Download - commande backstepping
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Ministre de lEnseignement Suprieur et de la Recherche Scientifique
Universit Ferhat ABBAS Stif
UFAS Algrie
THESE
Prsente la facult de Technologie
Dpartement Electronique
Pour lobtention du diplme de
Doctorat es sciences
Par Mme Laarem GUESSAS
Thme
Backstepping Backstepping adaptatif pour le contrle la poursuite et la synchronisation des systmes dynamiques non linaires chaotiques
Soutenue publiquement le devant un jury compos de :
Mr. Fateh Krim Prof. lUniversit de Stif Prsident du jury Mr. Khier Benmahammed Prof. lUniversit de Stif Rapporteur Mr. Malek Benslama Prof. lUniversit de Constantine Examinateur Mr. A. Fettah Charef Prof. lUniversit de Constantine Examinateur Mr. Mohamed Harmas MCA. lUniversit de Stif Examinateur Mr. Mohamed Boumahrez MCA. lUniversit de Biskra Examinateur
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Remerciements
Ce travail de thse sachevant vient le moment des remerciements. Mille excuses ceux
o celles que je vais oublier, mais je vais quand mme tcher de faire de mon mieux, Je tiens
exprimer ma profonde gratitude toutes celles et ceux qui mont apport leur soutien, leur
amiti o leur exprience tout au long de ce travail de thse.
Tout dabord je souhaite remercier Monsieur le Professeur Krim Fateh de lUniversit de
Stif pour lhonneur quil ma fait de bien vouloir prsider ce jury de thse.
Les Professeurs Malek Benslama, Abedelfateh Charef de lUniversit de Constantine, le
Professeur Mohammed Harmas de lUniversit de Stif et le docteur Mohamed Boumahrez de
lUniversit de Biskra ont accept dexaminer ce travail, je leur adresse mes plus sincres re-
merciements.
Il ne saurait tre question de ne pas parler ici de mon encadreur le professeur Khier
Benmahammed directeur du laboratoire des systmes intelligents et de traitement de signal de
lUniversit de Stif, sans qui ce travail naurait jamais vu le jour, sa culture scientifique a favo-
ris le dveloppement de cette thse.
Un grand merci mes amis collgues, pour certains dj docteurs, et permanents de luni-
versit de Stif, pour leur aide durant mes travaux de thse.
Merci enfin ma petite famille, poux et enfants pour mavoir toujours soutenu, un salut du
coeur ma mre pour ses prires, ses encouragements et son soutien tout au long de ma thse.
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ii REMERCIEMENTS
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Rsum
Dans ce travail nous avons trait le problme de commande de stabilisation, de commande
en poursuite de trajectoire rfrence et de la synchronisation des systmes dynamiques non
linaires chaotiques. Ce travail de recherche est motiv par des dfies aussi bien thoriques
que pratiques poss pour le chercheur. En effet, ces systmes ne peuvent pas tre stabiliss
directement par des commandes lisses invariantes dans le temps, de plus en dpit du nombre
de mthodes disponibles pour la commande locale de ces systmes, peut-on utiliser de nou-
velles mthodes telles que le Backstepping et le Backstepping adaptatif dans la formulation du
problme de commande et le besoin de faire face aux singularits rencontres dans quelques
systmes chaotiques ?
Cette thse saddresse certains de ces problmes, formule et rsouds les problmes de com-
mande, de la poursuite de trajectoire et de la synchronisation des systmes dynamiques non
linaires chaotiques.
La thorie du Backstepping est traite en premier, une procdure qui consiste trouver
une fonction stabilisante qui est une commande virtuelle pour chaque sous-systme, base sur la
stabilit de Lyapunov jusqu parvenir dterminer la commande globale au systme. Particu-
lirement, nous montrons que ces systmes dynamiques non linaires peuvent se mettre sous le
modle de forme de boucle de retour strict une forme triangulaire, des transformations des va-
riables dtat et des translations vers des points dquilibres sont introduites pour les reprsenter
sous cette forme, une condition ncessaire pour lapplication de la mthode du backstepping.
Cependant, nous montrons aussi quil est possible datteindre la stabilisation asymptotique glo-
bale lorigine en utilisant une telle mthode.
La mthode de Backstepping adaptatif est aussi aborde comme un outil pour la commande
des diffrents systmes dont certains ou tous ses paramtres sont inconnus, ainsi que la concep-
tion et lapplication des lois de contrle, des lois de mise jour avec un gain appropri sur des
systmes non-linaires chaotiques, qui sont des systmes de base pour la modlisation et la va-
lidation des algorithmes et des approches, tels que les systmes non autonomes du second ordre
comme les oscillateurs gnrateurs de chaos de Duffing et de Van der Pool, les systmes auto-
nomes du troisime ordre comme le systme de Lorenz de Chua et de Rssler. Pour quelques
systmes chaotiques la stabilisation et la poursuite se font par un choix arbitraire des constantes
-
iv Rsum
de conception, mais pour dautres la tche ne se fait qu travers un choix optimis de ces
constantes par les algorithmes gntiques , une amlioration du temps de convergence et une
poursuite totale du signal de rfrence ont t remarqu. Pour voir lefficacit de la mthode
une comparaison base sur le contrle actif est utilise.
La dernire partie est consacr llaboration des lois et des applications sur la synchronisa-
tion chaotique base sur la mthode de Backstepping et Backstepping adaptatif , une des appli-
cations la plus utilise dans la transmission scurise des donnes.Dans certaines applications
linformation ne peut parvenir qu travers plusieurs systmes, nous exploitons la procdure
ainsi aborde pour rsoudre le problme de coordination dun groupe de systmes dynamiques
non linaires chaotiques. Ainsi, les dynamiques indpendants des systmes sont coordonns de
faon avoir une structure densemble unique.
Un intert important est port la procdure du Backstepping est que les non linarits
peuvent tre traites avec plusieurs faons. Les non linarits utiles qui agissent pour la stabili-
sation peuvent tre retenus, et le secteur des autres non linarits peut tre trait avec un contrle
linaire. Retenir les non linarits au lieu de les liminer exige des modles moins prcis et aussi
un effort de contrle minimal. Plus loin, les rsultats de simulation des lois de contrle peuvent
tre quelquefois optimales en ce qui concerne lindice de performance qui garantit certaines
proprits de robustesse.
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Abstract
This thesis addresses two important issues that are applicable to chaotic systems, the control
and the synchronization of the non linear dynamic chaotic systems. This work of research is mo-
tivated by as well theoretical as pratical challenges put for the researcher. Indeed, these systems
cannot be stabilized directly by smooth invariant control in the time, besides in spite of the
number of available methods for the control of these systems, one can used of new methods as
the Backstepping and the adaptive Backstepping in the formulation of the control problem and
the need to face the singular terms met in some chaotic systems. This thesis attacks some of
these problems, formulates and solves the problems of the control, the track of a trajectory and
the synchronization of the non linear dynamic chaotic systems.
This thesis is broken up into four parts. The first one contains a historic on the chaos and
the different types of problems of control of the chaotic systems, leading to a definition that
is going to allow to the scientists an understanding and an application more increased of the
chaotic systems, one finds fundamental theoretical concepts for the analysis of the behavior and
different classic methods of control of these systems.
The second part of the thesis includes the theory of the Backstepping, a procedure that is a
step by step design and consists of a recursive procedure, interlacing the choice of a Lyapunov
function with the design of a virtual control at each step, at the last step, the final control is ob-
tained. Strong properties of global and asymptotic stability can be achieved. A major advantage
of this method is that, it has the flexibility to build the control law by avoiding cancellations of
useful nonlinearities, there are not any derivatives in the singular controller, free of all nonlinear
or the second order terms.
Especially, we show that these non linear dynamic systems can get back under the model of
strict feedback form a triangular form, transformations of the variables of state and transfers
toward of equilibrium points are introduced to represent them under this shape, a necessary
condition for the application of the method of the backstepping. However, we show that it is
possible to reach the global asymptotic stabilization to the origin while using such a method.
The third part is dedicated to the method of adaptive Backstepping, a tool for the control of
different systems of which some or all their parameters are unknown, as well as the design and
the application of the update control laws with an appropriated gain on the non-linear chaotic
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vi Abstract
systems that are benchmark systems for the modeling and the validation of the algorithms and
approaches, as the non autonomous systems of the second order as the chaotic oscillators of
the Duffing and the Van der Pool, the autonomous systems of the third order as the systems of
Lorenz , Chua and Rssler.
The last part of the thesis contains the development of the laws and applications on the
chaotic synchronization, one of the applications the more used in the transmission secured of
the data based on the method of Backstepping. Knowing that the chaotic systems are characte-
rized by different evolutions for very near initial conditions, to Synchronize two chaotic signals
it means that they will be identical asymptotiquement in infinite time. The use of the chaos in
the systems of communication can permit to reinforce the transmission security of information
and to reduce the probability of interception. In some application information can only arrive
through several systems, we exploit the procedure thus to solve the problem of coordination of a
group of chaotic non linear dynamic systems. It is possible to drive every system as the control
of the group is registered in a desired design. Thus, the independent dynamics of the systems
are coordinated in order to have an unique general structure. In this chapter we will consider
the problem of formation of two or several systems are synchronized in order to behave like a
virtual structure formation.
