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Aritmétic
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D pto. Pedagógico TRILCE D erechos de E dición A sociación Educativa TRILCE
Tercera Edición, 2007.
Todos los D erechos Reservados. Esta publicación no
puede ser reprodu cida, ni en tod o ni en p arte, ni
registrada en, o tran sm itida p or, un sistem a derecuperación de inform ación, en ninguna form a y por
ningún m edio, sea m ecánico, fotoquím ico, electrónico,
m agnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier
otro, sin el perm iso previo de la editorial.
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Ari tmética
INTROD UCCIÓN
El presente libro tiene com o objetivo incentivar e increm entar el estudio de la Aritm ética, la cual form a parte de la M atem ática.
Pero, amigo lector , ¿Quées la Matemática?...... es una expresión de la mente humana que refleja la vo luntad activa, la razón
contemp lati va y el deseo de la per fección estética, sus elementos básicos son : la lógica e intu ición, análisis y construcción,
generalidad y particular idad y lo que podría ser más importante, la dosificación de cada uno de sus temas.
Las primeras referencias de la Matemática datan del tercer milenio a.C. en Babilon ia y Egipto, que apuntan a la prevalencia
de la Ar itmética que, literalmente, significa el arte de contar. La palabra deriva del griego aritm etike , que combina dos palabras:
arithmos, que signifi ca "número", y techne , que se refiere a un arte o habilidad.
La Ari tmética se remonta a los primeros albores de la vida humana, las tribus más prim itivas apenas podían distingui r entr e
uno y m uchos. Más adelante, util izaron un lenguaje corporal (dedos, manos, codos, pies) y con ayuda de ramas y piedras
consiguieron contar números cada vez más grandes. No hay forma de establecer, a ciencia cierta, cuando el hombre comenzó a
uti lizar la Ari tmética; aunque sospechamos que el hombre primiti vo pudo conocer cuántos anim ales poseía, haciendo correspon-
der a cada animal una pequeña piedra; si tiempo después tenia más piedras que animales, era porque había perdido alguno de
ellos. Este primitivo concepto de cardinalidad fue el o rigen del concepto del número como un ente abstracto y dio comienzo al di fícil
y prolongado par to de una de las ramas más antiguas de la Matemática, como es la Ar itmética, l lamada después por Gauss : " La
rei na de la M atemáti ca".
Los babilónicos fueron los primeros que uti li zaron el cero para los cálculos matemáticos. Los signos que representan los
números no han sido siempre los mismos, por ejemplo, en Mesopotamia se representaban en form a de cuña; en Egipto, mediante
jeroglíficos; en Grecia, con las letras de su alfabeto; en Roma, con los símbolos: I, V, X, … y, en la actualidad, uti lizamos los símbolos
indo-arábigos: 0, 1, 2, 3, …,9
La numeración posee un significado muy profundo puesto que es la aplicación del conjunto de los números en el conjunto
de los objetos numerados y contr ibuye a poner “orden” a los objetos que componen el conjunto. Cuando los pueblos comenzaron a utili zar los números, sólo conocían una forma de operar con ellos: contar. Poco a poco, fueron descubriendo las cuatro operacio-
nes: adición, sustracción, mul tipl icación y división; pero ello fue un proceso lento hasta llegar a la creación de la teoría de números,
creada en su forma primi tiva por Euclides, con su famoso algoritmo hasta la llegada de Fermat con la construcción de la nueva teoría
de números en el siglo XVII, además de los impor tantes apor tes de matemáticos de la talla de Euler, Gauss, Cantor, Dedek ind,
Bol tzano, entre otros.
¿Cómo ut i l i zar el t ex to?
Cada capítulo del libro estácompuesto por un breve marco teórico y 60 ejercicios que han sido ordenados en forma
creciente según su nivel de di ficultad y cubren la totalidad de cada tema; pero ello no significa que tenga que ser estudiado problema
por problema; capítulo por capítulo, ya que puede ser uti lizado en fo rma independiente y de acuerdo al nivel de cada estudiante.
Los probl emas están seleccionados como básicos los 20 primeros, como nivel intermedio l os 20 siguientes que contienen exámenes de admisión de las diversas universidades nacionales y par ticulares y finalmente los 20 últimos prob lemas de alto nivel
académico; muchos de ellos, creados recientemente, en forma especial, para el presente texto.
Pero amigo lecto r, no se alarm e ni se impaciente si no puede resolver algún problema. Consulte a su profesor, deje que él
sea su guía en el uso del presente texto.
Asim ismo, queremos agradecer a todos los profesores de la plana de Ar itmética de la Organización Trilce por sus aportes y
colaboraciones para la elaboración del presente texto.
Nuestro trabajo ha sido realizado bajo r iguroso cuidado y dedicación volcando en él los años de experiencia en la docencia
Pre - Universitaria.
Finalm ente mucho agradecemos a los alumnos y colegas nos hagan llegar sus observaciones y sugerencias con respecto al
contenido de nuestro hum ilde trabajo.
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C apít ulo
L GICA PROPOSICIONAL
INTRODUCCIÓN
La lógica estudia la form a de razonam iento. Es una discipli-
na que se utiliza para determ inar si un argum ento es válido,
tiene aplicación en todos los cam pos del saber; en la filoso-
fía, para determ inar si un razonam iento es válido o no, ya
que una frase puede tener diferentes interpretaciones; sin
em bargo la lógica perm ite saber el significado correcto. Los
m atem áticos usan la lógica, para dem ostrar teorem as e infe-
rir resultados que puedan ser aplicados en investigaciones .
En la com putación, para revisar program as y crear sus
algoritm os, es utilizada en el diseño de com putadoras. Exis-
ten circuitos integrados que realizan operaciones lógicas con
los bits, gracias a estos se ha desarrollado las telecom unica-
ciones (telefonía m óvil, internet, ...)
ENUNC IADO: Es cualquier frase u oración que expresa
una idea.
PROPOSICIÓN: Son oraciones aseverativas que se pue-
den calificar com o verdaderas o falsas. S e representan con
las letras m inúsculas del abecedario: p ; q ; r ; s.
E jemp lo :
* Túpac Am aru m urió decapitado.
* 9 < 10
* 45 = 3 2
ENUNC IADO AB IERTO: So n enunciados que pueden
tom ar cualquiera de los 2 valores de verdad.
E jemp lo :
Si : 6x:)x(P
Se cum ple que:
69:)9(P es verdadero
62:)2(P es falso
El valor de verdad de P(x) depende del valor de x, tam bién,
se le conoce com o función proposicional.
CLASES D E PROPOSICI ON ES:
1 . P ro p osi c i ón Si m pl e: Son proposiciones que no
tienen con jun ciones gram aticales ni ad verbio de
negación.
E jemp lo :
* C incuenta es m últiplo de diez.
2 . Pr o po si c ión Compuest a: Form ada por dos o m ásproposiciones sim ples unidas por conectivos lógicos o
por el adverbio de negación.
E jemp lo :
* 29 es un núm ero prim o y 5 es im par.
CON ECTIVOS LÓGICO S: Sím bolos que enlazan dos o
m ás proposiciones sim ples para form ar una propo sición
com puesta.
Los conectores lógicos que usarem os son :
SÍMB OL OOPERACIÓN
LÓGICAS IGN IF ICADO
~ N egación N o p C onjunción p y q
D isyunción p o q
C ondicional Si p, entonces q
B icondicional p si y sólo si q
D isyunción
Exclusiva"o ........ o ........"
OBS: La negación es un conector m onádico, afecta sola-
m ente a una proposición.
OPERACIO NES LÓGICA S Y TABLA S DE VERDAD
La validez de una proposición com puesta depende de los
valores de verdad de las proposiciones sim ples que la com -
ponen y se determ ina m ediante una tabla de verdad.
1 . C onj unc ión: Vincula dos proposiciones m ediante el
conectivo lógico "y".
Tabl a de Verdad
FFFFVF
FFV
VVV
qpqp
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2 . D i syunc ión: Vincula dos proposiciones m ediante el
conectivo lógico "o".
Tabl a de Verdad
FFF
VVF
VFVVVV
qpqp
3 . D i syu nc i ón Ex cl u si va: V incula dos proposicionesm ediante el conectivo lógico: "o ..........., o ............."
Tabl a de Verdad
FFFVVF
VFV
FVV
qpqp
4 . C ondi ci onal : Vincula dos proposiciones m ediante el
conectivo lógico :
"Si ............, entonces .............."
Tabl a de Verdad
FFF
VVF
FFV
VVV
qpqp
V
5 . B ico ndi ci onal : Vincula dos proposiciones m ediante
el conectivo lógico:
".............. si y sólo si .............."
Tabl a de Verdad
VFF
FVF
FFV
VVV
qpqp
6 . N egac i ón : A fecta a una sola proposición. E s un
operador m onádico que cam bia el valor de verdad de
una proposición:
Tabl a de Verdad
V
F
p~
F
V
p
OBSERVACIÓN: La cantidad de filas en una tabla es:
# filas = 2n
D onde n es la cantidad de proposiciones sim ples.
IMPORTANTE:
* C uando los valores del operado r principal son todos
verdaderos se dice que el esqu em a m olecular es
tau to lóg ico .
* Se dirá que el esquem a m olecular es cont rad ic to r io
si los valores del operador principal son todos falsos.
* Si los valores del operador principal tiene por lo m enos
una verdad y una falsedad se dice que es cont ingente
o consisten te .
LEYES DE ÁLGEBRA PROPOSICIO NAL
Son equivalencias lógicas que nos perm iten reducir esque-
m as m oleculares com plejos y expresarlos en form a m ás sen-cilla. Las dem ostraciones de dichas leyes se hacen constru-
yendo la tabla de verdad en cada caso.
Princ ipales Leyes:
a . L ey d e I d empot en ci a:
ppp
ppp
b. L ey C onm ut at iva:
pqqppqqp
c . L ey A so ci at iva:
)rq(pr)qp(
)rq(pr)qp(
d. L ey D i st r ibut i va:
)rp()qp()rq(p
)rp()qp()rq(p
e . Ley de la Dob le Negac ión :
p)p(~~
f . L eyes d e I den ti dad :
FF p; pVp
pF p; VVp
g . L eyes d el Comp lemen t o:
Fp~p
Vp~p
h . L ey d el C o nd ic io nal :
qp~qp
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i . L ey d e l a B i co nd ic io nal :
)qp(~qp
)q~p(~)qp(qp
)pq()qp(qp
j . Ley de Abso r ción :
qp)qp(~p
qp)qp(~p
p)qp(p
p)qp(p
k . L eyes d e "De Mor gan ":
q~p~)qp(~
q~p~)qp(~
CUANTIF ICADORES:
1 . C u an t i f i c ad o r U n i ver sa l : S ea la función
proposicional)x(
f sobre un conjunto A, el cuantificador
("para todo") indica que todos los valores del
conjunto A hacen que la función proposicional)x(
f
sea verdadera.
se lee : "Para todo"
E jemp lo :
Sea : 52x:f3
)x( donde Nx
La proposición cuantificada es :
52x;Nx 3 es falsa.
