Download - Cinemática de una particula
UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAEN
CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
DINÁMICA
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA: FUERZA Y ACELARACIÓN
DOCENTE: FREDDI ROLAND RODRIGUEZ ORDOÑEZ
INTEGRANTES:
CARRASCO LÓPEZ KATERINEMONSALVE SEGURA DEYSERROJAS CLAVO DANTE OMAR
CICLO: IV
JAÉN- PERÚ
2014
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1
Dedico mi trabajo a mis compañeros y a todos los jóvenes que tienen deseo de superarse y crecer en forma personal y profesional.
KATERINE ROSSANA CARRASCO LOPEZ
Dedico mi trabajo a nuestro docente Freddi Rodríguez por enriquecernos nuestro bagaje cultural que nos permitirá desenvolvernos de manera asertiva en nuestra labor como futuros profesionales.
DANTE OMAR ROJAS CLAVO
Dedico éste trabajo con mucho amor y cariño a mis padres por brindarme el apoyo mutuo y continuo para yo continuar mis estudios universitarios, ya que soy un ejemplo a seguir para que mis hermanos menores y sean grandes profesionales.
DEYSER MONSALVE SEGURA
INTRODUCCIÓN
Cuando la resultante del sistema de fuerzas que se ejerce sobre un cuerpo
puntual es nula, el cuerpo está en equilibrio (reposo o velocidad constante).
Cuando dicha resultante no es nula, el cuerpo se halla animado de movimiento
acelerado.
Las fuerzas no equilibradas y el movimiento que originan constituyen la cinética,
rama de la dinámica que se ocupada de la relación entre el cambio del movimiento
de un cuerpo y las formas que lo provocan.
El movimiento que experimenta un cuerpo cuando está sometido a un sistema de
fuerzas no equilibrado se puede establecer utilizando tres métodos diferentes:
1.- Método de fuerza, masa y aceleración.
2.- Método de trabajo y energía.
3.- Método de impulso y cantidad de movimiento.
El método más útil para la resolución de un problema particular depende de la
naturaleza del sistema de fuerzas (constantes o variables) y de la información que
se busca (reacciones, velocidades, aceleraciones, etc.).
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OBJETIVOS
OBJETIVOS GENERALES
Analizar la segunda ley de movimiento de newton, definir masa.
Analizar el movimiento acelerado de una partícula por medio de la ecuación
con diferentes sistemas.
Investigar el movimiento de fuerza central y aplicar los problemas de
mecánica espacial.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Desarrollar en el estudiante de ingeniería la capacidad de analizar cualquier
problema en forma lógica y sencilla.
Aplicar para la solución de problemas principios básicos perfectamente
comprendidos que se expondrán en el trabajo.
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Índice
1. Cinética de una partícula: Fuerza y Aceleración……..…………………5
1.1 Segunda Ley de Newton …………………………..………………5
1.1.1. Sistema de Unidades ……………………………………….6
1.2 Ecuaciones del Movimiento………………………………………..7
1.2.1 Componentes Rectangulares………………………………8
1.2.2 Componentes Tangenciales y Normales……..…………11
1.2.3 Coordenadas Cilíndricas…………………………………..13
1.2.4 Coordenadas Esféricas……………………………………14
1.2.5 Movimiento bajo una Fuerza Central…………………….15
1.2.6 Mecánica Espacial…………………………………………18
CONCLUSIONES...………………………………………………………………22
BIBLIOGRAFIA………………………………….………………………………..23
EJERCICIOS DESARROLLADOS..……………………………………………24
EJERCICIOS PROPUESTOS....……………………………………………….30
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1. CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA: FUERZA Y ACELERACIÓN
1.1SEGUNDA LEY DE NEWTON
(Beer & RUSSELL, 2010) Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula
no es cero, la partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud
de la resultante y en la dirección de esta fuerza resultante.
La segunda ley de movimiento de Newton se comprende mejor al
imaginar el siguiente experimento: una partícula se somete a una fuerza F1
de dirección constante y magnitud constante F1. Bajo la acción de esa
fuerza se observa que la partícula se mueve en línea recta y en la dirección
de la fuerza (Figura a).
a) b) c)
Al determinar la posición de la partícula en diferentes instantes, se
encuentra que su aceleración tiene una magnitud constante a1. Si el
experimento se repite con fuerzas F2, F3….etc., o de diferente magnitud o
dirección (figura b y c), se descubre que cada vez que la partícula se mueve
en la dirección de la fuerza que actúa sobre ella y que las magnitudes
a1 , a2 , a3 etc., de las aceleraciones son proporcionales a las magnitudes
F1, F2 , F3.etc., de las fuerzas correspondientes:
F1
a1
=F2
a2
=F3
a3
=…… ..=constante
El valor constante que se obtiene para el cociente de las magnitudes de
las fuerzas y aceleraciones es característico de la partícula que se
considera; se denomina la masa de la partícula y se denota mediante m.
