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Chapitre 8
Equations
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Objectifs : • Savoir résoudre une équation
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I. Equations
Définition :
Une équation est une égalité dans laquelle interviennent un ou
plusieurs nombre(s) inconnu(s).
Ceux-ci sont le plus souvent désignés par des lettres.
Exemple :
+ 5 = 17 – 2 est une équation d'inconnue .
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Résoudre une équation d'inconnue , c'est trouver toutes les valeurs
possibles du nombre (si elles existent) qui vérifient l'égalité, c'est-à-dire
que l'égalité soit vraie.
Chacune de ces valeurs est une solution de l'équation.
Exemples : On considère notre équation + 5 = 17 – 2
Le nombre 2 est-il solution de cette équation ?
Calcul du 1er membre : = 2 : 2 + 5 = 7
Calcul du 2eme membre : = 2 : 17 – 2 x 2 = 13
L'égalité n'est pas vérifiée pour = 2, donc le nombre 2 n'est pas solution
de cette équation.
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Propriété :
On ne modifie pas une égalité lorsqu'on ajoute (ou l'on
soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.
Exemple : – 2 + = - 3
En ajoutant 2 à chacun des membres de l'égalité, on obtient
– 2 + + 2 = - 3 + 2
c'est-à-dire = - 1
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Propriété :
On ne modifie pas une égalité lorsqu'on multiplie (ou l'on divise)
un même nombre non nul à chacun de ses membres.
Exemple : –5 = 10
En divisant par - 5 à chacun des membres de l'égalité, on obtient
– 5 : ( - 5 ) = 10 : ( - 5 )
c'est-à-dire = - 2
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II. Résoudre une équation
On considère l'équation d'inconnue x :
x + 5 = 17 – 2x
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1ère étape :
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2ème étape :
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3ème étape :
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4ème étape :
On vérifie :
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5ème étape :
On conclue :
L'équation admet une solution : 4
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Remarque :
En pratique, on utilise une méthode plus rapide.
Lorsque l'on « passe un membre d'un autre côté » quand il est
ajouté ou soustrait, on le transforme en son opposé.
Lorsque l'on « passe un membre d'un autre côté » quand il est
multiplié ou soustrait, on le transforme en son inverse.
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III. Résoudre un problème
Alexandra et Thomas choisissent un même nombre.
Alexandra multiplie ce nombre par 5 et ajoute 14 au résultat.
Thomas ajoute 29 au nombre choisi.
Ils trouvent le même résultat.
Quel est le nombre qu'ils ont choisi au départ ?
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1ère étape : Choix de l’inconnue :
On note le nombre choisi au départ.
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2ème étape : Mise en équation :
5 𝑥+14=𝑥+29
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3ème étape : Résolution de l’équation
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4ème étape : Conclusion :
Le nombre choisi au départ est donc 3,75.
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IV. Equations produits
Propriété:
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs
est nul.
Soient A et B deux expressions , si A × B = 0 alors A = 0 ou B =
0.
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Exemples : Résoudre l'équation
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l’un des facteurs
est nul.
Donc : ou
ou
ou
Les solutions de l'équation sont les nombres - 2 et 3 .