2 . C u an t i fi c ad o r ex i st en ci al : Sea)x(
f una función
proposicional sobre un conjunto A el cuantificador
(existe algún) indica que para algún valor del conjunto
A, la función proposicional )x(f es verdadera.
se lee : "Existe algún"
E jemp lo :
Sea 85x:f2
)x( , donde :
Zx , la proposición:
85x/Zx2 es verdadera:
CIRCUI TOS LÓGICO S
U n circuito conm utador puede estar solam ente en dos esta-
dos estables : cerrado o abierto, así com o una proposición
puede ser verdadera o falsa, entonces podem os representar
una proposición utilizando un circuito lógico:
1 . C ir cui to Ser ie: D os interruptores conectados en serie
representan una conjunción.
p q q p
2 . C i rc ui t o Par al el o: D os interruptores conectados en
paralelo representan una disyunción.
p
q
q p
LÓGICA B INA RIA
La lógica binaria trata con variables que tom an 2 valores
discretos y con operaciones que asum en significado lógico,
para este propósito es conveniente asignar los valores de 1
y 0.
PRINCI PAL ES COMPUERTAS LÓGICA S
* C om puerta AN D de dos entradas.
pq
qp
* C om puerta O R de dos entradas
pq qp
* Com puerta NO T
~ pp
* C om puerta N AN D de dos entradas
pq qp ~ ( )
* C om puerta N O R de dos entradas
pq
qp~ ( )
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EJERCICIOS PROPUESTOS
01 . D e los siguientes enunciados:
* Q ué rico durazno.
* 7 + 15 > 50
* 25yx 22
¿Q ué alternativa es correcta?
a) U na es proposición.
b) D os son enunciados abiertos.
c) D os son expresiones no proposicionales.
d) D os son proposiciones.
e) Todas son proposiciones.
02. ¿C uántas de las siguientes expresiones son
proposiciones?
* ¡D ios m ío .... se m urió!
* El calor es la energía en tránsito.
* Baila a m enos que estés triste.* Siem pre que estudio, m e siento feliz.
* El delfín es un cetáceo, ya que es un m am ífero m a-
rino.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. D adas las siguientes expresiones:
* El átom o no se ve, pero existe.
* Lo s tigres no son paquiderm os, tam poco las nu-
trias.
* Tom a una decisión rápida.
* H ay 900 núm eros naturales que se representan con
tres cifras.* La M atem ática es ciencia fáctica.
* Es im posible que el año no tenga 12 m eses.
¿Cuántas no son proposiciones sim ples?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
04. H allar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
)1127()523(
)8102()314(
)512()1073(
2
3
2
1121
2
a) VVFV b) V FVV c) VVVV
d) VVVF e) FVVV
05. D eterm inar el valor de verdad de cada una d e la
siguientes proposiciones:
I. Si : 3 + 1 = 7, entonces : 4 + 4 = 8
II. N o es verdad que :
2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 10.
III. M adrid está en España o Londres está en Francia.
a) VFV b) VVV c) VFF
d) FVF e) FFF
06. Si : r)q~p( ; es falsa, determ inar los valores deverdad de "p", "q" y "r".
a) VVF b) VFF c) VVV
d) VFV e) FFF
07. Sim bolizar:
~ p
q
~ q
Si la proposición que se obtiene es falsa.
¿C uáles son los valores de p y q respectivam ente?
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) N o se puede precisar
08. S i la propo sición: )sr(~)q~p( es falsa,
deducir el valor de verdad de :
p~)q~p(~
a) V b) F
c) V o F. d) N o se puede determ inar.
e) Es V si p es F.
09 . Si la proposición com puesta:
)tr()qp(
Es falsa. Indicar las proposiciones que son verdaderas:
a) p ; r b) p ; q c) r ; t
d) q ; t e) p ; r ; t
10. Si "p" es una proposición falsa, determ ina el valor de
verdad de la expresión:
)qpr()]}pq(~r[)qp{(
a) Verdadero.
b) Falso.
c) Verdadero o falso.
d) Verdadero sólo si q es verdadero.
e) Falso sólo si r es falso.
11 . Si la proposición:
)rq()qp(
es falsa, hallar el valor de verdad de las siguientes
fórm ulas:
I. )qp()rp(~ II. )qr(~)q~p( III. )r~p()]r~q()qp[(
a) VVF b) VFV c) VVV
d) VFF e) FVV
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12. Los valores de verdad de las proposiciones "p" , "q" , "r"
y "s" son respectivam ente V, F, F y V.
O btener los valores de verdad de:
I. s]r)qp[(
II. )ps(r
III. )s~r()rp(
a) VFF b) FVV c) VVV
d) VVF e) FFF
13 . Si la proposición:
)sr(p
Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. p~)ts(~
II. pr
III. r~
IV. )ts()pr(
a) N inguna b) U na c) D os
d) Tres e) C uatro
14 . Si la proposición com puesta:
]q)~r()r~p[(~
no es falsa. H allar el valor de verdad de las
proposiciones r, p y q respectivam ente.
a) FVV b) VVF c) VFV
d) FVF e) VFF
15. D e la falsedad de la proposición :
)sr(~)q~p( se deduce que el valor de verdad
de los esquem as:
I. )q(~)q~p(~
II. ]s)rq[(~)qr(~
III. ]q~)qp[()qp(
Son respectivam ente :
a) VFV b) FFF c) VVV
d) VVF e) FFV
16. Sean las proposiciones:
* 1x , Rx:p0
)x(
* 0 y/ Ny:q2
)y(
* )3z)(3z(9 z, Rz:r22
)z(
Indique el valor de verdad de:
qp , rp , qr
a) FFV b) FVV c) VFV
d) VVV e) FFF
17. Sea : U = {1 , 2 , 3}, el conjunto universal.
H allar el valor de verdad de:
I. 1yx/y,x2
II. 12yx/y,x22
III. 12yx/y,x
22
IV. 12yx/y,x
22
a) VFVF b) V VFF c) VVVF
d) VVVV e) VVFV
18. Si : U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
¿C uál es el valor de verdad de las siguientes
proposiciones?
I. 4x3x:Ux II. 6x82x:Ux III. 21-x52x:Ux
a) VVV b) FFV c) VFVd) FVF e) FFF
19. H allar los valores de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. x)1x,Rx(x)x,Rx(
II. 1)-x1x,Zx(x)x,Rx(2
III. 0)x,Qx(0)x,Nx(
IV. x)1x,Rx(x)3x,Nx(
a) FVVF b) FVVV c) VVFF
d) VFFF e) VVVF
20. Sea : A = {1 , 2 , 3}
D eterm inar el valor de verdad de las siguientes
expresiones:
I. 1yx/Ay,Ax2
II. 12yx/Ay,Ax22
III. 222 z2yxA /z ,Ay,Ax
IV.222 z2yxA /z,Ay,Ax
a) VFVV b) V VFV c) VVVF
d) FVVV e) VVVV
21. Señalar la expresión equivalente a la proposición:
)p~q(~)p~p(
a) pq
b) qp
c) p~)qp(
d) )qp(p~
e) p~)pq(
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22. Indicar el valor de verdad de:
I. )qp(p
II. )qp()qp(
III. ]p)qp[(~
a) VVV b) VFV c) VVF
d) FVF e) FVV
23. Indicar el valor de verdad de:
I. ]p)qp[(~
II. p)qp(
III. )qp()qp(
IV. )qp(p
a) VFVF b) V VVF c) FVFV
d) VFFV e) FVVV
24. Sim plificar el siguiente circuito:
~ pq
q
~ p
~ q
p
A B
a) qp b) qp~ c) qp
d) qp~ e) q~p~
25. H allar la proposición equivalente al circuito lógico:
p
q
~ q
~ p
p q
a) p b) q~p c) qp
d) qp~ e) q~p
26. Sim plificar la proposición que corresponde al circuito:
q
~ p
pq
~ q
p
a) qp b) qp~ c) qp
d) qp~ e) q~p~
27. Sim plificar a su m ínim a expresión:
)]qp()q~p[()qp(
a) p b) q c) qp
d) qp e) qp
28 . Sim plificar:
)qp(~)]pq(~)qp[(~M
a) q b) p c) ~ p
d) ~ q e) qp~
29 . Sim plificar:
)]q~p(q[]p~)qp[(~~
a) q~p b) qp~
c) )qp(~ d) )qp(~
e) qp
30. D e la veracidad de:
)]s~r(~)q~p[(~
D educir el valor de verdad de :
I. p~)s~q(~~
II. )q~p(~)sr(~~
III. )]rs(~q[~p
a) FVV b) VVF c) FFV
d) VFF e) FFF
31. Indicar el valor de verdad de:
I. )qp()q~p(~
es una contradicción.
II. )rp()]rq()qp[(
es una tautología.
III. r)q()]qp(p[ es una contingencia.
a) VVV b) VVF c) VFF
d) VFV e) FVV
32 . D e los siguientes esquem as:
* )rp(~)rq(
* p)]qp(p[
* )]q~p(~r[~]r~)qp[(~
Indicar en el orden dad o cuál es Tautología (T),
C ontingencia (S) o C ontradicción (C ):
a) T , C , S b) T , S , C c) C , T , S
d) S , T , C e) S , C , T
33. D ado el siguiente enunciado:
]q)}rq(~)p]qp([[{~~
Según su tabla de verdad, podem os decir que dicha
proposición es una:
a) Tautología. b) C ontradicción.
c) C ontingencia. d) Ley lógica.
e) Equivalencia lógica.
