Chapitre 5: Changements de référentielsIntroduction
1
La notion de vitesse est une notion relative au référentiel considéré. Afin de comprendre le
mouvement, il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique qui ne s’applique que dans
un référentiel galiléen.
On peut montrer que tout mouvement peut se décomposer en un mouvement rectiligne et un
mouvement de rotation. Dans ce chapitre, on étudiera donc plus en détail ces deux
mouvements particuliers successivement.
Chapitre 5: Changements de référentiels
I Définitions
II Lois de composition des vitesses et accélérations
III Lois de Newton dans un référentiel non galiléen
IV Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel
non galiléen
2
Chapitre 5: Changements de référentielsI DEFINITIONS1) Introduction
Vidéo –course de rameurs : le rameur fait des mouvements dans son aviron et l’aviron
se déplace par rapport à la surface de la mer! Ceci permet donc de décomposer le
mouvement en deux parties: une première par rapport à l’aviron et la deuxième par
rapport à la ‘terre ferme’.
3
http://www.youtube.com/watch?v=9c3RtvH‐zr8
Régate d'Aviron de mer- Coastal Rowing Regatta- Festirame_(360p).mp4
Chapitre 5: Changements de référentielsI DEFINITIONS
2) Référentiels relatif et absolu
On considère un référentiel R fixemuni d’un repère orthonormé , on dira
que ce référentiel est le référentiel absolu. Dans la pratique, il s’agit d’un référentiel
associé à la Terre.
Un autre référentiel R’muni d’un repère orthonormé , en déplacement
par rapport à R sera appelé référentiel relatif.
( )K,J,IO,rrr
( )k,j,i,O'rrr
R
R’
4
Chapitre 5: Changements de référentielsI DEFINITIONS
3) Vitesses absolue et relative
La vitesse du point mobile dans R est dite vitesse absolue.
La vitesse du point mobile dans R’ est dite vitesse relative.
R
R’
Sur l’image : point mobile = ‘tête du rameur’ qui se déplace légèrement par rapportà l’aviron et beaucoup plus par rapport à la terre ferme.
On peut étendre les définitions aux accélérations
avr
avr
rvr
rvr
5
Chapitre 5: Changements de référentielsI DEFINITIONS
4) Point coïncidant ‐ Vitesse d’entrainement
On appelle point coïncidant de M dans R’, le point N fixe dans R’ qui coïncide à l’instant
t avec M. La vitesse de ce point coïncidant dans R est dite vitesse d’entrainement, son
accélération dans R’ est dite accélération d’entraînement.
RR’
Sur l’image : L’extrémité de l’aviron a une vitesse nulle dans R’, référentiel associé àl’aviron, on peut même la prendre comme origine pour R’. On considère la trajectoire(dans R) de ce point. A un instant t quelconque, il est alors facile de définir N et donc lavitesse d’entrainement est …la vitesse de l’aviron par rapport à la terre (ou la mer). 6
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
1) Loi de composition des vitesses
Dans le référentiel R , le point M a pour coordonnées (X,Y,Z)
Dans le référentiel R’ , le point M a pour coordonnées (x,y,z)
( )K,J,IO,rrr
( )k,j,i,O'rrr
k zjy ix OO'K ZJ YIXOMrrrrrr
+++=++=
K ZJ YIX(M)vvr
&r
&r
&rr++== RaLa vitesse absolue du point M est :
La vitesse relative du point M est : k zj yi x(M)vv r
r&
r&
r&
rr++== R'
Remarque : dans le référentiel R, les vecteurs dépendent du temps.
Par contre, dans le référentiel R’, ils sont indépendants du temps. Dans le cas
où R’ est en translation par rapport à R, ces vecteurs sont indépendants du
temps même dans Rmais uniquement dans ce cas particulier.
ket j,irrr
!
7
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
1) Loi de composition des vitesses
k zjy ix OO'K ZJ YIXOMrrrrrr
+++=++=
R'r (M)vv rr=
Si on considère le point coïncidant, il a une vitesse nulle dans R’, donc .
Les quatre premiers termes correspondent donc à la vitesse d’entrainement .
