciones curriculares
del MEN o con el plan de área de matemáticas de la escuela.
Contenido
matemático
(contenido
geométrico)
Alude al contenido matemático, en este caso geométrico, que facilita el
recurso durante las actividades que los estudiantes desarrollan con éste.
Características
didácticas
Se refiere a las características didácticas que aporta el recurso, el cual debe
incluir o facilitar actividades que aborden la temática de la clase.
Cognitivo Se refiere a cómo el recurso puede apoyar los aprendizajes de los alumnos.
Ergonómico Se refiere a las características técnicas y de procedimiento del recurso.
También incluye características de la interfaz, la disposición y funciones de las
herramientas.
Procedencia Este criterio puede considerarse un sub-criterio del criterio ergonómico y se
refiere a que el recurso debe provenir de una fuente confiable, ya sea un
repositorio oficial o uno que sea ampliamente usado y bien considerado por
los profesores.
Afectivo El uso recurso debe generar entusiasmo o motivación para el aprendizaje de
los estudiantes.
Ético El recurso no debe incitar al comportamiento agresivo o incluir cuestiones
como la discriminación, etc. Este criterio no se refiere a un contenido temático
particular, sino que se relaciona con aspectos de ética y de valores; es decir,
con la función social del recurso y de la práctica docente.
Adicionalmente queremos señalar que, relacionado con el primer criterio, el curricular,
en nuestro análisis también identificamos algunas maneras en que los profesores tomaron en
cuenta los libros de texto y las orientaciones curriculares como referentes o “puntos de
partida” para realizar su selección.
53 Para medir el orden de los criterios de selección de los profesores, contabilizamos cuántas veces los
profesores mencionaron algunas de las “palabras-código” que definimos (ver Anexo G), asociadas a
los criterios.
327
21.1.3. Sobre la orquestación de la clase
Nuestros resultados muestran que los profesores seleccionan sus recursos digitales
pensando en (i.e., previendo, anticipando) su futura orquestación de la clase. Así pues,
llegamos a la conclusión de que no es posible estudiar los procesos de selección sin tener en
cuenta la orquestación que el profesor hace de la clase (usando los recursos que seleccionó).
En nuestro análisis identificamos que existen conocimientos de los profesores que se
constituyen en lo que Vergnaud (1998, 2003) reconoce como “anticipaciones”, es decir,
conocimientos que le permiten al sujeto reconocer las características de una situación
particular, establecer metas de acción e inferencias (i.e. adaptaciones de su acciones) respecto
a una variedad de situaciones más o menos parecidas.
Al respecto, encontramos que las principales anticipaciones de los profesores, se
evidencian en su configuración didáctica de la clase (Trouche, 2002) y tienen que ver
principalmente con:
Los propósitos educativos que el profesor prevé para la clase y sus consideraciones
sobre cómo el uso didáctico del recurso digital, que está seleccionando, puede aportar
para alcanzar dichos propósitos.
Propuestas de actividades apoyadas en el recurso digital, donde los profesores prevén
cómo el recurso digital puede proveer algún tipo de información o retroalimentación que
pueda llegar a apoyar el aprendizaje de sus estudiantes
Las maneras como el profesor decide organizar y disponer la clase, de manera que
prevé de que forma puede usar el recurso digital para promover interacciones diversas de
trabajo en la clase, como el trabajo individual, en parejas o colaborativo.
La gestión de los artefactos que el profesor integra a la clase. En los casos de Juan,
Pedro y Miguel, ellos primero determinaron cómo querían usar el recurso en la clase y
después buscaron y seleccionaron un recurso que les permitiera desarrollar lo que tenían
previsto. Por su parte, Laura y Sonia primero consideraron las orientaciones curriculares y los
libros de texto, respectivamente, y después seleccionaron los recursos para sus clases.
Respecto a la organización de la clase, todos los profesores señalaron que, de manera
general, una organización colaborativa, complementada con trabajo individual, es la más
deseable. También hablaron de que debía haber variedad en la organización del trabajo y en
328
las actividades. Por ejemplo, en los casos de Laura, Pedro y Miguel, los profesores
propusieron una organización de la clase con los estudiantes trabajando colaborativamente.
Sin embargo, en el caso de Juan predominó una organización de clase basada en el trabajo
individual de los estudiantes. Mientras que, en el caso de Sonia, predominó una organización
expositiva con discusión colectiva en la clase (e.g., cuando todos los estudiantes observaban el
video y hablaban sobre ello).
Por otro lado, fue interesante observar cómo, durante la orquestación que los
profesores hacían de sus clases, convergían muchas de sus interacciones con recursos de
diversa naturaleza (e.g. libros de texto, applets, pizarrón, etc.).
En la Tabla 21.3 presentamos un resumen de los principales usos de los recursos y
cómo los profesores los orquestaron en clase.
Tabla 21.3. Resumen de aspectos del uso y orquestación de los recursos por los profesores
Usos del
recurso en clase
Gestión didáctica
del profesor
Ejemplos
Organizar y
disponer la clase
Introduce o presenta
ideas matemáticas.
Sonia: “En el video nos van a explicar cosas de la medición
de longitudes; ese es el tema que vamos a ver las siguientes
clases: cómo medir, ya sea usando una regla o un metro, la
longitud. Por ejemplo, la distancia de aquí a la puerta”.
Asigna reglas de
trabajo en la clase y
modos de
participación de los
estudiantes.
Juan: “Primero, cada uno va a trabajar solo con su
computador. Yo los voy ayudando… Al final de clase, vamos a
reunirnos todos y revisar qué fue lo que hicimos…: ustedes
van a salir al frente; […] yo escojo quiénes salen acá
adelante.”
Dispone los tiempos y
espacios en los que se
va a desarrollar la
clase
Pedro: “Hoy trabajamos aquí en la sala de sistemas, estas dos
horas, para que terminen de pulir sus planos y hacer las
presentaciones […] porque aquí tienen los computadores […]
La próxima clase ya nos pasamos al patio para hacer la
socialización y allá toca llevar los portátiles cargados para
que puedan mostrarle el trabajo a la gente.”
329
Apoyar el
aprendizaje de los
estudiantes
Ejemplifica y resalta
ideas geométricas
importantes.
Juan: “Esto que vemos [señalando la pantalla] son ejemplos
de líneas cerradas. Recordemos qué es una línea cerrada…”
Promueve la
participación de los
estudiantes
Laura: “Cada parejita va a ir trabajando con el interactivo.
Primero uno y luego el otro le ayuda; se van ayudando el uno
al otro y se van turnando el computador. Todos tienen que
trabajar”.
Corrige
procedimientos de los
estudiantes.
Miguel: [A una pareja de estudiantes:] “Les salió mal la
traslación porque ustedes deben de llevar un orden. Vea:
traslación, a este triángulo, usando este vector [mostrando y
explicando la traslación correcta]. El orden siempre es el
mismo porque, si no, GeoGebra traslada es el vector y
necesitamos es que traslade el triángulo. A ver, háganlo
ustedes, yo las miro.”
Sugiere a sus
estudiantes maneras
de usar el recurso
Pedro: “Como no podemos hacer el plano de la casa en su
tamaño real, porque no nos cabría aquí en el salón, para eso
usamos la escala. En este caso, Sweet Home nos dice: haga
una escala de reducción [señala una herramienta del
software], que es hacer el mismo plano de la casa pero más
pequeñito, pero con la misma forma.”
Institucionalizar
conocimientos
matemáticos
Valida conocimientos
de los estudiantes.
Sonia: [A un estudiante que manipula el applet delante de sus
compañeros:] “Mueva la escala de la regla a la unidad que
vaya con la medida… siga, siga… listo, allí está. Decímetros,
esa es la unidad que buscábamos, muy bien.”
Clausura, cierra la
clase.
Juan: [A un niño frente a todo el grupo:] “Pase a hacer el
juego y entre todos vamos a ver si está bien o tenés que
corregir algo. Con eso ya terminamos la clase por hoy.”
21.1.4. Conocimientos profesionales de los profesores relacionados con su
selección de recursos
Pudimos identificar que los resultados que obtuvimos en nuestro estudio se
relacionaban con algunos aspectos de los modelos de conocimiento profesional de los
profesores que habíamos presentado en el Capítulo 4.1.
En particular, como se describe en la siguiente Tabla 21.4, relacionamos los criterios
de selección de recursos con algunos aspectos del modelo del Conocimiento Matemático
para la Enseñanza (MKT) de Ball, Thames y Phelps (2008) (ver sección 4.1.1) y del modelo
de Conocimiento Pedagógico y Tecnológico del Contenido (TPACK) de Mishra y Koehler
(2006) (ver sección 4.1.2).
330
Tabla 21.4. Conocimientos profesionales contenidos en cada criterio de selección
Tipo de
criterio de
selección
Conocimientos
profesionales
(MKT)
Conocimientos
profesionales
(TPACK)
Explicación de cómo se manifiestan los
conocimientos profesionales en los
criterios de selección
Curricular Conocimiento
del contenido y
del Currículo
Conocimiento
del Contenido y
de su
Enseñanza
Conocimiento
Pedagógico
del Contenido
Estos conocimientos se manifiestan cuando
los profesores determinan si el contenido
del recurso que están seleccionando está
alineado con las orientaciones curriculares
del MEN o con el plan de área de
matemáticas de la escuela.
Los profesores saben priorizar qué aspectos
de las orientaciones curriculares desean
enfatizar en su clase con el uso de recursos
digitales, lo que manifiesta sus
conocimientos sobre los vínculos entre el
currículo y la pedagogía.
Contenido
matemático
(contenido
geométrico)
Conocimiento
del Contenido
de la Materia
Conocimiento
del Contenido y
de su
Enseñanza
Conocimiento
sobre el
Contenido
Estos conocimientos profesionales se
manifiestan en las consideraciones de los
profesores respecto al contenido geométrico
facilitado por el recurso durante las
actividades que los estudiantes
desarrollarán con éste.
También puede incluir consideraciones
epistemológicas de los profesores: i.e., lo
que saben sobre la geometría y su
enseñanza en la educación primaria. Esas
consideraciones inciden en su selección de
determinado recurso.
Caracte-
rísticas
didácticas
Conocimiento
del Contenido
de la Materia
Conocimiento
del Contenido y
de su
Enseñanza
Conocimiento
del Contenido y
de los
Estudiantes
Conocimiento
Pedagógico
del Contenido
Conocimiento
Tecnológico
Pedagógico
Estos conocimientos se manifiestan en las
consideraciones e intencionalidades
pedagógicas (evidenciadas en la planeación
de la clase) de los profesores respecto a
cómo usar el recurso de la manera más
adecuada en su clase. Ello implica tomar en
cuenta las características didácticas que
aporta el recurso; se manifiestan así
conocimientos de los profesores sobre cómo
entienden que las tecnologías o un recurso
digitales pueden promover el aprendizaje;
sobre lo que saben que los niños pueden
hacer con esas tecnologías; y sobre otros
aspectos tecnológicos.