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34. Si:
)]ba(~b[)ba(b*a
a~)]}ba(b[a{ba
Reducir :
q)}~(p*{qq)}*p(~*r]q)*{[(p
a) ~ p b) V c) F
d) p e) q
35. Si se define:
p)~(qq)~(pqp
Sim plificar: ]q~q)~p[(~
a) qp b) qp c) qp~
d) ~ p e) ~ q
36. Se define el operador : (+ ), por la siguiente tabla:
VFF
FVF
VFV
VVV
qpqp
Sim plificar: (p + q) + p
a) F b) qp c) qq~
d) qp e) V
37. Se definen los operadores # y por las siguientes
tablas:
VFF
FVF
FFV
FVV
q#pqp
VFF
VVF
VFV
FVV
qpqp
Sim plificar:
p)~q(]p)q~#p[(
a) pq b) pq c) qp
d) qp e) p~q
38 . Se definen los operadores " " y " " por las siguientes
tablas:
VFFF
VFVF
FVFV
VFVV
qpqpqp
¿C uál o cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. )q~p(~q~p
II. qpq)p()qp(~
III. )qp~(~qp~
a) Sólo I b) Sólo II c) I y II
d) I y III e) Todas
39. Si: q~pqp
p~)qp(q~#p
Sim plificar:
)]qp()#qp()qp[(
a) qp~ b) p c) ~ q
d) q~p~ e) ~ p
40. Si: q~p~q*p
Expresar ~ p usando únicam ente el operador (*)
a) (p * p) * p
b) (p * ~ p) * p
c) ~ (p * q)
d) p * q
e) p * (q * q)
41. La propo sición equivalente m ás sim ple del siguiente
circuito:
NM
p
q ~ p
~ q
p q
~ q~ p
r
r t
Es:
a) p b) q c) r
d) p e) ~ q
42. El circuito lógico:
A B~ p
~ p
p ~ q
~ q
q
r s t
r
t
s
r
t
s
r s t
Es equivalente a:
a) p b) q c) ~ p
d) ~ q e) qp
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43. El circuito lógico m ás sim ple equivalente al siguiente
circuito:
q
~ p ~ q
p q r
st
p
q
~ p
~ q
p
s t
~ p~ q
~ r
A B
a) A Bp q
b) A Bq
c) A Bs
d) A B
t
e) A Bts
44. Si:
)]t~p()tp[()]rp()qp[(A
B
q ~ q
~ p q
~ q
q
El circuito sim plificado de BA es:
a)
~ p
~ q ~ r
b)~ q ~ r
p
c)
~ p
q r
d)
r~ q
p
e)
~ r
p q
45 . Si la proposición yx es equivalente al circuito:
pq ~ r
~ q
r
q ~ p
~ q r
p q~ r
~ s
~ t
p q
r s t
Sim plificar el siguiente circuito:
p
yx
yxq
qp
yx
yxq
qp
yx
yxq
qp
p
q
q
yx
yx
q
a) qp
b) sqp
c) srd) s
e) sqp
46. Sabiendo que la instalación de cada llave cuesta S/. 20.
C uánto se ahorraría si hacem os una instalación m ínim a;
pero equivalente a:
p
~ p r
~ r~ p r
~ q p
p q
a) 80 b) 100 c) 140
d) 160 e) 180
47. Para una proposición cualquiera, "p" se define:
Falsoespsi 0
Verdaderoespsi 1F
)p(
Si:
1F)m(
donde s)rp(m
0F)n( donde )pr(pn
H alle:
)p(~F)sp(F)sr(F)rp(F
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
-
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TRILCE
17
48 . La siguiente función:
falsaespSi ;0
verdaderaespSi ;1F
)p(
Si : 0F 1F(y))x(
D onde :
)ws()r~p(x
s~wy
H allar:
)]rp(~)w~s[(FE
))]p~w(t()p~r(~[~F
a) 0 b) 1
c) 2 d) N o se puede determ inar
e) Tautología
49. Sean las proposiciones:p: Si
ZN , entonces:
M C D (N ; 1N 2 ) = 1
q: El conjunto vacío es subconjunto y elem ento.
r: M C D 77) ; 0ab( 7
s: M C M (a ; b) = ba M C D (a ; b) = 1
Adem ás sean las proposiciones x e y:
yxP)y;x(
yxQ)y;x(
falsoesxsi ; 0
o verdaderesxsi ; 1
F )x(
C alcule:
)P(F)Q(F)P(FF)s;r()r;q()q;p(
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
50. Sea la función:
f :{p/p es proposición} {0 , 1} definido
por
falsoespsi , 0
verdaderoespsi , 1f
)p(
Indicar si es verdad la siguiente igualdad:
)q(f1)qp(f )p(~f
a) Verdadero
b) Falso
c) D epende de q
d) Es contradictorio
e) Es un enunciado abierto
51. Si m y n son núm eros reales, adem ás se define:
falsaónproposiciesxSi ; 1
m
3n
verdaderaónproposiciesxSi ; 1n
m3
f)x(
H allar:
m
n
n
mM
Sabiendo que: 21ff)r()q(
Siendo:
0134:q
0)1(01:r 2
a)3
1b) 3 c)
7
1
d) 1 e) 3
52. Sean r, s, t, ip , i
q donde i = 1 ; 2 ; ..... ; n
proposiciones tales que p es falsa para todo i = 1 ;
2 ; ......... ; n
n321p....ppps es verdadera.
)tp(....)tp()tp(rn21
tpqii
es falso para i par y es verdadera para i
im par.
H allar el valor de verdad de:
t)}(p)q(q~{}pq()tp{(321)125
a) Verdadero.
b) Falso.
c) Faltan datos.
d) N o se puede determ inar.
e) D epende del valor de verdad de r.
53. Sea "S" una proposición que corresponde a la siguiente
tabla:
FFF
VVF
VFV
FVV
sqp
Y "r" la proposición m ás sim plificada, equivalente a:
q~]q~)qp[(
¿C uál es el circuito m ás sencillo, equivalente al que
resulta de conectar en paralelo los circuitos
correspondientes a "~ r" y a "s"?
-
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Aritmética
18
a)
p
~ q
b) p q
c)
p
q
d) q~ p
e) ~ q~ p
54. El equivalente de:
p
q
a) p b) ~ p c) q
d) ~ q e) qp
55. D ado el siguiente circuito:
pq
s
Si s es falsa.
¿C uáles son los valores de verdad de p y q
respectivam ente?
a) VV b) VF c) FV
d) FF e) Faltan datos
56 . Los profesores de Aritm ética de la academ ia TRILC E
han diseñado un circuito integrado que recibe p y q com o entradas y s com o salida.
s
p
q
a) p b) q c) V
d) F e) qp
57. D iseñe el circuito que cum ple con la siguiente tabla:
1111
0011
0101
0001
0110
0010
0100
1000
Fzyx
U tilice com puertas lógicas:
a)
xyz
F
b)xyz F
c)xyz
F
d)
x
yz
F
e) x F
58. Expresar la operación lógica F; según la tabla:
0111
0011
1101
0001
0110
0010
1100
0000
Fzyx
a) xyzzyx b) (x + y)zc) x + y + z d) zyxzyx e) xyz
-
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TRILCE
19
59. D ada la siguiente tabla:
1111
1011
1101
1001
0110
0010
1100
0000
Fzyx
D iseñar el circuito:
F
x
y
z
que cum ple con dicha tabla utilizando las com puertas:
IN VE RSO R, AN D , O R.
a)
xyz
F
b)
x
yz
F
c)
x
y
z
F
d)xyz
F
e) xy
F
60. El circuito lógico perm ite detectar el estado de 3 aviones
A, B, C de tal m anera que la lám para de alarm a en la
base se enciende cuando los tres aviones están
averiados o cuando sólo el avión A está averiado.
Expresar F en función de las entradas A, B y C :
Avión sin averías: 0Avión con averías: 1
Lám para apagada: 0
Lám para encendida: 1
ABC
FC ircuito
Lógico BASE
Lám para
de alarm a
A B C
a) B C )CB(AF
b) F = A + B C
c) F = A BC
d) F = A (B + C )
e) CBAF
EL VAGO DE COZ
"En la antigua ciudad de Coz, de la que ya no queda un solo recuerdo, gobernaba un adiv ino muy astuto. Toda la población
trabajaba salvo él, grandísimo vago, que ejercía de enlace psicoastral. Cada día obl igaba a algún desdichado ciudadano a
competi r contra él en un extraño concurso. El aspirante debía formular al adivino una pregunta acerca de algún suceso
futu ro cuya respuesta debía ser simplemente "sí" o "no ". En caso de que el vago acertase la respuesta, el desafortunado
concursante se conver tía en su esclavo y era ob ligado a trabajar para él de por vida. Si el adivino errase la respuesta, éste
sería depuesto, conver tido en asno y condenado a rebuznar durante mi l años. Por desgracia para los pobladores de Coz,
el vago poseía una esfera de cr istal, que funcionaba mediante la magia capaz de anticipar el futuro con toda certeza. Si usted
fuera el próximo rival del malvado vago. ¿Quépregunta le haría?".
-
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20
lavesClaves
01 .
0 2 .
0 3 .
0 4 .
0 5 .
0 6 .
0 7 .
0 8 .
0 9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 3 .
1 4 .
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2 4 .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
3 0 .
a
b
e
d
a
b
b
b
b
b
c
d
d
a
b
b
e
c
d
e
c
c
e
d
d
c
d
d
c
e
31 .
3 2 .
3 3 .
3 4 .
3 5 .
3 6 .
3 7 .
3 8 .
3 9 .
4 0 .
4 1 .
4 2 .
4 3 .
4 4 .
4 5 .
4 6 .
4 7 .
4 8 .
4 9 .
5 0 .
5 1 .
5 2 .
5 3 .
5 4 .
5 5 .
5 6 .
5 7 .
5 8 .
5 9 .
6 0 .
a
d
b
c
a
e
a
e
a
b
c
c
e
a
b
d
c
c
c
b
e
a
c
b
b
e
a
d
c
a
-
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TRILCE
21
INTRODUCCIÓN
G eorge Ferdinand C antor, el cread or de la teo ría de
conjuntos, nació en 1845 en Rusia. Vivió, estudió y enseñó
en A lem ania donde m urió en 1918.
Publicó trabajos sobre funciones de variable real y las series
de Fourier, introdujo conceptos de potencia de un conjunto,
conjuntos equivalentes, tipo ordinal, núm ero transfinito; que
aportaron para el inicio del estudio de los problem as del
infinito y la teoría de conjuntos.
NOCIÓN DE CON JUNTO
Con jun to : C oncepto prim itivo que no tiene definición, pero
que nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales
llam arem os elem entos del conjunto.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Si un objeto es elem ento del conjunto, se dirá que pertenece
( ) a su conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece( ) a dicho conjunto..
Ejemplo: A = {4; 9; 16; 25}
A21A16
A10A4
CARD INAL D E UN CONJUNTO
Es la cantidad de elem entos de un conjunto y se denota :
n(A), así en el ejem plo anterior n(A) = 4
DETERMINACIÓN D E UN CONJUN TO
a ) Po r e x t en sión o en fo rma t abul ar : Es cuando seindican los elem entos del conjunto.
