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25 Nov 2008 . 15:36
Cálculo Numérico / Métodos Numéricos
Determinação numérica de autovalores e autovetoresMétodo de Francis (QR)
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Método de Francis (QR)
Similar ao método LR
Decompomos a matriz em um produto de duas matrizes.A1 = R1Q1
Para obter a matriz seguinte da seqüência {Ak}, invertemos a ordem do produto:
A2 = Q1R1
E novamente decompomos e continuamos o processo...
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Método de Francis (QR)
A=A1, A1=Q1R1
A2=R1Q1 e decompõe A2=Q2R2,
A3=R2Q2 e decompõe A3=Q3R3,
...
Ak=Rk-1Qk-1 e decompõe Ak=QkRk
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Método QR
No caso do método QR:
A primeira matriz do produto é ortogonal (QQt = QtQ= I)A segunda matriz é uma matriz triangular superior.
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Observações
A decomposição de A no produto LR só é possível se A satisfizer o teorema LU. A decomposição QR sempre é possível.
A seqüência {Ak} converge para uma matriz triangular superior.
Os elementos da diagonal da matriz Ak são os autovalores procurados.
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Observações
O processo termina quando o maior valor absoluto da matriz Ak (abaixo da diagonal principal) for menor que a precisão dada (ε).
Em cada passo do método é necessário determinar as matrizes Qk e Rk onde Qk é uma matriz ortogonal e Rké triangular superior.
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Como obter Q e R ?
Queremos A = QR
Vamos achar uma matriz U1, ortogonal, tal que a multiplicação de U1 por A zera o elemento a21.
Vamos achar uma matriz U2, ortogonal, tal que a multiplicação de U2 por U1A zera o elemento a31.
e assim por diante...
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Como obter Q e R ?
Logo:
Un... U2U1 A = R
Como as matrizes U são ortogonais, U-1 = UT:
A = U1T U2
T... UnT R
Q
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Matriz rotacional
Definição: Uma matriz rotacional U difere da matriz identidade em quatroelementos. Esses quatro elementos são da forma:
Para qualquer matriz rotacional U, a matriz AU difere de A apenas na p-ésima e q-ésima coluna e a matriz UA difere de A apenas na p-ésima e q-ésima linha.
Para qualquer p≠q, o ângulo pode ser escolhido de modo que o elemento q×p de UA seja zero.
Como matriz U, vamos usar matrizes rotacionais:
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Matriz rotacional
Ex.: 3x3:
Ex.: Caso geral:
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Obtendo cos e sen
Para zerar a21, fazemos U1A:
No caso geral, queremos zerar o elemento aqp.
qp
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Zerando o elemento apq
Então:
e, logo:
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Exemplo geral (caso 3x3)
Zerando o elemento a21:
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Exemplo geral (caso 3x3)
Zerando o elemento a31:
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Exemplo geral (caso 3x3)
Zerando o elemento a32:
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Exemplo geral (caso 3x3)
Obtendo as matrizes Q e R:
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Exemplo
Determinar os autovalores da matriz
com precisão 10-2.
Solução: Como a21 já é igual a zero, não precisamos nos preocupar com ele. Começamos zerando a31.
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Exemplo (solução)
Obtendo U2 (zerando a31)
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Exemplo (solução)
Usaríamos a matriz U2U1A para calcular agora a matriz U3. Mas veja que isso não é necessário, pois a31 já é igual a zero! Logo, U2A = R1 e:
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Calculando A2 e verificando critério de parada.
Maior que 10-2, continuamos.
Não precisamos de U1nem de U3
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Iteração 2
Determinar U2 tal que U2A2 tem a'31 = 0
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Iteração 2
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Iteração 3 e critério de parada
Todos os elementos abaixo da diagonal são menores que o erro pedido (10-2)
Logo, os autovalores são os elementos da diagonal:
λ = 2.6177, 1, 0.3824(Os autovalores são, com precisão maior: 2.610834, 1 e
0.381966).
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Exercícios