( )RRR
dtk zjy ix d
dtOO'dK ZJ YIXv
dtOMd
a
rrrr
&r
&r
&r +++=++==
k zj yi xk zjy ix dtOO'dv a
r&
r&
r&
&r&r&rr++++++=
R
evr
0v r
rr=
evr
rea vvv rrr+=
8
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
2) Loi de composition des accélérations
Dans le référentiel R , le point M a pour coordonnées (X,Y,Z)
Dans le référentiel R’ , le point M a pour coordonnées (x,y,z)
( )K,J,IO,rrr
( )k,j,i,O'rrr
k zjy ix OO'K ZJ YIXOMrrrrrr
+++=++=
K ZJ YIX(M)aar
&&r
&&r
&&rr++== RaL’accélération absolue du point M est :
L’accélération relative du point M est : k zj yi x(M)aa r
r&&
r&&
r&&
rr++== R'
9
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
2) Loi de composition des accélérations
k zjy ix OO'K ZJ YIXOMrrrrrr
+++=++=
R'r (M)aarr
=
Si on considère le point coïncidant, il a une accélération nulle dans R’, donc seuls les
quatre premiers termes correspondent donc à l’accélération d’entrainement .
La 3 derniers termes de l’accélération correspondent à l’accélération complémentaire
ou accélération de Coriolis.
( )RRR
2
2
2
2
a2
2
dtk zjy ix d
dtOO'dK ZJ YIXa
dtOMd
rrrr
&&r
&&r
&&r +++=++==
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++++++++= k zj yi x2k zj yi xk zjy ix
dtOO'da 2
2
a&r
&&r
&&r
&r
&&r
&&r
&&&&r&&r&&rr
R
ear
ear
crea aaaarrrr
++=
car
10
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
2) Loi de composition des accélérations
Remarque : le vecteur accélération d’entrainement n’est pas la dérivée du vecteur
vitesse d’entrainement
ecee aa
21a
dtvd rrrr
≠+=
11
!
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en translation
On obtient alors facilement les résultats suivants (et intuitifs) :
12
R (fixe)R’
O’(t0) O ’(t1) O ’(t2)
Déplacement de l’aviron
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=
kK
jJ
iI
rr
rr
rr
( ) rarea vO'vvvv rrrrr+=+=
( ) rarea aO'aaaarrrrr
+=+= 0a c
rr=
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en rotation
13
Manip Lycée Montaigne de Bordeaux_ forces d'inertie sur un plateau en rotation_(360p).mp4
R (fixe) R’ (en rotation)
kKrr
=
Ir
Jr
ir
jr
θ
θ
http://www.youtube.com/watch?v=aoDlDSiBz‐Q
Les vecteurs correspondent auxvecteurs des coordonnéespolaires dans le repère
jet irr
θr uet u rr
( )K,J,IO,rrr
Pour un vecteur de norme constante,Ar
AωdtAd rrr
∧=
On définit le vecteur rotation par :ωr
k ωK ωωrrr
==
ωr
(main droite)
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en rotation
14
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∧==
=∧=
=∧=
kω0dtkd
i -ωjωdt
jd
j ωiωdt
id
rrrr
rrrr
rrrr
R (fixe) R’ (en rotation)
kKrr
=
Ir
Jr
ir
jr
θ
θ
ωr
Ar
Br
Πr
Règle des 3 doigts
Main droite
k zj yi xk zjy ix dtOO'dv a
r&
r&
r&
&r&r&rr++++++=
R
R'r (M)vv rr=
evr
OMωk zjy ix v e ∧=++=r&r&r&rr
ra vOMωv rrr+∧=
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en rotation
15
R (fixe) R’ (en rotation)
kKrr
=
Ir
Jr
ir
jr
θ
θ
ωr
ra vOMωv rrr+∧=
Pas de rotation :
ra vv rr=
0ωrr
=
Mouvement rectiligne dans leréférentiel absolu.
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en rotation
16
R (fixe) R’ (en rotation)
kKrr
=
Ir
Jr
ir
jr
θ
θ
ωr
ra vOMωv rrr+∧=
Rotation du plateau dans le sens trigonométrique
ωr
avr
evrear vvv rrr
−=
La caméra est solidaire du référentiel relatif
bille
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en rotation
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R (fixe) R’ (en rotation)
kKrr
=
Ir
Jr
ir
jr
θ
θ
ωr
ra vOMωv rrr+∧=
Rotation du plateau dans le sens horaire
avr
evr
ear vvv rrr−=
ωr
La caméra est solidaire du référentiel relatif
bille
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
2) Loi de composition des accélérations
iωdt
idirr
r&r ∧==
crea aaaarrrr
++=
R'r (M)aarr
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +++++++++= k zj yi x2k zj yi xk zjy ix
dtOO'da 2
2
a&r
&&r
&&r
&r
&&r
&&r
&&&&r&&r&&rr
R
ear
car
18
( ) ( )iωωiωiωiωiωirrrr
&r&rrr&r
rr&&r ∧∧+∧=∧+∧=
∧=
dtd
=0 car O=O’
( )OMωωOMωa e ∧∧+∧=rr&rr
rc vω2a rrr∧=
Chapitre 5: Changements de référentielsII LOIS DE COMPOSITION DES VITESSES ET ACCELERATIONS
3) Application à deux référentiels en rotation
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R (fixe) R’ (en rotation)
kKrr
=
Ir
Jr
ir
jr
θ
θ
ωr
Rotation du plateau dans le sens trigonométrique
ωr
avr
evr
rvr
La caméra est solidairedu référentiel relatif
bille
( )OMωωOMωa e ∧∧+∧=rr&rr
rc vω2a rrr∧= crea aaaa
rrrr++=
aar
On suppose ω=Cste donc
D’autre part,
On peut alors en déduire qui
est orienté vers l’intérieur de la trajectoire
ee va rr⊥
ear
rc va rr⊥
car
rar
rar
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
1) Référentiels galiléens et non galiléens
20
Nous avions vu qu’un référentiel terrestre R pouvait être considéré comme un référentiel
galiléen. On considère un référentiel un référentiel R’ en mouvement par rapport à R.
