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8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
INDICE DE EJERCICIOS
EJERCICIO 7.1 .......................................................................................Error! Bookmark not defined.
EJERCICIO 7.2 ........................................................................................................................................ 1
EJERCICIO 7.3 ........................................................................................................................................ 3
EJERCICIO 7.4 ........................................................................................................................................ 4
EJERCICIO 7.5 ........................................................................................................................................ 6
EJERCICIO 7.6 ........................................................................................................................................ 9
EJERCICIO 7.7 ...................................................................................................................................... 10
EJERCICIO 7.8 ...................................................................................................................................... 12
EJERCICIO 7.9 ...................................................................................................................................... 18
EJERCICIO 7.10 .................................................................................................................................... 19
EJERCICIO 7.11 .................................................................................................................................... 21
EJERCICIO 7.13 .................................................................................................................................... 22
EJERCICIO 7.14 .................................................................................................................................... 25
EJERCICIO 7.15 .................................................................................................................................... 27
EJERCICIO 7.16 .................................................................................................................................... 29
EJERCICIO 7.17 .................................................................................................................................... 31
EJERCICIO 7.18 .................................................................................................................................... 33
EJERCICIO 7.19 .................................................................................................................................... 34
EJERCICIO 7.20 .................................................................................................................................... 38
EJERCICIO 7.21 .................................................................................................................................... 41
EJERCICIO 7.22 .................................................................................................................................... 44
EJERCICIO 7.23 .................................................................................................................................... 46
EJERCICIO 7.24 .................................................................................................................................... 48
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EJERCICIO 7.25 .................................................................................................................................... 52
EJERCICIO 7.27 .................................................................................................................................... 56
EJERCICIO 7.28 .................................................................................................................................... 59
EJERCICIO 7.29 .................................................................................................................................... 60
EJERCICIO 7.30 .................................................................................................................................... 62
EJERCICIO 7.31 .................................................................................................................................... 63
EJERCICIO 7.32 .................................................................................................................................... 64
EJERCICIO 7.33 .................................................................................................................................... 64
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David K. Cheng Captulo 7
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EJERCICIOS DEL LIBRO DE DAVID K. CHENG
CAPITULO 7
EJERCICIO 7.1
a)Obtenga las ecuaciones de onda que rigen los campos E y H en un medio conductor sin fuentes
cuyos parmetros constitutivos son , y
b)Obtenga las ecuaciones de Helmholtz para campos con dependencia armnica con el tiempo.
a)
dqqltE
tEE
t
EE
tE
t
EJ
tE
ExHt
EE
xHt
xEx
t
EJxH
conductormediounparaEJentonces
...0
0)()(
0
2
2
2
2
2
2
Para determinar H
dqqlt
H
t
HH
t
H
tt
HH
t
H
tt
H
HH
t
ExExH
t
HxE
...0
)(
2
22
2
2
-
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b)
dqqlHkHjH
EkEjE
khacemosSi
EEjE
EjjEE
HjE
k
EjH
HjE
onDemostraci
...0
0
:
22
22
22
22
2
2
0
0
:npropagaciodeContante
22
22
HH
EE
tenemosentoncesjj
PARA MEDIOS CONDUCTORES:
EJERCICIO 7.2
Se usa un radar Doppler de 1 (GHz) en tierra para determinar la posicin y velocidad de un aeroplano
que se aproxima. Suponga que la seal reflejada por el aeroplano a un ngulo de elevacin de 15.5
presento un retardo temporal de 0.3(ms) y un cambio de frecuencia de 2.64 (KHz), determine la
distancia, altura y velocidad del aeroplano.
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Ecuacin para el radar Doppler:
)1( CosVp
uftfr
)CosVp
uftftfr
Vp
u
EJERCICIO 7.3
Obtenga una formula general que exprese el favor )(RE en trminos de favor )(RH para una onda
transversal electromagntica y la impedancia intrnseca instantnea del medio, siendo R el vector deposicin.
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RHakRE
EakRH
ekiE
RH
Ej
RH
R
eERE
GENERALazZayYaxXRkZjYiXR
GENERALiki
eEzxE
zjxj
ZXo
ZX
Rj
o
ZX
zjxj
zx
zx
1
1
),( 0
EJERCICIO 7.4
La expresin de la intensidad de campo magntico instantneo de una onda plana que se propaga por el
aire en direccin +y esta dada por: 6 7 04*10 cos 104
zH a t k y A m
a) Determine 0k y al posicin donde se anula zH en 3t ms .b) Escriba la expresin de E instantneo.
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a)
7 12 7
*
10 8.85*10 * 4 *101.0476
Lk
rad m
6 74*10 cos 10 0.003 1.0476 =04
zH a y
1 7 1cos cos 10 0.003 1.0476 = cos 04
y
94227.8 1.0476 =4 2
y
1.0476 = 94247.8y
8964.7y m
b)
377
y
y x z
r y
y z
x
E a xH
S E H
a a a
a a
E a H a
E a H
X
X
ayktE
ayktE
410cos0015.0
410cos104377
0
7
0
76
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EJERCICIO 7.5
El campoE de una onda plana que se propaga en un medio dielctrico est dado por
a) Determine la frecuencia y la longitud de onda.b) Cul es la constante dielctrica del medio?.c) Describa la polarizacin de la onda.d) Encuentre el campoH correspondiente.
a)
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..91.15
102
10
8
8
RtaMHzf
fw
w
..88.10
3
12
3
1
Rtam
b)
.3
10
1033
1
2
8
8
2
Rtaer
er
w
cer
c
urerw
c)
mVaytsenaxtCostE /10102)0,( 88
122010 EE
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Al ser E10 E20 se tiene una polarizacin elptica, para obtener la direccin hacemos
oa
a
E
Ea
56.26
2
1tan
tan
1
10
201
Dndonos una direccin de mano izquierda.
