1
CONCEPTVOORSTELLEN LEERGEBIED REKENEN EN WISKUNDE 7 mei 2019
INLEIDING
In dit document vindt u de conceptvoorstellen van de leraren en schoolleiders van het
ontwikkelteam Rekenen & Wiskunde. Het team vraagt hierop uw feedback vóór 11
augustus. Ga voor de samenvatting van de voorstellen en om feedback te geven naar
www.curriculum.nu.
Wat zijn dit voor voorstellen? De leraren en schoolleiders hebben een visie op het
leergebied opgesteld, op basis daarvan de essenties van het leergebied benoemd (grote
opdrachten) en die vervolgens uitgewerkt in kennis en vaardigheden voor het primair
onderwijs en de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Dit zijn de bouwstenen. Voor
de bovenbouw van het voortgezet onderwijs heeft het team aanbevelingen geformuleerd
voor de herziening van de eindtermen. De voorstellen gaan over de onderwijsinhoud
(wat), niet over didactiek (hoe).
Op basis van uw feedback werkt het team hieraan verder, om het vervolgens te
overhandigen aan de minister voor Basis- en Voortgezet onderwijs. De voorstellen van
alle ontwikkelteams van leraren en schoolleiders voor de 9 leergebieden vormen de basis
voor de actualisatie van de huidige kerndoelen en eindtermen.
Waarom deze actualisatie van het curriculum? Voor het eerst worden de kerndoelen van
het primair en voortgezet onderwijs door leraren zelf en in samenhang geactualiseerd.
Dit draagt bij aan doorlopende leerlijnen, de samenhang in het onderwijs, het
terugdringen van overladenheid en de balans in de hoofddoelen van het onderwijs:
kwalificatie, socialisatie en persoonlijke vorming. Lees verder op www.curriculum.nu en
bekijk de animatie op www.curriculum.nu/animatie.
2
INHOUDSOPGAVE
VISIE OP HET LEERGEBIED REKENEN & WISKUNDE ................................................... 3
GROTE OPDRACHTEN 1 t/m 6 (inhouden) ................................................................. 8
GROTE OPDRACHTEN 7 t/m 13 (denk- en werkwijzen) ..............................................27
RAAMWERK GROTE OPDRACHTEN EN BOUWSTENEN REKENEN & WISKUNDE ..............46
GENERIEKE AANBEVELINGEN BOVENBOUW VMBO, HAVO en VWO .............................47
BOUWSTENEN ......................................................................................................48
Bouwsteenset 1.1: Getallen ................................................................................48
Bouwsteenset 2.1: Verhoudingen .........................................................................56
Bouwsteenset 3.1: Meten ...................................................................................59
Bouwsteenset 3.2: Vorm en ruimte ......................................................................62
Bouwsteenset 3.3: Rekenen in de meetkunde .......................................................65
Bouwsteenset 4.1: Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen ........................67
Bouwsteenset 4.2: Speciale verbanden.................................................................70
Bouwsteenset 5.1: Kansen en kansverdelingen .....................................................73
Bouwsteenset 5.2: Data en statistiek ...................................................................76
Bouwsteenset 6.1: Veranderingen .......................................................................80
Bouwsteenset 6.2 Benaderingen ..........................................................................83
Bouwsteenset 7.1: Gereedschap en technologie gebruiken ......................................86
Bouwsteenset 8.1: Probleemoplossen ...................................................................89
Bouwsteenset 9.1: Abstraheren ...........................................................................92
Bouwsteenset 10.1: Logisch redeneren.................................................................95
Bouwsteenset 11.1: Representeren en communiceren ............................................98
Bouwsteenset 12.1: Modelleren ......................................................................... 101
Bouwsteenset 13.1: Algoritmisch denken ............................................................ 104
BIJLAGE 1: BEGRIPPENLIJST ............................................................................... 107
BIJLAGE 2: BRONNENLIJST .................................................................................. 110
3
VISIE OP HET LEERGEBIED REKENEN & WISKUNDE
Het project Curriculum.nu
Doelstelling van het project Curriculum.nu is ontwikkeling van de curricula in negen
leergebieden (uit: werkopdracht aan de ontwikkelteams):
• dat toekomstgericht is en waarbij de ontwikkeling van de leerling centraal staat;
• dat samenhangend is;
• waarbij er meer balans is tussen de drie hoofddoelen in het onderwijs:
kwalificatie, socialisatie en persoonsvorming;
• dat een heldere doorlopende leerlijn po-vo kent, waarbij er ook sprake is van een
goede aansluiting op de voorschoolse periode en het vervolgonderwijs;
• waarin de – door de overheid vast te leggen – kern voor alle leerlingen in het po
en vo beperkt is, zodat overladenheid wordt teruggedrongen en er voldoende
keuzeruimte is voor scholen en leerlingen; de gedachten gaan naar een kern van
70% van het huidige curriculum;
• dat scholen voldoende houvast biedt om op schoolniveau tot een samenhangend
en doorlopend curriculum te komen.
Het ontwikkelteam hecht het meeste belang aan de toekomstgerichtheid van het
curriculum en de doorlopende leerlijn van po naar vo. Daarnaast acht ze het van belang
dat een nieuw curriculum een stevig fundament van kennis en vaardigheden heeft, het
leerlingen plezier verschaft, ertoe leidt dat leerlingen de wereld door een wiskundebril
leren bekijken en zich wiskundige denk- en werkwijzen eigen maken. Met dit nieuwe
curriculum moet maatwerk en differentiatie mogelijk zijn.
Het bovenstaande vormt het uitgangspunt voor deze visie.
A. Relevantie van het leergebied
Positie van het leergebied
Onder het leergebied Rekenen & Wiskunde worden
alle vakken en leerdomeinen gerekend met
rekenen en/of wiskunde in hun naam. Het
leergebied vormt samen met Nederlands een basis
voor alle andere vakken en leergebieden in het
primair, speciaal en voortgezet onderwijs. Het
fundament moet voor alle leerlingen van alle
niveaus, van praktijkonderwijs tot vwo, op orde
zijn zodat zij zelfredzaam kunnen zijn in de
maatschappij. Voor de wijze waarop berekeningen
en andere reken- en wiskundige bewerkingen
uitgevoerd worden, is rekenen en wiskunde
faciliterend voor andere vakken en leergebieden.
Dat wil zeggen dat wat aan leerstof en denk- en
werkwijzen bij rekenen en wiskunde wordt geleerd, toegepast kan worden in de meeste
andere leergebieden.
Relevantie van het leergebied en onderdelen daarvan
De taal van rekenen en wiskunde is voor iedereen hetzelfde. In geschreven taal zullen
cijfers en symbolen er anders uitzien, maar de wiskundige principes blijven altijd
hetzelfde. Deze universele vaktaal is voor ons allemaal, niet alleen voor reken- en
wiskundigen.
In het primair en speciaal
onderwijs gaat het om rekenen
en wiskunde. De onderbouw van
het voortgezet onderwijs kent
een leergebied dat rekenen en
wiskunde heet. In de
bovenbouw wordt onderscheid
gemaakt tussen rekenen en
wiskunde, dat in havo en vwo op
zijn beurt een aantal varianten
kent.
4
In het dagelijks leven komen leerlingen automatisch in aanraking met rekenen en
wiskunde. Rekenen en wiskunde hebben een belangrijke rol bij het begrijpen van de
wereld om ons heen, dicht bij huis en verder weg; denk hierbij onder andere aan
ontwikkelingen op het gebied van duurzaamheid en globalisering.
Het leergebied nodigt verder uit tot veel gebruik van informatietechnologie. Het
leergebied is dan ook onmisbaar voor socialisatie en persoonsvorming. Hiertoe dragen
rekenen in contexten en het onderdeel data en onzekerheid bij. Daarnaast dragen
rekenen en wiskunde bij aan kwalificatie voor de (onderwijs)loopbaan van elke leerling.
Het onderdeel rekenen ten slotte heeft twee functies:
bevorderen van het functioneel rekenen
voorbereiden van leerlingen op wiskunde (formeel rekenen).
Beide functies zijn niet voor alle leerlingen even relevant.
De drie hoofddoelen van het onderwijs
Het primair, speciaal en voortgezet onderwijs
kent volgens de uitgangspunten van
Curriculum.nu drie hoofddoelen: kwalificatie,
socialisatie en persoonsvorming. De huidige
curricula Rekenen & Wiskunde richten zich –
afhankelijk van de onderwijssector, leerweg en
variant – in meer of mindere mate op kwalificatie
en socialisatie. In de vernieuwde curricula zal
daarnaast ook (meer) aandacht zijn voor
persoonsvorming. Hieronder wordt onder meer
verstaan dat leerlingen de wereld door een
wiskundebril leren bekijken en plezier beleven aan
rekenen en wiskunde. Ook begrijpt de leerling de
wereld en is daar, indien dat tot zijn of haar mogelijkheden behoort, kritisch over. Vooral
het onderdeel 'Data en onzekerheid' draagt hieraan bij. Ook draagt dit onderdeel bij aan
de socialisatie van leerlingen.
Een toekomstgericht curriculum
Een toekomstgericht curriculum voor het leergebied Rekenen & Wiskunde bereidt
leerlingen voor op een flexibele invulling van hun plek in de maatschappij in een
toekomst die nu nog onbekend is. Uitgangspunten voor een toekomstgericht curriculum
zijn:
• het curriculum is uitdagend en motiverend voor elke leerling op elk niveau. Het
curriculum biedt ruimte om talenten te ontdekken en te ontwikkelen en is vanuit
de belevingswereld van de leerling interessant en betekenisvol. Ze biedt
gelegenheid aan de leerling om zich voor te bereiden op zijn vervolgopleiding en
gemotiveerd keuzes te maken.
• het curriculum kent een doordachte balans tussen de inhouden die gaan over de
vakdomeinen en inhouden die gaan over de domeinoverstijgende denk- en
werkwijzen (probleemoplossen, modelleren, logisch redeneren, abstraheren,
representeren en communiceren en algoritmisch denken) en richt zich op een
verwevenheid van kennis en vaardigheden. De wijze waarop leerlingen een
resultaat van een reken- en wiskundetaak tot stand brengen, is tenminste zo
belangrijk als het resultaat zelf. Via de genoemde wiskundige denk- en
werkwijzen biedt het curriculum ruimte voor toepassing van brede vaardigheden
als probleemoplossend denken en handelen, creatief denken, kritisch denken,
samenwerken, oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan, communiceren en
zelfregulering.
• gereedschap- en technologiegebruik zijn onlosmakelijk verbonden met rekenen
en wiskunde. ICT neemt steeds meer reken- en wiskundewerk uit handen.
Rekenen en wiskunde zijn vaak, onzichtbaar, ingebouwd in apparaten en
Voorbeelden van Rekenen &
Wiskunde ten behoeve van
socialisatie zijn: informatie en
onzekerheid, meten, tijd en geld,
analyseren van gegevens en
gebruik van rekenen en wiskunde
bij het oplossen van
toepassingsproblemen.
5
software. Leerlingen die kennis van de voorhanden zijnde gereedschappen en
technologieën hebben, kunnen leren er beredeneerd gebruik van te maken. Deze
vaardigheid heeft een directe relatie met brede vaardigheden als
probleemoplossend denken en handelen, creatief denken, kritisch denken,
samenwerken, oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan, communiceren en
zelfregulering.
B. Inhoud van het leergebied
Karakteristiek van het leergebied
Leerlingen verwerven in het onderwijs inhouden die gaan over de vakdomeinen en
inhouden die gaan over de domeinoverstijgende denk- en werkwijzen:
• Bij de inhouden over de vakdomeinen staan één of meer reken- en wiskundige
concepten centraal.
• De inhouden over de domeinoverstijgende denk- en werkwijzen kunnen op
verschillende niveaus uitgeoefend worden. Deze niveaus beschrijven in welke
mate een bekwaamheid in leerlinggedrag zichtbaar is of moet zijn.
In de onderstaande figuur staat welke inhouden onderscheiden worden.
Niet alle leerstof wordt in alle onderwijssectoren en wiskundevarianten aangeboden. Ook
bevatten wiskundevarianten (A, B, C, D) in havo/vwo en wiskunde in leerwegen vmbo
verschillende leerstof.
6
Versterken van samenhang binnen het leergebied Rekenen & Wiskunde
Versterking van de samenhang tussen inhouden die gaan over de vakdomeinen en
inhouden die gaan over de denk- en werkwijzen:
• verwante inhoud zo mogelijk in combinatie
aan te bieden. Optellen en aftrekken zijn
bijvoorbeeld aan elkaar verwante
basisbewerkingen. In plaats
van optellen en aftrekken als afzonderlijke
basisbewerkingen aan leerlingen te
presenteren, kunnen ze ook
in gezamenlijkheid aangeboden worden.
• relevante denk- en werkwijzen gelijktijdig te
koppelen aan de inhouden die gaan over de
vakdomeinen. Probleemoplossen en
representeren & communiceren zijn denk- en
werkwijzen die natuurlijkerwijs passen bij het
domein verhoudingen. Door het accent te verleggen van de verhouding sec naar
de combinatie van verhoudingen en wiskundige denk- en werkwijzen kan de
kennis van de inhoud en vaardigheid van het probleemoplossen groeien.
• denk- en werkwijzen niet los van elkaar te zien. Bijvoorbeeld bij het schatten van
de orde van grootte van het te betalen bedrag kan er sprake zijn van de denk- en
werkwijzen probleemoplossen, abstraheren, logisch redeneren en representeren
& communiceren.
• begripsvorming en toepassing als een onderdeel van verwerving van de leerstof
te zien.
• de onderlinge aansluiting van verschillende leerlijnen binnen en tussen de
onderwijssectoren te verstevigen, in het bijzonder die tussen vmbo-gt en havo en
tussen het primair en voortgezet onderwijs.
De rol van informatietechnologie in het leergebied
Informatietechnologie gericht leren inzetten valt onder de denk- en werkwijze
'Gereedschappen en technologie gebruiken'. Zolang dat niet ten koste gaat van
noodzakelijke begripsvorming, kan informatietechnologie een deel van het reken- en
wiskundewerk voor zijn rekening nemen, rekenkundige en wiskundige problemen
inzichtelijk maken en extra mogelijkheden bieden voor bijvoorbeeld exploratief
onderzoek. Informatietechnologie kan verder een toepassingsdomein zijn voor andere
wiskundige denk- en werkwijzen zoals algoritmisch denken. Hier is samenhang met het
leergebied Digitale geletterdheid.
De positie van het leergebied in het curriculum
Creëren van doorlopende leerlijnen po-vo
We maken onderscheid tussen leerlijnen en ontwikkelingslijnen. Een leerlijn bestaat uit
een beredeneerde volgordelijkheid van leerdoelen en inhouden die tot een bepaald
einddoel leiden (SLO, z.j.). De lijnen waarlangs een leerling daadwerkelijk concepten
verwerft, worden ontwikkelingslijnen genoemd. Leerlijnen lopen van groep 1 tot en met
het einde van het voortgezet onderwijs (en verder …). Het is belangrijk dat deze
leerlijnen van po via vo naar vervolgonderwijs doorlopend zijn zodat een ononderbroken
ontwikkelingslijn mogelijk wordt. Daarmee wordt het ontstaan van overlap en hiaten
voorkomen. Bij het verbeteren van doorlopende leerlijnen worden de volgende
uitgangspunten gehanteerd:
• Als basis dient een stevig fundament van inhoudelijke kennis en wiskundige
denk- en werkwijzen, waarop voortgebouwd kan worden met abstracte diepgang.
De verhouding tussen de functionele basis en meer abstracte diepgang verschilt
tussen uitstroomperspectieven.
Andere voorbeelden van
verwante inhouden zijn:
• verhoudingen, breuken en
procenten
• decimale getallen en meten
• de wetenschappelijke notatie
en letterrekenen met
machten
7
• De niveaus van denken en handelen zijn de basis voor het vormgeven van de
leerlijnen in elk van deze perspectieven.
Wat precies deel uit maakt van het fundament en hoe leerlijnen van
uitstroomperspectieven op basis van denk- en handelingsniveaus vormgegeven worden,
komen later in het traject aan bod.
Versterken van de samenhang met andere leergebieden
De leergebieden leveren aan Rekenen & Wiskunde concepten die voor Rekenen &
Wiskunde contexten vormen. Dit leergebied levert vervolgens reken- en wiskundig
instrumentarium aan andere leergebieden. Op deze wijze krijgt het leergebied Rekenen
& Wiskunde meer betekenis voor de leerlingen dan nu het geval is. Uitgangspunt is dat
leerlingen reken- en wiskundige leerstof verwerven en zich wiskundige denk- en
werkwijzen eigen maken in het leergebied Rekenen & Wiskunde en toepassen in andere
leergebieden. Deze leergebieden dienen daarbij de verantwoordelijkheid te nemen om
rekenen en wiskunde op dezelfde manier te gebruiken als leerlingen dat geleerd hebben
bij rekenen en wiskunde om zo de samenhang te borgen, bijvoorbeeld via rekenbewust
vakonderwijs in het voortgezet onderwijs. Dit wil niet zeggen dat álle toepassing van
rekenen en wiskunde in andere leergebieden plaatsvindt. De curricula Rekenen &
Wiskunde bieden zelf ook ruimte voor toepassingen.
Tijdens het verwerven van het fundament van rekenen en wiskunde is het van belang
dat er aandacht besteed wordt aan vaktaal. Zij moeten deze taal niet alleen "op papier"
kunnen interpreteren, maar ze ook bij het oplossen van problemen zelf productief
kunnen gebruiken en de relatie kunnen leggen tussen reken- en wiskundetaal,
school(boek)taal en dagelijkse taal (Van Eerde, 2009).
Een compact curriculum
Een belangrijke doelstelling van Curriculum.nu is reductie van de overladenheid van de
verschillende curricula. Daartoe is het noodzakelijk dat de curricula compacter worden.
Om dit te realiseren worden onderstaande uitgangspunten gehanteerd:
• verwante inhoud wordt zo mogelijk in samenhang aangeboden, zoals elders
beschreven is.
• aan automatiseren en memoriseren wordt gepast aandacht geschonken, in de
ene onderwijssector soms meer dan in andere. Voor complexe berekeningen
wordt gebruik gemaakt van technologie in combinatie met schattend rekenen.
• als gevolg van het bovenstaande wordt de moeilijkheidsgraad van reken- en
wiskundetaken die uitgevoerd kunnen worden met alleen kennis van rekenfeiten
en beheersing van routines, beperkt.
• ook herschikking van leerstof tussen primair en voortgezet onderwijs behoort tot
de mogelijkheden.
8
GROTE OPDRACHTEN 1 t/m 6 (inhouden)
Grote opdracht 1: Getallen en bewerkingen
Relevantie
Deze Grote opdracht vormt een belangrijk fundament voor het leergebied Rekenen &
Wiskunde en de meeste andere leergebieden in alle fases van het primair en
voortgezet onderwijs en binnen alle andere Grote opdrachten.
De wereld om ons heen zit vol getallen: in het verkeer, de winkel, de keuken, in de
beroepspraktijk, op internet en op de beurs. In onze maatschappij zijn steeds meer
digitale hulpmiddelen die het complexere rekenwerk kunnen overnemen. Deze
verandering heeft impact op de aard van op te lossen problemen en op de wijze
waarop we problemen oplossen, de wijze van redeneren en op de wijze van
communiceren.
Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken, zien we dat getallen
verschillende betekenissen en functies kunnen hebben. Getallen kunnen namen
(buslijn 7), aantallen of maten aanduiden; denk bijvoorbeeld aan tijd, geld, getallen
op displays/meetinstrumenten, op verpakkingen en in gebruiksaanwijzingen. Maar
met getallen kan ook gerekend worden. Inzicht hebben in getallen en bewerkingen
en ermee kunnen werken is een noodzakelijke voorwaarde om te kunnen
functioneren in onze voortdurend veranderende maatschappij.
