수치해석수치해석Numerical AnalysisNumerical Analysis
161009161009
Ch1. Mathematical Ch1. Mathematical Modeling,Modeling,Ch1. Mathematical Ch1. Mathematical Modeling,Modeling,Numerical Methods,Numerical Methods,and Problem Solvingand Problem Solving
단순한 수학적 모델
• 수학적수학적수학적수학적 모델모델모델모델: : : : 어떤어떤어떤어떤 물리적물리적물리적물리적 시스템이나시스템이나시스템이나시스템이나 과정의과정의과정의과정의 중요한중요한중요한중요한 특징특징특징특징을을을을 수학적수학적수학적수학적 용어로용어로용어로용어로 표현한표현한표현한표현한 공식공식공식공식 또는또는또는또는 방정식방정식방정식방정식
종속변수종속변수종속변수종속변수 = = = = f f f f ((((독립변수독립변수독립변수독립변수, , , , 매개변수매개변수매개변수매개변수, , , , 강제함수강제함수강제함수강제함수))))
• 종속변수종속변수종속변수종속변수(Dependant variable): (Dependant variable): (Dependant variable): (Dependant variable): 시스템의시스템의시스템의시스템의 거동이나거동이나거동이나거동이나 상태를상태를상태를상태를 반영하는반영하는반영하는반영하는
특성특성특성특성
Numerical AnalysisNumerical Analysis 22
특성특성특성특성
• 독립변수독립변수독립변수독립변수(Independent variable): (Independent variable): (Independent variable): (Independent variable): 시스템의시스템의시스템의시스템의 거동을거동을거동을거동을 결정짓는결정짓는결정짓는결정짓는 차원차원차원차원
(eg. (eg. (eg. (eg. 공간공간공간공간, , , , 시간시간시간시간 등등등등) ) ) )
• 매개변수매개변수매개변수매개변수(Parameter): (Parameter): (Parameter): (Parameter): 시스템의시스템의시스템의시스템의 성질이나성질이나성질이나성질이나 구성구성구성구성
• 강제함수강제함수강제함수강제함수(Forcing function): (Forcing function): (Forcing function): (Forcing function): 시스템에시스템에시스템에시스템에 작용하는작용하는작용하는작용하는 외부의외부의외부의외부의 영향영향영향영향
예제) 수학적 모델
• 번지점프하는번지점프하는번지점프하는번지점프하는 사람에사람에사람에사람에 대한대한대한대한 운동방정식운동방정식운동방정식운동방정식
(Newton(Newton(Newton(Newton의의의의 제제제제2222법칙법칙법칙법칙))))
2vm
cg
dt
dv d−=
Numerical AnalysisNumerical Analysis 33
여기서여기서여기서여기서 v = 속도속도속도속도 (m/s)
t = 시간시간시간시간 (s)
g = 중력중력중력중력 가속도가속도가속도가속도 (≅≅≅≅ 9.81m/s2)
cd = 항력계수항력계수항력계수항력계수 (kg/m)
m = 사람의사람의사람의사람의 질량질량질량질량 (kg)
예제) 수학적 모델
– NewtonNewtonNewtonNewton의의의의 제제제제2222법칙법칙법칙법칙
매개변수
강제함수종속변수
←
←=→m
Fa
m
vcmg
m
FF
m
F
dt
dva dUD
2−=
+===
Fu (-)
=
Numerical AnalysisNumerical Analysis 44
• 여기서여기서여기서여기서FFFFDDDD = = = = 하향하향하향하향 중력중력중력중력
FFFFUUUU = = = = 상향상향상향상향 공기공기공기공기 저항력저항력저항력저항력
∴∴∴∴ 2vm
cg
dt
dv d−=
FD (+)
=
ma
예제) 수학적 모델의 해 (엄밀해 exact solution)
– 만약만약만약만약 t t t t = 0 = 0 = 0 = 0 에서에서에서에서 v v v v = 0= 0= 0= 0이면이면이면이면, , , ,
• 독립변수독립변수독립변수독립변수 ←←←← tttt
• 종속변수종속변수종속변수종속변수 ←←←← vvvv((((tttt))))
= t
m
gc
c
gmtv d
d
tanh)(
Numerical AnalysisNumerical Analysis 55
• 종속변수종속변수종속변수종속변수 ←←←← vvvv((((tttt))))
• 매개변수매개변수매개변수매개변수 ←←←← ccccdddd, , , , mmmm
• 강제함수강제함수강제함수강제함수 ←←←← gggg
예제) 수학적 모델의 해 (수치해 numerical sol.)