A = { * ; ; # ; ...... ; }
b ) Po r c omp r es i ón ó e n fo rma co n st r u c t i v a: Es
cuando se indica alguna característica particular y
com ún a sus elem entos.
A = {f(x)/ x cum ple alguna condición}
D iagrama de Venn - Euler:
Figuras geom étricas planas cerrad as que se utilizan para
representar a los conjuntos, gráficam ente.
RELACIO NES ENTRE CONJUN TOS
Inclusión )(Se dice que un conjunto A está incluido en B; si todos los
elem entos de A, están en el conjunto B.
Es decir :
BxAxBA
A
B
x * A es subconjunto de B
* B incluye a A )AB(
D iagram a lineal
B
A
Igua ldad
D os conjuntos son iguales si tienen los m ism os elem entos.
Es decir :
AB BABA
PRINCIPALES CONJUNTOS
Co nj unt o Vacío: Aquel que no tiene elem entos, tam bién
se le llam a nulo y se denota o { }
Con jun to Un i t a r io : A quel que tiene un solo elem ento,
tam bién se le llam a singleton.
Conjun to Un iversa l : C onjunto referencial que se tom a
com o base para el estudio de otros conjuntos contenidos en
él y se denota por U .
Conj unto Potencia : Es el conjunto cuyos elem entos son
todos los subconjuntos de otro conjunto A y se denota por
P(A ).
Ejem plo : A = {2 ; 8}
P(A) = { ;{2} ; {8} ; {2 ; 8}}
Observación: La cantidad de subconjuntos de un conjunto
A es igual a)A(n
2 .
Ejemplo :
A = {3 ; 5 ; 9} ; n(A) = 3
Entonces hay 823 subconjuntos que son : ; {3} ; {5} ; {9} ; {3 ; 5} ; {3 ; 9} ; {5 ; 9} y {3 ; 5 ; 9}
C apít ulo
TEOR A DE CON J UNTOS
-
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Aritmética
22
"A todos los subconjuntos de A , excepto A se les llam a
subconjuntos propios"
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conj unto de lo s Números Naturales (N)
N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; .......}
Conj unto de lo s Números Enteros (Z)
Z = {........ ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; .........}
Conj unto de l os Números Racionales (Q)
0n , Zn Zm/n
mQ
Conj unto de lo s Números Irr acionales (I )
Son aquellos que tienen una representación decim al infinita
no periódica y no pueden ser expresados com o el cociente
de 2 enteros.
Co nju nto de los Números Reales (R)
Es la reunión de los racionales con los irracionales.
IQR
Conj unto de los Números Comp lejos (C)
1-i , R b Ra/biaC
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Unión )(
}Bx Ax/x{BA
A BU
In te rsecc ión )(}Bx Ax/x{BA
A BU
Dife renc ia )(
}Bx Ax/x{BA
A BU
Observac ión :
A B tam bién se denota : A \ B
D ifer enci a Si mét ri ca )(
}B )A(x )BA(x/x{BA
A BU
Complemento )A ',A(C
A }{x/xA '
AU
Observación : El com plem ento de A , se pued e realizar
respecto a cualquier conjunto, tal que BA y se denota:
ABCAB
Se lee com plem ento de A respecto a B .
IMPORTANTE
Con jun t o s D i s j u n t o s : C uand o no tienen elem entos
com unes :
A
2
4
5
8
B
-
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TRILCE
23
Con j un t o s Comp a rab l es : C uando uno de ellos está
incluido en el otro.
A
B
Con j un t o s Equ i va l e n t e s : C uando tienen la m ism a
cantidad de elem entos.
A es equivalente a B entonces :
n(A) = n(B)
Conjun to Producto : Tam bién llam ado producto cartesiano.
}BbAa/)b;a{(BA
Par ordenado
Ejemplo :
A = {1 ; 4 ; 5} B = {8 ; 11}
}(5;11);(5;8);(4;11);(4;8);(1;11);)8;1{(BA
ALGUNAS PROPIEDAD ES Y LEYES
1 . Leyes d ist r ibu t i vas Un ión - In tersecc ión :
)CA()BA()CB(A
)CA()BA()CB(A
2 . L eye s d e Mo r gan :
'B'A)'BA(
'B'A)'BA(
3 . B)(AB)(ABA A)(BB)(ABA
4 . )BA(n)B(n)A(n)BA(n
5 . )B(n)A(n)BA(n
6 . 'BABA
7 . AB'B'A
8 .)]BA(P[n)]B(P)A(P[n
9 . )]B(P[n )]A(P[n )]B(P )A(P[n
)]B(P)A(P[n O t ambién:
)BA(n)B(n)A(n222)]B(P)A(P[n
1 0 . AA
A
1 1 . UUA
AUA
1 2 . (A')' = A
1 3 . U'AA
'AA
1 4 . )BA(n)C(n)B(n)A(n)CBA(n )CBA(n)CB(n)CA(n
15 . Ley de Abso rc ión
* A)BA(A
* A)BA(A
* BA)B'A(A
* BA)B'A(A
GRÁ F I C O E S P E C I A L P A R A C ON J U N T O S
DISJUNTOS
Apl icac ión : En un salón de clases se observa a 60 alum nos
entre varones y m ujeres; con las siguientes características:
* Algunos tienen 15 años.
* 18 tienen 16 años.
* 12 tienen 17 años.
* 40 postulan este año a la U niversidad.
A
B
C
D
P
V M
Leyenda:
V : C onjunto de los varones.
M : C onjunto de las m ujeres.
P : C onjunto de los que postulan.
A : C onjunto de los alum nos con 15 años.
B : C onjunto de los alum nos con 16 años.
C : C onjunto de los alum nos con 17 años.
D : C onjunto de los alum nos con otra edad.
NOTA: Este tipo de diagram as especiales reciben el nom bre
de "D iagram as de C ARRO LL"
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25
14. En una ciudad se determ inó que el 46% de la población
no lee la revista A , 60% no lee la revista B y el 58% lee
A ó B pero no am bas.
¿C uántas personas hay en la población si 63 000
personas leen A y B ?
a) 420000 b) 840000 c) 350000
d) 700000 e) 630000
15. En una peña criolla trabajan 32 artistas. D e éstos, 16
bailan, 25 cantan y 12 cantan y bailan. E l núm ero de
artistas que no cantan ni bailan es:
a) 4 b) 5 c) 2
d) 1 e) 3
16. Si:
A = {1 ; 2 ; {1 ; 2} ; 3}
B = {{2 ; 1} ; {1 ; 3} ; 3}
H alle usted : )AB(]B)BA[(
a) {1 ; 3} b) {{1 ; 2}}
c) A d) {{1 ; 3}}
e) B
17. D ado el conjunto:
A = {1 ; {2} ; {1 ; 2}}
¿C uál de las siguientes proposiciones es verdadera?
a) A2 b) A}1{ c) A1
d) A e) A}2{
18. Si:
5m2N ,m , )1m4(x/xA2
Entonces el conjunto A escrito por extensión es:
a) {7 ; 11 ; 15 ; 19}
b) {2 ; 3 ; 4 ; 5}
c) {4 ; 9 ; 16 ; 25}
d) {49 ; 121 ; 225 ; 361}
e) {3 ; 4 ; 7 ; 9}
19 . C arlos debe alm orzar pollo o pescado (o am bos) en su
alm uerzo de cada día del m es de m arzo. Si en sualm uerzo durante 20 días hubo po llo y durante 25
días hubo pescado, entonces, el núm ero de días que
alm orzó pollo y pescado es :
a) 18 b) 16 c) 15
d) 14 e) 13
20. En un avión hay 100 personas, de las cuales 50 no
fum an y 30 no beben.
¿Cuántas personas hay que ni fum an ni beben o fum an
y beben, sabiendo que hay 20 personas que solam ente
fum an?
a) 30 b) 20 c) 10d) 40 e) 50
21. Si:
A = {a , b , c , b} y
} 2; )3(n ; 5 ; 1 ; )1m{(B2
D onde : Zmn y 3 < n < 8
Adem ás A y B son equipotentes. H allar la sum a de
valores de n + m
a) 6 b) 13 c) 10
d) 14 e) 23
22. En una encuesta realizada a 190 personas sobre la
preferencia de leer las revistas A y B , el resultado fue el
siguiente : el núm ero de personas que les gusta A y B
es4
1 de los hom bres que sólo les gusta A y la m itad de
las m ujeres que sólo les gusta A . El núm ero de hom bres
que sólo les gusta B es 3
2
del núm ero de m ujeres que
sólo les gusta B . Los que leen A son 105, los que leen
B son 70.
H alle el núm ero de personas que no leen ni A ni B.
a) 30 b) 32 c) 36
d) 38 e) 40
23. Si A , B y C son tres subconjuntos de un conjunto
universal de 98 elem entos y adem ás:
50]'C)BA[(n , n(C ) = 34
H allar : ])'CBA[(n
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
24. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos
de fruta de m anzana, fresa y piña es el siguiente:
60% gustan m anzana.
50% gustan fresa.
40% gustan piña.
30% gustan m anzana y fresa.
20% gustan fresa y piña.
10% gustan m anzana y piña.
5% gustan de los tres.
¿Q ue porcentaje de las personas encuestadas no gustanalguno de los jugos de frutas m encionados?
a) 5% b) 20% c) 50%
d) 12% e) 10%
25. D ados los conjuntos:
20n0 Nn/nA 2
005n4 Zn/n2B2
¿C uántos elem entos tiene BA ?
a) 380 b) 400 c) 342
d) 800 e) 760
-
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Aritmética
26
26. ¿Cuántos elem entos tiene el siguiente conjunto?
(5 ; 7 ; 9 ; 11 ; .... ; 83)
a) 35 b) 40 c) 41
d) 60 e) 45
27. Sea A un conjunto con dos elem entos y B un conjunto
con tres elem entos, el núm ero de elem entos de
)B(P)A(P es:
a) 12 b) 24 c) 48
d) 64 e) 32
28. Sea A , B y C subconjuntos de un conjunto universal U .
D e las afirm aciones:
I. Si )CB(A y CA entonces BA
II. Si BA , entonces BA
(B = com plem ento de B)III. Si BA y CB ; entonces CA .
IV. Si UCBA Entonces CBA
a) Sólo II es verdadera.
b) Sólo I, II y IV son verdaderas.
c) Sólo I es verdadera.
d) Sólo I y II son verdaderas.
e) Todas son verdaderas.