La Polarizacin de la onda es Elptica de Mano Izquierda. Rta.
d)
3
120
,,
er
o
laresperpendicusonEyHtzE
tzH
EH
./3
10cos23
10120
3,
3
120
310
310cos2
,
88
88
RtamAayz
taxz
tsentzH
ayz
tsenaxz
t
tzH
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EJERCICIO 7.6
Demuestre que una onda plana con la siguiente expresin del campo elctrico instantneo
)()(),( 2010 kztsenEakztsenEatzE yx
tiene polarizacin elptica.
)()(),( 2010 kztsenEakztsenEatzE yx
Asignamos z=0 para examinar el campo de direccin de E en un punto determinado a medida
que vara t.
),0(),0(),0( 21 tEatEatE yx
)()(),0( 2010 tsenEatsenEatE yx
)0(
),0()(
)0(
),0()(
1
1
2
2
E
tEtsen
E
tEtsen
)cos()()cos()()( tsentsentsen
)(1)()cos()()( 2 tsensentsentsen
2
1
1
1
1
2
2
)0(
),0(1)()cos(
)0(
),0(
)0(
),0(
E
tEsen
E
tE
E
tE
Ya que una onda con polarizacin elptica resulta de la superposicin de dos ondas polarizadas
linealmente una en la direccin x y otra en la direccin y y retardada 90 en la fase temporal.
1)(
0)cos(
sen
2
1
1
2
2
)0(
),0(1
)0(
),0(
E
tE
E
tE
Lo cual conduce a la siguiente ecuacin de una elipse:
1)0(
),0(
)0(
),0(2
1
1
2
2
2
E
tE
E
tE
Donde 2010 EE
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EJERCICIO 7.7
Una onda plana uniforme de 3GHz, polarizada en y, se propaga en la direccin +x en unmedio no magntico con constante dielctrica de 2.5 y tangente de prdidas de 0.05.
a) Determine la distancia a la cual se reducir a la mitad la amplitud de la onda viajera.b) Determine la impedancia intrnseca, la longitud de onda, la velocidad de fase y la
velocidad de grupo de la onda en el medio.
c) Suponiendo 950 (6 10 3)( / )y
E a sen t V m en x=0, escriba la expresin de H
instantneo para todo t y x.
a)
9 12
7
12
2
.
0.05(2 .3 10 )(8.85 10 )(2.5)
0.0208 /
0.0208 (4 10 )(1)
2 (8.85 10 )(2.5)
2.485 /
Tg
Tg
x x
S m
x
x
rad m
2
92
8
1. 1
8
2 .3 10 1(1)(2.5) 1 0.05
3 10 8
99.377 /
R Rc
x
x
rad m
-
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0.5
0.5
ln( ) ln(0.5)
ln(0.5)
ln(0.5)
ln(0.5)
(2.485)
0.279
z
z
z
e
e
e
z
z
z
z m
b)
43.1274.238961.520.238
0025.08
305.01
5.2
1120
83
21
2
j
j
[ ]
c)
-
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9
60
1.43
58.56
9
2.485 9
50 (6 10 / 3)
50
238.274
0.2098
( , ) 0.2098 (6 10 58.56 )
( , ) 0.2098 (6 10 99.377 58.56 ) /
y
j
zj
j
z
xz
x
E Sen t a
eH a
e
H e a
H x t e Sen x t x a
H x t e Sen x t x A m
EJERCICIO 7.8
Determine y compare la impedancia intrnseca, la constante de atenuacin (tanto en Np/m como
en dB /m ) y la profundidad de penetracin del cobre.
)/(. mS10805 7cu
Y el bronce:
)/(. mS10591 7br
A las siguientes frecuencias:
a) 1 (MHz) y
b) 1 (GHz)
DESARROLLO:
-
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)(..
**
*)(
)/(.
)/(..*.
)/(.
*.*)*(*)*(*
***
*.
)*.(*)*(*)*(*
***
*
)/(*.
:
)
00026080j00026080
f
j1
mrad1915131
mdB516313142968681915131
mNp1915131
10805104101
f
m100866
10805104101
1
f
1
Hz101f
mS10805
Para
a
776
6
776
6
7cu
-
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)(..
)*.(
)*(*)*(**)(
**
*)(
)/(*.
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)/(*.
*.*)*(*)*(*
***
)(*.
)*.(*)*(*)*(*
***
)(*
)/(*.
:
)
0082500j0082500
10805
104101j1
f
j1
mrad10513478
mdB9184156363686810513478
mNp10513478
10805104101
f
m10082
10805104101
1
f
1
Hz101f
mS10805
Para
a
7
79
3
3
3
779
6
779
9
7cu
-
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-15-
)(..
)*.(
)*(*)*(**)(
***)(
)/(.
)/(..*.
)/(.
)*.(*)*(*)*(*
***
)(*.
)*.(*)*(*)*(*
***
)(*
)/(*.
:
)
00049820j00049820
10591
104101j1
fj1
mrad797922
mdB3539688176868797922
mNp797922
10591104101
f
m1021126
10591104101
1
f
1
Hz101f
mS10591
Para
b
7
76
776
6
776
6
7br
-
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)(..
)*.(
)*(*)*(**)(
***)(
/*.
)/(..**.
)/(*.
)*.(*)*(*)*(*
***
)(*.
)*.(*)*(*)*(*
***
)(*
)/(*.