Cuando sobre una partícula de masa m actúa una fuerza F, la fuerza F y la
aceleración a de la partícula deben satisfacer entonces la relación: F=ma.
5
a1
F1
a2
F2
a3
F3
a
F=ma
1.1.1 SISTEMAS DE UNIDADES
Al utilizar la ecuación fundamental F=ma las unidades de fuerza,
masa, longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso
ocurriera, la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcionar una
aceleración a a la masa m no sería numéricamente igual al producto ma;
sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, se pueden elegir
tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta
unidad de manera que se satisfaga la ecuación F=ma . Se dice entonces
que las unidades forman un sistema de unidades cinéticas consistentes.
En la actualidad, en los Estados Unidos, los ingenieros utilizan dos
sistemas de unidades cinéticas coherentes: el Sistema Internacional de
Unidades (SI) y el U.S. customary system... (RILEY & STURGES, 2005).
En el SI, las magnitudes fundamentales son la longitud (m), la masa
(kg) y el tiempo. La unidad fuerza llamada newton (N) es, por definición, la
fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le comunica una aceleración de
1m/s².
El sistema internacional es un sistema absoluto ya que las tres
unidades fundamentales son iguales en cualquier punto (del entorno a la
Tierra, la Luna, del espacio, etc.). En el sistema SI, el peso W de un cuerpo
(fuera de la gravedad), como cualquier otra fuerza, se expresa en newton.
Así pues según la segunda ley de Newton, el módulo W del peso de un
cuerpo de masa m es:
W=mg
En Estados Unidos sigue utilizándose un sistema cuyas magnitudes
fundamentales son la longitud (ft), la fuerza (lb) y el tiempo (s). La unidad de
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tiempo (el segundo) es la misma que en el sistema SI. La unidad de
longitud (el pie) es, por definición, 0,3048m. La unidad de fuerza (la libra) se
define diciendo que es el peso al nivel del mar y a una latitud de 45° de un
patrón de platino que tiene una masa de 0,4359243 kg. Como la unidad de
fuerza depende de la atracción gravitatoria terrestre, el US customary
system no es un sistema absoluto. En este sistema, la unidad de masa es el
slug. Por definición, una masa de 1 slug adquiere una aceleración de 1ft/s²
cuando se le aplica una fuerza de 1 lb. Resumidamente: m=Wg
donde g es
la aceleración de la gravedad ¿).
1.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
(HIBBELER, 2010) Antiguamente se creía que un cuerpo en reposo estaba
en su estado natural, por lo que para mantenerlo en movimiento era
necesaria una cierta fuerza. La gran contribución de Newton a la Mecánica
fue darse cuenta de que no era necesaria una fuerza para mantener en
movimiento un cuerpo una vez que se hubiera puesto en movimiento y que
el efecto de una fuerza es alterar una velocidad, no mantenerla.
Cuando más de una fuerza actúa en una partícula, la fuerza resultante
se determina por medio de una suma vectorial de todas las fuerzas; es
decir. FR=𝚺F, en este caso general la ecuación del movimiento se describe
como:
7
=FR=ΣF
Diagrama cinética
Diagrama de cuerpo libre
F1
F2
F=ma
Cuando el movimiento tiene lugar a lo largo de una curva en el espacio
de tres dimensiones, su descripción precisa de tres coordenadas. Para
describir este tipo de movimiento, existen tres sistemas de coordenadas: el
de coordenadas o componentes rectangulares, coordenadas cilíndricas y el
de coordenadas esféricas.
