ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 1240-209 : Steady-State Errors
Chapter 8
Steady-State Errors
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 2240-209 : Steady-State Errors
Outline
1 Definition2 Test input 2.1 Step function 2.2 Ramp function 2.3 Parabola function3 Steady-state errors4 Steady-state errors for disturbances
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 3240-209 : Steady-State Errors
Definition and test input
R(s) E(s) C(s)G(s)
H(s)
+-
e ∞= limt∞
e t
e t =L−1[E s ]
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 4240-209 : Steady-State Errors
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 5240-209 : Steady-State Errors
Steady-state error
Step input
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 6240-209 : Steady-State Errors
Ramp input
Steady-state error
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 7240-209 : Steady-State Errors
Closed-loop control system error
(a) general representation;(b) representation for unity feedback systems
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 8240-209 : Steady-State Errors
Steady-State Error for Unity Feedback Systems
E s = R s 1G s
e ∞= limt∞
e t =lims 0
sE s
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 9240-209 : Steady-State Errors
Step input
e ∞=e step ∞=lims 0
s 1 /s 1G s
= 11lim
s0G s
e ∞ 0 When lims 0
G s =∞
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 10240-209 : Steady-State Errors
Ramp input
When
e ∞=e ramp ∞=lims 0
s 1/ s21G s
= 1lims 0
sG s
e ∞ 0 lims 0
sG s =∞
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 11240-209 : Steady-State Errors
Parabolic input
When
e ∞=e para ∞=lims 0
s 1/s31G s
= 1lims 0
s2G s
e ∞ 0 lims 0
s2G s =∞
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 12240-209 : Steady-State Errors
Static Error Constants and System type
Position constant, Kp
K p=lims 0
G s
Velocity constant, Kv
Acceleration constant, Ka
K v=lims 0
sG s
K a=lims 0
s 2G s
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 13240-209 : Steady-State Errors
Feedback control system for definingsystem type
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 14240-209 : Steady-State Errors
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 15240-209 : Steady-State Errors
Steady-State Error Specifications
If a control system has the specification Kv=1000, we can draw a conclusions :1. The system is stable.2. The system is of type 1.3. A ramp input is the test signal.4. The steady-state error between the input ramp and the output ramp is 1/Kv per unit of input slope.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 16240-209 : Steady-State Errors
Steady-state Error for Disturbances
Feedback control system showing disturbance
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 17240-209 : Steady-State Errors
System rearranged to show disturbanceas input and error as output, with R(s) = 0
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 18240-209 : Steady-State Errors
Forming an equivalent unity feedback system from a general nonunity feedback system
Steady-state Error for Non-unity Feedback Systems
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 19240-209 : Steady-State Errors
G(s) = G1(s)G2(s)H(s) = H1(s)/G1(s)
When
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 20240-209 : Steady-State Errors
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 21240-209 : Steady-State Errors
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 22240-209 : Steady-State Errors
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 23240-209 : Steady-State Errors
Nonunity feedback control system withdisturbance
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 24240-209 : Steady-State Errors
Sensitivity
SF : P= lim P0
Fractional change in the function , FFractional change in the parameter , P
= lim P0
F / FP / P
= lim P 0
PFFP
S F : P=PF F P
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 25240-209 : Steady-State Errors
Example (Nise) Calculate the sensitivity of the closed-loop transfer function to changes in parameter “a”
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 26240-209 : Steady-State Errors
Steady-state Error for System in State space
x=A xB ry=C x
E s =R s [1−C sI−A −1B ]
lims 0
sE s =lims 0
sR s [1−C s I−A −1 B ]
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 27240-209 : Steady-State Errors
Example (Nise) Find the steady-state errors for inputs of 5u(t), 5tu(t) and 5t2�u(t) of the system shown below.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 28240-209 : Steady-State Errors
Example (Nise) Find the steady-state errors for inputs of 5u(t), 5tu(t) and 5t2�u(t) of the system shown below.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 29240-209 : Steady-State Errors
Example (Nise) Find the value of K so that there are 10% error in the steady state for the system shown below.
ผ��เร�ยบเร�ยง ธเนศ เคารพาพงศ� แก�ไข 12 มกราคม 2548 หน�า 30240-209 : Steady-State Errors
Example (Nise) Find the steady-state error for a unit step input of the system shown below.