Download - Chap. Gas Fermi Ideal - Multisite ITB
Chap 8. Gas Fermi Ideal
Gas Fermi pada Ground State
โข Distribusi Fermi Dirac pada kondisi Ground State (Tโ0) memiliki perilaku:
โข ๐๐ =1
๐๐ฝ ๐๐โ๐ +1เต0 ๐๐๐๐ ๐๐ > ๐
1 ๐๐ < ๐
โข Hasil ini berarti:
Seluruh level energy di bawah nilai energy fermi (๐๐น) terisi, sedangkan di atasnya kosong sama sekali. Kondisi seperti ini dikenal sebagai โdegenerasi kuantumโ.
โข Apakah arti energy fermi?
โข Berapakah energy fermi?
๐๐
๐๐น ๐๐
1
0
Arti energi Fermi F
โข Artinya : pada T=0 (Ground State), maka semua Fermion berusaha menempati level energi terendah, akan tetapikarena aturan Pauli, maka tidak semua bisa menempati level terendah!
โข Sehingga Fermion akan menempati semua level terendahsampai dengan level dengan energy tertinggi yaitu F. Jadienergi Fermi adalah level energi tertinggi yg berisi Fermion pada kondisi Ground State.
โข Berarti total partikel dengan energi di bawah F = N (untukkasus spinless Fermion, tiap level energi berisi 1).
Energi Fermi (Tingkat Fermi)
โข ๐๐น dapat ditentukan dari kondisi bahwa :
๐ = (2๐ + 1)ฯ๐ ๐๐ , jika Tโ0 , maka ๐ = (2๐ + 1)ฯ๐๐๐น ๐๐
โข Dengan ๐๐น adalah momentum fermi yg terkait dengan energy fermi melalui:
โข ๐๐น =๐๐น2
2๐
โข Pada ground state maka :
๐ = 2๐ + 1
๐
๐๐น
1 =2๐ + 1 ๐
โ3เถฑ
0
๐๐น
4๐๐2๐๐
๐ =4๐ 2๐ + 1 ๐
3โ3๐๐น3 =
4๐ 2๐ + 1 ๐
3โ32๐๐๐น
32
Energi Fermi (Tingkat Fermi)
๐๐น =โ2
2๐
6๐2๐
๐ 2๐ + 1
2/3
=โ2
2๐
6๐2๐
2๐ + 1
2/3
Dimana n=N/V adalah rapat partikel.
โข Energi internal pada Ground State :
๐0 = (2๐ + 1)
๐โค๐๐น
๐๐ = (2๐ + 1)
๐โค๐๐น
๐2
2๐
๐0 =2๐ + 1 ๐2๐
๐โ3เถฑ
0
๐๐น
๐4๐๐ = 2๐ + 1๐2๐
5๐โ3๐๐น5
Energi Rata-Rata Ground State
๐0 =2๐ + 1 ๐2๐
๐โ3เถฑ
0
๐๐น
๐4๐๐ = 2๐ + 1๐2๐
5๐โ3๐๐น5
๐0 =2๐ + 1 2๐๐
5๐โ32๐๐๐น
5/2
Energi dalam per partikel pada ground state: (tak bergantung S!)
๐0๐
=
2๐ + 1 2๐๐5๐โ3
2๐๐๐น52
4๐ 2๐ + 1 ๐3โ3
2๐๐๐น32
=3
5๐๐น
Zero Point Pressure
โข Tetapi berlaku persamaa PV = 2/3U, sehingga pada T=0 (Ground state) ini juga berlaku:
โข P0V = 2/3 U0 atau:
๐0๐ =2
3
3
5๐๐๐น โ ๐0 =
2
5๐๐๐น
Dengan n=N/V adalah kerapatan partikel.
โข Adanya tekanan pada temperatur NOL ini disebabkan karenahanya 1 (kasus spinless) Fermion yg bisa di energi NOL, sisanya mesti bergerak, memiliki momentum! Sehingga menimbulkan tekanan.