To keep the non linearities instead of eliminating requires less precise models and also a
small control effort. Farther, the results of simulation of the control laws can be sometimes
optimal with regard to of performance that guarantees some properties of the hardiness.
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Table des matires
Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
Table des matires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Introduction Gnrale 1
1 Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes decontrle 91 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires . . . . . . . . 11
2.1 Concepts mathmatiques et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Exposant de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Prsentation des attracteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 La carte de Poincare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Diagramme de Bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Problmes de contrle des processus chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1 Les problmes de stabilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Les problmes du contrle dexcitation ou de gnration doscillations
chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Les problmes de synchronisation contrlable . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Mthodes de contrle des processus chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 La contrlabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Contrle en boucle ouverte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Contrle linaire et non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Le contrle adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.5 Linarisation de la carte de Poincar o la mthode OGY . . . . . . . . 36
4.6 La contre raction en retard o mthode de Pyragas . . . . . . . . . . . 37
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viii TABLE DES MATIRES
4.7 Contrle Bas sur les Rseaux de neurones . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.8 Contrle bas sur les systmes flous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Backstepping pour la stabilisation et la commande en poursuite de trajectoire r-frence des systmes dynamiques non linaires chaotiques 431 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Notion de stabilit au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.1 Diffrents tats dquilibres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Mthode direct de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Contrle Bas sur la thorie de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Thorie du Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1 Commande de stabilisation par la mthode du Backstepping . . . . . . 57
3.2 Commande en poursuite de trajectoire rfrence par la mthode du
Backstepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4 Conception des lois de commande bases sur le Backstepping pour quelques
systmes chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Oscillateur du second ordre Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Oscillateur de Bonhoeffer de Van der pool . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Systme chaotique de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Circuit chaotique de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.5 Systme chaotique de Rssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3 Backstepping Adaptatif pour la commande des systmes dynamiques chaotiques 1011 Thorie du Backstepping adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2 Conception de loi de commande adaptative base sur le Backstepping pour
quelques systmes chaotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.1 Oscillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2 Oscillateur Bonhoeffer Van der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 Systme chaotique de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.4 Circuit chaotique de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4 Backstepping et Backstepping Adaptatif pour la Synchronisation Chaotique 1271 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2 Synchronisation du systme chaotique de Lorenz via Backstepping . . . . . . . 129
2.1 Conception de la loi de synchronisation . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
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TABLE DES MATIRES ix
2.2 Simulation des lois de synchronisation sous des condditions initiales
diffrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.3 Gnralisation de la loi de commande pour la synchronisation de plu-
sieurs systmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3 Synchronisation du systme chaotique de Chua via Backstepping . . . . . . . . 141
4 Synchronisation du systme chaotique de Rssler via Backstepping . . . . . . 147
5 Synchronisation du systme chaotique de loscillateur de Duffing via Backstep-
ping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6 Synchronisation du systme chaotique de loscillateur de Vander Pool via Backs-
tepping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7 Backstepping Adaptatif pour la synchronisation du Systme chaotique de Lo-
renz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
Conclusion Gnrale 159
Bibliographie 163
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x TABLE DES MATIRES
-
Table des figures
1.1 Evolution dans le temps pour deux conditions initiales trs proches. . . . . . . 14
1.2 Convection de Rayleigh Bnard des tourbillons convectifs . . . . . . . . . . . 15
1.3 Attracteur de Lorenz Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Lorenz. . . . . . 16
1.5 Attracteur de Rssler a = 0.398, b = 2 et c = 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Rssler. . . . . . 17
1.7 Partie de lattracteur de Moon. = 0.25, a = 0.3 et w0 = 1. . . . . . . . . . . . 18
1.8 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Moon. . . . . . . 19
1.9 Attracteur de Hnon, avec a = 1.4 et b = 0.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Hnon. . . . . . 20
1.11 Section de Poincar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Section de Poincar des attracteurs intervalle de temps rgulier . . . . . . . . 23
1.13 Diagramme de bifurcation pour lattracteur de Hnon . . . . . . . . . . . . . . 26
1.14 Portrait de phase pour le systme de Lorenz (tat dquilibre) . . . . . . . . . . 26
1.15 Portrait de phase pour le systme de Lorenz(tat chaotique) . . . . . . . . . . . 27
1.16 Diagramme illustratif de lAlgorithme Gntique . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1 Le bloc diagramme dun systme de boucle de retour stricte. . . . . . . . . . . 58
2.2 Le bloc diagramme du premier sous systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3 Le bloc diagramme du premier sous systme avec une sortie virtuelle z1 . . . . 59
2.4 Le bloc diagramme du deuxime sous systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Le bloc diagramme du deuxime sous systme avec une sortie virtuelle z2 . . . 60
2.6 Le bloc diagramme du troisime sous systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 Le bloc diagramme du troisime sous systme avec une sortie virtuelle z3 . . . 61
2.8 Le bloc diagramme du iime sous systme avec une sortie virtuelle zi . . . . . 62
2.9 Le bloc diagramme du nime sous systme avec une sortie virtuelle zn . . . . . 63
2.10 Comportement chaotique dans lespace temporel pour loscillateur de Duffing . 70
2.11 Variation de ltat x2 en fonction de ltat x1 de loscillateur de Duffing . . . . . 70
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xii TABLE DES FIGURES
2.12 Convergence des tats x1 x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur de
Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.13 Convergence des tats x1 x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur de
Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.14 Variation de la loi de commande en fonction de temps pour loscillateur de Duffing 73
2.15 Evolution des tats x1 x2 en commande en poursuite pour loscillateur de Duffing 73
2.16 Variation de la loi de commande de poursuite en fonction de temps pour los-
cillateur de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.17 Comportement chaotique des tats x1, x2 pour loscillateur de Van der pool . . 76
2.18 Convergence des tats xi zi vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur de
Van der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.19 Variation des lois de commande en fonction de temps pour loscillateur de Van
der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.20 Convergence des tats x1 x2 vers le signal rfrence pour loscillateur de de Van
der pool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.21 Variation des trois tats en fonction du temps pour le systme de Lorenz . . . . 81
2.22 Comportement chaotiques dans lespace dtat pour le systme de Lorenz . . . 81
2.23 Variation des tats et des fonctions de Lyapunov pour le systme de Lorenz . . 84
2.24 Variation des lois de commande pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . . 84
2.25 Variation des tats x1, x2, x3 et yr pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . 85
2.26 Variation des lois de commande de poursuite pour le systme de Lorenz . . . . 85
2.27 Circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.28 Caractristique de Circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.29 Comportement chaotique dans lespace temporel pour le circuit de Chua . . . . 87
2.30 Comportement chaotique pour le circuit de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.31 Convergence des trois tats vers le point dquilire xeq = 0 pour le circuit de Chua 90
2.32 Variation des lois de commande de stabilisation pour le circuit de Chua . . . . 90
2.33 Variation des tats pour la poursuite de rfrence pour le circuit de Chua . . . . 91
2.34 Variation des lois de commande de poursuite pour le circuit de Chua . . . . . . 92
2.35 Variation des tats avec des paramtres de conception optimiss pour la pour-
suite de rfrence pour le systme de Chua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.36 Comportement chaotique dans lespace temporel pour le systme de Rssler . . 93
2.37 Comportement chaotique dans lespace pour le systme de Rssler . . . . . . . 94
2.38 Convergence des trois tats dans le domaine temporel pour le systme de Rssler 95
2.39 Evolution des lois de commande en fonction de temps pour le systme de Rssler 96
2.40 Evolution des tats en poursuite pour le systme de Rssler . . . . . . . . . . . 97
-
TABLE DES FIGURES xiii
2.41 Evolution des lois de commande en fonction de temps de poursuite pour le
systme de Rssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.42 Evolution des tats pour le systme de Rssler en prsence de PID . . . . . . . 98
2.43 Variation des lois de commande en prsence du PID pour le systme de Rssler 98
2.44 variation des tats et les lois de commande avec les ci optimises pour le sys-
tme de Rssler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1 Convergence des tats x1, x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur
de Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.2 Variation des paramtres stimes dans le temps pour systme de loscillateur
de Duffing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3 Variation de loi de commande adaptative pour loscillateur de Duffing. . . . . . 110
3.4 Convergence des tats x1 x2 vers le signal de rfrence yr = sin(t) pour loscil-
