Chap. 13 de Chap. 13 de Howell: Analyse Howell: Analyse
factorielle de factorielle de variance: variance: Principes Principes
d’expérimentatiod’expérimentation n
Plans à groupes Plans à groupes indépendants: indépendants: organisation organisation
Organisation factorielle: Organisation factorielle: 2 variables et plus2 variables et plus
produit cartésien des produit cartésien des niveaux niveaux
Longueur de la liste
Type de mots
Abstraits Concrets 10 mots n11 n12
20 mots n21 n22
30 mots n31 n32
10
20
10
100
10
100
abs.
abs.
abs.
abs.
con.
con.
con.
con.lis
telis
te
Dro
-D
ro-
gu
e
gu
e
mot
mot
Plans factoriels à Plans factoriels à groupes groupes
indépendants: indépendants: notion notion
particulièreparticulière Effet principalEffet principal
Effet d’interactionEffet d’interactionl’effet d’une variable
indépendante n’est pas le même à tous les niveaux de l’autre variable
indépendante
Graphique d’un effet principal
v.d
.
v.i. 1v.i. 2
Graphique d’un effet
d’interaction
v.d
.
v.i. 1v.i. 2
Rappel (1)Rappel (1)
• Laquelle des 2?
• Permutations:assemblement d’objets quand la séquence d’assemblage fait une différence
)!rN(
!NPN
r
• Combinaisons: assemblement d’objets quand la séquenced’assemblage ne fait pas de différence
)!rN(!r
!NCN
r
Limite des plans Limite des plans factoriels: factoriels:
multiplication des multiplication des facteursfacteurs
Si pour 2 facteurs, il y a 1 interaction;
pour 3 facteurs, il y a 4 interactions;
pour 4 facteurs, il y a 11 interactions;
pour 5 facteurs, il y a 26 interactions.
pour X …, …
Rappel (2)Rappel (2)
Au début de tout se trouve la variance,
soit l’éloignement d’une mesure (Xi) par rapport à sa tendance centrale
Rappel (3)Rappel (3)
Cette variance sera décomposée en deux sources de variance,chacune décomposable.
Une nouvelle notation sera utilisée
Analyse Analyse factoriellefactorielle
de variance: de variance: Principes Principes
statistiques (1)statistiques (1)SCSCSC erreurtraitementtotal
SCSCSC traitementtotalerreur
N.B.: traitement s’appelle maintenant cellules dans Howell
Analyse Analyse factorielle factorielle
de variance: de variance: Principes Principes
statistiques (2)statistiques (2)
SCSCSC traitementtotalerreur
2 soustractions
Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:
les sommes de les sommes de carré (1)carré (1)
N
_ XXXXSC
2
2
2
Total
Nn
__
j
XTXXSC22
j
2
traitement
n_
jijT
XXXSC2
j2
2
erreur
Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:
les sommes de les sommes de carré (2)carré (2)
Nn
__
j
XTXXSC22
j
2
traitement
Nnb
__
a
XTXXSC22
a
2
A
Nna
__
b
XTXXSC22
b
2
B
Longueur de la liste
Type de mots
Abstraits Concrets 10 mots n11 n12
20 mots n21 n22
30 mots n31 n32
Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance: de variance:
effet de l’interactioneffet de l’interaction RappelRappel
Interprétation d’une interaction Interprétation d’une interaction significativesignificative
graphique comparaisons multiples calculs d’effet simple d’une variable
indépendante aux niveaux de l’autre variable indépendante
Comparaison des Comparaison des variances:variances:
le rapport Fle rapport F
CMCMF
erreur
traitementkN,1k
où k-1 et N-k sont les dl du rapport F
Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:
des sommes de des sommes de carré carré
aux carrés moyensaux carrés moyens
1kSCCM traitement
traitement
kNSCCM erreur
erreur
Analyse Analyse factoriellefactorielle
de variance: de variance: Principes Principes
statistiques (3) statistiques (3) les degrés de les degrés de
liberté (dl)liberté (dl)
dl ninteractio
1NNtotal
1a dl A
kN dlerreur
1b dlB
b x ak
Analyse Analyse factoriellefactorielle
de variance: de variance: Principes Principes
statistiques (4) statistiques (4) les carrés les carrés
moyens (CM)moyens (CM)chaque carré moyen s’obtient par la division de sa SC par son dl