Zero Point Pressure
โข Contoh : elektron di logam ๐ โ 7x1028./m3. Elektron spin s=1/2, maka energi ferminya :
โข ๐๐น =โ2
2๐
6๐2
2๐ +1 ๐ฃ
2/3
โ 7๐๐,
โข sehingga tekanan temperature nolnya : P0 =3x84x1010 Pa
(besar atau kecilkah nilai ini?)
Suhu Fermi dan Eksitasi
โข Suhu Fermi didefinisikan sbg ๐๐น = ๐๐น/๐
โข Pada logam nilai ๐๐น โ 2 ๐๐, yang terkait dengan ๐๐น โ2๐ฅ104๐พ. Artinya pada suhu ruang boleh dibilang electron โmembekuโ pada ground state, kecuali sedikit yang dekat dengan tingkat fermi ๐๐น yg mengalami eksitasi. Rata-rata energy eksitasi per partikel โ ๐๐
โข Hanya sekitar ๐
๐๐นโ 1.5%
electron yang dekat tingkat Fermi yang pindah ke tingkat eksitasi lebih tinggi.
Persamaan Keadaan Gas Fermi Ideal(secara umum)
โข Trick : Eliminasi z dalam pers. Gas fermi
๐
๐๐=
1
๐3๐52๐ง ๐๐๐
1
๐ฃ=
1
๐3๐32๐ง (1)
โข Dengan ๐ฃ =๐
๐๐๐๐ ๐ =
โ
2๐๐๐๐
โข Sebenarnya rumus (1) di atas adalah untuk kasus spinless(s=0)!!!
โข Jikalau spin 0, maka mesti dimasukkan faktor koreksi (2s+1),
Sebab untuk setiap satu nilai momentum p terdapat ms=-s,-s+1,..,0,..,s yg berbeda bisa ditempati fermion dan semuanyamemiliki energi p yg sama.
Limit Klasik Gas Fermi
โข Dengan koreksi ini mestinya bentuk yg lebih umum bagipasangan persamaan untuk Fermion adalah:
๐
๐๐=(2๐ + 1)
๐3๐52๐ง ๐๐๐
1
๐ฃ=(2๐ + 1)
๐3๐32๐ง (2)
โข Limit klasik (non degenerate Fermi Gas), jika (T tinggi)
kasus ๐ง = ๐๐ฝ๐ โช 1
โข Dalam kondisi ini, maka distribusi FD menjadi MB:
< ๐๐ >=1
๐งโ1๐๐ฝ๐๐ + 1โ ๐ง๐โ๐ฝ๐๐
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
โข Mari kita tinjau kasus spinless Fermion:๐
๐๐=
1
๐3๐52๐ง ๐๐๐
1
๐ฃ=
1
๐3๐32๐ง (1)
โข Untuk kasus z kecil maka:
๐32
๐ง = ๐ง โ๐ง2
232
+โฏ๐๐๐๐52
๐ง = ๐ง โ๐ง2
252
(2)
โข Sub. Pers. (2) ke (1) :๐
๐๐โ
1
๐3(๐ง โ
๐ง2
252
) 3๐
1
๐ฃ=
1
๐3(๐ง โ
๐ง2
232
) (3๐)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Tujuan kita mengeliminasi z dari (3a) dan (3b), dengan cara sbb:
Dari (3b)
๐3
๐ฃ= ๐ง โ
๐ง2
232
(4)
Pecahkan untuk z:
๐ง = 2 1 ยฑ 1 โ 2๐ง0 ๐๐๐๐๐๐ ๐ง0 =๐3
๐ฃ(5)
Untuk kecil, dpt diekspansi
1 + ฮ ๐ = 1 + ๐ฮ +n n โ 1
2ฮ2 +โฏ
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Dengan mempertahankan sampai order ke2, diperoleh:
1 โ 2๐ง0 = 1 โ1
22๐ง0 โ
1
4๐ง02 +โฏ
Sehingga dengan mengingat z>0, maka (5) menjadi:
๐ง โ 2 1 โ 1 โ1
22๐ง0 โ
1
4๐ง02 +โฏ
= ๐ง0 +1
232
๐ง02 +โฏ (6)
Limit Klasik (non degenerate Fermi Gas)
Memakai aproksimasi z ini, maka persamaan bagi P di (3a) menjadi:
๐
๐๐=
1
๐3๐ง0 +
1
23/2๐ง02 โ
๐ง0 +1
232
๐ง02
2
252
+โฏ
Mempertahankan suku hingga kuadratis:
๐
๐๐=
1
๐3๐ง0 +
1
23/2๐ง02 โ
1
25/2๐ง02 +โฏ (7)
Arti Limit Klasik
Atau dengan sub. Nilai z0:
๐๐ฃ
๐๐= 1 +
1
252
๐3
๐ฃ+โฏ (8)
Bentuk terakhir ini dikenal sebagai ekspansi virial (variabelekspansinya (1/v). Pada orde-nol maka kembali diperolehhasil gas ideal:
๐๐
๐๐= ๐
Suku koreksi1
252
๐3
๐ฃbukan hasil potensial interaksi antar
partikel melainkan murni efek kuantum dari Fermion.