lateur de Duffing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.5 Variation des paramtres stims dans le temps pour loscillateur de Duffing. . . 111
3.6 Variation de loi de poursuite adaptative pour loscillateur Duffing . . . . . . . . 111
3.7 Convergence des tats x1, x2 vers le point dquilire xeq = 0 pour loscillateur
Bonhoeffer Van der pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.8 Variation des paramtres stimes dans le temps pour loscillateur Bonhoeffer
Van der pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.9 Variation de loi de commande adaptative pour loscillateur Bonhoeffer Van der
pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.10 Variation de la fonction stabilisante virtuelle pour loscillateur Bonhoeffer Van
der pol. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.11 Convergence des tats x1 x2, x3 vers le point dquilire xeq = 0 pour systme de
Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.12 Variation des paramtres stimes dans le temps pour le systme de Lorenz . . 117
3.13 Variation de loi de commande adaptative pour le systme de Lorenz . . . . . . 118
3.14 Schema du controleur PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.15 Variation des tats dans le temps avec un PID pour le systme de Lorenz . . . 119
3.16 Variation des lois de contrle par le PID dans le temps pour le systme de Lo-
renz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.17 Convergence adaptative des tats (x1 x2, x3) pour le systme de Lorenz . . . . . 120
3.18 Variation des paramtres stimes dans le temps pour la poursuite pour le sys-
tme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.19 Convergence des commandes virtuelles et finale pour la poursuite adaptative
pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
-
xiv TABLE DES FIGURES
3.20 Convergence des tats x1 x2, x3 vers le point dquilire xeq = 0 pour circuit
chaotique de Chua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.21 Variation des paramtres stimes dans le temps pour circuit chaotique de Chua. 123
3.22 Variation de loi de commande adaptative pour le circuit chaotique de Chua. . . 124
4.1 Synchronisation des tats pour le Systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2 Variation des tats erreurs pour le Systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3 Variation des lois de commande de synchronisation pour le Systme de Lorenz 134
4.4 Variation des tats dans le temps pour le systme de Lorenz . . . . . . . . . . . 134
4.5 Variation des tats erreurs dans le temps pour le systme de Lorenz . . . . . . . 135
4.6 Variation des lois de commande de synchronisation dans le temps pour le sys-
tme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.7 Synchronisation des tats via le Backstepping pour le systme de Lorenz . . . . 136
4.8 Variation des tats erreurs via Backstepping pour le systme de Lorenz . . . . . 136
4.9 Variation des lois de commande de synchronisation via Backstepping pour le
systme de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10 Synchronisation des tats via le contrle actif pour le systme de Lorenz . . . . 138
4.11 Variation des tats via le contrle actif pour le systme de lorenz . . . . . . . . 138
4.12 Synchronisation des tats via Backstepping en forme de navire . . . . . . . . . 139
4.13 Variation des erreurs pour le systme de Lorenz via le Backstepping en forme
de navire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.14 Synchronisation des tats des systme 2 et 1 via Backstepping en forme danneau140
4.15 Synchronisation des tats des systme 3 et 2 via Backstepping en forme danneau140
4.16 Synchronisation des tats des systmes 4 et 3 via Backstepping en forme danneau141
4.17 Synchronisation des tats des systmes 5 et 4 via Backstepping en forme danneau141
4.18 Synchronisation des tats des systmes 1 et 5 via Backstepping en forme danneau142
4.19 Synchronisation des tats des systmes via Backstepping en forme danneau . . 142
4.20 Variation des tats erreurs pour la synchronisation pour le systme de Lorenz
en forme danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.21 Variation des lois de commande synchronisation pour le systme de Lorenz en
forme danneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.22 Synchronisation des tats pour le circuit de Chua via Backstepping . . . . . . . 146
4.23 Variation des tats pour le circuit de Chua via Backstepping . . . . . . . . . . . 146
4.24 Synchronisation des tats pour le circuit de Rsslor via Backstepping . . . . . . 148
4.25 Variation des tats pour le circuit de Rsslor via Backstepping . . . . . . . . . 148
4.26 Synchronisation des tats pour loscillateur de Duffing via Backstepping . . . . 149
4.27 Variation des tats pour loscillateur de Duffing via Backstepping . . . . . . . . 149
-
TABLE DES FIGURES xv
4.28 Synchronisation des tats pour loscillateur de Vander Pool via Backstepping . 151
4.29 Variation des tats pour loscillateur de Vander Pool via Backstepping . . . . . 151
4.30 Convergence adaptative des tats rcepteur vers les tats emetteur du systme
chaotique de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.31 Variation des lois adaptatives de synchronisation pour le systme chaotique de
Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.32 Variation des paramtres stimes 1, 2 et 3 pour la synchronisation dans le
temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.33 Variation des tats ex, eyetez dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
-
xvi TABLE DES FIGURES
-
Introduction Gnrale
La thorie du chaos est bien connu comme une des trois rvolutions dans les sciences phy-
siques du vingtime sicle selon le philosophe Daniel Parrochia, La relativit a limin lillusion
Newtonien despace absolu et du temps, la thorie quantique a limin les rves Newtonien dun
processus mesurable et vrifiable et le chaos a limin la fantaisie Laplacienne de prvisibilit
dterministe [1].
En 1963 le mtorologue Edward Lorenz exprimentait une mthode lui permettant de pr-
voir les phnomnes mtorologiques, cest par pur hasard quil observa quune modification
minime des donnes initiales pouvait changer de manire considrable ses rsultats. Lorenz ve-
nait de dcouvrir le phnomne de sensibilit aux conditions initiales [2]. Les systmes rpon-
dant cette proprit seront partir de 1975 dnomms les systmes chaotiques par Tien-Yien
Li et James A Yorke qui ont prsent pour la premire fois le terme chaos, ou plus prcisment,
le chaos dterministe [4], et qui est largement utilis depuis, cest donc au cours des annes
soixante dix que la thorie du chaos a pris son essor. Cependant, les travaux de certains scien-
tifiques [5] cits dans [6] et plus particulirement le physicien mathmaticien belge David
Ruelle, le mathmaticien hollandais Floris Takens [7], [8] menaient bien avant cette dcou-
verte, et vont tre trs utiles la comprhension de la dynamique chaotique. En effet, vers la
fin du dix-neuvime sicle le mathmaticien, physicien et philosophe franais Henri Poincar
avait dj mis en vidence le phnomne de sensibilit aux conditions initiales lors de ltude
astronomique du problme des trois corps, ainsi on trouve dans le calcul des Probabilits [9]
de Henri Poincar laffirmation suivante :
Une cause trs petite, qui nous chappe, dtermine un effet considrable que nous ne pou-
vons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est du au hasard. Si nous connaissions
exactement les lois de la nature et la situation de lunivers linstant initial, nous pourrions
prdire exactement la situation de ce mme univers un instant ultrieur. Mais, lors mme que
les lois naturelles nauraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaitre la situation
initiale quapproximativement. Si cela nous permet de prvoir la situation ultrieure avec la
mme approximation, cest tout ce quil nous faut, nous disons que le phnomne a t prvu,
quil est rgi par des lois , mais il nen est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites
-
2 INTRODUCTION GNRALE
diffrences dans les conditions initiales en engendrent de trs grandes dans les phnomnes
finaux , une petite erreur sur les premires produirait une erreur norme sur les dernires. La
prdiction devient alors fortuite.
Cette citation dfinit parfaitement le chaos en tant que sensibilit aux conditions initiales
mais aussi le dterminisme qui rside dans le fait que si une condition initiale est parfaitement
dtermine alors lvolution du systme lest aussi. Le dterminisme traduit lunicit de la so-
lution pour lquation diffrentielle dun systme donn, cest le thorme de Cauchy.
Toujours au dix-neuvime sicle, le mathmaticien russe Alexandre Lyapunov effectuait des
recherches sur la stabilit du mouvement. Il introduisait lide de mesurer lcart entre deux tra-
jectoires ayant des conditions initiales voisines, lorsque cet cart volue exponentiellement on
parle de sensibilit aux conditions initiales. Les travaux de Lyapunov, dabord tombaient dans
loubli, seront plus tard trs prcieux pour tudier certains aspects de la thorie du chaos.
Les travaux des prdcesseurs de Lorenz ont donc t trs importants pour la comprhen-
sion du chaos dterministe, mais il faut souligner que ce qui va permettre aux scientifiques une
comprhension plus accrue des systmes chaotiques cest lordinateur. En effet, les quations
diffrentielles rgissant un systme chaotique sont ncessairement non linaires et, sans ordina-
teur, leur rsolution est en gnral impossible.
Plusieurs dfinitions mathmatiques du chaos sont connues [11]- [16], mais toutes expri-
maient les caractristiques fermes des systmes dynamiques non linaires sensibles aux condi-
tions initiales. Dans un systme linaire la solution asymptotique est indpendante des condi-
tions initiales du systme, Par contre, pour un systme non linaire, il existe une grande varit
de rgimes permanents, tels que le point dquilibre, la solution priodique, la solution quasi-
priodique et le chaos. De plus, le systme dynamique est fortement dpendant des conditions
initiales de dpart. le chemin de transition vers le chaos est diffrent, cependant il existe un cer-
tain nombre de scnarios de transition vers le chaos qui semblent universels, et permettent de
dcrire lvolution dun systme, parmi ces scnarios est que si la dynamique tudie dpende
des paramtres de contrle, lorsque un paramtre varie, le systme peut passer dun tat station-
naire un tat priodique, puis au-del dun certain seuil, il peut suivre un certain scnario de
transition et devenir chaotique, cest la bifurcation.
Le comportement chaotique a t considr comme un phnomne exotique qui peut tre
seulement dintrt mathmatique et ne serait jamais rencontr dans la pratique. Cependant,
plus tard la possibilit de dynamique chaotique a t dcouverte dans de nombreux systmes
mcaniques, de communication, du laser de la chimie et de la biochimie, de biologie, conomie
et aussi en mdecine.
Le chaos a t largement appliqu beaucoup de disciplines scientifiques mathmatiques, la
-
INTRODUCTION GNRALE 3
programmation, la microbiologie, la biologie, linformatique, lconomie, lingnierie, la fi-
nance, la philosophie, la physique, la politique, la dynamique de la population, la psychologie
et la robotique [16] et comme premire application du chaos :
- Dans lengineering, le contrle et la stabilisation du comportement irrgulier dans les cir-
cuits, le contrle des oscillations dans des ractions chimiques, les turbines, les systmes
de puissance et dans la combustion, dans laccroissement de la puissance dun laser, le
contrle des petites perturbations intervenant lors de son rglage qui gnent la finesse du
faisceau, et dans beaucoup plus de domaines.
