Para un movimiento circular, la distancia (longitud del arco) s, el radio r, y el ángulo están relacionados por:
r
s
DEGRAD
180
Note que se mide en radianes:
Posición angular, θ
> 0 para rotación en el
sentido antihorario desde la
línea de referencia
• El desplazamiento angular se define como el ánguloque el objeto rota a través de algún intervalo de tiempo
• Cada punto del disco tiene el mismo desplazamientoangula en cualquier intervalo de tiempo dado
if
A medida que el disco rota, cambia. Podemos definir el desplazamiento angular como, , :
= f - i
Que nos lleva a la velocidadangular promedio wprom
if
if
promttt
w
Velocidad angular, ω
Velocidad angular instantánea
La velocidad angular instantánea se define:
dt
d
tt
w
lim
0
Las unidades SI para w son: rad/s = s-1
w > 0 para rotación en sentido antihorario
w < 0 para rotación en sentido horario
Si v = velocidad de un objeto que viaja alrededor del ciculo de
radio r
w = v / r
El periodo de una rotación es el tiempo que tarda en dar una
revolución.
T
w
2
w
2 T
Problema:
¿Cuál es el período de rotación de la Tierra alrededor de su propio
eje?
¿Cuál es la velocidad angular de la Tierra alrededor de su propio
eje?
La aceleración angular media amedia se define como
La aceleración angular instantánea como l se define como
if
if
mediattt
wwwa
dt
d
tt
wwa
lim
0
Aceleración angular, α
Las unidades SI para a: rad/s2 = s-2
La aceleración angular es el cambio de la velocidad angular en
el tiempo
Anotaciones a cerca de cinemática angular:Cuando un cuerpo rígido rota alrededor de un eje fijo, cada porción del objeto tiene la misma velocidad y la misma aceleración angular
• Por ejemplo, , w, y a no son dependientes de r, la distancia respecto al eje de rotación.
Ejemplos:
1. La rueda de una bicicleta da 240 revoluciones/min. ¿Cuál es
la velocidad angular en radianes/segundo?
sss
radians1.25radians8rev1
rads2
60
min1
min
rev240
w
2. Si la rueda desacelera uniformente hasta el reposo en 5
segundos, ¿cuál es la aceleración angular?
2rad55
rad250s
s
s
t
if
wwa
3. ¿Cuantas revoluciones realiza en estos 5 segundos?
esrevolucion102
rev1rad5.62)(
rad5.625rad52
15rad25
2
1
2
2
0
aw
rev
ssss
tt
Recoredemos que para el movimiento lineal teníamos:
De manera similar, para las cantidades angulares tenemos:
2
02
1attvx
Analogías entre el movimiento lineal y rotacional
Movimiento rotacionalalrededor de un eje fijocon aceleración constante
Movimiento lineal con aceleración constante
ti aww
2
2
1tti aw
aww 222
ixavv i 222
2
2
1attvx i
atvv i
1( )
2o o t w w
Relación entre cantidades angulares y lineales
• Desplazamientos
• Velocidades
• Aceleraciones
r
s
vr
t
s
rt
1
1
w
ra a
v rw
La aceleración lineal total es:
Ya que la velocidd tangencial v es
Aceleración tangencial y la aceleración radial
ta
La magnitud de la aceleración tangencial at es
La aceleración radial o centrípeta ar es
ra
a
v
t
r
tw
r
t
w
ar
r
v2
r
r2
w
2wr
22
rt aa 222wa rr 42 wa r
Ejemplo: (a) ¿Cuál es la velocidad lineal de un niño sentado 1.2m del
centro de un juego que rota y completa una revolución en 4.0s? (b)
¿Cuál es su aceleración lineal total?
v
1 21.6 /
4.0 4.0
rev radrad s
s s
Como la velocidad angular es constante, no hay una aceleración
angular
Aceleración tangencial ta
Aceleración radial es: ra
a
rw 1.2 1.6 / 1.9 /m rad s m s
ra 2 21.2 0 / 0 /m rad s m s 2r
2 21.2 1.6 / 3.1 /m rad s m s
2 2
t ra a 2 20 3.1 3.1 /m s
Energía cinética rotacionalEnergía cinética de un cuerpo rígido que tiene movimiento circular:
Como un cuerpo rígido es un conjunto de msas, la energía cinética
total de un cuerpo rígido es
El momento de inercia, I, se define como
La energía cinética de masa mi, moviendose a una velocidad
tangencial, vi, esiK
RK
i
iirmI 2
wIKR2
1La expresión anterior se simplifica a
2
2
1iivm
w2
2
1iirm
i
iK i
iirm w2
2
1
w
i
iirm 2
2
1
Ejemplo:
En un sistema que consiste de cuatro esferas pequeñas como se muestra
en la figura, asumiendo que los radios son despreciables y que las barras
conectando las partículas son de masa despreciable, calcule el momento
de inercia y la energía cinética rotacional cuando el sistema rota alrededor
del eje y en w.
x
y
M Ml l
m
m
b
bO
I
Como la rotación es en el eje y , el momento de inercia alrededor del eje y, Iy, es
RK
Por tanto, tla energía cinética rotacional es
Halle el momento de inercia y la energía cinética rotacional cuando el sistema rota en
el plano xy alrededor del eje z que va a través del origen O.