:
)
015750j015750
10591
104101j1
fj1
mrad1054250
mdB44217619068681054250
mNp1054250
10591104101
f
m10993
10591104101
1
f
1
Hz101f
mS10591
Para
b
7
79
3
3
3
779
6
779
9
7br
COMPARACIONES:a)Impedancia intrnseca a 1 (MHz) para:Cobre : 0.0003688
Bronce : 0.0007045
Constante de atenuacin a 1 (MHz) para:Cobre : 15131.19 Np/m =131429.51 Db/mBronce : 7922.79 Np/m =68817.3539 Db/m
Profundidad de penetracin a 1 (MHz) para:Cobre : 66.08*10
-6 m
Bronce : 126.21*10-6
m
b)Impedancia intrnseca a 1 (GHz) para:Cobre: 0.0116672
Bronce: 0.022273
-
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David K. Cheng Captulo 7
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Constante de atenuacin a 1 (GHz) para:Cobre: 478513 Np/m =4156363.9Db/m
Bronce: 250540 Np/m =2176190.44 Db/m
Profundidad de penetracin a 1 (GHz) para :
Cobre: 2.08*10-6 mBronce: 3.99*10-6 m
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EJERCICIO 7.9
Si la profundidad de penetracin del grafito a 100 MHz es 0.16mm, determine. a) La
conductividad del grafito y b) la distancia que se propaga una onda de 1 GHz en el grafito antesde que su intensidad de campo se reduzca en 30 dB.
DATOS:
1
16.0
100
grafitodel
mm
Mhzfe
r
a)
:11
dondef
76232 104101001016.011
f
m
s4109.9
b)
dBNp 69.81
479 109.910410 f
m
Np41098.1
xdB
NpdB
30
169.8
Np
dB
NpdBx 45.3
69.8
130
m
Np
Npnciadista
41098.1
45.31
mmnciadista 175.0
-
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EJERCICIO 7.10
Hay un continuo debate sobre los riesgos de la radiacin para la salud del ser humano. Los
clculos siguientes sirven para una comparacin a grandes rasgos.
a) En estados unidos la norma de seguridad personal para trabajo con equipos demicroondas es que la densidad de potencia sea inferior a 10(mW/cm
2
). Calcule la normacorrespondiente en trminos de la intensidad de campo magntico.
b) Se estima que la tierra recibe energa radiante del sol a razn de unos 1.3(KW/m 2) en unda soleado. Suponga que se trata de una onda electromagntica plana (que no lo es) ycalcule las amplitudes equivalentes de los vectores de intensidad de campo elctrico ymagntico.
a)
2 2
*
2
10 100
1x H
2
.
H=
1. x
2
1cos( ) 100
2
Medio sin peridas:
0
120
120 120 .200 274.cos( )
AV
j z
m
j zm
j z j zmAV m j
AV
mW W
cm m
S RE E
E E e i
Ee j
ES RE E e i e j
e
ES
E
5 /
274.50.728 A/m
120
V m
EH
-
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-20-
b)
AV 2
AV 2
*
AV
2
S 1.3
S 1300
1S x H
2
.
H=
1. x
2
1cos( ) 1300
2
Medio sin peridas:
0
120
120
cos(
j z
m
j zm
j z j zmm j
AV
KW
m
W
m
RE E
E E e i
Ee j
EE RE E e i e j
e
ES
E
8
8
88
( .3 10 )
( .3 10 )
120 .2600 990.038 /)
990.0382.626 A/m
120
.3 103 10
990.038.
H= 2.626
j x z
j x z
V m
EH
xc x
E e i
e j
-
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EJERCICIO 7.11
Demuestre que el vector de pointing instantneo de una onda plana con polarizacin circular
que se propaga en un medio sin perdidas es una constante independiente del tiempo y de ladistancia.
)()()( tHtEts
Desplazamiento en x.
M.S.P
=0
kejEjeEkejEjeEE xjxjxx
jeE
jkeE
jeE
jkeE
H xjxjxx
keeEjjeeEE xjjxjj
jeeE
jkeeE
H xjj
xj
j
)()( jwteEREtE
kxtwsenEjxtwEtE
)()cos()(
jxtwsenE
kxtwE
tH
)()cos()(
)()()( tHtEts
-
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David K. Cheng Captulo 7
-22-
ixtwsenE
ixtwE
ts
)()(cos)( 22
2
2
iE
ts
2
)(
EJERCICIO 7.12
Suponga que la intensidad de campo elctrico de radicacin de un sistema de antenas es
E=aE+ aE , determine la expresin de la intensidad del flujo de potencia media que parte
por unidad de area.
)(1
)(1
1
EaEaH
axEaEaH
axEH
EaEaE
R
R
22
22
2
1
*
***
*)Re(2
1
EEaPav
aEEHxE
EaEaxEaEaHxE
HxEavP
R
R
EJERCICIO 7.13
-
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David K. Cheng Captulo 7
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Desde el punto de vista del electromagnetismo, la potencia transmitida por un cable coaxial sin
prdidas puede calcularse en trminos del vector de Poynting dentro del medio dielctrico que
hay entre el conductor interno y el revestimiento externo. Suponga que la aplicacin de un
voltaje de corriente continua Vo entre el conductor interno (radio a) y el revestimiento externo
(de radio interno b) ocasiona el flujo de una corriente I por una resistencia de carga. Compruebe
que la integracin del vector de Poynting sobre la seccin transversal del medio dielctrico esigual a la potencia VoI que se transmite a la carga.
Comenzamos calculando el campo elctrico del conductor interno.
ka
IJE
2
Ahora calcularemos el H en el dielctrico es decir entre a y b.
r
IH
HrI
HdlI
2
)2(
El vector Poynting (P)esta dado por:
r
ra
IP
r
IXk
a
IP
22
2
2
2
2
Integrando P a travs de la superficie transversal del dielctrico, tenemos:
-
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-24-
ra
lIPot
dzrdra
I
Pot
drrra
IPot
l
2
2
0
2
0
22
2
22
2
2
2
Como2
a
l
= R
VoIPotIIRPot
RIPot
.
