Download - Cipher Main Ria
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 1/22
Tugasan 1
Cipher Main Ria (Playfair Chiper)
Cipher Main Ria (Playfair Cipher) dipopularkan oleh Lyon Playfair, tetapi ia
telah dicipta oleh Charles Wheatstone, salah satu perintis telegraf. Cipher ini
menggantikan setiap pasangan huruf dalam teks biasa dengan sepasang lagi surat, adi
ia adalah seenis cipher. !ebagai contoh, mari kita menyulitkan mese "#umpa saya di
#ambatan $ammersmith malam ini". Pertama, penghantar dan penerima mesti
bersetuu dengan kata kunci tersebut.
Cipher Main Ria ialah penggantian cipher digraf. %a menggunakan adual di
mana satu abad akan ditinggalkan dan huruf&huruf disusun dalam grid ''. engan
kata lain,Cipher ini menggunakan digram dalam teks biasa sebagai unit tunggal dan
mentranslasikan unit ini kepada digram dalam teks cipher.
!ebagai contoh yang diberikan oleh Lord Peter Wimsey dalam Dorothy
Sayer’s a!e is Car"ase. alam kes ini, kata kuncinya ialah M#$%RC&. Matriks
ini dibina dengan mengisi huruf kata kunci (tolak penyalinan) dari kiri ke kanan, dari
atas ke ba*ah dan kemudian mengisi baki matriks dengan baki huruf dalam urutan
abad. $uruf ' dan dikira sebagai satu huruf. $uruf teks biasa dinyah sulitkan
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 2/22
(encrypted) kepada dua huruf dalam satu masa mengikut peraturan&peraturan yang
telah ditetapkan.
Cipher Main Ria adalah kemauan bagi cipher +monoalphabetic. -agi satu
perkara, apabila terdapat / huruf, maka terdapat //0/1/ digram yang menadikan
pengenalan bagi indi2idu adalah angat sukar. Cipher Main Ria ini mengambil masa
yang lama untuk dipecahkan. Cipher ini pernah digunakan semasa Perang unia 3e&
oleh tentera 4merika !yarikat.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 3/22
aedah Peng*odan
Matriks pengekodan (coding matri) adalah Matriks yang mengandungi
persilangan antara obek dengan kod yang perlu digunakan. 3amus
3omputerpengekodan(coding) Proses menulis senarai suruhan sebenar bagi sesuatu
atur cara dalam bahasa pengaturcaraan komputer. 3amus 3omputer pengekodan
automatik (automatic coding) Rutin bahasa mesin yang disediakan untuk menanakan
kod atur cara secara automatik.
3amus 3omputer pengekodan capaian minimum (minimal access&coding)
Pengekodan yang digunakan dalam pengaturcaraan untuk mencari kedudukan data
supaya masa capaian dan masa pemindahan data dapat dikurangkan. 3amus
3omputer peranti pengekodan (coding de2ice) Peranti yang digunakan untuk
mengekodkan data atau obek mengikut sistem kod. 3amus 3omputer skema
pengekodan(coding scheme) 3aedah kera dan bentuk kod yang digunakan bagi
sesuatu sistem kod. 3amus 3omputerpengekodan perbuatan (kera, proses) me&
ngekodkan atau mengkodifikasikan5
Penyah*odan
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 4/22
Penyahkod ialah satu litar gabungan yang mempunyai fungsi yang hampir
sama dengan pengekod tetapi terbalik6sonsang. Penyahkod menerima satu paras aktif
pada salah satu inputnya (sama ada asas 7, asas 89 atau asas 8/) dan menukar input
tersebut kepada output yang dikodkan (sama ada dalam asas atau -C). Proses
menukar dari nombor yang biasa digunakan ke format yang dikodkan dipanggil
+nyahkod (encode). Penyahkod mempunyai maksimum n talian input dan n talian
output, seperti yang ditunukkan dalam Raah /.88. %nput dan output penyahkod boleh
adi aktif&tinggi atau aktif&rendah.
Tugasan +
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 5/22
:eno telah meresahkan para ahli matematik seak lebih dari dua ribu tahun yang
dahulu. Pada abad ke&8; ahli matematik yang bernama Cauchi dapat menyelesaikan
paradoks :eno dengan memuaskan. Cauchi menemukan solusi dengan limit deret
tanpa batasan. %a mempunyai empat enis iaitu Paradoks ikotomi, Paradoks 4chilles
dan 3ura&kura, Paradoks 4nak Panah dan Paradoks !tadium. i <unani, terdapat satu
set teka&teki yang disebut Paradoks :eno. Paradoks ini pertama kali dilontarkan oleh
filsuf :eno dari =lea, kira&kira pada abad kelima !M. !ebuah paradoks adalah sebuah
pernyataan yang betul atau sekelompok pernyataan yang menuu ke sebuah situasi
yang berla*anan dengan institusi.
Parado*s Di*otomi,
Paradoks ikotomi memba*a maksud sebuah benda yang bergerak tidak akan
mencapai tuuan. Pada mulanya, benda harus menempuh bahagian setengah
peralanan. selepas itu, ia harus mele*ati banyak bahagian seperti satu perempat, satu
per lapan, satu per enam belas dan sebagainya. -erikutnya hingga umlah
peralanannya menadi tak&hingga.
%a disebabkan agak mustahil untu* mela*u*an per-alanan se.anya* yang mung*in
atau ta*/hingga, maka benda tidak akan sampai tuuan.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 6/22
+, Parado*s %"hilles dan ura/*ura
Achilles dan Kura-kura melakukan lomba lari, meskipun begitu, kura-kura diizinkan start lebih
awal.