Por qué hay algunos ceros?
Porque la rotación se realice alrededor del eje y, y los radios de las esferas son
despreciables.
2
i
i
irm 2Ml22Ml
2
2
1wI 222
2
1wMl
22wMl
2Ml20m 20m
Cálculo del momento de inerciaEl momento de inercia para objetos gandes puede puede calcularse,
si asumimos que el objeto consiste de pequeños elementos de volumen con masa, mi.
Algunas veces es más fácil calcular los momentos de inercia en términos del volumen de
los elementos que de sus masas.
Usando la densidad, r,reemplece dm en la ecuación anterior por dV.
El momento de inercia para un objeto rígido
grande es
i
iim
mrIi
2
0lim dmr 2
dV
dmr
Los momentos de inercia se convierten en:
dVrI 2r
dVdm r
El momento de inercia de un aro uniforme de
masa M y radio R alrededor de un eje
perperndicular al plano del aro y pasando por su
centro
x
y
RO
dm
El momento de inercia es
dmrI 2
El momento de inercia para este objeto es el
mismo que el de una masa puntual M a una
distancia R.
dmR2 2MR
Ejemplo para de momento de inercia de un cuerpo rígido
Calcule el momento de inercia de una barra uniforme de longitud L y
masa M con el eje perpendicular a la bara y pasando a través de su
centro de masa.
La densiad lineal de la barra esL
M
Así que la masa es dm
I
dmrI 2
dx dxL
M
dmr 2 dxL
MxL
L
2/
2/
2 2/
2/
3
3
1L
L
xL
M
33
223
LL
L
M
43
3L
L
M
12
2ML
dxL
MxL
0
2 L
xL
M
0
3
3
1
03
3 L
L
M 3
3L
L
M
3
2ML
Con el eje en el extremo
Teorema de los ejes paralelos
Como el momento de inercia (I) depende del eje, habra tantos I como ejesque se elijan.
Si el centro de masas pasa por eje z (xcm =0, ycm=0, zcm=0)
2
2222
2222
22
22
)()(
)22(
)()[(
)(
MdII
mbayxm
bbyyaaxxm
byaxmI
yxmI
cmP
iiii
iiiii
iiiP
iiicm
Ya que:
222
22
00
00
)(
bad
ymm
ymy
xmm
xmx
yxmI
ii
i
ii
cm
ii
i
ii
cm
iiicm
Teorema de los ejes paralelos
El momento de inercia en un punto cualquiera P es igual al momento de inercia alrededor del centro de masas sumado a la masa total multiplicada por la distancia al cuadrado entre el centrode masas y el punto P.
Observese que a mayor distancia Del centro de masas mayor sera el momento de inercia.
2MdII cmP
[1] Durante cierto período de tiempo, la posición angular de una
puerta se describe por θ= 5.00 + 10.0t + 2.00t2, donde θ está en
radianes y t se expresa en segundos. Determine la posición angular,
la velocidad angular y la aceleración angular de la puerta (a) en t = 0
(b) en t = 3.00 s.
2
0
0
/44dt
dangular naceleracio
/10410dt
dangular velocidad
rad 5angular posicion
0 ten a]
srad
sradt
t
t
aw
a
w
w
[5] Un disco de 8.00 cm de radio rota a una tasa constante de
1200 rev/min alrededor de su eje central. Determine (a) su
velocidad angular, (b) la velocidad tangencial en el punto 3.00 cm
de su centro, (c) la aceleración radial de un punto el borde, y (d) la
distancia total a un punto del borde que se mueve en 2.00 s.
srt
f
1.202108126rs d]
???a
m/s 1260108(126)rωa c]
m/s 3.77108126ωr vb]
rad/s 126)60
1200(22
T
2πω a]
2-
r
222
c
2-
w
Considere un carroconduciendose a 20 m/s en unacarretera peraltada a 30° en una curva circular de radio 40.0 m. Asuma la masa del carro es1000 kg.
1. ¿Cuál es la magnitud de la fuerzade friccion experimentada porlas gomas del carro?
2. ¿Cuál es el coeficiente mínimode fricción para que el carro de la vuelta de manera segura?
1. Dibuje un diagrama de cuerpo
libre, introduzca un marco de
referencia y considere las
proyecciones horizontal y
vertical
Nmgr
vmf
mgfr
vmFx
376030sin30cos
30sin30cos
2
2
Nmgr
vmN
mgNr
vmFy
42
2
103.130cos30sin
30cos30sin
2. Use la definición de fuerza de fricción:
28.0101.3
3760
minima ,
4
s
N
N
N
f
Nf
ss
s