331
Ergonómico Conocimiento
del Contenido y
de su
Enseñanza
Conocimiento
Tecnológico
Pedagógico
Conocimiento
Tecnológico
Conocimiento
Tecnológico
Pedagógico
Estos conocimientos se manifiestan en las
consideraciones de los profesores sobre las
características técnicas y de procedimiento
del recurso. Implica que los profesores
tengan en cuenta aspectos como las
características de la interfaz, la disposición
y funciones de las herramientas del recurso.
Incluye cómo conciben los profesores que
el recurso pueda ser accesible para sus
estudiantes y facilite su uso y aprendizaje.
Procedencia Conocimiento
del Contenido y
del Currículo
Conocimiento
Tecnológico
Pedagógico
Este criterio, que puede considerarse un
sub-criterio del criterio ergonómico,
manifiesta la conciencia de los profesores
de que no cualquier recurso puede ser
adecuado; y su capacidad de discernir y sus
conocimientos sobre cuáles fuentes pueden
ser confiable (e.g., repositorios oficiales;
blogs, redes sociales o sitios ampliamente
usados y bien considerados por otros
profesores, etc.). Implica tener la pericia y
conocimientos suficientes para realizar
búsquedas y selecciones adecuadas para sus
propósitos educativos.
Afectivo Conocimiento
del Contenido y
de los
Estudiantes
Conocimiento
Tecnológico
Pedagógico
Estos conocimientos se manifiestan en las
consideraciones de los profesores sobre qué
tanto, y de qué maneras, el uso de un
recurso puede llegar a generar entusiasmo o
motivación para el aprendizaje de los
estudiantes.
Ético Conocimiento
del Contenido y
de los
Estudiantes
Conocimiento
del Contenido y
del Currículo
Conocimiento
Tecnológico
Pedagógico
Este criterio no manifiesta conocimientos
de los profesores sobre un tema de
enseñanza particular, sino que se relaciona
con aspectos de ética y de valores; es decir,
con la función social del recurso y de la
práctica docente: manifiesta sus
conocimientos sobre qué tan socialmente
apropiado puede ser el contenido de un
recurso digital. Incluye las consideraciones
de los profesores sobre aspectos formativos
éticos (incluidos en el currículo) y se
cristaliza en los requerimientos éticos del
profesor respecto a los recursos (e.g. que no
debe incitar al comportamiento agresivo o
incluir cuestiones como la discriminación).
332
Otro modelo de conocimiento profesional de los profesores, con el que relacionamos
los criterios de selección fue el modelo del Conocimiento Pedagógico y Tecnológico (PTK)
propuesto por Thomas y Palmer (2014) (ver sección 4.1.3). De este modelo nos interesó lo que
tiene que ver con el papel que juegan sus orientaciones personales (i.e., sus creencias y
percepciones que hacen parte de su conocimiento profesional) (Thomas y Palmer, 2014) en la
integración de tecnologías digitales en la enseñanza. Respecto a esas orientaciones personales,
en nuestro estudio encontramos que:
(i) Para Juan, Pedro y Miguel, sus creencias sobre el papel de las tecnologías en la
enseñanza de las matemáticas se manifiestan cuando describen sus criterios
ergonómicos y de características didácticas. Por ejemplo, cuando Pedro señaló que
un “buen uso del Sweet [Home], es muy bueno para que los niños aprendan”. Por
otro lado, en el estudio de caso colectivo (realizado durante la Primera Fase – ver
sección 13.2) también se manifestaron otras creencias: Por ejemplo, cuando una
profesora expresó que al usar estas tecnologías en la clase, el profesor debe estar
preparado para afrontar muchos imprevistos; esto lo relacionamos con aspectos de la
gestión didáctica (didactical performance) del profesor, que señalan Drijvers y otros
(2013).
(ii) Las percepciones de los profesores sobre la naturaleza del conocimiento
matemático, se manifestaron principalmente en los criterios de contenido
matemático (geométrico) que los profesores tenían en cuenta en su proceso de
selección, e influían en otros criterios. En menor medida, también notamos que las
percepciones de los profesores sobre la naturaleza de la geometría (sus
consideraciones epistemológicas), se relacionaban con otros criterios de selección de
recursos –como los cognitivos y de características didácticas del recurso.
(iii) En cuanto a los aspectos afectivos que tiene cada profesor al usar tecnologías
digitales, éstos los encontramos cuando Laura y Pedro señalaron que el recurso
seleccionado debe ser “motivante” para los estudiantes. En particular pudimos
vislumbrar el gusto de los profesores, y cómo percibían ellos el gusto también de sus
estudiantes, por utilizar tecnologías digitales en sus clases. Por otro lado, también
inferimos que los profesores tenían confianza suficiente para integrar las tecnologías
digitales a su práctica docente.
333
21.1.5. Percepciones de los profesores participantes en el estudio sobre las
actividades de reflexión
Como mencionamos en el diseño metodológico general de la investigación (ver
Capítulo 8), nuestro estudio no buscaba incidir directamente en la práctica de los profesores a
quienes les hicimos seguimiento durante este estudio. Sin embargo, nuestra intervención sí
afectó a los profesores. En particular, durante las entrevistas (en las discusiones en el taller
colectivo; y a raíz de la aplicación de la técnica de introspección) los maestros participantes
indicaron que las actividades de reflexión incidieron en su práctica. Al respecto, queremos
señalar algunas de las percepciones y opiniones de los profesores participantes:
Durante la Primera Fase en el estudio de caso colectivo (ver sección 13.3), observamos
que a partir de las reflexiones grupales de los profesores durante el taller, ellos se
concientizaron más sobre la importancia de contar con criterios claros que orientaran sus
procesos de selección. Aparentemente, estos profesores lograron percatarse de que la selección
de un recurso requiere poner en práctica su conocimiento profesional e implica decisiones que
impactarán fundamentalmente su trabajo.
Durante la Segunda Fase, y aplicando la técnica de introspección, en una de las
entrevistas donde Miguel explicaba su ruta-recorrida, éste señaló que normalmente los
profesores no se detienen a reflexionar sobre los recursos que utilizan, y expresó que eso
puede llegar a limitar su trabajo. Miguel enfatizó en que la reflexión que estaba llevando a
cabo le ayudó a “actualizarse”.
Señalamientos similares a los de Miguel expresó Pedro cuando, en una de sus últimas
entrevistas señaló cómo el seguimiento que habíamos hecho de su trabajo le había “enseñado
a que cada vez se puede ser mejor [maestro]”.
Por su parte, Laura y Sonia expresaron que su participación en nuestra investigación
promovió que usaran recursos digitales en su enseñanza de la geometría. Sonia señaló que su
experiencia en el estudio la “motivó” a incrementar su uso de recursos digitales en su
enseñanza. Por su lado, Laura señaló que aprovechó su participación en este estudio para
enseñar geometría, ya que era algo que había dejado de lado en su enseñanza.
334
21.2. RESPUESTAS A LAS PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
A partir de los resultados arriba señalados de este estudio, podemos responder
brevemente las preguntas de investigación que habíamos planteado en la sección 1.2:
¿Qué criterios consideran los profesores durante su proceso de selección de recursos
(digitales) para la enseñanza de la geometría?
En nuestro estudio identificamos que los profesores participantes tuvieron en
cuenta distintos tipos de criterios de selección de recursos digitales: Curricular,
Contenido matemático (contenido geométrico), Características didácticas,
Ergonómico y Procedencia, Afectivo y Ético (ver Tabla 21.2.). Estos criterios se
manifestaban de manera diferente, dependiendo de la situación en la cada profesor
se encontraba: el grado escolar y tema de enseñanza, sus propósitos educativos y
los recursos que tenía disponibles para realizar su selección. Utilizamos la idea de
esquema, propuesta por Vergnaud (1998), para analizar dichos criterios, a manera
de invariantes operatorias, y así inferir de qué maneras estos criterios orientaron
los procesos de selección de los profesores.
¿Qué conocimientos profesionales (e.g. didácticos, de contenido, del contexto en que
se dan las clases, etc.) se ponen en juego durante el proceso de selección de recursos? En
particular, ¿cuál es el papel de sus conocimientos geométricos?
En la Tabla 21.4 de la sección 21.1.4 describimos los conocimientos
profesionales específicos que se manifestaron en los criterios de selección de
recursos (digitales) de los profesores. Estos conocimientos de los profesores se
relacionaron con el contenido geométrico (ver abajo), su enseñanza, el currículo,
las necesidades educativas de sus estudiantes y el uso que los profesores hacen de
los recursos digitales en sus clases. Además de lo anterior, identificamos que estos
criterios también manifestaban las creencias de los profesores sobre el papel de las
tecnologías en la enseñanza de la geometría, sus percepciones sobre la naturaleza
de la geometría y aspectos afectivos como su nivel de confianza para usar recursos
digitales en sus clases
En particular, identificamos que los conocimientos geométricos y
consideraciones de los profesores sobre la naturaleza de la geometría, y su
335
enseñanza, se manifestaron en sus criterios de contenido matemático
(geométrico), curricular y de características didácticas. Para realizar este
análisis, nos fue útil la idea de paradigma geométrico que propuesta por Kuzniak
(2011) para describir el referente geométrico que orientó el proceso de selección
de recursos de los profesores participantes
¿Qué acciones están involucradas, y qué ruta o camino siguen los profesores, en su
proceso de selección de recursos?
La técnica de introspección (ver sección 9.1) nos permitió analizar las rutas-
recorridas por los profesores mientras seleccionaban recursos digitales para sus
clases. Estos mapas de rutas-recorridas, hechos por los profesores, y acompañados
por sus explicaciones verbales, evidenciaron las acciones de los profesores durante
sus procesos de selección; además mostraron que dichas acciones son
intencionales, secuenciales y dependen de la situación en la que cada profesor se
encontraba. Lo anterior, nos ayudó a inferir los conocimientos (criterios de
selección) que los profesores ponían en juego durante estos procesos de selección.
¿Qué de lo anterior es específico para el nivel de primaria y para enseñanza de la
geometría? Y ¿qué no?
De todo lo anterior, encontramos que en los criterios de tipo curricular,
características didácticas y contenido matemático (geométrico), los profesores
manifestaron conocimientos profesionales de acuerdo con el tema geométrico de
enseñanza (de primaria) y el grado de escolaridad en el que cada uno laboraba.
En cuanto a los conocimientos exhibidos por los profesores para la enseñanza
de la geometría identificamos que éstos se relacionaban casi exclusivamente
(excepto en el caso de Miguel –ver sección 18.6) con el paradigma de la
geometría elemental (Kuzniak, 2011); esto no es sorprendente ya que su
enseñanza es de nivel de primaria. Así pues, los profesores seleccionaron
recursos digitales (y no-digitales) que les permitían realizar actividades de la
geometría elemental, tales como: trazar, arrastrar y superponer, trabajar con
gráficos, incorporar modelos próximos de la realidad de sus estudiantes; promover
aspectos la intuición espacial, y promover un uso amplio del lenguaje natural para
explicar las ideas geométricas.
