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7/24/2019 Clase Tringulos I Anual 2015 OK
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Propiedad Intelectual Cpech
CONOZCAMOS UNA PREGUNTA REAL DE LA PSU
DEMRE, Proceso de admisin 2005.
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Propiedad Intelectual Cpech
PRENDIZ JES ESPER DOS
Identificar los elementos primarios de un tringuloy sus propiedades.
Reconocer los elementos secundarios de un
tringulo y sus propiedades.
Clasificar los tringulos segn sus lados y ngulos.
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Propiedad Intelectual Cpech
1. Definicin
2. Elementos primarios
Tringulos I
Vrtices
Ladosngulos interiores
ngulos exteriores
3. Elementos secundarios
ltura
Trans!ersal de gra!edad
"imetral#isectri$
%ediana
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Propiedad Intelectual Cpech
4. Generalidades en un tringulo cualquiera&.'rea o superficie&.()er*metro o longitud
5. Clasificacin de tringulos+.'"egn sus ngulos
+.("egn sus lados
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Propiedad Intelectual Cpech
1.Definicin
'. Tringulo
,s un pol*gono de tres lados.
2. Elementos primariosCorresponde a la intersecci-n de dostra$os los /ue se identifican con letrasmaysculas.
,n la figura los !rtices son # y C.
A B
C
!rtices"
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#ados" ,n la figura los tra$os # #C y Ccorresponden a los lados del tringulo#C los /ue se identifican con letras
minsculas.
#
C
a0
c
# 1 c #C 1 a C 1 0
$eorema" La suma de dos lados de0e ser siempremayor /ue el tercero.
a 2 0 3 c0 2 c 3 a
a 2 c 3 0
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7/31Propiedad Intelectual Cpech
4eterminar si existe el tringulo cuyos lados miden5 cm & cm y 6 cm.
)ara determinar si existe el tringulode0emos !erificar /ue se cumple el teorema.
,7emplo8
5 2 & 1 6 9o se cumple.
& 2 6 3 5 "* se cumple.5 2 6 3 & "* se cumple.
Como una de ellas no se cumple NOexistedic:o tringulo.
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8/31Propiedad Intelectual Cpech
$eorema" La diferencia positi!a de dos lados de0e sersiempre menor /ue el tercero.
a ; 0 < c
0 ; c < a
a ; c < 0
,7emplo8
4eterminar si existe el tringulo cuyos lados miden = cm
+ cm y ( cm.)ara determinar si existe el tringulode0emos !erificar /ue se cumple el teorema.
= ; + 1 5 3 ( 9o se cumple.
= ; ( 1 > 3 + 9o se cumple.
+ ; ( 1 5 < = "* se cumple.
Como una de ellas no se cumple NOexiste dic:o tringulo.
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9/31Propiedad Intelectual Cpech
%ngulos interiores"
#
C
, y
son los ngulos interiores deltringulo #C.
"on a/uellos /ue se forman por la intersecci-n dedos lados en el interior de la figura.
$eorema" La suma de los ngulos interiores detodo tringulo es '=?@
+ + = 180
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10/31Propiedad Intelectual Cpech
,7emplos8
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11/31Propiedad Intelectual Cpech
$eorema" ,n todo tringulo a mayor ngulose opone mayor lado y !ice!ersa.
,7emplo8
#
C
a0
c
,n el tringulo de la figura
c 3 a 3 0
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12/31Propiedad Intelectual Cpech
%ngulos e&teriores"
A, Ay A
son los ngulos exterioresdel tringulo de la figura.
"on los suplementos de los ngulos interiores.
$eorema" La suma de los ngulos exterioresde todo tringulo es 5>?@.
A+ A+ A= 360
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13/31Propiedad Intelectual Cpech
$eorema"Cada ngulo exterior es igual a la suma de losngulos interiores NOadyacentes a l.
B 1 2
B 1 2
B 1 2
,7emplo8
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14/31Propiedad Intelectual Cpech
3. Elementos 'ecundarios(ltura )*+",s la perpendicular tra$ada desde un !rtice allado opuesto o a su prolongaci-n.,n la figura C4es la altura :cD desde el !rtice C.
Ertocentro FD8 ,s el punto de intersecci-n delas alturas :c :a :0D.