Agar dapat menyamai kura-kura, Achilles menetapkan sasaran ke tempat kura-kura saat iniberdiri .
Akan tetapi, tiap kali Achilles bergerak maju, kura-kura juga bergerak maju. Ketika Achilles
sampai di tempat kura-kura, kura-kura sudah berjalan sedikit ke depan.
Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang . Akan tetapi setibanya di sana, kura-
kura juga sudah maju sedikit lagi.
Lalu Achilles mengejar posisi kura-kura yang sekarang . Akan tetapi setibanya di sana, kura-
kura juga sudah maju sedikit lagi. Demikian seterusnya ad infinitum.
adi kesimpulannya! mustahil bagi Achilles untuk bisa menyamai kura-kura dalam balapan.
>. Parado*s %nah panah,
"isalnya kita membagi waktu sebagai #deretan masa-kini$. Kemudian kita lepaskan anak
panah. Di setiap #masa-kini$ anak panah menduduki posisi tertentu di udara.
%leh karena itu anak panah dapat dikatakan diam sepanjang waktu.
0, Parado*s Stadium
&erdapat tiga buah barisan benda A, ', dan ( di lapangan tengah stadion.
'arisan A terletak diam di tengah lapangan. )ementara ' dan ( masing-masing terletak di
ujung kiri dan kanan A.
Kemudian ' dan ( bergerak saling mendekati dengan kecepatan yang sama *hendak bersejajar
dengan barisan A+.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 7/22
Antara #)ebelum$ dan #)esudah$, titik ( paling kiri melewati dua buah ', tetapi cuma satu
buah A.
'erarti waktu ( untuk melewati ' setengah waktu untuk melewati A. adahal A dan ' adalah
unit yang identik
"ungkinkah setengah waktu satu waktu/
Alkisah, Achilles bertemu seekor kura-kura darat di jalan. Si kura-kura, yang akalnya lebih cepat daripada
kakinya, menantang sang pahlawan tangkas untuk berlomba. Dengan geli Achilles menerimanya. Si kura-kura
bertanya apa boleh start duluan, sebab dirinya jauh lebih lambat daripada sang setengah dewa. Achilles
mengiyakan dengan gembira, kura-kura pun mulai bergerak. Setelah mengambil sedikit waktu untuk
mengencangkan salah satu tali sandal di mata kakinya, Achiless meloncat dari garis start. Dalam waktu tak
lama, dia menempuh setengah jarak yang memisahkannya dari kura-kura. Sekejap berikutnya, dia sudah
menempuh tiga 3/4 jarak. Sejenak berikutnya dia menempuh /!, dan kemudian "#/"$. %api tak peduli
seberapa cepat pun dia berlari, selalu ada sisa sedikit jarak. &ahkan, rupanya sang pahlawan tak pernah
mampu menyusul kura-kura yang lambat dan berat itu.
Seandainya Achiless menghabiskan lebih banyak waktu mempelajari 'ilsa'at daripada berlatih di gimnasium,
dia akan tahu bahwa dirinya sedang memerankan contoh klasik yang biasa mengilustrasikan salah satu
paradoks (eno, yang menolak kemungkinan semua gerak. (eno merancang paradoks Achiless dan kura-kura,
dan teka-teki yang mengiringinya )nanti kita bahas lebih jauh*, untuk mendukung teori-teori 'ilsa'at gurunya,
+armenides.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 8/22
eduanya adalah warga lea, koloni unani di talia selatan. ira-kira tahun 44# S0, +armenides dan (eno
bertemu Socrates di Athena untuk bertukar gagasan mengenai persoalan 'ilsa'at dasar. +eristiwa itu, salah satu
pertemuan intelektual terbesar dalam sejarah )jika betul-betul terjadi*, dikenang dalam dialog Parmenides
karya +lato. +armenides, seorang pemikir masyhur berusia hampir $# tahun, mengemukakan tesismengejutkan kepada Socrates belia1 2realitas adalah entitas tunggal yang tak berubah, kesatuannya tanpa
keliman. Dunia 'isik, argumennya, bersi'at monolitis. ebih rinci lagi, gerak adalah tak mungkin. 5alaupun
penolakan terhadap pluralitas dan perubahan terasa idiosinkratis, secara garis besar ini terbukti menarik bagi
banyak cendekiawan. 6ontoh, 2idealisme absolut 'ilsu' 78'ord 9.:. &radley )"!4$-";<4* punya kesamaan poin
dengan pandangan +armenidean.
=ambaran dunia ini bertentangan dengan pengalaman harian kita dan menurunkan persepsi paling
'undamental kita ke alam ilusi. >ntuk mendukung perkaranya, +armenides bersandar pada argumen kuat
(eno, yang kemudian direkam dalam tulisan Aristoteles. Selama dua setengah milenium, paradoks (eno telah
memancing perdebatan dan merangsang analisis. Akhirnya, menggunakan rumus kalkulus yang dikembangkan
dalam satu dekade belakangan ini, kita dapat memecahkan paradoks (eno. ?esolusinya tergantung pada
konsep in'initesimal, dikenal sejak @aman kuno tapi baru akhir-akhir ini dipandang oleh banyak pemikir
dengan skeptis.
