Download - Ciąg Fibonacciego
![Page 1: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/1.jpg)
Ciąg Ciąg FibonacciegoFibonacciego
Króliki, rośliny … liczby
Ciąg Fibonacciego
Złoty podziałGeometria Sztuka
Ciekawostki ZakończObjaśnienia
![Page 2: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/2.jpg)
ObjaśnieniaObjaśnienia
Aby powiększyć obrazek/zdjęcie należy kliknąć na niego lewym przyciskiem myszy.
Aby powrócić należy ponownie nacisnąć na obrazek.
W slajdzie 4 aby zobaczyć rozwiązanie zagadki należy nacisnąć na przycisk nazwany ”rozwiązanie”.
Przyciski po lewej stronie służą do powracania do listy slajdów podzielonych na kategorie.
![Page 3: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/3.jpg)
Leonardo FibonacciLeonardo FibonacciPodróżnik i kupiec z Pizzy.Matematyk epoki średniowiecza.Wprowadził do Europy cyfry arabskie. Zwolennik i propagator dziesiątkowego systemu pozycyjnego.Autor słynnego zadania o królikach.Autor „Liber abaci” – kompendium ówczesnej wiedzy matematycznej (1202 r.). (KLIKNIJ NA OBRAZEK ABY
POWIĘKSZYĆ)
![Page 4: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/4.jpg)
Zagadka Fibonacciego:Zagadka Fibonacciego:
każda para staje się płodna po 2 miesiącach,każda para rodzi jedną nową parę co miesiąc,króliki nigdy nie umierają?
Ile par królików będziesz miał
po roku, jeżeli :
Rozwiązanie
![Page 5: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/5.jpg)
Licząc pary królików w poszczególnych miesiącach możemy zauważyć że układają się one w pewien ciąg. To
właśnie jest ciąg liczb fibonacciego znajdujący zastosowanie m.in. także w genetyce.
![Page 6: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/6.jpg)
Ciąg FibonacciegoCiąg Fibonacciego1, 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,
377, 610, 987, 1597 …
Liczby z tego ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego,
Fibonacci kolejność liczb osadzał w prosty arytmetyczny związek. A mianowicie, że w ciągu Fibonacciego każda liczba jest sumą dwóch poprzednich i tak 1+2=3 , 2+3=5, 3+5=8 itd..
21 nnn FFF
![Page 7: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/7.jpg)
Wśród pszczółWśród pszczółTrutnie (samce pszczoły) mają tylko matkę - królową, powstają bez udziału ojca, podczas gdy królowe mają już dwoje rodziców - inną królową i trutnia.Niech Tn oznacza liczbę n - praprzodków. Widać już, że na poziomie pierwszych pradziadków
truteń ma dwie prababcie i jednego pradziadka, łącznie troje; piętro wyżej, na poziomie drugich pradziadków - pięcioro. Ogólnie na poziomie n - tych pradziadków ma dokładnie Tn-1 n - prababć oraz Fn-2 n - pradziadków; łącznie Tn= Tn-1 + Tn-2 n - praprzodków.
![Page 8: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/8.jpg)
Nowe pędyNowe pędy Na rysunku powyżej jest pokazane drzewo, które rośnie podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Ten model wzrostu wydaje się być nawet bardziej realistyczny, niż rozmnażanie się stada królików - biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają.
![Page 9: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/9.jpg)
Złoty podziałZłoty podziałii
złota liczba złota liczba
![Page 10: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/10.jpg)
Złoty odcinekZłoty odcinekPodział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej.
φ = (a+b) : a = a : b
![Page 11: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/11.jpg)
Inne nazwy Inne nazwy - boska proporcja - złota proporcja - złote cięcie - złoty podział - zwana przez starożytnych
matematyków “divina proportio” - podział harmoniczny
![Page 12: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/12.jpg)
Złoty podziałZłoty podziałZłota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych.Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.
