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Como o título indica, este trabalho compõe-se de duas partes. Na primeira parte, são apresentadas as noções de número primo, número composto, números primos entre si, primos gémeos, números perfeitos e divisores próprios. Apresentamos também alguns resultados sobre números primos, como o Teorema de Euclides, o Teorema Fundamental da Álgebra e outros resultados que ainda estão por provar, que são as Conjecturas de Goldbach e dos Primos Gémeos. Ao longo do texto, são dadas a conhecer algumas curiosidades que pretendem alertar para o alcance actual do estudo dos números primos. Também apresentamos alguns tipos de números primos: Números de Mersenne, Números de Fermat e Primos Gaussianos. De entre os métodos de “procura” de números primos, destacamos uma abordagem clássica, o ‘Crivo de Eratóstenes’, e temos ainda os testes de primalidade de Fermat e de Wilson. A Lei Logarítmica de Legendre, a Conjectura de Gauss e o Refinamento de Riemann são as técnicas apresentadas no âmbito da distribuição dos números primos. Fazemos ainda uma breve alusão aos números que são soma de dois quadrados e terminamos a primeira parte com uma aplicação dos números primos, os códigos secretos, onde é descrito e exemplificado o sistema de codificação R.S.A..
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Na segunda parte, vamos falar de fracções e de algumas das suas possíveis aplicações. Inicialmente, introduzimos a noção de dízima infinita periódica e de ciclos de fracções. Dentro dos ciclos das fracções, salientam-se as congruências e as diferentes utilizações que se podem fazer dos mesmos.
São apresentados alguns exemplos, muito interessantes, utilizados por mágicos e cartomantes, com jogos de cartas estabelecendo a ligação entre as fracções e estas actividades místicas.
Fazemos um recuo no tempo, até à antiguidade egípcia, onde eram usadas as fracções unitárias e à Grécia Antiga, na Escola Pitagórica para falar da descoberta da relação existente entre a harmonia da música e as fracções. Continuando a viagem no tempo, chegamos às fracções contínuas, aí veremos como elas se resolvem e o teor da sua importância.
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Um número natural diz-se primo se tiver como divisores apenas a unidade e ele próprio.
Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11,...
O natural 1 não é primo nem composto.
Os naturais que não são primos dizem-se números compostos.
Dois números naturais dizem-se primos entre si se não tiverem divisores comuns com excepção da unidade.
Exemplo: 8 e 9 são primos entre si.
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Euclides (300 a.C.) provou que:
Existem infinitos números primos.
O maior número primo conhecido foi descoberto em 2001:
213466917 – 1
com 4053946 dígitos.
A busca de novos números primos continua…
Desde tempos remotos, os números primos suscitaram muito interesse entre os matemáticos, pelo facto de não haver uma sequência lógica no seu conjunto.
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Teorema Fundamental da Álgebra: Qualquer número natural se exprime de forma única ( a menos da ordem) como produto de factores primos.
Foi também provado por Gauss o
Este resultado garante-nos a existência e unicidade da decomposição canónica de um natural em factores primos.
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Os números primos têm um comportamento muito irregular, pelo que as questões mais frequentes entre os matemáticos são:
Dado um natural, como saber se ele é primo ou não?
Dados dois naturais distintos, como saber quantos primos existem entre eles?
Para responder a esta questão, serão apresentados mais adiante os testes de primalidade.
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Para esta pergunta, temos uma resposta muito simples, que foi deixada por Eratóstenes, um matemático, filósofo, poeta e bibliotecário de Alexandria em 200 a.C.. Ele encontrou uma forma muito simples de saber quais os primos que estão entre dois números distintos. O seu algoritmo ficou conhecido por “Crivo de Eratóstenes”.
Começa-se por escrever uma tabela, como por exemplo a seguinte de 2 a 50:
Vamos então ver como funciona este método.
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2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Fixa-se o primeiro número primo, que é o 2 e eliminam-se todos os seus múltiplos, excepto o próprio 2.
