CinématiqueCinématiqueÉtude du mouvement d’un corps en fonction du temps,
indépendamment de toute cause pouvant le provoquer ou le modifier.
Le mouvement s’effectue le long d’une trajectoire, la trajectoire se trouve sur une courbe (droite, arc, …)
Mouvement : modification de la position d’un corps pendant un intervalle de temps. On attribue à la position du corps une ou plusieurs valeurs numériques (coordonnées) qui situent le corps en fonction du temps dans un référentiel.
Trajectoire : l’ensemble des positions successives du corps dans l’espace.
Mouvement curviligne : la trajectoire se trouve sur une courbe. La norme du vecteur vitesse et sa direction changent au cours du temps.
Mouvement rectiligne uniforme : la trajectoire se trouve sur une droite, la vitesse est constante en direction et en norme. Le vecteur vitesse V est constant, en direction et en norme.
On distingue :
Mouvement rectiligne uniformément accéléré : la trajectoire se trouve sur une droite, la direction du déplacement est constante, mais la norme de la vitesse varie au cours du temps (augment ou diminue). L’accélération (ou la décélération) est constante. Le vecteur vitesse V est constant en direction, mais sa norme varie.
Mouvement rectiligne varié : l’accélération n’est pas constante dans le temps.
Mouvement circulaire uniforme : la trajectoire se trouve sur un cercle ou un arc de courbe. La norme du vecteur vitesse V est constante, mais sa direction change.
Notion de référentielNotion de référentiel
L’ensemble repère – horloge constitue un référentiel.
Tout observateur est muni d’un temps t associé à une horloge et d’un espace affine E (ou vectoriel) orienté à 3 dimensions.
À tout instant t, il existe un point M(t) de l’espace E avec lequel coïncide le point matériel à l’instant t (point coïncidant).
Dans l’espace à 3 dimensions, il faut trois données (coordonnées) pour définir la position d’un point M.
La description du mouvement d’un point matériel exige de connaître sa position dans l’espace à tout instant. Pour cela, nous devons définir :
Un repère d’espace
Une horloge
tx
ttxx
tdéplacemendu duréetdéplacemenvouv
12
12
tx
tttxxxtv
11
111
)()(
x
dtdx
tx
tttxxxtv
0t0tlimitelimite
11
111 )(
)()(
Vitesse moyenne :
Vitesse instantanée :
C’est la limite de cette expression quand l’intervalle de temps t tend vers un infiniment petit dt :
Mouvement à une dimensionMouvement à une dimension
Vitesse :Vitesse :
AccélérationAccélération accélération moyenne :
tv
ttvv
variation la de duréevitesse de variationou
12
12
La vitesse d’un mobile est susceptible de varier, elle peut :• Augmenter (accélération positive > 0)• Diminuer (accélération négative < 0)• si la vitesse est constante, l’accélération est nulle
L’accélération rend compte de la rapidité avec laquelle la vitesse change.
Remarque : si la vitesse et l’accélération ont même signe, l’accélération est positive, si leurs signes différent, l’accélération est négative.
accélération instantanée :
x
dtxd
dtdtdxd
vdtdv
tv
tttvvvt
0t0tlimitelimite 2
2
11
111
)(
)()()(
Équation du mouvement : équation horaireÉquation du mouvement : équation horaireL’équation horaire d’un mouvement rectiligne, uniformément accéléré s’écrit :
oo xtvtx 221)(
Cette équation est obtenue par intégration de la définition de l’accélération : dtdv soitCdt
dv ste
Ktdtdtv(t) d’où
Puisque est constante, on peut la sortir de l’intégrale, K est une constante d’intégration que l’on détermine à partir des conditions initiales (position et vitesse). En appelant vo la vitesse à l’instant t = 0, on a : ovttv )(
De même :
dtvdttdtvtdtvxdtvdxdtdxv oo )(
'21)( 2 Ktvttx o K’ est déterminée à partir de la position initiale xo à t = 0 :
oo xtvttx 221)(
Systèmes de coordonnéesSystèmes de coordonnées
Une quantité physique peut être déterminée entièrement : par sa grandeur SCALAIRE
c’est le cas d’un volume, du temps, de la masse, de l’énergie .... par sa grandeur et sa direction VECTEUR
c’est le cas d'un déplacement, d’une vitesse, d’une accélération, d'une force ...
