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Chapitre 7 : régimes sinusoïdaux
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sin est une fonction périodique de période 2 qui varie entre –1 et 1.
x0 /4 /2 3/2 2
sin x
0 22 1 0 -1 0
Doc 1I / 1.
1
- 1
x2ππ
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cos est une fonction périodique de période 2 qui varie entre –1 et 1.
x 0 /4 /2 3/2 2
cos x
1 22 0 -1 0 1
Doc 1I / 1.
1
- 1
x2ππ
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Doc 2I / 1.
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Doc 3u(t)= û.sin(t+u)
amplitude pulsation Phase à l’origine
II / 1.
T
û
- û
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Phase à l’origine
t
Phase à l’origine : décalage entre
u
0 2
le départ de la sinusoïde
et l’origine des temps
II / 1. c)
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Phase à l’origine
t
Phase à l’origine : décalage entre
= /2
le départ de la sinusoïde
et l’origine des temps
u
0 2
II / 1. c)
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Phase à l’origine
t
Phase à l’origine : décalage entre
= le départ de la sinusoïde
et l’origine des temps
u
0 2
II / 1. c)
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Phase à l’origine
t
Phase à l’origine : décalage entre
= 3/2
le départ de la sinusoïde
et l’origine des temps
u
0 2
II / 1. c)
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Phase à l’origine
t
Phase à l’origine : décalage entre
= -/2
le départ de la sinusoïde
et l’origine des temps
u
0 2
II / 1. c)
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Phase à l’origine
t
Phase à l’origine : décalage entre
= -le départ de la sinusoïde
et l’origine des temps
u
0 2
II / 1. c)
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Doc 4II / 1. c)
=0u=û.sin(t)
=/2u=û.sin(t+/2)
=u=û.sin(t+)
û
- û
t
/ω2π/ωπ/ωπ/2ω
T/4 T/2 T
û
- û
t
/ω
û
- û
t
/ω
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Exercice :
On a une tension sinusoïdale d’amplitude 3V et de période T=0,1s
1. Calculer sa fréquence f
2. Calculer sa pulsation ω
3. Représenter u(t) avec = 0
4. Représenter u(t) avec = /2
II / 1. d)
f=1/0,1= 10Hz
ω=2πf=2π.10= 62,8 rad/s
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Doc 5II / 2.
T
û
- û
A1
A1
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Doc 6III / 1.
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Doc 6III / 1.
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Doc 6III / 1.
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Doc 6III / 1.
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Vecteur de Fresnel
O X
U
U
norme du vecteur valeur efficace
angle entre vecteur et OX phase à l’origine
u(t)= U/√2.sin(t+u)
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exercice
u3(t)= 32 sin( t - /4 )
u4(t)= 22 sin( t + /4 )
OX
U1
U2
XO
I1
I2
OX
U4
U3
1.Représenter par leur vecteur de Fresnel ces deux tensions :u1(t)= 22 sin( t + /4 )
u2(t)= 32 sin( t - /6 )
2.Représenter les courants : i1(t)= 32 sin( t + /2 )
i2(t)= 2 sin( t )
3.D’après leurs vecteurs de Fresnel, donner l’expression de ces deux tensions:
III / 2.
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u3(t)= 32 sin( t - /4 )
u4(t)= 22 sin( t + /4 )
U1 = [2 ;/4]=2cos/4+2jsin/4=2 + 2 j
U2 = [3 ;-/6]=3cos-/6+3jsin-/6=33/2 – 3/2j
= 2,6 – 1,5 j
I1 = [ 3 ; /2 ] = 3j
I2 = [ 1 ;0 ] = 1
Exercice d’application
1.Donner l’écriture complexe de ces deux tensions
u1(t)= 22 sin( t + /4 )
u2(t)= 32 sin( t - /6 )
2.De même pour ces courants :i1(t)= 32 sin( t + /2 )
i2(t)= 2 sin( t )
3.D’après leurs formes complexes, donner l’expression de ces deux tensions:U3= [ 3 ; -/4 ]
U4= [ 2 ; /4 ]
IV / 3.