• 수치해법수치해법수치해법수치해법
산술연산을산술연산을산술연산을산술연산을 통해통해통해통해 해를해를해를해를 구할구할구할구할 수수수수 있도록있도록있도록있도록 수학문제를수학문제를수학문제를수학문제를 재구성한다재구성한다재구성한다재구성한다....
- 미분을미분을미분을미분을 극한으로극한으로극한으로극한으로 표시하면표시하면표시하면표시하면
t
v
dt
dv
t ∆
∆=
→∆ 0lim
Numerical AnalysisNumerical Analysis 66
---- 도함수를도함수를도함수를도함수를 유한유한유한유한 차분으로차분으로차분으로차분으로 근사하면근사하면근사하면근사하면,,,,
)()()( 2
1
1i
d
ii
ii tvm
cg
tt
tvtv
t
v
dt
dv−=
−
−=
∆
∆≅
+
+
예제) 수학적 모델의 해 (수치해 numerical sol.)
----정리하면정리하면정리하면정리하면,,,,
---- 즉즉즉즉, , , ,
4342144 344 21 t
ii
dt
dv
id
ii tttvm
cgtvtv
i
∆
+
⇒
+ −
−+= )()()()( 1
2
1
Numerical AnalysisNumerical Analysis 77
---- 즉즉즉즉, , , ,
새로운새로운새로운새로운 값값값값 = = = = 이전이전이전이전 값값값값 + + + + 기울기기울기기울기기울기 ×××× 간격크기간격크기간격크기간격크기
((((→→→→ Explicit Euler Explicit Euler Explicit Euler Explicit Euler 방법방법방법방법))))
tdt
dvvv iii ∆+=+1
예제) 결과 비교(엄밀해 vs. 수치해)
Numerical AnalysisNumerical Analysis 88
※※※※ 어떻게어떻게어떻게어떻게 하면하면하면하면 엄밀해와엄밀해와엄밀해와엄밀해와 수치해수치해수치해수치해 사이의사이의사이의사이의 차이를차이를차이를차이를 최소화할최소화할최소화할최소화할 수수수수 있을까있을까있을까있을까?
간격크기를간격크기를간격크기를간격크기를 더더더더 작게작게작게작게, , , , 다른다른다른다른 수치해석수치해석수치해석수치해석 방법방법방법방법 ���� 본본본본 과목의과목의과목의과목의 궁극적궁극적궁극적궁극적 목적목적목적목적
공학과 과학에서의 보존법칙
• 과도과도과도과도((((또는또는또는또는 시변시변시변시변, transient) , transient) , transient) , transient) 해석해석해석해석
– 시간에시간에시간에시간에 따른따른따른따른 변화를변화를변화를변화를 추정함추정함추정함추정함
– 변화량변화량변화량변화량 = = = = 증가량증가량증가량증가량 –––– 감소량감소량감소량감소량
)()( 2 tv
m
cg
dt
tdv d−=
= t
m
gc
c
gmtv d
d
tanh)(
Numerical AnalysisNumerical Analysis 99
• 정상상태정상상태정상상태정상상태 해석해석해석해석
– 변화량변화량변화량변화량 = 0 = = 0 = = 0 = = 0 = 증가량증가량증가량증가량 –––– 감소량감소량감소량감소량
)(0)( 2 tv
m
cg
dt
tdv d−==2vcmg d=
dc
gmv =
Terminal velocity
공학과 과학에서의 보존법칙
• 공학공학공학공학 분야에서분야에서분야에서분야에서 자주자주자주자주 사용되는사용되는사용되는사용되는 장치와장치와장치와장치와 평형평형평형평형((((보존보존보존보존))))
Numerical AnalysisNumerical Analysis 1010
공학과 과학에서의 보존법칙
Numerical AnalysisNumerical Analysis 1111
본 강의에서 다루는 수치해법
Numerical AnalysisNumerical Analysis 1212
본 강의에서 다루는 수치해법
Numerical AnalysisNumerical Analysis 1313