- Dans les ordinateurs, on remarque la commutation des paquets dans des rseaux informa-
tiques, le cryptage et le contrle du chaos dans les systmes robotiques.
- Dans les communications, on trouve la compression et le stockage dimage, la conception
et le management des rseaux dordinateurs.
- Dans la mdecine et la biologie, on trouve la cardiologie, lanalyse du rythme du coeur
(EEG), la prdiction et le contrle dactivit irrgulire du coeur.
- Dans Le management et la finance, on a les prvisions conomiques, lanalyse financire,
et la prvision du march.
Une des plus importantes des applications de lingnierie est la communication scurise
grce aux proprits du comportement alatoire et sensibilit aux conditions initiales des sys-
tmes chaotiques. La sensibilit aux conditions et de limprvisibilit rend les systmes chao-
tiques trs convenable pour construire la cryptographie.
Encore un dveloppement supplmentaire a mis en valeur plusieurs applications o les
modes chaotiques peuvent paratre quelquefois comme nuisibles o lon doit le contrler o
le rduire et des classes entires de problmes de contrle qui sont dimportance pratique sont
apparus [16], [17], quelquefois comme utiles o on doit le maintenir ou augmenter son degr
de chaoticit et lide de la synchronisation chaotique a t utilise pour construire des systmes
de communication pour assurer la scurit de linformation transmise [?], [19].
Le terme "contrle du chaos" est utilis principalement pour dnoter la rgion dinterface
dtude entre la thorie du contrle et la thorie des systmes dynamiques tudiant les m-
thodes de contrle des systmes dterministes avec un comportement chaotique non rgulier.
Le problme de contrle du chaos a attir lattention des chercheurs et des ingnieurs depuis le
dbut des annes 1990, son progrs est remarqu essentiellement sur les techniques de concep-
tion de commande des classes des processus dynamiques non linaires. Le concept du contrle
du chaos sest install dans le jargon de la physique moderne pour signifier que tout processus
ou mcanisme dans un systme dynamique qui permet :
- damliorer le chaos o le stabiliser quand celui ci est bnfique.
-
4 INTRODUCTION GNRALE
- De le supprimer compltement quand il est nocif.
La comprhension et lutilisation dune telle dynamique est trs souhaitable dans la thorie et
les applications. Dans quelques applications, le chaos peut tre utile pendant que dans dautres
il peut tre nuisible. Par exemple pour la commutation dans les systmes de puissance o les
systmes mcaniques, le chaos est inacceptable. En revanche et spcialement, quand la synchro-
nisation du chaos a t trouve en 1991, la thorie du chaos devient de plus en plus attirante,
le chaos est propos comme un outil promoteur, il est considr dans la synchronisation, et la
transmission scurise de linformation dans les systmes de communication.
Depuis leurs naissances dans respectivement le travail de Ott, Grebogi et Yorke dans [17],
Pecora et Carroll [39], [40], le contrle du chaos et la synchronisation chaotique ont reu un
intrt norme dans les tudes autant thoriques quexprimentales. Les systmes sous consid-
ration dans les deux sujets sont caractriss par la prsence des ensembles limites non standards
et essentiellement dune dynamique non linaire, comme consquence naturelle demandent
lapplication des techniques de contrle non linaire, et plusieurs mthodes efficaces ont t
proposes et t utilises durant les deux dernires dcennies pour accomplir le contrle, la
stabilisation [18]- [147], [181]- [202] et la synchronisation des systmes chaotiques [197]-
[277], tel que le contrle linaire et non linaire comme la mthode de contrle combin qui est
appele la contre raction ouverte (OPCL) [69], [74] , la Linarisation de la carte de Poincar
appele aussi la mthode OGY [95] , le contrle adaptatif [21], [79], [100] et le contrle flou
[114].
Rcemment, tout au long de ces progrs marqus sur le contrle non linaire, des efforts
ont t centr sur le problme de retour dtat de sortie et ont rsult en une procdure syst-
matique appel backstepping et backstepping adaptatif applicable aux systmes non linaires
sous une forme triangulaire appele boucle de retour stricte. Cette procdure a t introduit et
perfectionn dans [40]- [82] et beaucoup applique dans [83], [184]. La conception du backs-
tepping offre beaucoup de flexibilit chaque tape de calcul de la loi de commande, nom-
breuses propositions des mthodes de contrle du chaos bases sur cette technique comme une
nouvelle structure de contrle non linaire, qui est une approche de conception systmatique
pour construire la fois les lois de commandes en associant un choix adquat des fonctions de
Lyapunov permettant de garantir la stabilit asymptotique globale du systme.
Les avantages inhrents cette technique sont bien connus en particulier :
Procure une grande famille de lois de commande globalement asymptotiquement stabili-
santes.
Permet de rsoudre divers problmes de robustesse et de commande adaptative.
Rpond essentiellement la question de la stabilit asymptotique du systme.
-
INTRODUCTION GNRALE 5
Avec le backstepping, les non linarits du systme ne sont pas limins dans la loi de com-
mande. Savoir Comment traiter ces non linarits augmente lavantage du choix de la proc-
dure. Si un non linarit agit pour la stabilisation, il est donc en un sens utile, et doit tre retenu
dans la boucle de retour du systme. Cela mne une robustesse du modle et un petit effort
suffisant pour contrler le systme.
Il a t montr que beaucoup de systmes chaotiques clbres comme paradigmes dans la re-
cherche du chaos, incluant loscillateur de Duffing, loscillateur de van der Pool, le systme de
Rssler et plusieurs types des circuits de Chua, le systme de Lorenz peuvent tre transforms
dans une classe de systme non linaire en forme de boucle de retour stricte, et le backstepping
et le Backstepping adaptatif ont t employs et tendus au contrle de ces systmes chaotiques.
Cependant, le systme de Lorenz, comme indiqu dans [2] [25], ne peut pas tre directement
contrl en utilisant la mthode du backstepping pour son problme de singularit. Comme
outil de conception, la mthode du backstepping est moins restrictive que la linarisation par
retour dentre ou de sortie, dans quelques situations il peut vaincre ces singularits en asso-
ciant le changement vers la forme de boucle de retour stricte et une mthode doptimisation des
constantes de la conception.
De faon gnrale, on peut dire que notre ligne principale de travail sarticule autour du pro-
blme de contrle vers un point dquilibre stable ou vers un cycle limite stable(stabilisation du
systme autour du point dquilibre), de poursuite de trajectoire rfrence et de la synchronisa-
tion des systmes chaotique bass sur la technique du Backstepping et Backstepping adaptatif.
Le problme de commande non linaire consiste concevoir une loi de commande u(t, x)
dans la contre raction pour les systmes dynamiques non linaires dcrits par des quations
diffrentielles ordinaires de type : x = f (x, u)
y = h(x),
x(t0) = x0
(1)
Avec x
-
6 INTRODUCTION GNRALE
conditions initiales diffrentes, la diffrence dans lvolution de ces deux systmes va se dve-
lopper exponentiellement en fonction du temps [9], et chacun deux va voluer dune faon trs
diffrente.
Linjection dune une loi de commande u(t, x) lun des deux systmes permettra til rendre
leur volution harmonique et rduire la diffrence zro et pousser les deux systmes dans une
tubulure synchronise ?
Sil est possible de raliser une telle application, il est possible de communiquer laide des
signaux chaotiques et de porter un message utile sur un signal chaotique puis le reconstituer la
rception. Ou mieux encore, utiliser le systme chaotique lui mme comme information, Reste
contrler la trajectoire chaotique pour une telle procdure.
Notre contribution travers le travail dvelopp dans cette thse concerne le dveloppement
des lois de commande u(t, x) afin de pouvoir stabiliser, contrler et conduire la trajectoire des
systmes chaotiques vers des trajectoires bien spcifiques (points dquilibres, cycles limites
stables, des trajectoires rfrences priodiques), De plus, appliquer le contrle du chaos dans la
synchronisation chaotique. Nous avons aussi dvelopp des lois de commande u(t, x) bases sur
dautres mthodes de contrle pour monter lefficacit, le temps de convergence et la robustesse
de la mthode de travail choisie. Ces mthodes correspondent aux :
- Un contrleur PID dont les paramtres sont optimiss par La mthode des algorithmes
gntiques [203], [204] . Pour parvenir contrler plusieurs systmes chaotiques cits au
dessus. Et plus encore, altrer la stabilisation du systme dune orbite priodique instable
chaotique des trajectoires bien spcifiques.
- Le dveloppement dune technique de contrle base sur le contrle actif [228] pour la
synchronisation des systmes chaotiques.
