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ECUACIONES MAXWELL (~1860)
Las relaciones entre campos elctricos y
magnticos y sus fuentes pueden
establecerse de manera compacta en
cuatro relaciones conocidas como
ecuaciones de Maxwell
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0AdE
A
AdEdt
dldB
00
A
AdBdt
dldE
0AdB
Ecuaciones de Maxwell en el vacio(suponemos medio: homogneo: ( = 0 , = 0 en todos puntos); isotrpico ( 0 ,
0 no dependen direccin propagacin), no conductor: J = 0, libre cargas: = 0,
no dispersivo: 0 , 0, , no son funcin frec.)
EN ESTAS ECUACIONES SE RESUMEN LAS BASES
EXPERIMENTALES DEL ELECTROMAGNETISMO
Ley Gauss para campos elctricos
Ley Gauss para campos magnticos
Ley de Ampere Maxwell
Ley de Faraday
( considerando =0)
-
0AdE
A
AdEdt
dldB
00
A
AdBdt
dldE
0AdB
Ecuaciones de Maxwell en el vacio(sin cargas ni corrientes)
Campos elctricos y magnticos concatenados conllevan al concepto de
campos electromagnticos
Caracterstica ms notable de estas ecuaciones es que un campo magntico
variable induce un campo elctrico en las regiones vecinas y as sucesivamente.
Maxwell reconoci que estas ecuaciones predicen la existencia de
perturbaciones electromagnticas que consisten en campos elctricos y
magnticos que varan en el tiempo y se desplazan se propagan de una regin
a otra, incluso si no hay materia en el espacio intermedio
es evidente una gran simetra entre
campos elctricos y magnticos
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LAS EC. QUE RIGEN LOS FENMENOSPTICOS SON LAS EC. MAXWELL
donde es la permitividad, y es la permeabilidad (depende
de las propiedades del medio).
En suma, Maxwell no solo generaliz las ecuaciones preexistentes
sino que mostr que ellas conllevan una idea de propagacin de
estos campos
/
0
BE E
t
EB B
t
0
Ecuaciones de Maxwell admiten soluciones ondulatorios, como
se verificar a continuacin
A partir Teor. div Gauss y Teor. Stokes se obtiene las ec en forma diferencial
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OBTENCIN DE LA EC. ONDA A PARTIR DELAS EC. MAXWELL
Tomando de:
Cambiar el orden de diferenciacin :
BE
t
[ ] [ ]B
Et
[ ] [ ]E Bt
Pero:
Substituyendo , se tiene:
EB
t
B
[ ] [ ]E
Et t
2
2[ ]
EE
t
[ ] [ ]E Bt
Asumiendo y son
const. en el tiempo.
(ley Faraday)
(ley Ampere-Maxwell)
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OBTENCIN DE LA EC. ONDA A PARTIR DELAS EC. MAXWELL
Considerando,
surge:
Si suponemos cero densidad de carga: = 0
osea cada componente del campo obedece la
ecuacin diferencial de onda a condicin
2
2[ ]
EE
t
22
2( )
EE E
t
0E
22
2
EE
t
2[ ] ( )f f f
00
1v
-
00
1v
Los campos EM se propagan como ONDAS en el espacio libre.
Velocidad de propagacin:
En el espacio libre la velocidad pronosticada tericamente por Maxwell fue de
aprox. 300 000 km/s. Valor terico coincidi con el calculado experimentalmente
por Fizeau permiti a Maxwell concluir que la luz es una perturbacin
electromagntica en forma de ondas propagadas a travs del campo EM
LA LUZ ES UNA ONDA ELECTROMAGNETICA !!!!
Pero no es la nica!!!!!!!!!!!!!!
-
Puesto que mFo /1089.8
12
A/Tm o7104
Obtenemos para la velocidad de fase un valor de
c = 2.99108 m/s
Coincida con experimento Fizeau (realizados con una rueda dentada
rotatoria) 315000 Km/s.