Arti Limit Klasik
โข Kita bisa memakai z0 untuk memahami arti aproksimasiz<<1.
๐ง0 =๐3
๐ฃโช 1 berarti ๐/๐ฃ1/3 โช 1 .
Tetapi v1/3 = L: jarak rata-rata antar partikel.
โข Berarti aproksimasi ini meminta panjang gelombang thermal jauh lebih kecil dibandingkan jarak rata-rata antar partikel.
โข Artinya efek kuantum dapat diabaikan, jadi partikel terbedakan seperti di kasus gas ideal klasik.
โข Jadi z<<1 analog dengan kasus klasik yaitu T tinggi
Arti Limit Klasik
โข Berhubung 1/T, maka << berarti T>>, dan juga v>> berarti N/V << atau low density of particles.
โข Jadi aproksimasi klasik berlaku baik bilamana : temperaturtinggi kerapatan partikel rendah.
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar(3/v >>1) - Fermion pada T rendah
โข Rezim ekstrim yg lainnya adalah jika๐3
๐ฃโซ 1 atau berarti suhu
rendah dan kerapatan partikel besar. Akibatnya efek kuantum(eksklusi Pauli) menjadi nyata sekali. Fungsi f3/2 tidak bisadiaproksimasi dengan polynomial, akan tetapi mestidiekspansi dengan cara lain (spt dilakukan Sommerfeld, lih. K. Huang, atau appendix slide ini), yaitu :
๐32
(๐ง) =4
3 ๐ln ๐ง
3
2 +๐2
8
1
ln ๐ง+โฏ (9)
โข Jika kita pertahankan suku ke satu saja (yang akan bagus jikaTโ0):
Kasus : Suhu rendah (T<<) Kerapatan besar(3/v >>1) - Fermion pada T rendah
๐3
๐ฃ=
4
3 ๐ln ๐ง
32
Pecahkan bagi z, dan substitusi nilai akan diperoleh:
๐ง = ๐๐ฝ๐๐น (10)
Dengan F energi Fermi yang didefinsikan sbb (lihat Ground state, kasus spinless fermion):
๐๐น =โ
2๐
6๐2
๐ฃ
2/3
(11)
Fermion Pada Temperatur Rendah
โข Bagaimana perilaku Fermion pada T rendah tapi bukan ground state (T0). Telah diturunkan di (9)-(11), untuk order terendah(kasus spinless fermion):
๐3
๐ฃ=
4
3 ๐ln ๐ง0
32
ln ๐ง0 =3 ๐
4๐ฃ๐3
2/3
= ๐ฝ๐๐น =๐๐น๐๐
=๐๐น๐
โข Dengan suhu Fermi didefinisikan sbg: F = kTF.