De toename van digitale hulpmiddelen die het complexere rekenwerk van ons
overnemen maakt dat schattend rekenen een belangrijkere vaardigheid wordt. Het is
van belang dat een leerling zich ervan bewust is in welke situaties schattend rekenen
volstaat, bijvoorbeeld bij de vraag hoeveel mensen er ongeveer op het perron staan
te wachten, maar ook wanneer niet. Als het bijvoorbeeld gaat om het doseren van
medicijnen, de hoogte van het salaris of de hoeveelheid wisselgeld vraagt dat om
een nauwkeurige berekening en is schatten niet toereikend. Met schattend rekenen
kan een leerling zijn antwoorden en die van anderen controleren. Ook al vermindert
deze ontwikkeling de nadruk op vlot cijferend kunnen rekenen met grote getallen,
begrip van en vaardigheid in het uitvoeren van bewerkingen volgens vaste of meer
flexibele procedures blijft van groot belang voor de verdere wiskundige ontwikkeling
en voor de redzaamheid. Bedenk alleen maar waarop men terug moet vallen als
(digitale) hulpmiddelen even niet beschikbaar zijn en om te controleren of de invoer
juist was. Hoewel er verschuivingen optreden in de vaardigheden die leerlingen
moeten leren om goed om te gaan met getallen en bewerkingen, is er door de komst
van digitale hulpmiddelen wel een reductie van de leerstof mogelijk.
Van goed kunnen omgaan met getallen en bewerkingen heb je een leven lang
plezier: in andere leergebieden, in het beroepenveld, als privépersoon en als burger.
Inhoud van de opdracht
Bij deze Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen' gaat het enerzijds om het
verwerven van kennis, inzicht en vaardigheden op het gebied van getallen en
bewerkingen, anderzijds gaat het om het ontwikkelen van het vermogen op de
wiskundige denk- en werkwijzen: Probleemoplossen, Abstraheren, Logisch
redeneren, Representeren en communiceren, Modelleren, Algoritmisch denken en
Gereedschap en technologie gebruiken.
9
Jonge kinderen
Kinderen komen al op jonge leeftijd in aanraking met aantallen, nummers, cijfers en
getallen. Aanvankelijk worden getallen nog gekoppeld aan hoeveelheden. In het
volgende stadium abstraheren leerlingen: ze gaan getallen zien als objecten, die je
los kunt zien van een context ('drie', in plaats van 'drie appels'). Langzamerhand
gaan de getallen voor het kind leven.
Ze zien dat getallen bepaalde
betekenissen en functies hebben en
er ontstaat bij kinderen elementair
getalbegrip, zoals hoeveelheden
kunnen tellen en vergelijken. Hierbij
kunnen de kinderen ook de juiste
reken-/wiskunde taal toepassen. Ze
gaan getalsymbolen herkennen en
weten dat er een vaste volgorde is.
Getallen en getalbegrip
De leerlingen ontwikkelen inzicht in eigenschappen van en relaties tussen getallen.
Zo leren ze de tientallige structuur in ons talstelsel en denken na over bijvoorbeeld
deelbaarheid en priemgetallen.
Vanuit deze basis breidt het getalbegrip van leerlingen zich uit naar grotere getallen,
decimale getallen en breuken. Ook voor deze getallen geldt dat getallen aanvankelijk
aan betekenisvolle contexten gekoppeld worden, zoals aan geld: € 1,28. Vervolgens
wordt het getal losgekoppeld van de context (abstraheren) en wordt 1,28 een object
waarmee gerekend kan worden. Ook daar waar breuken in eerste instantie
aanduidingen zijn voor 'deel van een geheel', en resultaat van een deling, worden
breuken ook getallen waarmee gerekend kan worden (rationale getallen).
Nog later breidt het getalbegrip van leerlingen zich uit met negatieve getallen en
irrationele getallen (bijvoorbeeld π of √2). Deze representatie met cijfers kan
vervolgens aangevuld worden met andere representaties, bijvoorbeeld Romeinse
cijfers, binaire getallen en wetenschappelijke notaties. Getallen kennen meer dan
één representatie en lenen zich daarom voor verwerving van een denk- en werkwijze
als Representeren en communiceren. Bijvoorbeeld: Welke representatie gebruik je in
welke situatie?
Bewerkingen
Een eerste begrip van getallen en hoeveelheden biedt de basis voor het leren
rekenen. Bij het leren van de bewerkingen is het essentieel dat leerlingen niet alleen
de eigenschappen van bewerkingen leren, maar deze ook in samenhang aangeboden
krijgen. Het splitsen van getallen is voorwaardelijk voor het vlot kunnen uitvoeren
van de bewerkingen optellen en aftrekken. De relaties tussen die bewerkingen
(optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) leren ze doorzien en gebruiken.
Bijvoorbeeld de relatie tussen optellen en aftrekken of tussen vermenigvuldigen en
delen, maar ook tussen bijvoorbeeld optellen en vermenigvuldigen en aftrekken en
delen. Leerlingen leren de bijbehorende rekenen-wiskundetaal, verschillende
rekenstrategieën en rekenprocedures zowel voor exact rekenen als voor schattend
rekenen. Ze leren basisvaardigheden automatiseren (vlot uitvoeren) en in sommige
gevallen te memoriseren (direct weten, zoals bijvoorbeeld de tafels van
vermenigvuldiging). Ze kunnen met hun verworven kennis, inzicht en vaardigheden
10
nieuwe, nog onbekende problemen oplossen, al dan niet ondersteund met schema's
en plaatjes. Dat laatste kan als eerste kennismaking dienen met de denk- en
werkwijze Modelleren. De getallen waarmee leerlingen rekenen worden steeds
groter, en ze leren rekenen met decimale getallen en breuken.
Ook het aanbod van bewerkingen wordt uitgebreid met machtsverheffen,
worteltrekken en logaritmen. Ook hier is het van belang dat leerlingen niet alleen de
eigenschappen van deze bewerkingen leren, maar ook de relaties tussen die
bewerkingen doorzien en gebruiken (bijvoorbeeld de relatie tussen machtsverheffen
en worteltrekken en de voorrangsregels die gelden bij meerdere bewerkingen in een
opgave). Berekeningen met getallen kunnen uitgevoerd worden door middel van
standaardprocedures. Het beheersen daarvan is er één. Maar als een leerling
gevraagd wordt te beschrijven hoe zo'n procedure in zijn werk gaat, ontwikkelt hij
zijn algoritmisch denkvermogen. Bovendien lenen getallen zich om te leren logisch te
redeneren. Een vraagstuk om aan te tonen dat het product van twee oneven
getallen altijd oneven is, biedt gelegenheid om verschillende niveaus van redeneren
toe te passen (een paar voorbeelden uitschrijven, een rechthoek tekenen en
daarmee de bewering aantonen of (2n + 1)(2k + 1) = 4kn + 2n + 2k + 1 = even
getal + 1 = oneven getal.
Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze
Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen':
Probleemoplossen
− In de bus zitten voor de halte 28 mensen en na de halte 31 mensen. Er
zijn 7 mensen ingestapt. Hoeveel mensen zijn er uitgestapt?
Abstraheren
− Leerlingen leren vanuit een verhaal of situatie een bewerking te
formuleren; jonge leerlingen leren te praten over 'drie' zonder daarbij nog
te denken aan een hoeveelheid.
Logisch redeneren
− De telrij of getallenrij is oneindig. Die rij ken je niet uit je hoofd. Hoe weet
je toch altijd wat het volgende getal is? Leg eens uit.
Representeren en communiceren
− Welk getal staat hier: 9,6 x 107? En hier: CIX?
Modelleren
− Een busrit begint met 4 passagiers. Gegeven is hoeveel passagiers op
elke halte in- en uitstappen. Maak een schema waaruit je kunt afleiden
hoeveel passagiers er op het einde van de busrit uitstappen.
Algoritmisch denken
− Leg stap voor stap hoe je een vermenigvuldiging als 28 x 67 cijferend
oplost.
Gereedschap en technologie gebruiken
- Gebruik je je rekenmachine om 6,99 + 7,95 op te tellen? Waarom
wel/niet?
Brede vaardigheden
Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden
aan bod:
11
Kritisch denken
Creatief denken en praktisch handelen
Probleemoplossend denken
Zelfregulering
Communiceren
12
Grote opdracht 2 : Verhoudingen
Relevantie
Denken in en omgaan met verhoudingen speelt een belangrijke rol in ons leven. In het
nieuws en via de politiek krijgen we berichten over allerlei verhoudingen: de balans
privé/werk, de stijging van consumentenprijzen met 2%, de machtsbalans of de
bevolkingssamenstelling. Ook in het persoonlijke leven en de beroepspraktijk
gebruiken we veelvuldig verhoudingen. Bijvoorbeeld bij het in- en uitzoomen op je
laptop, bij recepten, bij schoonmaakmiddeldoseringen en bij schaalmodellen die je met
een 3D printer kunt maken. Verhoudingen zijn zo nabij en overal aanwezig dat een
goed begrip ervan noodzakelijk is. Als we met een wiskundige bril kijken zien we dat er
bij verhoudingen steeds sprake is van twee of meer grootheden die ten opzichte van
elkaar vergeleken worden. Verhoudingssituaties kunnen kwalitatief of schattend
benaderd worden, zoals in de zin van: 'Mijn vader heeft grotere voeten dan ik, maar in
verhouding heb ik grotere voeten dan hij', of kwantitatief zoals bij schaal of
percentages. In het dagelijks gebruik is begrip van en vaardigheid in het omgaan met
verhoudingssituaties volgens vaste of meer flexibele procedures van groot belang,
bijvoorbeeld bij prijsvergelijkingen (Is de grote pot pindakaas in verhouding wel echt
goedkoper dan de kleinere pot?). Begrip van verhoudingen is belangrijk voor het
kunnen rekenen met samengestelde grootheden (bijvoorbeeld snelheid in km/uur,
dosering in ml/l), met vergrotingen binnen de meetkunde en bij kansen. Digitale
technologie, bijvoorbeeld werken met spreadsheets, kan het oplossen van
verhoudingsproblemen ondersteunen en vergemakkelijken.
Grootheden in verhouding tot elkaar leren zien draagt naast een verdere wiskundige
ontwikkeling bij aan de persoonsvorming en maatschappelijke redzaamheid.
Binnen het leergebied is er een sterke verbinding met de Grote opdrachten: 'Meten en
meetkunde' (het vergroten/verkleinen van figuren, rekenen met schaal, de
guldensnede, goniometrie) en 'Data, statistiek en kans'. Ook in andere leergebieden en
de beroepsvakken komen verhoudingen voor bij de toepassingen van het vak. Vanuit
het faciliterende karakter van het leergebied Rekenen & Wiskunde voor andere
leergebieden onderstrepen we hier wat in de visie beschreven is over een
samenhangende aanpak: toepassing van reken- en wiskundig instrumentarium op het
gebied van verhoudingen kan het begrip van verhoudingen vergroten bij alle
leergebieden.
Inhoud van de opdracht
Bij deze Grote opdracht 'Verhoudingen' gaat het enerzijds om het verwerven van
begrip, kennis, en vaardigheden op het
gebied van verhoudingen, anderzijds
gaat het om het ontwikkelen van het
vermogen op de wiskundige denk- en
werkwijzen: Probleemoplossen,
Abstraheren, Logisch redeneren,
Representeren en communiceren,
Modelleren en Gereedschap en
technologie gebruiken. De denk- en
werkwijze Algoritmisch denken past
minder bij deze grote opdracht.
13
Jonge kinderen komen al vroeg met kwalitatieve verhoudingen in aanraking. Er kan
gedacht worden aan uitdrukkingen als 'kleiner dan' en 'ouder dan' in verhouding tot
iets anders. Als leerlingen dit fundament begrijpen is een overstap naar een
kwantitatieve benadering met getalsmatige verhoudingen mogelijk. Dus niet meer 'hij
is ouder dan ik ben', maar 'hij is twee keer zo oud als ik ben'. Contexten uit het
dagelijks leven zoals het werken met recepten en de juiste hoeveelheid voer aan
verschillende aantallen dieren ondersteunen het begrip van en rekenen met
verhoudingen.
Het domein Verhoudingen leent zich goed om de denk- en werkwijzen
Probleemoplossen en Logisch redeneren te ontwikkelen. Veel situaties in het dagelijks
leven rond verhoudingen vragen om niet routinematige aanpakken. Denk bijvoorbeeld
aan prijsvergelijkingen met allerlei varianten zoals bijvoorbeeld aanbiedingen van
verschillende abonnementen voor mobiele telefoons. Het gaat dan zowel om het
berekenen van het goedkoopste abonnement als om het best passende abonnement,
afhankelijk van het gebruik door de persoon in kwestie.
Een verhouding kent verschillende representaties, zoals een percentage, een breuk,
een schrijfwijze als '1 van de 8' of een notatie als 1 : 8. Welke representatie wanneer
gebruikt wordt hangt af van de situatie en de doelgroep is onderdeel van
Representeren en communiceren.
Het is belangrijk dat breuken, procenten, verhoudingen en decimale getallen in
samenhang worden aangeboden evenals het hanteren van een gemeenschappelijke
taal voor het hele gebied van verhoudingen. Dit draagt ook bij aan Abstraheren.
Modelleren met bijvoorbeeld de strook, dubbele getallenlijnen en verhoudingstabellen
helpt bij het structureren van wiskundige verhoudingsproblemen. Bij het rekenen met
verhoudingen bepaalt de fase waarin een leerling zit, of naast deze modellen ook een
meer formele manier van rekenen nodig is, zoals rekenen met een verhoudingsfactor.
Bij gebruik van de rekenmachine of Excel is deze factor van belang.
In het vo komen herhaalde procentberekeningen, exponentiële verbanden en
evenredigheid aan de orde. Bij het vak economie leren leerlingen bijvoorbeeld rekenen
met rente over rente (samengestelde interest).
Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote
opdracht 'Verhoudingen':
Probleemoplossen
− De BTW is verhoogd van 6% naar 9%. Met hoeveel procent nemen de
prijzen toe?
Abstraheren
− Op elke brildrager zijn er twee mensen die geen bril dragen. Welk deel van
de mensen draagt geen bril?
Logisch redeneren
− Als je eerst iets verhoogt met 10% en daarna weer verlaagt met 10%, kom
je dan weer op het oorspronkelijke bedrag uit? Leg je redenering uit.
− Zowel in groep 7 als in groep 8 is 40% van de leerlingen een meisje. Mag je
dan zeggen dat er in beide groepen evenveel meisjes zitten? Noem eens
voorbeelden.
Representeren en communiceren
− Een Engelse landkaart heeft een schaal van 1 inch : 3 mijl. Hoe schrijf je dat
in normale schrijfwijze?
14
Modelleren
− In de supermarkt zijn veel verschillende verpakkingen cola verkrijgbaar.
Geef met behulp van verhoudingstabellen aan welke verpakking de hoogste
literprijs heeft.
Gereedschap en technologie gebruiken
- Het vergroten en verkleinen van plaatjes op een tablet.
Brede vaardigheden
Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden
aan bod:
Kritisch denken
Creatief denken en praktisch handelen
Probleemoplossend denken
Zelfregulering
Communiceren
15
Grote opdracht 3: Meten en meetkunde
Relevantie
Meten en meetkunde komen we overal tegen in de wereld. Van de technische sector
tot de creatieve industrie en van de zorg tot de agrarische sector. Maar ook in het
persoonlijk leven. Al sinds de oudheid maken maten, ruimte, vormen en patronen deel
uit van onze wereld, van knutselen en bouwen tot aan het begrijpen van de
ruimtevaart. Het herkennen, verklaren en beschrijven van situaties in de ruimte om
ons heen (routebeschrijvingen, dag en nacht) horen tot het domein van de meetkunde.
Meten gaat over grootheden als lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht, temperatuur en
tijd. Nieuwe (digitale) hulpmiddelen als de elektrische fiets, gezondheidsapps en virtual
reality veranderen het handelen in het persoonlijk leven, de maatschappij, de studie en
het beroep op het gebied van meten en meetkunde. Dit draagt bij aan de
persoonsvorming.
Door met een wiskundige bril naar de wereld te kijken ontwikkelt de leerling een
gevoel voor ruimte, grootte, omvang en plaats. Het domein Meten en meetkunde bevat
contexten en onderdelen die de nieuwsgierigheid prikkelen en zo een onderzoekende
houding uitlokken. De beschikbaarheid van (digitale) hulpmiddelen die het fysieke
handelen uit handen kunnen nemen en/of tekeningen maken, geeft het zelf
construeren en meten met wiskundige gereedschappen een andere functie. Denk
bijvoorbeeld aan het meten van lengtes met behulp van een laser tot op de millimeter
nauwkeurig in plaats van met bijvoorbeeld een rolmaat.
Ook al vermindert deze ontwikkeling de nadruk op het zelf kunnen uitvoeren, begrip
van en vaardigheid in meten en het construeren van vormen en figuren volgens vaste
of meer flexibele procedures blijft van groot belang voor verdere wiskundige
ontwikkeling, voor maatschappelijke redzaamheid en (na)controle. En er verdwijnen
eenheden verschijnen nieuwe eenheden. Oude eenheden als 'duim' en 'ons' hebben
plaatsgemaakt voor de standaard-eenheden als 'meter' en 'kilogram'. Tegenwoordig
gebruiken we ook nieuwe grootheden als filedruk, BMI en downloadsnelheid. In de
toekomst zal kennis uit Meten en meetkunde in combinatie met andere onderdelen van
het leergebied Rekenen & Wiskunde en andere leergebieden toegepast worden in
nieuwe situaties. Denk aan zelfrijdende auto’s, navigatiesystemen en het meten van de
omvang van ijskappen.
Het domein Meten leent zich ook goed als context voor een verder begrip van het
getalsysteem, met de tientallige structuur. Denk bijvoorbeeld aan de tientallige
structuur van het metriek stelsel. Het goed benutten van de samenhang tussen de
grote opdrachten 'Getallen en bewerkingen' en 'Meten en meetkunde' kan bijdragen
aan een reductie van de leerstof.
16
Inhoud van de opdracht
Bij deze Grote opdracht 'Meten en meetkunde' gaat het enerzijds om het verwerven
van kennis, inzicht en vaardigheden op
het gebied van meten en meetkunde,
anderzijds gaat het om het ontwikkelen
van het vermogen op de wiskundige
denk- en werkwijzen: Probleemoplossen,
Abstraheren, Logisch redeneren,
Representeren en communiceren,
Modelleren, Algoritmisch denken en
Gereedschappen en technologie
gebruiken.
Meten gaat om het bepalen van grootte en omvang van grootheden, hetgeen de
leerling tot uitdrukking brengt in maten. Het betreft dan de volgende grootheden:
lengte, oppervlakte, inhoud, gewicht en tijd. Geld zou ook een maat genoemd kunnen
worden, maar dat is zo minimaal dat we die hier buiten beschouwing laten.
Leerlingen maken kennis met verschillende maten en (digitale) meetinstrumenten, en
in welke situaties die gebruikt worden. Een maat bestaat uit een combinatie van een
maatgetal en een eenheid. Omdat eenheden in elkaar omgerekend kunnen worden,
kent een maat verschillende representaties. Leerlingen leren deze kennen en begrijpen
en in elkaar omrekenen. Ze ontwikkelen maatgevoel en verzamelen referentiematen
(een grote stap is ongeveer een meter; een deur is ruim twee meter hoog). Bij het
leren doorzien van het metriek stelsel en omrekenen van eenheden maken leerlingen
gebruik van hun begrip van het tientallig stelsel.
Bij het onderwerp 'Tijd' verloopt dit anders. De klok en kalender passen niet in het
tientallig stelsel. Tijd is ook een onderwerp waarbij leerlingen kunnen werken aan de
denk- en werkwijze Representeren en communiceren. Denk bijvoorbeeld aan het
omgaan met kalenders, agenda's en hoe je met elkaar afstemt bij het maken van
afspraken of het maken van een reis.
Meetkunde beschrijft en verklaart vorm en ruimte. Dit gebeurt zowel in twee als in drie
dimensies.
Daarnaast is er overlap tussen meten en meetkunde. Het bepalen van de hoogte van
een huis is meten, het maken van een zijaanzicht is meetkunde. Het tekenen vanuit
verschillende perspectieven (plattegronden, zijaanzichten) draagt bij aan de
ontwikkeling van de denk- en werkwijze Modelleren. De opbouw gaat van herkennen
en benoemen van vormen, het indelen van vormen zoals driehoeken, vierkanten en
rechthoeken naar het definiëren van deze vormen. Leerlingen leren hierbij
abstraheren. Daarnaast leert de leerling ermee redeneren en rekenen. Bijvoorbeeld bij
het berekenen van de oppervlakte van een vlak figuur. Of het berekenen van de
inhoud van samengestelde figuren met behulp van formules (de inhoud van een huis =
de inhoud van een balk + inhoud van een prisma). Meten en meetkunde lenen zich ook
goed om de denk- en werkwijzen Probleemoplossen en Logisch redeneren te
ontwikkelen: Wat is de grootste oppervlakte die je kunt maken met een omtrek van 60
m2 en hoe weet je dat dit de grootste oppervlakte is? Logisch redeneren in de
meetkunde kan variëren van het gebruik van een schetsje tot een formeel wiskundig
bewijs, denk bijvoorbeeld aan het werken met kijklijnen. Algoritmisch denken kan in de
meetkunde aan bod komen bij het beschrijven van de wijze waarop een meetkundige
constructie met passer en liniaal uitgevoerd wordt.