isah Achiless dan kura-kura melukiskan salah satu paradoks (eno, biasanya diistilahkan sebagai 2%he
Dichotomy1 suatu jarak, misalnya antara kedua pesaing tersebut, yang harus dilintasi sebuah objek dapat
dibagi dua )"/<, "/4, "/!, dan seterusnya* ke dalam jumlah segmen ruang tak terhingga, masing-masing
melambangkan suatu jarak yang mesti ditempuh. Alhasil, (eno menyatakan gerak tak bisa diselesaikan sebab
selalu tersisa suatu jarak, tak peduli betapapun pendeknya. +enting untuk dicatat, dia tidak mengatakan bahwa
rentangan yang tak terhingga banyaknya menghasilkan jarak tak terhingga )mengingat geometri garis teriris
tak terhingga menunjukkan, tanpa kalkulasi rumit, bahwa jumlah irisan tak terhingga menghasilkan interal
terhingga*. eberatan (eno terhadap ide gerak lebih berasal dari keharusan menjelaskan bagaimana jumlah
aksi tak terhinggaBmelintasi satu interalBbisa diselesaikan secara bersambung.
(eno membuat serangan kedua terhadap 'ondasi konseptual gerak dengan memandang argumen pertama ini
dari perspekti' agak berbeda. +aradoks keduanya adalah sebagai berikut1 Sebelum objek, katakanlah anak
panah, mencapai tanda separuh jalan perjalanannya )capaian yang diakui dalam kasus sebelumnya*, ia harus
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 9/22
pertama-tama menempuh seperempat jarak. Sebagaimana dalam keberatan pertama (eno, argumentasi ini
bisa diteruskan tanpa batas untuk menghasilkan kemunduran tak terhingga, sehingga membawa pada
kekukuhannya bahwa gerak tak pernah bisa dimulai.
+aradoks ketiga (eno mengambil arah yang sama sekali berbeda. +aradoks ini menyatakan bahwa konsep
dasar gerak sama sekali kosong dari isi. (eno mengundang kita mempertimbangkan anak panah di satu jenak
penerbangannya. +ada titik waktu ini, anak panah menempati kawasan ruang yang setara dengan panjangnya,
dan tak ada gerak yang nyata. arena pengamatan ini benar di setiap jenak, maka anak panah tak pernah
bergerak. eberatan ini, secara historis, terbukti paling menyusahkan bagi para calon penjelas paradoks (eno.
&anyak 'ilsu' dan matematikawan melakukan berbagai upaya untuk menjawab keberatan (eno. +endekatan
paling langsung adalah menyangkal eksistensi masalah. 6ontoh, Cohann =ottlieb 5aldin, pro'esor 'ilsa'at
Cerman, menulis pada "!< bahwa (eno sang penganut aliran leatik, dalam berargumen menentang gerak,
berasumsi gerak itu eksis. Celas pro'esor hebat ini tidak mengetahui bentuk argumen yang dikenal sebagai
reductio ad absurdum1 menerima keadaan lalu membuktikan bahwa itu menimbulkan kesimpulan tak logis.
0eski demikian, cendekiawan lain membuat kemajuan dengan menggeluti bagaimana aksi berjumlah tak
terhingga dapat terjadi di dunia 'isik. +enjelasan mereka terus-menerus terjalin dengan ide in'initesimal,
interal ruang atau waktu yang memuat uintessence kekecilan )smallness*. Sebagian menduga kuantitas
in'initesimal sangat dekat dengan nol sehingga tunadaya )impotent * secara numerisE kuantitas semacam itu
akan mengelak dari semua pengukuran, tak peduli betapapun presisinya, seperti pasir menembus ayakan.
=ioanni &enedetti )"#3F-"#;F*, pendahulu =alileo, berpostulat bahwa ketika menurut (eno sebuah objek
tampak terbeku di udara, pada kenyataannya dia sedang melihat sebagian aksi, seolah menyaksikan slide show
ketimbang 'ilm. Di antara citra-citra statis yang dilihat (eno itu terdapat jenak-jenak waktu kecil in'initesimal
di mana objek bergerak sejauh jarak yang sama-sama kecil.
ang lain menghindari persoalan ini dengan berargumen bahwa interal-interal di dunia 'isik tak bisa dibagi
tak terhingga kali. 9riedrich Adol' %rendelenburg )"!F<-"!<* dari >niersitas &erlin membangun sistem
'ilsa'at yang menjelaskan persepsi manusia dari segi gerak. Dengan begitu, dia membebaskan diri dari
menjelaskan gerak itu sendiri.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 10/22
Demikian halnya, di abad ini, 'ilsu' dan matematikawan nggris, Al'red Gorth 5hitehead )"!$"-";4*,
mengkonstruksi sistem meta'isik berlandaskan perubahan, di mana gerak adalah kasus khusus. 5hitehead
menanggapi keberatan (eno dengan bersikukuh bahwa peristiwa-peristiwa di dunia 'isik harus punya suatu
tingkatE yakni, mereka tak boleh seperti titik. &egitu pula, 'ilsu' Skotlandia, Daid :ume )"""-"$*, menulis,2Semua ide kuantitas yang menjadi landasan argumen para matematikawan tak lain adalah istimewa dan,
sebagaimana dikesankan oleh indera dan imajinasi, tidak bisa dibagi secara tak terhingga.