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2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Fixa-se o número primo que aparece a seguir ao 2, que é o 3 e eliminam-se todos os seus múltiplos, excepto o próprio 3.
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2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Fixa-se o número primo a seguir ao 3, que é o 5 e eliminam-se todos os seus múltiplos, excepto o próprio 5.
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2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Procede-se do mesmo modo para o 7.
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2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Os números que permanecem na tabela são todos os primos menores que 50.
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Este método pode ser utilizado para qualquer natural n, no entanto, para números naturais muito grandes não é eficiente.
Há ainda a notar que o número 1 não deve ser incluído na tabela, caso contrário ao eliminar os seus múltiplos, eliminavam-se todos os números da tabela.
Seguidamente, são apresentadas algumas noções, não tão básicas como as primeiras, mas mais direccionadas para as relações que se podem estabelecer entre os números primos.
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Dois naturais dizem-se primos gémeos se forem primos e a sua diferença for igual a 2.
Exemplo: 11 e 13, 17 e 19, 269 e 271
Chama-se número perfeito a um número natural que seja igual à soma dos seus divisores próprios.
Os divisores próprios de um natural são todos os seus divisores exceptuando ele próprio.
A título de curiosidade: Os números perfeitos menores que 10000 são: 6, 28, 496, 8128 Os maiores primos gémeos descobertos são
2409110779845 260000 ± 1
que têm 18075 dígitos.
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Os números da forma Mn = 2n - 1 em que n é primo são os números de Mersenne.
O último número de Mersenne descoberto foi
M3021377 = 23021377 - 1
Os primeiros números de Mersenne são M2, M3, M5, M7, M13
Mersenne foi teólogo e matemático francês no séc. XVII.
Euler provou que todos os números perfeitos pares têm a forma de um número de Mersenne. Os números perfeitos ímpares ainda estão por descobrir, sabe-se apenas que até 10300 não existe nenhum.
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Define-se o n-ésimo número de Fermat do seguinte modo:
Fn = 2n + 1, com n uma potência de 2.
Os únicos números de Fermat que se conhecem são:
F0, F1, F2, F3, F4
Fermat foi matemático no início do séc.XVII, colega de Mersenne.
Fermat conjecturou que todo o número desta forma seria um número primo.
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Mas Euler provou que F5 é composto ( F5 = 641×6700417)
Actualmente, o número de Fermat que está em dúvida é F24 que tem 5050446 dígitos.
Relativamente aos primos de Fermat, Gauss provou que se p for um primo de Fermat, pode-se construir com régua e compasso um polígono regular com p lados, usando as regras de Euclides.
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Os inteiros gaussianos são números complexos em que, tanto a parte real como a imaginária são números inteiros.
Primo Gaussiano é um inteiro Gaussiano que só é divisível por ele próprio e por um.
Exemplo: 2 + 3i
Exemplo: 1 + i e 1 - i
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Conjectura de Goldbach:
Qualquer número natural par n 6 pode ser escrito como soma de dois números ímpares.
Conjectura dos primos gémeos:
Existe uma infinidade de primos gémeos.
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Teste de Fermat: Todo o número primo p deve satisfazer
ap-1 1 mod p , qualquer que seja a não divisível por p.
Exemplos:
1) p = 7 (primo), a = 10
107-1 = 106 1 ( mod 7)
2) 212-1 = 211 = 2048 8 ( mod 12) 12 não é primo
Os testes de primalidade servem para verificarmos se um número é ou não primo, sem termos que fazer a sua decomposição em factores primos.
Se um número não satisfizer a congruência então não é primo:
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Teste de Wilson :
p é primo justamente quando (p – 1)! -1 mod p
O teste de Wilson já é uma condição necessária e suficiente de primalidade.
Números de Carmichael : são números que embora compostos, satisfazem o teste de Fermat para muitas bases.
Para números pequenos o teste de Fermat parece conduzir a um processo mais trabalhoso do que fazer os cálculos necessários para obter a sua decomposição em factores primos. No entanto, para números grandes a situação inverte-se.
