CHAPITRE 9
Proportionnalité
Objectifs:
- Utiliser des pourcentages de baisse, d’augmentation, ou successifs.
- Interpréter une grandeur composée.
- Utiliser les agrandissements ou les réductions d’aires et de volumes.
I. PourcentagePrendre T % d’un nombre revient à multiplier ce nombre par T/100.Augmenter un nombre de T % revient à multiplier ce nombre par 1 + T/100.
Diminuer un nombre de T % revient à multiplier ce nombre par 1 – T/100.
Exemples : - Si une boîte de 400 g est vendue avec 15 % de
produit en plus, sa nouvelle masse ( en g) est :
400 x ( 1 + 15/100 ) = 400 x 1,15 = 460 grammes
- En France, une baisse de natalité de 2% a été enregistrée sur un
effectif annuel de 750 000 naissances. Le nouvel effectif est :
750 000 x ( 1 – 2/100 ) = 750 000 x 0,98 = 735 000 naissances
II. Grandeurs composées1) Grandeurs quotients
On appelle grandeur quotient une grandeur formée par le
quotient de deux unités de base.
– vitesse moyenne : v = d/t s'exprime généralement en km/h (kilomètre par heure), ou en m/s (mètre par seconde).
– débit en L /min (litre par minute), ou m3/s (mètre cube par seconde).
– densité de population en hab/km2 (nombre d'habitants par kilomètre carré).
– consommation de carburant en L/100km .
– masse volumique en g/cm3 (gramme par centimètre cube).
Exemple : Calculer la vitesse moyenne d'un
automobiliste parcourant 130 km en 1 h 20
min.On a 1 h 20 min = 1 h + 1/3 h = 4/3 h
Donc v = d/t
= 130 ÷ 4/3
= 97,5 km/h
2) Grandeurs produits
On appelle grandeur produit une grandeur formée par le
produit de plusieurs unités de base.
– L'énergie consommée E (en wattheure) s'exprime en fonction de la puissance P (en watt) et du temps t (en heure) : E = P × t.
Exemple : Calculer l'énergie consommée par 10 ampoules de
75W pendant une durée de 1 h 45 min.
On a 1 h 45 min = 1 h + 3/4 h = 7/4 h
Donc E = P x t
= 75 x 7/4= 131,25 wattheure
Soit donc 1 312,5 wattheure pour 10 ampoules
III. Réduction-Agrandissement1) Définitions
- La réduction de rapport k d’un objet est la transformation qui
multiplie toutes les longueurs par un nombre positif k tel que 0 <
k < 1.Exemple :
Cube ACube B
On passe du Cube A au Cube B
par
une réduction de coefficient k =
½.
(les dimensions du cube A sont toutes multipliées par ½ pour obtenir celle du cube B)
- L’agrandissement de rapport k d’un objet est la
transformation qui multiplie toutes les longueurs par un nombre
k tel que k > 1.
Exemple :
On passe du Cube B au Cube C par
un agrandissement de coefficient k
= 3.
Cube B Cube C
(les dimensions du cube B sont toutes multipliées par 3 pour obtenir celle du cube C)
2) PropriétésDans un agrandissement ou une réduction de rapport k, (k > 0)
- Les aires sont multipliées par k²
- Les volumes sont multipliés par k3
Exemples :
- L’aire de la face de devant du Cube A est 4 cm².
On passe du Cube A au Cube B par une réduction de coefficient k = ½ .Donc l’aire du cube B est : 4 x (½)² = 4 x ¼ = 1 cm²
- Le volume du Cube B est de 1 cm3.
On passe du Cube B au Cube C par un agrandissement de coefficient k = 3.
Donc le volume du Cube C est :1 x 33= 1 x 27 = 27 cm3
S
O'A'
3) Section d'un cône de révolution par un plan parallèle à la base
Le triangle SOA rectangle en O
engendre un cône de révolution
de hauteur 20 cm et de rayon de
base 6 cm.
On réalise la section de ce cône
par le plan parallèle à la base
passant par O', un point de [SO],
tel que SO' = 2 cm.
OA
S
O'A'
OA
S
O'A'
O'A'
S
D’après le théorème de Thalès dans le triangle SAO sachant que
O’ appartient à [SO],
A’ appartient à [SA]
et que (O’A’) est parallèle à (OA), on a :
SO' SA' O'A' 2SO SA OA 20
Donc le petit cône est une réduction du grand cône de coefficient2 1
k20 10
Or, le volume du grand cône est égal à :
r² hV
3
6² 20V
3
3V 240 cm
Donc le volume du petit cône est égal à :
31
V' 24010
3V' 0,240 cm