Bagaimanapun, subjek infnitesimal (entah eksis ataupun tidak) menghasilkan literatur panjang
dan sengitnya sendiri. Sampai akhir-akhir ini, kebanyakan matematikawan menganggapnya
gagasan tak masuk akal. Uskup Irlandia, Gerge Berkeley (!"#$-!%$&), dikenal terutama atas
teri idealistisnya, tapi dia juga bergelut dengan infnitesimal. 'ia peraya itu diknsepsikan
seara buruk leh matematikawan di masanya, termasuk ewtn. *Infnitesimal bukanlah
kuantitas terhingga, bukanlah kuantitas keil tak terhingga, dan bukan pula nihil. +idak blehkah
kita menyebutnya hantu almarhum kuantitas 'ia meninjau lebih jauh */papun yang dipikirkan
matematikawan tentang 0uksin 1laju perubahan2, atau kalkulus di3erensial, dan semaamnya,
sedikit renungan akan menunjukkan pada mereka bahwa, dalam bekerja dengan metde-metde
tersebut, mereka tidak mengknsepsikan atau membayangkan garis-garis atau permukaan-
permukaan selain dari apa yang bisa diindera.
4emang, matematikawan merasa bahwa infnitesimal sulit dihindari dalam rangkaian penemuan
mereka, tak peduli betapapun beni mereka menemukannya dalam teri. Beberapa sejarawan
peraya bahwa /rhimedes agung (sekitar 5#%-5!5 S4) menapai sebagian prestasi
matematikanya dengan meman3aatkan infnitesimal tapi memakai mde-mde yang lebih
kn6ensinal untuk penyajian ke publik. Infnitesimal meninggalkan bekas selama abad !% dan
!# serta dalam perkembangan kalkulus di3erensial dan integral. Buku-buku teks dasar sudah
lama meminta bantuan dari *inifnitesimal praktis untuk menyampaikan ide-ide tertentu dalam
kalkulus kepada pelajar.
7etika para analis berpikir untuk menjustifkasi eksistensi kuantitas-kuantitas keil ini, timbul
kesulitan yang tak terkira banyaknya. /khirnya, matematikawan abad !8 menemukan pengganti
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 11/22
teknis untuk infnitesimal dinamakan teri batas. 7eberhasilannya begitu sempurna sampai-
sampai beberapa matematikawan menyebut-nyebut sal *pembuangan infnitesimal dari disiplin
mereka. +api pada !8"9-an, tapak hantu infnitesimal di kridr-kridr matematika menjadi
sangat nyata sekali lagi, berkat penelitian ahli lgika /braham :binsn dari Uni6ersitas ;ale1lihat *nstandard /nalysis, tulisan 4artin 'a6is dan :euben <ersh, Sientif /merian, =uni
!8%52. Sejak saat itu, ditemukan beberapa metde peman3aatan infnitesimal selain pendekatan
:binsn.
Saat saya dan klega, Syl6ia 4iller, memulai penelitian kami mengenai paradks >en, kami
beruntung infnitesimal sudah dihrmati seara matematis. Seara intuiti3 kami tertarik leh
bjek-bjek ini sebab memberikan pandangan mikrskpis tentang detil-detil gerak. ?dward
elsn dari Uni6ersitas @rinetn meniptakan alat yang kami rasa sangat berguna dalam
serangan kami, sebuah merek analisis standar yang dilebih dikenal dengan nama membsankan,
internal set theory (IS+). 4etde elsn menghasilkan interpretasi mengejutkan atas struktur-
struktur matematis yang tampak 3amiliar. 'alam hal keanehan, hasilnya serupa dengan struktur-
struktur teri Auantum dan relati6itas umum dalam fsika. 7arena kedua teri ini diterima seara
luas nyaris sepanjang abad ini, kami kagum dengan daya imajinasi elsn.
elsn mengadpsi ara baru dalam mendefnisikan infnitesimal. 4atematikawan umumnya
memperluas sistem bilangan yang ada dengan menambahkan bjek-bjek yang memiliki atribut
diinginkan, mirip dengan peahan yang dibubuhkan di antara bilangan bulat. Bahkan, sistem
bilangan yang dipakai dalam matematika mdern, layaknya bukit karang, tumbuh seara
akumulati3 menjadi dasar penpang *+uhan meniptakan bilangan bulat, sisanya adalah karya
manusia, kata epld 7rneker (!#5&-!#8!). Cara IS+ justru adalah dengan *membelalak
keras pada sistem bilangan yang ada dan memperhatikan bahwa itu sudah memuat bilangan-
bilangan yang, memang wajar, bisa dianggap sebagai infnitesimal.
Seara teknis, elsn menemukan bilangan-bilangan nnstandar dalam deret riil dengan
menambah tiga kaidah, atau aksima, pada set !9 pernyataan penpang sistem-sistem paling
matematis. (+eri set >ermel-Draenkel adalah salah satu 3ndasi itu.) +ambahan-tambahan ini
memperkenalkan istilah baru, yakni standar, dan membantu kita menentukan mana di antara
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 12/22
teman-teman lama kita dalam sistem bilangan yang merupakan standar dan yang nnstandar.
+ak heran, infnitesimal jatuh dalam kategri nnstandar, bersama beberapa bilangan lain yang
akan saya bahas nanti.
elsn mendefnisikan infnetesimal sebagai bilangan yang terletak antara nl dan setiap
bilangan psiti3 standar. 4ulanya, ini mungkin terasa tidak menyampaikan gagasan kekeilan
tertentu, tapi bilangan-bilangan standar menakup setiap bilangan knkrit (dan segelintir lain)
yang bisa /nda tuliskan pada sehelai kertas atau /nda hasilkan dalam kmputer !9, pi, !E!999,
dan seterusnya. Fleh sebab itu, infnitesimal lebih besar daripada nl tapi lebih keil daripada
bilangan apapun yang dapat /nda tuliskan, berapapun keilnya. Bukan berarti infnitesimal-
infnitesimal semaam itu eksis, tapi 6aliditas knseptual IS+ telah didemnstrasikan hingga
derajat setara3 dengan keyakinan sah kita pada sistem matematis lain.