1.2.1 COMPONENTES RECTANGULARES
(Beer & RUSSELL, 2010) Al descomponer cada fuerza F y la aceleración a
en componentes rectangulares, se escribe
Σ ( Fx i+F y j+F z k )=m (ax i+a y j+az k )Para que esta ecuación se satisfaga, los
componentes i, j, k, respectivos del lado izquierdo deben ser iguales a los
componentes correspondientes del lado derecho, por consiguiente,
podemos escribir las tres ecuaciones escalares siguientes:
ΣF x=m ax
ΣF y=ma y
ΣF z=m az
Al recordar que las componentes de la aceleración son iguales a la
segunda derivada de las coordenadas de la partícula, se tiene:
ΣF x=m x=md2 xd t2 ΣF y=m y=m
d2 yd t2 ΣF z=m z=m
d2 zd t2
Considérese un ejemplo el movimiento de un proyectil. Si se ignora la
resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil después de
que éste se ha lanzado es su peso W=−W j. En consecuencia, las
ecuaciones que definen el movimiento del proyectil son:
m x=0m y=−W m z=0
8
F z
F yF x
Y las componentes de la aceleración del proyectil corresponden a:
x=0 y=−Wm
=−g z=0
Donde g es 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2, de acuerdo al uso del sistema de
unidades. Las ecuaciones que se obtienen se integran de manera
independiente, como se muestra en la sección, para obtener la velocidad y
el desplazamiento del proyectil en cualquier instante. Cuando un problema
implica dos o más cuerpos, las ecuaciones de movimiento deben escribirse
para cada uno de).
Se recuerda de la sección que todas las aceleraciones deben
medirse con respecto a un sistema de referencia. En la mayoría de las
aplicaciones de ingeniería es posible determinar las aceleraciones con
respecto a ejes unidos a la Tierra, aunque las aceleraciones relativas
medidas con respecto a ejes móviles, como los ejes unidos al cuerpo
acelerado, no pueden sustituirse en lugar de a en las ecuaciones de
movimiento.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
(HIBBELER, 2010) Las ecuaciones de movimiento se utilizan para
resolver problemas que requieren una relación entre las fuerzas que
actúan en una partícula y el movimiento acelerado que ocasionan.
Diagrama de cuerpo libre:
• Seleccione el sistema de coordenadas inercial. Por lo general se utilizan
coordinadas x,y,z para analizar problemas en los cuales la partícula tiene
movimiento rectilíneo.
• Una vez que se establece las coordenadas, trace el diagrama de cuerpo
libre de la partícula.
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• La dirección y sentido de la aceleración a de la partícula también debe
establecerse. Si se desconoce el sentido, suponga que el sentido de cada
componente de aceleración actúa en la misma dirección que su eje de
coordenadas inercial positivo.
La aceleración puede representarse como el vector ma en el diagrama
cinético.
Ecuaciones de movimiento
• Si las fuerzas pueden descomponerse directamente con el DCL, aplique las
ecuaciones de movimiento en su forma de componentes escalares.
• Si la geometría del problema parece complicada, lo que a menudo ocurre
en tres dimensiones, puede utilizarse el análisis vectorial cartesiano para la
solución.
• Fricción: si se está en contacto con una superficie de fricción, la cual
relaciona fuerzas de fricción y normales que actúan en la superficie de
contacto mediante la ecuación Ff=ukN, esta fuerza actúa de forma contraria
a la Fz resultante.
• Resorte: si se está en contacto con un resorte elástico, la cual relaciona su
deformación por medio de la ecuación Fs=ks.
Cinemática
• Si se tiene que determinar la velocidad o posición de la partícula, se deben
aplicar las ecuaciones cinemáticas necesarias una vez que se determine la
aceleración de la partícula con 𝚺F=ma.
• Si la aceleración es en función del tiempo, use a=dvdt
y v=dsdt
.
• Si la aceleración es una función del desplazamiento, integre ads=vdv.
• Si la aceleración es constante, use v=v0+at, s=s0+v0xt+1/2xat2, v2=v02+2xa(s-
s0).
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1.2.2 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL
(Beer & RUSSELL, 2010) Al descomponer las fuerzas y la aceleración de
la partícula en componentes a lo largo de la tangente a la trayectoria (en la
dirección de movimiento) y la normal (hacia el interior de la trayectoria) y
sustituir a la ecuación, se obtienen las dos ecuaciones escalares:
Σ F t=m at Σ Fn=man
Al sustituir a t y an, de las ecuaciones anteriores se tiene:
Σ F t=mdvdt
Σ Fn=mv2
p
Las ecuaciones que se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
(HIBBELER, 2010) Cuando un problema implica movimiento de una
partícula a lo largo de una trayectoria curva conocida, en el análisis se
utilizaran coordenadas normales y tangenciales puesto que los
componentes de aceleración son fáciles de formular. Método para aplicar la
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ecuación del movimiento la cual relaciona las fuerzas con las aceleraciones,
para las coordenadas t,n,v, se puede formular como sigue:
Diagrama de cuerpo libre:
• Establezca el sistema de coordenadas t,n,v inercial en la partícula y trace el
diagrama de cuerpo libre de esta.