336
Por otro lado, encontramos que los criterios de selección de recursos que los
profesores tuvieron en cuenta para su enseñanza de la geometría en primaria –en
particular, los de los tipos ergonómico, de procedencia, afectivo y ético; pero hasta
cierto punto o con las necesarias adaptaciones, también los de características
didácticas, de contenido matemático y curriculares—, se podrían encontrar en
casi cualquier nivel educativo, así como para la enseñanza de otros temas (de
matemáticas, pero posiblemente incluso para temas de otras disciplinas).
21.3. APORTACIONES DEL TRABAJO
Consideramos que este estudio aportó varios elementos a la disciplina de Educación
Matemática, como los que presentamos a continuación.
Un primer aporte del trabajo tiene que ver con el estudio, en términos de los esquemas
que propone Vergnaud (1998), de los conocimientos de los profesores puestos en juego
durante su el proceso de selección de recursos digitales para sus clases de geometría en
educación primaria. En este sentido, un aporte particular de nuestro trabajo, fue inferir las
invariantes operatorias que orientaban las acciones de los profesores durante sus procesos
de selección.
Otro aspecto específico de nuestro análisis, que queremos resaltar como un aporte de
este estudio a la Educación Matemática, es el uso que hicimos de la idea de paradigma
geométrico (Kuzniak, 2011) para profundizar en el estudio de las invariantes operatorias de
los profesores. Ese uso de las ideas de Kuzniak (2011) y de sus colegas (e.g. Kuzniak &
Richard, 2014), nos permitió analizar los conocimientos matemáticos (geométricos) de los
profesores contenidos en los esquemas que los profesores pusieron en juego durante su
proceso de selección de recursos para su enseñanza de la geometría.
Por otro lado, a reserva de que las situaciones en las que se encontraban los profesores,
durante su proceso de selección, no eran equiparables o comparables entre sí, pudimos
contrastarlas e identificar criterios que se manifestaron de manera similar durante dichos
procesos de selección. Así, logramos identificar aspectos de dichos criterios en los que los
profesores convergían (ver Tabla 21.2) para generar definiciones generales de esos criterios.
Así, el poder inferir y establecer los criterios involucrados en los procesos de selección de
337
recursos digitales por los profesores, es un aporte principal de nuestro estudio. Más aún, ya
que dichos criterios podrían extrapolarse a otros contextos, por ejemplo en otros niveles de
escolaridad o en la enseñanza de otros tópicos de las matemáticas escolares.
Adicionalmente, consideramos que nuestros resultados, en particular los criterios de
selección que definimos, pueden ser tomados en cuenta por quienes diseñan recursos digitales
para la enseñanza o para los interesados en programas de formación de profesores, ya sea para
la enseñanza de la geometría en educación primaria, o para la integración, a nivel general, de
tecnologías digitales en la enseñanza.
Otro aporte del trabajo tiene que ver con aspectos metodológicos. El desarrollo y uso
de una técnica de introspección (ver sección 9.3) nos permitió obtener datos suficientes para
inferir el esquema que los profesores pusieron en juego durante su proceso de selección de
recursos digitales. Consideramos que esta técnica introspectiva también se puede usar para
estudiar otros aspectos del trabajo documental de los profesores (e.g. su orquestación de la
clase), o incluso, podría usarse como parte de una estrategia formativa en el desarrollo
profesional de los docentes.
21.4. LIMITACIONES DEL ESTUDIO Y POSIBLES LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN
FUTURAS
21.4.1. Sobre los profesores participantes
Como mencionamos en las descripciones metodológicas de la Primera y Segunda Fase
de nuestra investigación (ver secciones 10.2 y 15.4, respectivamente), analizamos el trabajo de
una población muy específica de profesores: profesores colombianos; de educación primaria;
que laboraban en escuelas públicas y urbanas del municipio de Yumbo (Valle del Cauca).
Pero lo que es mucho más específico, y poco común en profesores de primaria de
muchos países y regiones de América Latina, es que estos profesores tenían bastante
capacitación y experiencia en el uso e integración de recursos digitales a su práctica: todos
nuestros participantes contaban con cursos de formación docente para el uso de tecnologías
digitales en la enseñanza y varios de ellos contaban con formación de post-grado (finalizada o
en curso); todos habían usado previamente recursos digitales en sus clases; y contaban con
cierto acceso a tecnologías digitales en sus escuelas. Además, estaban interesados en la
338
enseñanza de la geometría; y en su desarrollo profesional. Al respecto, debe de mencionarse
que los cinco profesores participantes (sin incluir a los maestros que participaron en el estudio
de caso colectivo descrito en el capítulo 13) habían ingresado al servicio docente mediante
concurso público de méritos (ver sección 8.3.2); por tanto, eran profesores de planta en sus
escuelas (“nombrados en propiedad”) y estaban sujetos a evaluaciones de desempeño docente,
las cuales promueven que los profesores usen tecnologías digitales en distintas actividades
escolares. Aunque esta última particularidad de la evaluación no es exclusiva de los profesores
participantes en este estudio, sí puede explicar buena parte del interés de los profesores por
integrar tecnologías digitales a sus clases; por mantener un interés en su proceso de desarrollo
profesional; y, por lo tanto, por participar voluntariamente en nuestro estudio.
Así pues, analizamos el proceso de selección de recursos digitales de una población
algo inusual de profesores, con un desarrollo profesional bastante avanzado y experiencia
previa, respecto al uso de tecnologías digitales para la enseñanza, y que trabajaban en
condiciones bastante favorecidas. Ello constituye una limitación en nuestro estudio porque no
nos permitiría generalizar nuestros resultados a una población mayoritaria. .
Por ello, sería interesante e importante, como línea de investigación futura, estudiar los
procesos y criterios de selección de recursos digitales, con otros grupos de profesores de
matemáticas (de primaria o secundaria), y así entender y poder generalizar más, cómo pueden
esos procesos y criterios.
21.4.2. Respecto al tema matemático y nivel de escolaridad estudiado
Al respecto de lo último mencionado, otra limitación de nuestra investigación fue que
en ella nos restringimos a la enseñanza de la geometría en educación primaria (decisión que
tomamos porque había necesidad de delimitar nuestra investigación). Por ello, sería
interesante, como nuevas líneas de investigación considerar los procesos de selección de
recursos digitales para la enseñanza de otros tópicos de las matemáticas escolares (ya sea en
primaria o en otros niveles escolares); o para la enseñanza misma de la geometría, pero en
otros niveles de escolaridad como la secundaria.
También podría ser interesante estudiar la selección, por parte de varios profesores de
un mismo grado de primaria o secundaria, de recursos digitales para un tema más específico
de las matemáticas (e.g. medición de ángulos; o suma de fracciones; etc.).
339
21.4.3. Sobre posibles aplicaciones de la técnica de introspección
Para todos los posibles estudios mencionados, también sería interesante considerar la
aplicación de la técnica de introspección (descrita en el Capítulo 9) para el análisis de cómo se
ponen en juego los conocimientos de los profesores en sus procesos de selección de recursos
(digitales).
Consideramos que la técnica de introspección, en particular la realización de mapas de
rutas-recorridas por parte de los profesores, también puede ser útil en otras investigaciones
interesadas en estudiar el trabajo documental de los profesores (e.g., como su orquestación de
la clase). Por ejemplo, podría usarse en el seguimiento a la evolución de los esquemas de
selección de recursos de un profesor particular (i.e., para llevar a cabo un análisis de la
“historia” de sus esquemas de selección), a través de la comparación de sus rutas-recorridas
antiguas vs. su ruta-recorrida más reciente.
Esta técnica de introspección también podría ser usada para indagar otros aspectos más
amplios del trabajo documental del profesor: por ejemplo, la integración de los recursos
digitales dentro del sistema de recursos del profesor. Otros posibles usos de dicha técnica
podrían estar relacionados con el estudio de los conocimientos profesionales de los profesores.
Por ejemplo, para indagar aspectos específicos de los componentes del Conocimiento
Pedagógico y Tecnológico (Pedagogical Technological Knowledge – PTK) propuesto por
Thomas y Hong (2013), incluyendo los conocimientos matemáticos (más generales)
involucrados en los procesos de selección de recursos de los profesores para su enseñanza de
la geometría; o los conocimientos de los profesores sobre el “mundo digital” en sus procesos
de génesis instrumental, entre otros.
Por otro lado, tomando en cuenta lo señalado en la sección 21.1.5, también se puede
considerar el uso de nuestra técnica de introspección como parte de un programa de formación
de profesores (i.e., como una estrategia de desarrollo profesional), lo que abre otras posibles
líneas de investigación.
21.5. COMENTARIOS FINALES
Para cerrar este documento queremos enfatizar en que la selección de recursos
(digitales y no-digitales) para la clase es un proceso crítico, en el sentido de prioritario, en el
340
trabajo del profesor. Es un proceso que hace parte de sus planeaciones regulares de clase y que
forma parte de la configuración didáctica que los profesores conciben para las mismas, por lo
que determina, de muchas maneras, su trabajo en el aula.
Aunque sabíamos que los profesores seleccionan recursos de acuerdo sus
intencionalidades –en cuanto al aprendizaje de sus estudiantes; a su formación y experiencia; y
a los recursos disponibles— realizamos este estudio enfocándonos en comprender sus
acciones y conocimientos profesionales involucrados en dichos procesos de selección,
particularmente, para la enseñanza de la geometría en educación primaria.
341
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
342
Adler, J. (2000). Conceptualizing resources as a theme for teacher education. Journal of
Mathematics Teacher Education, 3, 205–224.
Alsina, C. (1991). Materiales para Construir la Geometría. Colección matemáticas: Cultura y
aprendizaje. Madrid: Síntesis.
Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection
about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work.
International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7, 3, 245−274.
Artigue M., Bottino R.M., Cerulli M. & al. (2007). Technology Enhanced Learning in
Mathematics: The cross-experimentation approach adopted by the TELMA European
Research Team. La Matematica e la sua didattica. 21.1, 67-74.
Artigue, M. (2011). La educación matemática como un campo de investigación y como un
campo de práctica: Resultados, desafíos. XIII Comité Interamericano de Educación
Matemática. 26-30 junio. Recife: CIAEM.
Arzarello, F., Micheletti, C., Olivero, F. & Robutti. O. (1998). Dragging in Cabri and
modalities of transition form conjectures to proofs in geometry. PME, 22, 2, 32-39.
Bachy, S. (2014). Tpdk, a New Definition of the Tpack Model for a University Setting,
European Journal of Open, Distance and E-Learning, 17, 2. DOI: 10.2478/eurodl-2014-
0017
Ball, D; Thames, M. & Phelps, G. (2008). Content Knowledge for Teaching : What Makes It
Special? Journal of Teacher Education, 59, 389.
Ball, D. L., Hill, H. C., & Bass, H. (2005). Who knows mathematics well enough to teach
third grade, and how can we decide? American Educator, Fall, 14–22–43–46.
Bartolini-Bussi M. (1996). Mathematical Discussion and Perspective Drawing in Primary
School. Educational Studies in Mathematics, 31,1-2, 11-41.