O teste de Fermat para a primalidade é necessário, mas não é suficiente. Isto é, existem números que satisfazem o teste de Fermat e que não são primos.
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Até 10 há 4 números primos, isto é, 1 em cada 2,5 números é primo.
Até 102 há 25 números primos, isto é, 1 em cada 4,0 números é primo.
Até 103 há 168 números primos, isto é, 1 em cada 6,0 números é primo.
Até 104 há 1229 números primos, isto é, 1 em cada 8,1 números é primo.
Até 105 há 9592 números primos, isto é, 1 em cada 10,4 números é primo.
Até 106 há 78498 números primos, isto é, 1 em cada 12,7 números é primo.
Parece que:
Até 10n, aproximadamente 1 em cada 2,3 n números é primo.
E o que acontecerá no caso geral?
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Lei Logarítmica de Legendre :
Até ao número x, aproximadamente 1 em cada log x é primo,
onde log x é o logaritmo natural de x.
Conjectura de Gauss :
Mais ou menos 1/ln x dos números próximos de x são
primos.
Gauss conjecturou uma pequena modificação para a ideia de Legendre, que se pode expressar nos seguintes termos:
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Estimativa de LegendreEstimativa de Legendre
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Estimativa de GaussEstimativa de Gauss
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Comparação das duas EstimativasComparação das duas Estimativas
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Teorema dos Números Primos : 1
ln
)(lim
x
xx
x
Refinamento de Riemann :
O número de primos até x é aproximadamente
R(x) = Li(x) – 1/2 Li (x1/2) – 1/3 Li (x1/3) – 1/5 Li (x1/5) + 1/6 Li (x1/6) - ...
Ao coeficiente de 1/n Li (x1/n) chama-se número de Möbius, (n).
As conjecturas de Legendre e Gauss só foram provadas quase um século depois (1896), por Hadamard e de la Vallée Poussin, de modo independente um do outro, e constituem o
Em 1859, Riemann deu uma estimativa que, na maioria dos casos, é ainda melhor que as duas anteriores, chamada
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Tabela Comparativa das Conjecturas de Tabela Comparativa das Conjecturas de Legendre, Gauss e RiemannLegendre, Gauss e Riemann
Os valores apresentados estão arredondados ao inteiro mais próximo.
A conjectura de Gauss dá uma estimativa melhor do que a de Legendre e, parece que o refinamento de Riemann é ainda melhor.
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Fermat descobriu que:
Pode escrever-se um número primo, p, como soma de dois quadrados, apenas se p + 1 não for divisível por 4.
A decomposição é então única.
Exemplos :
1) 2, 5, 13, 17, 19,… podem escrever-se como soma de dois quadrados
2 = 12 + 12 , 5 = 22 + 12 , 13 = 32 + 22 , ...
2) 3, 7, 11, 19,… não são somas de dois quadrados, pois
3 + 1= 4 é divisível por 4, 7 + 1 = 8 é divisível por 4,…
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Exemplo : 1000 = 23 53 23 + 1 = 9 não é divisível por 4 53 + 1 =126 não é divisível por 4
1000 é igual à soma de 2 quadrados
Para ver se um número positivo arbitrário, n, é igual á soma de dois quadrados, faz-se a sua decomposição em factores primos n = pa qb rc ... n é igual à soma de dois quadrados apenas quando nenhum dos números pa + 1, qb + 1, rc + 1, ... for divisível por 4.
A representação, neste caso, não é obrigatoriamente única:
1000 = 900 + 100 = 302 + 102
1000 = 676 + 324 = 262 + 182
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A ideia dos códigos secretos perde-se no tempo.
Júlio César codificava as ordens enviadas aos seus generais.
Na guerra da França contra a Espanha, o matemático Francisco Vieta prestou serviços ao rei de França ( rei Henrique IV ) decifrando missivas espanholas. Os espanhóis ficaram tão impressionados com a descoberta de Vieta da cifra-chave que atribuíram o feito a um acto de bruxaria.