2
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
27/67
David K. Cheng Captulo 7
-25-
EJERCICIO 7.14
Una onda plana uniforme en el aire con )/)(10(50),( 8 mVxtsenatxE yi incide
normalmente sobre un medio sin perdidas ( 0,8,2 rr ) en la regin .0x
Determine:
a) Er y Hr.b) ySy ,, c) Et y Hi.
Para el aire es un medio sin perdidas 0,1,1 rr
Primero calculamos las impedancias intrnsecas:
3
4
120240
240*2
3
1
120240
120240
2402
8120120
120
2
r
r
aire
3
4
3333.0
2
3
11
3
11
1
1
222
111
rr
rr
c
c
S
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-26-
Ahora calculamos los valores de los campos elctricos y magnticos, reflejado y transmitido:
)/)(333.010(..3
50),(
)/)(10(..50),(
8
8
mVxtsenatxE
mVxtsenatxE
yr
yr
)/)(333.010(.0442.0.),(
)/)(333.010(..120
666.16),(
)/)(10(666.16
.),(
8
8
8
mVxtsenatxH
mVxtsenatxH
mVxtsenatxH
Zr
Zr
Zr
Ahora la Onda Transmitida:
)/)(3/410(..3
200),(
)/)(10(..50),(
8
8
mVxtsenatxE
mVxtsenatxE
yt
yt
)/)(3/410(.08841.0.),(
)/)(3/410(..240
3/200),(
)/)(3/410(3/200
.),(
8
8
8
2
mVxtsenatxH
mVxtsenatxH
mVxtsenatxH
Zr
Zr
Zr
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-27-
EJERCICIO 7.15
Una onda plana uniforme se propaga en la direccin z (hacia abajo) hacia el ocano (72r , 1r , )/(4 ms ). El campo magntico en la superficie del ocano ( 0z ) es
jttH )10cos(3.0)0,( 8 (A/m).
a) Determine la profundidad de penetracin y la impedancia intrnseca del agua delocano.
b) Determine las expresiones de ),( tzE y ),( tzH en el ocano.c) Calcule la perdida de potencia media por unidad de rea en el ocano como funcin de z
Solucin:
Verificamos el factor
para aplicar las aproximaciones.
36
107210
49
8
xx
20
Como el factor
>>1 aplicamos las formulas aproximadas de un buen conductor.
a)
853.15
2
)4)(104(10
2
78
x
707.060.5
)1(963.3
)1(4
853.15
)1(
je
jx
j
j
3.10079.63
853.15
1
1
x
-
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David K. Cheng Captulo 7
-28-
b)
izteEtzE z )cos(),( 0
00 HE
HE
707.0
0
60.5
3.0
e
H
iztetzH
Ho
iztetzE
iztetzE
izteHtzE
izteHtzE
z
z
z
z
z
)853.1510cos(3.0),(
3,0
)707.0853.1510cos(68.1),(
)707.0853.1510cos(60.5)3.0(),(
)cos(),(
)cos(),(
8853.15
8853.15
8853.15
0
0
c)
keS
kradeS
keHES
keeHES
jeeHxieeeES
eeHxeeeES
HxES
z
AV
z
AV
z
AV
jz
AV
zjzjzjz
AV
zjzjzjz
AV
AV
n
n
n
7.31
)853.15(2
2
00
2
00
00
*
00
*
1782.0
)]707.0cos()3.0)(68.1[(2
1
)]cos([2
1
]Re[2
1
]][Re[
2
1
]][Re[2
1
]Re[2
1
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
31/67
David K. Cheng Captulo 7
-29-
EJERCICIO 7.16
Obtenga las razones siguientes para las ondas planas uniformes en un medio 1 que inciden
normalmente sobre una superficie de separacin plana con un medio 2:
a)0
0
i
r
H
H y compare el resultado con el coeficiente de reflexin de la ecuacin:
12
12
0
0
i
r
E
E
b)0
0
i
r
H
H y compare el resultado con el coeficiente de reflexin de la ecuacin:
12
2
0
0 2
i
r
E
E
a) Condiciones de Frontera:
0102
xtgxtg HH iT HH
riT HHH ir HH
iii HHH
1
0201
xtgxtg EE 1
Tri EEE 12
121
Tri HHH 211 12
22
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-30-
iii HHH 211
211 Comparando las ecuaciones obtenidas con las
)1(1 21 ecuaciones dadas del campo elctrico son las
2211 mismas, y esto es razonable ya que los coeficientes
12
12
de reflexin y transmisin no varan si tomamos el
campo elctrico o magntico.
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-31-
EJERCICIO 7.17
Una onda plana con polarizacin circular de mano derecha, representada por el favorzj
yxoz ejaaEE )( incide normalmente sobre una pared conductora perfecta en z=0.
a) determine la polarizacin de la onda reflejada.
b) calcule la corriente inducida sobre la pared conductora.
c) obtenga la expresin de la intensidad elctrica total instantnea utilizando una referencia de
tiempo coseno.
a) Incidente reflejada
ak = az ak = -az
zdireccin
conizquierdamanodecircularnpolarizaciejaaEozr
ejaaEozi
zj
yx
zj
yx
)()(
)()(
b)
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-32-
zjzjxy
zj
xy
zj
xy
eejaaozH
ejaao
zHr
ejaao
zHi
)(
)(
)(
zjzj
y
zjzj
x
yx
zyx
zjzjzjzj
eeo
jaeeo
a
HH
aaa
Js
eeo
yHeeo
xH
0
100
)(;)(
yx
yx
yx
yx
zjzj
jaao
sJ
zjaazo
Js
jaazjsenzzjsenzo
Js
jaaeeo
Js
2
0cos2
coscos
c)
yxyx
zjzj
yx
jaazosenz
zjsenzzjsenzjaaoz
eejaaoz
zrziz
2)(
coscos)(
)(
)()()(
tatsenazosentz
tjsentatsentja
tjsentatsentjazosentz
ejaazosentz
yx
yx
yx
tj
yx
cos2),(
coscos
coscos2Re),(
2Re),(
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-33-
EJERCICIO 7.18
Determine la condicin en la cual la magnitud del coeficiente de reflexin es igual al coeficientede transmisin de una onda plana uniforme que incide normalmente sobre una superficie de
separacin entre dos medios dielctricos sin perdidas.
