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CERCLESCERCLES DE FORD ARBRE DE STERN-BROCOT
SUITES DE FAREY
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CHRONOLOGIE John Farey, géologue anglais, conjecture en 1816, sur les
fractions ordinaires Démonstration la meme année par Augustin Cauchy Magnifique illustration géométrique en 1938 par Lester
Ford (mathématicien américain) Représentation des rationnels par un arbre infini :
indépendamment par le mathématicien allemand Moriz Stern (1858) et l’horloger français Achille Brocot (1860)
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DEFINITIONDEFINITIONCe sont toutes les fractions irréductibles
Entre 0 et 1
ayant un dénominateur inférieur ou égal
à n et classées par ordre croissant
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Si a / b et a' / b'sont deux termes CONSECUTIFS
d'une suite de Farey
alorsba' - ab' = 1
INSERTION
Dans la suite de Farey, en prenant trois fractions consécutives : p/q < p’/q’ < p’’/q’’ le terme médian est donné par:
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Cercles de Ford
(fractal)
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Tangence des cercles
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d : distance en rouget = r + Rd² = ( X - x )² + ( Y - y )²t = y + Yd² = X² - 2Xx + x² + Y² - 2Yy + y²t² = y² + 2 yY + Y²d² - t² = ( X - x )² - 4Yy= ( P/Q - p/q )² - 4 (1/2Q² . 1/2q² )= ( (Pq - pQ)/qQ )² - (1/qQ )²= ( ( Pq - pQ )² - 1 ) /q²Q²
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POINTS DE TANGENCE
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EN DIMENSION 3
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ARBRE DE STERN-BROCOT
ARBRE DE STERN-BROCOTARBRE DE STERN-BROCOT
Fait extraordinaire : tous les rationnelsfigurent dans l’arbre, une et une seule fois, et sous
forme irréductibleEnsembles de Farey : sous-arbres
Chaque rationnel y apparaît une seule fois, en écriture irréductible
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GENERATIONS 0/1 < 1/0 0/1 < 1/1 < 1/0 0/1 < 1/2 <1/1 < 2/1 < 1/0 0/1 <1/3< 1/2 <2/3<1/1<3/2 < 2/1<3/1 < 1/ 0 0/1 <1/4<1/3<2/5< 1/2<3/5 <2/3<3/4<1/1<4/3<3/2 <5/3< 2/1<5/2<<3/1 < 4/1<1/0 0/1<1/5< <1/4<2/7<<1/3<3/8<2/5<3/7< 1/2<4/7<3/5 <5/8<<2/3<5/7<3/4<4/5<1/1 2/3<7/10<5/7<8/11<3/4< 7/9<4/5<5/6<1/1 2/3< 9/13<7/10<12/17<5/7<13/18<8/11<11/15<3/4< 10/13<7/9<11/14<4/5<9/11<5/6< 6/7<1/1 3/4<13/17< 10/13< 17/22<7/9<18/23<11/14<15/19<4/5 3/4<16/21<13/17<23/30< 10/13<27/35< 17/22<24/31<7/9<25/32<18/23<29/37<11/14
27/35 : 1/1 - 1/2 - 2/3 - 3/4 - 4/5 - 7/9 – 10/13 – 17/22 – 27/35
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PROPRIETESPROPRIETES1)Si m/n < m’/n’ sont consécutives dans l’arbre (i.e. dans une génération) alors m’n –mn’ = 1 (*)Preuve par récurrence : on vérifie que pour le nouvel élément (m+m’)(/n+n’), on a encore (cf
déterminants liés) : (m+m’)n – m(n+n’) =1 = m’(n+n’)-(m+m’)n’2)Conséquence : fractions irréductibles (Bezout)3)Si m/n < m’/n’ alors m/n < (m+m’)(/n+n’) < m’/n’ : la construction de l’arbre préserve l’ordre donc chaque fraction apparaît au plus une fois4)Chaque fraction est présente dans l’arbre : tant que a/b n’est pas apparue, on considère ses 2 plus proches voisins m/n < m’/n’ vérifiant donc (*)Puisque m/n < a/b < m’/n’ , on a : an-bm > 0 et m’b –an’ > 0 soit encore puisqu’ils sont entiers an-bm 1 et m’b –an’ 1;De (*), on déduit : a+b = (m’+n’) (an-bm) + (m+n) (m’b –an’ ) m+n + m’+n’ ,Ce qui ne sera plus vrai à partir d’un certain rang puisque m+n + m’+n’Croit strictement au fil des générations.
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CODAGE Prenons par exemple 27/35, selon ce principe, elle se code sous la forme GDDDGGDG (G pour gauche et D pour droite). Or on peut vérifier que 1' on a :
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Ensemble de MANDELBROT
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Ampoule de période 3
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Ampoule de période 9
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Ampoules 2/5 et 3/7
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ADDITION DE FAREY
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