A quelle condition ce référentiel est‐il galiléen ?
Rappel : Un référentiel R est dit galiléen si un mobile infiniment éloigné de tout autre objet matériel est :‐) soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme‐) soit y est immobile
Si R’ est en rotation autour de R, R’ est forcément non galiléen
Si R’ est en translation par rapport à R,
Pour que R’ soit galiléen, O’ doit avoir un mouvement uniforme dans R.
Donc R’ est galiléen ssi il est animé d’un mouvement rectiligne uniforme dans R.
crea aaaarrrr
++=
( ) raa aO'aarrr
+=
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
21
Que fait‐on pour un référentiel non galiléen ? On doit écrire le PFD dans un référentiel
galiléen, dans R donc :
Rappel : Dans un référentiel galiléen, le mouvement d’un point matériel de masse m soumis à un ensemble deforces dont la résultante est possède une accélération
On écrit ce principe sous la forme : crea aaaarrrr
++=Fr
m / Farr
=
dtpd
dtvd ma m F
rrrr
===
( )rce aaa ma m Frrrrr
++==
cer ffFa mrrrr
++= ee a mfrr
−=
cc a mfrr
−=
= pseudo‐force d’entraînement
= pseudo‐force de Coriolis
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
22
cer ffFa mrrrr
++=ee a mfrr
−=
cc a mfrr
−=
= pseudo‐force d’entraînement
= pseudo‐force de Coriolis
Rotation du plateau dans le sens trigonométrique
ωr
La caméra est solidairedu référentiel relatif
billeaar
ear
car
rar
efr
cfr
0Frr
= car le poids est compensé
par la réaction du support si on
néglige les frottements sur le
plateau tournant.
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
23
Un exemple : pendule dans une voiture. Quel est le mouvement d’un pendule dans une voiture selon que la voiture freine ou accélère ?
http://www.youtube.com/watch?v=MhmUQ2ew2kw
Différents mouvements d'une voiture_(360p).mp4
Dans le film : 4 situations = phase d’accélération, vitesse constante, freinage…et virage à droite
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
24
0a a
rr=
0a r
rr=
0a e
rr=
aar
crea aaaarrrr
++=
Vitesse constante :
donc,
Pendule vertical : la tension du fil compense le poids de la masselotte
g mPrr
=
Tr
La voiture accélère.On se place dans la situation oùle pendule est à l’équilibre … quevaut l’angle α?
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
25
crea aaaarrrr
++=
efr
aar
g mPrr
=
Tr
α
On a toujours deux forces : le poids et la tension du fil. D’après le schéma, on voit bien que
la somme de ces deux forces ne peut être nulle même si le pendule est à l’équilibre, ceci est
du à la pseudo‐fore d’entraînement.
On se place dans la situation oùle pendule est à l’équilibre …Cela veut dire que
On va appliquer le PFD… dans Ret pas dans R’ qui est leréférentiel associé à la voiture.MAIS, le pendule est associé à lavoiture, on cherche donc sonmouvement dans R’.
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
26
0a r
rr=
crea aaaarrrr
++=
aee a ma mfrrr
−=−=
efr
aar
g mPrr
=
Tr
α
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
27
crea aaaarrrr
++=
efr
aar
g mPrr
=
Tr
α( )rcea aaa ma m F
rrrrr++==
eea fa ma m TPrrrrr
−===+
Pour éviter de calculer la tension
du fil, on va projeter sur une
direction orthogonale à ce fil afin
d’en déduire l’angle α.