Le travail est prsent selon le plan suivant :
Au premier chapitre et dans un premier temps, nous rappelons les principales dfinitions ma-
thmatiques relatives aux systmes chaotiques, notamment des notions prliminaires sur les dy-
namiques du comportement chaotique, nous prsentons quelques exemples des systmes chao-
tiques qui sont des systmes repres pour la modlisation et la validation des techniques et des
algorithmes proposs savoir les systmes non autonomes du second ordre comme les oscil-
lateurs chaotiques Van der Pol, Duffing, et comme systme discret le systme de Hnon, les
systmes autonomes du troisimes ordres comme le systme de Lorenz, le systme de Chua
et le systme de Rossler. Ensuite, nous consacrons la deuxime partie aux tudes des diff-
rents types de problmes de contrle des processus chaotiques, les problmes de stabilisation,
les problmes du contrle dexcitation ou gnration doscillations chaotiques, les problmes
de synchronisation contrlable. Nous proposons dans la troisime partie du chapitre les plus
-
INTRODUCTION GNRALE 7
fiables et les plus connues des mthodes de contrle des processus chaotiques, ces mthodes
sont vises amliorer la suppression du chaos avec la rduction simultane du niveau deffort
externe exig et conduire les trajectoires du systme converger vers lorbite priodique dsi-
re.
Dans le chapitre 2, nous introduisons les techniques de bases du Backstepping, o on donne
quelques concepts sur la thorie de Lyapunov, des conditions suffisantes de stabilit des diff-
rents tats dquilibres des systmes dynamiques non linaires, la classe de systme est celle
drivant des modles de systmes physiques qui peuvent se prsenter par un ensemble des qua-
tions diffrentielles ordinaires. Des mthodes qui permettent de construire une telle fonction de
Lyapunov candidate pour un systme donn, pour la conception dune loi de contrle associe
avec une fonction de Lyapunov constitue ce quon appelle un contrle base sur la thorie de
Lyapunov (Cfl), le Backstepping rsouds ce problme travers une mthode rcursive pour
une classe des systmes non linaire, on donne par la suite des ides de base de la conception
des lois de commande par le Backstepping Nous examinons lefficacit de cette mthode de
contrle par application sur des systmes chaotiques cits au dessus.
Nous consacrons le chapitre 3 une autre mthode de contrle base sur le Backstepping,
savoir le contrle adaptatif, la procdure de conception pour le contrle adaptatif non linaire
est prsent lorsque le systme chaotique est reprsent par un ensemble des quations diffren-
tielles ordinaires contenant un nombre fini de paramtres de contrle inconnues, la procdure
de conception est rcursive, durant la iime tape, le iim sous systme est stabilis sous une
fonction de Lyapunov approprie par la mise au point dune fonction stabilisante et une fonction
de rglage. La loi de mise jour pour le paramtre estim, et le contrle final nest dtermin
quen dernire tape, le nombre destimation des paramtres est minimal c..d. gal au nombre
de paramtres inconnus [184]. On montre galement comment fournir les outils appropris
pour diriger la trajectoire chaotique vers des trajectoires dsires et converger les paramtres
estimer vers leurs valeurs relles.
Le chapitre 4 regroupe quelques applications sur la synchronisation chaotique de type iden-
tique pour les systmes chaotiques cits au paravant, une des applications la plus utilise dans
la transmission scurise des donnes base sur la mthode de Backstepping. Ensuite, pour
faire un comparaison de notre mthode, le contrleur ainsi dvelopp sera compar avec un
contrleur bas sur la mthode de contrle actif. Dans certaines applications linformation ne
peut parvenir qu travers plusieurs systmes, nous exploitons la procdure ainsi aborde pour
rsoudre le problme de coordination dun groupe de systmes dynamiques non linaires chao-
tiques. Et enfin, nous terminons cette thse par une conclusion gnrale.
Notre objectif est double le premier est de montrer que beaucoup systmes chaotiques comme
paradigmes dans la recherche du chaos peuvent tre transforms dans une classe de systmes
-
8 INTRODUCTION GNRALE
non linaires appels forme de boucle de retour stricte, et la seconde est atteindre la mthode du
Backstepping et le Backstepping adaptatif au genre de ces systme, et montrer que la procdure
peut tre naturellement applique et gnralise pour contrler cette classe de systmes chao-
tiques, pour ses avantages savoir quelle est applicable une varit de systmes chaotiques
contenant o pas une excitation externe, et elle na besoin seulement que dun contrleur pour
raliser la tache demande, donne une certaine flexibilit pour construire une loi du contrle qui
peut tre tendue aux systmes hyper chaotiques de plus haut degrs et le systme de boucle
ferm est globalement asymptotiquement stable.
-
Chapitre 1
Les systmes dynamiques non linaireschaotiques comportement et mthodes decontrle
1 Introduction
La science du 20ime sicle a t marque par trois dcouvertes majeures :
La relativit.
La mcanique quantique.
Le chaos.
Selon le philosophe Daniel Parrochia [1], la thorie du chaos constitue une des trois grandes
rvolutions scientifiques du dix-neuvime sicle et correspond un changement de paradigme
comparable ceux quentranrent la thorie de la relativit et la mcanique quantique. Ce
sicle a vu scrouler lun aprs lautre les murs de certitudes qui entouraient la forteresse de
la physique newtonienne. Einstein avec sa thorie de la Relativit, a limin en 1905 lillusion
newtonienne dun espace et dun temps absolus. Dans les annes 1920 1930, la mcanique
quantique a dtruit la certitude de tout pouvoir mesurer aussi prcisment que possible. Le
chaos, lui a limin lutopie Laplacienne dune prdictibilit dterministe.
Trs succinctement, la thorie du chaos a pour objet ltude des phnomnes non linaires
rgis par des lois simples et dterministes dont le comportement sous certaines conditions,
deviennent imprdictibles. En particulier, cette thorie se constitue, depuis les annes 1970,
partir dune triple confrontation :
La thorie mathmatique des systmes dynamiques.
Ltude du phnomne non linaire, le dsordre, la turbulence dans la nature et o dans
le monde technologique.
-
10Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
La technologie et le dveloppement de lordinateur.
A la fin du dix-neuvime sicle, Henri Poincar russit mettre en vidence la possibilit de
comportements irrguliers dans les systmes dterministes. Cest Edward Lorenz, un mtoro-
logue amricain qui fut le premier comprendre et dterminer un modle mathmatique du
chaos, mais comme conclusion de lhistoire de naissance de la thorie du chaos, elle est le rsul-
tat dune confrontation entre lhistoire de longue dure, qui trouve ses racines au dix-neuvime
sicle dans les travaux dHenri Poincar [9], et une priode de reconfiguration, constitue par
les travaux sminaires dEdward Lorenz [2], Stephen Smale [5], David Ruelle et Floris Takens
[7], [8].
Dans un systme dterministe, des conditions initiales identiques conduisent des volu-
tions identiques, Pour un systme chaotique qui est un systme dynamique dterministe poss-
dant un comportement imprvisible long terme, cette imprvisibilit est due la sensibilit
aux conditions initiales, particularit des systmes chaotiques.
Le chaos est un phnomne qui se produit largement dans les systmes dynamiques. De
point de vue pdagogique ce phnomne a t considr complexe et na jamais t donn de
limportance parce quil ny avait aucune analyse simple disponible qui pourrait aider les tu-
diants et les chercheurs immerger dans ce phnomne intressant et obtenir des outils et des
expriences. depuis la prsence de chaos sest rpandu dans beaucoup de champs, cest bon
davoir quelque perspicacit dans ce droit du phnomne du niveau haut.
Le terme chaos, dans lancienne philosophie signifiait ltat de dsordre dans la matire non
forme suppose existe avant lunivers ordonn [11], [13]. Comme pour beaucoup de limites
en science, il ny avait aucune dfinition standard du chaos. Nanmoins, les dispositifs typiques
du chaos incluent :
La non-linarit. Si le systme est linaire, il ne peut pas tre chaotique.
Le dterminisme. Un systme chaotique a des rgles fondamentales dterministes plutt
que probabilistes.
La sensibilit aux conditions initiales. De trs petit changement sur ltat initial peuvent
mener un comportement radicalement diffrent dans son tat final.
Limprvisibilit. En raison de la sensibilit aux conditions initiales qui peuvent tre
connues seulement un degr fini de prcision.
Lirrgularit. Ordre cach comprenant un nombre infini de modles priodiques in-
stables.
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 11
La possibilit de dynamique chaotique a t dcouverte dans de nombreux diffrents sys-
tmes dynamiques et plusieurs applications du chaos dans lengineering o les modes chao-
tiques peuvent paratre quelque fois comme nuisibles o lon doit le contrler ou le rduire et
des classes entires de problmes de contrle qui sont dimportance pratique sont apparus, et la
combinaison de la thorie et le contrle du chaos ajoute un sens paradoxal et un intrt immense
au sujet.
Les problmes du chaos et du contrle du chaos ont fait lobjet des tudes intenses durant les
deux dernires dcennies. Le terme contrle du chaos est principalement utilis pour dsigner
le domaine dtude :
incluant la thorie du contrle et la thorie des systmes dynamiques,
tudiant les mthodes de contrle des systmes dterministes prsentant un comporte-
ment chaotique non rgulier [16].
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non li-
naires
La section suivante donne des notions prliminaires sur les dynamiques du comportement
chaotique, les systmes chaotiques reprsentent une classe des modles indterministes diff-
rents des modles stochastiques. Alors quil suffit de connatre ltat courant du modle dter-
ministe, les trajectoires futures sont prdictives pour une longue priode arbitraire, le modle
stochastique ne peut pas faire une prvision prcise, dune manire gnrale, et pour une petite
priode arbitraire, lerreur de prdiction pour un modle chaotique croit exponentiellement et
par consquent la prvision ne peut se faire que sur une priode limit en temps dfinie par une
erreur de prvision admissible, le processus dans les modles chaotiques semblait des oscilla-
tions non rgulires variant en amplitude et en frquence.