+etap saja infnitesimal adalah entitas yang sulit dipahami. 7esulitan ini bersandar pada 3akta
bahwa dua bilangan knkrityang memiliki isi numeristidak berselisih sebesar besaran
infnitesimal. Buktinya mudah, menurut reductio ad absurdum selisih aritmetis antara dua
bilangan knkrit harus knkrit (dan karenanya standar). =ika selisih ini infnitesimal, defnisi
infnitesimal sebagai 1bilangan2 yang lebih keil dari semua bilangan standar akan dilanggar.
7nsekuensi 3akta ini adalah, kedua titik ujung inter6al infnitesimal tidak bisa dilabeli
menggunakan bilangan knkrit. Fleh sebab itu, inter6al infnitesimal tak pernah bisa ditangkap
melalui pengukuranH infnitesimal tetap selamanya di luar jangkauan pengamatan.
antas bagaimana bilangan-bilangan siluman ini bisa dipakai untuk menyangkal paradks >en
'ari diskusi di atas, jelas bahwa titik-titik ruang atau waktu yang ditandai bilangan knkrit tak
lain adalah titik-titik terislir. +rayektri dan inter6al waktunya nyatanya dipadati kawasan-
kawasan infnitesimal. /lhasil, kita bisa menjawab keberatan ketiga >en ujung anak panah
terperangkap diam seara *stbskpik di titik-titik waktu yang dilabeli bilangan knkrit, tapi
sepanjang mayritas rentangan, suatu jenis gerak terjadi. Gerak ini kebal dari kritik >ennisme
sebab dipstulatkan terjadi di dalam segmen-segmen infnitesimal. Ine3abilitas mereka
menyediakan semaam kasa atau flter.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 13/22
4ungkinkah prses gerak di dalam salah satu inter6al ini maju seragam sepanjang inter6al atau
lmpatan instan dari satu ujung ke ujung lain /tau mungkinkah gerak terdiri dari serentetan
langkah menengahEpengantara atau, kalau tidak, prses di luar waktu dan ruang sama sekali
7emungkinan-kemungkinannya tak terhingga, dan tak ada yang dapat di6erifkasi ataudikesampingkan sebab inter6al infnitesimal tak pernah bisa dimnitr. @enghargaan atas
bantahan ini layak dilayangkan pada Benedetti, +rendelenburg, dan hitehead berkat pandangan
awal mereka, yang kini dapat dirumuskan melalui IS+.
7ita bisa menjawab dua keberatan pertama >en lebih mudah daripada keberatan ketiga, tapi
kita perlu memakai satu 3akta matematis lain dari IS+. Setiap set bilangan tak terhingga memuat
bilangan nnstandar. Sebelum menarik implikasi >ennian dari pernyataan ini, kita perlu
membahas dua tipe bilangan nnstandar lain yang siap dihasilkan dari bilangan-bilangan
infnitesimal. @ertama, ambil semua bilangan infnitesimal, yang seara defnisi, terjepit di antara
nl dan semua bilangan psiti3 standar, lalu bubuhkan lambang minus di depan masing-
masingnya. ah kini terdapat pengelmpkan simetris bjek-bjek keil ini di sekitar nl. Untuk
meniptakan bilangan-bilangan nnstandar *ampuran, ambil suatu bilangan standar, misalnya
satu setengah, dan tambahkan padanya tiap-tiap infnitesimal nnstandar dalam kelmpk
sekitar nl. /ksi penambahan ini menggeser kelmpk infnintesimal asli ke psisi di tiap sisi
bilangan satu setengah. 'emikian pula, setiap bilangan standar dapat dipandang memiliki
kumpulan bilangan nnstandar sekitarnya sendiri-sendiri, masing-masing hanya berjarak
infnitesimal dari bilangan standar.
Bilangan riil terdiri dari bilangan bulat (bilangan bulat positif dan negatif), bilangan
rasional (bilangan yang dapat diekspresikan sebagai pecahan), dan bilangan irasional
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 14/22
(bilangan yang tak dapat diekspresikan sebagai pecahan). Bilangan riil dapat dilambangkan
sebagai titik di deret lurus yang dikenal sebagai deret riil (gambar atas).
Matematikawan Edward Nelson dari ni!ersitas Princeton melabeli tiga tipe bilangansebagai "bilangan# nonstandar dalam sistem bilangan standar ini. Bilangan$bilangan
infinetesimal nonstandar lebih kecil dari suatu bilangan positif standar tapi lebih besar dari
nol. Bilangan nonstandar campuran, diperlihatkan mengelompok sekitar angka %, dihasilkan
dari menambah dan mengurangi bilangan infinetesimal pada bilangan standar. Bahkan,
setiap bilangan standar dikelilingi oleh tetangga nonstandar campuran. Bilangan
nonstandar tak terbatas, dilambangkan sebagai N dan N&', merupakan balikan bilangan
infinitesimal nonstandar. etiap bilangan tak terbatas lebih besar dari setiap bilangan
standar tapi lebih kecil dari bilangan infinite riil. Bilangan riil nonstandar terbukti berguna
dalam memecahkan paradoks eno.
+ipe bilangan nnstandar ketiga adalah balikan infnitesimal (inverse of innitesimal). 7arena
infnitesimal sangat keil, balikannya akan sangat besar (di alam standar, balikan sepersejuta
adalah sejuta). +ipe bilangan nnstandar ini dinamakan bilangan tak terbatas (unlimited
number ). Bilangan tak terbatas, meski besar, adalah terhingga dan karenanya lebih keil
daripada bilangan tak terhingga yang terbentuk dalam matematika. Bilangan-bilangan tak
terbatas ini hidup di semaam Jna temaram antara bilangan standar 3amiliar, yang terhingga,
dan bilangan tak terhingga.