Cul es la razn de onda estacionaria en dB para esta condicin?
Para una onda normal incidente
1 , donde 1
Si : 1
221 2
21 3
2
1
31
1
S
dBSdB 54.93log20 10
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-34-
EJERCICIO 7.19
Una onda plana uniforme en el aire con zji ez 6
x10aE [V/m] incide normalmente sobre
una superficie de separacin en z = 0 con un medio con prdidas que tiene constante dielctrica
de 2.25 y tangente de prdidas de 0.3. Encuentre lo siguiente:
a) Las expresiones fasoriales de Er(z), Hr(z), Et(z), Ht(z).b) La razn de onda estacionaria para la onda en el aire.c) Las expresiones de los vectores de Poynting de media temporal en el aire y en el medio con
prdidas.
a) 1201 aire
25.2r
3.0tan
c
s
rad9127
10*8.110*854.8*10*4
6
*
0107.025.2*10*854.8*10*8.1*3.0
3.0
3.0
129
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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-35-
96.376.251
34.899.245
25.2*10*854.8*10*8.10107.0
10*4*10*8.1
3.0
2
2
129
79
2
2
2
j
j
j
j
j
j
j
7.159
12
12
208.07.159208.0
0722.01951.0
12096.376.251
12096.376.251
je
j
j
j
7.159
0
0 208.0 j
i
r eE
E
7.159
0
7.159
0
0
7.159
0
08.2
x10208.0
x208.0
j
r
j
r
i
j
r
eE
eE
EeE
zjj
zj
r
eez
eEz
67.159
xr
0xr
08.2aE
aE 1
mV08.2aE 7.1596xr zjez
-
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David K. Cheng Captulo 7
-36-
7.1596
yr
1
0xzr
120
08.2aH
aaH 1
zj
zjr
ez
eE
z
mA0055.0aH 7.1596yr zjez
1.5808.0
123.58081.0
0722.08049.0
0722.0195.01
1
je
j
j
1.5
0
0 808.0 j
i
t eE
E
1.5
0
1.5
0
0
1.5
0
08.8
x10808.0
x808.0
j
t
j
t
i
j
t
eE
eE
EeE
zjr eEz 20xt aE
zjj eez 10.91.5xt 08.8aE
mV08.8aE 1.510.935.1xt zjzeez
57.844.254
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-37-
4.310.9
yt
1
0xzt
57.844.254
08.8aH
aaH 1
zj
zjr
ez
eE
z
mA032.0aH 4.310.935.1yt xjzeez
b)
208.01
208.01
1
1
s
s
53.1s
c)
2
2
z1
2
1
2
0z1
208.01120x2
10a
12
a
av
iav
E
2z1 W/m127.0aav
21.5
58.8
2
z2
2
2
2
0z2
808.04.254x2
10a
2a
j
jav
iav
ee
E
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-38-
270.2z2 W/m127.0a eav
EJERCICIO 7.20
Una onda plana senoidal uniforme en el aire tiene la siguiente expresin fasorial para la
intensidad elctrica: )/(10),( )86( mVeazxE zxjyi
La onda incide sobre un plano conductor perfecto en z = 0.
a) Calcule la frecuencia y la longitud de ondab) Escriba las expresiones de Ei(x, z; t) y Hi(x, z; t) instantneos.c) Determine el ngulo de incidencia.d) Determine Er(x, z) y Hr(x, z) de la onda reflejada.e) Determine El(x, z) y Hl(x, z) del campo total en el aire.
a.
-
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David K. Cheng Captulo 7
-39-
m
MHzf
segradxf
f
segradx
xc
c
sen
i
i
i
i
i
i
628.0
1022
464.477
2
/103
2
**2
103
)103(*10*
869.36
8
6tan
10
643686
8cos
6
9
9
8
1
1
22
1
1
1
b.
Como es incidencia oblicua:
Y como ya tenamos el dato:
|| El vector unitario incidente es:
||
)86cos(10);,(
10,1 00
zxtatzxE
EiEr
yi
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-40-
Entonces H se expresa de la siguiente manera:
( )
c.
869.36
75.0tan
8
6tan
1
1
i
i
i
d.
)86(
00
10),(
10,1
zxj
yr eazxE
EiEr
Entonces H se expresa de la siguiente manera:
( )
Expresando de manera instantnea:
( )
e.
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-41-
)8(20),(
)(10),(
)10(10),(
),(),(),(
6
1
688
1
)86()86(
1
1
zsenejazxE
eeeazxE
eaeazxE
zxEzxEzxE
xj
y
xjzjzj
y
zxj
y
zxj
y
ri
( ) ( ) ( )
EJERCICIO 7.21
Una onda plana uniforme con polarizacin perpendicular incide oblicuamente sobre una
frontera plana con 0210201 ,25.2, . Suponga Ei0 = 20 (V/m), f = 100(MHz) y i= 30
o.
a) Calcule los coeficientes de reflexin y de transmisin.
