Chapitre 6
Lois de probabilité
Lois discrètes
1. Loi uniforme
Toutes les valeurs prises par la variable aléatoire ont la même probabilité
n
1)xp(X i, i Si n est le nombre de valeurs prises par X alors:
n
1i
n
1i iix
n
1 x
n
1 E(X)
n
1i
22
i
2n
1ii E(X)x
n
1E(X))(x
n
1 V(X)
Lois discrètes
2. Loi de Bernoulli (ou loi alternative simple)
On appelle variable de Bernoulli ou variable indicatrice, la variable
aléatoire X telle que : 0,1 )X(et succèséchec, R/ :X
Loi de probabilité: p(X=0)=q et p(X=1)=p avec p+q=1
Elle est appelée loi de Bernoulli, notée B(1,p)
p E(X) pq V(X)
Lois discrètes
3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)
On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant
à la somme de n variables de Bernoulli :
....n 0,1, )X(
que telleR :XX
n
nn
1ii
Exemple: X = nombre de filles dans les fratries de 4 enfants
X() = {0, 1, 2, 3, 4}
p: probabilité d’avoir une fille à chaque naissance = 1/2
Loi de probabilité
X=0 GGGG q4 0.0625X=1 FGGG, GFGG, GGFG, GGGF 4q3p 0.25X=2 FFGG, FGFG, FGGF, GFFG, GFGF, GGFF 6q2p2 0.375X=3 FFFG, FFGF, FGFF, GFFF 4qp3 0,25X=4 FFFF p4 0,0625
somme = 1
Indépendance statistique p (G G G G) = q.q.q.q = q4
Lois discrètes
3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)
On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant
à la somme de n variables de Bernoulli :
....n 0,1, )X(
que telleR :XX
n
nn
1ii
Loi de probabilité:
Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p)
k)!(nk!
n!C avec q p Ck)p(X k
n
knkk
n
n
k
n
k
knkk
n ?qpCk)p(X0 0
1
Loi de probabilité ? des probabilités = 1
n
k
knkk
n
n baCbaRba0
)(,,
Représentation: diagramme en bâtons
X
P(X=k)
0 1 2 3 4
n
k
n
k
nknkk
n qpqpCkXp0 0
1)()(
Or,
Formule de récurrence pour le calcul des probabilités
)1()1(
)(
)1(
)1(
)(
!
)!1()!1(
)!(!
!
)1(
)(
)!1()!1(
!)1(
)!(!
!)(
11
11
kXpq
p
k
knkXp
q
p
k
kn
kXp
kXp
q
q
p
p
n
knk
knk
n
kXp
kXp
qpknk
nkXp
qpknk
nkXp
kn
kn
k
k
knk
knkOn pose:
On calcule:
Lois discrètes
3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)
Formule de récurrence pour le calcul des probabilités
Exemple: fratries de 4 enfants
P(X=3)= 4-3+1 x 0.5 x p(X=2) = 2 x 0,375 = 0,25
3 0.5 3
Lois discrètes
3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)
On appelle variable Binomiale une variable aléatoire X correspondant
à la somme de n variables de Bernoulli :
....n 0,1, )X(
que telleR :XX
n
nn
1ii
np E(X) npq V(X)
Loi de probabilité:
Elle est appelée loi Binomiale, notée B(n,p)
k)!(nk!
n!C avec q p Ck)p(X k
n
knkk
n
Exemple: X: nb de filles dans les fratries de 4 enfants
B (4, 1/2)
E(X) = np = 2 2 filles en moyenne
V(X) = npq = 2x1/2 = 1 écart-type = 1
Probabilité d’avoir au moins 3 filles dans les fratries de 4
P(X 3) = p(X=3) + p(X=4)= 4p3q + p4 = 0,25+0,0625=0,3125
Lois discrètes
3. Loi Binomiale (ou loi alternative répétée)
Lois discrètes
4. Loi de Poisson
Loi de probabilité:
Elle est appelée loi de Poisson, notée P(l)
0 avec k!
λ ek)p(X
kλ l
n...0,1,2...,)X(Ω
que telleRΩ : X
Dans le cas d’une variable de Poisson, les événements se produisent
les uns à la suite des autres, de façon
aléatoire dans l’espace ou le temps.
distribution très dissymétrique car p<<q et n’est pas bornée, donc X peut prendre des valeurs jusqu’à l’infini
X
P(X=k)
0 1 2 3 4
Représentation graphique: diagramme en bâton
Lois discrètes
4. Loi de Poisson
1)(
!!...
!4!3!21
!
!!)(
0
0
432
0
000
ll
l
ll
l
ll
eekXpdonc
k
x
n
xxxxxe
ek
or
ke
kekXp
k
k
knx
k
k
k
kk
kk
En effet, le développement limité de e au voisinage de 0 est:
Par convention: pour k=0, l0=1 et 0!=1
Formule de récurrence:
)1()(
!
)!1(
)1(
)(...'
)!1()1(.......
!)(
1
1
kXpk
kXp
k
k
e
e
kXp
kXpoùd
kekXpet
kekXp
k
k
kk
l
l
l
ll
l
l
ll
Lois discrètes
4. Loi de Poisson
Lois discrètes
4. Loi de Poisson
λ E(X) λ V(X)
Loi de probabilité:
Elle est appelée loi de Poisson, notée P(l)
0 avec k!