=ika, sebagaimana ditunjukkan dalam IS+, setiap set tak terhingga memuat bilangan nnstandar,
maka rentetan titik ek tak terhingga yang dipakai >en untuk mengukur gerak dalam argumen
pertamanya pasti memuat bilangan nnstandar ampuran. Bahkan, selagi rentetan bilangan tak
terhingga >en merangkak mendekati 1bilangan2 satu, anggta rentetan itu pada akhirnya akan
berada dalam jarak infnitesimal dari 1bilangan2 satu. @ada titik itu, semua anggta rentetan akan
menjadi anggta kelmpk nnstandar di sekitar satu, dan >en ataupun lainnya takkan bisa
memetakan kemajuan bjek bergerak di kawasan tak terakses ini.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 15/22
/da unsur irni dalam penggunaan ketakterhinggaan, senjata >en, untuk mengempiskan klaim-
klaimnya. Untuk menyangkal paradks pertama >en, kita hanya perlu menyatakan prinsip
epistemlgis bahwa kita tak bertanggungjawab untuk menjelaskan situasi yang tak mampu kita
amati. :entetan titik ek tak terhingga milik >en memuat bilangan-bilangan nnstandar, yangtak punya makna numeris, sehingga kita menlak argumennya berdasarkan entitas-entitas ini.
7arena tak serang pun bisa, sekalipun seara prinsip, mengamati dmain utuh titik ek yang
diangkat dalam keberatannya, perilaku yang menjadi keberatannya dalam mempstulatkan
bjek bergerak dapat diperdebatkan. Banyak deskripsi gerak di alam mikr, selain yang memuat
rentetan utuh titik ek, bisa berlaku, dan karena skenari tertentu beliau menimbulkan persalan
knseptual, tak ada alasan untuk mengutuk ide gerak. /rgumen keduanya, yang berupaya
menunjukkan bahwa bjek bahkan tak bisa memulai gerak, menderita penyakit seperti yang
pertama, dan kita menlaknya atas dasar serupa.
7ita telah memeahkan paradks >en menggunakan beberapa hasil teknis dari IS+ dan prinsip
bahwa bilangan nnstandar tidak k untuk menggambarkan 3akta, baik yang teramati
ataupun terduga. +etap saja, masih banyak yang bisa dikatakan menyangkut persalan ini selain
jaminan bahwa keberatan >en tidak menghindarkan gerak. Bahkan, kita bisa mengknstruksi
teri gerak menggunakan hasil amat kuat dari IS+. +eri ini membuahkan hasil serupa
sebagaimana alat-alat kalkulus, tapi lebih mudah di6isualisasikan dan tidak menjadi sasaran
keberatan >en.
Sebuah terema yang terbukti dalam IS+ menyatakan bahwa terdapat set terhingga, sebut saja
D, yang memuat semua bilangan standarK 7nsekuensi wajar bahwa uma ada bilangan standar
terhingga memang terasa benar, tapi ternyata tidak. 'alam mengembangkan IS+, elsn perlu
menggunakan ara kn6ensinal matematikawan dalam membentuk bjek. @ernyataan dalam
IS+ disebut internal jika tidak memuat label *standar. =ika sebaliknya, pernyataan itu disebut
eksternal. 4atematikawan sering meniptakan subset dari set-set besar dengan mempredikatkan
sebuah kualitas yang menirikan tiap bjek dalam subsetbla yang merah atau bilangan bulat
yang genap. amun, dalam IS+ dilarang menggunakan predikat eksternal, semisal standar, untuk
mendefnisikan subsetH pembatasan ini dimasukkan guna menghindari kntradiksi. Cnth,
bayangkan set semua bilangan standar dalam D. Set ini akan terhingga sebab ia merupakan
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 16/22
subset dari set terhingga. Fleh sebab itu ia memiliki sedikitnya satu anggta, katakanlahr . +api
kemudian r L ! akan menjadi bilangan standar kurang dari r , di mana r dianggap sebagai
bilangan standar terkeil. =adi, kita tak bisa mengatakan bilangan standar berpanjang terhingga
atau tak terhingga, sebab kita tak bisa membentuk set mereka dan menghitung mereka.
amun demikian, set terhingga D, meski ara 6isualisasinya dibatasi, berguna untuk
mengknstruksi teri gerak kita. +eri ini dapat diekspresikan ukup sederhana sebagai 1langkah2
menempuh D, di mana setiap anggta D melambangkan mmen berbeda. Untuk mudahnya,
pikirkan saja bilangan-bilangan D yang berada di antara 9 dan !. /sumsikan waktu 9 sebagai
jenak ketika kita mulai mengikuti jejak bjek bergerak. =enak kedua ketika kita menba
mengamati bjek adalah waktu f !, di mana f ! adalah anggta terkeil D yang lebih besar dari 9.
aik menempuh D dengan ara ini, kita akhirnya menapai waktu f n, di mana f n merupakan
anggta terbesar D yang kurang dari !. 'alam satu langkah lagi, kita menapai ! itu sendiri,
destinasi dalam nth ini. 'alam rangka berjalan menempuh jarak nn-infnitesimal, semisal
rentangan dari 9 ke ! menggunakan langkah infnitesimal, subskrip n dari f n harus berupa
bilangan bulat tak terbatas. 'engan demikian prses gerak terbagi menjadi aksi-aksi n M !, dan
karena n M ! juga terhingga, bilangan aksi-aksi ini bisa diselesaikan seara sekuensial.