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-42-
mVExE
E
E
CosCos
Cos
CosCos
CosCosCos
CosCos
CosCos
CosCos
SenCos
SenCos
SenCos
SenSen
mrad
xxxx
mrad
xxxx
t
t
i
t
ti
i
ti
ti
t
t
it
it
it
r
r
r
r
/18.15
20759.0
759.0461.191203032.251
3032.25122
241.0
461.191203032.251
461.191203032.251
461.19
30144.3
095.21
1
1
/144.3
25.210854.8104101002
/095.232.251
10854.810410100225.2
1120
120
120
120
0
0
0
0
12
2
12
12
0
2
2
2
2
2
1
22
2
12
2
1
2
1276
2
12
1276
12
1
2
22
1
1
11
b) Escriba la expresin de );,();,( tzxHytzxE tt instantneos.
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-43-
mAkizxtxCosH
kSeniCoszxtxCosH
mVjzxtxCosE
jeEE
jeEE
t
ttt
t
tztxsenj
tts
tztxsen
tts
/33.094.096.205.1102000604.0
96.205.11020018.15
/96.205.11020018.15
6
6
2
6
cos2
0
cos2
0
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
46/67
David K. Cheng Captulo 7
-44-
EJERCICIO 7.22
Una Onda plana uniforme con polarizacin paralela incide oblicuamente sobre una frontera
plana con ,,25.2, 0210201 como se ilustra en la figura 7-15. Suponga
30100),/(053.00 ii yMHzfmAH
a) Calcule los coeficientes de reflexin y transmisin.b) Escriba la expresin de ),,(),,( tzxHytzxE tt instantneos.
32.251
25.2
1120
120
120
120
1
1
2
2
2
1
1
1
1
r
r
r
r
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
47/67
David K. Cheng Captulo 7
-45-
mradxxxx
mrad
xxxx
/144.325.210854.8104101002
/095.2
10854.8104101002
2
1276
2
1
1276
1
1
461.19
30144.3
095.21cos
1cos
cos1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
12
2
1
t
t
it
it
it
sen
sen
sen
sensen
a) Calcule los coeficientes de reflexin y transmisin.
1588.0
445.563
522.89
483.32696.236
483.32696.236
30cos120461.19cos32.251
30cos120461.19cos32.251
coscos
coscos
12
12
0
0
it
it
i
r
E
E
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
48/67
David K. Cheng Captulo 7
-46-
772566.04455.563
299.435
4838.32696.236
299.435
30cos120461.19cos32.251
30cos32.2512
coscos
cos2
0
0
0
0
12
2
0
0
i
t
i
t
it
i
i
t
E
E
E
E
E
E
b)Escriba la expresin de ),,(),,( tzxHytzxE tt instantneos.
Hi0=0.053 (A/m)
mAzxaytzxHmVzxazaxtzxE
eayzxH
eazaxzxE
mVxEE
mVesenaazxEmAeayzxH
mrad
mradx
x
c
w
dondede
eayzxH
tt
tt
zxj
t
zxj
i
it
zxj
zxi
zxj
i
r
zxse nj
iii
/96.205.1102cos061.0;,
/96.205.1102cos33.0943.042.15;,
061.0,
33.0943.042.15,
/42.1598.19772.0
/5.0866.098.19,/053.0),(
/
/3
2
103
102
:
053.0),(
8
8
96.205.1
96.205.1
00
3/cos3/
3/3/
2222
8
8
1
cos1
EJERCICIO 7.23
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
49/67
David K. Cheng Captulo 7
-47-
a. Proponga un mtodo para medir la densidad mxima de electrones en la ionosferab. Suponiendo que 11max 108N por metro cbico, analice la frecuencia mnima que
puede usarse en la comunicacin con una estacin especial ms all de la ionsfera.c. Qu sucede para una incidencia oblicua sobre la ionsfera si se emplea una frecuencia
ms baja?
a)
0
2
2
m
Nefpp
Donde:
N: Nmero de electrones
:e carga del electrn
:m masa del electrn
:pf frecuencia del plasma
2
2
2
0
2
0
22
012404.0
2
2
p
p
p
fN
f
e
mN
m
Nef
De esta manera obtenemos un mtodo para determinar el nmero mximo de electrones enfuncin de la frecuencia del plasma, lo que se tendra que realizar es enviar una seal a unfrecuencia baja y medir la seal de retorno, ya que si existe seal de retorno indica que lafrecuencia usada es menor a la del plasma y la onda se reflejo, entonces vamos aumentando lafrecuencia hasta no detectar onda reflejada, entonces esa frecuencia ser la frecuencia delplasma y as podemos usar la frmula anterior y encontrar la densidad mxima de electrones.
b) 04.810899 11
max Nf MH
c)Qu sucede para una incidencia oblicua sobre la ionsfera si se emplea una frecuencia msbaja?
Al tener una frecuencia de plasma de 8.04MHz, e ingresamos un frecuencia ms baja, estaseales no puede penetrar la capa especificada y se producir una reflexin, la cual incidir en el
suelo y nuevamente se reflejar hacia la ionosfera, realizando mltiples saltos lo que permite
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
50/67
David K. Cheng Captulo 7
-48-
que pueda propagarse a grandes distancias alrededor de la Tierra debido a las reflexiones
mltiples entre la frontera de la ionsfera y la superficie de la Tierra.