29. D ecir cuál de los siguientes enunciados es falso:
a) BAABBA
b) CACBBA
c) BxBAAx
d) BxBAAx
e) BAxBxAx
30. D ecir cuál de los siguientes enunciados es falso:
a) BAB ,A
b) BAB ,A
c) BABA
d) BABA
e) AAA
31. Si:
prim oes x04N /xxA 2 02x3R/xxB 2
Entonces BA es:
a) b) { } c) {2}d) {1} e) {-2}
32. En un aula de 25 alum nos deportistas hay : 16 alum nos
que practican básquet 14 alum nos que practican fútbol,
11 alum no s que practican tenis, 6 alum no s que
practican los tres deportes, 2 alum nos que practican
fútbol y básquet pero no tenis, 1 alum no que practica
básquet y tenis pero no fútbol, 3 alum nos que practicansolo tenis.
¿C uántos alum nos practican sólo un deporte?
a) 7 b) 5 c) 15
d) 3 e) 12
33. D e un grupo de 45 cachim bos, se sabe que 14 alum nos
no tienen 17 años, 20 alum nos no tienen 16 años, 8
alum nos y 3 alum nas no tienen 16 ni 17 años.
¿Cuántas alum nas tienen 16 ó 17 años?
a) 6 b) 16 c) 27
d) 12 e) 3
34 . A un m atrim onio asistieron 150 personas, el núm ero
de hom bres es el doble del núm ero de m ujeres.
D e los hom bres : 23 no usan reloj pero si tienen terno,
y 42 tiene reloj.
D e las m ujeres : las que no usan m inifalda son tantas
com o los hom bres que no usan terno ni reloj y 8 tienen
m inifalda y reloj.
¿C uántas m ujeres usan m inifalda, pero no reloj?
a) 7 b) 6 c) 8
d) 5 e) 9
35. Las fichas de d atos personales llenad os por 74
estudiantes que ingresaron a San M arcos, arrojaron
los siguientes resultados:
* 20 estudiantes son de Lim a.
* 49 se prepararon en academ ia.
* 27 postularon por prim era vez.
* 13 de Lim a se prepararon en academ ia.
* 17 postularon por prim era vez y se prepararon en
academ ia.
* 7 de Lim a postularon por prim era vez.
* 8 de provincias que no se prepararon en academ ia
postularon por prim era vez.
H allar respectivam ente:
I. ¿Cuántos alum nos de Lim a que se prepararon en
academ ia postularon por prim era vez?
II. ¿Cuántos alum nos de provincias que no se prepa-
raron en academ ia postularon m ás de una vez?
a) 5 y 12 b) 5 y 10 c) 3 y 10
d) 4 y 10 e) 4 y 12
-
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TRILCE
27
36. D ados los conjuntos:
3;2;1;
2
1 ;1;2;3A
3x2/AxB y
02x3x2/AxC 2 El resultado de B)CA( es:
a) 3;2;1;1 b) 2;1;1
c) 3;1;1 d)
2;1;
2
1 ;1
e) {1 ; 1}
37 . En una escuela de 135 alum nos, 90 practican fútbol,
55 básketbol y 75 natación. Si 20 alum nos practican
los tres deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos
alum nos practican un deporte y sólo uno?
a) 50 b) 55 c) 60
d) 70 e) 65
38. D e un grupo de 100 seño ritas: 10 son solam ente
flaquitas, 12 solam ente m orenas, 15 son solam ente
altas, ad em ás 8 tienen po r lo m enos 2 d e estas
características. ¿C uántas señoritas del grupo no tienen
ninguna de las tres características?
a) 50 b) 51 c) 55
d) M ás de 60 e) M enos de 40
39. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el cursode Sociología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si
27 alum nos no siguen Filosofía ni Sociología, ¿cuántos
alum nos llevan exactam ente uno de tales cursos?
a) 40 b) 44 c) 48
d) 52 e) 56
40. D e 5 00 po stulantes que se presentaron a las
universidades C atólica o Lim a, 300 postularon a la
C atólica, igual núm ero a la U de Lim a, ingresando la
m itad del total de postulantes; los no ingresantes se
presentaron a la universidad Ricardo Palm a, de estos,
90 no se presentaron a C atólica y 130 no se presentaron
a la U de Lim a.
¿C uántos postulantes ingresaron a la C atólica y a la U
de Lim a?
a) 20 b) 30 c) 80
d) 70 e) 90
41 . Sean los conjuntos no disjuntos A; B, C y D donde se
sabe que el conjunto A tiene 241 elem entos, el conjunto
B tiene 274 elem entos, el con jun to C tiene 215
elem entos y el conjunto D tiene 282 elem entos.
C alcular el núm ero de elem entos que tiene la
intersección de los 4 conjuntos si es lo m ínim o posible,
adem ás se sabe que la unión de los 4 conjuntos es300.
a) 68 b) 79 c) 87
d) 119 e) 112
42. D ados los conjuntos:
A = {3 ; 7 ; 8}
B = {2 ; 3 ; 6 ; 9}Se define:
BbAb/aaBA y las proposiciones:
I. E n BA el elem ento m ayor es 17.II. 12)BA(n III. La sum a de los elem entos de AA es 72.
¿Cuáles son verdaderas?
a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III
d) Todas e) I y III
43. Sean los conjuntos:
50000x!N /30xA
0032N /5xB x
4000xN /20xC x Y las proposiciones:
I. CCA II. BCA III. CCB IV. ABA V. CBA Indicar cuántas son correctas
a) 2 b) 3 c) 5
d) 1 e) 4
44. D ado los conjuntos:
022x
24x /RxM
02x4/QxN
H allar : NM
a)
2
1 ;1
b)
2
1 x1/Qx
c)
2
1 x/Qx
d)
2
1
e) }2;1;1{
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8/9/2019 Compe Aritmética Trilce
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Aritmética
28
45. La diagram ación correcta de la siguiente fórm ula es:
)]BA(B[]B )'A()BA[(
a)A B
b)A B
c)
A B
d)
A B
e)
A B
46 . U na institución educativa necesita contratar a 25
profesores de Física y a 40 profesores de M atem ática.D e estos contratad os, se espera que 10 realicen
funciones tanto de profesor de Física com o de profesor
de M atem ática.
¿C uántos profesores deberá contratar la institución
educativa?
a) 40 b) 50 c) 65
d) 75 e) 55
47. En un concurso de belleza, participaron 44 señoritas,
de las cuales 19 eran de cabello rubio, 19 eran m orenas
y 22 tenían ojos verdes. Tam bién se observó que 5
eran m orenas con cabello rubio, 7 eran m orenas con
ojos verdes y 6 tenían cabello rubio y ojos verdes.
Tam bién habían dos herm anas que tenían las tres
características.
¿C uántas preguntas son necesarias realizar para conocer
a dichas herm anas?
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
48 . Si en un óm nibus viajan 30 pasajeros entre peruanos
y extranjeros, donde hay 9 de sexo fem enino extranjero,
6 niños extranjeros, 8 extranjeros de sexo m asculino,
10 niños, 4 niñas extranjeras, 8 señoras y 7 señores.
¿Cuántas niñas peruanas hay en el autobús?
a) 2 b) 3 c) 4
d) 1 e) 5
49. 41 estudiantes de idiom as, que hablan inglés, francés
o alem án son som etidos a un exam en de verificación,
en el cual se determ inó que:
* 22 hablan inglés y 10 solam ente inglés.
* 23 hablan francés y 8 solam ente francés.
* 19 hablan alem án y 5 solam ente alem án.
¿Cuántos hablan alem án, pero no inglés?
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
50. D e un grupo de m úsicos que tocan flauta, quena o
tuba se sabe que la octava parte toca sólo flauta, la
sétim a parte toca sólo quena, la diferencia de los que
tocan sólo flauta y los que tocan sólo quena es igual a
la cantidad de m úsicos que tocan sólo tuba.
Si adem ás 80 tocan por lo m enos 2 de los instrum entosm encionados.
¿Cuántos tocan sólo quena?
a) 13 b) 14 c) 15
d) 16 e) 17
51 . En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en la
universidad A ; 11 en la universidad B y 16 en la
universidad C .
Si sólo 2 personas estudiaron en las universidades A,
B y C .
¿C uántos estudiaron exactam ente en una de estas
universidades, considerando que todas las personasestudiaron al m enos en una de dichas universidades?
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
52. En una encuesta hecha en una urbanización a un grupo
de am as de casa sobre el uso de tres tipos de detergente
(A, B y C ) se obtuvieron los siguientes datos.
D el total : U san sólo A el 15% ; A pero no B el 22% ; A
y C 11% ; B y C 13% .
La preferencia total de A era del 38% , la de C 26% y
ninguna de las m arcas m encionadas, el 42% .
Se pregunta :A. ¿Q ué tanto por ciento prefieren sólo B?
B. ¿Q ué porcentaje de am as de casa prefieren exacta-
m ente dos tipos de detergente respecto de las que
no prefieren ninguna m arca?
a) 5 y 66,66...% b) 4 y 60%
c) 8 y 26,66...% d) 5 y 73,33...%
e) 6 y 65%
53. D ados los conjuntos A y B donde :
}x1/Rx{}1x/Rx{A
}3{}2y1/Ry{B Entonces el conjunto BA contiene:
a) U na sem irecta disjunta en el tercer cuadrante.
b) D os sem irectas disjuntas en el cuarto cuadrante.
c) N o contiene ninguna sem irecta disjunta.
d) C ontiene dos sem irectas disjuntas, una en el se-
gundo cuadrante y una en el prim ero.
e) D os sem irectas disjuntas, una en el prim er cuadran-
te y otra en el tercero.
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TRILCE
29
54. A , B y C son tres conjuntos tales que satisfacen las
condiciones siguientes:
1. A está contenido en B y B está contenido en C .
2. Si x es un elem ento de C entonces x tam bién es un
elem ento de A.
D ecir ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
a) B no está contenido en A.
b) C no está contenido en B.
c) A = B pero C no es igual a B.
d) La intersección de A con B es el conjunto C .
e) La reunión de A con B tiene elem entos que no
pertenecen a C .
55. Se lanzan dos dados juntos.
¿Cuántos pares ordenados se pueden form ar con los
núm eros de la cara superior?
a) 12 b) 6 c) 18d) 36 e) 72
56. Sean A y B dos conjuntos contenidos en un universo.
Si : BA)AB()BA( ¿C uál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) BAA b) ABB c) BA d) 'AB e) BA)'BA(
57. Para estudiar la calidad de un producto se consideran
3 defectos: A, B y C com o los m ás im portantes.
Se analizaron 100 productos con el siguiente resultado:33 productos tienen el defecto A.
37 productos tienen el defecto B.