Bartolini-Bussi, M. & Mariotti, M. (2008). Semiotic mediation in the mathematics classroom:
artifacts and signs after a Vygotskian perspective. English, L; Bartolini-Bussi, M; Jones,
G; Lesh, R. & Tirosh, D. (Ed). Handbook of International Research in Mathematics
Education. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. 746-805.
Berthelot, R. & Salin, M.H. (1992). L’enseignement de l’espace et de la géométrie dans la
scolarité obligatoire. Thése docteur spécialité Didactique des Mathématiques,
Université Sciences et Technologies Bordeaux I. Francais. Recuperado de
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00414065
343
Bikner-Ahsbahs, A; Knipping, C. & Presmeg, N. (Ed.) (2015). Approaches to Qualitative
Research in Mathematics Education. Examples of Methodology and Methods.
Dordrecht: Springer.
Blaeuw, G. (1606/2018) Nova Totius Terrarum Orbis Geographica Ac Hydrographica
Tabula. [Imagen en línea]: File:Nova-totius-terrarum-orbis-geographica-ac-
hydrographica-tabula.jpg. (2018, Sept. 5). Wikimedia Commons, the free media
repository. Recuperado el 19 de marzo, 2019, 19:43 de
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Nova-totius-terrarum-orbis-
geographica-ac-hydrographica-tabula.jpg&oldid=318663650
Bosch, M. & Gascón, J. (2004). La praxeología local como unidad de análisis de los procesos
didácticos. Boletín del Seminario Interuniversitario de Investigación en Didáctica de las
Matemáticas. http://www.ugr.es/~jgodino/siidm/welcome.htm
Bueno-Ravel, L. & Gueudet, G. (2008). Online resources in mathematics: teachers’ genesis of
use, in D. Pitta-Pantazi, & G. Philippou, Proceedings of CERME 5, Larnaca, Chypre.
Bressan, A; Bogisic, B. & Crego, K. (2000). Razones para enseñar geometría en la educación
básica: mirar, construir, decir y pensar. Buenos Aires: Novedades educativas.
Brousseau, G. (1986). Fondements et méthodes de la didactiques des mathématiques.
Recherches en Didactique des Mathématiques, 7, 2, 33 - 115.
Bruner, J. (1990). Acts of meaning. Harvard University Press, 1990
Bkouche, R. (2009). De l’enseignement de la géométrie. REPERES-IREM, 76, 85-103.
Calderhead, J. (1981). Stimulated recall: a method for research on teaching. British Journal of
Educational Psychology, 51, 211-217.
Cardona, C; Ocaña, A; Dussan, N; Cubillos,S. & Ocaña, J. (2006). La geometría de Alberto
Durero. Estudio y modelación de sus construcciones. Bogotá: Universidad de Bogotá
Jorge Tadeo Lozano.
Carlson, J. (1975). Lodestone Compass: Chinese or Olmec Primacy? Science, 189, 4205, 753-
760.
Castelló, J. V. (2010). A través del tiempo: Inventos de la antigua civilización china que más
han influido en la humanidad. Revista Instituto Confucio, III(3), 56–65. Recuperado de
http://www.confucius-institute-magazine.com/revistas/spanish3/#1
Cerulli, M. (2004). Introducing pupils to algebra as a theory: L’Algebrista as an instrument of
semiotic mediation. PhD Thesis, Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Pisa.
344
Cerulli, M. & Mariotti, M. (2003): Building theories: working in a microworld and writing the
mathematical notebook. Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME and PMENA,
181-188. College of Education, University of Hawai'i.
Cobb, P., Confrey, J., diSessa, A., Lehrer, R., Schauble, L. (2003). Design experiments in
educational research. Educational Researcher, 32, 1: 9 – 13.
Colaboradores de Wikipedia (2019, 14 de Marzo). Mercator 1569 world map [en línea].
Wikipedia, La enciclopedia libre, 2019. Recuperado el 18 de marzo, 2019, 04:07, de
https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mercator_1569_world_map&oldid=8876583
88
Consejo Directivo (2011). Manual de Convivencia. Yumbo: Institución Educativa JMC.
Cotter, C. (1968). A history of nautical astronomy. London-Sydney-Toronto: Hollis & Carter.
Chamorro, M. (2003). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Pearson-Prentice
Chevallard, Y. (1992). Fundamental concepts in didactics: Perspectives provided by an
anthropological approach. R. Douady, & A. Mercier (Eds.), Research in didactique of
mathematics, selected papers. 131−167. Grenoble: La Pensée Sauvage.
Chevallard, Y. (1994). Les processus de transposition didactique et leur théorisation. In G.
Arsac, Y. Chevallard, J.-L. Martinand, & A Tiberghien (Eds.). La transposition
didactique à l’épreuve (pp. 135-180). Grenoble: La Pensée Sauvage.
Clark-Wilson, A; Robutti, O. & Sinclair, N. (Ed.) (2014). The mathematics teacher in the
digital era. An international perspective of technology focussed professional
development. Dordrecht: Springer.
Clark-Wilson, A. & Hoyles, C. (2017). Dynamic technology for dynamic mathematics. Final
Report. London: UCL Institute of Education.
Creswell, J. (2007). Qualitative inquiry and research design: Choosing among five
approaches. Thousand Oaks: Sage Publication.
Da Vinci, L. (1970). Tratado de la pintura de Leonardo da Vinci. Barcelona: Teide.
Dewey, J. (1910/1989). Cómo pensamos. Nueva exposición de la relación entre pensamiento
reflexivo y proceso educativo. Barcelona, España: Paidós. Traducción del inglés.
Dienes, Z. (1969). Building Up Mathematics. London: Hutchinson Educational.
Drijvers, P. & Gravemeijer, K. (2005). Computer algebra as an instrument: Examples of
algebraic schemes. D. Guin, K. Ruthven & L. Trouche (Eds.). The didactical challenge
of symbolic calculators turning a computational device into a mathematical instrument
174−196. New York: Springer.
345
Drijvers, P; Doorman, M; Boon, P; Reed, H. & Gravemeijer, K. (2010). The teacher and the
tool: instrumental orchestrations in the technology-rich mathematics classroom.
Educational Studies in Mathematics. 75, 213–234. DOI 10.1007/s10649-010-9254-5.
Drijvers, P; Tacoma, S; Besamusca, A; Doorman, M; & Boon, P. (2013). Digital resources
inviting changes in mid-adopting teachers’ practices and orchestrations. ZDM, 45, 7,
987-1001.
Editors of Encyclopaedia Britannica (2018). Mercator projection. Encyclopædia Britannica,
inc. septiembre 11, 2018. https://www.britannica.com/science/Mercator-projection
English, L. (2002). Priority themes and issues in international research in Mathematics
Education. In English, L; Bartolini-Bussi, M; Jones, G; Lesh, R. & Tirosh, D. (2002).
Handbook of International Research in Mathematics Education. New Jersey: Lawrence
Erlbaum Associates.
Freire, P. (1997). Pedagogía de la autonomía. México: Siglo XXI. Traducción del portugués
de 1966.
García, J. (2008). El arte de llegar a puerto: Matemáticas y Navegación desde la antigüedad
hasta el siglo XVII. Marrero, I (Ed.). Descubrir las matemáticas hoy. Sociedad, Ciencia,
Tecnología y Matemáticas. Servicio de Publicaciones de la Universidad de La Laguna.
185-199.
Gass, S. M., & Mackey, A. (2000). Stimulated recall methodology in second language
research. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum.
Garzón, D. & Vega, M. (2011). Los recursos pedagógicos en la enseñanza de la geometría.
Memorias XIII Comité Interamericano de Educación Matemática. Junio. Recife:
CIAEM.
Gálvez, G. (1985). El aprendizaje de la orientacion en el espacio urbano. Una proposicion
para la ensenanza de la geometria en la escuela primaria. Tesis de Doctorado, Centro
de Investigacion del IPN, México.
Goos, M. & Bennison, A. (2008). Surveying the technology landscape: Teachers‘ use of
technology in secondary mathematics classrooms. Mathematics Education Research
Journal, 20, 3, 102-130.
González, F. (2006). Del “arte de marear” a la navegación astronómiva: Técnicas e
instrumentos de navegación en la España de Edad Moderna. Cuadernos de Historia
Moderna. Anejos V. 135-166.
González, J. & Medina-Hernández (2009) Técnicas astronómicas de orientación e
instrumentos náuticos en la navegación medieval. Fortvnatae, 20, 17-29.
346
Gueudet, G. (2015). Le dispositif Pairform@nce, de l’expérimentation à la généralisation ?
Vers quel modèle de formation professionnelle continue pourrait-on aller? Comment
l’´etablissement scolaire pourrait-il entrer dans ce nouveau modèle? Conférence
nationale cultures numériques, éducation aux média et à l’information, 84-87, 2013,
Lyon, France.
Gueudet, G., Pepin, B., & Trouche, L. (Eds.). (2012). From Text to “Lived” Resources:
Mathematics Curriculum Materials and Teacher Development. doi: 10.1007/978-94-
007-1966-8
Gueudet, G. & Trouche, L. (2009). Towards New Documentation Systems for Teachers?
Educational Studies in Mathematics, 71, 3, 199-218.
Gueudet, G. & Trouche, L. (2010). Des ressources aux documents, travail du professeur et
genesis documentaires. Guedet. G. & Trouche. L. (Eds), Ressources Vives: le travail
documentaire des professeurs en mathématiques. Lyon: Presses universitaires de
Rennes.
Gueudet, G., & Trouche, L. (2012). Teachers’ work with resources: documentation geneses
and professional geneses. In G. Gueudet, B. Pepin, & L. Trouche (eds.), From Text to
‘Lived’ Resources: Mathematics Curriculum Materials and Teacher Development (pp.
23-41). NY: Springer
Guin, D. y Trouche, L. (2002). Mastering by the teacher of the instrumental genesis in CAS
enviroments: necessity of intrumental orchestation, Zentralblatt für Didaktik der
Mathematik, 34, 5, 204-211.
Guin, D. & Trouche L. (2007). Une aproche multidimensionnelle pour la conception
collaborative de ressources pédagogiques. En: Baron, M; Guin, D. & Trouche. L. (Eds.):
Environnements infomatisés et ressources pour l´apprentissage. 197-228.
Guin, D; Ruthven, K; Trouche, L. (eds.) (2004). The didactical challenge of symbolic
calculators: turning a computational device into a mathematical instrument. New York:
Springer.
Haspekian, M., & Artigue, M. (2007). L'intégration d’artefacts informatiques professionnels à
l'enseignement dans une perspective instrumentale: le cas des tableurs. Baron, M; Guin,
D. & Trouche, L. (Eds), Environnements informatisés et ressources numériques pour
l'apprentissage. Paris: Editions Hermès.
Hernández -Jacquez, L. y Gutiérrez-Rodríguez, D. (2016). Las tecnologías multimedia y su
relación con el aprendizaje de la matemática en alumnos de sexto grado de educación
primaria. Educación y ciencia, 5(45), 50–65.
347
Hill, H., Ball, D., & Schilling, S. (2008). Unpacking Pedagogical Content Knowledge:
Conceptualizing and Measuring Teachers' Topic-Specific Knowledge of Students.