EJERCICIO 7.24
Una onda plana uniforme incide en la ionosfera con un ngulo de incidencia i = 60. Supongauna densidad constante de electrones y una frecuencia de la onda igual a la mitad de lafrecuencia de plasma de la ionosfera. Determine:
a) y
b) y
medio 1: Aire
medio 2: Ionosfera
2
12060
1
21
P
i
Donde Pes la frecuencia de plasma:
81
81
1
1
10.6
10.3
2
0
P
P
j
j
cj
j
-
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David K. Cheng Captulo 7
-49-
Para la ionosfera tenemos:
2
02 1
f
fj P
-
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David K. Cheng Captulo 7
-50-
02
8
7
2
2
2
33
120340
310
2
10.42
jjj
j
j
P
P
Otra Forma de encontrar la impedancia del medio dos y las funciones trigonomtricas delngulo de transmisin es:
3
2
3/14
2
1
2
1
2
0
00
2
0
2
0
j
j
ffp
f
fp
j
ffp
f
fp
2
5)2/(1
260
3
2
0
2
jtCos
jSen
jiSentSen
Entonces encontramos los coeficientes de reflexin y transmisin:
a)
-
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-51-
8
15
1
8
151
16
15216
16
151515
15
15
15
15
)2/1)(3/()2/5(
)2/5(2/13/
coscos
coscos
2
00
00
21
12
j
j
j
jjj
j
j
j
j
j
j
iT
Ti
b)
0522,75
00
00
21
12
4
15
4
1
8
153515
53
53
53
35
2
5
32
1
2
1
2
5
3
coscos
coscos
j
Ti
iT
e
j
jj
j
j
j
j
j
j
-
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David K. Cheng Captulo 7
-52-
0
0
76,307
522.75
94868,0
5
3
4
15
4
3
2
5
60cos1
cos
cos1
j
j
T
i
e
j
e
EJERCICIO 7.25
Una onda electromagntica de (10KHz) en el aire, con polarizacin paralela, incide
oblicuamente sobre la superficie del ocano con un ngulo casi rasante = 88. Usando r=81, r = 1 y = 4(S/m) para el agua de mar, encuentre (a) el ngulo de refraccin r (b) elcoeficiente de transmisin , y (c) la distancia bajo la superficie del ocano donde la intensidadde campo ha disminuido en 30 (dB).
f = 10 KHz 88i 81e 1r 4
a)
2
11
1
B
Bsensent
(aire) 644,20932021 00 EEfB
-
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David K. Cheng Captulo 7
-53-
(ocano)
3381.3972
3386.3973381.397
812
41812
2
0
002
EB
EjE
fjfj
318.30
3386.397
644.209881
Et
e
esensent
b)
120
coscos
cos2
1
12
211
it
i
3345.993346.99
812
41
81
0
0
0
2
EjE
fj
519.03527.011 jE
c)
De :2 3381.3972 E
30
)10ln(
ln20
30log20 10
z
z
e
dBe
mz
z
z
691.8
20
)10ln(30
20
)10ln(30
EJERCICIO 7.26
Un rayo de luz incide oblicuamente desde el aire sobre una lmina transparente de
grosor d cuyo ndice de refraccin es n, como se muestra en la figura 7.16. El ngulo de
incidencia es i. Encuentre (a) i, (b) la distancia l1 al punto de salida y (c) la cantidad
de desplazamiento lateral l2 del rayo emergente.
-
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David K. Cheng Captulo 7
-54-
a) Por la ley de Snell:
2
1
i
t
Sen
Sen
2
11
1
i
t
Sen
Sen
it SenSen
1
b)
dCos
Senl
dl
d
l
t
t
t
t
1
1
1
tan
tan
i
t
i
t
itt
Sen
Cos
SenCos
SenSenCos
22
2
22
2
2 111
-
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David K. Cheng Captulo 7
-55-
dSen
Senl
dSen
Sen
l
i
i
i
i
221
221
1
c)
t
ti
i
titi
t
ti
Cos
SenCos
dSendl
SenCosCosSenCos
dSenRSl
2
2 )()(
i
i
ii
Sen
Sen
CosdSendl
222
i
ii
Sen
CosSendl
222 1
-
8/22/2019 Cheng Capitulo 7v2
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David K. Cheng Captulo 7
-56-
EJERCICIO 7.27
Una onda plana uniforme con polarizacin perpendicular, representada por las ecuaciones (7-
135) y (7-136), incide sobre una superficie de discontinuidad plana en z=0, como se ilustra en la
figura 7-14. Suponga 2c, a) Obtenga las expresiones fasoriales del campo transmitido(Et, Ht) y b) compruebe que la potencia media transmitida en el medio 2 es cero.
a) Ecuaciones de la onda incidente:
Ya que no se especifica otra cosa en el problema, es necesario suponer que: 1=2, ya que deotra forma no sera posible analizar el problema.
jEi
)(
01 ii CoszSenxj
i eE
)(
1
0 1)( ii CoszSenxj
iii eSenCos
E
kiHi
-
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David K. Cheng Captulo 7
-57-
Aplicando la ley de Snell de la reflexin:
El hecho de que 2
-
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David K. Cheng Captulo 7
-58-
Debe tomarse en cuenta que para la ecuacin anterior tomamos el signo negativo de la
expresin para Cos t porqu de lo contrario la amplitud de la onda crecera al incrementarse z,lo cul es ilgico.
Si definimos los coeficientes de la expresin anterior de la siguiente forma, entonces podramos
expresar el campo en su forma tpica:
Entonces se puede expresar la intensidad de campo elctrico transmitido como:
Donde T, 2y 2xvienen dados por las ecuaciones halladas anteriormente.
Ecuacin de la intensidad de campo magntico de la onda transmitida:
jEt
1
0
2
2
1
2
12 ii SenjzSenxj
i eET
jEt
zSenxSenj
i
ii
eET
1
0
2
2
12
2
12
jEt
xSenjzSen
i
ii
eET
2
12
2
2
12 1
0
12
2
122 iSen
ix Sen
2
122
jEt
xjz
ixeET 220
xjz
ttt xeSenCosE 22)(2
kiHt
xjz
ii
i xeSenSenjET
22
2
12
2
1
2
0 1
kiH
t
xjz
ii
i xeSenjSenET
2212
2
1
2
1
2
0
ikHt
ikH
t
12
2
1
2
1
2
0 22ii
xjzi SenjSeneET
x
-
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David K. Cheng Captulo 7
-59-
La expresin de la intensidad de campo magntico transmitida tambin est en una forma tpica,
en esta expresin 2y 2xvienen dados por las ecuaciones que se hallaron antes.
b) Clculo de la potencia media transmitida:
Para llegar al ltimo resultado se observa que la componente de potencia que se transmitira al
medio 2 (en la direccin de k) es imaginaria, y por lo tanto al tomar la parte real de la expresin
se elimina.
