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Communications numériques:
conversion A/N, PAM, PWM et PCM
ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunications
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Conversion analogique à numérique
• MP3, CDs, radio mobiles 2G, 3G et 4G, satellite, télévision numérique.– La transmission de signaux audio et vidéo en format
numérique.– Signaux numériques plus performants en presence
du bruit et interference comparativement aux signaux analogique.
– Conversion A/N: Échantillonnage.
sourceÉchant-illonneur
m(t) ms(t) Quantif-icateur
Modulateur
démodulatorFiltre passebas
s(t)
s(t)ms(t)m(t)
mQ(t)
canal
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Théorie d’échantillonnage
• Prenons un signal analogique m(t) avec une largeur de bande Bm.
– Le signal échantillonné est ms(t):
• où Ts = 1/fs est l’intervalle d’échantillonnage et fs est le taux d’échantillonnage. La transformée de Fourier du signal ms(t) est:
n
sn
sss nTttmnTtnTmtm )()()()()(
nss nTtfMfM )(*)()( F
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Transformée de Fourier d’un signal échantillonné
• Le signal est périodique avec période Ts.
– Représentons ce signal par sa série de Fourier.
n
snTt )(
n
tnfj
sn
tnfjn
ns
ss eT
eXnTt 22 1)(
s
s
s
s
s T
T
T
tnfjTn dtetX 1
2/
2/
21 )(
où
donc
n
ssn
s nffT
nTt )(1
)( F et…
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n
ss
s nffMT
fM )(1
)(
X(f)
-Bx Bx f
(a)
Xs(f)
-Bx fs-Bx Bx fs fs+Bx f
A
A/Ts
……
(b)Xs(f)
-Bx Bx fs-Bx fs fs+Bx f
A/Ts
……
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Reconstruction du signal m(t) à partir du signal ms(t)
• Ms(f) est démontré pour fs < 2Bm (b) et fs > 2Bm (c).
• Nous pouvons obtenir M(f) de la transformée Ms(f) en utilisant un filtre passe bas si Ms(f) est donné par (c).
• Alors, afin de reconstruire le signal m(t) du signal ms(t), il faut que fs ≥ 2Bm. La borne inférieure fs = 2Bm est le taux de Nyquist.
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Train d’impulsions périodique
• Le signal n’est pas un signal pratique. • En actualité, un signal est échantillonné en multipliant par:
• Le signal p(t) est
• et
• Alors Bp = Bg.
n
snTttx )()(
tt Ts Ts+ t 2Ts 2Ts+t
p(t)
ns
ns nTttgnTtgtp )(*)()()(
ns
s
nffT
fGfP )(
)()(
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Exemple
• Dans la figure precedante, g(t) = P[(t-t/2)/t], alors G(f) = tsinc(ft)e-jpft.
• Donc
ns
nfjs
s
ns
fj
s
nffenfT
nffefT
fP
s )(sinc
)(sinc)(
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Modulation par impulsions
• On peut transmettre la valeurs des échantillons en utilisant des impulsions.
Modulation d’impulsions en amplitudePulse amplitude modulation (PAM)
Modulation d’impulsions en duréePulse width modulation (PWM)
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Modulation par impulsions codée (PCM)
• Nous voulons representé chaque échantillon du signal ms(t) par un mot de code de longueur N bits.
• En supposant que –mp < m(t) <+mp un échantillon ms(nTs) peut assumer un nombre infini de valeurs entre ce maximum et minimum.
• Un mot de code de longueur N peut distinguer 2N valeurs différentes.
• Il faut quantifier (arrondir) chaque échantillon avant d’encoder.
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Relation entré sortie d’un quantificateur uniforme
mpD 2D 3D
-mp -3 D -2D -D
(7/2)D(5/2)D(3/2)D D/2
ms
mQ
000
100
001
101
011
111
010
110
010101001000011 = (7/2)D, -(3/2)D, (3/2)D, D, (5/2)D.
L = 2N niveaux
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Bruit de quantification
• mQ(nTs) = ms(nTs)+eQ(nTs).