• La aceleración normal de la partícula siempre actúa en la dirección n
positiva.
• Si la aceleración tangencial es desconocida, suponga que actúa en la
dirección t positiva.
• No hay aceleración en la dirección v.
• Identifique las incógnitas en el problema.
Ecuaciones de movimiento
Aplique las ecuaciones dada del movimiento.
Cinemática
Formule los componentes normales y tangenciales de la aceleración; es
decir:
At=dv/dt o at=vxdv/ds y an=v2/p
Si la trayectoria se define como y=f(x), el radio de curvatura en el
punto donde la partícula está localizada se obtiene como:
p = [1 +( dydx
)2]3/2/[dt2y/d2
x]
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1.2.3 COORDENADAS CILINDRICAS
Según (Beer & RUSSELL, 2010) Tenemos una partícula P, de
coordenadas polares r y θ que se mueven en un plano bajo la acción de
varias fuerzas. Al descomponer las fuerzas y la aceleración de P en las
componentes radial y transversal y sustituir la ecuación, tenemos:
Σ F r=m ar Σ Fθ=m aθ Σ F z=m az
Al sustituir de acuerdo con las ecuaciones de aceleración, se tiene:
ar=r−θ2 aθ=r θ+2 r θ az=Z
Las coordenadas polares o cilíndricas son una opción adecuada para
el análisis de un problema para el cual se dan datos con respecto al
movimiento angular de la línea radial r, o en casos en los que la trayectoria
puede expresarse convenientemente en función de estas coordenadas.
Una vez que estas coordenadas se establecen, las ecuaciones de
movimiento pueden aplicarse entonces para relacionar las fuerzas que
actúan en la partícula con sus componentes de aceleración.
PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS
Diagrama de cuerpo libre
• Establezca el sistema de coordenadas r,θ, z inercial y trace el diagrama de
cuerpo libre de la partícula.
• Suponga que ar, aθ, az actúan en las direcciones positivas de r,θ, z si son
desconocidas.
• Identifique las incógnitas en el problema.
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Ecuaciones de movimiento
Aplique las ecuaciones dada del movimiento.
Cinemática
• Determine las derivadas con respecto al tiempo r , r ,θ ,θ , z , y luego evalúe las
componentes de aceleración ar=r−θ2 aθ=r θ+2 r θ az=Z .
• Si cualquiera de las componentes de aceleración se calcula como una cantidad
negativa, ello indica que actúa en la dirección de su coordenada negativa.
• Cuando se toman las derivadas con respecto al tiempo de r=f (θ), es muy
importante utilizar la regla de la cadena.
1.2.4 COORDENADAS ESFÉRICAS
En un sistema de coordenadas esféricas, la posición del punto se describe
en función de una distancia radial R y dos ángulos θ y∅ .
Las ecuaciones de la posición, velocidad y aceleración son:
r=R eR
v=r=R eR=R θ s en∅ eθ+R ∅ e∅
a=r= ( R−R ∅ 2−R θ2 ) eR+( R θ sen∅+2 R θ sen∅+R ∅ θ cos∅ ) eθ+( R ∅+2 R ∅+R θ2 sen∅ cos∅ ) e∅
Al movimiento curvilíneo en el espacio, la segunda ley de Newton para un
punto material, da:
Σ F R=m aR Σ Fθ=m aθ Σ F∅=m a∅
Combinando las ecuaciones tenemos anteriores tenemos las ecuaciones
escalares.
Σ F R=m aR=R−R ∅2−Rθ2
Σ Fθ=maθ=R θ sen∅+2 Rθ sen∅+R ∅ θ cos∅
Σ F∅=ma∅=R ∅+2 R ∅+R θ2 sen∅ cos∅
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1.2.5 MOVIMIENTO BAJO UNA FUERZA CENTRAL
(HIBBELER, 2010) Si una partícula se mueve sólo bajo la influencia de una
fuerza cuya línea de acción siempre está dirigida hacia un punto fijo, el
movimiento se llama movimiento de fuerza central.