'i antara waktu-waktu pengamatan ptensial yang diidentifkasi di awal, kemajuan bjek hanya
bisa dilaprkan saat jenak-jenak tersebut, yang ekui6alen dengan bilangan standar tertentu
dalam D. (gmng-ngmng, f ! dan f n adalah nnstandar, sebab f ! seara infnitesimal dekat
dengan 9 sementara f n dekat dengan !.) Cnth, walaupun kita dapat mengeskpresikan bilangan
standar sampai suatu bilangan terhingga (tapi tidak tak terbatas) berkedudukan desimal dan
memakai penaksiran ini sebagai label pengukuran, kita tak dapat mengakses ekr perpanjangan
tak terbatas untuk mengubah digit dan menetapkan tetangga nnstandar yang dekat seara
infnitesimal. Bilangan standar knkrit saja yang e3ekti3 sebagai label pengukuranH kegunaan
tetangga nnstandar mereka untuk pengukuran adalah ilusi.
Kalkulus Memanfaatkan Infinitesimal
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 17/22
ntuk melihat relasi antarakalukulus infinitesimal dan diferensial, pertimbangkan kasus sederhana batu yang *atuh.
+arak yang ditempuh batu dalam satuan kaki bisa dihitung dari rumus s '-t , di mana t
sama dengan waktu yang dihabiskan dalam satuan detik. /ontoh, *ika batu *atuh selama dua
detik, maka ia sudah menempuh -0 kaki.
Namun bayangkan kita ingin menghitung kecepatan sesaat batu tersebut. 1ecepatan rata$
rata ob*ek bergerak sama dengan *arak tempuh dibagi total waktu. 2engan memakai rumus
ini pada perubahan infinitesimal total *arak dan waktu, kita dapat menghitung taksiran
kecepatan sesaat sebuah ob*ek.
3sumsikan dt melambangkan perubahan infinitesimal waktu dan ds perubahan inifintesimal
*arak. Maka perhitungan kecepatan batu setelah satu detik per*alanan adalah sebagai
berikut4 kerangka waktu yang dipertimbangkan berkisar dari t ' sampai t '&dt. Posisi
batu selama waktu tersebut berubah dari s '-(') ke s '-('&dt). 5otal perubahan *arak,
6dt&'-dt
, dibagi dt, sama dengan kecepatan rata$rata yang diinginkan, 6&'-dt.
1arena '-dt tak lain adalah bilangan infinitesimal, tak dapat dideteksi dengan cara apapun,
ia bisa dianggap sama dengan 7. +adi, setelah satu detik per*alanan, rumus ini menghasilkan
kecepatan sesaat batu 6 kaki8detik.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 18/22
9ni tentu sa*a menyerupai manipulasi yang dipakai dalam kalkulus diferensial tradisional.
"2alam kalkulus diferensial#, sisa kecil '-dt tak bisa dicoret di akhir perhitungan: ia
merupakan kuantitas non$infinitesimal. ebaliknya, dalam kalkulus ini, ia harus dibuang
menggunakan teori batas. Pada hakikatnya, proses batas membuat inter!al pan*ang dtmen*adi cukup kecil sehingga kecepatan rata$ratanya mendekati 6. eperti sebelumnya,
kecepatan sesaat batu setelah satu detik per*alanan sama dengan 6 kaki8detik. 2emikian
halnya, penggunaan bi*ak kawasan$kawasan infinitesimal memfasilitasi perhitungan area
kawasan$kawasan rumit, yang merupakan masalah dasar kalkulus integral. ebagian
menganggap kalkulus baru ini lebih unggul secara pedagogi daripada kalkulus tanpa
infinitesimal. Meski begitu, kedua metode sama$sama teliti dan membuahkan hasil identik.
4asih banyak yang tak berguna dalam teri gerak ini, dan masih banyak yang belum disebutkan.
amun ini memadai dalam artian ia bisa dengan mudah diubah ke dalam ntasi simblis kalkulus
integral atau di3erensial, yang biasa dipakai untuk menggambarkan detil-detil gerak 1lihat boks di
atas2. ;ang lebih penting dalam knteks sekarang, keterhinggaan set D memungkinkan kita
melmpati lubang perangkap dalam dua paradks pertama >en. 7eberatan ketiganya terhindari
sebagaimana yang sudah-sudah gerakan dalam waktu riil adalah prses tak dikenal yang terjadi
dalam inter6al infnitesimal di antara titik-titik standar DH titik-titik nnstandar D tidak rele6an
mengingat mereka tak bisa diamati.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 19/22
+he 4easurers, lukisan Belanda abad !% yang dikaitkan dengan <endrik 6an Balen,
mengilustrasikan perkataan penyair :mawi <rae */da ukuran dalam segala hal. amun, tak
peduli betapapun presisinya pengukuran, bilangan infnetesimal takkan pernah kita pahami,
sebab satuan ukuran berguna harus ekui6alen dengan bilangan standar.
Selama berabad-abad, lgika >en bertahan hampir utuh, membuktikan si3at keras kepala
argumennya. :eslusi dimungkinkan melalui dua ftur dasar IS+ pertama, kemampuan untuk
menyekat inter6al waktu atau ruang menjadi sejumlah infntesimal terhingga yang ine3abel dan,
kedua, 3akta bahwa titik-titik yang dilabeli standartitik-titik yang bisa dipakai untuk pengukuran
merupakan bjek terislir di deret riil. /pakah penelitian kami hanyalah slusi untuk teka-teki
kun 4ungkin saja, tapi ada beberapa arah lain yang bisa diperluas.