Conclusin: la luz misma es una onda electromagntica. Este es un ej.
de una de las primeras unificaciones en fsica de dos ramas de la misma
que, en principio, parecan separadas como son el electromagnetismo y
la ptica y por lo tanto, uno de los mayores triunfos de la fsica del
siglo XIX.
oo
c1
Estas son ecuaciones de ondas tridimensionales viajeras para los
campos E y B con velocidad de fase
-
22
2
22 ),(),(
t
tx
x
txv
En una dimensin
- Es una onda transversal o longitudinal?
- Cmo viajan los campos E y B?
- Dado que en las ecuaciones de Maxwell
estaban fuertemente acoplados, como se
relacionan entre s?
Cuya solucin largamente conocida es:
)()(),( 21 vtxFvtxFtx
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ONDAS LONGITUDINALES VS. TRANSVERSALES
El movimiento es a lo
largo de la direccin de
propagacin (ej. ondas
sonido)
El movimiento es
transversal a la direccin de
la propagacin (ej. ondas
cuerda vibrante)
Transversales:
Longitudinales:
las ondas luminosas son transversales?
Recordemos:
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LAS ONDAS LUMINOSAS SON TRANSVERSALES?
Supongamos ondas luminosas son longitudinales, es decir tenemos unaonda se propaga en direccin x, y tenga campo a lo largo de x (no y, z), entonces las derivadas de y , z son :
en un medio libre de cargas
0y yz z
E BE B
y z y z
0 0E B
0 0y yx xz z
E BE BE B
x y z x y z
Sustituyendo
los valores
nulos:
Entonces campos
elctricos y magnticos
resultaran constantes.
y
0 0x xE B
x xand
NO
REPRESENTAN
UNA ONDA
CAMPOS EM
NO SON
LONGITUDINALES
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El campo E asociado con la
onda plana es entonces
transversal a la direccin x
Supongamos entonces, sin prdida de generalidad que
jtxEE y ),(
-
CUL ES LA DIRECCIN DEL CAMPO MAGNTICO?
Supongo una onda que se propaga en la direccin x y tiene un campo elctrico a lo largo de la direccin y
Ex = Ez= 0 y Ey = Ey(x,t)
Usando
ley Faraday:
entonces
la nica componente no nula del campo magntico es z
0,0,yEB
t x
yzEB
t x
, ,y yx xz z
E EE EB E EE
t y z z x x y
-
En una onda EM los campos E y B son
PERPENDICULARES entre si (z e y) y
ambos se propagan a lo largo de la
direccin x
-
kx
E
EEE
zyx
kji
y
zyx
E
ktkxEkkx
Eoy
y )(cos
kt
BktkxEk oy
)(cos
Supongamos que el campo E oscila en el plano xy con lo cual la onda
esta linealmente polarizada en ese plano y consideremos una onda
armnica
Ey (x,t) = E0y sen (k x - t)
Por ley Faraday:
El campo B de la onda EM debe estar obligatoriamente en la
direccin de k. La componente z del vector B es la nica posible en
coincidencia con los que obtuvimos antes de forma general
-
kt
ktkxEk oy B
)(cos
ktkxsenBktkxsenEk
B ozoyz
)()(
oyz0 E
kB oyz0 Ev
1B
Calculemos el campo B:
Integrando:
Los campos E y B estn en FASE
Asimismo, se encuentra la relacin de amplitudes de los campos E y B:
En el vaco v = c
Ey (x,t) = E0y sen (k x - t))( tkxsenBB ozz
-
Si usamos la ley de Faraday
kx
Ejik
y
E
x
Ej
x
E
z
Ei
z
E
y
EtrE
yxyzxyz 00)()()(),(
kt
Bj
t
Bi
t
B
t
trB zyx),(
Los campos E y B son perpendiculares entre s, y
perpendiculares a la direccin de propagacin!!!!!
])(sen[),( 0 ctxkEtxEy ])(sen[),( 0 ctxkBtxBz
Los campos E y B de la OEM son perpendiculares entre s.