Journal for Research in Mathematics Education, 39, 4, 372- 400. Stable URL:
https://www.jstor.org/stable/40539304
Houdement, C. & Kuzniak, A. (2006). Paradigmes géométriques et enseignement de la
géométrie. Annales de didactique et de sciences cognitives. 11, 175 – 193.
Hoyles, C. & Noss, R. (1987). Synthesizing mathematical conceptions and their formalization
through the construction of a Logo-base school mathematics curriculum. International
Journal of Mathematics education in science and technology, 18,4, 581-595.
Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación Educación – ICFES (2010).
Resultados de Colombia en TIMSS 2007. Resumen ejecutivo. Bogotá: Cadena.
Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación Educación – ICFES (2016/2017).
Resultados. http://www2.icfesinteractivo.gov.co/resultados.php
Instituto Nacional para la Evalaución de la Educación Educación –INEE (2003). Tercer
Estudio Internacional de Matemáticas y Ciencias Naturales (TIMSS): Resultados de
México en 1995 y 2000. México.
Israel, R. (2003, Enero 1). Mercator’s Projection. Recuperado de
http://www.math.ubc.ca/~israel/m103/mercator/mercator.html
http://www.math.ubc.ca/~israel/m103/mercator/mercator.html
Janvidist, U. (2009). On empirical research in the field of using history in mathematics
education. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 12, 1,
67-101.
Jaworski, B. (2008). Building and sustaining inquiry communities in mathematics teaching
development: Teachers and didacticians in collaboration. In K. Krainer & T. Wood
(Eds.), International handbook of mathematics teacher education, 3, 335–361.
Rotterdam: Sense Publishers.
Jacobson J, Kozma R. (2000). Innovations in science and mathematics education: Advanced
designs for technologies of learning. New Jersey: Lawrence Erlbaum
Juego de curvas abiertas y cerradas para niños de primaria. (n.d) Mundo Primaria. Recuperado
el 28 Octubre de 2015 de http://www.mundoprimaria.com/ juegos-matematicas/juego-
curvas-abiertas-y-cerradas.
Kaput, J. & Roschelle, J. (1999). The Mathematics of Change and Variation from a Millennial
Perspective: New Content, New Context. Hoyles, C., Morgan, C., & Woodhouse, G.
(Eds.). Rethinking the mathematics curriculum. London: Springer.
348
Kuzniak, A. (2006) Paradigmes et espaces de travail géométriques. Eléments d'un cadre
théorique pour l'enseignement et la formation des enseignants en géométrie, Canadian
Journal of Math, Science & Technology Education, 6:2, 167-187, DOI:
10.1080/14926150609556694.
Kuzniak A. (2011). L’Espace de Travail Mathématique et ses genèses. Annales de Didactique
et de Sciences Cognitives. 16, 9–24.
Kuzniak, A., & Richard, P. (2014). Espacios de trabajo matemático. Puntos de vista y
perspectivas. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa
(Relime), 17 (4-1), 5-39. doi 10.12802/relime.13.1741a. Recuperado de
http://relime.org/index.php/repositorio/volumen-17/numero-especial-17-4-
i/1704d1p/106-pdf-editorial-espacios-de-trabajo-matematico-puntos-de-vista-y-
perspectivas/file
Laborde, C., Kynigos, C., Hollebrands, K., & Strasser, R. (2006). Teaching and learning
geometry with technology. In A. Gutiérrez & P. Boero (Eds.), Handbook of research on
the psychology of mathematics education: Past, present and future, 273–304.
Rotterdam, The Netherlands: Sense Publishers.
Lagrange, J.B. (2000). L’ integration d’ instruments informatiques dans l’ enseignement: un
approche par les techniques, Educational Studies in Mathematics, 43, 1-30.
Lesh, R., Lovitts, B. & Kelly, A.E. (2000). Purposes and assumptions of this book. In Kelly,
A.E. & Lesh, R. (Eds.). Handbook of research design in mathematics and science
education. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.
Llinares, S. (2000) Comprendiendo la práctica del profesor de matemáticas. Educaçao
matemática em Portugal, Espanha e Itália. Secçao de Educaçao Matemática da
Sociedade Pottuguesa de Ciencias de Educaçao, Lisboa.
Llinares, S. (2014). Experimentos de enseñanza e investigación. Una dualidad en la práctica
del formador de profesores de matemáticas. Educación Matemática. Marzo, 31-51.
Mariotti, M. (2002). Influences of technologies advances in students' math learning. English,
L. (ed.) Handbook of International Research in Mathematics Education, 695-723. New
Jersey: Lawrence Erlbaum Associates publishers.
Margolinas, C. (2002) Situations, milieux, connaissances : analyse de l’activit´e du professeur.
Actes de la 11`eme Ecole d’Et´e de Didactique des Mathématiques. París: La pens´ee
sauvage.
Margolinas, C. (2009). La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de matemáticas.
Bucaramanga: Ediciones Universidad Industrial de Santander.
349
Martínez, M. S. (2016). Rutas matemáticas 5. Bogotá: Editorial Santillana. ISBN:
9789582424527
Ministerio de Educación Nacional - MEN (1998). Lineamientos Curriculares. Matemáticas.
Bogotá: Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional - MEN (2002). Seminario Nacional de Formación de
Docentes: Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Serie Memorias.
Enlace Editores Ltda. Bogotá, D.C.
Ministerio de Educación Nacional – MEN (2006). Estándares básicos de competencias:
Lenguaje, Matemáticas, Ciencias y Ciudadanas. Bogotá: Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional – MEN (2013). Proyecto Sé. Guía del maestro
Matemáticas. Edición especial. 5º. Bogotá Ediciones SM.
Ministerio de Educación Nacional – MEN (2016). Derechos básicos de Aprendizaje (DBA).
Matemáticas. Bogotá: Imprenta Nacional.
Ministerio de Educación Nacional - MEN (2017). Mallas de aprendizaje. Matemáticas 5º
grado. Bogotá: Magisterio.
Ministerio de Educación Nacional - MEN (2018). Evaluación anual de desempeño de docentes
y directivos docentes. https://www.mineducacion.gov.co/1759/w3-article-
246098.html?_noredirect=1
Ministerio de Educación Nacional - MEN (2019). Adelante maestros. A la vanguardia
rectores. https://www.mineducacion.gov.co/1621/w3-propertyvalue-48460.html
Mercator, G. (1569/2018). Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium
Emendate Accommodata [Imagen en línea]: Mercator 1569.png (2018, Sept. 5).
Wikimedia Commons, the free media repository. Recuperado el 18 de marzo, 2019 de
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_1569.png&oldid=318
663243
Messaoui, A. (2018). The complex process of classifying resources, an essential component of
documentation expertise. In Gitirana, V., Miyakawa, T., Rafalska, M., Soury-Lavergne,
S., & Trouche, L. (Eds.) (2018). Proceedings of the Re(s)sources 2018 international
conference. ENS de Lyon.
Mishra, P., y Koehler, M. J. (2006). Technological pedagogical content knowledge: A new
framework for teacher knowledge. Teachers College Record, 108, 6, 1017–1054.
Michalak, K. (2014, Dic. 19) Schema (cognitive). Encyclopaedia Britannica. Recuperado de
https://www.britannica.com/science/schema-cognitive
350
Miranda, M.L. (2013). Análisis del impacto de las necesidades y reformas curriculares del
siglo XXI en la didáctica de profesores de matemáticas del Nivel Medio Superior. Tesis
de doctorado. Cinvestav. Recuperado el 11 de marzo, 2019 de
http://www.matedu.cinvestav.mx/~asacristan/Tesistas/TesisMirandaFinalDic2013.pdf
Moreno, L. (2002). Evolución y tecnología. Seminario Nacional de Formación de Docentes:
Uso de Nuevas Tecnologías en el Aula de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de
Educación Nacional.
Nardi, B. (1996). Context and consciousness: Activity theory and human–computer
interaction. Cambridge: The MIT Press.
Noss, R., & Hoyles, C. (1996). Windows on mathematical meanings: Learning cultures and
computers. Dordrecht: Kluwer.
Palmas, S. (2018). La tecnología digital como herramienta para la democratización de ideas
matemáticas poderosas. Revista Colombiana de Educación, 74, 109-132. doi:
10.17227/01203916.6900
Papert, S. (1981) Desafío a la mente. Computadoras y Educación. Buenos Aires: Galápago.
Parada, E., Pluvinage, F. & Sacristán, A. (2013). Reflexiones en una comunidad de práctica de
educadores matemáticos sobre los números negativos. Recherches en Didactique des
Mathématiques. 33,3, 233-266.
Panofsky, E. (1999). La perspectiva como forma simbólica. Barcelona: Tusquets.
Pepin, B., Gueudet, G. & Trouche, L. (2013). Re-sourcing teachers' work and interactions: a
collective perspective on resources, their use and transformation. ZDM Mathematics
Education, 45, 929-943.
Pérez, J. (2007). Geometría y topología. Granada: Universidad de Granada.
Perrenoud, P. (2004). Desarrollar la práctica reflexiva en el oficio de enseñar.
Profesionalización y razón pedagógica. Barcelona: Graó
Perrin-Glorian, M. (2009). Utilidad de la teoría de las situaciones didácticas para incluir los
fenómenos vinculados a la enseñanza de las matemáticas en las clases normales. Revista
Internacional Magisterio. 39. Junio - Julio.
Poisard, C., Bueno-Ravel, L., & Gueudet, G. (2011). Comprendre l’intégration de ressources
technologiques en mathématiques par des professeurs des écoles. Recherches en
didactique des mathématiques, 31(2), 151-189.
Piaget, J. (1985). The equilibration of cognitive structures. Chicago: University of Chicago
Press. Traducción del francés de 1975.
351
Piaget, J. y García R. (1982). Psicogénesis e historia de la ciencia. México: Siglo XXI.
Piaget, J. (1977) . Psicología y pedagogía. Barcelona: Ariel.
Pinto Sosa, J. E., & González Astudillo, M. T. (2008). El conocimiento didáctico del
contenido en el profesor de matemáticas: ¿una cuestión ignorada? Educación
matemática, 20(3), 83–100. Recuperado de
http://www.scielo.org.mx/scielo.php?script=sci_abstract&pid=S1665-
58262008000300005&lng=es&nrm=iso&tlng=es
Puig, A. (1986). Curso de geometría métrica. Tomo I. Fundamentos. Madrid: Euler.
Rabardel P. (1995). Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments
contemporains. París: Armand Colin.
Rabardel, P. (1999). Eléments pour une approche instrumentale en didactique des
mathématiques. Actes de la dixième université d'été de didactique des mathématiques,
203-213.
Remillard, J. (2005). Examining key concepts in research on teachers’ use of mathematics
curricula. Review of Educational Research, 75, 2, 211–246.
Rocha, K. (2016). Uses of online resources and documentational trajectories: the cases of
Sésamath. 13th International Congress on Mathematical Education, Hamburg, 24-31
July 2016.