Avant le 19ime sicle, les quations diffrentielles linaires taient les principales modles
mathmatiques pour les oscillations des systmes mcaniques et lectriques et dautres, la fin
de ce sicle, il est devenu clair que les modles linaires ne peuvent pas dcrire adquatement
les nouveaux processus et phnomnes physiques, de nouveaux fondements mathmatiques ont
apparus, tels que la thorie des oscillations non linaires et plus principalement ltude du cycle
limite stable. Mme que les oscillations complexes comme la relaxation, pouvait tre dcrite
par un simple modle non linaire dpendant des conditions initiales "systmes avec plusieurs
cycles limites", les modles des oscillations linaires et non linaires satisfaisaient normment
les besoins des chercheurs pour plusieurs dcennies. Il a t admis que ces modles non li-
-
12Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
naires, pouvaient dcrire tout types doscillations et cette conviction tait supporte par des
fondements mathmatiques, telle que le thorme de Poincar -Bendixson qui affirmait que les
points dquilibres et les cycles limites taient les seules type possible des tats limites stables
dans les systmes continus du second ordre, cependant au milieu du sicle dernier, quelques
mathmaticiens tablissaient que se ntait pas le cas pour les systmes du troisime ordre, qui
prsentaient des comportements plus complexes comme des oscillations non priodiques limi-
ts [16].
En 1963, le physicien E. Lorenz rvolutionnait le monde et dmontrait la nature qualitative
de latmosphre turbulent, qui obissait aux quations diffrentielles partielles complexes de
Navier-Stokes et le reprsentait par un simple modle non linaire du troisime ordre appel
plus tard les quations de Lorenz :x = d (x y)y = x y r x yz = x y b z
(1.1)
Avec x, y, z < sont les variables des tats dentres et d, r, b sont les paramtres de contrle dusystme. Pour des valeur d = 10, r = 97, b = 23 . Les solutions du systme de Lorenz semblaient
des oscillations non priodiques et les trajectoires dans lespace de phase approchaient des
ensembles limites appels attracteurs caractriss par une forme trange.
Lintention des physiciens et des mathmaticiens, et plus tard des ingnieurs, a t attire
pour ce modle par les travaux de D. Ruelle et F. Takens qui appelaient pour la premire fois at-
tracteurs "trange" et aussi par les travaux de Li et Yorke qui introduisaient le terme chaos pour
dsigner le phnomne non rgulier dans les systmes dterministes, notant que les fondements
mathmatiques apparus pour tudier le phnomne chaotique sont mis ds 1960-1970. Durant
ce temps, le comportement chaotique a t dcouvert dans plusieurs systmes mcaniques, la-
sers, physiques, chimiques, biologiques et mdicales, circuits lectroniques et dans beaucoup
dautres.
2.1 Concepts mathmatiques et dfinitions
Les nouvelles mthodes analytiques et numriques dveloppes pour les systmes, dmon-
traient que le chaos nest quun type exceptionnel de comportement des systmes non linaires,
grossirement parler du comportement chaotique survenait toute fois
que les trajectoires des systmes sont globalement bornes et localement instables, dans
les systmes chaotiques, une petite divergence initiale et arbitraire des trajectoires ne reste
pas insignifiante mais croit exponentiellement.
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 13
Le spectre de frquence des trajectoires chaotiques est continu.
Dans plusieurs cas tels que les oscillations non rgulires et non priodiques reprsentaient
mieux le processus dans les systmes physiques. Il faut noter quen pratique, il est impossible
de distinguer loeil le processus chaotique du processus priodique ou quasi priodique. La
terminologie dans le domaine des modles chaotiques nest pas encore rsolu, et il ya plusieurs
diffrentes dfinitions des systmes chaotiques dont on prsente la plus simple.
Considrons le systme dynamique continu dans le temps suivant :x = F(x)
y = h(x),
x(t0) = x0
(1.2)
Ou : x = x(t)
-
14Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
Fig. 1.1 Evolution dans le temps pour deux conditions initiales trs proches.
Il y a dautres dfinitions de lattracteur chaotique et le chaos. Par exemple, la dfinition
de lattracteur chaotique qui souvent inclut des exigences supplmentaires telles que lexistence
des trajectoires ou une famille de trajectoires priodiques. La notion dattracteur chaotique con-
cide souvent avec celui de lattracteur trange introduite en 1971 par Ruelle et Takens comme
un ensemble accessible et nomm plus tard un ensemble fractal.
La preuve stricte de la chaoticit dun systme est difficile mme si la dfinition la plus simple
est utilise. Pour quelques-uns universellement reconnu comme des systmes chaotiques tels
que le systme de Lorenz et les systmes de Henon pour des valeurs standard des paramtres,
les preuves de chaoticit sont maladroites, mme si en, bien quil y ait des dmonstrations
numriques et exprimentales de ce fait. Par consquent, la simulation numrique et lestimation
de plusieurs caractristiques reste la mthode principale dtudier les systmes chaotiques.
2.2 Exposant de Lyapunov
Pour caractriser un systme chaotique, il faut faire appel ce quon appelle lexposant
de Lyapunov. Pour estimer lexposant de Lyapunov, on a recours une simulation numrique
simple. On laisse voluer le systme partir de deux conditions initiales diffrentes mais trs
proches. On obtient ainsi deux volutions diffrentes et mme trs diffrentes terme car le
systme est chaotique (donc, sensible aux conditions initiales). Lexposant de Lyapunov rend
compte de lvolution de la distance euclidienne entre les deux volutions induites par des
conditions initiales diffrentes.
Dfinition 2.4 Un systme chaotique est un systme dont lexposant de Lyapunov est stricte-ment positif.
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2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 15
On considre un systme, soient X0 et Y0 deux conditions initiales pour ce systme. On note X
et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t) reprsentent respectivement ltat du systme
linstant t et telles que X(0) = X0 et Y(0) = Y0. On note d la distance euclidinne dfinie
comme suit :
d :
-
16Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
T = est la temprature rapporte celle du fluide sans la convection.
Ra = est le nombre de Rayleigh. Il dpend des proprits du fluide, de la distance entre les
plaques et de la diffrence de temprature entre les plaques.
Pour Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28. Ces valeurs impliquent un comportement chaotique. n est
une composante de vitesse et Z est une variable issue des grandeurs physiques voques dans
les quations.
Le trac en chelle logarithmique montre bien que la distance croit de manire exponentielle,
Fig. 1.3 Attracteur de Lorenz Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28.
Fig. 1.4 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Lorenz.
du fait de la sensibilit aux conditions initiales. On peut lire la valeur de la pente, on estime
lexposant de Lyapunov 0.8.
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 17
Attracteur de Rssler
Propos par lAllemand Otto Rossler, ce systme est li ltude de la mcanique des
fluides, il dcoule des quations de Navier Stokes. Les quations de ce systme ont t d-
couvertes la suite des travaux en cintique chimique. Les quations de ce systme sont les
suivantes : X = (Y + Z)Y = X + a Y
Z = b + Z (X c)(1.4)
a, b et c sont des constantes relles. Pour : a = 0.398, b = 2 et c = 4. On est alors en prsence
dun systme chaotique.
Lexposant de Lyapunov vaut ici 0.09.
Fig. 1.5 Attracteur de Rssler a = 0.398, b = 2 et c = 4.
Fig. 1.6 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Rssler.
-
18Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
Pendule de Moon
Le pendule de Moon est un systme physique. Il est constitu dun pendule (avec une boule
mtallique son extrmit) accroch une potence lgrement flexible. De plus, le pendule
est plac entre deux aimants situs gale distance de la boule lorsque celle-ci et la potence
sont au repos. La potence est ensuite excite laide dun mouvement oscillatoire harmonique
damplitude constante. Stimul, le pendule se met en mouvement et les forces magntiques dues
aux aimants. Le mouvement est alors chaotique.
Plusieurs oscillations chaotiques peuvent tre produites en introduisant dans les oscillateurs
non linaires, un signal harmonique par exemple, en substituant la fonction sinusodale
z(t) = a cos(0t) droite
1. De lquation de Van der Pol y + (y2 1) y + 2 y = 0.2. De Duffing y + p, y q y + q0 y3 = 0.3. Et le systme auto oscillant avec un relais y + p y + q y signe(y) = 0.
Pour quelques valeurs dexcitation de frquence et damplitude de la fonction sinusoidale
z(t), le cycle limite est induit et les oscillations dans les systmes non linaires deviennent chao-
tiques.
y est la position du pendule. est la masse de la boule mtallique, a est lamplitude de lexci-
tation et w est la pulsation de cette excitation. Classiquement, on prend = 0.25, a = 0.3 et
w0 = 1.
Fig. 1.7 Partie de lattracteur de Moon. = 0.25, a = 0.3 et w0 = 1.
Lattracteur de Moon est nettement plus complexe que les autres attracteurs prsents au
dessus. On ne reprsente quune partie de cet attracteur car on ne pourrait pas distinguer les
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 19
Fig. 1.8 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Moon.
trajectoires dans le cas contraire, on verrait une sorte de pelote de laine. Cet attracteur est plus
tendu que les autres attracteurs. On trouve un exposant de Lyapunov de 0.32.