Fermion Pada Temperatur Rendah
โข Untuk ketelitian yang lebih baik, maka:
๐3
๐ฃ=
4
3 ๐ln ๐ง 3/2 +
๐2
8
1
ln ๐ง
Atau dapat dituliskan
ln ๐ง032 = [ ln ๐ง
32 +
๐2
8
1
ln ๐ง+โฏ]
Fermion Pada temperatur rendah
๐๐น๐
32= [ ln ๐ง
32 +
๐2
8
1
ln ๐ง+โฏ]
Atau dapat disusun ulang menjadi:
ln ๐ง32 =
๐๐น๐
32โ๐2
8
1
ln ๐ง
Trick, suku ln ๐ง di ruas kanan di aproksimasi dengan ln ๐ง0 =TF
T:
Sehingga menjadi :
ln ๐ง32 โ
๐๐น๐
32โ๐2
8
๐๐น๐
โ12โ
๐๐น๐
321 โ
๐2
8
๐๐น๐
โ2
Fermion pada temperatur rendah
Selanjutnya dengan aproksimasi : (1+x)n=1+nx+โฆ, maka:
ln ๐ง โ๐๐น๐
1 โ๐2
12
๐
๐๐น
2
Padahal z = e, maka untuk suhu rendah dekat ground state:
๐ ๐ โ ๐๐น 1 โ๐2
12
๐
๐๐น
2
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5
/F
TTF
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2
n
E/EF
T=0.1T=0.01
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
โข Energi total sistem Fermion diberikan oleh:
๐ = ฮฃ๐๐๐๐๐ =๐
โ3เถฑ
0
โ
๐3๐๐๐๐๐ =๐
โ3เถฑ
0
โ๐๐
๐๐ฝ ๐๐โ๐ + 1๐3๐
=4๐๐
โ3เถฑ
0
โ๐2๐๐
๐๐ฝ ๐๐โ๐ + 1๐๐
Dengan ๐๐ =๐2
2๐dan integrasi parsial akan diperoleh:
๐ =๐ฝ๐
20๐2๐2โ2เถฑ
0
โ๐6 ๐๐ฝ ๐๐โ๐
๐๐ฝ ๐๐โ๐ + 12 ๐๐
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
โข Karena kita tidak jauh dari T=0, maka pengali p6 dalamintegrand akan berpuncak di sekitar = F saja. Faktor p6
diuraikan di sekitar pF, maka Sommerfeld (lihat misalnya K Huang) mendapatkan:*)
๐ =3
5๐๐๐น 1 +
5
12๐2
๐๐
๐๐น
2
+โฏ
Untuk hasil ini telah dimanfaatkan ungkapan bagi (T) pada suhurendah.
*) atau alternative penurunan di slide bagian belakang
Energi Fermion Pada Suhu Rendah
โข Persamaan keadaan segera diperoleh melalui:
๐๐ =2
3๐ =
2
5๐๐๐น 1 +
5
12๐2
๐๐
๐๐น
2
+โฏ
โข Hasil ini menunjukkan bahkan pada T=0 memang tekanantidak=0, sehingga perlu โmewadahiโ Fermion bahkan padaT=0.
Aplikasi: Distribusi Fermion
โข Teori Bintang Katai
โข Diamagnetism Landau
โข Paramagnetism Pauli
โข De Haas-Van Alphen effect
โข dll
Apendix: Fungsi Fermi
โข Untuk suhu rendah (๐ง = ๐๐ฝ๐ besar! ), maka ๐32
(๐ง) tak dapat
diuraikan dengan deret kuasa yg biasa.
โข Tinjau kembali bentuk integralnya:
๐32๐ง =
4
๐เถฑ
0
โ
๐๐ฅ๐ฅ2
๐งโ1๐๐ฅ2+ 1
โข Substitusi : ๐ฆ = ๐ฅ2 ๐ง = ๐๐ผ ๐๐ก๐๐ข ๐ผ = ln(๐ง)
โข Maka :
๐32๐ง =
2
๐เถฑ
0
โ
๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆโ๐ผ + 1
Apendix: Fungsi Fermi
โข Fungsi 1
๐๐ฆโ๐ผ+1untuk suhu rendah akan mendekati fungsi
tangga di sekitar ๐ฆ = ๐ผ. Jadi derivativenya akan serupa delta dirac di sekitar ๐ฆ = ๐ผ. Sifat ini akan dimanfaatkan.