Rocha, K. (2018). Uses of Online Resources and Documentational Trajectories: the Case of
Sésamath. In L. Fan, L. Trouche, S. Rezat, C. Qi, & J. Visnovska (Eds.), Research on
Mathematics Textbooks and Teachers’ Resources: Advances and issues, 235–258. New
York: Springer.
Ruthven, K. (2014). Frameworks for Analysing the Expertise That Underpins Successful
Integration of Digital Technologies into Everyday Teaching Practice. Clark-Wilson, A;
Robutti, O. & Sinclair, N. (Ed.) The mathematics teacher in the digital era. An
international perspective of technology focussed professional development. Dordrecht:
Springer.
Sacristán, A. I. (2017). Digital technologies in mathematics classrooms: barriers, lessons and
focus on teachers. En E. Galindo & J. Newton (Eds.), Proceedings of the 39th annual
meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education, (pp. 90–99). Indianapolis: Hoosier Association of Mathematics
Teacher Educators. Recuperado de
http://www.pmena.org/pmenaproceedings/PMENA%2039%202017%20Proceedings.pdf
352
Schön, D. (1992). La formación de profesionales reflexivos: hacia un nuevo diseño de la
enseñanza y el aprendizaje en las profesiones. Barcelona: Paidós.
Sandoval, I. T. (2009). La geometría dinámica como una herramienta de mediación entre el
conocimiento perceptivo y el geométrico. Educación Matemática, 21, 1, 5-27.
Secretaría de Educación Yumbo (2019a). Infraestructura educativa.
http://semyumbo.gov.co/gestion/infraestructura-educativa/
Secretaría de Educación Yumbo (2019b). Cobertura y calidad educativa.
http://semyumbo.gov.co/gestion/cobertura-y-calidad-educativa/
Serres, M. (2014). Pulgarcita. Barcelona: Gedisa.
Shulman, L. S. (1986). Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational
Researcher, 15, 2, 4-14.
Shulman, L. S. (1987/2005). Conocimiento y Enseñanza: Fundamentos de la Nueva Reforma.
Profesorado, Revista de Currículum y Formación del Profesorado, 9(2), 1–30.
Traducción de Shulman, L. (1987). Knowledge and Teaching: Foundations of the New
Reform. Harvard Educational Review, 57,1, 1-22. Recuperado de
https://recyt.fecyt.es/index.php/profesorado/article/view/42675
Silva Calderón, L.H; Báez Sánchez, A.D. & Sarmiento Díaz, M.I. (2016). Avanza
Matemáticas 5. Bogotá: Editorial Norma.
Strebe, D. R. (2011/2019) Mercator projection [Imagen en línea]:Mercator projection SW.jpg.
(2019, Enero 1). Wikimedia Commons, the free media repository. Recuperado el 19 de
marzo, 2019, 20:03, de
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Mercator_projection_SW.jpg&o
ldid=333055423.
Thomas, M. & Hong, Y. (2013). Teacher Integration of Technology into Mathematics
Learning. International Joumal of Technology in Mathematics Education, 20, 2, 69-84.
Thomas, M. & Palmer, J. (2014). Teaching with Digital Technology: Obstacles and
Opportunities. A. Clark-Wilson et al. (eds.), The Mathematics Teacher in the Digital
Era, Dordrecht: Springer. doi: 10.1007/978-94-007-4638-1_4,
Trouche, L. (2002). Genèses instrumentales, aspects individuels et collectifs. En: Guin, D. y
Trouche, L. (Ed) Calculatrices symboliques. Transformer un outil en un instrument du
travail mathématique: un probleme didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage Editions.
Trouche, L. (2003). From artifact to instrument: Mathematics teaching mediated by symbolic
calculators. Interacting with Computers, 15, 6, 783−800.
353
Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized
learning environments: Guiding students’ command process through instrumental
orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9, 3,
281−307.
Trouche, L. (2014). Documentation valise. Lyon, France: Educ Math. Recuperado de:
http://educmath.ens-yon.fr/Educmath/recherche/approche_documentaire/documentation-
valis
Trouche, L., & Drijvers, P. (2010). Handheld technology for mathematics education, flashback
to the future, ZDM, The International Journal on Mathematics Education, 42(7), 667-
681.
Trouche, L. & Drijvers (2014). Webbing and orchestration. Two interrelated views on digital
tools in mathematics education. Teaching Mathematics and Its Applications, 33, 193-
209. doi: 10.1093/teamat/hru014.
Trouche, L., Gueudet, G., & Pepin, B. (2018). Documentational approach to didactics. In S.
Lerman (Ed.), Encyclopedia of Mathematics Education. N.Y.: Springer.
doi:10.1007/978-3-319-77487-9_100011-1
Trouche, L., Gitirana, V., Miyakawa, T., Pepin, B., & Wang, C. (2019). Studying mathematics
teachers interactions with curriculum materials through different lenses: towards a
deeper understanding of the processes at stake. International Journal of Educational
Research 93, 53-67, retreived on February 21st at
https://doi.org/10.1016/j.ijer.2018.09.002
Trgalová, J. & Jahn, A. P. (2013). Quality issue in the design and use of resources by
mathematics teachers. ZDM Mathematics Education. 45, 973-986.
Thurston, W. (1994). On a proof and progress in mathematics. Bulletin of the American
Mathematical Society. 30, 2.
Vergnaud. G. (1990). La théorie des champs conceptuels. Récherches en Didactique des
Mathématiques, 10 (23): 133-170.
Vergnaud, G. (1998). Towards A Cognitive Theory of Practice. En A. Sierpinska & J.
Kilpatrick (Eds.), Mathematics Education as a Research Domain: A Search for Identity:
An ICMI Study Book 1. An ICMI Study Book 2 (pp. 227–240). doi: 10.1007/978-94-011-
5470-3_15
Vergnaud, G. (2013). Pourquoi la théorie des champs conceptuels? Infancia y Aprendizaje, 36,
2, 131-161. doi: 10.1174/021037013806196283
Vigotsky, L. (1985). Pensée et Langage. Paris : Editions Sociales.
354
Vollstedt, M. (2015). To See the Wood for the Trees:The Development of Theory from
Empirical Interview Data Using Grounded Theory. In Bikner-Ahsbahs, A; Knipping, C.
& Presmeg, N. (Eds.), Approaches to Qualitative Research in Mathematics Education.
Examples of Methodology and Methods. Dordrecht: Springer.
Wang, C. (2018). An exploration of Documentation Expertise through a collective lesson
preparation: A Chinese case of two mathematics teachers. In Gitirana, V., Miyakawa, T.,
Rafalska, M., Soury-Lavergne, S., & Trouche, L. (Eds.) (2018). Proceedings of the
Re(s)sources 2018 international conference. ENS de Lyon.
Wenger, E. (1998). Communities of practice: learning, meaning, and identity. Cambridge
University Press.
Wertchs, J. (1993). Voces de la mente. Madrid: Visor distribuciones.
Witzke, I., Struve, H., Clark, K. & Stoffels, G. (2016). ÜberPro – A seminar constructed to
confront the transition problem from school to university mathematics, based on
epistemological and historical ideas of mathematics. Journal of Educational Research,
2nd Thematic Issue, 66-93.
355
ANEXOS
356
ANEXO A. CUESTIONARIO C1
Datos personales y de contacto
Fecha__________________________
Nombre _________________________________________ Edad ________ Sexo ________
E-mail _____________________________________________________________
Teléfono ______________________ Celular __________________
Experiencia profesional
Nombre de la Escuela donde labora actualmente:______________________________
Años laborados en la escuela actual ________
Años de experiencia docente (considere toda su trayectoria) ________
Grados a cargo actualmente (marque con una x):
1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 ( ) Otros ( ) ¿Cuáles? _____________
Cantidad de estudiantes a cargo: _________
Asignaturas que tiene a cargo: Solo matemáticas ( ) Todas ( ) Algunas ( )
En caso de que sean algunas asignaturas, ¿cuáles son? ________________________________
Grupos/equipos/comités en las que usted participa en su escuela:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Considera que en su escuela se hace un trabajo colaborativo entre profesores:
Si ( ) No ( )
Por favor, explique su respuesta:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Formación
Marque con una X sus títulos obtenidos (puede seleccionar varias opciones):
Normalista ( )
Tecnólogo ( ) ___________________________________________________________
Licenciado ( ) ___________________________________________________________
Especialista ( )____________________________________________________________
Magíster ( ) ____________________________________________________________
Otro ( ) ____________________________________________________________
Actualmente está estudiando: S´ ( ) No ( )
Si respondió que Sí, especifique qué estudia:
____________________________________________________________________________
¿Ha realizado cursos, diplomados o capacitaciones sobre el uso de tecnologías digitales para la
enseñanza de las matemáticas? Sí ( ) No ( )
Por favor explique su experiencia con estos cursos o capacitaciones, sí los ha tenido
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
357
Participa en algún tipo de red/grupo/foro en modalidad virtual (e.g. grupos en Facebook) en el
cual se discutan, comenten o compartan aspectos relacionados con la enseñanza de las
matemáticas? Sí ( ) No ( )
Por favor, explique su experiencia con estas redes, grupos o foros, si ha participado en ellos:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
¿Ha realizado cursos virtuales? Si ( )_ No ( )
Por favor explique su experiencia con cursos virtuales (de cualquier temática), sí los ha tenido.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Enseñanza de la geometría
¿Enseña geometría a sus estudiantes? Sí ( ) No ( )
Indique el número de horas a la semana que corresponden a la clase de geometría ________
Uso básico de tecnologías digitales
¿Tiene computador personal en casa? Si____ No____
¿Tiene acceso a Internet en casa? Si____ No ____
¿Con qué frecuencia usa el computador? Mucho ____ A veces _____ Nunca ____
Califique de 1 a 5, siendo 5 la máxima calificación, su competencia para el uso del
computador. Por favor considere funciones como: uso de correo electrónico, procesadores de
texto, editores de dispositivas, video-llamadas, etc. Su calificación ______________
Justifique
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
¿Tiene acceso a un computador con internet en su escuela? Si____ No____
¿Usa tecnologías digitales en su escuela? Si____ No____
Por favor explique los usos que hace de tecnologías digitales en su escuela:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Observaciones
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
358
ANEXO B. CUESTIONARIO C2
De antemano agradecemos su colaboración. Si requiere más espacio para contestar por favor
use el otro lado de la hoja (no olvide indicar el número de pregunta):
1. Nombre: ______________________________________________________________
2. ¿Cree que es importante integrar tecnologías digitales a la enseñanza en primaria?
Explique su respuesta
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
3. ¿Qué apoyos cree usted que necesita para usar tecnologías digitales en la enseñanza de
las matemáticas?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
4. ¿Usted participa o ha participado en algún equipo o grupo de trabajo (en su escuela o
fuera de ella) en el cual se discutan o se planeen acciones en relación con la enseñanza de las
matemáticas? Si su respuesta es afirmativa, por favor describa las actividades de dicho grupo.
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
5. ¿Qué fortalezas considera que tiene usted como profesor(a) para integrar tecnologías
digitales a la enseñanza?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
6. ¿Qué debilidades considera que tiene usted para integrar tecnologías digitales en la
enseñanza de las matemáticas?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
7. Por favor describa el ambiente de trabajo entre docentes de su escuela en relación con
la enseñanza. ¿Existe grupos de trabajo? ¿Hacen reuniones? ¿Llegan a algún tipo de acuerdos?