Sommige leerlingen, afhankelijk van het uitstroomperspectief, werken aan analytische
meetkunde en vectormeetkunde (zowel twee- als driedimensionaal), bij andere
17
uitstroomprofielen ligt de nadruk op functioneel gebruik in de dagelijkse (beroeps-
)praktijk. Denk aan de bouw, koken, reizen.
Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote
opdracht 'Meten en meetkunde':
Probleemoplossen
− Hoeveel blikken van 2 liter verf heb je nodig om een muur van 8 bij 3,2
meter te verven?
Abstraheren
− Leg uit dat als de lengte en breedte van een rechthoek verdubbelen, de
oppervlakte van die rechthoek vier keer zo groot wordt.
Logisch redeneren
− Leg uit dat elk vierkant ook een rechthoek is.
Representeren en communiceren
− Teken de route die we gelopen hebben op www.afstandmeten.nl.
− Ontwerp op www.afstandmeten.nl een fietsroute van ongeveer 50 km
waarbij we ook weer terugkomen op het punt van vertrek.
− De luchtdruk in een fietsband is 80 pounds per square inch. Hoeveel
atmosfeer is dat?
Modelleren
− Maak een bouwtekening (op schaal) van het konijnenhok dat je gaat maken
met je groep.
Algoritmisch denken
− Beschrijf hoe je met passer en liniaal het midden van twee gegeven punten
kunt bepalen.
Gereedschap en technologie gebruiken
− Teken de middelloodlijn van een lijnstuk met behulp van passer en liniaal.
Brede vaardigheden
Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden
aan bod:
Kritisch denken
Creatief denken en praktisch handelen
Probleemoplossend denken
Zelfregulering
Communiceren
18
Grote opdracht 4: Variabelen, verbanden en formules
Relevantie
In de huidige samenleving is het belangrijk dat mensen snel op de hoogte kunnen zijn
van allerlei zaken en gebeurtenissen in de wereld, bijvoorbeeld bij rampen. Door de
informatie te ordenen en te vertalen in bijvoorbeeld grafieken kunnen we
gebeurtenissen beter begrijpen, verbanden leggen en een ontwikkeling voorspellen. De
technologie hierbij ontwikkelt zich in een rap tempo. Ontwikkelingen op het gebied van
bijvoorbeeld mobiele telefonie, duurzame energie, domotica (huisautomatisering) en
de beurshandel zorgen voor veel verschillende informatiestromen die niet altijd
overzichtelijk of te controleren zijn. Denk bijvoorbeeld ook aan misleidende grafieken
die een vertekend beeld schetsen omdat er een deel van de informatie niet zichtbaar
is.
Als we met een wiskundige bril naar de wereld kijken, zien we in informatie allerlei
verbanden. Denk bijvoorbeeld aan het verband tussen het aantal bananen en het
gewicht, tussen de tijd en de afgelegde afstand of tussen het aantal mensen
waaronder de kosten verdeeld moeten worden met het te betalen bedrag. Het gaat
steeds om twee (of meer) grootheden (die verschillende waarden kunnen hebben) die
met elkaar samenhangen. Wanneer bijvoorbeeld de kosten over meer mensen
verdeeld worden, neemt het te betalen bedrag per persoon af.
Bij het omzetten van informatie naar verbanden en formules spelen schematische
voorstellingen en modellen al van oudsher een grote rol. Wiskunde is betekenisvol
omdat het van belang is dat leerlingen leren met gegevens om te gaan, verbanden
leren zien en deze weer te geven in een formule met variabelen. Denk bijvoorbeeld
aan een (woord-)formule die de totaalkosten van een concertbezoek weergeeft met
een prijs per kaartje van € 25,- en daar bovenop de administratiekosten van € 10,-. De
woordformule wordt dan: totale kosten kaartjes = aantal kaartjes x € 25 + € 10.
Formules zijn een wiskundige weergave van verbanden. Zij vormen een universele taal
die de communicatie wereldwijd vergemakkelijkt.
Deze Grote opdracht vertoont een sterke samenhang met de Grote opdrachten
Getallen en Bewerkingen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde, en Veranderingen en
benaderingen. Bij het ontdekken van patronen, voor het leggen van verbanden en het
opstellen van formules is een goed fundament van getalbegrip essentieel. Ook spelen
verhoudingen vaak een grote rol evenals het kunnen interpreteren van schematische
weergaves. In de leergebieden Mens & Natuur en Mens & Maatschappij wordt
veelvuldig gewerkt met verbanden en formules. Deze Grote opdracht Variabelen,
verbanden en formules leent zich voor uitwisseling tussen leergebieden en voor
samenvoeging van leerstof.
19
Inhoud van de opdracht
Bij deze Grote opdracht 'Variabelen, verbanden en formules' gaat het enerzijds om het
verwerven van kennis, inzicht en
vaardigheden op het gebied van
variabelen, verbanden en formules en
anderzijds om het ontwikkelen van het
vermogen op de wiskundige denk- en
werkwijzen: Probleemoplossen,
Abstraheren, Logisch redeneren,
Representeren en communiceren,
Modelleren, Algoritmisch denken en
Gereedschappen en technologie
gebruiken.
Leerlingen zijn al vroeg bezig met het concept verbanden door een regelmaat te
zoeken in geordende rijen getallen, deze regelmaat voort te zetten en met woorden te
beschrijven. Dit doen ze eerst door verder te tellen. Bij bepaalde situaties kun je niet
blijven tellen om tot een oplossing te komen zoals bij: hoeveel handen hebben alle
kinderen van de hele school samen? Bij grotere aantallen ontstaat de noodzaak om
een regelmaat te herkennen en dit verband te beschrijven in een (woord)formule,
zoals: aantal handen = aantal kinderen x 2.
Een formule is een middel om efficiënter met complexere situaties om te kunnen gaan.
Zij beschrijft volgens welke rekenstappen de waarde van een variabele berekend kan
worden als die van de andere variabele bekend is. Leerlingen leren dat de plaats van
een getal in een (woord)formule bepalend is voor de betekenis van het getal.
Voorbeeld: Wanneer je met oppassen drie euro per uur verdient en een vast bedrag
van vijf euro per keer, moet de drie gekoppeld worden aan de variabele 'aantal uren'
om uiteindelijk een correct eindbedrag te krijgen.
De variabelen in een formule kunnen worden weergegeven door middel van een
woord, een betekenisvolle letter (bijvoorbeeld de h van handen) of een willekeurige
letter (y). Ook bij de formule y = ax + b leert de leerling de betekenis en invloed van a
en b om y te berekenen. Het kunnen omzetten van situaties in (woord)formules
behoort tot de werk- en denkwijze Modelleren.
De leerling maakt kennis met en kan rekenen aan allerlei verbanden en
verschijningsvormen ervan. Hij leert zelf verbanden te beschrijven met behulp van
(woord-)variabelen. Afhankelijk van het uitstroomperspectief gebeurt dit binnen
contexten (loon = uurloon x aantal gewerkte uren) en/of binnen de wiskunde
(y = x2 + 5). Aan bod komen vooral het herleiden van formules, oplossen van
verschillende soorten vergelijkingen met verschillende methoden en
standaardverbanden en varianten daarop. Van standaardverbanden leren leerlingen
verschillende representaties kennen, zoals (de vorm) van formules en van grafieken.
Verbanden kunnen Representeren en er met begrip over kunnen communiceren met
anderen is het doel. Hiervoor leren leerlingen werken met tabellen, formules en
grafieken en waar zinvol met behulp van digitale technologie.
Verbanden en formules bieden ruim gelegenheid tot abstraheren, zoals bij formules: in
het denken van een leerling evolueert een formule van een rekenvoorschrift tot een
object waarover geredeneerd kan worden (Hoe kun je aan de formule zien dat y
kwadratisch toeneemt bij een verandering van x?) of waarmee probleemoplossen
mogelijk is (Bij welke omzet is er sprake van maximale winst?).
20
Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote
opdracht 'Variabelen, verbanden en formules':
Probleemoplossen
− Leerlingen bedenken reeksen getallen. Andere leerlingen moeten de reeksen
getallen afmaken en kunnen uitleggen welk patroon er te zien is.
Abstraheren
− Van welk van de volgende verbanden lopen de grafieken evenwijdig?
Beantwoord deze vraag zonder de grafieken te tekenen. y = 2x + 3,
y = −2x + 3, y = 2x – 3 en y = −2x – 3.
Logisch redeneren
− Als je het aantal handen weet, weet je dan ook hoeveel kinderen er zijn?
Leg eens uit.
Representeren en communiceren
− Teken een machientje waarbij je het verband weergeeft tussen het aantal
consumpties en het totaalbedrag.
Modelleren
− In elk boeket zit 4 euro aan groen, de rozen kosten 1,50 euro per stuk en
de gerbera's 1 euro per stuk. Maak een formule voor het totaalbedrag per
boeket.
Algoritmisch denken
− Beschrijf de stappen die je moet doen om een lineaire vergelijking op te
lossen.
Gereedschap en technologie gebruiken
− Los deze ongelijkheid op met behulp van ICT.
Brede vaardigheden
Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden
aan bod:
Kritisch denken
Creatief denken en praktisch handelen
Probleemoplossend denken
Zelfregulering
Communiceren
21
Grote opdracht 5: Data, statistiek en kans
Relevantie
Zijn alle berichten die met getallen onderbouwd worden, waar? Hoe weet je dat? De
tegenwoordige rekenkracht van computers maakt het mogelijk om sneller,
eenvoudiger en met minder kans op fouten zeer grote hoeveelheden gegevens te
verwerken. Het vermogen van burgers om gegevens te ordenen en te verwerken en
representaties te begrijpen is dan ook van steeds groter belang. Statistiek gaat over
het verzamelen, verwerken, juist interpreteren en representeren van gegevens en er
conclusies aan verbinden. Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval is er de
kansrekening. Hiermee kunnen we bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en hoe
waarschijnlijk uitkomsten zijn.
Door via een wiskundige bril te kijken, leren leerlingen kritisch te reflecteren op
informatie. Deze reflectie stimuleert een onderzoekende houding en versterkt de
nieuwsgierigheid van leerlingen. Met deze houding neemt hun bewustzijn van de
wereld om hen heen toe. De beschikbaarheid van steeds meer en diverse informatie,
verandert ook het maken van afwegingen. Daarom is begrip van en vaardigheid in het
omgaan met gegevens volgens vaste of meer flexibele procedures van groot belang.
Met de groei van de omvang van informatie, groeien ook de verwachtingen over wat
we ermee kunnen. Maar informatie komt niet altijd overeen met de werkelijkheid.
Bewust leren omgaan met (een grote hoeveelheid) talige en cijfermatige informatie of
representaties zorgt ervoor dat informatie op de juiste waarde geschat kan worden.
Deze vaardigheid is voor leerlingen in alle leergebieden, bij (vervolg)opleidingen, in het
werkveld en het dagelijks leven van groot belang. In de toekomst zal meer kennis
hierover toegepast worden in nieuwe situaties. Denk hierbij bijvoorbeeld aan de
journalistiek, voorspellingen rondom het klimaat en het verwerken van data op velerlei
terreinen.
Inhoud van de opdracht
Bij deze Grote opdracht 'Data, statistiek
en kans' gaat het enerzijds om het
verwerven van kennis, inzicht en
vaardigheden op het gebied van data,
statistiek en kans en anderzijds om het
ontwikkelen van de wiskundige denk-
en werkwijzen: Probleemoplossen,
Abstraheren, Logisch redeneren,
Representeren en communiceren,
Modelleren en Gereedschap en
technologie gebruiken.
Leerlingen leren al op vroege leeftijd gegevens te ordenen tot overzichtelijke
hoeveelheden, bijvoorbeeld als ze bespreken welk dier ze op 4 oktober in de klas willen
hebben: Iedereen legt een plaatje van zijn voorkeur in de juiste rij en zo ontstaat een
eenvoudig beelddiagram dat ze zelf kunnen interpreteren. Later leren ze hoe ze
gegevens op papier kunnen verwerken tot bijvoorbeeld een staafdiagram. Het maken
van schematische weergaven gebeurt niet alleen handmatig, maar ook met inzet van
ICT. Dit is een uiting van de denk- en werkwijze Representeren en communiceren. Met
behulp van deze representaties leren leerlingen kritisch denken en redeneren over
deze gegevens: 'Welk dier zouden we nu moeten uitnodigen en waarom denk je dat?'
22
Leerlingen leren meerdere visualisaties te maken om informatie geordend weer te
geven, onder andere tabellen, diagrammen en grafieken. Hieruit kunnen ze gegevens
aflezen en analyseren. Daarna conclusies trekken, trends herkennen en voorspellingen
doen. Voorbeeld: Maak een staafdiagram van de schoenmaten van alle kinderen uit je
groep. Welke schoenmaat komt het meest voor? Hoe ziet een staafdiagram hiervan er
over twee jaar uit? Leerlingen leren ook dat gegevens soms uit toeval kunnen zijn
ontstaan en dat ze daar dus bij het interpreteren en trekken van conclusies rekening
mee moeten houden: Als je een verkeerstelling houdt bij de straat van je school en er
zijn heel veel fietsers geteld, kan dat bijvoorbeeld toeval zijn (doordat er een
schoolklas langs kwam fietsen). Kritisch denken en conclusies trekken gaan hierbij
hand in hand.
Bij sommige uitstroomperspectieven komt het exploreren (onderzoeken en
interpreteren) van informatiebronnen aan bod, bijvoorbeeld bij misleidende grafieken.
Leerlingen leren dat ze misleidende grafieken kunnen herkennen bijvoorbeeld doordat
er gemanipuleerd is met de indeling van de assen.
De Grote opdracht 'Getallen en bewerkingen' vormt een belangrijke basis om
getalsmatige informatie te verzamelen, visualisaties te maken en te kunnen begrijpen.
Door steeds complexere informatie en grotere getallen te gebruiken, maar ook door
grotere verzamelingen in combinatie met statistiek toe te passen, bereiken de
leerlingen een hogere mate van abstract denken. Dit gaat van het maken van een
staafdiagram over de hoeveelheid regen die er gevallen is per dag tot het logisch
redeneren over een bevolkingspiramide. (Als de hoeveelheid geboortes afneemt en
mensen ouder worden, hoe ziet de bevolkingspiramide er over 50 jaar uit?)
De leerling leert om de grote hoeveelheid talige en cijfermatige informatie kritisch te
bekijken en op waarde in te schatten. In eerste instantie op basis van eigen
waarneming. Daarna door met logische opeenvolgende redeneerstappen een bewering
aan te tonen of te weerleggen. Nog later kan dat met beweringen op een hoger
abstractieniveau.
De leerling leert na te denken over kans, zoals de kans op regen en of een bepaald
spelletje eerlijk is of niet. Nadien volgt een meer formele aanpak van kansrekening.
Kansrekening biedt talrijke vraagstukken die uitnodigen tot probleemoplossen, zoals
het driedeurenprobleem (Stel dat je mag kiezen uit drie deuren: achter een van deur
staat een auto, achter de andere twee staan geiten. Je kiest een deur, bijvoorbeeld nr.
1, en de presentator, die weet wat er achter de deuren staat, opent een andere deur,
bijvoorbeeld nr. 3, met een geit erachter. Hij zegt dan tegen je: 'Zou je deur nr. 2
willen kiezen?' Is het in je voordeel om van deur te wisselen?)
Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote
opdracht 'Data, statistiek en kans':
Probleemoplossen
− Je rapportcijfer is gelijk aan het gemiddelde van drie proefwerkcijfers. Je
hebt op het eerste proefwerk een 4 en op het tweede proefwerk een 6
gehaald. Welk cijfer moet je ten minste op het derde proefwerk halen om op
je rapport een 5,5 of hoger te krijgen?
− Je doet met een vriend een spelletje en gooit een keer of wat met een
dobbelsteen. Als er een 2 of een 5 gegooid wordt, krijg jij van je vriend €
0,50. Als er iets anders gegooid, betaal jij je vriend € 0,20. Wie houdt er
naar verwachting geld over aan dit spelletje?
Abstraheren
− Als in een dataset alle getallen met een vaste waarde verhoogd worden,
verandert dan het gemiddelde, de spreiding of beide?
Logisch redeneren
23
− Beredeneer dat jouw oma (waarschijnlijk) een grotere kans heeft om 100
jaar oud te worden dan jij.
Representeren en communiceren
− Maak een steelbladdiagram van de cijfers in de klas van de laatste
rekentoets.
Modelleren
− Veel kansexperimenten kun je met de normale verdeling goed modelleren:
Bijvoorbeeld de kansverdeling van de som van de ogen van een aantal
dobbelstenen.
Gereedschap en technologie gebruiken
− Bereken de gemiddelde lengte van de leerlingen in de klas.
Brede vaardigheden
Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden
aan de orde:
Kritisch denken
Creatief denken en praktisch handelen
Probleemoplossend denken
Zelfregulering
Communiceren
24
Grote opdracht 6: Veranderingen en benaderingen
Relevantie
We hebben in de wereld te maken met verschillende nieuwe maatschappelijke
ontwikkelingen zoals een veranderend klimaat en daardoor het smelten van de ijskap,
de toenemende afvalberg en afnemende fossiele brandstoffen. Om veranderprocessen
te begrijpen is kennis nodig van veranderingen. In de wetenschap worden
veranderingsprocessen vaak gemodelleerd. Als je het startpunt van een proces weet
en de richting en grootte van de verandering, dan kan geprobeerd worden om de
toekomstige situatie te benaderen zodat we erop kunnen anticiperen. Denk
bijvoorbeeld aan 'code rood' bij een stormwaarschuwing.
Vanuit een praktisch perspectief zien we dat benaderingen van steeds grotere waarde
worden dan exacte uitkomsten. Door de toenemende rekenkracht van computers
liggen de technieken van de numerieke wiskunde (het onderdeel van de wiskunde dat
zich bezighoudt met benaderend rekenen) voor het benaderen van uitkomsten met een
zeer hoge nauwkeurigheid binnen handbereik. Door toepassing van numerieke
wiskunde zijn computersimulaties mogelijk bij praktische vragen en complexe
problemen als weersvoorspellingen en stromingsleer. Kennis van numerieke wiskunde
is nodig om digitale hulpmiddelen goed te hanteren en te begrijpen, denk hierbij vooral
ook aan het effect van (tussentijdse) afrondingen.
Alle leergebieden hebben te maken met veranderingen. Of het nu gaat om cultuur,
politieke veranderingen, migratie, (cyber)oorlog of het omgaan met elkaar, persoonlijk
of via de social media. Er zijn wiskundige technieken beschikbaar die veranderingen
beschrijven en soms ook kunnen voorspellen. Kennis van deze technieken is voor
leerlingen in alle leergebieden, bij (vervolg)opleidingen, in het werkveld en het
dagelijks leven van groot belang. In de toekomst zal er meer kennis over menselijk
gedrag in de (digitale) samenleving toegepast worden, bijvoorbeeld in het huishouden,
de zorg (robotisering), de landbouw en bij digitale platforms.
Inhoud van de opdracht
Bij deze Grote opdracht 'Veranderingen en benaderingen' gaat het enerzijds om het
verwerven van kennis, inzicht en
vaardigheden op het gebied van
veranderingen en benaderingen en
anderzijds om het ontwikkelen van het
vermogen op de wiskundige denk- en
werkwijzen: Probleemoplossen,
Abstraheren, Logisch redeneren,
Representeren en communiceren,
Modelleren, Algoritmisch denken en
Gereedschap en technologie gebruiken.
Een belangrijk fundament voor het kunnen werken aan deze Grote opdracht ligt in
andere Grote opdrachten waarbij leerlingen leren werken met (hele) kleine getallen,
gemiddelden, verhoudingen, formules, tabellen en grafieken.
