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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER
Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER
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2nde 10, lycée les eaux claires
November 7, 2019
2nde 10, lycée les eaux claires
Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER
Dans ce chapitre
1) Rappels, définitions
2) Facteur commun
3) Double distributivité
4) Identités remarquables
2nde 10, lycée les eaux claires
Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER1) Rappels, définitions
Plan du cours
1) Rappels, définitions
2) Facteur commun
3) Double distributivité
4) Identités remarquables
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER1) Rappels, définitions
DéfinitionOn dit qu’une expresson est factorisée lorsqu’elle est écrite sousla forme d’un produit.Chacun des éléments du produit est appelé un facteur.
Exemples d’expressions factorisées :
• 3a est composée de deux facteurs : 3 et a• 2(x + 4) avec deux facteurs : 2 et x + 4• −5(x + 1)(2x − 3) avec trois facteurs : −5 et x + 1 et 2x − 3• (3x + 2)2 avec deux facteurs égaux: 3x + 2
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER1) Rappels, définitions
DéfinitionOn dit qu’une expression est développée lorsqu’elle est écritesous la forme d’une somme.Chacun des éléments de la somme est appelé un terme.
Exemples d’expressions développées :
• 3 + a est composée de deux termes : 3 et a• x2 + 3x + 5 avec trois termes : x2, 3x et 5• 4x − 7 avec deux termes : 4x et −7
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun
Plan du cours
1) Rappels, définitions
2) Facteur commun
3) Double distributivité
4) Identités remarquables
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun
Egalité de référence
k, a et b sont trois nombres ou expressions
Alors :k × a + k × b = k × (a + b)
k × a + k × b est une écriture développée
k×(a + b) est une écriture factorisée
k est appelé facteur commun
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun
De même :
k × a − k × b = k × (a − b)
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun
Exemples
Développer (écrire l’expression sous forme de somme ou différence)
• A = 3 × (x + 5)
• B = 4 × (x − 3)
• C = 7 × (2x + 3y − 1)
• D = −2 × (4 + t)
• E = 3x × (2x + 3)
• F = −(3x − 4)
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun
Remarque
Un signe - devant une parenthèse est équivalent à une mul-tiplication par -1
ExempleF = −(3x − 4)
F = (−1) × (3x − 4)
F = (−1) × 3x − (−1) × 4
F = −3x + 4
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER2) Facteur commun
Factoriser : exemples
Factoriser (écrire l’expression sous forme de produit)
• K = 4x + 8y
• L = 12 + 4y
• M = 7x2 − 14x
• N = 10a + 5
• P = −2a − 4b
• R = 35x2 + 15x
• S = 6a2 − 18a
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER3) Double distributivité
Plan du cours
1) Rappels, définitions
2) Facteur commun
3) Double distributivité
4) Identités remarquables
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER3) Double distributivité
Egalité de référence
a, b, c et d sont quatre nombres ou expressions
Alors :(a + b) × (c + d) = a × c + a × d + b × c + b × d
(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd
ac + ad + bc + bd est une écriture développée
(a + b) × (c + d) est une écriture factorisée
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER3) Double distributivité
Exemples
Développer et réduire
• T = (3a + 2) × (4 + 5a)
• U = (b − 4) × (3b + 7)
• V = (−b − 3) × (4 − b)
• W = (−3a + 2) × (5 − b)
• Y = (2a + 5)2
• Z = (4a − 3) × (4a + 3)
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER3) Double distributivité
Exercice
Développer et réduire
• A = 2 × (3t + 2) × (1 + 2t)
• B = −(y − 4) × (3y + 2)
• C = 3t − (5t + 3)2
• D = (t + 1) × (t + 2) × (t + 3)
• E = (t + 1)2 + (t − 1)2
• Z = 3 × (2a + 1) + (2a + 1) × (−a + 2)
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
Plan du cours
1) Rappels, définitions
2) Facteur commun
3) Double distributivité
4) Identités remarquables
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
Première identité remarquable
a et b sont deux nombres ou expressions
Développer (a + b)2 :
(a + b)2 = (a + b) × (a + b)
(a + b)2 = a × a + a × b + b × a + b × b
(a + b)2 = a2 + ab + ba + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
La première identité remarquable :• a pour écriture factorisée : (a + b)2
• a pour écriture développée : a2 + 2ab + b2
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
Exemples
Développer et réduire
• G = (t + 2)2
• H = (4c + 5)2
• J = (3 + 2y)2
• K = (−t + 2)2
• L = (y − 3)2
• M = (−5a + 3)2
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
Seconde identité remarquable
a et b sont deux nombres ou expressions
Développer (a − b)2 :
Donc
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
Troisième identité remarquable
a et b sont deux nombres ou expressions
Développer (a − b) × (a + b) :
Donc
(a − b) × (a + b) = a2 − b2
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquables
Exemples
Développer et réduire
• P = (2t − 5)2
• R = (4 − 3c)2
• S = (t − 3) × (t + 3)
• T = (3 + 2y) × (3 − 2y)
• U = (3 − 4z) × (3 + 4z)
• V = (−5a + 3) × (−5a − 3)
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Chapitre 4 : FACTORISER et DEVELOPPER4) Identités remarquablesFactoriser en utilisant une identitéremarquable
• C = x2 − 2x + 1
• D = x2 + 4x + 4
• E = 16 − 4x2
• F = 4x2 + 16x + 16
• G = x2 + 9 − 6x
• H = 2x2 + 20x + 50
• K = −x2 + 14x − 49
• L = −3x2 + 752nde 10, lycée les eaux claires