44 productos tienen el defecto C .
53 productos tienen exactam ente un defecto.
7 productos tienen exactam ente tres defectos.
¿C uántos productos tienen exactam ente dos defectos?
a) 53 b) 43 c) 22
d) 20 e) 47
58. ¿C uál de estas expresiones es incorrecta?
( CA ind ica el com plem ento de A , A y B están
contenidos en un m ism o conjunto universal)
a) B)BA(C
b) )BA()BA(CCC
c) )BA()BA( CCC
d) A)BA()BA(C
e)
)BA()BA()BA( CCC
59. El círculo A contiene a las letras a, b, c, d, e, f. El círculo
B contiene a las letras b, d, f, g, h. Las letras del
rectángulo C que no están en A son h, j, k y las letras de
C que no están en B son a, j, k.
¿C uáles son las letras que están en la figura som breada?
A B
C
a) {b ; d ; f ; g ; h} b) {a ; b , d ; f ; h}
c) {a ; b ; g ; h ; k} d) {a ; b ; g ; f ; k}
e) {a ; b ; d ; f}
60. El conjunto som breado, m ostrado en la figura adjunta,
representa una operación entre los conjuntos:
L = cuadrado M = círculo
N = triángulo
a) )ML()NLM( b) )MN()NLM( c) )NM()LM( d) )NML()ML()MN( e) )MN()]NL(M[)ML(
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Aritmética
30
lavesClaves
c
b
c
c
d
b
b
d
b
a
e
a
c
c
e
d
a
d
d
d
b
a
b
a
e
b
e
d
c
c
c
c
b
a
b
b
a
c
c
d
e
e
b
b
a
e
d
d
c
d
d
a
d
d
d
c
d
e
b
e
01.
0 2.
0 3.
0 4.
0 5.
0 6.
0 7.
0 8.
0 9.
1 0.
1 1.
1 2.
1 3.
1 4.
1 5.
1 6.
1 7.
1 8.
1 9.
2 0.
2 1.
2 2.
2 3.
2 4.
2 5.
2 6.
2 7.
2 8.
2 9.
3 0.
31 .
32 .
33 .
34 .
35 .
36 .
37 .
38 .
39 .
40 .
41 .
42 .
43 .
44 .
45 .
46 .
47 .
48 .
49 .
50 .
51 .
52 .
53 .
54 .
55 .
56 .
57 .
58 .
59 .
60 .
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TRILCE
31
INTRODUCCIÓN
En nuestra vida diaria, aparecen con m ucha frecuencia
algunas afirm aciones com o:
* Las edades de Juana y R osa son 18 años y 16 años
respectivam ente.
* Tengo 2 vinos : U no de 800 m l y el otro de 640 m l.
* El sueldo de V íctor el m es pasado fue S/. 1500 y este
m es será S/. 1800Podem os observar que las edades, los volúm enes y el dinero
pueden ser m edidos o contados, a los cuales se les llam a
magnit udes escalares .
Obs : H ay m agnitudes no m edibles com o la alegría, la
m em oria; por lo tanto no pueden expresarse num éricam ente,
por ello no las considerarem os en este texto.
CANT IDAD :
Es el resultado de la m edición del estado de una m agnitud
escalar.
Ejemplo :
La altura del edificio Trilce A requipa es 24 m etros.
M agnitud : Longitud
C antidad : 24 m etros
Se llam a m agnitud a todo aquello que puede ser m edido o
cuantificado; adem ás, puede definirse la igualdad y la sum a
de sus diversos estados.
RAZÓN:
Es la com paración que existe entre dos cantidades de unam agnitud, m edian te las op eraciones de sustracción y
división.
RAZÓN A RTIMÉTICA :
E jemplo :
D os toneles contienen 20 litros y 15 litros respectivam ente,
al com parar sus volúm enes.
20 - 15 = 5l l l
Razón Aritm ética
A ntecedenteC onsecuente
Valor de la razón
RAZÓN GEO MÉTRICA :
E jemplo :
Se com paran dos terrenos, cuyas superficies son:2
m80 y
2m48 y así obtenem os:
3
5
m48
m80
2
2A ntecedente
C onsecuenteValor de la razón
R azón G eom étrica
En conclusión:
Sean a y b dos cantidades:
kb
adb-aRazón
G eom étricaA ritm ética
a : antecedente
b : consecuente
d y k : valores de las razones
PROPO RCIÓN
Es la igualdad de dos razones de una m ism a especie.
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
Ejemplo :
Las edades de 4 herm anos son : 24 años, 20 años, 15 años
y 11 años; podem os decir :
24 años 15 años = 9 años
20 años 11 años = 9 años
Se puede establecer la siguiente igualdad:
24 - 15 = 20 - 11
M edios
Extrem os
A la cual se le llam a proporción aritm ética.
C apít ulo
RAZONES Y PROPORCIONES
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Aritmética
32
PROPO RCIÓN GEO MÉTRICA :
E jemplo :
Se tiene 4 terrenos cuyas superficies son2
m9 ;2
m12 ;
2m15 y 2m20 al com prarlos se tiene:
4
3
m20
15m
4
3
m12
m92
2
2
2
Se puede establecer la siguiente igualdad:
20
15
12
9
A la cual se le llam a proporción geom étrica
"9 es a 12, com o 15 es a 20"
D e donde:
(9)(20) = (12)(15)
Extrem os M edios
NOTA:
"C uando los m edios son diferentes, la proporción se llam a
discreta, pero cuando los m edios son iguales se llam a
continua"
PROPORC IÓN ARI TMÉTICA
a - b = c - d a - b = b - c
d : cuarta diferencial b : m edia diferencial
c : tercera diferencial
PROPORC IÓN GEOMÉTRICA
d : cuarta proporcional b : m edia proporcional
c : tercera proporcional
c
b
b
a
d
c
b
a
PROPIEDA DES DE PROPORCIONES
Sead
c
b
a se cum ple:
I. c
dc
a
ba ,
d
dc
b
ba
II.c
dc
a
ba ,
d
dc
b
ba
III.
dc
dc
ba
ba
SE R I E D E RA ZO N ES G EO M ÉTR I C A S
EQUIVALENTES
Sean:
kc
a......
c
a
c
a
c
a
n
n
3
3
2
2
1
1
D e donde:
kca ; .........; kca ; kcann2211
Se cum ple las siguientes propiedades:
I. kc
a...
c
a
c
a
c...cc
a...aa
n
n
2
2
1
1
n21
n21
II.n
n21
n21 kc...cc
a...aa
III.
m
mn
m2
m1
mn
m
2
m
1 kc...cc
a...aa
Obs: D onde "n" nos indica el núm ero de razones.
Ejemplo :
Sea la siguiente serie:
k27
18
18
12
6
4 se cum ple:
I.32
5134
2718618124k
II.27186
18124k3
sim plificando
3
2k
27
8k3
III.)962(3
)962(2
27186
18124k
5555
5555
555
5555
3
2
k3
2
k 5
55
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TRILCE
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EJERCICIOS PROPUESTOS
01 . D os núm eros están en la relación de 2 a 5, si se añade
175 a uno y 115 al otro se hacen iguales.
¿C uál es la diferencia entre estos núm eros?
a) 24 b) 18 c) 30
d) 84 e) 60
02. En una reunión, hay hom bres y m ujeres, siendo el
núm ero de m ujeres al total de personas com o 7 es a 11
y la diferencia entre m ujeres y hom bres es 21.
¿C uál es la razón de m ujeres a hom bres si se retiran 14
m ujeres?
a)3
5b)
4
5c)
3
7
d) 3
4e) 2
3
03. En un salón de clase el núm ero de varon es, es al
núm ero de m ujeres com o 3 es a 5. Si se considera al
profesor y una alum na m enos, la nueva relación será
3
2, hallar cuántas alum nas hay en el salón.
a) 25 b) 15 c) 20
d) 30 e) 24
04. D os óm nibus tienen 120 pasajeros, si del óm nibus
con m ás pasajeros se trasladan los 5
2 de ellos al otro
óm nibus, am bos tendrían igual núm ero de pasajeros.
¿C uántos pasajeros tiene cada óm nibus?
a) 110 y 10 b) 90 y 30 c) 100 y 20
d) 70 y 50 e) 80 y 40
05. Lo que cobra y gasta un profesor sum an 600. Lo que
gasta y lo que cobra están en relación de 2 a 3.
¿En cuánto tiene que dism inuir el gasto para que dicha
relación sea de 3 a 5?
a) 16 b) 24 c) 32
d) 15 e) 20
06. A B y B C están en relación de 1 a 5, C es siete
veces A y sum ando A ; B y C obtenem os 100.
¿Cuánto es2)CA( ?
a) 3600 b) 2500 c) 3025
d) 2304 e) 3364
07. A una fiesta, asistieron 140 personas entre hom bres y
m ujeres. Por cada 3 m ujeres hay 4 hom bres. Si se
retiran 20 parejas, ¿C uál es la razón entre el núm ero de
m ujeres y el núm ero de hom bres que se quedan en la
fiesta?
a)3
2b)
5
4c)
3
1
d) 4
3
e) 3
5
08. Si : 1120cba yc
10
b
7
a
2
H allar: a + b + c
a) 28 b) 32 c) 38
d) 19 e) 26
09. Si:10
q
8
p
5
n
2
m
Adem ás : nq m p = 306
Entonces : p + q m n
Es igual a :
a) 11 b) 22 c) 33
d) 44 e) 55
10. Si:15
d
12
c
8
b
3
a
Adem ás : a . b + c . d = 459
C alcule: a + d
a) 27 b) 21 c) 35
d) 8 e) 32
11. Sean:
96
U
U
R
R
E
E
P
P
3
C alcular: E
a) 12 b) 6 c) 18
d) 24 e) 36
12. L as edades de Javier; C ésar y M iguel son
proporcionales a los núm eros 2 ; 3 y 4.
Si dentro de 9 años sus edades serán proporcionales a
7 ; 9 y 11 respectivam ente.
H allar la edad actual de C ésar.
a) 15 años b) 16 años c) 17 años
d) 18 años e) 19 años
13 . En una reunión social, se observó en un determ inado
m om ento que el núm ero de varones y el núm ero de
m ujeres estaban en la relación de 7 a 8, m ientras los
que bailaban y no bailaban fueron unos tantos com o
otros. Si hubo en ese m om ento 51 m ujeres que no
bailaban.