Por lo tanto se demuestra que no hay potencia media transmitida al medio 2.
Se observa tambin que toda la potencia media fluye en direccin paralela a la interfaz, ya que
la potencia est en la direccin de i, o sea en una de las direcciones sobre la que se extiende la
interfaz.
EJERCICIO 7.28
Una onda plana uniforme con frecuencia angular w en el medio1 con ndice de refraccin 1incide con el ngulo critico sobre una superficie de discontinuidad plana en z = del medio zcon ndice de refraccin 2(2
*tttAV HES Re
2
1
kiS tAV
1Re
2
1 2
2
1
2
12
2
2
0 2ii
ziSenjSene
ET
iStAV
i
ziSene
ET
2
12
2
2
0 2
2
1
-
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-60-
.2
2
2
2
1
21
2
1
21
2
12
2
12
2
oSenCos
SenCos
Eio
Eto
tCosCos
cCos
Eio
Eto
tCosCos
Cos
Eio
Eto
c
i
i
b)
1
2
12
2
12
2
2
)2/(
2
2
Eio
Eto
CosCos
Cos
Eio
EtoCosCos
Cos
Eio
Eto
i
i
it
i
c)
Ei(x,z,t) = yEioe-j(wt+Bi(Sen
i+zCos
i) )
Ei(x,z,t) =yEioCos(wt-ixSeniizCosi)
tttoy zCosxSenwtCosEtzxEt 2.),,(
it
ti
SenSen
SenSen
1
2
21
iiioy SenSenzCosSenxwtCosEtzxEt
1
21
1
2
22.),,(
EJERCICIO 7.29
Una Onda electromagntica que surge con polarizacin perpendicular de una fuente
subacutica incide sobre una superficie de separacin agua- aire con un ngulo i = 20 grado.Usado r = 81 y r = 1 para el agua dulce, calcule:
a) el ngulo crtico c .
b) el coeficiente de reflexin
c) el coeficiente de trasmisin
-
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-61-
d) la atenuacin en dB para cada longitud de onda en el aire.
1
1
1
81
20
2
1
2
1
0
r
r
r
r
i
1
21
r
r
c Sen
Para la atenuacin en dB para cada longitud de onda, primero se calcula la atenuacin en
Neppers.
j0.331.89
j0.6150.7881
1
j1.34037.971
j0.6150.788
11)j41,86(2.9377cos2011)j41,86(2.9377cos20
tcos
1n
1cos
2n
tcos
1n
1cos
2n
j2.9111i
sen
2
1j
tCos
8879,41)12081x(8.85x1
7x10*4
n1
6,38c
81
11Senc
2
-
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David K. Cheng Captulo 7
-62-
mNp
senB
29.18
)911.2(2
12 12
2
1
Y luego pasamos a dB.
m
dB158,88.
1
)(log20
18.29 10
Np
dBe
m
Np
EJERCICIO 7.30
Los prismas triangulares issceles de vidrio, como se muestra en la figura 7-17, se usan
comnmente en los instrumentos pticos. Suponiendo que Er=4 para el vidrio, calcule el
porcentaje de potencia luminosa incidente que refleja el prisma.
En la luz incidente, primero ver la superficie de la hipotenusa.
1
21
2 0
20 0 21 2
2 2 0
0
2
4
i
i
Pav
Pav
Las reflexiones totales ocurren dentro del prisma a ambas superficies sesgado porque
0 1 0145 sin 30
2
i
En la salida del prisma
1
20 0 222 2
0 2 0
4Pav
Pav
Por la tanto
-
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-63-
2
0 0 2
2
2 0
2
0
2
2
0
2
0
4
4
1
4 4
1 4
0.79
i
r
i r
i
i
Pav
Pav
Pav E
Pav E
Pav
Pav
Pav
Pav
EJERCICIO 7.31
Es costumbre revestir las fibras pticas con un material de bajo ndice de refraccin para evitarla interferencia procedente de ondas en las fibras vecinas y como proteccin mecnica comopuede verse en la figura donde n2
-
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-64-
b)
si n1=2, n2=1.74 y n0= 1
0
1
1
1
221
2
2
2
1
0
1
4.80
9861.0
9724.0
0276.34
74.121
1
1
a
a
a
a
a
a
sen
sen
sen
sen
nn
n
sen
EJERCICIO 7.32
Demuestre que en la condicin de no reflexin en una superficie de separacin, la suma del
ngulo de Brewster y el ngulo de refraccin es / 2 para:
a) Polarizacin perpendicular 1 2( ) b) Polarizacin paralela 1 2( )
2/cos
1
11cos
1
1
2/cos
1
11cos
1
1
2
1
2
2
2
1
2
1
21
2
1
2
2
2
1
2
1
BtBt
Bt
B
BtBt
Bt
B
seno
sen
seno
ParalelanPolarizaciPara
sen
sen
sen
EJERCICIO 7.33
Para una onda incidente con polarizacin paralela, determine la relacin entre el ngulo crticoc y el ngulo de Brewster B para dos medios contiguos de la misma permeabilidad.
-
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El ngulo critico es:
1
2
cSen
2
11
1
BSen
21
22
BSen
BB SenCos 21
BcB
B
B
BB
B
B
B
TagSenTag
Tag
CosSenTag
Cos
Cos
Cos
1
2
21
1
21
2
21
1
21
221
21
21