Pour le temps discret, les exemples de systmes chaotiques existent pour tout dimensionne-
ment de ltat du systme, mme pour n = 1.
Attracteur de Hnon
Le systme de Hnon est un modle propos en 1976 par le mathmaticien Michel Hnon,
il est dfini par les quations aux diffrences suivantes : xk+1 = 1 x2k + ykyk+1 = xk (1.5)Le comportement chaotique de la solution de (1.5) est observ, pour la valeurs des paramtres
= 1.4, = 0.3 et on prendra pour conditions initiales (X0,Y0) = (1, 0). Ces valeurs furent
proposes par Michel Hnon et permettent dobserver un comportement chaotique.
On peut lire la valeur de la pente, ici, on trouve un exposant de Lyapunov dune valeur de 0.46.
Le trac en chelle logarithmique de lexposant de Lyapunov pour les diffrents attracteurs
montre bien que la distance croit de manire exponentielle du fait de la sensibilit aux conditions
initiales. On peut facilement lire la valeur de la pente qui donne la valeur de lexposant de
Lyapunov.
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20Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
Fig. 1.9 Attracteur de Hnon, avec a = 1.4 et b = 0.3.
Fig. 1.10 Dtermination de lexposant de Lyapunov pour lattracteur de Hnon.
Ainsi, les systmes chaotiques semblent voluer de manire alatoire. En tout cas, on ne peut
prvoir facilement quelle sera leur volution dans le temps. Notons que les systmes chaotiques
obissent tout de mme aux lois de la physique.
De plus la carte de Poincare a trouv un usage tendu dans les tudes de processus chaotiques
et les solutions des problmes de leur contrle.
2.4 La carte de Poincare
Henri Poincar a apport une contribution trs utile pour ltude des systmes chaotiques.
Parmi ces contributions on trouve les sections de Poincar. Faire une section de Poincar re-
vient couper la trajectoire dans lespace des phases, afin dtudier les intersections de cette
trajectoire avec, par exemple en dimension trois, un plan. On passe alors dun systme dyna-
mique temps continu un systme dynamique temps discret. Les mathmaticiens ont bien
sr dmontr que les proprits du systme sont conserves aprs la ralisation dune section
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 21
de Poincar judicieusement choisie, en particulier, un cycle limite simple du systme continu
est remplac par un point fixe de lapplication de Poincar
La carte de Poincare est introduite sur la supposition de lexistence dune solution priodique
x(t) pour le systme (4.79), dbutant en un point initial x0, c..d. x(t + T ) = x(t) est satisfaite
pour tout t t0 et x0(t) = x0.Si M0 est un point dune trajectoire priodique, la section de Poincar est un plan perpendicu-
laire la trajectoire passant par M0. Pour chaque point P de la section assez proche de M0, la
trajectoire issue de P aprs avoir effectu une rvolution rencontrera la section en un nouveau
point P1. On dfinit ainsi une application
T : Cest lapplication de premier retour (ou encore application de Poincar). Pour chaque point P
de , T (P) est le point de o la trajectoire issue P revient croiser . Lapplication T permet de
transformer le systme continu (qui volue avec le temps) en un systme discret qui correspond
aux premiers instants o la trajectoire recoupe le plan .
Autrement dit
Soit une surface transversale lisse de la trajectoire au point M0 qui obit lquation
(x0) 0Ou :
-
22Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
Une mthode propose dans [12] est de tracer une trajectoire par exemple (x; dx/dt) non
pas en continu mais intervalle de temps rgulier.
une autre mthode consiste en des coupes faites par un plan passant par le point fixe et
parallle un axe. Ce choix est arbitraire, et presque nimporte quelle surface ou plus
gnralement une varit de dimension n 1 permet de dterminer une section de Poin-car. La seule contrainte respecter est que la trajectoire traverse la surface et ny soit
pas tangente.
Une autre faon de raliser une section de Poincar, toute aussi intressante, consiste a
regarder la suite des maximums de lune des grandeurs du systme (la surface dquation
x = 0).
Fig. 1.11 Section de Poincar
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 23
Cette carte est largement utilise pour ltude et le contrle des processus chaotiques.
En ce qui concerne ltude du comportement chaotique, La section de Poincar permet de vi-
sualiser sil y a chaos ou non et les zones de stabilit, daprs Poincar qui suggrait dtudier
des intersections de trajectoires multiples avec un plan fictif judicieusement plac, si toutes les
trajectoires restaient dans un tore, la trajectoire est rgulire et prdictible. Si toute la section de
Poincar est perce de trajectoires, celle-ci sera chaotique et trs instable dans le temps. Prati-
quement, ces zones stables sont lies aux orbites bien rguliers et aux phnomnes de rsonance.
Pour le contrle des processus chaotiques, en considrant un point de la section de Poincar
pour une valeur du paramtre de contrle, et en supposant que la condition initiale pour le
systme soit trs proche de ce point, lors de son volution, le systme ne se stabilise jamais
de lui-mme autour du point. Ceci signifie qu chaque passage dans la section de Poincar, le
point courant est de plus en plus loign du point considr. Pour contrler le systme, on se
propose de lui imposer de rester autour du point, en modifiant lgrement la valeur du paramtre
de contrle. En introduisant des perturbations sur le paramtre, on modifie le comportement
du systme de faon ramener les valeurs propres, rgissant lvolution dans la section de
Poincar, dans le cercle unit.
On prsente des sections de poincar pour quelques attracteurs
(a) Section de Poincar de lattracteur de
Moon
(b) Section de Poincar de lattracteur de he-
non
Fig. 1.12 Section de Poincar des attracteurs intervalle de temps rgulier
-
24Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
Les notions (quation non linaire, reprsentation dans lespace des phases, instabilit du
systme traduisant la sensibilit aux conditions initiales, notion dattracteur et la notion de la
carte de poincar) vues prcdemment permettent de montrer si les phnomnes tudis sont
chaotiques ou non . Ces notions font donc partie du domaine thorique. (elles reposent sur
des quations). Exprimentalement, nous ne disposons le plus souvent que dune seule variable
parmi les diffrentes variables dtat qui caractrisent entirement le systme. La caractrisation
du comportement dynamique du systme se fait alors par le biais des divers outils classiques
suivants :
2.5 Diagramme de Bifurcation
La gnration dun systme chaotique nest pas immdiate. En effet, le systme nvolue
pas dun tat inexistant un tat chaotique sans passer par des transitions. Considrons que la
dynamique tudie dpende dun paramtre de contrle. En variant ce paramtre, le systme
peut passer dun tat stationnaire un tat priodique, puis au-del dun certain seuil, suivre un
scnario de transition et devenir chaotique.
Dans les quations de Lorenz et les autres attracteurs, la rsolution du systme napporte pas
toujours le chaos. Ce rgime napparat que pour certaines valeurs des paramtres. Pour ca-
ractriser le chaos, il peut tre intressant dtudier lapparition du chaos, ce quon appelle le
scnario vers le chaos).
On distingue trois scnarios thoriques dvolution vers le chaos. Toutes ces volutions ont per-
mis de classer certains phnomnes exprimentaux comme chaotiques dterministes. On obtient
lapparition du chaos en modifiant la valeur dun paramtre, que ce soit de manire thorique
ou exprimentale.
Le doublement de priode
Ce scnario a t dcouvert en mme temps par Mitchell Feigenbaum et par les chercheurs
franais Pierre Coullet et Charles Tresser. Laugmentation dun paramtre provoque, pour un
systme priodique, lapparition dun doublement de sa priode. La priode est ensuite multi-
plie par 4, 8, 16. Dun doublement au suivant, laugmentation du paramtre est de plus en plus
faible, et, partir dune certaine valeur, le chaos apparat, lorsque la priode devient infinie, les
mouvements deviennent chaotiques. Laugmentation du paramtre conduit ensuite la rappa-
rition de rgimes priodiques intercals dans des zones chaotiques.
Ce scnario peut tre observ dans un grand nombre dexpriences comme un robinet qui fuit,
ltude doscillateurs forcs, ou encore lapparition de la turbulence dans les fluides.
-
2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 25
Lintermittence
Ce scnario a t dcrit par Yves Pomeau. Lintermittence se caractrise plutt par un
mouvement priodique stable entrecoup par des bouffes chaotiques. Ces perturbations ap-
paraissent de manire irrgulire. Laugmentation dun paramtre produit laugmentation de la
frquence des perturbations, puis le chaos domine le comportement du systme.
Ce scnario a t observ dans des expriences sur la convection des fluides et dans des ractions
chimiques.
La quasi priodicit
Le troisime scnario fait intervenir, pour un systme priodique, lapparition dune deuxime
priode dont le rapport avec la premire nest pas rationnel. Ce rgime est appel quasi prio-
dique. Il peut, de lui-mme o avec lapparition dune troisime frquence gigantesque, donner
un rgime chaotique. Ce scnario intervient quand on considre deux oscillateurs fortement
coupls. Les variations du champ magntique terrestre, le droulement des sismes pourrait
tre expliqu par un modle de ce genre. On le retrouve aussi dans le cas dun pendule qui
serait stimul verticalement.
Une manire plus rapide et plus visuelle de reprsenter ces scnarios de transition vers le chaos
est le diagramme de bifurcations. Ainsi, on peut observer les changements du comportement
dynamique du systme, ou bifurcations, en fonction du paramtre dit de bifurcation. Une bifur-
cation correspond une sorte de changement dtat du systme, plus exactement un changement
de stabilit du rgime dynamique lorsquun des paramtres du systme varie.