In eerste instantie leert de leerling een model of visualisatie, zoals een grafiek of een
tabel, te interpreteren en vast te stellen welke verandering zichtbaar is. De leerling kan
kritisch denken en redeneren over deze verandering. Bijvoorbeeld: 'Wat betekent het
als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil loopt?'. Hierbij is
25
een leerling ook bezig met de denk- en werkwijze Logisch redeneren: 'Wat gebeurt er
met het verloop van de grafiek als de temperatuur daalt? Leg je antwoord uit.'
Vervolgens leert de leerling werken met verschillen op intervallen die steeds kleiner
worden, zowel discreet (stapjes per eenheid) als continu. Bijvoorbeeld: 'Op welk
moment van de dag daalt de temperatuur het snelst?’. Door steeds kleinere intervallen
te bekijken, die niet meer realistisch en voorstelbaar zijn, is de leerling bezig met de
wiskundige denk- en werkwijze Abstraheren.
In een later stadium leert de leerling een model te maken om een verandering te
visualiseren, ermee te rekenen en onderzoek te doen. Hiermee wordt een beroep
gedaan op de wiskundige denk- en werkwijze Modelleren. Daarvoor zijn wiskundige
technieken als interpoleren (wanneer denk je dat Nederland ongeveer 8 miljoen
inwoners had?) en extrapoleren (wanneer denk je dat Nederland zo'n 20 miljoen
inwoners zal hebben?) belangrijke vaardigheden.
Deze Grote opdracht leent zich goed voor de wiskundige denk- en werkwijze
Probleemoplossen. Het kiezen van een zo goedkoop mogelijk telefoonabonnement bij
een veranderend verbruik van de hoeveelheid MB's is een voorbeeld hiervan. Ook
optimalisatieproblemen als 'wat is de oppervlakte van de grootste rechthoek die je
kunt maken met 30 meter prikkeldraad?' vallen onder deze wiskundige denk- en
werkwijze.
Wiskundige technieken om veranderingen te leren begrijpen zijn: benaderen,
inklemmen (bijvoorbeeld de zijde van een vierkant van 20 m2 bepalen door middel van
proberen: eerst 5, dan 4, dan 4,4, dan 4,45, enzovoort), differentiaalrekenen,
optimaliseren en lineair programmeren. Deze technieken kunnen in de vorm van een of
meer algoritmen weergegeven worden. Bij het begrijpen en toepassen van deze
technieken wordt een beroep gedaan op de wiskundige denk- en werkwijze
algoritmisch denken. Algoritmisch denken komt vooral sterk aan de orde bij numerieke
wiskunde. Dit onderdeel bevat een groot aantal benaderingsprocedures die zich goed
lenen om door middel van algoritmen beschreven te worden.
Bij deze grote opdracht wordt ook een beroep gedaan op de denk- en werkwijze
Representeren en communiceren: Veranderingen worden immers vaak visueel
gepresenteerd in grafieken, diagrammen en tabellen.
Voorbeelden van wiskundige denk- en werkwijzen in vraagstukken binnen deze Grote
opdracht 'Veranderingen en benaderingen':
Probleemoplossen
− In een staafdiagram staat hoeveel regen er elke dag gevallen is. Bepaal
hoeveel regen er in totaal gevallen is.
Abstraheren
− Leg uit hoe je in een staafdiagram kunt zien waar zich de grootste
verandering voordoet.
− Gegeven is een grafiek die de plaats van een object weergeeft op een
bepaald tijdstip. Wijs het punt op de grafiek aan waar de snelheid van het
object gelijk is aan de gemiddelde snelheid vanaf t = 0.
Logisch redeneren
− Wat gebeurt er met de lengte van je remweg als je harder gaat rijden en
vervolgens remt? Leg eens uit.
− Leg Zeno's paradox uit: waarom haalt Achilles de schildpad uiteindelijk toch
in?
Representeren en communiceren
− Laat in een grafiek zien hoe de ontwikkeling van een hoeveelheid bacteriën
er uit ziet. Je start met 1 bacterie en deze splitst zich elk uur in tweeën.
− Voor differentiaalquotiënt en afgeleide functie bestaan verschillende
26
representaties, zoals d𝑦/d𝑥, 𝑦′ en �̇�.
Modelleren
− Modellen uit de economie voor het berekenen van de totale opbrengst:
TO = -3q2 + 45q met q = aantal producten. Wat is de marginale opbrengst
voor q = 3?
Algoritmisch denken
− Beschrijf de stappen om de oplossing van een vergelijking met behulp van
inklemmen te vinden.
Gereedschap en technologie gebruiken
− Los de lineaire vergelijking met inklemmen op. Bepaal of je hiervoor een
rekenmachine nodig hebt.
Brede vaardigheden
Bij bovenstaande denk- en werkwijzen komen ook de volgende brede vaardigheden
aan bod:
Kritisch denken
Creatief denken en praktisch handelen
Probleemoplossend denken
Zelfregulering
Communiceren
27
GROTE OPDRACHTEN 7 t/m 13 (denk- en werkwijzen)
Grote opdracht 7: Gereedschap en technologie gebruiken
Relevantie
De moderne technologie reikt gereedschap aan waarmee wiskundig handwerk verlicht
en verricht kan worden. Daarnaast biedt ze mogelijkheden om wiskundige
vraagstukken te verkennen, te onderzoeken en soms ook op te lossen. In de huidige
tijd is het gebruik van technologie niet meer weg te denken. Denk bijvoorbeeld aan het
gebruik van navigatie in het verkeer of gebruik van spreadsheets. Het heeft voor
leerlingen meerwaarde in te zien dat deze technologie ook zijn dienst kan bewijzen in
het leergebied Rekenen & Wiskunde. En dat ze in staat en bereid zijn dit op doordachte
en verantwoorde wijze te gebruiken.
Sommige digitale gereedschappen zijn een welhaast ideale omgeving om wiskundige
modellen vorm te geven. Een spreadsheet met formules is in feite een wiskundig
model. Dat geldt ook voor simulatieprogramma's waar een leerling het model zelf moet
invullen, zoals die ook bij het leergebied Mens & Natuur gebruikt worden. Bij het
modelleren vormen digitale gereedschappen een welkome aanvulling.
Veel digitale technologie heeft wortels in de wiskunde. Kennen en begrijpen wat de
functie van wiskunde is in digitaal gereedschap, is voor leerlingen relevant. Ze krijgen
hiermee inzicht in en waardering voor de rol van wiskunde in het algemeen in digitale
technologie in het bijzonder. Ook verdiept dit hun kennis van de mogelijk- en
onmogelijkheden van digitale gereedschappen.
Inhoud van de opdracht
Het gaat hier in eerste instantie om
doordacht en verantwoord gebruik van
gereedschappen en technologie.
Aan bod komen vragen als:
Wanneer gebruik ik welk
gereedschap? En wanneer niet?
Hoe kan ik beoordelen of gereedschap
betrouwbare uitkomsten biedt?
Wat is de nauwkeurigheid en
foutmarge van de uitkomsten?
Het kunnen bedienen en hanteren van gereedschap is hiervoor noodzakelijk.
In tweede instantie gaat het er om de wiskunde te kennen en begrijpen waarop
technologie gebaseerd is. Dit gaat minder ver dan kennis van de werking van een stuk
technologie. Vergelijk het met autorijden. Kennis van de functie van het
koppelingspedaal is voor elke automobilist relevant. De precieze werking van
koppelingsplaten en de versnellingsbak is voor automobilisten minder van belang.
Voorbeelden van Gereedschappen en technologie gebruiken in de verschillende
domeinen:
Getallen en bewerkingen
− met behulp van een rekenmachine of computer bewerkingen uitvoeren en
de uitkomsten kritisch beschouwen;
− waarom kan Excel niet 1 × 2 × 3 × … × 1000 uitrekenen?
28
Verhoudingen
− met behulp van een rekenmachine bewerkingen uitvoeren en de uitkomsten
kritisch beschouwen;
− hoe zorg je er voor dat lengte en breedte van een digitale foto op je
beeldscherm in de juiste verhouding blijven als je de foto vergroot of
verkleint? Door een van de hoekpunten onder een hoek van 45° te
verslepen.
Meten & meetkunde
− Meetinstrumentarium gebruiken, zoals passer, liniaal, lasermeter,
thermometer, (digitale) klok, display van de e-bike, GPS, kompas en
hoekmeter en uitspraken doen over de nauwkeurigheid van de
meetresultaten;
− digitale tekenprogramma's gebruiken om twee- en driedimensionale
objecten te modelleren en vervolgens vanuit verschillende perspectieven te
bekijken;
− is het mogelijk de exacte plaats te bepalen van een mobiele telefoon
waarvan de locatiemodus op 'uit' staat? Nee, je kunt wel met een
(kruis)peiling het gebied bepalen waar de telefoon zich bevindt. Als een
telefoon zich bij veel zendmasten heeft aangemeld, is het gebied tamelijk
klein.
Variabelen, verbanden en formules
− gebruik maken van grafische apps om snijpunten van grafieken te bepalen
en daarbij overwegingen te hanteren over de ligging van snijpunten;
− gebruik maken van grafische apps om families van verbanden in beeld te
brengen;
− spreadsheets en simulatieprogrammatuur gebruiken om modellen te maken
en door te rekenen;
− computeralgebra gebruiken om complexe algebraïsche bewerkingen uit te
voeren;
− samplen van geluidsfragmenten. Geluid is een periodiek verband tussen de
druk van de lucht ter hoogte van je oor en de tijd. Een sample is niet veel
meer dan een tabel van dit verband.
Data, statistiek & kansrekening
− spreadsheets gebruiken om kansexperimenten te simuleren;
− hoe kunnen systemen leren van gegevens die ze verzamelen en opslaan?
Veranderingen en benaderingen
− gebruik maken van grafische apps en andere software om minima en
maxima van grafieken te bepalen en daarbij overwegingen hanteren over de
ligging van deze extremen;
− spreadsheets en simulatieprogrammatuur gebruiken om modellen te maken
en door te rekenen;
− benaderingsmethoden programmeren of modelleren met behulp van
computers;
− hoe werkt beeldherkenning? Op het beeld wordt een aantal vaste punten
aangewezen en die punten worden vergeleken met een referentiebeeld.
Brede vaardigheden
Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Creatief denken en handelen
Kiezen voor passend gereedschap en technologie.
29
Probleemoplossend denken en handelen
Bepalen bij welke stappen in een oplossingsstrategie gereedschappen en
technologie hun dienst kunnen bewijzen.
Kritisch denken
Nagaan of uitkomsten van (digitaal) gereedschap betrouwbaar zijn.
30
Grote opdracht 8: Probleemoplossen
Relevantie
Het belang van het kunnen probleemoplossen kan nauwelijks overschat worden. Veel
maatschappelijke en andere vraagstukken kunnen beschouwd worden als een
probleem, waarvoor een oplossing gewenst is. Denk aan klimaatverandering,
bodemdaling in het gaswinningsgebied van Groningen, waterhuishouding, enzovoorts.
Welke oplossing het beste past, hangt af van verschillende factoren: politiek, sociaal,
fysiek, enzovoort. Het leergebied Rekenen & Wiskunde draagt ertoe bij keuzen op
onderbouwde wijze te maken. Ook in het dagelijks leven doen zich situaties voor die
als probleem beschouwd kunnen worden. Voorbeelden zijn: berekenen hoeveel
belasting je moet betalen over een vermogen, op hoeveel vakantiedagen je recht hebt,
of hoeveel studieschuld je opgebouwd hebt. Probleemoplossen is daarmee een
belangrijke werkwijze in dit leergebied en draagt bij aan socialisatie van de leerling.
Ook het hoofddoel van kwalificatie is gediend bij het vermogen problemen op te
kunnen lossen, in het bijzonder als het gaat om problemen in het leergebied Rekenen
& Wiskunde zelf. Denk bijvoorbeeld aan een slimme oplossing voor berekening van de
som van de getallen 1 tot en met 100 of in de onderbouw: het vinden van alle
splitsingen van 10. Door problemen uit het leergebied zelf en uit andere leergebieden
aan de orde te stellen verdiept het wiskundig inzicht en denken van leerlingen zich. En
daar heeft een leerling baat bij met het oog op het vervolg van zijn loopbaan. Ten
slotte doet probleemoplossen een beroep op analytisch en creatief denken en dat
draagt bij aan persoonsvorming.
In verschillende andere leergebieden komen problemen met een wiskundecomponent
voor, die om een oplossing vragen. Daarvoor is het essentieel dat een leerling over
relevante vakkennis beschikt, over probleemoplossingsvaardigheden in het algemeen
en voor wiskundeproblemen in het bijzonder, en voldoende (routine)vaardigheid heeft
in het uitvoeren van reken- en wiskundebewerkingen. De werkwijze Probleemoplossen
in dit leergebied kan daarin deels voorzien.
Inhoud van de opdracht
Het onderscheid tussen een probleem
en een routinematig oplosbaar
vraagstuk is dat bij een probleem niet
direct duidelijk is op welke wijze het
kan worden opgelost. Bij een
routinematig oplosbaar vraagstuk is dat
wel duidelijk. Dit onderscheid is relatief.
Wat voor de één een routinematig
oplosbaar vraagstuk is, kan voor een
ander een probleem zijn en omgekeerd.
Bovendien kan wat eerst een probleem vormt voor iemand, in een later stadium
routinematig oplosbaar zijn voor hem.
Problemen kunnen verdeeld worden in wiskundeproblemen, bijvoorbeeld "Bereken de
som van de getallen 1 tot en met 100", en toepassingsproblemen, bijvoorbeeld "Met
hoeveel procent stijgen de prijzen als de BTW stijgt van 6% naar 9%?". Niet elk
31
toepassingsvraagstuk is een probleem. Als je een toepassingsvraagstuk kunt oplossen
op routinematige wijze, is het (voor jou) een routinevraagstuk. Voor veel leerlingen zal
op een bepaald moment een vraagstuk als "Wat moet je betalen als je 20% korting op
een kledingstuk van € 69,95 krijgt?" een routinevraagstuk zijn.
Om een probleem op te lossen kun je gebruik maken heuristieken (methoden bij het
aanpakken van problemen). Voorbeelden daarvan zijn:
trial-and-error: iets uitproberen en kijken hoe dat uitpakt;
alle mogelijkheden opsommen en daaruit een keuze maken;
van achter naar voren werken;
een verband leggen met (eenvoudiger) verwante problemen die je al eerder hebt
opgelost;
het probleem opdelen in deelproblemen, die afzonderlijk oplossen en de
oplossingen samenstellen tot een oplossing van het hoofdprobleem.
Als onderdeel van het probleemoplossingsproces kunnen wiskundige modellen gebruikt
worden. Een wiskundig model is een weergave van een situatie met behulp van
wiskundige formalismen. Dat kan gebruikt worden om de probleemsituatie en de
vraagstelling te beschrijven. Het gebruik van modellen is echter niet beperkt tot het
oplossen van problemen. Evenmin vereist elk probleem dat er een wiskundig model
wordt opgesteld.
We zien onder leerlingen verschillende aanpakken van probleemoplossen. Die
illustreren we aan de hand van het volgende probleem: “Een man beweert van zichzelf,
zijn zoon en zijn kleinzoon: ”Mijn zoon is 24 jaar jonger dan ik; mijn zoon is 35 jaar
ouder dan mijn kleinzoon. Samen zijn wij 100 jaar oud. Hoe oud zijn we elk?"
Een leerling probeert met trial-and-error of 'handelend' een oplossing van het
probleem te construeren. Bij contextproblemen hebben zijn of haar probeersels
betekenis binnen de context.
Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling neemt voor de opa een bepaalde
leeftijd, bijvoorbeeld 70 jaar. Dan is de zoon 46 jaar en de kleinzoon 11 jaar oud.
Totaal = 127 jaar. Dan probeert hij 65 jaar. Dan is de zoon 41 jaar en de kleinzoon
6 jaar oud. Totaal = 112 jaar, enzovoort.
Een leerling lost het probleem op met behulp van een schematische beschrijving
van de probleemsituatie.
Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling tekent de situatie uit met balkjes en
ontdekt zo dat drie keer de leeftijd van opa – 24 – (24 + 35) gelijk moet zijn aan
100.
Een leerling lost het probleem op door waar nodig de probleemsituatie wiskundig te
modelleren, een oplossingsstrategie te bedenken, de handelingen uit de strategie
uit te voeren, de uitkomsten daarvan te bewerken tot een of meer oplossingen
(bijvoorbeeld: afronden, eenheden toevoegen, conclusies trekken) en de juistheid
van deze oplossing(en) te controleren.
Deze aanpak in het voorbeeld: Een leerling maakt een wiskundig model met x =
32
leeftijd van opa, y = leeftijd van de zoon en z = leeftijd van de kleinzoon en met
drie vergelijkingen.
De moeilijkheidsgraad van een probleem wordt onder andere door de volgende
factoren bepaald:
uit hoeveel verschillende handelingen de oplossingsstrategie bestaat;
hoeveel gegevens er gebruikt worden bij deze handelingen;
in hoeverre er sprake is van dingen als overbodige gegevens, ontbrekende
gegevens, de noodzaak om de uitkomsten te bewerken tot oplossingen,
verschillende bronnen waaruit gegevens betrokken moeten worden, …;
in hoeverre het noodzakelijk is een wiskundig model van de probleemsituatie op te
stellen.
Voorbeelden van Probleemoplossen in de verschillende domeinen:
Getallen en bewerkingen
− Vind alle splitsingen van 10 (wiskundige probleem).
− Bereken de som van de getallen 1 tot en met 100 (wiskundig probleem).
Verhoudingen
− Met hoeveel procent stijgen de prijzen als de BTW stijgt van 6% naar 9%?
(toepassingsprobleem)
Meten & meetkunde
− Hoeveel blikken van 2 liter verf heb je nodig om een muur van 8 bij 3,2
meter te verven? (toepassingsprobleem)
Variabelen, verbanden en formules
− Leerlingen bedenken een reeks getallen. Andere leerlingen moeten
bedenken wat het volgende getal van die reeks is (wiskundig probleem).
Informatie, statistiek & kansrekening
− Je doet met een vriend een spelletje en gooit een keer of wat met een
dobbelsteen. Als er een twee of een vijf gegooid wordt, krijg jij van je vriend
€ 0,50. Als er iets anders wordt gegooid, betaal jij je vriend € 0,20. Wie
houdt er naar verwachting geld over aan dit spelletje?
(toepassingsprobleem)
Veranderingen en benaderingen
− In een staafdiagram staat hoeveel water er dagelijks verbruikt is. Bepaal
hoeveel water er in een maand gebruikt is (toepassingsprobleem).
− Hoeveel water zou een persoon ongeveer gebruiken op een dag?
(toepassingsprobleem)
Brede vaardigheden
Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Probleemoplossend denken en handelen
Creatief denken en handelen
Welke oplossingsstrategie leidt tot het gewenste resultaat?
Kritisch denken
Klopt mijn strategie? Moet ik niet een andere aanpak proberen?
Zelfregulering
Voer ik mijn strategie nog correct en volgens plan uit?
33
Grote opdracht 9: Abstraheren
Relevantie
Abstraheren in de betekenis van generaliseren vormt een belangrijke denkwijze in de
wiskunde. Wie niet kan abstraheren zal moeite hebben met de andere denk- en
werkwijzen van het leergebied en eveneens met het doorgronden van de inhouden van
het leergebied. Zijn of haar wiskundekennis is in dat geval oppervlakkig en
instrumenteel van aard. Dit strekt zich ook uit tot andere leergebieden waar wiskunde
een rol speelt.
Het belang van abstraheren richt zich in het bijzonder op persoonsvorming; het
vermogen tot generaliseren maakt dat iemand in staat is afstand te nemen van
concrete situaties, verbanden kan leggen met vergelijkbare situaties en daar lering uit
kan trekken. Hij kan doordringen tot de essentie van situaties en vraagstukken en kan
hoofd- van bijzaken onderscheiden. Hier kan iemand zijn hele leven voordeel van
ondervinden.
Inhoud van de opdracht
Abstraheren heeft betrekking op
enerzijds concrete objecten en
anderzijds op bewerkingen. Hieronder
staan twee voorbeelden die
verschillende niveaus van abstraheren
beschrijven.
Stel dat we leerlingen vragen een cirkel te karakteriseren.
1. Een leerling wijst een aantal cirkelvormige objecten in de directe omgeving aan
of geeft voorbeelden van voorwerpen die een cirkelvorm hebben (een
euromunt, een ronde tafel, een fietswiel).
2. Een leerling tekent met een passer een cirkel en zegt (desgevraagd) dat alle
punten op een cirkel gelijke afstand hebben tot het middelpunt.