Le test F est un rapport de variance, soit le carré moyen d’un traitement divisé par le carré moyen d’erreur
1) Formulation de l’hypothèse nulle et de l’hypothèse alternative
2) Sélection d’un test et du seuil alpha
3) Détermination des dl et de la valeur critère
4) Calcul
5) Décision eu égard à l’hypothèse nulle
6) Formulation d’une conclusion
Rappel (4):Rappel (4):les étapes des tests les étapes des tests
statistiquesstatistiques
Un exemple de Un exemple de calculcalcul
I. Lettré, une chercheure de réputation internationale, présente des mots simples de type CVC (ex.: bol) en lettrage conventionnel ou en italique en des temps d’exposition courts et très courts. Elle enregistre le nombre d’erreurs d’identification de mots faites par 20 participants et participantes
Source de variation
SC
dl
CM
F
p
Type de lettrage 1 Temps d’exposition
1
Type de lettrage x Temps d’exposition
1
Erreur 16 Total
Le Tableau d’analyse de varianceLe Tableau d’analyse de variance
Trois hypothèses Trois hypothèses (1)(1)
Hypothèse nulle # 1:Hypothèse nulle # 1: Il n’y aura pas plus d’erreurs dans un type de lettrage que dans l’autre
Hypothèse alternative # 1:Hypothèse alternative # 1:
Hypothèse nulle # 2:Hypothèse nulle # 2: Il y aura autant d’erreurs au temps d’exposition court qu’au temps d’exposition très court
Hypothèse alternative # 2:Hypothèse alternative # 2:
Trois hypothèses Trois hypothèses (2)(2)
Hypothèse nulle # 3:Hypothèse nulle # 3: Il y aura autant d’erreurs dans chacune des quatre conditions du plan factoriel composé par le type de lettrage et la durée du temps d’exposition
Hypothèse alternative # 3:Hypothèse alternative # 3:
Les sommes de Les sommes de carré dans le calcul carré dans le calcul
de l’analyse de de l’analyse de variance:variance:
rappelrappel
N
_ XXXXSC
2
2
2
Total
Nn
__
j
XTXXSC22
j
2
traitement
n_
jijT
XXXSC2
j2
2
erreur
Lettrage normal (A1)
Lettrage Italique (A2)
90 mec (B1)
45 msec (B2)
90 msec (B1)
45 msec (B2)
A1B12
A1B22
A2B12
A2B22
7 5 3 11 49 25 9 121 8 6 4 12 64 36 16 144 9 7 5 13 81 49 25 169 10 8 6 14 100 64 36 196 11 9 7 15 121 81 49 225
45 35 25 65 415 255 135 855
Calcul de l’analyse Calcul de l’analyse de variance:de variance:
les sommes de les sommes de carré (1)carré (1)
A1 Lettrage
normal A2 Lettrage Italique
Total
B1 90 ms
45 25 70
B2 45 ms
35 65 100
Total 80 90 170
Calcul de Calcul de l’analyse de l’analyse de
variance:variance:les sommes de les sommes de
carré (2)carré (2)
Nnb
__
a
XTXXSC22
a
2
A
Nna
__
b
XTXXSC22
b
2
B
SCSCSCSC BAtraitementAxB
SCA = (80)2 + (90)2 - (170)2/20 = 6400 + 8100 – 1445 10 10
= 14500 – 1445 = 1450 – 1445 = 5 10
SCB = (70)2 + (100)2 - (170)2/20
10 = 4900 + 10000 – 1445 =
10 = 14900 – 1445 = 1490 – 1445 = 45 10
SCAxB = SCtraitement - SCA - SCB = 175 – 5 – 45 = 125
Nnb
__
a
XTXX
22
a
2
Nna
__
b
XTXX
22
b
2
Source de variation
SC
dl
CM
F
p
Type de lettrage
5
1
5.0
2.00
>.05
Temps d’exposition
45
1
45.0
18.00
<.05
Type de lettrage x Temps d’exposition
125
1
125.0
50.00
<.05
Erreur
40
16
2.5
Total
215
19
Le tableau Le tableau d’analyse de d’analyse de variancevariance
Deux indices Deux indices de la taille de de la taille de
l’effetl’effet
SCtotal
SCtraitementSCtotal
SCerreurSCtotalη2 σ
σ2total
2traitement
CMSCtotal
SC CM 1)-(k -traitement2erreur
erreur
σσ
ω 2total
2traitement
Présentation des résultats de
l’analyse de variance en style APA
• Tableau, voir manuel p. 129
• Texte, voir p. 117
• exemple:Les participants font plus d’erreurs (M=10,0) quand ils voient les lettres pour un court laps de temps que pour une durée de présentation plus longue (M=7,0), F (1, 16) = 18.00, p < .05, 2 = 0.21.
6e
éd.
Un autre exemple Un autre exemple de calculde calcul
Un schème à groupes indépendants (intersujets) 2
x 2 x 3.