Este tipo de movimiento lo realizan los planetas alrededor del Sol, la luna y
los satélites artificiales alrededor de la Tierra. A partir de estas observaciones
del movimiento de los planetas en torno al Sol J .Kepler enuncio las tres leyes
siguientes que rigen el movimiento por acción de una fuerza central.
Leyes de Kepler del movimiento planetario.
Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas en torno al Sol, el cual
ocupa un foco.
Segunda ley: El radio vector que une cada planeta con el Sol barre áreas
iguales en tiempos iguales.
Tercera ley: Los cubos de las distancias medias de los planteas al Sol son
proporcionales a los cuadrados de sus periodos de revolución.
Para analizar este movimiento, consideraremos la partícula P de la imagen a),
de masa m en la que actúa sólo la fuerza central F. el diagrama de cuerpo libre
de la partícula se muestra en la imagen b).
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F
O
z
x
y
P
(a) (b)
Σ F r=m ar −F=m [ d2rdt2 −r ( dθ
dt )2]
Σ Fθ=maθ 0=m( d2θdt 2 −2
dθdt
drdt )
La segunda ecuación se escribe como:
0=1r [ d
dt (r2 dθdt )]
De modo al integrar se obtiene
r2 dθdt
=h
Donde h es constante de integración. Por consiguiente se concluye que
cuando una partícula de mueve bajo la una fuerza central, su velocidad, de
área es constante.
Ley de la atracción gravitatoria de Newton
En su ley de la gravitación universal, Newton postuló que dos partículas de
masa M y n a una distancia r una de la otra se atraen entre sí con fuerzas
iguales y opuestas F y –F dirigidas a lo largo de la línea que las une. (RILEY &
STURGES, 2005).
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La magnitud común F de las dos fuerzas es:
F=Gm1 m2
r2
Donde G es una constante universal, llamada la constante de gravitación.
Los experimentos indican que el valor de G corresponde a
(66.73 ± 0.03)× (10−12 ) m3 /(kg . s2)en unidades del SI o aproximadamente
34.4 × (10−9 ) ft4/( lb . s4) en unidades del sistema de uso común en Estados
Unidos. Las fuerzas gravitacionales existen entre cualquier par de cuerpos,
pero su efecto sólo es apreciable cuando uno de los cuerpos tiene una masa
muy grande. El efecto de las fuerzas gravitacionales es patente en los casos
que orbitan alrededor de la Tierra, o de cuerpos que caen sobre la superficie
terrestre.
Puesto que la fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m
localizado sobre o cerca de su superficie se define como el peso W del
cuerpo, es posible sustituir la magnitud W= md del peso por F, y el radio R de
la tierra por r, de la ecuación de la ley gravitacional se obtiene:
W =mg=GM
R2mo g=GM
R2
Donde M es la masa de la Tierra. En virtud de que la Tierra no es
verdaderamente esférica, la distancia R desde el centro terrestre depende del
punto elegido sobre su superficie, y los valores de W y g variarán entonces
con la altura y la latitud del punto que se esté considerando. Otra razón para la
variación de W y g con la latitud es que un sistema de ejes unido a la tierra no
constituye un sistema de referencia newtoniano. Una definición más precisa
del peso de un cuerpo debe, por lo tanto, incluir una componente que
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represente la fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre. Los valores de g
a nivel de mar varían de 9.781 m/s², o 32.09 ft/ s², en el ecuador, a 9.833 m/s²,
o 32.26 ft/ s², en los polos.
La fuerza que ejerce la Tierra sobre un cuerpo de masa m ubicado en el
espacio a una distancia r de su centro, puede determinarse a partir a una
distancia r de su centro, el producto de la constante de gravitación G y de la
masa M de la Tierra puede expresarse como GM=gR².
El descubrimiento de la ley de la gravitación se ha atribuido a la creencia de
que, luego de observar la caída de una manzana e un árbol, Newton reflexionó
que la Tierra debe atraer a una manzana y a la Luna de la misma manera. Si
bien es dudoso que este incidente haya ocurrido en la realidad, sí es posible
afirmar que Newton no habría formulado su ley si no hubiera percibido primero
que la aceleración de un cuerpo que cae debe ser consecuencia de la misma
causa que la aceleración que mantiene a la Luna en su órbita. Este concepto
básico de la continuidad de la atracción gravitacional se comprende mejor en
la actualidad, cuando la brecha entre la manzana y la Luna se está llenando
de satélites terrestres artificiales.
1.2.6 MECANICA ESPACIAL
(Feynman, 2011) Cuando el momento angular L no es nulo, la trayectoria es
una cónica.