u
O
A
= vecteur unitaire | | = 1
uAuAAOA
u
u
Rappels sur le calcul vectoriel
on peut aussi faire l'addition de façon analytique :en prenant des coordonnées cartésiennes
jBiBB
jAiAA
yx
yx
jBAiBABA yyxx
)()(
yyy
xxx
BAC
BAC
d’où :
Addition
elle est commutative : associative :
ABBA
CBACBA
)()(
on peut faire l'addition de deux vecteurs graphiquement :BetA
=+
B
A
A
BC
O
x
z
yji
k
m
kzjyixOM
M
z
y
x
jyixOmavkzOmOM
ec
ruOM
= vecteur unitaire (vecteur radial)ru
(cylindriques dans 3D)
O
M
Axe polaire
Angle polaireru
Dans l’espace à 3 dimensions, on ajoute la coordonnée z : kzuOM r
zM
Les 3 coordonnées de M sont alors :
Les relations entre coordonnées cartésiennes et cylindriques sont :
zzyx
sincos
Dérivée d’un vecteur tournant par rapport à son Dérivée d’un vecteur tournant par rapport à son angle polaireangle polaire
u
ur
M
dtudrudt
drdtOMdvurOM r
rr
)cossin(sincos jidtd
dtd
dud
dtudjiu rr
r
Or : ujiji
)2sin()2cos(cossin
D’où : uudtd
dtud r
Finalement : ururudtdru
dtdr
dtOMdv rr
x
y
Oi
j
Avec r = OM toujours positif
= (OZ, OM)
= (OX, OM)
rurOM
Le vecteur OM est représenté dans la base ),,( uuur
Le vecteur OM s’écrit :
Les coordonnées de M sont :
r
M
Les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques de M sont :
cossinsincossin
rzryrx
Le produit scalaire de deux vecteurs (on dit A scalaire B) est la quantité scalaire (un nombre) que l’on obtient en multipliant le produit des grandeurs |A| et |B| des deux vecteurs par le cosinus de l’angle qu’ils forment :
BetA
cos),cos( BABABABA
),( BA vecteurs les entre angle
et
Produit scalaire
BB
AA
où
Propriétés :
2AAA
)0A( nullegrandeur une a vecteursdesun l' siou ),09( lairesperpendicusont ursdeux vecte ces si
0BA
La relation constitue un critère d’orthogonalité des deux vecteurs. 0BA
)cos()cos( BAouBABA
Le produit scalaire de deux vecteurs peut être considéré comme le produit de la grandeur d’un des vecteurs par la projection de l’autre sur le premier :
Le produit scalaire est
Expression analytique (en cartésiennes) :
zzyyxxzyx
zyx BABABABABBBBAAAA
),,(),,(
BCACBAC
)(distributif par rapport a l’addition :
ABBA
)cos(cos commutatif : car
Produit vectoriel
Sa grandeur est :
BetA
BetA
produit vectoriel (produit extérieur) de deux vecteurs (on dit A vectoriel B, ou A cross B) faisant entre eux un angle orienté est un vecteur perpendiculaire au plan formé par
sin),sin( BABABABA
BA
A
B
AB
bouchon) du tire règle encoreou droitemain la de (règle direct un trièdreforment , BAetBA
Sa direction est telle que
Propriétés
0sin00 carAA
)0( parallèlessont vecteursles sinulest vecteursdesun l' si0
BA
La relation constitue un critère de parallélisme de deux vecteurs non nuls.0 BA
BA
BetA La grandeur du produit vectoriel est égale à la surface du parallélogramme
formé par les deux vecteurs .
Le produit vectoriel est anti-commutatif : ABBA
Expression analytique :
kBABAjBABA
iBABA
BA
xyyx
zxxz
yzzy
)()(
)(
distributif par rapport à l’addition : BCACBAC
)(
Vecteur rotation Vecteur rotation
Pour un mouvement dans un plan, on peut définir un axe perpendiculaire à ce plan. En désignant par k le vecteur unitaire porté par cet axe, on définit le vecteur rotation :
kkdtd
Remarque :
ur
u
En tenant compte des propriétés du produit vectoriel
et de , nous pouvons écrire : u
dtd
dtud r
De manière analogue, nous obtenons :
ruu
-ur
dtud
uudtduk
dtdu r
rr
Mouvement dans l’espace :Mouvement dans l’espace : expression des vecteurs vitesse et accélération expression des vecteurs vitesse et accélérationdans un référentiel galiléendans un référentiel galiléen
Cartésiennes : )( kzjyixOM
kzjyixkdtdxj
dtdyi
dtdx
dtOMdv
où zyx vdtdxetv
dtdyv
dtdx ,
Sont les composantes du vecteur vitesse dans la base ),,( kji
kzjyixkdt
zdjdt
ydidt
xddtvd
22
2
2
22
où zyx dtxdet
dtyd
dtxd 2
22
2
22
,
Sont les composantes du vecteur accélération dans la base ),,( kji
Polaires, cylindriques :Polaires, cylindriques : kzuOM r
dtkdz
dtudk
dtdzu
dtd
dtOMdv r
r
udt
kdtkd
rud mais fixe,est car 0 avec
kzuukdtdzu
dtdu
dtdv rr
leorthoradia vitesseet radiale vitesseoù u
dtd
dtd
)(),,( kzuudtd
dtvdz r
rr u
dtd
dud
dtud u
dtud
et avec
kzuu
leorthoradiaaccélradialeaccél
r
..
2 )2()(
kzdtud
uudtud
u rr
Si le mouvement est circulaire (r = constante) et uniforme (vitesse angulaire = constante)
00
steste CetC
Le vecteur accélération s’écrit :
centripèteaccél
ru
.
2),(
L’accélération centripète est dirigée vers le centre de la trajectoire
La direction de la vitesse est toujours celle de la tangente orientée à la courbe représentative de la trajectoire s :
dsOMd par définie est tangente lav
dtdsv
Vitesse le long d’une trajectoire :
Sur la trajectoire on définit l’abscisse curviligne s