Les donnéesLes données
A1 A2
B1 B2 B1 B2
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
4 23
16
21
25
32 6 2 20
11
23
17
18
15
27
14
33
42 4 6 15
7 14
16
8 21
23
19
30
46 14
8 8 6 13
25
10
13
14
26
20
40 7 12
17
16
12
12
40
72
80
80
108
160
30
28
60
40
62
70
A1 A2 B 1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 16 529 256 441 625 1024 36 4 400 121 529 289 324 225 729 196 1089 1764 16 36 225 49 196 256 64 441 529 361 900 2116 169 64 64 36 169 625 100 169 196 676 400 1600 49 144 289 256 144 144 504 1364 1710 1674 3014 6504 270 248 978 462 1038 1314
Grand total
19080
Les carrés des valeursLes carrés des valeurs
SCtotal = SCtraitement = SCerreur = SCtotal - SCtraitement =
A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70
Calculs des totaux Calculs des totaux des effets des effets
principaux de A, B, principaux de A, B, et Cet C
A1 = 540 A2 = 290
B1 = 310 B2 = 520
Grand total 830
C1 = 40 + 80 + 30 + 40 = 190
C3 = 80 + 160 + 60 + 70 = 370
C2 = 72 + 108 + 28 + 62 = 270
SCA = (540)2 + (290)2 - (830)2 = 24 48
291600 + 84100 – 14352.08 = 24
375700 – 14352.08 = 15654.16 – 14352.08 24
= 1302.08 SCB = (310)2 + (530)2 - (830)2 = 918.75
24 48 SCC = (190)2 +(270)2 + (370)2 - (830)2 = 1016.67 16 48
Interaction AB
B1 B2 Total A
A1 192 348 540
A2 118 172 290
Total B 310 520 830
A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70
SCintercondAB = (192)2 + (348)2+ (118)2 + (172)2 - 14352.08 = 12 2437.58
SCAxB = SCintercondAB - SCA - SCB = 2437.58 – 1302.08 – 918.75 = 216.75
Interaction AC
C1 C2 C3 Total A
A1 120 180 240 540
A2 70 90 130 290
Total C 190 270 370 830
A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70
SCintercondAC = (120)2 + (180)2+ (240)2 + (70)2+ (90)2+ (130)2 - 8 14352.08 = 2435.42
SCAxC = SCintercondAC - SCA – SCC = 2435.42 – 1302.08 – 1016.67 = 116.67
A1 A2 B1 B2 B1 B 2 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 C1 C2 C3 4 23 16 21 25 32 6 2 20 11 23 17 18 15 27 14 33 42 4 6 15 7 14 16 8 21 23 19 30 46 13 8 8 6 13 25 10 13 14 26 20 40 7 12 17 16 12 12 40 72 80 80 108 160 30 28 60 40 62 70
Interaction BC
C1 C2 C3 Total A
B1 70 100 140 310
B2 120 170 230 520
Total C 190 270 370 830
Trouvez comment le tableau a été construit
SCintercondBC = (70)2 + (100)2+ (140)2 + (120)2+ (170)2+ (230)2 - 8 14352.08 = 1985.42
SCAxC = SCintercondBC – SCB – SCC = 1985.42 – 918.75 – 1016.67 = 50
Interaction ABC
C1 C2 C3
B1 40 72 80 A1 B2 80 108 160
B1 30 28 60 A2 B2 40 62 70
Le tableau de l’interaction triple est la retranscription des totaux du tableau de départ
SCAxBxC =
SCtraitement - SCA – SCB - SCc - SCAxB – SCBxC - SCAxC =
3766.9 – 1302.08 – 918.75 – 1016.67 –216.75 – 50 – 116.67 =146
Interaction AB
B1 B2 Total A
A1 192 348 540
A2 118 172 290
Total B 310 520 830
Cette interaction est significative parce quela différence entre les niveaux de A (540 à 290)n’est pas la même à chaque niveau de B(192 à 118 pour B1 versus 348 à 172 pour B2)oula différence entre les niveaux de B (310 à 520)n’est pas la même à chaque niveau de A(192 à 348 pour A1 versus 118 à 172 pour A2)
Interaction BC C1 C2 C3 Total A
B1 70 100 140 310
B2 120 170 230 520
Total C 190 270 370 830
Cette interaction n’est pas significative parce quela différence entre les niveaux de B (310 à 520)est semblable à chaque niveau de C(70 à 120 pour C1 vs 100 à 170 pour C2 vs 140 à 230 pour C3)oula différence entre les niveaux de C (190 à 270 à 370)est semblable à chaque niveau de B(70 à 100 à 140 pour B1 versus 120 à 170 à 230 pour B2)
Source de variation
SC dl
CM F p
Au-delà de Au-delà de l’analyse l’analyse
factorielle de factorielle de variance variance Comparaisons multiples: du test t aux autres
Ns
Ns
XXt
2
2
2
1
2
1
21dl
__
n
XXqCMerreur
__
ji
dl,dl
Schèmes à mesures répétées- considérer l’erreur comme juchée dans les facteurs intersujets- dl = (n-1)x(ab…)