3. Een leerling zegt daarnaast dat een cirkel de enige figuur is die lijnsymmetrisch
is met oneindig veel symmetrieassen. Of: dat een cirkel de figuur is met de
grootste oppervlakte bij een gegeven omtrek.
4. Een leerling zegt dat een cirkel een kromme is met een vergelijking van de
vorm (x – a)2 + (y – b)2 = r2 en legt verbanden met andere krommen. Deze
leerling legt desgevraagd uit waarom krommen met deze vergelijking cirkels
zijn.
Stel dat we leerlingen vragen berekeningen met procenten te karakteriseren
1. Een leerling geeft een voorbeeld van hoe je …% van iets berekent.
2. Een leerling laat ook andere procentberekeningen zien, zoals: "hoeveel procent
is iets van iets" en terugrekening van BTW. Deze leerling legt desgevraagd
verbanden tussen deze berekeningen en vertelt wat de betekenis ervan is.
34
3. Een leerling spreekt daarnaast over percentages, geeft een omschrijving van
een percentage en vertelt bijvoorbeeld dat een klein percentage van het één
meer kan zijn dan een groter percentage van het ander.
4. Een leerling zegt dat een percentage een voorstellingswijze is van een
verhouding en noemt andere voorstellingswijzen van verhoudingen, zoals
breuken en omschrijvingen als "1 van de …" of "op elke … zijn er …". Deze
leerling legt verbanden tussen deze voorstellingswijzen en redeneert over
verhoudingen in het algemeen.
In deze voorbeelden zien we hoe abstraheren in het denken van leerlingen kan
verlopen. Zowel cirkels als procentberekeningen worden in het denken van leerlingen
zelfstandige denkobjecten met een betekenis. Leerlingen kunnen praten en redeneren
over denkobjecten en onderkennen hun bestaan. Ze vormen een nieuwe werkelijkheid
voor de leerling. En op basis van deze nieuwe werkelijkheid kunnen leerlingen nieuwe
objecten in hun denken vormen.
Voorbeelden van Abstraheren in de verschillende domeinen:
Getallen en bewerkingen
− Jonge leerlingen leren te praten over 'drie' zonder daarbij nog te denken aan
een hoeveelheid.
Verhoudingen
− Een Engelse landkaart heeft een schaal van 1 inch : 3 mijl. Als een leerling
schaal als een denkobject beschouwt, heeft hij/zij weinig moeite de schaal
van deze kaart in een metrieke schaal te schrijven.
Meten & meetkunde
− Een leerling die een rechthoek kan karakteriseren aan de hand van zijn
kenmerken, kan ook uitleggen dat elk vierkant ook een rechthoek is.
− Een leerling die een meetkundige figuur als een denkobject beschouwt,
begrijpt dat twee congruente figuren dezelfde oppervlakte hebben.
Variabelen, verbanden en formules
− Een leerling die een vergelijking als een denkobject beschouwt, kan
onderstaande vraag beantwoorden zonder de vergelijkingen op te lossen.
Welke vergelijkingen hebben dezelfde oplossing?
0,55x – 4,2 = 23,1 55x – 420 = 2310 −55x + 420 = −2310
0,55x + 4,2 = −23,1 0,55x – 3,2 = 24,1 0,11x – 0,64 = 4,82
Informatie, statistiek & kansrekening
− Een leerling die een verzameling van getallen als een denkobject beschouwt,
kan onderstaande vraag beantwoorden: als in een verzameling getallen alle
getallen met een vaste waarde verhoogd worden, verandert dan het
gemiddelde, de spreiding of beide?
Veranderingen en benaderingen
− Leerlingen met abstraheervermogen onderkennen het bestaan van oneindig
kleine veranderingen die niet gelijk zijn aan 0.
Brede vaardigheden
Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan
Abstraheervermogen is een belangrijke factor voor succes in studie en loopbaan.
35
Grote opdracht 10: Logisch redeneren
Relevantie
In veel situaties in beroepen en daarbuiten moeten mensen een logische redenering
kunnen volgen of geven en redeneerfouten kunnen herkennen, zoals drogredenen en
misleidende redeneringen. In het kader van persoonsvorming en socialisatie is logisch
redeneren daarom een belangrijke vaardigheid. Verder is het vermogen om logisch te
redeneren van belang om je verder te bekwamen in het leergebied Rekenen &
Wiskunde.
Logisch redeneren in dit leergebied gaat over beweringen, stellingen, eigenschappen,
het aantonen of weerleggen daarvan én over het opsporen van stellingen en
eigenschappen. Met een logische redenering kan worden aangetoond of een bewering
of stelling waar is of niet. In een dergelijke redenering kunnen redeneerprincipes (zoals
"het bewijs uit het ongerijmde"), eigenschappen, stellingen en definities gebruikt
worden. Redeneerprincipes zijn buiten het leergebied en in het analyseren van
redeneringen van iemand anders ook goed bruikbaar.
Inhoud van de opdracht
Bij logisch redeneren gaat hem om
beweringen in algemene zin, zoals:
toon aan (of: leg uit, verklaar, …) dat
van élke driehoek de som van de
hoeken samen 180o is en niet: toon aan
dat van deze driehoek de som van de
hoeken samen 180o is. In het geval een
leerling nog nooit kennis gemaakt heeft
met de hoeksomeigenschap van
driehoeken, is het laatste voor hem een
probleem. De eerste bewering gaat over élke driehoek. Aantonen dat dit klopt, wordt
tot logisch redeneren gerekend.
Sommige beweringen zijn van de vorm "als A dan B", bijvoorbeeld: "Als het regent,
zijn de straten nat". In dat geval vormt A het uitgangspunt van een keten van
redeneerstappen, die op hun beurt moeten leiden tot B. In een enkel geval kent de
leerling een redenering voor een stelling uit het hoofd, denk bijvoorbeeld aan een
bewijs van de Stelling van Pythagoras. Dit uit het hoofd weten valt niet onder logisch
redeneren.
In het leergebied Rekenen & Wiskunde zien we een aantal manieren om stellingen en
eigenschappen op het spoor te komen:
inductief redeneren (vanuit voorbeelden of data zoeken naar overeenkomsten,
hier regels of eigenschappen uit halen en deze met nieuwe voorbeelden of data
controleren, bijvoorbeeld: "De kinderen uit mijn groep hebben allemaal tien
vingers aan hun hand. Dus alle mensen op aarde hebben tien vingers.");
deductief redeneren (uitgaan van wat al bekend/bewezen is en van daaruit
andere zaken afleiden; bijvoorbeeld de als-dan-redenering: "Als het regent, dan
zijn de straten nat" en "Als de straten nat zijn, dan is fietsen gevaarlijk". Hieruit
volgt: "Als het regent, dan is fietsen gevaarlijk.");
analoog redeneren (op basis van vergelijkbare situaties beredeneren hoe het is
in andere situaties, bijvoorbeeld: "De kinderen uit mijn groep hebben allemaal
36
tien vingers aan hun hand. Dat geldt daarom ook voor kinderen uit de
parallelgroep.")
Deze manieren van redeneren zien we in meer of mindere mate terug in de wijze
waarop een leerling een stelling, eigenschap of bewering aantoont of weerlegt. We
komen het volgende tegen.
Een leerling rekent een aantal voorbeelden door en als die de bewering staven
of weerleggen, veronderstelt hij/zij dat de bewering (on)waar is. Dit heeft
verwantschap met inductief redeneren.
Een leerling tekent een plaatje of schema en geeft naar aanleiding daarvan een
redenering. Of: hij/zij toont aan dat de bewering in een bepaalde context (niet)
klopt en veronderstelt dat dat in het algemeen ook zo is. Dit heeft ook
verwantschap met inductief redeneren en enigszins met analoog redeneren.
Een leerling geeft een wiskundig bewijs. Dit heeft verwantschap met deductief
redeneren.
Hieronder staan twee voorbeelden bij de stelling dat van elke driehoek de som van de
hoeken gelijk is aan 180o.
"Plaatje en praatje"
Knip de driehoek uit, maak twee kopieën en leg de drie driehoeken neer zoals
hieronder is te zien. Dat past precies. De som van de drie hoeken staat in de rode boog
en dat is precies een gestrekte hoek.
Formeel bewijs
Bekend veronderstelde stellingen en definities:
Een gestrekte hoek is een hoek van 180 graden.
Stelling van de Z-hoeken.
Bewijs:
(1) ∠𝐶1 + ∠𝐶2 + ∠𝐶3 = 180° (gestrekte hoek)
(2) ∠𝐴 = ∠𝐶1 (Z-hoeken)
(3) ∠𝐵 = ∠𝐶3 (Z-hoeken)
(4) ∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶2 = 180° (volg uit 1, 2 en 3)
Q.E.D.
http://www.davdata.nl/hoeken3hoek.html
De moeilijkheidsgraad van een redeneervraagstuk wordt onder andere door de
volgende factoren bepaald:
37
hoeveel verschillende eigenschappen, definities, stellingen er noodzakelijk zijn
om de redenering op te zetten;
of er specifieke redeneerprincipes gebruikt moeten worden;
of vooraf bekend is dat de bewering weerlegd of aangetoond moet worden of
dat de leerling dat vooraf niet weet.
Voorbeelden van Logisch redeneren in de verschillende domeinen:
Getallen en bewerkingen
− Toon aan dat oneven getal x oneven getal = oneven getal
− Wat weet je van oneven getal + oneven getal?
Verhoudingen
− Als je eerst iets verhoogt met 10% en daarna weer verlaagt met 10%, kom
je dan weer op het oorspronkelijke bedrag uit? Leg je redenering uit.
Meten & meetkunde
− Leg uit dat als de afmetingen van een figuur verdubbelen, de oppervlakte
van die figuur vier keer zo groot wordt.
− Verder kent meetkunde talrijke stellingen die zich als redeneervraagstuk
lenen.
Variabelen, verbanden en formules
− Als je het aantal handen weet, weet je dan ook altijd hoeveel kinderen er
zijn? Leg eens uit.
Informatie, statistiek & kansrekening
− Beredeneer dat iemand een grotere kans heeft om een bepaalde leeftijd te
bereiken te worden dan iemand die jonger is.
Veranderingen en benaderingen
− Toon de volgende stelling aan: tussen elk twee nulpunten van een
(continue) functie ligt ten minste één punt waar diens verandering gelijk is
aan 0.
Brede vaardigheden
Bij deze bekwaamheid komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Creatief denken en handelen
Welke redeneerstappen leiden tot het gewenste resultaat?
Kritisch denken
Klopt mijn redeneertrant?
Zelfregulering
Mijn redeneerproces aansturen, reguleren en evalueren; volhardend zijn.
38
Grote opdracht 11: Representeren en communiceren
Relevantie
Representeren is het weergeven van wiskundige objecten en bewerkingen met behulp
van symbolen en benamingen. Het belang van het gebruik van correcte termen en
symbolen is vooral gelegen in de noodzaak over wiskunde te kunnen communiceren.
Wiskundetaal omvat begrippen, benamingen en symbolen. Het gebruik hiervan
vereenvoudigt communicatie met deskundigen die hierin zijn ingewijd. Maar
communicatie over wiskunde omvat meer dan dat. Ook is van belang wiskunde uit
kunnen leggen aan anderen. En daarvoor is het noodzakelijk symbolen en benamingen
te gebruiken die afgestemd zijn op doel en publiek. Representeren en communiceren
dragen bij aan kwalificatie – correct gebruik van symbolen en benamingen is in
vervolgopleidingen en beroep noodzakelijk – en aan socialisatie. De wijze waarop
leerlingen in staat zijn objecten en bewerkingen weer te geven, weerspiegelt hun
wiskundig denken en handelen. Representaties bieden leerlingen de mogelijkheid hun
wiskundig denken en wiskundig handelen tot uitdrukking te brengen.
In alle leergebieden waar rekenen en wiskunde wordt gebruikt, is representeren en
communiceren van belang. Het gebeurt dat in andere leergebieden afwijkende
symbolen en notaties gebruikt worden, bijvoorbeeld 'doorsnede' van een cirkel in
plaats van 'diameter' van een cirkel. Hier flexibel mee om te gaan en waar nodig
verbindingen te leggen tussen afwijkende en wiskundige symbolen en notaties is
eveneens van belang.
Inhoud van de opdracht
Representeren betreft het weergeven
van objecten en bewerkingen in de
vorm van visualisaties, formules en
symbolen. Het gaat er om hoe
wiskundige objecten en bewerkingen
worden weergegeven en genoemd. Ook
verwante begrippen en notaties vallen
hieronder. Zo geven we een breuk weer
in de vorm …
… of … …⁄ ; het getal boven de
streep heet 'teller' en het getal er onder heet 'noemer'. Of: de lijnstukken die de
hoekpunten van een driehoek met elkaar verbinden heten de 'zijden' van de driehoek.
Bij ruimtelijke figuren spreken we over 'ribben'.
Wiskundig communiceren heeft als doel wiskunde begrijpelijk te maken voor een breed
publiek en de universele taal van wiskunde onder ingewijden te kunnen spreken.
Bij het representeren zien we dat leerlingen verschillende namen en symbolen
gebruiken. We illustreren dit aan de hand van de vraag hoe je de uitkomst van de
optelling van twee getallen noemt.
Ze gebruiken zelf bedachte benamingen en informele taal, bijvoorbeeld
'erbijgetal.'.
Ze gebruiken formele wiskundetaal, namelijk de som van beide getallen.
39
In sommige gevallen is het wenselijk van weergave te wisselen, bijvoorbeeld als blijkt
dat een bepaalde weergave niet past bij een bepaald publiek of voor een bepaalde
situatie. Dit omzetten van weergaven wordt tot Representeren en communiceren
gerekend, voor zover dit volgens op min of meer vaste wijze plaats vindt, zoals bij
omzetting van 2 op de 5 naar 40% of twee vijfde deel.
Voorbeelden van Representeren en communiceren in de verschillende domeinen:
Getallen en bewerkingen
− Welk getal staat hier: 9,6 ∙ 107? En hier: CIX? En hier: 9.615.232?
Verhoudingen
− 2 op de 5 mensen draagt een bril. Hoeveel procent is dat?
− Welk van beide voorstellingswijzen zou je gebruiken om je ouders te
vertellen welk deel van de mensen een bril draagt?
Meten & meetkunde
− Hoe zou je aan een breed publiek duidelijk kunnen maken hoe een cilinder
er uit ziet?
− Teken de cirkel met vergelijking (x – 3)2 + (y + 2)2 = 25.
Variabelen, verbanden en formules
− Teken de grafiek van het verband die weergegeven wordt met de formule
y = −2x + 6.
− Beschrijf de betekenis van de variabelen in een formule.
Informatie, statistiek & kansrekening
− Maak een staafdiagram van de lengtes van de leerlingen in de klas.
Veranderingen en benaderingen
− Schrijf de oppervlakte onder een grafiek met een gegeven formule als een
integraal.
Brede vaardigheden
Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Communiceren
40
Grote opdracht 12: Modelleren
Relevantie
Modelleren gaat over het beschrijven van een situatie met behulp van schematische
voorstellingen en/of wiskundige formalismen, zoals formules, vergelijkingen, grafieken,
meetkundige figuren en kansverdelingen. Een beschrijving van een situatie met behulp
van wiskundige formalismen is een wiskundig model. Schematische voorstellingen en
wiskundige modellen kennen verschillende functies en die beschrijven op hun beurt het
belang van modelleren, zoals
Een schematische voorstelling en een wiskundig model kunnen worden gebruikt
bij het oplossen van problemen.
Met behulp van een wiskundig model kan een theorie (in een ander leergebied)
worden getoetst, zoals de theorie dat de planeten om de zon draaien of dat
populaties samenlevende prooi- en roofdieren elkaar in de tijd afwisselen qua
omvang. Men bedenkt een theorie en een of meer experimenten om die theorie
te toetsen. Op basis van de theorie wordt een wiskundig model opgesteld. Aan
de hand daarvan kunnen de uitkomsten van de experimenten voorspeld
worden. Blijken uitkomsten en voorspellingen in redelijke mate aan elkaar
gelijk, dan is dat een aanwijzing dat de theorie 'klopt'.
Met behulp van wiskundige modellen kunnen voorspellingen worden gegeven,
zoals de planbureaus van de overheid dat doen met macro-economische en
andere modellen en het KNMI dit doet ten aanzien van het weer.
En ten slotte worden in sommige gevallen beslismodellen, aan de hand waarvan
standaardbeslissingen genomen kunnen worden, in de vorm van een
schematische voorstelling of wiskundig model weergegeven.
Wiskunde ontleent haar bestaansrecht aan de toepasbaarheid daarvan, die je door
middel van wiskundige modellen kunt weergeven. Modelleren draagt er aan bij dat
leerlingen wiskunde als betekenisvol en voorstelbaar ervaren. Kunnen modelleren
draagt bij aan beter inzicht in de wereld om ons heen en in verschijnselen die zich in
die wereld en daarbuiten voordoen. Dit inzicht draagt op zijn beurt bij aan
persoonsvorming.
Modelleren komt in sommige andere leergebieden ook aan bod. Daarbij valt te denken
aan wiskundige modellen die het verloop van natuurwetenschappelijke verschijnselen
beschrijven, die het gedrag van populaties prooi- en roofdieren beschrijven en aan
economische modellen.
Inhoud van de opdracht
Ter illustratie van hoe modelleren in
zijn werk kan gaan, staat hieronder
een voorbeeld. Het gaat om een deel
van de spoorbrug in Deventer waarvan
alle balken even lang zijn. Gevraagd
wordt een wiskundig model te maken
voor het aantal balken waaruit deze
brug bestaat.
41
Het plaatje hierboven is een voorbeeld van een schematische voorstelling van de
spoorbrug. Een andere voorstelling van de situatie is onderstaande tabel. Deze tabel
kan enigszins als een wiskundig formalisme beschouwd worden.
Vervolgens kan aan de hand hiervan een formule worden afgeleid tussen het aantal
balken A en de lengte van de brug L. Die formule luidt A = 4L – 1. Aan de hand van dit
model zouden we bijvoorbeeld kunnen berekenen hoeveel balken nodig zijn voor een
brug met lengte 20 of welke lengte we kunnen overspannen met 35 balken. Deze
formule is een wiskundig formalisme en daarmee een voorbeeld van een wiskundig
model.
Een alternatieve aanpak is om geen tabel te maken, maar 'analytisch' te werk te gaan.
Als de lengte van de brug gelijk is aan L, dan hebben we L – 1 bovenbalken nodig.
Voor elke onderbalk hebben we twee schuine balken nodig, dus in totaal 2L. Daarom is
A = L + L – 1 + 2L = 4L – 1.
Het model in het voorbeeld is tamelijk eenvoudig. Wat maakt modelleren moeilijk?
Onder andere:
hoeveel specifieke kennis van de context noodzakelijk is;
welke wiskunde er bij komt kijken;
uit hoeveel verschillende wiskundedomeinen kennis betrokken moet worden;
of er zelfstandig (wiskundige) aannamen gemaakt moeten worden.
Voorbeelden van Modelleren in de verschillende domeinen:
Getallen en bewerkingen
− Een meisje heeft al €52 gespaard. Ze krijgt er €15 bij. Laat je berekening
zien op de getallenlijn.
− Een tegelvloer bestaat uit 30 bij 50 tegels. Met welke som kun je uitrekenen
hoeveel tegels er zijn?
Verhoudingen
− In de supermarkt zijn veel verschillende verpakkingen cola verkrijgbaar.
Geef met behulp van verhoudingstabellen aan welke verpakking relatief de
hoogste literprijs heeft.
Meten & meetkunde
− Maak een bouwtekening (op schaal) van het konijnenhok dat je gaat maken
met je groep.
Variabelen, verbanden en formules
− In elk boeket zit 4 euro aan groen, de rozen kosten 1,50 euro per stuk en
de gerbera's 1 euro per stuk. Maak een formule voor het totaalbedrag van
een boeket.
Informatie, statistiek & kans
− Veel kansexperimenten kun je met de normale verdeling goed modelleren:
Bijvoorbeeld de kansverdeling van de som van de ogen van een aantal
dobbelstenen.
Lengte 1 2 3 4
Aantal balken 3 7 11 15
42
Veranderingen en benaderingen
− Modellen uit de economie voor het berekenen van de totale opbrengst:
TO = -3q2 + 45q met q = aantal producten. Wat is de marginale opbrengst
voor q = 3?