Em 1975, surgiu o Sistema R.S.A. ou Sistema de Chave Pública, devido a Rivest, Shamir e Adleman e que sumariamente consiste no seguinte:
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Sistema de codificação R.S.A. ou sistema de chave pública :
O receptor escolhe dois primos p e q ( na ordem dos 100
dígitos cada um)
calcula n = p q
calcula (n) = (p – 1) (q – 1)
escolhe k, inteiro positivo tal que m.d.c. (k, (n)) = 1
o par (n,k) diz-se a chave pública
k diz-se o expoente de codificação
torna público o par (n, k), mas não os primos p e q
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Fórmula de Codificação :
Mk R (mod n)
M representa a mensagem original
R representa a mensagem codificada
O processo de codificação começa com a conversão da
mensagem num número M, através de um “alfabeto digital”, no
qual letras, sinais de pontuação e algarismos são substituidos por
inteiros com dois dígitos.
O emissor ( conhecedor da chave pública) converte o número M
no número R através da
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Fórmula de Descodificação: Rj M’ (mod n)
Expoente de Descodificação : j (n) kj 1 (mod (n))
O receptor (conhecedor de p e q) determina o
determina M’ Z através da
como M’ = M recorre ao “alfabeto digital” e obtém a
mensagem original.
A segurança deste método baseia-se na impossibilidade, em tempo útil, da factorização de primos grandes.
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Exemplo:
Se p = 7, q = 2 tem-se n = 7 2 = 14 e (n) = (7-1)(2-1) = 6.
k é um inteiro positivo tal que m.d.c.( k, (n)) = 1 , como (n) = 2 3, escolho k = 5.
O par ( 14, 5) constitui a chave pública.
Codifiquemos a palavra “CAFÉ”:
M = 3165 ( mensagem original)
35 = 243 5 ( mod 14)15 = 1 1 ( mod 14) 65 = 7776 6 ( mod 14)55 = 3125 3 ( mod 14)
R = 5163 ( mensagem codificada)
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O expoente de descodificação é tal que:
5j 1 ( mod 6) j = 11
511 3 ( mod 14)
111 1 ( mod 14)
611 6 ( mod 14)
311 5 ( mod 14)
M’ = 3165 = M
Recorrendo ao “alfabeto digital” obtemos novamente a palavra “CAFÉ”
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076923,013
1
91
7
enquanto que
329670,091
30
A parte decimal de algumas fracções é obtida através da inversão dos dígitos de outra fracção com o mesmo denominador.
Exemplo:
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7
1= 0,142857 142857...
7
2= 0,285714 285714...
7
3= 0,428571 428571...
4/7
56/7
7
1/7 1
3/74
2/72
5/78
As fracções podem ter dízimas finitas ou dizimas infinitas. As dízimas infinitas podem ser periódicas ou não periódicas. Vamos falar de fracções com dízima periódica.
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O comprimento do primeiro ciclo é o menor número k para o qual se tem
10k 1mod p
Todas as fracções de denominador 7 têm o mesmo ciclo de dígitos que se repete. No entanto, há fracções com vários ciclos de dígitos, por exemplo, as fracções de denominador 13.
Vamos agora calcular o comprimento do primeiro ciclo de dígitos para fracções de denominador p:
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17: 0588235294117647
19: 052631578947368421
23: 0434782608695652173913
29: 0344827586206896551724137931
31: 032258064516129 096774193548387
37: 027054081135162189243297378459486567
41: 0243904878073170975612195156342682936585
43: 023255813953488372093 046511627906976744186
47: 0212765957446808510638297872340425531914893617
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Para um denominador primo (distinto de 2 ou 5) todos os ciclos têm o mesmo comprimento.
73
1= 0,031369863 01369863...