λ ek)p(X
kλ l
n...0,1,2...,)X(Ω
que telleRΩ : X
Dans le cas d’une variable de Poisson, les événements se produisent
les uns à la suite des autres, de façon
aléatoire dans l’espace ou le temps.
Approximation de la loi Binomiale par une loi de Poisson
Lorsque le nombre d’épreuves dans une loi Binomiale tend vers l’infini et que la probabilité de succès tend vers 0, la loi binomiale tend vers la loi de Poisson
X~B (n, p) et n≥50 et np≤5 alors X-> P (l) avec l=np=E(X)
Démonstration :
Lois discrètes
4. Loi de Poisson
Exemple: Dans une population, la probabilité d’apparition d’une maladie génétique est de 0.001.On tire un échantillon de 100 individus.Quelle est la probabilité que 2 individus soient malades ?
X: nb d’individus malades parmi 100
X~B (100, 0.001)
P(X=2) = 100! (0.001)2 (0.999)98=0.00449
Approximation par la loi de Poisson:
l=np=0.1 X~P (0.1)
P(X=2)=e-0.1(0.1)2 = 0.00452 ~ 0.00449
2!
2! 98!
Lois discrètes
6. Loi géométrique (loi de Pascal)
Une variable géométrique correspond au nombre d’épreuves de Bernoulli
nécessaires pour obtenir 1 succès:
n...1,2..., )X(Ω
que telleRΩ : X
Loi de probabilité: p q n)p(X 1n
p
1 E(X)
2p
q V(X)
Lois discrètes
6. Loi Binomiale négative
Une variable binomiale négative correspond au nombre d’épreuves
nécessaires pour obtenir k succès:
n...1,...,kk, )X(Ω
que telleRΩ : X
Loi de probabilité: kkn1-k
1-n p q C n)p(X
p
k E(X) 2p
qk V(X)
Lois discrètes
7. Loi hypergéométrique
Une variable hypergéométrique correspond à l’observation de k succès
lors de n épreuves sans remise :
....n 0,1, )X(
que telleR :X
n
n
Loi de probabilité: n2n1N avec C
C C k)p(X
n
N
k-n
n2
k
n1
N
n1 n E(X) 2N
n2 n1
1-N
n1-N n V(X)
Lois continues
1. Loi uniforme continue
Une variable aléatoire continue est uniforme sur [a,b] si la valeur de sa
fonction densité de probabilité est constante pour tout x Є [a,b]
ba,x si 0f(x)et ba,x si ab
1 f(x)
Densité de probabilité: R R:f
ab
αβx
a-b
1dx
ab
1β)Xp(α
βα
β
α
Lois continues
1. Loi uniforme continue
2
ab E(X)
12
a)-(b V(X)
2
Fonction de répartition:
bx si 1 F(x)a,x si 0F(x)
ba, x si ab
ax F(x)
Lois continues
2. Loi de Gauss ou loi normale
Une variable aléatoire est une variable normale quand elle dépend d’un
grand nombre de causes indépendantes dont aucune n’est prépondérante
Densité de probabilité:
2
σ
μx
2
1
e2Πσ
1 f(x)
RR:f
),( N
notée
μ E(X) 2 V(X)
Lois continues
2. Loi de Gauss ou loi normale
Fonction de répartition
dx
2
e 2Πσ
1F(u) σ
μx
2
1-u
Lois continues
3. Loi normale centrée-réduite
Une variable normale centrée-réduite a pour densité de probabilité :
0 E(X) 1 V(X)
Densité de probabilité:
2x2
1
e2Π
1 f(x)
RR:f
notée
)1,0(N
Lois continues
3. Loi normale centrée-réduite
P(U < a) = ∏(a)
∏(0,36) = 0,6406
P(U < 0,36) = ∏(0,36)
On lit la valeur dans la table
exemple
Lois continues
4. Loi du 2 de Pearson
On appelle 2 à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par :
)1,0(~X avec X....X...XX i
2
n
2
i
2
2
2
1
2 N
n )E( 2 2n )V( 2
Densité de probabilité:
2
2
122 ec )f(
n
RR:f
Lois continues
5. Loi de Fisher-Snedecor
On appelle F à n et p degrés de liberté la variable aléatoire définie par :
ddl pà ~Vet ddl nà ~ Uavec pV
nUF 22
2-p
p E(F)
4)(p2)-n(p
2)-p(np2 V(F)
2
2
Densité de probabilité:
2
pn1
2
n
nF)(pcF f(F)
RR:f
Lois continues
6. Loi de Student
On appelle T à n degrés de liberté la variable aléatoire définie par :
ddl nà ~Vet ),(~ Uavec nV
UT 2
10 N
0 E(T) 2-n
n V(T)
Densité de probabilité:
2
1n2
n
T1c f(T)
RR:f
Soit la variable aléatoire S résultant de la somme de n variables
aléatoires indépendantes et de même loi, on construit la variable
centrée réduite telle que :
Alors pour tout t R, la fonction de répartition F(t) = P(Z < t) est telle
que :
quand n ∞ c’est à dire N(0,1).
Théorème central limite