¿Se apoyan de alguna manera? ¿Existe trabajo colaborativo?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
8. ¿Qué lugar ocupa la enseñanza de la geometría en el Plan de Área de Matemáticas en
su escuela?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
9. ¿Cómo son sus clases de geometría? Por favor describa la dinámica de trabajo en su
clase, si lo prefiere presente un ejemplo.
359
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
10. Mencione recursos, manipulativos o materiales que sus estudiantes utilicen como parte
de su clase de geometría. ¿Para qué los usan? ¿Cómo los usan?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
11. ¿Qué tipo de actividades, trabajos, situaciones o tareas les propone ud. a sus
estudiantes en sus clases de geometría?
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
12. ¿Ha usado recursos digitales en sus clases de geometría? Si si respuesta es afirmativa,
por favor, describa su experiencia
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Observaciones adicionales:
360
ANEXO C. EJEMPLO DE PROTOCOLO DE
ENTREVISTA A PROFESOR
Ejemplo de protocolo de entrevista (de la Segunda Fase) después de las clases
observadas No. 2 y 3.
Código de la entrevista: EM2-SR
Tipo de entrevista: semi-estructurada
Duración: 30 minutos
Número consecutivo: 5 (post-clase observada número dos).
Objetivo: Recolectar datos sobre los recursos digitales que el profesor usa para
planear sus clases regulares de geometría en quinto grado.
Introducción: En la entrevista pasada usted nos mostraba algunos de los recursos
que tiene en cuenta para planear sus clases de geometría, también nos comentaba
que en ocasiones hace “búsquedas en Internet”, me gustaría que hoy
profundizáramos más sobre ese tema:
No. Preguntas Objetivo de la pregunta
(Datos que se esperan recabar)
1 Respecto a esas consultas, que usted me
comenta que hace Internet para preparar sus
clases de geometría ¿Desde hace cuánto
tiempo usted las realiza?
Determinar desde hace cuánto el
profesor usa Internet para su
selección de recursos para la clase.
2 ¿Por qué lo hace? ¿Para qué? Indagar las intenciones y
justificaciones del profesor sobre
éstas búsquedas.
3 ¿Qué tan frecuentemente hace este tipo de
consultas?
Indagar la frecuencia con la que el
profesor hace búsquedas de
recursos por Internet.
4 ¿Hace estas consultas para preparar cada clase
de geometría o en casos específicos?
Identificar en qué casos el profesor
hace estas búsquedas.
5 ¿Dónde realiza estas consultas? ¿aquí en la
escuela, en casa o en otro lugar?
Caracterizar el proceso de búsqueda
de Miguel.
6 ¿Qué tipo de recursos o de información espera
encontrar en estas páginas web?
Indagar sobre qué expectativas
respecto a los recursos tiene
Miguel.
7 Podría darme ejemplos de qué tipo de páginas
web consulta.
Identificar los repositorios o sitios a
los que miguel accede para realizar
su selección de recursos.
361
8 Me podría mostrar (en la computadora) cuáles
son esas páginas web que usa para planear sus
clase de geometría?
Identificar los repositorios o sitios a
los que Miguel accede para realizar
su selección de recursos
Y
Caracterizar el proceso de búsqueda
de Miguel
9 Explíqueme, ¿qué hace usted en estas páginas
web? ¿cómo las usa?
10 ¿Siente que estas consultas en Internet le son
útiles? ¿Por qué? ¿De qué manera?
Indagar sobre qué expectativas
respecto a los recursos tiene
Miguel.
11 Me podría mostrar un ejemplo de recurso que
haya tomado de alguna página web para su
clase.
Caracterizar el proceso de búsqueda
de Miguel.
12 ¿Tiene algún repositorio o página Web que sea
su favorita para sus clases de geometría? ¿Me
la muestra? ¿Por qué le gusta?
Identificar los repositorios o sitios a
los que Miguel accede para realizar
su selección de recursos
13 Para su próxima clase, piensa consultar alguna
página Web o repositorio? ¿Cuál?
Indagar sobre qué expectativas
respecto a los recursos tiene
Miguel.
14 ¿Podría realizar una consulta mientras yo le
observo y le hago preguntas?
Caracterizar el proceso de búsqueda
de Miguel
15 ¿Usa otras páginas Web? De otro tipo por
ejemplo, o para otra cosa.
Indagar sobre qué expectativas
respecto a los recursos tiene
Miguel.
16 ¿Desea comentarnos algo más o tiene alguna
pregunta?
Caracterizar el proceso de búsqueda
de Miguel.
Fin de la entrevista.
362
ANEXO D. EJEMPLO DE PROTOCOLO DE
ENTREVISTA A DIRECTOR DE ESCUELA
Ejemplo de protocolo de entrevista (de la Segunda Fase) a director(a) de escuela.
Código de la entrevista: ED1
Tipo de entrevista: semi-estructurada
Duración: 60 minutos
Objetivo: Recolectar datos sobre el perfil de la escuela, los recursos disponibles, los
maestros, el perfil profesional de éstos y sus oportunidades de desarrollo profesional
Introducción: Saludo, agradecimiento, breve explicación del contenido de la
entrevista y de los temas a tratar.
Tema Preguntas
Perfil general de la escuela
¿Qué niveles atiende esta escuela?
¿Cómo están organizados los grupos?
¿Cuántos alumnos atiende esta escuela?
¿Cuántos alumnos son, más o menos, por grupo?
¿Cuál es el nivel socio-económico de los estudiantes?
¿Qué actividades de la escuela se desarrollan usando
tecnologías digitales?
¿Los maestros usan tecnologías digitales? ¿Cómo lo hacen?
¿La escuela tiene página web, redes sociales?
Perfil general de los profesores ¿Cuántos docentes laboran en esta institución?
¿Cuántos años de servicio tiene cada maestro?
¿Cuál es perfil académico de cada docente?
¿Cuántos profesores ingresaron al magisterio por concurso?
¿Cómo les va en las evaluaciones de desempeño a los maestros
de esta escuela?
¿Qué comisiones desempeñan los docentes además de la
atención a los grupos?
¿Hay alguna comisión relacionada con tecnologías digitales?
¿Qué maestros participan en esta comisión?
¿Qué temas se tocan en esta comisión?
Plan de estudios
Tiene esta escuela algún tipo de ideas o valores educativos o una
misión que sean particulares de la escuela?
En esta escuela, ¿se ha elaborado el PEI (Proyecto Educativo
363
Institucional)?
¿Quiénes elaboran la Planeación Institucional de la escuela?
¿Se han elaborado los planes de área?
¿Cuáles son algunos de los puntos más importantes del plan de área
de matemáticas?
¿Qué problemas se presentan con la aplicación del plan de área de
matemáticas?
¿El plan de área contiene geometría?
¿Se desarrolla algún tipo de proyecto o trabajo para la enseñanza
de la geometría?
Recursos disponibles
¿Cuenta esta escuela con servicio de energía eléctrica?
¿Con servicio de Internet?
¿Qué tipo de biblioteca y de otros recursos hay para los
estudiantes?
¿Qué ambientes, materiales y/o equipos tienen disponibles los
maestros?
¿Qué recursos tecnológicos tiene disponibles los profesores?
¿Cómo usan las tecnologías digitales en esta escuela para apoyar a
la enseñanza y el aprendizaje?
¿Con qué personal de apoyo cuenta el centro educativo?
Trabajo de los maestros
¿Que oportunidades de desarrollo profesional tienen los maestros?
¿De qué manera participan los docentes en los cursos de formación
continua?
¿Tienen acceso a los materiales que les proporciona el MEN?
¿Cómo colaboran los maestros entre ellos?
Se reúnen los maestros discutir temas educativos?
¿Han discutido algo sobre el uso de tecnologías digitales?
¿Han discutido algo sobre la enseñanza de las matemáticas?
¿Con que periodicidad convoca usted a reuniones del consejo
académico?
¿Quienes participan?
¿Qué temas tocan en estas reuniones?
Preguntas o comentarios adicionales:
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________
Fin de la entrevista
364
ANEXO E. EJEMPLO DE PROTOCOLO DE
OBSERVACIÓN DE PLANEACIÓN DE
CLASE
Fecha: _________________
Profesor observado: ____________________________________________________
Planeación de clase observada (del profesor) No.: ____________________
Tiempo de observación: _________________________________________________
Tema de la clase: ______________________________________________________
Contexto general de la planeación de clases hecha por el profesor:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Propósito de la clase declarado por el profesor:
_______________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Recursos tomados en cuenta por el profesor para realizar su planeación:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Hora Descripción de lo que pasó en la planeación Comentarios, notas e interpretaciones
de la observadora
Comentarios finales:___________________________________________________
365
ANEXO F. EJEMPLO PROTOCOLO DE
OBSERVACIÓN DE CLASE
Fecha: _________________
Profesor observado: _________________________________________________
Clase observada (del profesor) No.: ____________________
Tiempo de observación: ______________________________________________
Hora Descripción de lo que pasó en la clase Comentarios, notas e interpretaciones
de la observadora
Clase observada y contexto:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Propósito de la clase declarado por el profesor:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Recursos usados por el profesor en la clase:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
366
Descripción de la disposición de los recursos usados en la clase:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Descripción de la organización de la clase:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Reglas de la clase:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Tipos de interacción profesor-recursos-alumnos:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Resumen de las estrategias didácticas usadas por el profesor:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Resumen de la gestión didáctica del profesor:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Comentarios finales:
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
367
ANEXO G. PALABRAS-CÓDIGO
Tabla Anexo G.5. Palabras-código utilizadas en el análisis de los datos
Categorías Sub-categorías Palabras-código para analizar los datos
Selección de
recursos digitales
para la clase
Criterios de selección
de recursos para
enseñar geometría
Razones, explicaciones, argumentos, conocimientos,
decisiones, selecciones, ETM personal del profesor,
paradigma geométrico, geometría elemental, geometría
axiomática natural, ergonómico, cognitivo, curricular,
geométrico.
Rutas-recorridas por el
profesor en su proceso
de selección
Huellas, actividades, caminos, pasos, pensamientos,
sentimientos, expectativas, reflexión, recuerdos,
introspección, discusiones, creencias.
Usos de los
recursos digitales
Recursos para enseñar
geometría
Libros de texto, guías, talleres, hojas de trabajo, materiales
manipulativos, software, videos, canciones, juegos,
computadores, tabletas, applets, internet, dispositivos,
situaciones, actividades, tareas.
Recursos para
planificar la enseñanza
de la geometría
Planes de clase, diarios de campo de los profesores,
recursos curriculares, cuadernos de estudiantes de años
anteriores, recursos diseñados o adaptados por el profesor,
recursos compartidos por otros colegas.