¿Cuántos varones no estaban bailando?
a) 45 b) 51 c) 39
d) 26 e) 60
-
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Aritmética
34
14. Se tiene una proporción aritm ética continua, donde la
sum a de sus cuatro térm inos es 160, hallar el valor de
la razón aritm ética, sabiendo que los extrem os son entre
sí com o 11 es a 5.
a) 15 b) 6 c) 8d) 50 e) 24
15. Se tiene una proporción aritm ética continua, donde la
sum a de sus cuatro térm inos es 360.
H allar el valor de la razón aritm ética, sabiendo que los
extrem os son entre sí com o 7 es a 2.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 50 e) 24
16 . La diferencia entre el m ayor y el m enor térm ino de una
proporción geo m étrica continua es 245. Si el otro
térm ino es 42.H allar la sum a de los térm inos extrem os.
a) 259 b) 6 c) 8
d) 50 e) 24
17 . La diferencia entre el m ayor y el m enor térm ino de una
proporción geom étrica continua es 64, si el otro térm ino
es 24.
H allar la sum a de los térm inos extrem os.
a) 80 b) 6 c) 8
d) 50 e) 24
18. Si 45 es la cuarta diferencial de a, b y c, adem ás, 140 es
la tercera diferencial de 2a y 160.
H allar la m edia aritm ética de b y c.
a) 14 b) 67,5 c) 15
d) 12,5 e) 11,5
19. La sum a de los cuatro térm inos de una proporción
geom étrica es 65; cada uno de los tres últim os térm inos
es los3
2 del precedente.
El últim o térm ino es:
a) 13 b) 8 c) 9
d) 15 e) 12
20. Sabiendo que:c
b
b
a
Adem ás:
8ca
16ca
H allar: "b"
a) 2 b) 24 c) 15
d) 20 e) 64
21 . La relación de las edades de 2 personas es5
3. Si hace
"n" años, la relación de sus edades era com o 1 es a 2 y
dentro de "m " años será com o 8 es a 13.
C alcular en qué relación se encuentran: n y m .
a)3
2b)
1
5c)
3
7
d)3
1e)
9
8
22. D os cirios de igual calidad y diám etro, difieren en 12
cm de longitud. Se encienden al m ism o tiem po y se
observa que en un m om ento determ inado, la longitud
de uno es el cuádruplo de la del otro y m edia hora
después, se term ina el m ás pequeño. S i el m ayor dura
4 horas, su longitud era:
a) 24 b) 28 c) 32d) 30 e) 48
23. Se tiene dos cilindros y cada uno recibe 2 litros de
aceite por m inuto. H ace 3 m inutos el triple del volum en
del prim ero era el doble del segundo m enos 11 litros.
¿C uál es la diferencia entre los volúm enes si la sum a de
ellos en este instante es de 100 litros?
a) 23 litros b) 22 litros c) 25 litros
c) 21 litros e) 24 litros
24. En un corral, se observa que por cada 2 gallinas hay 3patos y por cada 5 gansos hay 2 patos. Si se aum entaran
33 gallinas la cantidad de éstas sería igual a la cantidad
de gansos, calcular cuántos patos hay en el corral.
a) 15 b) 13 c) 12
d) 16 e) 18
25. Si: kf
e
d
c
b
a
A dem ás: 168)fe)(dc)(ba(
H allar:33 fdbeca
a)122 b) 16 c)
162
d)20
2 e) 42
26. Si:p
c
n
b
m
a y 125
pnm
cba333
333
C alcule:333
222
pnm
pcnbmaE
a) 23 b) 24 c) 25
d) 28 e) 32
-
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TRILCE
35
27. Si se sabe que:n
s
m
rq
h
p
y
(p + q + r + s) ( h + + m + n) = 6724
C alcular el valor num érico de la expresión.
m rsnqph21
I
a) 82 b) 164 c) 41
d) 80 e) 40
28. Si :K
1
d
c
b
a
Adem ás :6d
3c
2b
1a
El valor de K es :
a) 2 b) 4 c) 6
d) 3 e) 5
29. U n cilindro contiene 5 galones de aceite m ás que otro.
La razón del núm ero de galones del uno al otro es7
8.
¿C uántos galones de aceite hay en cada uno?
a) 28 : 33 b) 42 : 47 c) 35 : 40
d) 21 : 26 e) 56 : 61
30. Sea:
kz
C
y
B
x
A
Si:
14zyx
CBA
z
C
y
B
x
A222222
22
22
22
H allar "k"
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
31. Si: K10
bc
15
ac
8
ab
Entonces, la sum a de los m enores valores naturales de
a, b , c y K es:
a) 30 b) 35 c) 37
d) 45 e) 47
32 . La razón de una proporción geom étrica es un entero
positivo, los térm inos extrem os son iguales y la sum a
de los térm inos de la proporción es 192.
H allar el m enor térm ino m edio.
a) 9 b) 3 c) 147
d) 21 e) 63
33 . H allar 3 núm eros enteros que sum an 35, tales que el
prim ero es al segundo com o el segundo es al tercero.
D ar com o respuesta el producto de los tres núm eros
enteros.
a) 500 b) 1000 c) 1500
d) 2000 e) 2500
34. Si:d
c
b
a y (a b) (c d) = 36
H allar: bdacE
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 12
35 . El núm ero de vagones que llevan un tren A es los11
5
del que lleva un tren B; el que lleva un tren C , los13
7
de otro D . Entre A y B llevan tantos vagones com o los
otros dos. Si el núm ero de vagones de cada tren no
puede pasar de 60, ¿Cuál es el núm ero de vagones
que lleva el tren C ?
a) 26 b) 14 c) 39
d) 52 e) 28
36 . El núm ero de vagones que lleva un tren A es los11
5
del que lleva un tren B; y, el que lleva un tren C , los23
9
de otro D .
Entre A y B llevan tantos vagones com o los otros dos.
¿Cuál es el núm ero de vagones de cada tren, sabiendo
que no puede pasar de 25?
a) 10 ; 22 ; 9 ; 23
b) 8 ; 21 ; 9 ; 20
c) 11 ; 23 ; 9 ; 25
d) 10 ; 21 ; 12 ; 19
e) 1 3 ; 22 ; 10 ; 25
37. En una serie de razones geom étricas equivalentes se
tiene que : el prim er y tercer antecedente son 18 y 33,
y el segundo consecuente es 8.
Si el producto de los 3 térm inos restantes es 1584,
hallar el segundo antecedente.
a) 30 b) 18 c) 24
d) 36 e) 48
38. La sum a de los cuatro térm inos de una proporción
geom étrica continua es a la diferencia de sus extrem os
com o 3 es a 1.
¿Cuál es la razón geom étrica del extrem o m ayor y el
extrem o m enor?
a)1
3b)
2
3c)
1
4
d)1
2e)
3
5
-
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Aritmética
36
39. U n niño dem ora en subir una cuesta 1 hora y m edia. A
un adulto, le es la m itad m enos dificultoso subir y bajar
que al niño. Si al ad ulto le tom ó2
1 hora bajar,
m anteniéndose constante la relación de tiem po de
subida y bajada, ¿Cuál será la sum a de tiem po de bajada
del niño y subida del adulto?
a) h2
1b) 1 h c) h
4
7
d) h4
3e) h
2
3
40. En una proporción geom étrica la sum a de los extrem os
es 29 y la sum a de los cubos de los 4 térm inos de dicha
proporción es 23814.
H allar la sum a del m ayor extrem o y el m ayor m edio de
esta proporción si la sum a de sus térm inos es 54.
a) 25 b) 30 c) 35
d) 40 e) 45
41. H allar el producto de los térm ino s de un a razón
geom étrica que cum pla: si sum am os "n" al antecedente
y consecuente de dicha razón se form a otra razón cuyo
valor es la raíz cuadrada de la razón inicial.
a) n b)2
n c) n
d) 3 n e) 1
42. La razón de 2 núm eros enteros queda elevada al
cuadrado cuando a sus térm inos se les dism inuye 3
unidades.
Indique la diferencia de los térm inos de dicha razón.
a) 4 b) 8 c) 12
d) 9 e) 7
43. D os m óviles parten en el m ism o instante. El prim ero
del punto A y el segundo del punto B y m archan el uno
hacia el otro con m ovim iento uniform e sobre la recta
AB. C uando se encuentran en M , el prim ero ha recorrido
30m m ás que el segundo. C ada uno de ellos, prosigue
su cam ino. El prim ero tarda 4 m inutos en recorrer la
parte M B y el segundo tarda 9 m inutos en recorrer M A.
H allar la distancia A B.
a) 100 m b) 150 m c) 200 m
d) 300 m e) 320 m
44. E n una serie d e cuatro razones geom étricas las
diferencias de los térm inos de cada razón son 6, 9, 15
y 21 respectivam ente y la sum a de los cuadrados de
los antecedentes es 1392.
H allar la sum a de los dos prim eros consecuentes si la
constante de proporcionalidad es m enor que uno.
a) 30 b) 40 c) 35
d) 70 e) 66
45. Se tiene una serie de razones continuas equivalentes,
donde cada consecuente es el doble de su antecedente,
adem ás la sum a de sus extrem os es 260.
Indica el m ayor térm ino.
a) 246 b) 256 c) 140d) 128 e) 220
46. Pepe y Luchín son encuestadores y entablan la siguiente
conversación:
Pepe: Por cada 5 personas adultas que encuestaba, 3
eran varones; y por cada 5 niños, 3 eran m ujeres adultas.
Luchín: Pero yo encuestaba 2 varones adultos por cada
3 m ujeres adultas; y 4 m ujeres adultas por cada 5 niños.
Pepe: A unque parece m entira, encuestam os igual
núm ero de personas. Adem ás, m i cantidad de m ujeres
es a m i cantidad de varones com o 87 es 88.
Luchín: Y en la relación de 12 a 13 en m i caso.
Pepe: ¡O ye!, te das cuenta que yo entrevisté 90 m ujeres
adultas m enos que tú.
Según esta charla, calcule:
a = cantidad de niños varones.
b = cantidad de varones adultos que entrevistó Luchín.
c = cantidad de personas adultas que entrevista Pepe.
D é com o respuesta: "a + b c"
a) 20 b) 55 c) 42
d) 36 e) 10
47. Si:2
3
cba
p
bac
n
acb
m
D eterm inar:cpbnam
)nm(p)pm(n)pn(mE
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
48 . Al restar 4 unidades a cada uno de los térm inos de una
razón geom étrica, se obtiene el doble del cuadrado de
dicha razón. Indique la razón aritm ética de los térm inos
de la razón geom étrica inicial.
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
49 . En una proporción geom étrica continua cuyo producto
de sus térm inos es 65536; se cum ple que la m edia
aritm ética de los antecedentes es igual a16
9 de la m edia
arm ónica de los consecuentes.
