Download - CLASE 6 - Probabilidad y Estadística
Variable Aleatoria
Es cualquier función definida en un espacio muestral Ω y con
recorrido un subconjunto finito o infinito de R.
)(
:
wXw
X
w x=X(w)
RangoDominio
X
Ejemplos:
1. Arrojar un dado
Evento wi: Salga i puntos en el dadoΩ = 𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, 𝑤4, 𝑤5, 𝑤6
𝑿(𝒘𝒊) Función número de puntos obtenidos al lanzar un dado
𝑋(𝑤1) =1 Salga un punto
𝑋(𝑤2) = 2 Salga 2 puntos
𝑋(𝑤3) = 3 Salga 3 puntos
𝑋(𝑤4) =4 Salga 4 puntos
𝑋(𝑤5) =5 Salga 5 puntos
𝑋(𝑤6) =6 Salga 6 puntos
2. Arrojar una moneda
𝑿(𝒘) Variable aleatoria (número de caras queaparecen)
𝑋(𝑤) =1 Sale una cara
𝑋(𝑤) = 0 Sale cruz
Variables Aleatorias
VA Continuas
VA Discretas
Variable Aleatoria Discreta: Es la variable que puede tomar
un conjunto finito o infinito numerable de valores
Variable Aleatoria Continua: Su espacio muestral está
formado por un conjunto infinito de valores innumerables.
6
Ejemplos variable aleatoria discreta
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Llamar a cinco clientesCantidad de clientes que
contesten0, 1,2,3,4,5
Inspeccionar un
embarque de 40 chips
Cantidad de chips
defectuosos0,1,2,….,40
Funcionamiento de un
restaurante durante un día Cantidad de clientes 0,1,2,3…….
Vender un automóvil Sexo Cliente0 si es hombre y 1 si es
mujer
7
Ejemplos variable aleatoria continua
Experimento Variable aleatoria Valores posibles V.A
Funcionamiento de un
banco
Tiempo en minutos, entre
llegadas de clientesX>=0
Llenar una lata de bebida
(máx =12.1 onzas)Cantidad de onzas 0<=x<=12.1
Proyecto para construir un
biblioteca
Porcentaje de terminado
del proyecto0<=x<=100
Ensayar un nuevo
proceso químico
Temperatura cuando se
lleva a cabo la reacción
deseada (min 150º F; máx
212ºF)
150<=x<=212
Variables Aleatorias Discretas
Si el recorrido de X es: (x1,x2, x3,…..xn)
Pi=P(X=xi)
P1+P2+…..+Pn = 1
EJEMPLO:
Lanzamiento de 3 monedas
Ω = 𝐶𝐶𝐶 , 𝑆𝐶𝐶 , 𝐶𝑆𝐶 , 𝐶𝐶𝑆 , 𝑆𝑆𝐶 , 𝑆𝐶𝑆 , 𝐶𝑆𝑆 , (𝑆𝑆𝑆)
Variable Aleatoria X:(número de sellos resultantes)
P(X=0) = 1/8
P(X=1) = 3/8
P(X=2) = 3/8
P(X=3) = 1/8
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8
Función de Distribución F(x)Describe el comportamiento probabilístico de
una variable aleatoria X.
𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑡 𝑡 ∈R
Propiedades:
1. F es creciente lim𝑡→−∞
𝐹(𝑡) = 0 lim𝑡→∞
𝐹(𝑡) = 1
2. 𝐹 𝑡 = 𝑗≤𝑡 𝑃𝑗3. 𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)4. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 + 𝑃 𝑋 = 𝑎5. 𝑃 𝑋 = 𝑎 = 𝐹 𝑎 − 𝐹(𝑎−)
**𝐹(𝑎−) Límite por la izquierda de F en a.
Función de Distribución en Variables Aleatorias Discretas
10
Ejemplo 1:
Lanzar dos dados
Definimos el espacio muestral Ω como:
Ω = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
Definimos la variable aleatoria discreta X como:
la suma de puntos.
La función de probabilidad es:
363)2,2()13()31(4
362)12()21(3
361)11(2
/),,P()P(X
/),,P()P(X
/),P()P(X
11
P
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
1/36
2/36
6/36
4/36
5/36
3/36
2/36
1/36
5/36
4/36
3/36
Función de probabilidad de la variable aleatoria X
Cumple las condiciones: es siempre positiva y está normalizada.
12
F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)
F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
12
x
1,0
0,5
0,028
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F
Función de distribución de la variable aleatoria X
Ejercicios:
1. Continuar con el ejemplo del lanzamiento de 3
monedas, calcular la función de distribución.
2. La función de distribución de una variable aleatoria
X se define como:
F(t)
0 𝑡 < −3 1 2 − 3 ≤ 𝑡 < 0 3 4 0 ≤ 𝑡 < 21 𝑡 ≥ 2
Construir la tabla de distribución de probabilidad de X
𝐹 𝑡 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑡 𝑡 ∈R
∀𝒙 ∈ 𝑹 𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝟎
Propiedades:
1. F es creciente lim𝑡→−∞
𝐹(𝑡) = 0 lim𝑡→∞
𝐹(𝑡) = 1
2. 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏= 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
Función de Distribución en Variables Aleatorias Continuas