0αsin Pα cos fe =+−ga
ga
Pfαtan aee ===Donc,
On peut également définir un poids effectif tel que la relation vérifiée à vitesse constante
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
28
crea aaaarrrr
++=
efr
aar
g mPrr
=
Tr
α eea fa ma m TPrrrrr
−===+
On peut également définir un poids effectif tel que :
0 TPeff
rrr=+
eeff fP Prrr
+=
eff2e
2eeff g magmfP P =+=+=rrr
2
2eeff a1g
gg+=
Plus l’accélération est forte, plus on ressent de « g ».
effPr
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
29
efr
Le raisonnement est identique, mais la norme de l’accélération d’entrainement vaut ???
Réponse : où est le rayon du cercle parcouru par la voiture et ω, la vitesse
angulaire de la voiture. Si V est la vitesse de la voiture (affichée au compteur),
et donc,
0a c
rr=
2ωℜ=ea
crea aaaarrrr
++=
ee a mfrr
−=
g mPrr
=
Tr
α
Même chose avec un virage (tourner à droite)
0a r
rr=A l’équilibre, et
( )( )OMωωa
OMωωOMωa
e
e
∧∧=
∧∧+∧=rrr
rr&rr
0v r
rr=
Si ω=Csteωr
evr
ear
ℜωℜ=V
ℜ=
2Vae 22
4eff V1g
gg ℜ+= (utilisé pour la centrifugation)
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
30
cc a mfrr
−=
= pseudo‐force de Coriolis
La force de Coriolis : mouvement dans un référentiel en rotation
The Coriolis Force_(360p).mp4
http://www.youtube.com/watch?v=_36MiCUS1ro
crea aaaarrrr
++=
( )OMωωa e ∧∧=rrr
rc vω2a rrr∧=
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
31
crea aaaarrrr
++=
( )OMωωa e ∧∧=rrr
evr
ear
efr
est un vecteur radial colinéaire à donc la forced’entrainement l’est aussi. Cette force ne peut expliquer ladéviation de la balle vers la droite (vu de l’observateur), vers lagauche vu du lanceur (en jaune)
OM
ee a mfrr
−=
ωr
Chapitre 5: Changements de référentielsIII LOIS DE NEWTON DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Principe fondamental de la dynamique (PFD)
32
crea aaaarrrr
++=
rc vω2a rrr∧=
ωr
rvr
car
cfr
Le vecteur est tangent à la trajectoire, l’accélération deCoriolis est donc orthogonale à celle‐ci et la force de Coriolisentraîne un mouvement ‘latéral’ qui explique la déviation de laballe par rapport à la ligne droite
rv
cc a mfrr
−=
Chapitre 5: Changements de référentielsIV THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
1) Théorème de l’énergie cinétique
33
Rappel : dans un référentiel galiléen, la variation d’énergie cinétique d’un point matériel soumis à une force , entre un point A et un point B de sa trajectoire, est égal au travail de sur l’arc de trajectoire .
Fr
( ) ( ) ( )FWAEBE BAcc
r→=−
ABFr
Dans un référentiel non galiléen, il faut rajouter aux forces, les pseudo‐forces d’inertie
( ) ( ) ( ) ( )inertieBABAcc fWFWAEBErr
→→ +=−
Chapitre 5: Changements de référentielsIV THEOREME DE L’ENERGIE CINETIQUE DANS UN REFERENTIEL NON GALILEEN
2) Energie mécanique
34
Dans un référentiel non galiléen, si un système est soumis à des forces à circulationconservative, à des forces à circulation non‐conservatives de résultante et à des forcesne travaillant pas,
( ) ( ) ( ) ( )inertieBAncBAmm fWFWAEBErr
→→ +=−
ncFr
inertiefr
est la résultante des forces d’inertie
Chapitre 5: Changements de référentielsV RESUME
35
Loi de composition des vitesses :
Loi de composition des accélérations :
Pour un référentiel en translation par rapport à un référentiel fixe :
Pour un référentiel en rotation autour du référentiel fixe
Pseudo‐forces :
Principe fondamental de la dynamique dans un référentiel non galiléen :
rea vvv rrr+=
crea aaaarrrr
++=
( ) rarea vO'vvvv rrrrr+=+= ( ) rarea aO'aaaa
rrrrr+=+= 0a c
rr=
ra vOMωv rrr+∧= ( )OMωωOMωa e ∧∧+∧=
rr&rrrc vω2a rrr
∧=
cer ffFa mrrrr
++=
ee a mfrr
−= cc a mfrr
−== pseudo‐force d’entraînement = pseudo‐force de Coriolis