Classificazione
Costruzione
Storia
ClassificazioneClassificazioneCon il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso.Indichiamo con l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono.Se:
>
= 90°
=
<
L’equazione generale di una conica è: axax22+by+by22+cxy+dx+ey+f=+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f R
Ellisse
Circonferenza
Parabola
Iperbole
ConicheConiche
ParabolaParabolaDefinizione
Equazione
Formule
Casi particolari
Concavità
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
ParabolaDefinizione
Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
d
F
x
y
ParabolaParabolaEquazioneEquazione
y=ax2+bx+c
x=ay2+by+c
x
y
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
x
y
ParabolaParabola FormuleFormule
y=ax2+bx+c x=ay2+by+c
vertice V(-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a)
fuoco F(-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a)
direttrice dy=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a)
equazione assex=-b/(2a) y=-b/(2a)
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
ParabolaParabolaCasi particolariCasi particolari
y= ax2+bx+c
b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx
c=0 e b=0 y=ax2
x
y
y
x
x
y
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
ParabolaParabolaConcavitàConcavità
a>0 a<0
x
y y
x
x
y y
x
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
CirconferenzaCirconferenza
Definizione
Equazione
Casi particolari
Formule
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
CirconferenzaCirconferenzaDefinizioneDefinizione
Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r.
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
CirconferenzaCirconferenzaEquazioneEquazione
xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0a , b , c R
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
CirconferenzaCirconferenzaCasi particolariCasi particolari
x2 + y2 = r2
C(
O
x2 + y2 + ax + by = 0
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
CirconferenzaCirconferenzaFormuleFormule
xx2 2 + y+ y2 2 + ax + by + c = 0+ ax + by + c = 0 a, b, c a, b, c R R
centro: centro: C (a/2 C (a/2 b/2) b/2)
raggio: raggio: r=r= (a/2) (a/2)22 - (b/2) - (b/2)22 - c - c
eccentricità:eccentricità: e = 1 e = 1
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
EllisseEllisse
Definizione
Equazione
Grafici
Formule
Ellisse traslata
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
EllisseEllisseDefinizioneDefinizione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.
PF1+ PF2= k k R R++
y
x
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
EllisseEllisseEquazione canonicaEquazione canonica
xx22 y y22
+ = 1+ = 1aa22 b b22
aa: semiasse maggiore
bb: semiasse minore
cc:: F1F2 / 2
Caso in cui l’asse focale è l’asse x:y
x
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
Ellisse traslataEllisse traslataEquazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ).
(x - )2 (y - )2
a2 b2
vettore V (; ) centro C (; )
vertici: A’(a ; ) B’( ; b)
fuochi:
a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2
a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2
+ =1
y
x
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
EllisseEllisseGraficiGrafici
C(0;0) a>bC(0;0) b>a
y
x
y
x
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
EllisseEllisseFormuleFormule
L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il
semiasse maggiore.
e =1 segmento e =0 circonferenza0<e<1 ellisse
a2 = b2 + c2
Fuochi:a>b F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/aa<b F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b
Intersezioni: asse x A (±a;0) asse y B(0;±b)
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
IperboleIperbole
Definizione
Equazione
I. Equilatera
Formule
I. Traslata
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
IperboleIperboleDefinizioneDefinizione
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi.
PF1- PF2 = k k R R++
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
IperboleIperboleEquazioneEquazione
xx22 y y22
- = +1- = +1aa22 b b22
c = semidistanza F1 -F2
asse focale: 2c
I caso
II caso
xx22 y y22
- = -1- = -1aa22 b b22
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
IperboleIperboleFormuleFormule
I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0)
II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2)
asintoti: y= (b/a) x
eccentricità e = c/a
e =1 segmento e =0 circonferenza0<e<1 ellissee>1 iperbole
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
Iperbole equilatera: a=bIperbole equilatera: a=b
xx22 - y - y2 2 = -a= -a2 2 o xo x2 2 - y- y2 2 =a=a22
asintoti:asintoti: y = y = x x
c = a2
e = 2
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
Iperbole traslataIperbole traslataTraslazione di vettore: v ( ; )
I caso: vertici: ( a ; ) fuochi: ( c ; ) e = c/aII caso: vertici: ( ; b ) fuochi: ( ; c) e = c/b
asintoti: y - = (b/a) (x- )
ConicheConiche ClassificazioneClassificazione
Le coniche nella Le coniche nella storiastoria
matemat ici greci A pollonio
ConicheConiche
Matematici greciMatematici greciLe curve non venivano definite come luoghi del piano che soddisfano una certa condizione,ma con il seguente ordine:
rette
cerchi
luoghi piani
sezioni coniche
luoghi solidi
tutte le alt re curve
luoghi lineari
t re categorie
Storia ConicheConiche
Apollonio Apollonio (Biografia)(Biografia)
Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti.
Storia ConicheConiche
Pensiero di Apollonio
Elaborò gran parte di quella che noi oggi definiamo “geometria analitica”. Considera 2 luoghi:
1)il luogo dei punti tali che la differenza dei quadrati delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante è una retta perpendicolare al segmento che congiunge i punti.
2)il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante (e diversa da 1) è un cerchio.
Definisce il cono come:
“Se una retta prolungatesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di cerchio che non si trovo nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio”.
Storia ConicheConiche
Pensiero di Apollonio
Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando l’inclinazione del piano d’intersezione.
Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti.
Storia ConicheConiche
““Le conicheLe coniche” Trattati di Apollonio
(1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori.
(2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti.
(3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti.
(4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra.
Storia ConicheConiche
(5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica.
(6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori.
(7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse.
(8°libro)Tratta problemi simili.
““Le conicheLe coniche” Trattato di Apollonio
Storia ConicheConiche
Costruzione delle coniche
Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket,
una torcia e un piano bianco sul quale proiettare l’ombra del
pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e
osserviamo cosa succede...
ConicheConiche
...Parabola
Torcia a livello della sommità della palla...
CostruzioneCostruzioneConicheConiche
...Circonferenza
Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla...
CostruzioneCostruzioneConicheConiche
...Ellisse
Spostando la torcia verso destra...
CostruzioneCostruzioneConicheConiche
...Iperbole
Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla...
CostruzioneCostruzioneConicheConiche
Percorso logico
defi niz ione
equaz ione
f or mule
cas i par t icolar i
concavit à
par ab ola
defi niz ione
equaz ione
cas i par t icolar i
f or mule
cir conf er enz a
defi niz ione
equaz ione
f or mule
i. equilat er a
i. t r as lat a
iper b ole
defi niz ione
equaz ione
gr afi co
f or mule
el l is se t r as lat a
el l is se
Classifi caz ione
mat emat ic i gr eci
t r at t at i d i A pol lonio
pens ier o
A pollonio
S t or ia
iper b ole .
el l is se
cir conf er enz a
par ab ola
Cost r uz ione
ConicheConiche
ConicheConiche