#
C
F
#
C
:c
4
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15/31Propiedad Intelectual Cpech
$rans,ersal de gra,edad )t+"
,s el segmento /ue une el !rtice con el puntomedio del lado opuesto.
tc tc8 trans!ersaldesde C
Centro de gra!edad o 0aricentroGD8
)unto de intersecci-n de las trans!ersales.,l centro de gra!edad GD di!ide a cada trans!ersal enra$-n (8'.
48 )unto medio del lado #
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16/31Propiedad Intelectual Cpech
4 , y H8 )untos medios.
, 1 ta
#H 1 t0C4 1 tc
G8 Centro de gra!edad
,7emplo8
,n la figura G es centro de gra!edad. "i #G 1 = cmentonces GH 1 & cm.
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17/31Propiedad Intelectual Cpech
#
C
"
'imetral )'+"
,s la perpendicular le!antada desde el punto medio
de un lado. ,n la figura est representada lasimetral le!antada desde 4 punto medio del lado#.
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18/31Propiedad Intelectual Cpech
Circuncentro8
)unto de intersecci-n de las simetrales y corresponde
al centro de la circunferencia circunscrita al tringulo.
4 H y G8 )untosmedios.
,8 Circuncentro
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19/31Propiedad Intelectual Cpech
-isectri )/+"
,s el segmento /ue dimidiaJ un ngulo es decir lo
di!ide en ( partes iguales.,n la figurael C4 1 4C# 1
#
C
4
0c
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20/31Propiedad Intelectual Cpech
Incentro8
)unto de intersecci-n de las 0isectrices /ue
corresponde al centro de la circunferencia inscrita altringulo.
,7emplo8
,8 Incentro
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0ediana",s el segmento /ue une los puntos medios de doslados consecuti!os.
La mediana es paralela al lado opuesto y mide lamitad de l.
4 , y H8 )untos medios.
4H 4, y ,H8 %edianas
4,KK #C y 4, 1 #C(
,HKK C y ,H 1 C(
4HKK # y 4H 1 #(
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l tra$ar las tres medianas de un tringulo
se forman & tringulos congruentes entre s*.,l rea de cada uno es del rea total deltringulo original.
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4. Generalidades en un tringulo cualquiera
%rea o 'uperficie )(+"
Corresponde al semiproducto entre la 0ase y laaltura del tringulo.
rea 1 #ase M ltura
(
1
#
C
a0
c
:c:a :0
(
cM:c
aM:a
( 1 (
0M:0 1
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,7emplo8
4eterminar el rea del tringulo de la figura8
,n este caso se tiene el !alor de la 0ase # 1 = y laaltura /ue cae so0re su prolongaci-n es C4 1 5.
Luego su rea es8
1(
=M5 1 '(
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ermetro o longitud )+"
Corresponde a la suma de los lados del tringulo.
#
C
a0
c
) 1 a 2 0 2 c
,7emplo8
) 1 '+ 2 '= 2 ((
) 1 ++
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5. Clasificacin de tringulos
'egn sus ngulos"
(cutngulo"
ectngulo"
6/tusngulo"
,s a/uel /ue tiene todos susngulos interiores agudos.
,s a/uel /ue tiene un ngulorecto.
,s a/uel /ue tiene un nguloo0tuso.
,7.8
,7.8
,7.8
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'egn sus lados"
Escaleno"
,s a/uel /ue tiene todos suslados y ngulos distintos.
,7emplo8
7ssceles",s a/uel /ue tiene s-lo (lados congruentes y ellado distinto es la 0ase.
,7emplo8
#aseD
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9ota8
Equiltero"
,s a/uel /ue tiene todos suslados congruentes.
#aseD
,n la figura el tringulo #C ese/uiltero8 # 1 #C 1 C."us ngulos interiores tam0inson congruentes.
"e dice /ue el tringulo de lafigura es is-sceles de 0ase #J o0ien is-sceles en CJ.
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RESOLVAMOS LA PREGUNTA PSU
EXPUESTA AL COMIENZO DE LA CLASE
Opcin correcta:
DEMRE, Proceso de admisin 2005.
Opcin correcta: E
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'inteticemos en el siguiente
mapa conceptuallo que *emos aprendido *o8
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$ringulos
Clasificacin
'egn suslados
Equiltero
7ssceles
Escaleno
Generalidades
%rea
ermetro
Elementos
rimarios
!rtices
#ados
%ngulos interiores
%ngulos e&teriores
'ecundarios
(ltura
$rans,ersal degra,edad
'imetral
-isectri
0ediana
'egn susngulos
interiores
(cutngulo
ectngulo
6/tusngulo