![Page 13: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/13.jpg)
Złota liczba i jej wartośćZłota liczba i jej wartośćzłota liczba jest rozwiązaniem równania: (wzór)
dokładna wartość:
Rozwinięcie dziesiętne:
• Ułamek łańcuchowy:
2
15
012 0
φ ≈ 1,61803
![Page 14: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/14.jpg)
Własności złotej liczbyWłasności złotej liczby
Jeżeli chcesz znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy abyś odjął od niej jeden.
Żeby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jeden.
11
12
2
151
![Page 15: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/15.jpg)
Złota proporcja, a ciąg Złota proporcja, a ciąg fibonacciegofibonacciego
Aby znaleźć złotą proporcję należy następną liczbę z ciągu podzielić przez poprzednią i tak :
3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797…
![Page 16: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/16.jpg)
Konstrukcja złotego odcinkaKonstrukcja złotego odcinka
![Page 17: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/17.jpg)
Złoty prostokątZłoty prostokąt
Jest to prostokąt, którego boki pozostają w złotym stosunku. Charakteryzuje się tym, że po dorysowaniu kwadratu o boku równym dłuższemu bokowi prostokąta otrzymuje się nowy, większy złoty prostokąt. Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem.
b
a
b a - b
![Page 18: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/18.jpg)
Złoty prostokąt, a ciąg Złoty prostokąt, a ciąg FibonacciegoFibonacciego
Każdy z boków poszczególnych kwadratów znajdujących się wewnątrz złotego prostokąta ma bok długości odpowiadający kolejnym liczbom z ciągu.
![Page 19: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/19.jpg)
Złoty trójkątZłoty trójkąt
w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.trójkąt równoramienny, stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie.
||
||
AC
BC
A C
B
D
36°36°
36°
||
||
DC
AD
![Page 20: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/20.jpg)
SpiralaSpiralaSpirala równokątna leży w złotym podziale.Ta spirala występuje we wzorze łusek na szyszkach i w rozkładzie pestek na tarczy słonecznika. Spirala doskonała ma pewną własność, dzięki której jej matematyczna nazwa brzmi "Spirala równokątna".
![Page 21: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/21.jpg)
Pięciokąt foremnyPięciokąt foremny
wszystkie boki, kąty i przekątne równekażda przekątna jest równoległa do jednego boku. przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem.złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył Hippasus (V wiek p.n.e.).
![Page 22: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/22.jpg)
PentagramPentagrampięciokąt foremny,gwiazda pitagorejska,symbol doskonałości według Greków i Pitagorejczyków,Dla pierwszych chrześcijan pentagram odzwierciedlał pięć ran Jezusa ze względu na 5 wierzchołków, Pitagorejczycy widzieli w nim symbol doskonałości, Od XIV wieku uważany za symbol szatana, ze względu na podobieństwo do głowy kozła (odwrócony dwoma wierzchołkami do góry).
![Page 23: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/23.jpg)
Własności pentagramuWłasności pentagramu
miara kąta w każdym wierzchołku jest równa 36º.suma kątów przy wierzchołkach pentagramu wynosi 180°. W pentagramie ukryty jest złoty podział.
b
a
b
ab
![Page 24: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/24.jpg)
Pentagram dawniej i dziś Pentagram dawniej i dziś - ciekawostki- ciekawostki
Pentagram to pięcio-ramienna gwiazda, w której została zachowana złota proporcja. Był używany jako symbol przez starożytnych Greków i Babilończyków oraz Związek Pitagorejczyków. Miał magiczne właściwości, i wielu ludzi którzy praktykują jego kult nosi go. W XIX wieku Eliphas Levi podzielił pentagramy na "dobrą stronę" i "złą stronę". Za "dobrą" uznał ten odwrócony jednym wierzchołkiem do góry, za "złą" odwrócony — zwrócony dwoma wierzchołkami do góry. Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem do góry zwany jest Pentagramem Białym, jest on odzwierciedleniem sacrum — siły boskiej. Odzwierciedla również pięć zmysłów człowieka, oraz pięć żywiołów: powietrze, wodę, ziemię, ogień i ducha, ukazując wyższość umysłu człowieka nad wszelkimi innymi żywiołami i zmysłami.Pentagram zwrócony jednym wierzchołkiem ku dołowi zwany jest Pentagramem Odwróconym, Czarnym, lub Pentagramem Baphometha. Przedstawia profanum - człowieczeństwo, odzwierciedla on wyższość żądz i emocji nad rozumem, jest powszechnie uważany za znak satanistyczny, chociaż często mylony z Pentagramem Białym.