Selain nilai matematisnya, IS+ matang dengan impr epistemlgis, sebagaimana sudah
ditunjukkan leh analisis ini. Ia juga dapat dimdifkasi untuk memasukkan lgika epistemik
umum. Selain itu, inter6al infnitesimal, atau generalisasinya, menjanjikan sumberdaya teknis
untuk menampung apa yang dinamakan entitas aktual milik hitehead, atm generati3 sistem
flsa3atnya. +erakhir, teri gerak mutakhir dan prediksi fsika Auantum tidaklah berbeda dalam
artian keduanya membatasi pengamatan peristiwa-peristiwa tertentu hingga harga-harga
tersendiri. +entu saja, teri gerak ini bukanlah sebuah 6ersi mekanika Auantum (bukan pula teri
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 20/22
relati6itas). 7arena dihasilkan dari eksperimen pikiran terhadap syarat-syarat >en, teri ini tak
punya hubungan langsung dengan teri fsika sekarang. ebih jauh, kaidah spesifk yang diwarisi
dari IS+ barangkali bukan yang paling k untuk menggambarkan realitas. Disika mdern dapat
mengadaptasi pendekatan IS+ dengan memdifkasi sistem kaidahnya dan memperkenalkan*knstanta fsikal, barangkali dengan mengatributkan parameter pada set D.
+api mungkin juga tidak. +etap saja, kesederhanaan dan keanggunan eksperimen pikiran
semaam ini telah mengkatalisasi penelitian sepanjang Jaman. Cnth-nth mennjl meliputi
<einrih . 4. Flbers, yang mempertanyakan langit gelap di malam hari padahal bintang-
gemintang ada di segala arah, atau =ames 4aNwell, yang memanggil ampur-tangan setan
mikrskpis untuk mengkritik hukum termdinamika kedua seara habis-habisan. 'emikian
halnya, argumen-argumen >en telah merangsang pemeriksaan ide kita sal gerak, waktu, dan
ruang. =alan menuju reslusi mereka dipenuhi peristiwa luar biasa.
Penulis
illiam I. 4aughlin adalah manajer teknis astrfsika antariksa anggih di =et @rpulsin
abratry di pasadena, Cali3rnia, di mana dia telah bekerja sejak !8%!. 'ia berpartisipasi
dalam banyak pryek untuk prgram antariksa /S, termasuk prgram pendaratan /pll di
bulan, misi Oiking ke 4ars, pryek In3rared /strnmial Satellite (I:/S ) dan Oyager, yang dia
tuangkan dalam artikel Sientif /merian 6ember !8#". 'ia menerima gelar B.S. dalam
teknik listrik pada !8"& dan @h.'. dalam matematika pada !8"#, keduanya dari Uni6ersitas
Cali3rnia, Berkeley. Selain itu, 4aughlin melakukan penelitian dalam bidang epistemlgi.
Bacaan Lebih Jauh
• A History of Greek Philosophy , Ol. 5 The Presocratic Tradition from Parmenides to
Democritus. . 7. Guthrie. Cambridge Uni6ersity @ress, !8"$.
• Zeno of Elea. Gregry Olasts dalam The Encyclopedia of Philosophy . 'isunting leh @aul
?dwards. 4amillan @ublishing Cmpany, !8"%.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 21/22
• Nonstandard Analysis. 4artin 'a6is dan :euben <ersh dalam Sientif /merian, Ol.
55", . ", hal. %#-#", =uni !8%5.
• nternal !et Thoery" A Ne# Approach to Nonstandard Analysis. ?dward elsn dalam
Bulletin 3 the /merian 4athematial Siety, Ol. #&, . ", hal. !!"$-!!8#, 6ember
!8%%.
• An Epistemolo$ical %se of Nonstandard Analysis to Ans#er Zeno&s 'b(ections a$ainst
)otion. illiam I. 4aughlin dan Syl6ia . 4iller dalam Synthese, Ol. 85, . &, hal. &%!-
&#P, September !885.
R22%$
1, https344sainstory,5ordpress,"om4+6174684+64meme"ah*an/parado*s/9eno4
+, A History of Greek Philosophy , ?ol. 5 The Presocratic Tradition from Parmenides to
Democritus. W. 3. @uthrie. Cambridge Ani2ersity Press, 8;/'.
7/21/2019 Cipher Main Ria
http://slidepdf.com/reader/full/cipher-main-ria 22/22
3. Zeno of Elea. @regory ?lastos dalam The Encyclopedia of Philosophy . isunting oleh
Paul =d*ards. Macmillan Publishing Company, 8;/1.
4. Nonstandard Analysis. Martin a2is dan Reuben $ersh dalam !cientific 4merican,
?ol. /, Bo. /, hal. 17&7/, #uni 8;1.
. !nternal "et Thoery# A Ne$ Approach to Nonstandard Analysis. =d*ard Belson dalam
-ulletin of the 4merican Mathematical !ociety, ?ol. 7>, Bo. /, hal. 88/'&88;7,
Bo2ember 8;11.
%. An Epistemolo&ical 'se of Nonstandard Analysis to Ans$er Zeno(s )*+ections
a&ainst ,otion. William %. McLaughlin dan !yl2ia L. Miller dalam !ynthese, ?ol. ;, Bo.
>, hal. >18&>7, !eptember 8;;.