Para obtener ecuación de la trayectoria r=r(𝛉) se expresa el momento
angular y la energía en coordenadas polares y se integra la ecuación
diferencial resultante.
18
r θ
El parámetro se denominado excentricidad, define el tipo de trayectoria
r= d1+ecosθ
cone=√1+ 2l2 E
m3 G2 M 2d= L2
GM m2
Clase de
cónica
Descripción
geométrica
Descripción
física
Elipse ε<1 E<0
Parábola ε =1 E=0
Hipérbola ε >1 E>0
Así, una elipse se define en geometría como el tipo de cónica cuya
excentricidad es menor que la unidad. Para que una partícula sometida a una
fuerza central, atractiva, inversamente proporcional al cuadrado de las
distancias al centro de fuerzas, describa dicha trayectoria tiene que tener una
energía total negativa (E<0).
Volviendo a la geometría de la elipse en la primera ley de Kepler, la
posición más cercana al foco r1 se obtiene cuando e=0 y la posición más
alejada r2 se obtiene cuando θ=π. Es decir,
19
c
ab
r2r1
S
v1
v2
r1=d
1+ey r2=
d1−e
Los semejantes a y b de la elipse valen
2 a=r1+r2 a= d
1−e2
a2=b2+c2 b=a√1−e2
El semejante mayor de la elipse a es independiente del momento angular L,
y solamente depende de la energía total E. El semieje menor b depende del
momento angular L y de la energía E.
a=−mGM2 E
b=L√aGM
PERIODO
Se denomina periodo, al tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa.
En el applet que estudia la segunda ley de Kepler y en la figura vemos que el
radio vector que une el Sol con el planeta barre en el intervalo de tiempo
comprendido entre t y t + dt el área de color rojo de forma triangular.
El ángulo del vértice de dicho triángulo es d 𝛉 y la base del triángulo es un
arco de longitud rd 𝛉. El área del triángulo es (base por altura dividido por
dos)
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θdθ
rdθ
r
r (r . d θ)2
= r2 d θ2
Integrando la ecuación del momento angular expresado en coordenadas
polares.
∫0
2 r
r 2d θ=∫0
pLm
dt∫0
2 rr2 dθ
2= L
2 m∫2 m
p
dt
La primera integral es el área total de la elipse πab, que es igual a la suma
de las áreas de todos triángulos infinitesimales. La integral del segundo
miembro es el periodo P del planeta, por tanto:
P=2 mπadL
Poniendo el semieje b en función del semieje a, llegamos a la fórmula que
relaciona el periodo de la órbita de un planeta P y el semieje mayor de la
elipse a, denominada tercera ley de Kepler.
P2=4 π2 a3
GM
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CONCLUSIONES
La ley fundamental que rige al movimiento de un punto es la segunda ley de
Newton, la cual relaciona el movimiento acelerado de un punto con las
fuerzas que originan el movimiento.
Las coordenadas cilíndricas son útiles cuando se especifica el movimiento
angular de la línea radial r0 cuando la trayectoria se puede describir de
manera convenientemente con estas coordenadas.
Cuando una fuerza actúa en una partícula, como durante a trayectoria de
vuelo libre de un satélite en un campo gravitacional, entonces el movimiento
se conoce como movimiento de fuerza central. (Movimiento de fuerza
central)
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BIBLIOGRAFÍA
Beer, F., & RUSSELL, J. (2010). Mecanica Vectorial para Ingenieros. Mexico: McGRAW - HILL/ INTERAMERICANA EDITORES, S.A.
Feynman, R. P. (2011). Fuerzas Centrales . Canada: The Character of a Physical Law.
HIBBELER, R. (2010). Dinamica. España: Pearson Educacion,Mexico.
RILEY, W., & STURGES, L. (2005). Ingeneria Mecánica, Dinamica. Barcelona: REVERTÉ, S.A.
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30°
EJERCICIOS
EJERCICIOS DESARROLLADOS:
1.- Un bloque de 200 lb descansa sobre un plano horizontal. Determine la
magnitud de la fuerza P que se requiere para dar al bloque una aceleración de
10 ft/s² hacia la derecha. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el
plano es uk =0.25.