Ambos son perpendiculares a la direccin de propagacin de la onda (onda transversal
Las magnitudes de E y B estn en fase y se relacionan por la expresin
Las nicas componentes no constantes son Ey y Bz
cBE
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EN RESUMEN EN LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS
Ondas Transversales.
E y B son perpendiculares.
E y B oscilan en fase.
E x B en la direccin de propagacin. E B k
instantnea de la onda
en un momento
-
Frecuencia (f) es el nmero de oscilaciones
por segundo
Longitud de onda ( ) es la distancia entre dos
puntos en la misma posicion de la onda
Frecuencia =c/ donde c es la velocidad de
luz
Caractersticas de las ondas EM
Energia es determinada por la frecuencia de
oscilacin
Long. onda ms corta mayor frec.
mayor energia
-
LAS ONDAS ELECTROMAGNTICAS CUBREN UN AMPLIO
ESPECTRO DE LONGITUDES DE ONDA (FRECUENCIAS)
10-1
100
101
102
103
104
infrarojo Rayos XUV
visible
Longitud de onda (nm)
microondas
radio
10-1
100
101
102
103
104
105106
Rayos gamma
Las longitudes de onda de las transiciones son algo arbitrarias
Rayos Gamma Rayos XVisibleMicroondas IR
-
Percibimos el color como resultado del predominio de determinadas
longitudes de onda de la luz.
El ojo responde a la luz visible con eficiencias diferentes en todo el espectro
visible (se vera en el Modulo II cuando estudiemos Fotometra).
Optica ser de inters el espectro visible
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Ondas de radiofrecuencia
Las generadas por Hertz con 1 m. [1 km, 0.3 m]
f [1 Hz,109 Hz]Ondas emitidas por los circuitos elctricos (50 Hz).
No existe lmite terico a estas ondas.
Microondas
Intervalo de variacin[30 cm, 1 mm]
f [109 Hz, 3.1011 Hz]
Utilidad en radioastronoma y en la comunicacin de vehculos espaciales.
Las frecuencias de los microondas coinciden con la frecuencianatural de las molculas de agua (base de los hornos
microondas).
Una breve descripcin del espectro
electromagntico
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Infrarrojo
f [3.1011 Hz, 4.1014 Hz]
Detectadas por Sir William Herschel en 1800
Subintervalos
IR cercano: 780 nm-3000 nm
IR intermedio: 3000 nm-6000 nm
IR lejano: 6000 nm-15000 nm
IR extremo: 15000 nm-1 mmCualquier molcula por encima de cero absoluto radiar en el IR (por
agitacin trmica).
Los cuerpos calientes radan IR en un espectro continuo (ej un radiador).
Aprox. la mitad de la energa electromagntica del Sol es IR.
El cuerpo humano tambin rada IR (emisin se utiliza para visin nocturna).Existen misiles que siguen el calor y que son guiados por IR.
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La luz Sensibilidad del ojo humano: 400 nm-700 nm.
Newton fue el primero en reconocer que la luz blanca es mezcla de todos los colores del espectro visible.
El color no es una prop. de la luz en s misma, sino unamanifestacin de nuestro sistema de percepcin (luz no es amarilla,
la vemos amarilla, ya que con distintas mezclas de distintas long. de
onda podemos obtener la misma respuesta a nuestro ojo).
Ultravioleta
Descubiertos por Ritter sobre 1800: f [109 Hz, 3.1011 Hz]
Los rayos UV del Sol ionizan los tomos de la atmfera superior y as se crea la ionosfera. El ozono absorbe estos rayos
en la atmsfera.Para < 290 nm los UV son germicidas.
Los seres humanos no ven muy bien los UV porque los absorbe la crnea y el cristalino.
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Rayos X
Descubiertos por Retgen (1845-1923):
f [2.4 1016 Hz, 5.1019 Hz]Se utilizan en medicina para radiodiagnstico.