Pour le systme de Hnon le paramtre a revt une importance particulire. Pour certaines
valeurs de ce paramtre, le systme est chaotique, pour dautres, il ne lest pas. En tudiant lin-
fluence de a sur le caractre chaotique ou non du systme, on met en vidence un phnomne
caractristique des systmes chaotiques, le doublement de priode.
Dans le cas gnral, le doublement de priode se traduit par le doublement du nombre de tra-
jectoires observes dans lespace des phases. Les doublements de priode sont ensuite observs
de plus en plus frquemment mesure que a augmente. Pour a = 1.4, on ne distingue plus les
cycles, le systme prsente un caractre chaotique.
Examinons ce quune bifurcation semble dans le plan de phase. Pour cela, nous utiliserons le
systme de Lorenz donn au dessus, pour commencer, utilisons la condition initiale (13,12, 52)et fixant = 16, = 4 avec = 5 et une gamme du temps de 0 t 40. En Examinant les-pace de phase en traant des valeurs x en fonction des valeurs de z, la solution obtenue est un
tat dquilibre (point dquilibre). Maintenant par augmentation = 15, on observe un autre
tat dquilibre (un cycle limite).
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26Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
Fig. 1.13 Diagramme de bifurcation pour lattracteur de Hnon
(a) Portrait de phase pour = 5 (b) Portrait de phase pour = 15
Fig. 1.14 Portrait de phase pour le systme de Lorenz (tat dquilibre)
En augmentant encore = 25, puis = 35. Une bifurcation a caus la solution de passer
dun point fixe stable un attracteur chaotique( soit la condition initiale lintrieur de lattrac-
teur ou non). Cest le systme clbre souvent nomm papillon de Lorenz, limage iconique de
la thorie du chaos. Dans cette section on a vu que plusieurs dfinitions mathmatiques du chaos
sont connues mais toutes exprimaient la caractristique ferme des systmes dynamique concer-
nant la dpendance sensible aux conditions initiales, qui se rfre aux trajectoires commenant
partir de deux conditions initiales distinctes et proches deviennent non corrles [16]. la simu-
lation numrique et lestimation de quelques caractristiques telles que lexposant de Lyapunov,
la carte de Poincar et le diagramme de bifurcation restent les mthodes principales dtudier
les systmes chaotiques. La variation de la valeur de certains paramtres de contrle dun sys-
tme dynamique peut changer le comportement dynamique dun systme non linaire et devenir
chaotique, comportement que quelque fois nuisible o il faut liminer et stabiliser le systme, et
par fois utile o il faut le crer et le garder et un nombre de problmes de contrle de processus
chaotiques est apparu.
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2 Comportement chaotique des systmes dynamiques non linaires 27
(a) Portrait de phase pour = 25 (b) Portrait de phase pour = 35
Fig. 1.15 Portrait de phase pour le systme de Lorenz(tat chaotique)
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28Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
3 Problmes de contrle des processus chaotiques
Les problmes du contrle du chaos attiraient lattention de plusieurs chercheurs et ing-
nieurs depuis le dbut de lanne 1990, et plusieurs centaines de publications avaient apparues
durant les deux dernires dcennies, tant surpris par la dcouverte de J.A.Yorke et ses colla-
borateurs [17] en 1990, concernant la possibilit de variation des caractristiques du systme
dynamique pour une petite variation des paramtres du systme, en utilisant le modle discret
de M. Hnon, ils dmontraient quil suffisait une petite variation dans les paramtres du sys-
tme pouvait transformer les trajectoires chaotiques en une priodique et inversement, ceci a
t confirm exprimentalement par dautres publications [18] dans une varit de domaine
dapplication tel que, les lasers, les systmes de communications, systmes chimiques, techno-
logiques et mdicales.
La conclusion paradoxale que le chaos est imprdictible mais contrlable a fait lobjet dun
intrt immense des chercheurs et un avalanche de publications en utilisant toujours des mo-
dles mathmatiques, confirmant la possibilit de variation substantielle des caractristiques
pour une varit des systmes chaotiques naturels et artificiels par une petite variation relative
externe dans ses paramtres [19]- [22].
La formulation mathmatique des problmes de contrles des processus chaotiques les plus
clbres sont prcds par la prsentation des modles de base des systmes chaotiques qui sont
souvent utiliss. Les modles mathmatiques les plus connus rencontrs dans la littrature pour
le contrle de chaos sont reprsents par des systmes des quations diffrentielles ordinaires
ou les quations dtat :
x = F(x, u) (1.6)
Ou x = x(t) Est le vecteur des variables dtat de dimension n, u = u(t) est le vecteur des entres
(les commandes) de dimension m et F(x, u) est le vecteur fonction qui est suppos continu.
Dans la prsence de perturbations externes, le modle non stationnaire est dfini par :
x = F(x, u, t) (1.7)
Par consquent, il est clair que le comportement dynamique dun systme non linaire peut
tre chang en changeant certaines valeurs de ces paramtres, condition que ces dernires
soient accessibles pour lajustement. De ce fait, le contrle du chaos implique lextraction de
mouvements priodiques dsirs en dehors des zones chaotiques, par lapplication de petites
perturbations judicieusement choisies. La suppression de la dynamique chaotique dans un sys-
tme dynamique est le seul but pour un problme de contrle, Dans beaucoup de cas, un modle
-
3 Problmes de contrle des processus chaotiques 29
de contrle affine simple (1.8) peut tre utilis. x = f (x) + g(x) uy(t) = h(x(t)) (1.8)La sortie mesure du systme est note par y(t). Elle peut tre dfini comme une fonction de
ltat courant du systme. Maintenant, nous procdons formuler les problmes de contrle de
processus chaotiques.
3.1 Les problmes de stabilisation
Les problmes de stabilisation de la solution priodique instable (orbite) surviennent dans la
suppression de bruit ou limination des harmoniques dans les systmes de communication, ap-
pareils lectroniques, et ainsi de suite, Ces problmes sont distingus pour le fait que le systme
contrl est fortement oscillatoire ,c..d. les valeurs propres de la matrice du systme linaris
sont proches de laxe imaginaire, ces vibrations peuvent tre rgulires ou quasi rgulires ou
mme chaotique [23], [24], [25], [26] .
Les problmes de suppression des oscillations chaotiques ou les rduire aux oscillations rgu-
lires ou les supprimer compltement, [27], [30] peut tre formalis comme suit :
Si x?(t) est une trajectoire oscillatoire priodique du systme (1.6) sous la condition initiale
x?(0) tel que,
x?(t + T ) = x?(t) (1.9)
Pour stabiliser ce mouvement on doit ramener la solution x(t) du systme (1.6) vers x?(t) c..d. :
limt(x(t) x?(t)) = 0 (1.10)
O conduire la sortie du systme y(t) vers une fonction donne y?(t) :
limt(y(t) y?(t)) = 0 (1.11)
Pour tout solution x(t) de systme (1.6) sous ltat initial x0 , o est un ensemble desconditions initiales donn, le problme se rduit dterminer une fonction de contrle soit
comme :
une commande en boucle ouverte : u(t) = U(x0, t).
O une commande contre raction : u(t) = U(x(t)).
O une commande de sortie en contre raction u(t) = U(y(t)).
qui satisfaisant lobjectif du contrle.
Cette formulation du problme de stabilisation de solution priodique est similaire au pro-
blme de poursuite de la thorique de contrle conventionnelle. Nanmoins, il existe une dis-
tinction fondamentale est que pour contrler les processus chaotiques, on a besoin datteindre
-
30Les systmes dynamiques non linaires chaotiques comportement et mthodes de
contrle
lobjectif avec un niveau de contrle minimale, la rsolution de ce problme nest pas vidente
cause de linstabilit des trajectoires chaotique x?(t) [17].
La stabilisation dun point dquilibre instable est un cas spcial. c..d. F(x?0, 0) = 0 pour
u(t) = 0, alors le systme (1.6) admet un point dquilibre x?0 qui doit tre stabilis toujours
en choisissant une loi de commande approprie. Ce problme est caractris par une exigence
supplmentaire sur le plus petit niveau de contrle [31].
3.2 Les problmes du contrle dexcitation ou de gnration doscilla-tions chaotiques
La deuxime classe inclut les problmes du contrle dexcitation ou de gnration doscil-
lations chaotiques. Ces problmes sont aussi appels la chaotisation ou anti contrle. Ils sur-
viennent o le mouvement chaotique est le comportement dsir du systme.
La forme de lobjectif de contrle pourrait tre reprsent comme (1.11), mais ici la trajectoire
objectif x?(t) nest plus priodique. De plus, il peut tre exig quau lieu du mouvement le long
de la trajectoire donn, le processus de contrle satisfait un certain critre de chaotisation.
Par exemple, tant donne une fonction objective scalaire G(x), et le but de contrle peut tre
formul comme :
limtG(x(t)) = G? Ou limtG(x(t)) G? (1.12)
Pour les problmes du chaotisation, le plus grand exposant de Lyapunov, qui est un critre
principal mesurant la dispersion des trajectoires initialement proches caractrisant linstabilit
locale , est habituellement pris comme une fonction dobjective . Lnergie totale mcanique ou
lectrique des oscillations est prise quelquefois