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SOLUCIÓN:
W
N F
m=Wg
= 200 lb
32.3 ft / s2=6.21 lb . s2/ ft
+¿→∑ F x=ma Pcos30 °−0.25 N=(6.21 lb s2/ ft )10 ft /s2¿
+↑∑ F y=ma N−Psen 30°−200 lb=0
N=Psen30 °+200 lb
Pcos30 °−0.25 ( Psen30 °+200lb )=62.1lb P=151 lb
=ma
P
200lb
30°
2.- El furgón de equipajes A que se muestra en la foto pesa 900 lb y remolca un
carro B de 550 lb y un carro C de 325 lb. Durante un corto tiempo la fuerza de
fricción desarrollada en las ruedas del furgón es F A=(40 t)lb, donde t está en
segundos. Si el furgón arranca del punto de reposo, determine su rapidez en 2
segundos. También, ¿Cuál es la fuerza horizontal que actúa en el acoplamiento
entre el furgón y el carro B en este instante? Ignore el tamaño del furgón y el peso
de los carros.
SOLUCIÓN:
25
Se tiene que considerar el movimiento solo en la dirección horizontal.
+¿←∑ F x=m ax ¿
40 t=( 900+550+32532.2 )a
a=0.7256 t
Como la aceleración es una función del tiempo, la velocidad del furgón se obtiene con a=dv /d t con la condición inicial de que v0=0 en t=0. Tenemos.
∫0
v
dv=∫0
2 s
0.7256 t d t ; v=0.3628 t 2∫0
2 s
¿1.45pies
s
Ecuación de movimiento: cuando t=2s, entonces
+¿←∑ F x=m ax ¿
40 (2 )−T=( 90032.2 ) ⌊0.7256(2)⌋
3.- Se lanza un satélite en dirección paralela a la superficie de la Tierra con
una velocidad de 18 820 mi/h desde una altura de 240 mi. Determine la
velocidad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2 340 mi.
Recude que el radio de la Tierra es de 3 960 mi.
26
2340 mi
240mi
SOLUCIÓN:
m v A
θ
mv
B HJG A
m vB
Puesto = que el satélite se mueve bajo el efecto de una fuerza central dirigida hacia el centro 0 de la Tierra, su cantidad de movimiento angular H 0 es constante. De la ecuación s e t i e n e :
rmvsinƟ=H 0=constante
Que muestra que v es mínima en B, donde tanto r como sin∅ son máximos. Al expresar la conservación de la cantidad de movimiento angular entre A y B
r A m v A=r B mv B
vB=v A( r A
rB)
vB=(18820mih
)( 3960 mi+240 mi3960 mi+2340 mi )
vB=12,550mih
r B r A O
4.- el patinador de 60 kg que aparece en la figura se desliza cuesta debajo de la
pista circular movido solo por la fuerza de la gravedad. Si parte del punto de
reposo cuando Ɵ=0° , determine la magnitud de la reacción normal que la pista
ejerce en él cuando Ɵ=60°.Ignore su estatura en el círculo.
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SOLUCIÓN:
Ecuaciones del movimiento:
↓∑ Fx=m an
N s−[60 (9.81 ) N ]sin θ=¿ (60 kg )( v2
4 m )… ..(I )¿
↓∑ Ft=m at
[60 (9.81 ) N ] cosθ=¿ (60 kg ) (a t )¿
a t=9.81cosθ
Como a testa expresada en función de θ , para determinar la rapidez del patinador cuando Ɵ=60° se utiliza la ecuación vd v=at ds. Con la relación geométrica s=θr, donde d s=r dθ=(4 m)dθ y la condición inicial v=0 en Ɵ=0°, tenemos:
vd v=at ds
∫0
v
v dv=¿∫0
60°
9.81cos θ (4 dθ )¿
v2
2∫0
v
¿39.24 sin θ∫0
60°
; v2
2−0=39.24(sin60°−0)
v2=67.97m2
s2
Si sustituimos v y Ɵ=60° en la ecuación (I), tenemos:
N s=1529.23 N=1.53 kN
5.-El doble anillo liso de 0.5 kg que se muestra en la figura puede deslizarse
libremente sobre el brazo AB y la barra guía circular. Si el brazo gira a una
velocidad angular constante de θ=3rad
s , determine la fuerza que el brazo ejerce
sobre el anillo en el instante θ=45°. El movimiento ocurre en el plano horizontal.