73
20= 0,02739726 02739726...
têm comprimento 8
Exemplo:
Como 73 é primo,
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Número de ciclos comprimento por ciclo = p – 1, p denominador primo
Através do cálculo do comprimento por ciclo já sabemos que:
10k 1 mod p
Então tem-se:
10p-1 1 mod p , p 2, 5
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Temos então:
Se p não dividir b,
bp-1 1 mod p
““PEQUENO TEOREMA DE FERMAT”PEQUENO TEOREMA DE FERMAT”
Como não há nada de especial acerca da base 10, podemos usar uma base b qualquer.
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B ara lh ar in te rio r B ara lh ar exte rio r
B ara lh ar em casca ta
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Exemplo:
Consideremos um baralho de 52 cartas (2n cartas).
Dividimos o baralho em duas partes iguais, ficamos com dois montes de 26 cartas cada (isto é, n cartas).
Baralhamos então em cascata interior, começando primeiro pela mão esquerda, depois a mão direita e assim sucessivamente.
Reparamos que logo após a primeira vez que realizamos esta acção, a carta que estava na posição 1 está agora na posição 2, a carta que estava na posição 2 ocupa agora a posição 4,…
As cartas só voltam a ocupar a posição inicial quando repetirmos o processo 52 vezes (2n vezes).
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Se 2n + 1 for um número primo então o baralhar interior de 2n cartas 2n vezes faz com que as cartas regressem à posição inicial.
2s 1 mod 2n+1 , s número de vezes que se baralha
Depois de baralhar s vezes, a carta número k estará no lugar que era ocupado pela carta cujo número era 2sk mod 2n + 1. Então baralhando s vezes, as cartas acabam por voltar à posição inicial quando:
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Exemplo:
Consideremos um baralho de 52 cartas (2n cartas).
Dividimos então o baralho em duas partes iguais, isto é, 26 cartas cada um (n cartas).
Baralhamos então em cascata exterior, começamos primeiro pela mão direita, depois a mão esquerda,…
Verificamos que a primeira e a última cartas ocupam sempre a mesma posição, de modo que só se baralham as restantes 50 cartas (2n – 2 cartas).
As cartas voltam a ocupar a posição inicial depois de baralharmos 50 vezes (2n - 2 vezes).
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Se 2n – 1 for um número primo então o baralhar exterior das 2n cartas 2n – 2 vezes faz com que estas regressem à ordenação original.
2s 1 mod 2n-1 , s é o número de vezes que se baralha
Baralhando s vezes as cartas regressão à posição inicial quando:
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O porquê da utilização das congruências 2n + 1 e 2n – 1 ?
Nas duas aplicações anteriores verifica-se que há ciclos que se repetem após um determinado número de vezes, por isso podemos utilizar então as congruências. No caso do baralhar em cascata interior essa congruência é 2n + 1, enquanto que no caso do baralhar em cascata exterior essa congruência já é de 2n – 1.
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A cultura egípcia (2000 a. C.) já manejava o conceito de fracção, mas empregava unicamente fracções unitárias, isto é, fracções cujo numerador é 1 e denominador é um número natural.
A fracção a/b está escrita em forma egípcia se está decomposta da maneira seguinte:
a/b = 1/p + 1/q + 1/r + ... + 1/v, a, b, p, q, r, ... ,v
Exemplo:
3/5 = 1/3 + 1/5 + 1/15
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PITÁGORAS Famoso matemático que viveu por volta de 571 – 496 a. C.
“Todas as coisas são números.”
Esta frase demonstra que já na antiguidade se reconhecia a importância da relação e da aplicação da matemática com o mundo real.
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Como o próprio nome indica, as fracções pitagóricas estão relacionadas com Pitágoras e com a escola pitagórica.
Conta-se que Pitágoras ao observar os ferreiros a trabalhar nas suas oficinas, verificou que os martelos utilizados produziam sons harmoniosos. Inicialmente, terá pensado que isso se deveria à força com que os ferreiros batiam os martelos. No entanto, rapidamente verificou que a produção dos sons harmoniosos não se devia a esse facto, mas sim ao peso dos respectivos martelos.