![Page 25: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/25.jpg)
W starożytnościW starożytności
Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. Utożsamiali piękno z symetrią i umiarem.złoty podział uważali za proporcję doskonałą. stosowali go w architekturze i sztuce. na jego podstawie powstał Partenon
![Page 26: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/26.jpg)
Partenon na AkropoluPartenon na AkropoluFronton Partenonu, świątyni Ateny na Akropolu, można zawrzeć w prostokącie, w którym stosunek boków wyraża się złotą liczbą.
![Page 27: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/27.jpg)
Wielcy artyści Wielcy artyści zastosowujący złote zastosowujący złote
cięciecięcie
![Page 28: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/28.jpg)
Leonardo da VinciLeonardo da Vinci
Człowiek witruwiański
(kanon proporcji)
uważany za przykład tzw. człowieka renesansu. ur. 1452 - zm. 1519
Leonardo da Vinci zauważył, że ciało człowieka zbudowanego proporcjonalnie jest wpisane w kwadrat i w koło. Taki kwadrat i koło wyznaczają prostokąt, który dla człowieka o prawidłowych proporcjach jest złoty.
![Page 29: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/29.jpg)
Michał AniołMichał Anioł
Jego prawdziwe imię brzmi: Michelangelo di Lodovico Buonarroti Simoni jeden z najgenialniejszych artystów plastyków świata. ur.1475 - zm.1564
Michał Anioł,Dawid
![Page 30: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/30.jpg)
FidiaszFidiasz
Złotą liczbę oznacza się dziśwłaśnie przez
od pierwszej litery imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza.
Fidiasz, Atena Lemnia
Fidiasz stosował w swych rzeźbach zasadę złotej proporcji. Rzeźbiarz grecki, uważany za najwybitniejszego przedstawiciela greckiej rzeźby starożytnej okresu klasycznego.
![Page 31: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/31.jpg)
LeocharesLeochares
LeocharesApollo Belwederski
Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji.
linia E wskazuje złotą proporcję między głową
a górną częścią tułowia.
Linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.
Leochares (IV wiek p.n.e.)
![Page 32: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/32.jpg)
Złote cięcie występuje Złote cięcie występuje także…także…
![Page 33: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/33.jpg)
Złote cięcie w przyrodzieZłote cięcie w przyrodzie
Jeżeli przyjrzymy się układowi listków na wspólnej łodydze, to okaże się, że między każdymi dwiema parami listków trzecia leży w miejscu złotego cięcia.
||
||
LM
KL
![Page 34: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/34.jpg)
Na dłoniNa dłoniSpójrz na swoja dłoń, masz...
2 ręce5 palców, 3 części palca2 kciuki
Czy to jest zbieg okoliczności????? Raczej nie…Jeżeli zmierzysz długość kości w twoim palcu, wygląda to tak jakby współczynnik najdłuższej kości w palcu do środkowej części palca był liczbą fi.A co ze współczynnikiem środkowej kości do najkrótszej kości ( na końcu palca ) także fi ? No właśnie…
![Page 35: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/35.jpg)
Ciało człowiekaCiało człowiekaWymiary ciała mężczyzny - znajdujemy wśród nich wiele złotych proporcji: dwie części całego ciała oddzielone linią pępka pozostają w "boskiej proporcji", podobnie - wysokość głowy do górnej części tułowia, a także - kolana są na "doskonałej wysokości" względem reszty dolnej części tułowia.