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Ecuaciones del movimiento:
+↗∑ F r=m ar⟹N Ccos 45°=(0.5 kg )ar … ..(I )
+↖∑ Fθ=maθ⟹ F−NCsin 45°= (0.5 kg ) aθ … (II)
Con la regla de la cadena, la primera y segunda derivada con
respecto al tiempo de r cuando θ=45° , θ=3rad
s, ¨θ=0
r=0.8 cosθ=0.8 cos45°=0.5657 m
˙r=−0.8 cosθ θ=−0.8 cos 45° (3 )=−1.6971ms
¨r=−0.8 [sin θ ¨θ+cosθ θ2 ]
¨r=−0.8 [sin 45° (0 )+cos45° ( 32 ) ]=−5.091
m
s2
Tenemos:
ar=r−r ˙θ2=−5.091m
s2−(0.5657 m)¿
aθ=r θ+2 r θ=(0.5657 m) (0 )+2(−1.6971m / s)(3 rad /s )=−10.18m
s2
Si sustituimos estos resultados en las ecuaciones (1) y(2) al resolverlo obtenemos:
N c=7.20 N
F=0
6.-El juego mecánico que se muestra en la figura consiste en una silla que gira en
una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la
aceleración angular del brazo OB son θy θ, respectivamente. Determine las
componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del pasajero, cuya
estatura no se toma en cuenta en el cálculo.
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SOLUCIÓN:
Primero es necesario especificar la primera y segunda derivada con respecto al tiempo de r y θ. Como r es constante , tenemos:
r=r r=0 r=0
Por lo tanto, tenemos:
vr=r=0
vθ=r θ
ar=r−r θ2=−r θ2
aθ=r θ+2 r θ=r θ
Nota: los ejes n, t también se muestran en la fig. (b) que en este caso especial de movimiento circular son coliniales con los ejes r y θ ,respectivamente. Como v=vθ=v t=r θ, entonces por
comparación tenemos:
−ar=an=v2
ρ=
(r θ )2
r=r θ2
aθ=at=dv
d t
= dd t
( r θ )=dr
d t
θ+ d θd t
=0+r θ
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. Determine la Aceleración del Sistema y la Tensión en cada cable. El plano
inclinado es liso y el coeficiente de fricción cinemática entre la superficie
horizontal y el bloque C es (U k)c=0.2
2. El carro B de 800kg está enganchado al carro A de 350kg mediante un acoplamiento de resorte. Determine el alargamiento en el resorte si (a) las ruedas de ambos ruedan libremente y (b) se aplican frenos a las cuatro ruedas del carro B, lo que hace que patinen. Considere (U k) c=0.4. Ignore la masa de las ruedas.
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3.- el bloque B descansa sobre una superficie lisa, si los coeficientes de fricción
cinética y estática entre A y B son us=0.4 y uk=0.3 , respectivamente, determine la
aceleración de cada bloque si P=6lb.
A 20 lb
P
B 50 lb
4.-Una sonda espacial se colocará en una órbita circular de 9000 km de radio alrededor del planeta Venus en un plano especificado. Cuando la sonda alcanza A, que es el punto de su trayectoria original más cercano a Venus, se inserta en una primera órbita de transferencia elíptica al reducir su velocidad en vA. Esta órbita lo lleva al punto B con una velocidad más baja. Allí, la sonda se inserta en una segunda órbita de transferencia ubicada en el plano especificado al cambiar la dirección de su velocidad y además reducir su rapidez en vB. Por último, cuando la sonda llega al punto C, se inserta en la órbita circular deseada al reducir su velocidad en vC. Si la masa de Venus es 0.82 veces la masa de la
Tierra, rA 15 103 km y rB 300 103 km, y la sonda se aproxima a A en una trayectoria parabólica, determine en cuánto debe reducirse la velocidad de la sonda a) en A, b) en B, c) en C.
Trayectoria de aproximación
Segunda órbita de transferencia C
B 9000 km A
Órbita circular
Primera órbita de transferencia
r A rB
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5.- Un tobogán y su conductor de 90 kg de masa total se deslizan cuesta abajo a
lo largo de una pendiente (lisa) definida por la ecuación y=0.08 x2 . en el instante
x=10 m, la rapidez del tobogán es de 5ms
. En este punto, determine la tasa de
incremento de la rapidez que la pendiente ejerce en el tobogán. Ignore el tamaño
del tobogán y la estatura del conductor en el cálculo.
6.- Si la posición del anillo C de 3 kg sobre la barra lisa AB se mantiene en
r=720 mm,determine la velocidad angular constante θ a la cual gira el mecanismo
en torno al eje vertical. La longitud no alargada del resorte es de 400 mm. Ignore
la masa de la barra y el tamaño del anillo.
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