โข Integrasi parsial
๐๐ = ๐ฆ๐๐ฆ ๐ =1
๐๐ฆโ๐ผ + 1
เถฑ
0
โ
๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆโ๐ผ + 1=
แฎ23 ๐ฆ
32
๐๐ฆโ๐ผ + 10
โ
โ2
3เถฑ
0
โ
๐๐ฆ๐ฆ32๐๐ฆโ๐ผ
๐๐ฆโ๐ผ + 1 2
โข Integrand berpuncak sekitar ๐ฆ = ๐ผ
Apendix: Fungsi Fermi
เถฑ
0
โ
๐๐ฆ๐ฆ
๐๐ฆโ๐ผ + 1= โ
2
3เถฑ
0
โ
๐๐ฆ๐ฆ32๐๐ฆโ๐ผ
๐๐ฆโ๐ผ + 1 2
โข Substitusi lagi ๐ฆ โ ๐ผ = ๐ก
เถฑ
0
โ
๐๐ฆ๐ฆ32๐๐ฆโ๐ผ
๐๐ฆโ๐ผ + 1 2= ๐ผ3/2 เถฑ
โ๐ผ
โ
๐๐ก1 +
๐ก๐ผ
3/2
๐๐ก
๐๐ก + 1 2
โข Jika ๐ผ ๐๐๐ ๐๐ โ โ
เถฑ
โโ
โ
๐๐ก1 +
๐ก๐ผ
3/2
๐๐ก
๐๐ก + 1 2
Apendix: Fungsi Fermi
โข Ekspansikan 1 + ๐ฅ ๐ = 1 + ๐๐ฅ +๐ ๐โ1
2!๐ฅ2 +โฏ .
เถฑ
โโ
โ
๐๐ก 1 +3
2
๐ก
๐ผ+3
8
๐ก
๐ผ
2
+โฏ .๐๐ก
๐๐ก + 1 2
โข Karena fungsi ๐๐ก
๐๐ก+1 2 adalah fungsi genap (simetrik thd xโ -
x), maka hanya suku suku terkait tn untuk n genap yang tak NOL.
โข Definisikan
๐ผ0 = เถฑ
โโ
โ
๐๐ก๐๐ก
๐๐ก + 1 2= 1
Apendix: Fungsi Fermi
โข Selanjutnya:๐ผ1 = ๐ผ3 = โฏ .= 0
Dan
๐ผ๐ = 02โ ๐ก๐๐๐ก
๐๐ก+1 2 ๐๐ก untuk n: genap.
Misalnya ๐ผ2 =๐2
3
Sebagai catatan ๐ผ๐ bisa dinyatakan dengan fungsi terkenal Riemann Zeta. Dengan uraian ini maka :
๐32๐ง =
3
4 ๐ln ๐ง 3/2 +
๐2
8
1
ln ๐ง+ โฆ .
Apendix: Fungsi Fermi
๐32๐ง =
3
4 ๐ln ๐ง 3/2 1 +
๐2
8(ln ๐ง)โ2 + โฆ .
โข Dengan cara serupa dapat diturunkan bahwa:
๐52๐ง =
8
15 ๐ln ๐ง 5/2 1 +
5๐2
8(ln ๐ง)โ2 + โฆ .
Apendix: Fungsi Fermi
โข Energi rata-rata system
๐ = โ๐
๐๐ฝln ๐ = ๐๐2
๐
๐๐ln ๐ = ๐๐2
๐
๐๐
๐
๐3๐52๐ง
๐ =3
2๐๐
๐
๐3๐52(๐ง)
Dengan bantuan:
๐ =๐
๐3๐32(๐ง)
Maka :
๐ =3
2๐๐๐ ๐5
2(๐ง)/๐3
2๐ง
Apendix: Fungsi Fermi
โข Dengan bantuan uraian orde pertama f3/2 dan f5/2 maka :
๐ =3
5๐๐๐ ln ๐ง 1 +
๐2
2ln ๐ง โ2+. .
Mengingat bahwa :
๐ = ๐๐ ln ๐ง โ ๐๐น 1 โ๐2
12
๐๐
๐๐น
2
Maka eliminasi ln z, menghasilkan :
๐ =3
5๐ ๐๐น 1 +
5๐2
12
๐๐
๐๐น
2
+โฏ