Analise Combinatoria – 2o semestre 20143a lista de exercıcios

1. Ache as funcoes geradoras ordinaria e exponencial de cada uma das sequenciasabaixo, todas definidas para n ≥ 0.

a. an = αn+ β

b. an = αn2 + βn+ γ

d. an = 3n

e. an = 5 · 7n − 3 · 4n

c. an = p(n) onde p e um polinomio.

2. Ache as funcoes geradoras ordinaria de cada uma das sequencias abaixo,todas definidas para n ≥ 0.

a. an = n+ 7

b. 1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .

c. an = 1n+1

e. an = 1(n+5 !

f. an = n2+n+1n!

g. an =(n2

)h. an =

(n3

)d. an = nfn, onde fn e o n-esimo numero de Fibonacci (f1 = f2 = 1).

3. Seja f a funcao geradora ordinaria da sequencia (an)n≥0. Determine, a partirde f e dos an, a funcao geradora ordinaria das seguintes sequencias.

a. (αan + β)

b. a3, a4, a5, . . .

c. 0, a1, a2, a3, . . .

d. 0, 0, 1, a3, a4, a5, . . .

e. a0, 0, a2, 0, a4, 0, . . .

f. a0, a2, a4, . . .

g. (an+k)

h. (an+2 + 3an+1 − an)

i. (nkan)

j. (p(n)an), onde p e um polinomio

Notacao: Seja f uma serie formal em x; denotamos o coeficiente de xn em fpor [xn]f e o coeficiente de xn

/n! em f por [xn/n!]f . Por exemplo, [xn]ex = 1/n!

e [xn/n!]ex = 1. Notamos que, em geral, temos [x

n/n!]f = n![xn]f .

4. Determine

a. [xn]e2x

b. [xn

n! ]eαx

c. [xn

n! ] cosx

d. [xn] 1(1−αx)(1−βx)

e. [xn](1 + x2)2n

5. Ache [xn] 1(1−x2) usando fracoes parciais. Depois faca o mesmo de modo mais

esperto.

6. Seja n ≥ 0. Use funcoes geradoras para mostrar que∑k≥0

(nk

)= 2n.

7. Determine um formula explıcita para an em cada um dos casos a seguir.

a. an = 4an−2 com a0 = 0 com a1 = 1.

b. an = an−1 + 9an−2 − 9an−3 com a0 = 0, a1 = 1 e a2 = 2.

c. an = 8an−1 − 16an−2 com a0 = 1, a1 = −1 e a2 = 0.

d. an = 3an−2 − 2an−3 com a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 0.

e. an = 5an−1 +6an−2−4an−3 +8an−3 com a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1 e a3 = 1.

f. an = an−1 − n+ 3 com a0 = 2.

g. an = −an−1 + 1 com a0 = 0.

h. an = −an−1 + 2 com a0 = 1.

i. an = 2an−1 + 1 com a0 = 1.

j. an = 4an−1 + 4n com a0 = 3.

8. Em cada um dos itens abaixo, definimos uma sequencia(an); seu trabalho edeterminar relacoes de recorrencia e depois formulas explıcitas para os an.

a. o numero de n-sequencias formadas com os algarismos 1 e 2 nas quais naoha 1’s consecutivos.

b. o numero de n-sequencias formadas com os algarismos 1, 2 e 3 nas quaisnao ha 1’s consecutivos.

c. o numero de maneiras de ladrilhar um retagulo 1×n com quadrados 1×1e dominos 1 × 2 sem dominos consecutivos.

d. o numero de maneiras de ladrilhar um retagulo 1×n com quadrados 1×1e dominos 1 × 2 sem dominos consecutivos.

e. o numero de n-sequencias formadas pelos algarismos ımpares nas quais 1e 3 aparecem um numero par positivo de vezes.

f. o numero de n-multisubconjuntos formadas com os algarismos 1, 2, 3 e 4

1. nas quais cada algarismo aparece um numero ımpar de vezes.

2. nas quais cada algarismo aparece um numero multiplo de 3 vezes.

3. nas quais 1 e 2 aparecem.

4. nos quais 1 aparece no maximo uma vez e 2 aparece no mınimo umavez.

g. o numero de n-sequencias formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4

1. nas quais cada algarismo aparece um numero ımpar de vezes.

2. nas quais cada algarismo aparece um numero multiplo de 3 vezes.

3. nas quais 1 e 2 aparecem.

4. 1 aparece um numero par de vezes e 2 aparece um numero ımpar devezes.

9. Determine o numero de sacolas com n frutas entre macas, laranjas, bananase peras nas quais aparece um numero par de macas, pelo menos 2 laranjas, ummultiplo de 3 bananas e no maximo uma pera.

10. a. Seja an o numero de subconjuntos de [n] que nao contem inteiros conse-cutivos. Mostre que an = an−1 + an−2 para n ≥ 2.

b. Considere agora os inteiros 1, 2, . . . , n dispostos consecutivamente em cır-culo e seja bn o numero de maneiras de escolher subconjuntos dessesnumeros que nao contenham inteiros consecutivos (note que 1 e n agorasao consecutivos). Ache uma relacao de recorrencia para os bn.

11. Seja an o numero de regioes em que um polıgono convexo de n+ 2 lados edividido por suas diagonais, supondo que quaisquer tres diagonais nao passempor um mesmo ponto. Definimos a0 = 0. Mostre que

an = an−1 + n+

(n+ 1

3

)para n ≥ 1 e determine uma formula explıcita para an.

12. Demonstre o teorema binomial na forma

(x+ y)n =∑k

(n

k

)xkyn−k

comparando coeficientes de tn/n! na identidade et(x+y) = etxety. Depois prove oteorema multinomial

(x1 + . . .+ xk)n =∑

n1+...+nk=n

(n

n1, . . . , nk

)xn11 . . . xnk

k

de modo analogo.

13. Considere a sequencia (an) definida para n ≥ 1 por a1 = 1, a2n = an ea2n+1 = an + an+1. Seja f =

∑n≥1 anx

n−1. Mostre que

f(x) = (1 + x+ x2)f(x2)

e conclua (formalmente) que

f =∏j≥0

(1 + x2j

+ x2j+1

) .