H allar la diferencia de los extrem os.
-
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TRILCE
37
a) 8 b) 12 c) 24
d) 32 e) 40
50. En una proporción geom étrica continua donde los
térm inos extrem os son 2 cuad rad os perfectos
consecutivos, se cum ple que la sum a de las diferenciasde los térm inos de cada razón está com prendida entre
11 y 31. C alcular la sum a de todos los valores que
puede tom ar la m edia proporcional.
a) 1120 b) 5160 c) 9920
d) 9348 e) 1050
51. En una proporción, cuya constante es m ayor que la
unidad, la sum a de los antecedentes es 45 y la diferencia
de los consecuentes es 20.
C alcule el m enor de los térm inos considerando que
todos los térm inos son enteros.
a) 5 b) 8 c) 3
d) 6 e) 7
52. C uatro recipientes cúb icos, cuyas aristas son
proporcionales a los cuatro prim eros núm eros prim os
están ordenados en form a creciente. C ontienen agua,
de tal m anera que las alturas de lo que les falta llenar
son proporcionales a los prim eros núm eros naturales,
estando el prim ero hasta el 50% de su capacidad. Si
vaciam os el contenido del cuarto recipiente, en los otros
3 sobraría aba litros m enos de lo que faltaría para
llenarlo si vaciáram os el contenido de los 3 en éste.
C alcule el contenido del cuarto recipiente.
a) 1764 l b) 1323 l c) 1647 l
d) 3067 l e) 1552 l
53 . El producto de los térm inos de una proporción continua
es 38416. Si la diferencia de los antecedentes es la
m itad de la diferencia de los consecuentes, determ inar
la diferencia entre la sum a de las terceras proporcionales
y la m edia proporcional.
a) 13 b) 16 c) 31
d) 21 e) 11
54. Si :d
c
b
a y a+ b = 2(c + d), siendo el valor de la
constante de proporcionalidad igual ac
1; y la sum a de
los cuatro térm inos de la proporción 60.
H allar el valor de la m edia aritm ética de los extrem os.
a) 9 b) 22 c) 12
d) 32 e) 40
55. En una proporción aritm ética continua, cuyos térm inosson enteros y m ayo res que 2, se convierten en
geom étrica del m ism o tipo cuando a sus térm inos
m edios se les dism inuye 2 unidades. C alcule el m ayor
de los térm inos si todos son los m enores posibles.
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 10
56 . En un polígono regular de "n" vértices num erados del
1 al "n" hay tres personas "A"; "B" y "C " parados en el
vértice 1.
En un m om ento dado, ellos com ienzan a cam inar por
los lados. "A" cam ina en el sentido de la num eración
de los vértices ...)321( , "B" y "C" lo hacen en
sentido contrario, "A" se cruza con "B" por prim era vez
en un vértice y con "C " dos vértices m ás adelante. Se
sabe que "A" cam ina el doble de rápido que "B" y éste
el doble de rápido que "C ".
¿C uántos vértices tiene el polígono?
a) 10 b) 12 c) 14
d) 15 e) 18
57. Tres nú m eros enteros, cuya sum a es 15 87, son
proporcionales a los factoriales de sendos núm eros
consecutivos.
H allar el m ayor de éstos núm eros, si la constante de
proporcionalidad es entera.
a) 506 b) 1012 c) 768
d) 1518 e) 1536
58. En una serie continua de "p" razones geom étricas, el
producto de los térm ino s posee 33 divisores que
poseen raíz p - ésim a. C alcular la m edia proporcionalde los extrem os, si todos los térm inos y la constante
son enteros y m ínim os.
a)162 b) 1024 c) 243
d)482 e) 96
59 . U n cirio tiene do ble diám etro del diám etro de otro.
Estos cirios, que son de igual calidad y de igual longitud
se encienden al m ism o tiem po y al cabo de una hora
difieren en 24 cm . Transcurrida m edia hora m ás, la
longitud de uno es el triple de la longitud del otro.
¿Q ué tiem po dura el cirio m ás grueso?
a) 8h 30' b) 8h 15' c) 8h
d) 7h 30' e) 7h 15'
60. Se tiene la siguiente serie:
223
23
22
21
42!23
a......
4!3
a
3!2
a
2!1
a
Se sabe adem ás que:
)2!20(25a......aaa18321
C alcular el m ayor antecedente:
a) 25!24 b) 24!25 c) 27!28d) 20!22 e) 21!23
-
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Aritmética
38
lavesClaves
e
b
a
c
b
a
a
c
c
a
a
d
c
a
d
a
a
b
b
c
b
c
b
e
c
c
c
a
c
b
e
b
b
c
e
a
c
c
c
e
b
b
b
c
b
b
c
d
c
e
b
b
d
c
c
d
d
e
b
a
01 .
02 .
03 .
04 .
05 .
06 .
07 .
08 .
09 .
10 .
11 .
12 .
13 .
14 .
15 .
16 .
17 .
18 .
19 .
20 .
21 .
22 .
23 .
24 .
25 .
26 .
27 .
28 .
29 .
30 .
31 .
32 .
33 .
34 .
35 .
36 .
37 .
38 .
39 .
40 .
41 .
42 .
43 .
44 .
45 .
46 .
47 .
48 .
49 .
50 .
51 .
52 .
53 .
54 .
55 .
56 .
57 .
58 .
59 .
60 .
-
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TRILCE
39
INTRODUCCIÓN
Elpr om ed io ar i tméti co es una m edida de tendencia
central, que tiene im portancia en el caso en que los datos se
junten aditivam ente para obtener un total. D e hecho, puede
interpretarse com o un valor que podría sustituir a cada uno
de los datos para obtener la m ism a sum a total.
Elpr om edio geométr ic o por su parte, es relevante cuandolos datos se usan m ultiplicativam ente para obtener un
resultado. Es así que puede interpretarse com o un valor, que
puede sustituir a cada dato, para producir el m ism o producto
total.
Elpromed io armónico tiene im portancia cuando usam os
los datos sum ando los recíprocos de cada uno de los datos
y se puede interpretar con un valor que puede sustituir a
cada dato para producir la m ism a sum a de los recíprocos.
PROMEDIO
D ado un conjunto de datos diferentes es frecuente calcular
un valor representativo de ellos, que este com prendido entre
el m enor y el m ayor de ellos; a dicha cantidad se le llam a:
prom edio o valor m edio o sim plem ente m edia de los datos.
Sean "n" cantidades en sucesión m onótona creciente:
n321a ; .... ; a ; a ; a
El prom edio de ellas será "p" si:
n1apa
PROMEDIO S MÁS UTIL IZADO S
1 . Promed io Ar i tmét ico o Med ia Ar i tmét ica (M .
A .)
n
a...aaaM .A. n321
Ap l i cac ión :
U n vendedor independiente ganó en el Verano pasado:
Enero S/. 800; Febrero S/. 1200 y M arzo S/. 1300.
¿Cuál fue su prom edio m ensual?
Resolución:
El prom edio m ensual viene a ser la M edia A ritm ética
(M . A.) de dichas cantidades.
S/.11003
S/.1300S/.1200800S/..A.M
2 . P r omed i o Geomét r i c o o Med i a Geomét r i c a
(M.G. )
nn21
a.....aaM .G .
Ap l i cac ión :
En los últim os 5 m eses, el gobierno actual registró una
tasa de inflación m ensual de 2% , 5% , 20% , 20% y
25% . Encuentre la tasa de inflación m ensual prom edio
durante ese tiem po.
Resolución:
El prom edio de dichas tasas viene a ser la m edia
geom étrica (M . G .) de dichas tasas.
5
%25%20%20%5%2M G
M G = 10%
3 . P romed io A rmón i co o Med ia A rmón i ca (M .H . )
n321a
1....
a
1
a
1
a
1
nM .H .
C apít ulo
PROM EDI OS
4
-
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Aritmética
40
Ap l i cac ión :
U n am a de casa gasta S/. 30, cada m es, durante 3 m eses
consecutivos, en la com pra de aceite. El prim er m es
com pró a S/. 10 el galón, el segundo m es lo com pró a
S/. 6 el galón y el tercer m es lo com pró a S/. 3 el galón;
diga entonces ¿cuál fue el costo prom edio m ensual?
Resolución:
galones#
TotalC ostoProm edioC osto
Entonces el costo prom edio es:
S/.518
S/.90
S/.3
S/.30
S/.6
S/.30
S/.10
S/.30
S/.30S/.30S/.30
Podem os observar que el costo prom edio es la m edia
arm ónica de S/.10 , S/.6 y S/.3 es decir:
5
3
1
6
1
10
13
.H.M
PARA D OS CANTIDAD ES a y b
baab2M .H .
baM .G .2
baM .A.
PROPIEDADES
1. Para "n" cantidades se cum ple:
M .H .M .G .M .A.
2. Para dos cantidades a y b se cum ple:
2)b,a()b,a()b,a( M .G .M .H .M .A.
3. El error que se com ete al tom ar la m edia aritm ética
(M .A .), com o m edia geo m étrica (M .G .) para d os
núm eros es:
)M .G .M .A.(4
)ba(M .G .M .A.
2
PROMED IO PON D ERADO (P. P. )
Es un caso particular del prom edio aritm ético, donde una o
m ás cantidades se repiten dos o m ás veces.
Ap l i cac ión :
Al final del sem estre académ ico, un alum no de la U niversidadobserva su récord de notas:
132Economía
153 I Físi ca
144I Q uím i ca
126Matem át ic a I
No ta crédi t os de Nº Curso
D eterm ine su prom edio.
Resolución:
El núm ero de créditos indica las veces que se repite cada
nota. Entonces el prom edio ponderado es:
62,132346
132153144126P.P
En general :
D atos: n321a ; ... ; a ; a ; a
Pesos: n321 p; ... ; p; p; p
El Prom edio Ponderado (P.P.) es:
n21
nn2211
p....pp
pa......papa
P. P. =
NOTA: C uando no nos m encionen qué tipo de prom edio
se ha tom ado y sólo se diga prom ed io de ..............,
considerarem os al Prom edio A ritm ético.
-
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TRILCE
41
EJERCICI OS PROPUESTOS
01 . ¿Cuál es el valor m edio entre 0,10 y 0,20?
a) 0,09 b) 0,21 c) 0,11
d) 0,15 e) 0,18
02. D e un grupo de 6 personas, ninguna de ellas es m enor
de 15 años. Si el prom edio aritm ético de las edades es
18 año s.
¿Cuál es la m áxim a edad que puede tener una de ellas?
a) 33 b) 32 c) 34
d) 35 e) 31
03. H allar el va