Brede vaardigheden
Bij deze denk-/werkwijze komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Creatief denken en handelen
Kritisch denken en handelen
Voldoet mijn model? Zijn mijn modelaannamen terecht gebleken?
Zelfregulering
Ben ik nog op de goede weg?
43
Grote opdracht 13: Algoritmisch denken
Relevantie
Instellingen en bedrijven streven steeds meer naar het leren kennen en beschrijven
van individuele voorkeuren en smaken van hun gebruikers, klanten of deelnemers. Dit
met als doel ze persoonlijke aanbiedingen te kunnen doen, op hun interesse
toegesneden nieuwsberichten te presenteren, enzovoorts. Dit gepersonaliseerd aanbod
komt mede tot stand door middel van algoritmen. Deze algoritmen zijn niet publiek
toegankelijk. Maar de denkwijze Algoritmisch denken kan er toe bijdragen dat
leerlingen zich een voorstelling kunnen maken van hoe dergelijke algoritmen zouden
kunnen werken.
In het leergebied Rekenen & Wiskunde komen (standaard)bewerkingen voor, zoals het
uitvoeren van bewerkingen zoals optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, maken
van uitslagen van meetkundige figuren, berekening van een gemiddelde van een
aantal getallen en oplossen van vergelijkingen. Voor elk van deze bewerkingen kan een
(standaard)procedure toegepast worden. Elk van deze procedures vormt een
algoritme: een verzameling vaste stappen in een vaste volgorde die leiden tot een
zeker resultaat. Tegenwoordig kunnen apparaten ook deze algoritmen uitvoeren. Het is
van belang dat leerlingen inzicht verwerven in dat dit kan en hoe dat in zijn werk gaat
of zou kunnen gaan.
Als we verder een probleem moeten oplossen, kunnen we een oplossingsstrategie
bedenken. Is het probleem eenmaal opgelost, heeft de oplossingsstrategie geen nut
meer. Maar wat als we de oplossingsstrategie willen bewaren om in de toekomst
soortgelijke problemen op te kunnen lossen? In dat geval is het mogelijk de
oplossingsstrategie in de vorm van een algoritme te schrijven. Deze toepassing van
algoritmisch denken biedt leerlingen handvatten om hun repertoire aan problemen en
bijpassende oplossingsstrategieën uit te breiden. Dat draagt bij aan hun kwalificatie
voor vervolgopleiding en beroep en aan vorming van hen als persoon.
Algoritmisch denken kent een sterke verwantschap met computational thinking in het
leergebied Digitale Geletterdheid. Algoritmisch denken vormt de basis van het
programmeren.
Inhoud van de opdracht
Een algoritme is een verzameling vaste
stappen in een vaste volgorde die vanuit
een beginsituatie leiden tot een bepaald
resultaat. Het beschrijven van
algoritmen valt onder algoritmisch
denken en heeft tot doel:
inzicht bieden in de wijze waarop
apparaten procedures kunnen
uitvoeren;
handvatten bieden om typen
problemen te herkennen en op te kunnen lossen.
Algoritmisch denken bestaat er uit algoritmen te ontwerpen en te beschrijven. Hiervoor
is het kunnen uitvoeren van algoritmen voorwaardelijk. Dit laatste is te typeren als
44
algoritmisch handelen. Denk bijvoorbeeld aan het bouwen van een autootje met Lego®
of het in elkaar zetten van een IKEA-kast.
Een leerling kan algoritmen op verschillende manieren beschrijven. Dit illustreren we
aan de hand van een algoritme om het rekenkundig gemiddelde van een aantal
getallen uit te rekenen:
aan de hand van een voorbeeld met een toelichting;
"Kijk maar: het gemiddelde van 1, 3, 4 en 7 is gelijk aan 15 (wijst de vier
getallen aan) gedeeld door 4 en dat is 3,75."
door middel van een tekstuele beschrijving zonder voorbeeld;
"Dat gaat als volgt:
Je telt alle getallen bij elkaar op …
Je telt hoeveel getallen er zijn …
… en je deelt beide uitkomsten door elkaar."
met behulp van een formele schrijfwijze met de basisstructuren opeenvolging,
keuze en herhaling en waar nodig met gebruikmaking van variabelen.
START
De som van de verwerkte getallen is nog 0
Het aantal verwerkte getallen is nog 0
ZOLANG er nog getallen verwerkt moeten worden
Neem het volgende getal
Tel dit getal op bij de som van de al verwerkte getallen
Verhoog het aantal verwerkte getallen met 1
EINDE
ALS het aantal verwerkte getallen > 0 DAN
Het gemiddelde = de som van de verwerkte getallen : aantal verwerkte
getallen
ANDERS
"Het gemiddelde van nul getallen kan niet berekend worden"
EINDE
KLAAR
Daarnaast kunnen algoritmen meer of minder moeilijk zijn. Factoren die daarbij een rol
spelen zijn onder andere:
het aantal stappen waaruit het algoritme bestaat;
het voorkomen van structuren als ALS – DAN – ANDERS en ZOLANG en
combinaties daarvan (= zogenaamde geneste structuren);
de noodzaak gegevens tijdens de uitvoering van het algoritme tijdelijk te
onthouden.
Voorbeelden van Algoritmisch denken in de verschillende domeinen:
Getallen en bewerkingen
45
− Beschrijf hoe je stap voor stap een vermenigvuldiging van twee gehele
getallen groter dan 10 cijferend uitvoert.
Verhoudingen
− Beschrijf hoe je stap voor stap kunt uitrekenen welk bedrag je voor iets
moet betalen als je een gegeven percentage aan korting krijgt.
Meten & meetkunde
− Beschrijf hoe je met passer en liniaal het midden van twee gegeven punten
kunt bepalen.
− Het is verder mogelijk meetkunde in verband te brengen met algoritmisch
denken door een robot te programmeren zodat hij langs de randen van een
bepaalde meetkundige figuur beweegt.
Variabelen, verbanden en formules
− Beschrijf de stappen die je moet doen om een lineaire vergelijking exact en
met inklemmen op te lossen.
− Een formule kan ook als een algoritme beschouwd worden. De afzonderlijke
deelberekeningen vormen in dat geval de stappen van het algoritme.
Informatie, statistiek & kansrekening
− Beschrijf stap voor stap hoe je het rekenkundig gemiddelde van een aantal
getallen kunt berekenen.
− Beschrijf hoe je stap voor stap veel gegevens kunt visualiseren in een
staafdiagram.
Veranderingen en benaderingen
− Beschrijf stap voor stap hoe je de extremen van een functie kunt bepalen.
Brede vaardigheden
Bij deze bekwaamheid komen de volgende brede vaardigheden aan bod:
Probleemoplossend denken en handelen
Een oplossingsstrategie op een meer of mindere formele wijze beschrijven.
Creatief denken en handelen
Een algoritme bij een oplossingsstrategie van een probleem ontwerpen.
46
RAAMWERK GROTE OPDRACHTEN EN BOUWSTENEN REKENEN & WISKUNDE
GO's Grote Opdrachten BS Bouwstenen
Wiskundige inhouden
1 Getallen en bewerkingen 1.1 Getallen
1.2 Bewerkingen
2 Verhoudingen 2.1 Verhoudingen
3 Meten en meetkunde 3.1 Meten
3.2 Vorm en ruimte
3.3 Rekenen in de meetkunde
4 Variabelen, verbanden
en formules 4.1
Verbanden, verschijningsvormen, en
vergelijkingen
4.2 Speciale verbanden
5 Data, statistiek en kans 5.1 Kansen en kansverdelingen
5.2 Data en statistiek
6 Veranderingen en
benaderingen 6.1 Veranderingen
6.2 Benaderingen
Wiskundige denk- en
werkwijzen
7 Gereedschap en
technologie gebruiken 7.1 Gereedschap en technologie gebruiken
8 Probleemoplossen 8.1 Probleemoplossen
9 Abstraheren 9.1 Abstraheren
10 Logisch redeneren 10.1 Logisch redeneren
11 Representeren en
communiceren 11.1 Representeren en communiceren
12 Modelleren 12.1 Modelleren
13 Algoritmisch denken 13.1 Algoritmisch denken
47
GENERIEKE AANBEVELINGEN BOVENBOUW VMBO, HAVO en VWO
In de bovenbouw van het voortgezet onderwijs is een consolidatie, voortzetting, en
verdieping van alle bouwstenen noodzakelijk.
De havoleerlingen die geen wiskunde in hun pakket hebben, zullen nog wel les in
rekenen/wiskunde nodig hebben om het vereiste referentieniveau te halen.
In de aanbevelingen die zijn opgenomen in de bouwstenen is enkel een indicatie
gegeven over de onderwerpen die in de bovenbouw aan de orde komen en geen
uitspraak gedaan over de diepgang.
Uit de consultatie van 10 april1 blijkt dat m.n. de analytische meetkunde in het huidige
havo wiskunde-B- programma zo summier is dat het niet uit de verf komt en nauwelijks
iets toevoegt anders dan nog meer algebraïsche vaardigheden. De aanbeveling om
analytische meetkunde te vervangen door vectormeetkunde wordt overgenomen.
Het wiskunde-C-programma voor vwo kan zo blijven met als extra aanvulling de
normale verdeling.
Het wiskunde-D-programma voor havo-vwo is een keuze en behoort niet tot de kern,
de aanbevelingen hiervoor horen op een andere plek. Het OT onderschrijft het
bestaansrecht van wiskunde D.
Het wiskunde-A-programma voor havo-vwo wordt aangevuld met lineair programmeren
waarbij digitale hulpmiddelen ondersteunend worden ingezet, zoals dat ook het geval is
bij het berekenen van helling en differentiaalquotiënt. Het gaat meer over de inzichten
dan het algebraïsch kunnen berekenen.
Een zoektocht naar een uniek wiskunde-A-pakket en dit is niet een wiskunde-B-
minpakket.
Nog in discussie is de koppeling van het profiel en de soort wiskunde:
Voorstel:
Een keuze uit WC of WA bij de profielen CM, EM en NG
Een keuze uit WA of WB bij de profielen EM en NG
WB verplicht bij profiel NT
WD alleen mogelijk als ook voor WB is gekozen
De gezamenlijke inhoud van de onderbouw en de bovenbouw in vmbo-gt komt overeen
met de inhoud van de onderbouw van havo.
Om leerlingen uit vmbo-bb gelegenheid te bieden in één jaar extra verblijf op school
een kb-diploma te behalen komt het gezamenlijke programma vmbo-bb overeen met
dat van de eerste drie leerjaren van vmbo-kb.
1 Op 10 april 2019 zijn 50 leraren en/of experts geraadpleegd en in de eerste drie
consultatierondes zijn vele reacties gegeven.
48
BOUWSTENEN
Bouwsteenset 1.1: Getallen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Jonge kinderen komen al vroeg in aanraking met tellen, hoeveelheden, cijfers en
getallen. Ze zeggen de telrij op als een liedje (akoestisch tellen), eerst zonder betekenis,
later gaan ze hoeveelheden en getallen herkennen en begrijpen. Aanvankelijk nog
gekoppeld aan hoeveelheden (bv. appels). Later leren ze getallen zien als objecten, die
je los kunt zien van een context (3, in plaats van 3 appels). Getallen krijgen betekenis en
het getalgebied breidt zich uit. Leerlingen gaan getalsymbolen gebruiken, kunnen het
getalstelsel doorzien en zien relaties tussen getallen. Het is essentieel dat leerlingen een
goede verbinding leggen tussen de informele getallenwereld en de formele wiskundetaal.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren in het getalgebied tot ongeveer 1000:
met inzicht om te gaan met de telrij: zeggen de telrij op vanaf elk willekeurig getal
verder en terug, doorzien de structuur van de telrij en weten de plaats van getallen
ten opzichte van elkaar in de telrij.
met inzicht om te gaan met hoeveelheden: schatten en precies tellen, vergelijken,
ordenen en structureren (vijf- en tienstructuur) en representeren met behulp van
bijvoorbeeld turven DSK en met getalsymbolen.
met inzicht om te gaan met getallen: doorzien en gebruiken van de tientallige
structuur van ons talstelsel (bij het herkennen van de plaatswaarde van cijfers in
getallen), vergelijken en ordenen van getallen, splitsen en samenvoegen en
redeneren over getallen.
wiskundetaal te gebruiken (zoals de begrippen meer, minste, meeste, evenveel, half,
de helft) en getalsymbolen te herkennen, benoemen en noteren RC.
flexibel en speels om te gaan met de telrij, hoeveelheden, getallen en getalrelaties
zowel met als zonder contexten (uit andere leergebieden en andere wiskundige
inhouden) waarbij ze de verschillende denk- en werkwijzen toepassen. Te denken valt
aan vragen als:
o Kun je tellen met de regelmaat 'sprong van 3 vooruit, 1 achteruit'?
o Kun je zelf zo'n rij bedenken? AD
o 5 is altijd heel weinig, waar of niet waar? LR
o Mijn getal is oneven, ligt tussen 50 en 100 en de cijfers zijn opgeteld
samen 8. Wat kan mijn getal zijn? Weet je alle mogelijkheden en hoe zoek
je dat uit PR?
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs breiden het getalgebied en het
getalbegrip van de leerlingen zich uit naar grote getallen, decimale getallen en breuken.
Leerlingen leren de structuur van het getalsysteem te doorzien en te gebruiken in
49
dagelijkse contexten maar ook op formeel niveau. Hierbij neemt schatten (zie
bouwsteenset 6.2) een belangrijke plaats in. Begrip van de relatie tussen gehele getallen,
decimale getallen en breuken is essentieel. Leerlingen maken in deze fase ook kennis
met eigenschappen van getallen, bijvoorbeeld even/oneven, priemgetallen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
met inzicht om te gaan met grote hoeveelheden, gehele getallen en de (oneindige)
telrij: tellen, vergelijken, ordenen, tientallige structuur, de plaatswaarde van cijfers in
getallen, getallen splitsen en samenstellen en relaties tussen gehele getallen.
Belangrijke andere wiskundige inhouden hierbij zijn Meten MMK (metriek stelsel, geld)
en omgaan met informatie DSK (inwonersaantallen van grote steden in infographics).
met inzicht om te gaan met decimale getallen (zowel met één als met meer cijfers
achter de komma): de decimale structuur doorzien, vergelijken en ordenen, de
plaatswaarde van cijfers in getallen en de relatie met breuken en gehele getallen.
Belangrijke wiskundige inhouden hierbij zijn meten MMK (bijvoorbeeld de afstand is 2,8
km betekent 2 kilometer en 800 meter MMK) en verhoudingen VE.
met inzicht om te gaan met breuken: het herkennen en interpreteren van breuken in
het dagelijks leven en het omgaan met de breuk als getal, deel van een geheel,
breuken vergelijken en ordenen en de relatie met andere breuken( te denken valt aan
het gelijknamig maken), gehele getallen en decimale getallen. Er is hierbij een grote
samenhang met de breuk als deling en verhouding VE. Het gaat hier ook om de
overgang van benoemde breuken naar onbenoemde breuken AB. Te denken valt aan:
2 op de 3 is 2
3 deel VE.
wiskundetaal te begrijpen, herkennen en gebruiken, zoals: uitspreken, noteren RC en
lezen van grote getallen, decimale getallen en breuken (a/b, a : b , 𝑎
𝑏 ), begrippen
zoals even, oneven, priemgetallen, tientallig, maar ook miljoen en miljard
(bijvoorbeeld in de context van geld).
flexibel en speels omgaan met gehele getallen, decimale getallen en breuken, met
relaties hiertussen en met eigenschappen van getallen, zowel in contexten (uit andere
leergebieden en andere wiskundige inhouden) als in formele situaties waarbij ze
verschillende denk- en werkwijzen toepassen. Te denken valt ook aan verdieping in
andere talstelsels (binaire stelsel, achttallig stelsel).
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs verdiepen de leerlingen hun inzicht,
kennis en vaardigheden op het gebied van gehele getallen, decimale getallen en breuken
en breidt de wereld van getallen zich verder uit voor de leerlingen. Ze maken kennis en
leren omgaan met negatieve getallen en irrationele getallen zoals 𝜋 en met wortels,
bijvoorbeeld √2 en leren omgaan met wetenschappelijke notaties.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
zich verder te verdiepen in gehele getallen, decimale getallen en breuken, zowel
binnen complexere contexten als met complexere getallen.
50
met inzicht om te gaan met negatieve getallen en irrationele getallen, wortels,
machten en eenvoudige logaritmen.
dat getallen op verschillende manieren weergegeven kunnen worden RC, zoals √4 = 2
en dat bewerkingen onderdeel van een getal kunnen zijn. Zo is 2 + √3 een getal (je
hoeft dit niet meer uit te rekenen).
wiskundetaal te gebruiken: zoals 'wortels (√)', 'kwadraten en machten', 'pi (𝜋)',
wetenschappelijke notaties (bijvoorbeeld van heel grote getallen (6,2 x 1012) als heel
kleine getallen (4,1 x 10-6), [vwo] eindig en oneindig, negatieve-, rationele-,
irrationele-, natuurlijke getallen.
[vwo] te denken in andere talstelsels, zoals het binair stelsel, achttallig stelsel.
flexibel om te gaan met gehele getallen, decimale getallen, negatieve getallen,
irrationele getallen en relaties hiertussen waarbij ze verschillende denk- en
werkwijzen toepassen.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Deze bouwsteenset is in de bovenbouw van het gehele voortgezet onderwijs ook
relevant.
Voor vmbo wordt de begripsvorming van de wetenschappelijke notatie van een heel
groot of een heel klein getal MN 4.3 toegevoegd in de bovenbouw. Voor havo en vwo
(wiskunde B) worden de getallen en getalbegrip uitgebreid, te denken valt aan een
verdieping in irrationele getallen. Tevens dienen deze leerlingen een getal te kunnen
benoemen als al dan niet een exact getal.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
eerst herkennen van getallen in een context, vervolgens begrip los van een
context.
eerst met gehele getallen, dan met decimale getallen, vervolgens met breuken en
irrationale getallen en logaritmen.
eerst met getallen in een beperkt getalgebied, later ook groter getalgebied ,
vervolgens hele grote en hele kleine getallen.
Het is voor alle leerlingen essentieel dat ze zich op hun eigen niveau kunnen ontwikkelen
op het gebied van Getallen. Dat betekent dat het aanbod afgestemd dient te zijn op hun
vaardigheid en mogelijkheden. Dit aansluiten bij hun ontwikkeling biedt ook meer
garantie voor een positieve attitude naar het vak, zelfvertrouwen en plezier. Sommige
leerlingen hebben langer behoefte aan het werken met eenvoudige getallen in contexten
(specifiek ook bij breuken), terwijl andere leerlingen al snel op een formeel niveau
kunnen redeneren over complexe getallen.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Representeren en communiceren (communiceren)
Algoritmisch denken (creatief denken en handelen)
Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,
creatief denken en handelen, zelfregulering)
Abstraheren (oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan)
51
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset vormt een belangrijk fundament voor de ontwikkeling van alle
andere domeinen binnen het leergebied rekenen en wiskunde.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Deze bouwsteenset vormt een belangrijke basis voor het begrip binnen andere
leergebieden. Te denken valt aan: het begrip over banksaldo, temperatuur etc. In
bijna alle leergebieden komen leerlingen in aanraking met getallen en getalbegrip
is daarvoor noodzakelijk.
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
In het po is het van groot belang dat er veel aandacht uitgaat naar de begripsvorming
van breuken. Leerlingen maken kennis met de verschillende verschijningsvormen van
breuken. Te denken valt aan de breuk als een deel van een geheel en als meetgetal.
Maar ook als uitkomst van een deling. Binnen het domein verhoudingen gaat het erom
dat leerlingen kennis maken met de breuk als verhouding en als factor. Deze brede basis
is van groot belang en noodzakelijk voor verder inzicht in de basis van bewerkingen van
breuken.
Daarnaast gaat het om het kennismaken met en het gebruik van wiskundetaal met
betrekking tot breuken. Daar waar het in de onderbouw gaat om ‘de helft’ en ‘een kwart’
gaat het in de bovenbouw om ‘teller’, ‘noemer’, ‘een vierde’, een achtste’ etc.
Daarnaast gaat het er binnen begripsvorming ook om dat er aandacht is voor de
overgang van ‘benoemd’ naar ‘onbenoemd’. De breuken dienen voor leerlingen het
karakter te krijgen van objecten die hun betekenis ontlenen aan een netwerk van
rekenkundige relaties. Hier ligt een uitermate geschikte link met de denk- en werkwijze
‘Abstraheren’.