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V / 2. Exemple1 :
Connaissant i1(t)= 42 sin( 100.t + /6 ) et i2(t)= 62 sin( 100.t + /3 )
donner l’expression de i3(t). i1
i3
i2
O X
I1
I2
I3
+
Fresnel :on dessine i1 et i2 et on les ajoute
on représente i1 par Norme : 4Angle : /6
Norme : 6Angle : /3
I1
I2
Or la loi des nœuds donne : i3 = i1 + i2
On mesure I3 = 9,6 A et (OX , I3 )= 48°=0,84 rad
Conclusion : i3(t)= 9,62 sin( 100.t + 0,84 )
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V / 2. Exemple1 :
Connaissant i1(t)= 42 sin( 100.t + /6 ) et i2(t)= 62 sin( 100.t + /3 )
donner l’expression de i3(t). i1
i3
i2En complexe :
I1 = [ 4 ; /6 ] donc a = 4cos(/6) = 43/2 = 40,866 = 3,46
b = 4sin(/6) = 40,5 = 2donc I1=a+bj=3,46+2j
de même I2= [6 ; /3] = 3+5,20j car a = 6cos(/3) = 60.5 =3
b = 6sin(/3) = 63/2 = 60,866 = 5,20
d’où loi des nœuds : I3= I1 + I2 = 3,46+2j + 3+5,20j = 6,46 + 7,20j
I3 = [ 9,7 ; 0,84 rad ] car I3 = (6,46²+7,2²) et i3=arctan(7,20/6,46)
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V / 2. Exemple2 :
GBFu
u1 u3
u4u2
i1 i3
i2 1° Déterminer l’expression de i1(t)
sachant que i2=0,052sin628t et
i3=0,032sin(628t+/3)
2° Déterminer u(t) sachant que u1=3sin(628t+0,5) et u2=4sin(628t-1,2)
I3
Fresnel :on dessine i2 et i3 et on les ajoute
on représente i2 par I2 Norme : 0.05Angle : 0
Norme : 0.03Angle : /3
Or la loi des nœuds donne : i1 = i2 + i3
O XI2
I3
I1
+
On mesure I1 = 0.07 A et (OX , I1 )= 20°=0,4 rad
Conclusion : i1(t)= 0.072 sin( 100.t + 0,4 )
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V / 2. Exemple2 :
GBFu
u1 u3
u4u2
i1 i3
i2 1° Déterminer l’expression de i1(t)
sachant que i2=0,052sin628t et
i3=0,032sin(628t+/3)
2° Déterminer u(t) sachant que u1=3sin(628t+0,5) et u2=4sin(628t-1,2)
En complexe : I2 = (0,05 ; 0) = 0,05 et I3 = (0,03; /3)=0.015+0.025j
donc I1 = I2 + I3
= 0,065 +0.025j
= ( 0,07 ; 0,38 ) i1=0,072sin(628t+0,4)
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Doc 7V / 3. a)
O X
U1
U2
1
2
+
u2
u1
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u
i
O X
I
U
u
i
+
i
u
O X
U
I
i
u
+
si u > i alors >0 et u est en avance sur i
si u < i alors <0 et u est en retard sur i
V / 3. b)
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Doc 8V / 3. d)
Si : φ2 > φ1 alors u2 en avance sur u1
u2
u1
x
U2
φ2
U1
φ1
Si : φ2 > φ1 alors u2 en retard sur u1
u2
u1
x
U2
φ2
U1
φ1
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Doc 8V / 3. d)
u2
u1
x
U2
φ2
U1
φ1
Si : φ2 = φ1 alors u2 et u1 sont en phase
u2
u1
x
U2
φ2
U1
φ1
Si : φ2 = φ1 alors u2 et u1 sont en opposition de phase
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