![Page 36: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/36.jpg)
PiramidyPiramidyZłotą liczbę wykorzystano przy budowie Wielkiej
Piramidy w Gizie.
Jeżeli weźmiemy przekrój Wielkiej Piramidy, to otrzymamy trójkąt prostokątny, nazywany Trójkątem Egipskim. Stosunek przeciwprostokątnej (wysokości ściany bocznej) do podstawy(połowa wymiaru podstawy) wynosi 1,61804 i różni się od liczby tylko o jeden na piątym miejscu po przecinku.
![Page 37: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/37.jpg)
Łańcuch DNAŁańcuch DNA
DNA w komórkach pojawia się w podwójnych spiralach. Ta forma łańcucha DNA ma dwa wyżłobienia, tak że współczynnik fi w proporcji głównego wyżłobienia do mniejszego jest w złotej proporcji.
![Page 38: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/38.jpg)
Sri YantraSri YantraWe wrześniu 1990 roku odkryto na pustyni Alvord ogromny znak, który przez niektórych został określony jako „pustynny piktogram”. Był to ogromny, perfekcyjnie wykonany geometryczny znak, który znajdował się na wysuszonym dnie jeziora. Eksperci zidentyfikowali znak jako Sri Yantrę – symbol matki natury czczonej w Indiach. Znak miał ok. 400 metrów średnicy, a jego analiza wykazała brak śladów opon i wszelkich innych znaków zostawionych przez człowieka. Część badaczy uznała więc, że twórcą znaku musieli być przybysze z kosmosu. Po jakimś czasie do stworzenia znaku przyznał się Sri Yantra składa się z 9 równoramiennych trójkątów, które nakładając się na siebie tworzą 43 mniejsze trójkąciki. Pięć trójkątów jest skierowanych do dołu i reprezentuje żeńską energię (Sakti), a cztery są skierowane do góry i reprezentują męski aspekt mądrości (Siva). Centralny punkt zwany „bindu” reprezentuje oryginalne zjednoczenie aspektu męskiego i żeńskiego przed aktem stworzenia. Charakterystyczną cechą Sri Yantry jest to, że w największym trójkącie kąt podstawy wynosi ok. 52 stopni. Przywodzi to na myśl Wielką Piramidę w Gizie, której kąt pochylenia ścian bocznych do podłoża wynosi 51,5 stopnia. Ciekawostką jest, że w kształcie największego trójkąta Sri Yantry zapisana jest liczba fi. Zakodowanie tej liczby w wedyjskim znaku świadczy, zdaniem niektórych, o odwzorowaniu w nim boskich praw natury.
![Page 39: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/39.jpg)
Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt. Dla lepszej przejrzystości na rysunku obok wszystkie zera zastąpiono białymi punktami, a jedynki – czarnymi.
System dwójkowy System dwójkowy
![Page 40: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/40.jpg)
Przykłady występowaniaPrzykłady występowania(KLIKNIJ NA OBRAZEK ABY POWIĘKSZYĆ)
![Page 41: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/41.jpg)
Złoty podział występuje w wielu zjawiskach we wszechświecie…
Oprócz tego z biegiem czasuodkrywamy jego nowe zastosowania…
PodsumowaniePodsumowanie
Może sami kiedyś znajdziecie inne wykorzystanie…
Mamy nadzieję, że sami zapragniecie poszerzać swoją wiedzę o nowe wiadomości związane z przedstawionym przez nas tematem…
![Page 42: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/42.jpg)
KoniecKoniec
Joanna Kosior
Joanna Konsek
![Page 43: Ciąg Fibonacciego](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062308/56812ba4550346895d8fd7a0/html5/thumbnails/43.jpg)