Existen microscopios de RX.
Rayos Radiaciones electromagnticas con la longitud de onda ms corta.
Son emitidas por partculas que estn sujetas a transiciones dentro del ncleo atmico.
Es muy difcil observar fenmenos ondulatorios en esta parte del espectro electromagntico.
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Ondas electromagnticas transportan energa y cantidad de movimiento:
luz estrella, radio, TV, comunicaciones.
La energa fluye en la direccin de propagacin de la onda.
La energa transportada se describe por laintensidad, es decir, la energa que por unidad de
tiempo y unidad de rea incide sobre una superficieperpendicular al rea de propagacin.
-
Densidad energa campo elctrico es:
Densidad energa campo magntico es
Usando B = E/c, y , que implican
tenemos:
densidades de energa elctrica y magntica iguales
La densidad total de energa que fluye
en forma de onda EM es debido por
igual a campos elctricos y magnticos
ONDA EM EXISTE EN ALGUNA ZONA DEL ESPACIO POR LO CUAL ES NATURAL
CONSIDERAR LA ENERGA RADIANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN O DENS. ENERGIA.
2
2
1
2
1 1
2
E
B
U E
U B
2 21 1 1
2 2B EU E E U
2
E BU U U E
1c B E
-
El vector de Poynting que apunta en la direccin de propagacin de laenerga es, BE
S
De este modo la intensidad es el valor medio
VECTOR DE POYNTING : S = C2 E E X B
Como energa fluye en la direccin de propagacin definimos un vector:
S variable en el tiempo muy rpido (frec. pticas del orden 1015 Hz)
valor instantneo poco prctico, sugiere promediado
-
VECTOR DE POYNTING : S = C2 E X B
S : Potencia por unidad de rea
que cruza una superficie cuya normal
es paralela a S.
Justificacin:
Energa que atraviesa la zona A en tiempo t
= U V = U A c t
As, la energa x unid tiempo x unid superficie
U V / ( A t ) = U A c t / (A t ) = U c = c E2 = c2 E B
La direccin vector S es igual a la de E x B quecoincide con la direccin de propagacin de la onda, entonces en medios istropos energafluye en la direccin propagacin E B k
A
c t
U = densidad
energa
Como energa fluye en la direccin de propagacin definimos un vector:
onda EM que viaja con
veloc. c a travs rea A durante intervalo Dt
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La energa promedio de una
onda luminosa por unidad de rea
es la INTENSIDAD.
Considerando una onda luminosa armnica, el vector de Poynting, resulta
Promedio cos2 es 1/2
2S c E B
2 2
0 0( , ) cos ( )S r t c E B k r t
/ 2
/ 2
1( , ) ( , ') '
t T
t T
S r t S r t dtT
amplitudes
2
0 0
( , ) ( , )
(1/ 2)
I r t S r t
c E B
modulo vector
E B k
S variable en el tiempo muy rpido (frec. pticas del orden 1015 Hz)
valor instantneo poco prctico, sugiere promediado
-
El vector de Poynting apunta en la direccin de
propagacin de la OEM
SSBE
I promedio`0
maxmax
2
1
Campo magntico
Campo elctrico
Direccin de
propagacin
La intensidad (I) es el valor promedio de la magnitud de S.
-
INTENSIDAD
Dado campos elctrico y magntico son perpendiculares y B0 = E0 / c,
210 02
I c E B
0
2
12 ~
I c E
resulta:
Operativamente usamos la potencia por unid. area (A) (densidad de energa (U) por unidad de tiempo (Dt) P = U/ Dt) .
I = U / (A t)
I = P / A
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El efecto neto de introducir un dielctrico istropo y
homogneo en una regin del espacio libre es cambiar la
permitividad e y la permeabilidad m y consecuentemente
la velocidad
Operativamente no se trabaja con la velocidad de la
onda sino con un parmetro que la representa y es el
ndice de refraccin n :
n = c / v
00
1v