Bijvoorbeeld:
Bij 3
4 zou het onder meer gaan om getalrelaties als:
3
4 =
1
4 +
1
4 +
1
4
3
4 = 3 ×
1
4 ;
3
4 = 1 –
1
4 ;
3
4 =
1
2 +
1
4
3
4 =
6
8 =
9
12 =
12
16 , etc.
Waarbij de betekenis van die getalrelaties wordt versterkt door de verbindingen
ertussen. Zo is 3
4 =
1
2 +
1
4 verbonden met
3
4 =
1
4 +
1
4 +
1
4, via
1
4 +
1
4 =
1
2 . En is
3
4 = 1 –
1
4
verbonden met 1
4 +
1
4 +
1
4 +
1
4 = 1, via
3
4 =
1
4 +
1
4 +
1
4.
Bovenstaande valt nog allemaal onder begripsvorming. Het gaat niet om de bewerkingen
maar de onderlinge relaties en de verschijningsvormen van breuken. Bewerkingen met
breuken worden in bouwsteenset 1.2 'Bewerkingen' beschreven. Dit dient een
prominente plek te krijgen in het curriculum van het primair onderwijs.
52
Bouwsteenset 1.2: Bewerkingen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Jonge kinderen leren al vroeg handelend met bewerkingen bezig te zijn: ze verdelen
snoepjes, ze tellen de ogen van twee dobbelstenen bij elkaar. In de eerste jaren van het
primair onderwijs leren leerlingen optellen en aftrekken en leren ze de bijbehorende
formele rekentaal. Later komt daar vermenigvuldigen en delen bij. Gememoriseerde
kennis van de optellingen en aftrekkingen tot 20 en de (vermenigvuldig)tafels tot en met
10 is onmisbaar voor het verdere rekenen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren met name binnen het getalgebied met gehele getallen tot 100:
met inzicht schattend en precies op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te
delen in contextsituaties en in wiskundetaal en leren hun oplossingsmanieren uit te
leggen RC.
wiskundetaal te gebruiken: begrippen zoals erbij, eraf, samen, verschil, is evenveel
als, splitsen, optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, som, rekentaal,
verwisselen, omkeren, verdubbelen, halveren en notaties RC als .. + .. = .. / .. - ..=..
/ .. + .. = .. + .. / .. + .. + .. = .. / .. x .. = .. / .. : ..=.. / .. x .. x .. = .
met inzicht verschillende strategieën te gebruiken waarbij ze gebruik maken van de
eigenschappen van getallen en (relaties tussen) bewerkingen (handig rekenen). Te
denken valt aan: compenseren en verwisselen.
relaties tussen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen te doorzien, te
gebruiken en uit te leggen RC.
de splitsingen, optellingen en aftrekkingen onder 20 en de tafels tot en met 10 te
memoriseren.
flexibel om te gaan met de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en
delen en de onderlinge relaties zowel in contexten als op formeel niveau (uit andere
leergebieden en andere wiskundige inhouden) waarbij ze verschillende denk- en
werkwijzen toepassen. Te denken valt aan:
o Representeren en communiceren RC (Leg in een tekening en met woorden
uit hoe je rekent.)
o Probleemoplossen PR (Hoe weet je of je alle splitsingen van 10
opgeschreven hebt?)
o Logisch redeneren LR (Waarom mag je de getallen bij optellen wel
verwisselen en bij aftrekken niet?).
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen de vier bewerkingen
hanteren met grotere en decimale getallen en benoemde breuken. Hierbij gaat het zowel
over het uitvoeren van de bewerking als het kunnen uitleggen van de verschillende
mogelijke strategieën. Leerlingen leren af te ronden op basis van regels of passend bij de
context. Ze leren hun kennis en vaardigheden toepassen in nieuwe situaties, zowel in
53
contexten als op formeel niveau. Hierbij neemt schattend rekenen (zie bouwsteenset 6.2)
een belangrijke plaats in. Daarnaast leren leerlingen gebruik maken van digitale
gereedschappen, zoals de rekenmachine.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
de deeltafels tot en met 10 te memoriseren.
de basisbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met grotere en
decimale getallen uitvoeren door met inzicht gebruik te maken van cijferen, rijgen en
strategieën waarbij ze gebruik maken van de eigenschappen van getallen en (relaties
tussen) bewerkingen. Te denken valt aan: compenseren en verwisselen.
af te ronden op helen, tientallen, honderdtallen of duizendtallen op basis van regels of
passend bij de context.
te redeneren over de verschillende bewerkingen van onbenoemde en benoemde
breuken met betekenisvolle getallen en getalrelaties die terug te brengen zijn in een
concrete situatie en nog op te lossen zijn met een visualisatie. Het gaat om breuken
met de noemer 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12 en 5, 10 en 100.
gangbare nationale en internationale symbolen te herkennen en te gebruiken die
verhoudingen VE weergeven ook op (digitale) gereedschappen GT . Te denken valt aan:
o deelteken is ÷ of / of :
o decimaal teken is . of ,
o vermenigvuldigingsteken is × of * of ∙
de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen uit te voeren met
behulp van een rekenmachine GT (op verschillende devices) en leren deze
rekenmachine met inzicht kritisch in te zetten.
flexibel om te gaan met de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en
delen en de onderlinge relaties zowel in contexten als op formeel niveau (uit andere
leergebieden en andere wiskundige inhouden) waarbij ze verschillende denk- en
werkwijzen toepassen. Te denken valt aan:
o logisch redeneren LR (Waarom heeft een optelling met twee oneven
getallen altijd een even uitkomst?')
o probleemoplossen PR (Hoe kun je de getallen 1 tot en met 100 snel
optellen?).
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
Leerlingen bouwen hier verder op het fundament dat in het primair onderwijs is gelegd.
Ze voeren nu ook bewerkingen uit met negatieve getallen, hele grote en hele kleine
getallen en met onbenoemde breuken. Leerlingen maken kennis met machten, wortels
en andere irrationale getallen en met logaritmen en leren hiermee te rekenen. Ze leren
de verschillende rekenstrategieën en relaties tussen getallen en bewerkingen te
gebruiken en uit te leggen. Digitale hulpmiddelen als de rekenmachine krijgen een
grotere rol, maar het is essentieel dat de leerlingen deze kritisch blijven hanteren en de
uitkomsten (schattend) controleren.
54
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met positieve en
negatieve gehele, gebroken, decimale en [vwo] irrationale getallen uit te voeren AD
met behulp van verschillende strategieën.
machtsverheffen, worteltrekken en logaritmen te berekenen.
met inzicht te rekenen met machten en wortels, met hele grote en met hele kleine
getallen en met logaritmen MN 4.3.
(standaard)procedures te ontwikkelen voor het uitvoeren van de vier bewerkingen
van breuken waarbij de breuk als een object wordt beschouwd AB. Hierbij is
differentiatie binnen de onderwijsvormen noodzakelijk. Te denken valt aan het enkel
aanbieden van optellen, aftrekken en vermenigvuldigen in het vmbo.
de rekenmachine kritisch in te zetten GT.
flexibel om te gaan met de bewerkingen en de onderlinge relaties zowel in contexten
als op formeel niveau (uit andere leergebieden en andere wiskundige inhouden),
waarbij ze verschillende denk- en werkwijzen toepassen. Te denken valt aan logisch
redeneren LR (Waarom kun je √2 niet als een breuk schrijven?) en probleemoplossen
PR.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Nieuwe leerstof binnen dit domein is niet noodzakelijk voor de kern van de
bovenbouwvakken. Men name in het vmbo is het van belang om de rekenvaardigheden
te onderhouden en te blijven toepassen in probleemsituaties en binnen de
beroepsgerichte vakken. Het is belangrijk dat er afstemming plaatsvindt tussen de
vakken Rekenen en Wiskunde, waar de bewerkingen worden aangeleerd en geoefend en
de overige vakken waarin gerekend wordt (Rekenbewust vakonderwijs).
Daarnaast moeten leerlingen leren wanneer ze een rekenmachine gebruiken en moeten
ze kritisch blijven kijken naar de uitkomsten.
In de bovenbouw is het met name van belang dat leerlingen leren in aansprekende
contexten te rekenen waarin bewerkingen, verhoudingen en verbanden samen komen.
Als voorbeeld wordt verwezen naar de onderzoeksopdrachten uit de eindexamens
wiskunde A van havo en vwo 2018 (steeds de laatste vraag).
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
eerst basisbewerkingen, dan andere bewerkingen;
eerst bewerkingen met gehele getallen, dan met decimale getallen, vervolgens
met breuken en irrationale getallen en logaritmen;
eerst bewerkingen met getallen in een beperkt getalgebied, later ook getallen
zonder beperking, vervolgens hele grote en hele kleine getallen.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Representeren en communiceren (communiceren)
Algoritmisch denken (creatief denken en handelen)
Probleem oplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,
creatief denken en handelen, zelfregulering)
Abstraheren (oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan)
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
55
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset vormt een belangrijk fundament voor de ontwikkeling van de
andere domeinen binnen het leergebied rekenen en wiskunde.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Deze bouwsteenset vormt een belangrijk fundament voor de ontwikkeling van
kennis en vaardigheden binnen andere leergebieden. In alle leergebieden waarin
rekenen en wiskunde worden gebruikt, komen namelijk bewerkingen met getallen
voor.
Het is voor alle leerlingen essentieel dat ze zich op hun eigen niveau kunnen ontwikkelen
op het gebied van Bewerkingen. Dat betekent dat het aanbod afgestemd dient te zijn op
hun vaardigheid en mogelijkheden.
56
Bouwsteenset 2.1: Verhoudingen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
In de eerste leerjaren leren leerlingen door het opdoen van ervaringen (kwalitatieve)
verhoudingen te herkennen en deze te verwoorden: 'dit bed is veel te klein voor deze
beer' of 'hij heeft meer potloden dan ik'. Later leren ze te redeneren over kwalitatieve
verhoudingen: 'hoe groot moet het bed voor de beer dan zijn zodat hij er wel in past?'
Leerlingen maken daarna de stap naar getalsmatige verhoudingen zoals ‘er zitten twee
keer zoveel meisjes in het groepje dan jongens’.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
verhoudingen te herkennen in verschillende dagelijkse situaties en afbeeldingen, deze
te verwoorden en toe te passen. Te denken valt aan recepten, siroop klaarmaken, het
vergroten en verkleinen van plaatjes op een tablet GT.
concrete en eenvoudige verhoudingen te gebruiken en toe te passen in betekenisvolle
contexten en hierbij wiskundetaal te gebruiken NE 5.1. Te denken valt aan 'in die
tekening zijn de voeten te groot getekend ten opzichte van het hoofd', 'ik heb twee
keer zoveel snoepjes als jij'.
het begrip ‘de helft’ met inzicht te gebruiken en toe te passen in situaties als ‘de helft
van een geheel', bijvoorbeeld een brood en ‘de helft van een hoeveelheid’,
bijvoorbeeld 12 broodjes.
in betekenisvolle verhoudingssituaties berekeningen uit te voeren via verdubbelen,
halveren, vermenigvuldigen.
eenvoudige verhoudingsproblemen PR op te lossen met behulp van een schematische
voorstelling MO. Te denken valt aan een verhoudingstabel of een strook.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren krijgt het domein verhoudingen veel aandacht. Het bouwt voort
op het fundament dat in de lagere leerjaren is gelegd en leerlingen maken een overstap
naar formelere verhoudingstaal zoals ‘2 staat tot 3’. Leerlingen leren in deze fase ook
rekenen met procenten. Daarnaast worden verhoudingssituaties complexer van aard en
uitgebreid met procenten, schaal, breuken en vergrotings- en verkleiningsfactoren.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
betekenis te geven aan breuken als weergave van een verhouding ( 2
3 deel van de
mensen …) GB, aan procenten en aan schaal MN 4.3 en er in dagelijkse situaties
berekeningen mee uit te voeren.
het verschil tussen interne verhoudingen (betrekking op dezelfde grootheid: ranja
mengen in de verhouding 1:7 ) en externe verhoudingen (betrekking op verschillende
grootheden: 3 kilo appels voor 5 euro).
57
verschillende typen verhoudingsproblemen op te lossen, te denken valt aan het
vaststellen van een verhoudingsrelatie, vergelijken van verhoudingen, maken van
gelijkwaardige verhoudingen.
betekenis geven aan vergrotingsfactoren en verkleiningsfactoren en hiermee in
eenvoudige situaties rekenen.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs onderhouden leerlingen de opgedane
kennis en vaardigheden. Bovendien worden verhoudingssituaties complexer van aard en
worden ze uitgebreid met exponentiële groei en rekenen met complexere
vergrotingsfactoren en promillage. Leerlingen leren te rekenen met formele breuken in
situaties die afgestemd zijn op de leerweg van de leerling.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
kritisch te denken en te redeneren over verhoudingsproblemen waarin de
verhoudingsrelatie niet direct zichtbaar is.
[vmbo-tl] verhoudingsproblemen op te lossen met behulp van een vergrotingsfactor
in de meetkunde MMK of [havo, vwo] met behulp van een verhoudingsfactor in andere
domeinen en leergebieden, MN 4.3.
complexere verhoudingsproblemen op te lossen, te denken valt aan
verhoudingsproblemen met complexere getallen en complexere verhoudingen en
verhoudingsproblemen waarbij de 4e evenredige bepaald moet worden (a : b = ? : d).
relatieve toename/afname in procenten en [havo, vwo] in een groeifactor uit te
drukken. Te denken valt aan rente-op-renteberekeningen MM 3.1.
te rekenen over en te redeneren met percentages (kortingen, prijsverhogingen) ook
percentages groter dan 100%. Te denken valt aan het terugrekenen van bedragen
inclusief btw naar exclusief btw MM 3.2.
te rekenen met promille in betekenisvolle situaties MM 3.1.
Aanbevelingen VO bovenbouw
In de bovenbouw ligt de nadruk op het toepassen van verhoudingen in verschillende
situaties, zowel binnen het leergebied (te denken valt aan het gebruik van de 3-4-5-
driehoek bij het redeneren over en rekenen in de meetkunde MMK , het rekenen met
verhoudingen met rationele getallen, breuken noteren met gebruik van negatieve
exponenten 1
8= 2−3 ) als buiten het leergebied (te denken valt aan het gebruik van de
Gulden Snede in de kunst KC 1.1, 3.1 en interestberekeningen MM 3.1). Verhoudingen spelen
in de bovenbouw onder andere een belangrijke rol bij evenredigheid MN 4.1.
In de bovenbouw is het met name van belang dat leerlingen leren in aansprekende
contexten te rekenen waarin bewerkingen, verhoudingen en verbanden samen komen.
Als voorbeeld wordt verwezen naar de onderzoeksopdrachten uit de eindexamens
wiskunde A van havo en vwo 2018.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
58
van eenvoudige naar complexe verhoudingssituaties door complexere
verhoudingen en complexere getallen te gebruiken.
uitbreiding met procenten, schaal, vergrotingsfactoren, exponentiele groei en
promillage.
van begripsvorming van breuken naar het rekenen met formele breuken in de
context van verhoudingen in situaties die afgestemd zijn op de leerweg van de
leerling.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
Modelleren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,
creatief denken en handelen, zelfregulering)
Abstraheren (oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan)
Representeren en communiceren (communiceren)
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset bouwt voort op bouwsteenset 1.1 GB.
Deze bouwsteenset dient als basis voor meetkundige vergrotingen MMK.
Deze bouwsteenset dient als basis voor het kunnen rekenen met kansen en
beschrijvende statistiek DSK.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Natuur: voor het rekenen met verhoudingen (MN 4.1 en 4.3).
Mens en Maatschappij: voor het rekenen met verhoudingen (MM 3.1 en 3.2).
Kunst en Cultuur: bouwsteen KC 1.1 en KC 3.1.
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
Verhoudingen zijn een belangrijke basis voor andere bouwstenen binnen het leergebied
rekenen en wiskunde. Het is belangrijk dat leerlingen de relatie tussen de meest
voorkomende breuken, procenten en decimale getallen kennen, herkennen en kunnen
gebruiken in verhoudingssituaties en –problemen binnen het leergebied Rekenen &
Wiskunde en andere leergebieden
59
Bouwsteenset 3.1: Meten
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Jonge kinderen maken kennis met meten door allereerst ervaring op te doen met
vergelijken, ordenen en classificeren op basis van grootheden zoals lengte, gewicht,
inhoud, tijd. Tegelijkertijd ontwikkelen ze hierbij ook een (wiskunde)taal: Wie heeft de
grootste schoenen?
De jonge kinderen leren meten met natuurlijke maten (met informele meetinstrumenten
zoals 'stappen') en de noodzaak van het meten met standaardmaten (met formele
meetinstrumenten, zoals een meetlint). Ze leren hierover redeneren in eenvoudige
probleemsituaties.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
te meten door te vergelijken en te ordenen van grootheden, te meten met natuurlijke
maten: op lengte, oppervlakte (bijvoorbeeld met vouwblaadjes of op een rooster),
inhoud (blokjes tellen, aantal bekertjes), gewicht, tijd en temperatuur en te meten
met standaardmaten en verschillende (digitale) meetinstrumenten af te lezen
(bijvoorbeeld een meetlint (cm/m), weegschaal (g/kg), maatbeker (ml/l)).
schattend te meten maar ook maten te verfijnen omdat nauwkeuriger meten
noodzakelijk is. Te denken valt aan je lengte meten in centimeters in plaats van in
meters.
wiskundetaal te gebruiken in de context van meten. Te denken valt aan de namen
van de verschillende grootheden en bijbehorende eenheden (bijvoorbeeld gewicht:
kg, gram; lengte: meter, centimeter), begrippen bij het vergelijken en ordenen
(bijvoorbeeld groot, groter, grootste). Ook leren ze specifieke begrippen als de dagen
van de week of de delen van de dag.
om te gaan met de grootheid tijd door tijdbesef te ontwikkelen, tijden af te lezen
(digitaal en analoog) en kennis te maken met verschillende eenheden voor tijd. Ze
leren hiermee eenvoudige berekeningen uit te voeren: Hoeveel tijd zit er tussen 3 uur
en half 5? Leerlingen leren hierbij ook dat tijd zowel een lineair als een periodiek
karakter heeft.
om te gaan met 'geld' als maat voor de waarde van dingen en het systeem van kopen
en betalen.
te redeneren over grootheden en bijbehorende eenheden in eenvoudige
betekenisvolle (conflict)situaties. Te denken valt aan: 'Is iets dat groter is ook altijd
zwaarder LR ? Hoe kan het dat in de ene vaas minder water zit maar dat het water
wel hoger staat?'
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen vervolgens rekenen
met eenheden in betekenisvolle situaties en leren hierover te redeneren. Hierbij leren ze
ook met inzicht omgaan met het metriek stelsel. Ze doen verder vaardigheden op in het
gebruiken van moderne (digitale) meetinstrumenten. Daarnaast verwerven ze inzicht in
60
belangrijke aspecten van het praktisch meten, zoals het kiezen van een passend
meetinstrument, een passende eenheid, het schatten van maten en het representeren en
communiceren van het resultaat in wiskundetaal.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
binnen meetsituaties de juiste grootheid te bepalen, het daarbij geschikte (digitale)
meetinstrument te gebruiken en het meetresultaat uit te drukken in de juiste
eenheid. Te denken valt hier ook aan het gebruik van moderne meetinstrumenten
zoals een meetapp GT.
referentiematen te ontwikkelen zodat ze zich een voorstelling van de verschillende
eenheden kunnen maken. Te denken valt aan 'een grote stap van een volwassene is
ongeveer 1 meter', 'je loopt ongeveer 4 km in een uur'.
eenheden om te rekenen in andere eenheden door met inzicht gebruik te maken van
het metriek stelsel.
voorbeelden uit het dagelijks leven te geven waarin grootheden met elkaar
gecombineerd worden en met inzicht te rekenen met deze 'samengestelde
grootheden'. Te denken valt aan snelheid in km/uur, €/kg MM 3.1, MN 4.3. Ze leren
hierover te redeneren in probleemsituaties PR. Te denken valt aan een vraag als: 'Bart
zegt dat hij 35 km heeft gefietst in 25 minuten'. Kan dat eigenlijk wel?
te rekenen met kloktijden en met tijden vanuit de kalender (eeuwen, jaren,
maanden, enzovoort). En leerlingen leren te redeneren over tijden. Te denken valt
aan een vraag als 'Als je een miljoen seconden oud bent, ben je dan kind,
jongvolwassene of al oud? Leg eens uit'.
te rekenen met geld in euro's, maar ook de relatie met buitenlandse valuta te
doorzien. Ze leren hoe betalingsverkeer zonder contant geld verloopt en ze worden
zich bewust van uitgavepatronen MM 3.1.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het VO breidt de leerling zijn begrip, kennis en vaardigheden
verder uit op het gebied van meten, rekenen in het metriek stelsel en het gebruik van
meetinstrumenten, bijvoorbeeld door te leren meten van hoeken en het gebruik van
nieuwe meetinstrumenten. De leerling leert rekenen met complexere samengestelde
grootheden (bv. MB per minuut ) in relevante toepassingen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
hun vaardigheid met meten, met rekenen in het metriek stelsel en gebruik van
(nieuwe) meetinstrumenten uit te breiden en te verdiepen. Zo leren ze hoeken te
meten, te benoemen en te ordenen en de juiste (digitale) meetinstrumenten
(geodriehoek, gradenboog GT) daarvoor te gebruikenMN 3.2, 3.4, 4.3, KC 1.1, 3.1.
te redeneren over nauwkeurig meten en na te denken over de mate van
nauwkeurigheid die vereist wordt, af te lezen van de resultaten en correcte notaties
te gebruiken.
met nieuwe grootheden (downloadsnelheid) en eenheden (kilobyte, gigabyte,
terabyte) te werken die voortkomen uit mondiale thema’s zoals duurzaamheid,
technologie.