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Pitágoras observou que:
os pesos 12 e 6 ressoavam em dobro produziam a oitava
os pesos 12 e 9, 8 e 6 produziam a quarta
entre os pesos 9 e 8 produzia-se um tom inteiro
Pesos dos martelos dos ferreiros: 12, 9, 8 e 6
Existe uma proporção entre eles
6/8 = 9/12
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Exemplo: Se o número das vibrações for
Dó = 24; Ré = 27; Mi = 30; Fá = 32; Sol = 36; Lá = 40; Si = 45; Dó = 48
Então:
Oitava: intervalo de Dó a Dó 48/24 = 2/1
Quinta: intervalo de Dó a Sol 36/24 = 3/2
Quarta: intervalo de Dó a Fá 32/24 = 4/3
Tom: intervalo de Dó a Ré 27/24 = 9/8
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Ternos PitagóricosTernos Pitagóricos
b a c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
8 15 17
9 40 41
Os ternos Pitagóricos são os números naturais que verificam a relação
b2 + a2 = c2, a, b, c +
Tabela com alguns exemplos de ternos pitagóricos
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Nqp
pq
qp
a
b
,,
2
22
Exemplo:
a = 4
b = 3 4
3
As fracções contínuas são do tipo
é a fracção contínua correspondente.
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Temos também que
comprimento : largura : diagonal 2pq : p2 – q2 : p2 + q2,onde p e q são números regulares (dividem potências de 60) e q é menor que 60
Podemos ainda verificar que:
a é o comprimento
b é a largura
c é a diagonal
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Aplicando o teorema de Pitágoras a um triângulo isósceles cujos catetos são iguais a um, a hipotenusa é igual a 2, que não se pode exprimir na forma a/b, a, b N
Surgem os irracionais
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Exemplo:
4
12
13
11
Como se resolve :
41
401
31
99
313
9
44
9
4
12
Notação: [1; 3, 2, 4]
Quocientes parciais: 1, 3, 2 e 4
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O desenvolvimento por fracções contínuas fornece a melhor aproximação racional possível.
Exemplo:
=[3; 7, 15, 1, 292, ...]
[3; 7]
3 + 1/7 = 22/7
[3; 7, 15, 1]
115
17
13
15 + 1 = 16
1/16 + 7 = 113/16
16/113 + 3 = 355/113
Consideremos agora dois desenvolvimentos por fracções contínuas para o número :
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A partir dos desenvolvimentos por fracções contínuas anteriores podemos verificar que a fracção que mais se aproxima do valor real do é 355/113, isto é aquela em que considerámos mais quocientes parciais.
22/7 = 3,1428571...
355/113 = 3,1415929...
= 3,14159265...
Ao considerar mais termos no desenvolvimento por fracções contínuas, obtemos resultados mais próximos do pretendido.
Para um número racional o desenvolvimento por fracções contínuas acaba por parar.
Para um número irracional isto não acontece.
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Nos diapositivos número 27 e 28, onde está ‘Gaus’ deve ler-se ‘Gauss’.
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Referências Biblográficas:
John Conway, Richard Guy, ‘O Livro dos Números ’
Natália Bebiano da Providência, ‘Matemática ou Mesas, Cadeiras e Canecas de Cerveja ’, Gradiva,2002
Tom M.Apostol, ‘Introduction to Analytic Number Theory’ ; New York Springer; 1995
‘Jornal de Matemática Elementar ’, Lisboa 15 de Maio de 2002
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Referências Interactivas:
http://www.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/
http://geocities.com/CapeCanaveral/Hangar/8791/primos/primos.html http://www.utm.edu/research/primes/mersenne.shtml
http://www.spd.dcu.ie/johnbcos
http://www.dei.isep.ipp.pt/~andré/documentos/criptografia.html
http://www.educ.fc.ul.pt/semtem/semtem99/sem24/
http://www.7mares.terravista.pt/mil1/egipto/Rhind
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17 http://terravista.pt/bilene/7980
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/musica/
http://matemáticas.no.sapo.pt/pitagoras.htm
http://www.montfort.org.br/caderno/musicabeleza.html#IV
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