Orquestación y ETM
adecuados propuestos
por los profesores
Configuración didáctica, organización de la participación de
los estudiantes, disposición de los recursos, clase en acto,
conducción, gestión de la clase, ambiente de la clase,
actividades, situaciones propuestas en la clase, ETM
adecuado del profesor, paradigma geométrico
Sistema de
recursos del
profesor
Recursos disponibles
para la clase de
geometría
Materiales que ha usado el profesor previamente, recursos
que ha conocido en encuentros con maestros, manipulativos,
talleres, guías, búsqueda de nuevos recursos.
Organización de los
recursos disponibles
Criterios de organización de los recursos, recursos-madre,
recursos-hijos, jerarquía, niveles, clasificación de los
recursos según sus usos.
Calidad de los recursos Condiciones básicas de los recursos para usarse en clase,
acceso a recursos de calidad, recursos recomendados por
otros colegas o formadores.
Aspectos del
trabajo
documental del
profesor
Trabajo colaborativo Actas de reuniones de profesores, planes de área, comités de
trabajo, grupos, redes sociales, asistencia a eventos
académicos.
Actividades del trabajo
documental
Preparación de clases, parcelación, discusión con los colegas,
reportes, revisión, difusión de experiencias, compartir con
otros colegas.
Conocimientos sobre
cómo usar los recursos
Esquemas de utilización, invariantes operatorias,
conocimiento-en-acto, teorema-en-acto, maneras de usar el
recurso, potencialidades del recurso, limitaciones del recurso,
ETM personal del profesor, ETM de referencia.
368
ANEXO H. HOJAS DE TRABAJO DE LAURA
TALLER DE GEOMETRÍA
Nombre: _____________________________________________________ Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
369
Actividad 4
Actividad 5
Actividad 6
370
ANEXO I. PROYECTO DE AULA
“LA CASA DE MIS SUEÑOS”
Proyecto de aula diseñado y asesorado por la M. en C. Myriam Vásquez Vásquez.
Yumbo, 2012.
(Documento proporcionado por el profesor Pedro). Justificación El diseño de un plano arquitectónico y su correspondiente modelación en una maqueta exige desde el
punto de vista disciplinar, una aproximación a la relación número y la medida, en particular;
comprender el problema de la escala y el concepto de razón aritmética para guardar las proporciones de
las medidas representadas en contraste con las dimensiones del tamaño real de una casa. En el marco
del desarrollo de esta actividad entonces tanto profesores como alumnos enfrentaran la necesidad de
abordar la conversión de medidas de longitud en el campo de los números enteros y decimales,
relación área, superficie y perímetro, dominio y destreza del manejo de instrumentos de medida que
posibiliten una precisión de los trazos de las medidas estimadas, una comprensión espacial y
geométrica de las superficies representadas en el plano y la maqueta; conocimientos que en su mayoría
implican conocimientos geométricos derivados de la geometría plana a la geometría tridimensional. El
diseño de planos y maquetas al imponer una escala, necesariamente remite al estudio de una razón de
semejanza.
Entendiendo la complejidad de la actividad desde un punto de vista cognitivo, se iniciará en un primer
momento con el desarrollo de una competencia a movilizar como lo es la lectura e interpretación de
planos de casas de 1 y 2 pisos, para así posteriormente trazar el plano y reproducir la maqueta de la
casa a modelizar.
Otra condición indispensable para la participación y consecución de los propósitos formativos del
proyecto, es la consecución de los instrumentos y materiales requeridos clase a clase, para que cada
subgrupo pueda adelantar y progresar en la actividad propuesta.
PROPÓSITO
- Diseñar el plano y la maqueta de una casa de un piso conservando las exigencias matemáticas
y técnicas con el mayor rigor posible, de tal forma que los niños y niñas interrelacionen los
objetos de conocimiento numérico, geométrico y espacial puesto en juego en la modelación de
un diseño arquitectónico.
ACTIVIDAD No. 1: Lectura e interpretación de planos
Tiempo: 4 semanas
Los planos son representaciones gráficas que indican o marcan ubicaciones, desde una ciudad hasta
una casa. Su realización, junto a la de los mapas, es uno de los objetivos de la Cartografía. El plano se
diferencia del mapa en que para elaborarlo no es necesario realizar una proyección. Esto es, el
procedimiento matemático empleado para representar una superficie curva en una plana. Cada plano
debe llevar una escala y unos símbolos. La escala expresa el número de veces que un elemento ha sido
reducido para representarlo en el plano. Los símbolos nos indican los lugares representados. Estos
símbolos se llaman signos convencionales porque son aceptados por todas las personas y significan
siempre lo mismo (Apartado tomado de http://mateberri3.jimdo.com/).
371
Ejemplo:
Esta primera actividad implica acercar a los estudiantes a la lectura e interpretación de un plano de tal
forma que los niños y niñas logren capturar el sentido y la significación de los símbolos y
convenciones de los planos arquitectónicos: como los arcos de 90° que representan puertas, líneas
cruzadas para patios, rectángulos para camas y mobiliario, ventanas, etc. El plano anterior u otro
tomado como modelo debe ser fotocopiado y entregado a cada niño, el cual posteriormente con colores
de diferente tonalidad debe identificar símbolos y convenciones de los trazos en el plano. Esta
actividad implica un acompañamiento constante del profesor que debe tener proyectado a gran escala
en el tablero el plano leer e interpretar.
Esta actividad debe ser complementada ingresando a la siguiente página web y/o utilizando una revista
de propiedad raíz donde se describen las características básicas constructivas de una vivienda: área
total, área construida, área privada, área común, etc. (ver anexo No. 1 al final de la guía también).
http://construyehogar.com/uncategorized/diseno-y-planos-de-casas-de-dos-pisos-con-ideas-para-
construccion/;
Por último, será importante de ser posible que los niños y niñas que tengan acceso al plano de sus
viviendas hagan una reducción del mismo y lo presenten por subgrupos exhibiendo competencias de
lectura e interpretación del plano tomado de referencia.
ACTIVIDAD No. 2: Trazo del plano de una casa de un piso
Tiempo: 4 semanas
Una vez el niño captura la potencialidad de las representaciones a escala como los planos
arquitectónicos, se plantea la tarea de trazar el plano de una casa de un piso. Las condiciones del trazo
del plano implican tomar en consideración una escala de 1:30 cuyas dimensiones de la superficie
rectangular son 6 m de ancho y 12 m de largo. Se usa para esta actividad dos hojas de papel
milimetrado, las cuales se anexan en una relación 1 2/3.
Es importante que los niños y niñas tomen en consideración la dimensión del papel milimetrado ya
adjunto para así posteriormente delimitar la superficie del área total y el área a construir.
Los estudiantes deben usar escuadras, reglas y compas para realizar los diversos trazos. El plano a
trazar debe estar proyectado en el tablero para ser tomado como referencia. El trabajo constante del
maestro es verificar si los trazos conservan las medidas del plano original y las dimensiones de los
372
diversos espacios interiores delimitados, así como las convenciones y símbolos acordados previamente
a los trazos a realizar.
Como la actividad fundamental es reproducir un plano a escala, previo a cualquier trazo debe hacerse
una lectura e interpretación del plano de la casa concebido para la realización de la maqueta. Cada niño
y niña del subgrupo debe trazar su propio plano para valorar aspectos como precisión en los trazos,
aproximación, manejo de instrumentos, uso de símbolos y convenciones (ver Guía para Maquetas y
Planos).
ACTIVIDAD No. 3: Construcción de la maqueta de la casa de un piso
Tiempo: 5 s
Sobre una base de triplex o cartón cartulina estándar de 50 x 50 cm se empiezan a realizar las
actividades de alzada a tres dimensiones de los espacios representados en el plano. Se debe anticipar
previo a la actividad constructiva todos los materiales e instrumentos necesarios para el levantamiento
de las paredes y demás detalles constructivos que permitan tomar en consideración sus características
tridimensionales a la escala representada en el plano: grosor de las paredes, puertas, ventanas, y
concepción del techo que sea movible para poder observar la distribución de los espacios el día de la
socialización y presentación de las maquetas. Se deja a libertad del grupo de estudiantes agregar
detalles como árboles, mobiliario y materiales que enriquezcan de manera estética la presentación de la
maqueta. Si el subgrupo propone diseños alternativos para la construcción de la casa deben hacerse
estas modificaciones sobre el plano, conservando las dimensiones del área total de 6m x 12 m.
El cierre del proyecto implica la organización de una jornada de socialización al colectivo de
estudiantes de la escuela donde cada subgrupo sustente los aprendizajes logrados en el trazo del plano
y la construcción de la maqueta.
Diseño de apartamento pequeño de 29 metros cuadrados Vamos a ver los planos y el diseño de interiores de un departamento pequeño de solo 29 metros
cuadrados, en el primer piso se ubicó la zona social como la sala y la cocina -comedor, en el entrepiso
un dormitorio; el departamento está construido sobre terreno casi cuadrado y se maximizó cada
centímetro de espacio disponible.
Puedes guiarte en la remodelación o autoconstrucción de tu departamento, siguiendo los parámetros
de diseño de este modelo.
Plano del primer piso del mini departamento:
En la pequeña área rectangular de solo 29 metros cuadrados se tuvo que maximizar los espacios y
aprovechar la altura para crear un entrepiso donde se colocó el dormitorio (en el plano lo podemos ver
entre las líneas punteadas del número 1), el primer piso se ubicaron los servicios y el área social.
1. Pasadizo del ingreso principal (en la pared está el walking closet)
2. Sala
3. Cocina
4. Cuarto de baño
5. Dormitorio (ver segundo plano)
373
El mini departamento es casi cuadrado, el acceso principal lo vemos en la parte superior izquierda
Plano del segundo piso del mini departamento
El dormitorio se ubica en el mezanine o entrepiso, la altura de este espacio es de sólo 1.80, está debajo
del promedio óptimo de 2.20 o 2.40 de altura que debería tener, sin embargo es una solución cuando la
altura total del espacio a diseñar es de 3.70 y el área total es muy pequeña.
La zona del primer piso que queda más bajo es el pasadizo y la mitad del cuarto de baño, el resto del
primer piso tiene una gran altura.
En el mezanine o entrepiso sólo se diseñó el dormitorio (número 5)
Diseño de interiores del pequeño departamento en fotos
En el todo el pequeño departamento se empleó la madera rústica en los pisos (el diseño se basó en un
local antiguo), las paredes fueron pintadas de un color claro, para “bajar” un poco la altura del piso del
primer nivel y mejorar la iluminación se bajaron las luminarias a una escala adecuada, las líneas de
diseño son minimalistas.
374
Podemos ver el perfil de la pequeña escalera de madera y parte del diseño de la cocina
Diseño del kitchenet del pequeño apartamento
Los diseñadores de esta pequeña cocina emplearon el color blanco en las paredes que como sabemos
otorgan amplitud a los espacios, sin embargo le aplicaron el color negro a un muro que junto con las
sillas y las lámparas colgantes la hacen ver moderna, esta es la forma correcta de diseñar en espacios
muy reducidos.
Diseño de moderna y económica cocina bien iluminada a través de lámparas colgadas
(http://construyehogar.com/planos/diseno-de-departamento-pequeno-de-29-metros-cuadrados-
planos-y-fotos/)