• eQ(nTs) = mQ(nTs) - ms(nTs)
• -D/2 < eQ(nTs) < D/2• Quand il y a plusieurs niveaux de quantification, on peut
supposer que le bruit est uniformément distribué entre –D/2 et D/2.
• fe(x) = 1/D pour –D/2 < x < D/2. (et 0 autrement).
• La puissance d’un signal aléatoire est E[eQ2(nTs)] =
D2/12.• LD = 2mp. (L = 2N). Donc D = 2mp/L. La puissance du
bruit de quantification est D2/12 = mp2/3L2.
• Le rapport signal à bruit de quantification est SQNR = 3L2Pm/mp
2.
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SQNR
• SQNR est proportionnelle à la puissance Pm.• Pm depend de l’amplitude – volume. Il y a une grande
variation entre les échantillons, autour de 40dB.• Les échantillons autour de 0 sont plus probables que les
échantillons aux extremités.
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Pdf d’un signal de voix
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Puissance du bruit de quantification
L
iis
isQ RnTmPnTeE
1
22 )(
12)(
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Exemple
• Quantification uniforme comparée à la quantification nonuniforme
m
pM(m)
2-2
1/2
E[m] = 0E[m2] = 2/3
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Quantificateur uniforme de 4 bits (16 niveaux)
D = ¼. E[eQ2(Ts)] = 1/(16×12) = 1/192. SQNR = 128 = 21 dB.
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Quantificateur nonuniforme à 16 niveaux.
0.2 0.41 0.63 0.86 1.1 1.35 1.62 2
1.81
1.485
1.225
0.98
0.745
0.52
0.305
0.1
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• P(0<m<0.2) = 0.095, D = 0.2 (same for P(-0.2<m<0))• P(0.2<m<0.41) = 0.089 , D = 0.21• P(0.41<m<0.63)=0.081, D = 0.22• P(0.63<m<0.86) = 0.07 , D = 0.23• P(0.86<m<1.1)= 0.61 , D = 0.24• P(1.1<m<1.35)=0.048 , D = 0.25• P(1.35<m<1.62)=0.035 , D = 0.27• P(1.62<m<2)=0.018 , D = 0.28
E[eQ2(Ts)] = 2×[0.095×0.22/12+ 0.089×0.212/12+ 0.081×0.222/12+…
= 1/232.3. SQNR = 154.8 = 21.9 dB
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Compresseur-expanseur
• “Compresser – Expander” = “compander”
UQ. …C C-1
Convertit un quantificateur uniforme en quantificateur non-uniforme.
![Page 21: Communications numériques: conversion A/N, PAM, PWM et PCM ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunications](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070309/551d9d91497959293b8c7f8d/html5/thumbnails/21.jpg)
Réduire la puissance du bruit de quantification / Réduire taux de données• On peut réduire la puissance du bruit de quantification
en réduisant D.– Plus de niveaux
• N augmente• Taux de données augmente
– Réduire la gamme dynamique• PCM différentielle• Pour meme N, on reduit D, ou pour meme D on
peut reduire N.
Lecture 6
![Page 22: Communications numériques: conversion A/N, PAM, PWM et PCM ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunications](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070309/551d9d91497959293b8c7f8d/html5/thumbnails/22.jpg)
PCM différentielle
• c(nTs) = m(nTs) – mQ((n-1)Ts).
• On transmet cQ(nTs).
• Si on échantillonne au taux de Nyquist, m(nTs) et m((n-1)Ts) sont corrélés, ce qui veut dire que la gamme dynamique de m(nTs) et m((n-1)Ts) est inférieure que celle de X(n). mQ((n-1)Ts)≈m((n-1)Ts).
Lecture 6
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Lecture 6
![Page 24: Communications numériques: conversion A/N, PAM, PWM et PCM ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunications](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070309/551d9d91497959293b8c7f8d/html5/thumbnails/24.jpg)
Autres methodes
• Modulation Delta– Bruit granulaire– Erreur de débordement de pente
• Modulation Delta adaptive.– Afin de corriger pour le bruit granulaire et erreur de
débordement de pente.
Lecture 6