61
met inzicht om te gaan met (nieuwe) eenheden en met digitale hulpmiddelen of
meetapps.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Bij de beroepsgerichte vakken leren leerlingen vaardig te worden in het aflezen van
vakspecifieke meetinstrumenten MN 3.4 en een keuze te maken voor passend gereedschap
en/of technologie GT. Ook wordt het rekenen met grootheden (met samengestelde
eenheden) als toepassing bij de verschillende vakken uitgebreid MN 4.3. [Havo/vwo]
Leerlingen leren rekenen met vectoren (samengestelde grootheid van richting en lengte).
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
de toename van het aantal grootheden. Als leerlingen kennis hebben van de
structuur van de standaardgrootheden en vaardig zijn in het rekenen met de
standaardeenheden als kilogram en meter, kunnen zij flexibeler omgaan met
andere grootheden en bijbehorende eenheden en hun voorvoegsels als kilo- en
deci-.
van concreet en dicht bij de leerling (de natuurlijke maten zoals stappen) naar
formeel en verderaf (standaardmaten als meter, downloadsnelheid);
van eenvoudige naar complexe problemen.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset leent zich als context voor verder begrip van getallen, zowel
gehele getallen, breuken als decimale getallen GB, VE.
Deze bouwsteenset draagt bij aan het ontwikkelen van maatgevoel (bouwsteenset
3.2), bijvoorbeeld: 25 mm neerslag betekent dat er 25 liter per m2 valt: is dit
veel?
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Maatschappij: samengestelde grootheid €/kg, , uitgavenpatronen: MM
3.1;
Mens en Natuur: samengestelde grootheid km/u, gebruik meetinstrumenten MN
3.1, MN 3.2, MN 3.2, MN 4.3;
Kunst en Cultuur: gebruik meetinstrumenten; bouwsteen KC 1.1 en KC 3.1
Digitale Geletterdheid: 3.2.
62
Bouwsteenset 3.2: Vorm en ruimte
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Jonge kinderen verkennen hun directe omgeving in eerste instantie vanuit het eigen
lichaam. Vervolgens ontdekken ze de ruimte om hen heen en oriënteren ze zich ook op
objecten en vormen in hun omgeving, in het platte vlak (bv. voetafdruk, vierkant, cirkel)
en driedimensionaal (bv. gebouwen, kubus). Ze ontwikkelen hun voostellingsvermogen
over hoe vormen en objecten zich in de ruimte kunnen voordoen en ze leren erover
praten en redeneren zonder dat ze deze vormen hoeven te zien. Door het volgen en
beschrijven van routes en het herkennen en construeren van regelmatige patronen
krijgen ze grip op de ruimte om zich heen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
een route op een eenvoudige plattegrond te beschrijven met begrippen, zoals rechts,
links, rechtdoor.
meetkundige begrippen te gebruiken, zoals recht, schuin, lijn, hoek, midden.
meetkundige figuren te benoemen en te herkennen, zoals vierkant, cirkel, kubus en
bol.
het voor-, zij of bovenaanzicht van ruimtelijke objecten of bouwsels te herkennen GT;
bouwplaten van driedimensionale figuren (zoals kubus, balk, piramide) te herkennen
en omgekeerd;
eenvoudige ruimtelijke objecten te maken van een bouwplaat, te denken valt aan een
doosje / balk.
van een eenvoudige patroon het spiegelbeeld te tekenen KC 1.1, 3.1.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren verdiepen de leerlingen de eerder aangeboden kennis en
vaardigheden. Ze leren deze toe te passen in dagelijkse situaties, zoals bij het lokaliseren
van voorwerpen (de schaar ligt in de middelste la aan de linkerkant) en routes op
plattegronden en kaarten. Leerlingen leren dat meetkundige figuren objecten zijn (een
vel papier is een rechthoek), waarvan de eigenschappen van belang zijn.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
begrippen voor richtingsaanduidingen te gebruiken bij het beschrijven en volgen van
een route, zoals linksaf, naar het noorden GT.
gegevens af te lezen en te interpreteren met een legenda, schaallijn en een rooster
met coördinaten op plattegronden VE, GT.
63
complexere meetkundige figuren te herkennen en te benoemen en hiervan
eigenschappen aan te geven. Te denken valt aan een ruit, vijfhoek, balk en piramide.
driedimensionale objecten te herkennen in tweedimensionale representaties, zoals in
een bouwplaat, schaduw, vooraanzicht of patroontekening en hierover redeneren LR.
Te denken valt aan: 'Waarom kan deze bouwplaat niet van dit object zijn? Wat klopt
er niet?'
symmetrie, draaisymmetrie en gelijkvormigheid van objecten te herkennen. Te
denken valt aan spiegelen en het zoeken van symmetrieassen KC 1.1, 3.1, GT.
digitale (hulp)middelen en gereedschappen met meetkundige toepassingen te
gebruiken, te denken valt aan het instellen en gebruiken van een navigatiesysteem of
een robot sturen en programmeren GT.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
De leerling heeft in het primair onderwijs de nodige ervaringen opgedaan met vorm en
ruimte in de reële wereld. Daardoor zijn besef en begrip ontwikkeld. Ruimtelijke objecten
in de leefwereld van leerlingen zijn in deze fase die volgt meestal samengesteld en
complexer van aard. Ook raken ze meer vertrouwd met de digitale 2D- beelden van de
ruimtelijke vormen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
coördinaten te bepalen, routes te beschrijven en routes uit te zetten met behulp van
coördinaten of een navigatiesysteem.
te redeneren op basis van symmetrie, gelijkvormigheid en congruentie. Denk hierbij
aan het herkennen en voortzetten van regelmatige patronen in randen en
versieringen KC 1.1, 3.1 MO.
figuren te tekenen en (werk)tekeningen te maken, en daarbij passend (digitaal)
gereedschap te gebruiken. Te denken valt aan een passer, geodriehoek en digitale
programma’s KC 1.1, 3.1 GT.
in authentieke situaties veelgebruikte meetkundige begrippen en symbolen kennen,
lezen en te gebruiken. Te denken valt aan begrippen en symbolen voor rechte hoek,
evenwijdig, loodrecht, haaks RC.
meetkundige gereedschappen toe te passen, te denken valt aan het aansturen en
programmeren van een robot of het inzetten van Virtual Reality om het meetkundig
inzicht te vergroten GT.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Meetkundige objecten (punt, lijn, cirkel, parabool, hyperbool, ellips) door middel van een
analytisch verband kunnen weergeven en herleiden in een rooster en hierbij digitaal
gereedschap gebruiken.
Verder komen er bij wiskunde B elementen uit de vectormeetkunde en [vwo-wiskunde B]
parameterkrommen, bolmeetkunde aan bod. Bij havo wiskunde B komen er elementen
uit de 3D meetkunde aan de orde.
64
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
het herkennen en benoemen van de eigenschappen van ruimtelijke figuren van
eenvoudig naar complex.
de toename van het aantal en de complexiteit van objecten en representaties
(bouwsels, schaduwen, spiegels, plattegronden en schaal).
van herkennen van meetkundige symbolen naar gebruiken hiervan.
het gebruik van steeds complexere meetkundige gereedschappen en technologie.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
Abstraheren (Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan)
Representeren en communiceren (communiceren)
Modelleren (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken, creatief
denken en handelen, zelfregulering)
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset leent zich als context voor het inzetten van gereedschappen
en technologie, denk hierbij aan een passer, VR of navigatiesysteem GT.
Deze bouwsteenset leent zich als context voor verder begrip van verhoudingen,
denk hierbij aan gebruik van schaal VE.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Kunst en Cultuur: gebruik van ruimtelijke vormen, patronen, spiegelen KC 1.1 en
3.1.
65
Bouwsteenset 3.3: Rekenen in de meetkunde
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
De basis voor het leren rekenen in de meetkunde is dat leerlingen leren omgaan met
begrippen over meten en meetkunde en kennis over en inzicht krijgen in grootheden als
omtrek, oppervlakte en inhoud. De basis wordt beschreven in de bouwstenen 3.1 'Meten'
en 3.2 'Vorm en ruimte'. Daarom staan er geen kennis en vaardigheden beschreven in
deze fase.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere jaren van het primair onderwijs leren leerlingen rekenen met en redeneren
over de grootheden omtrek, oppervlakte en inhoud en leren ze hierbij ook formules
gebruiken. Daarnaast maken ze kennis met het begrip 'vergrotingsfactor'.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
omtrek te bepalen van figuren door de lengtes van de lijnstukken op te tellen. Bij een
rechthoek en een vierkant leren ze deze te berekenen met behulp van de formule(s)
voor de omtrek VVF
oppervlakte te berekenen met behulp van een formule van:
o een rechthoek en vierkant;
o rechthoekige samengestelde figuren;
o de totale oppervlakte van (de vlakken van) een balk of kubus.
oppervlakte te berekenen van rechthoekige en gelijkbenige driehoeken door middel
van omkaderen.
inhoud te berekenen van balkvormige figuren met behulp van een formule.
rekenen met het begrip 'vergrotingsfactor'. Te denken valt aan het uitrekenen van de
oppervlakte of inhoud bij een vergrotingsfactor van bijvoorbeeld 3.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen de opgedane kennis en
vaardigheden toe te passen op meer verschillende en complexere figuren in diverse
probleemsituaties. Leerlingen leren rekenen aan lengtes, hoeken, oppervlakte en inhoud.
Hierbij wordt het aantal formules voor oppervlakte en inhoud verder uitgebreid.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
lengte, omtrek en oppervlakte te berekenen van en in complexere vlakke en
ruimtelijke figuren.
66
dat π de verhouding VE is tussen de omtrek en de straal van een cirkel. Leerlingen
leren vervolgens met een formule de omtrek en oppervlakte van een cirkel te
berekenen.
de stelling van Pythagoras te begrijpen en toe te passen in vlakke figuren. [kgt-havo-
vwo] deze stelling ook toe te passen in ruimtelijke figuren.
de inhoud te berekenen van diverse ruimtelijke figuren (cilinder, prisma, piramide,
kegel en [havo-vwo] bol) met behulp van formules.
de inhoud en oppervlakte te bereken van samengestelde ruimtelijke figuren KC 1.1, 3.1.
de eigenschappen van veelhoeken en van snijdende en evenwijdige lijnen te
gebruiken om hoeken te berekenen.
goniometrische verhoudingen te hanteren in twee- en driedimensionale figuren.
Aanbevelingen VO bovenbouw
In de bovenbouw van havo en vwo is er alleen meetkunde aanwezig bij wiskunde B. Bij
de havo wordt er aandacht besteed aan analytische meetkunde. De combinatie van
Euclidische, analytische en vectormeetkunde op zowel havo als vwo (zie bouwstenen 3.1
en 3.2) zorgt ervoor dat leerlingen kunnen kiezen uit verschillende oplossingsstrategieën.
Juist het creatieve denken moet aangesproken worden.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
de uitbreiding van eenvoudige naar complexe figuren.
van informeel rekenen aan vlakke en ruimtelijke figuren naar het toepassen van
formules.
Het OT vindt het belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van elke
leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering).
Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,
creatief denken en handelen, zelfregulering).
Representeren en communiceren (communiceren).
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset dient als context voor verder rekenen met vergrotingen VE,.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Kunst en cultuur: samengestelde ruimtelijke figuren KC 1.1 en 3.1.
67
Bouwsteenset 4.1: Verbanden, verschijningsvormen, vergelijkingen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
In de eerste leerjaren leren leerlingen denken en redeneren over regelmaat en
verbanden. Ze leren de regelmaat in een getallenrij in eigen woorden te beschrijven,
waarna ze leren deze regelmaat zelf voort te zetten. Ook leren ze verbanden te zoeken in
hun naaste omgeving en deze in eigen woorden te beschrijven, bijvoorbeeld hoe verder
je van school woont, hoe langer je moet wandelen, of hoe sneller de donder na de
bliksem komt, hoe dichterbij de onweersbui.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
regelmaat te herkennen in een serie getallen en deze regelmaat in woorden te
beschrijven NE 5.1 en voort te zetten. Te denken valt aan een rij als: 99, 97, 95, … wat
is dan het volgende getal? Hoe weet je dat?
eenvoudige verbanden in eigen woorden te beschrijven, te denken valt aan: 'Hoe
meer kinderen in de groep, hoe groter de kring'.
periodieke regelmaat te herkennen en te beschrijven MN 4.1, te denken valt aan dag en
nacht 'het wordt steeds weer nacht en daarna steeds weer overdag', eb en vloed MN
10.2.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren leren leerlingen complexere verbanden tussen verschillende
grootheden te verwoorden zoals tussen tijd en afstand (hoe langer je fietst, hoe groter
de afgelegde afstand). Leerlingen leren de relatie tussen woordformules, tabellen en
grafieken kennen en uitleggen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
regelmaat in figuren bestaande uit aantallen stippen te herkennen en weer te geven
in een tabel RC, MO.
verschillende verschijningsvormen met elkaar in verband te brengen, te denken valt
aan: bij een woordformule een tabel maken of bij een tabel een grafiek maken.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen verschijningsvormen van
verbanden in elkaar om te zetten. ICT wordt hierbij als hulpmiddel ingezet. Leerlingen
maken de stap van woordformules naar de formelere notatie met letters en symbolen.
Leerlingen leren vergelijkingen en ongelijkheden op te lossen: numeriek, grafisch en met
ICT.
68
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
verschillende verschijningsvormen van verbanden (in tekst, grafiek, tabel en
(woord)formule) in elkaar om te zetten MO, al dan niet met behulp van ICT GT.
vergelijkingen en ongelijkheden numeriek of grafisch op te lossen VB, al dan niet met
behulp van ICT GT.
vergelijkingen, waarin de onbekende slechts op één plek voorkomt of die eenvoudig
hiertoe zijn te herleiden op te lossen met behulp van algebra. Te denken valt aan 2(𝑥 − 4) = 𝑥 en 2(𝑥 − 3)2 + 5 = 55. Te denken valt niet aan 𝑥2 = 𝑥.
vergelijkingen van de vorm 𝐴 ∙ 𝐵 = 0, 𝑓(𝐴) = 𝑓(𝐵) en 𝐴
𝐵= 0 op te lossen met behulp van
algebra. Te denken valt aan (𝑥 − 3)(6 − 2𝑥) = 0, √2𝑥 − 4 = √𝑥 + 5 en 𝑥2−4
2−3𝑥= 0, te denken
valt niet aan 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0 en 𝑥−2
𝑥= 3.
uitdrukkingen te herleiden om formules te vereenvoudigen RC, vergelijkingen op te
lossen of variabelen vrij te maken. de verschillende betekenissen van het is-gelijk-teken kennen. Te denken valt aan 2 +
3 = ⋯ (bereken de uitkomst) en 𝑦 = 2𝑥 + 3 en 2(𝑥 + 3) = 2𝑥 + 6 (hier betekent het is-
gelijk-teken dat het aan beide zijden gelijkwaardig is aan elkaar) AB. het onderscheid te kennen tussen een onbekende (𝑥 + 2 = 5), een variabele (𝑦 = 2𝑥 +
3) en een parameter (𝑦 = 2𝑥 + 𝑏) AB.
de uitkomsten van vergelijkingen te interpreteren, daar waar nodig in termen van
een context.
Aanbevelingen VO bovenbouw
[vmbo-bb] Leerlingen leren ook eenvoudige lineaire vergelijkingen met een onbekende
die als letter genoteerd wordt, op te lossen.
[vmbo-bb] Leerlingen leren in formules variabelen in woorden weer te geven.
[vmbo-kb] Leerlingen leren in formules variabelen met letters weer te geven die
verwijzen naar de betekenis van de variabele, bijvoorbeeld h voor hoogte en k voor
kijkafstand.
[vmbo-gt] Leerlingen leren in formules variabelen met willekeurige letters weer te geven,
bijvoorbeeld x voor hoogte en y voor kijkafstand.
[havo wiskunde B en vwo wiskunde A/C en wiskunde B] Leerlingen leren op een flexibele
manier omgaan met algebraïsche uitdrukkingen, waarbij bij wiskunde A/C het
algebraïsch oplossen in dienst staat van het latere herleiden. Bij wiskunde B is het
algebraïsch oplossen van vergelijkingen nadrukkelijker aan de orde.
[havo/vwo wiskunde A en wiskunde C] Leerlingen leren in aansprekende contexten te
rekenen waarin bewerkingen, verhoudingen en verbanden samenkomen. Als voorbeeld
wordt verwezen naar de onderzoeksopdrachten uit de eindexamens wiskunde A van havo
en vwo 2018.
[vwo wiskunde A en wiskunde C] Het onderwerp lineair programmeren biedt
mogelijkheden om kennis te maken met het gebruik van lineaire verbanden in
herkenbare contexten, waarbij de denk- en werkwijzen GT, MO, RC, AD worden aangesproken
[havo/vwo wiskunde B] Leerlingen leren problemen oplossen, waarbij het niet nodig is
dat er een context buiten de wiskunde aanwezig is, [vwo wiskunde B] onder andere
concepten als limiet, asymptoten, perforaties en inverse functies spelen een belangrijke
rol.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
van concreet en dicht bij de leerling naar abstract;
69
van verwoorden van het verband naar weergeven in tabel of grafiek.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
Representeren en communiceren (communiceren)
Modelleren (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken, creatief
denken en handelen, zelfregulering)
Abstraheren (oriëntatie op jezelf, studie en je loopbaan)
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset vormt een belangrijke basis voor de bouwsteensets 6.1
Veranderingen en 6.2 Benaderingen.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Natuur: verbanden tussen natuurwetenschappelijke grootheden; MN 3.3,
MN 4.1, MN 10.2;
Nederlands: taal gebruiken om regelmaat te beschrijven. NE 5.1
70
Bouwsteenset 4.2: Speciale verbanden
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Het herkennen en voortzetten van patronen met vaste toe- of afname is de kern van
speciale verbanden in de onderbouw van het po. Als er 1 leerling bij komt in de groep,
staan er 2 extra schoenen in de gang. Elke hand extra, zijn 5 vingers meer. Maar ook 1
auto minder, betekent 4 wielen minder.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
patronen waarin er sprake is van een vaste toename of afname, te herkennen en
voort te zetten PR, zowel met figuren als met getallen; te denken valt aan het
voortzetten van de rij ° °°° °°°°° °°°°°°°.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de bovenbouw van het po leren leerlingen ook andere soorten regelmaat. Naast de
vaste toe- of afname worden nu ook verbanden beschouwd waarbij er steeds met
hetzelfde getal vermenigvuldigd wordt of waarbij er door hetzelfde getal gedeeld wordt.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
patronen waarin er sprake is van een vermenigvuldiging of deling met steeds
hetzelfde getal te herkennen en voort te zetten PR.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt het aantal speciale verbanden
uitgebreid en geformaliseerd. Leerlingen maken kennis met de formules, grafieken en
eigenschappen van deze verbanden.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
de soort regelmaat tussen een afhankelijke en onafhankelijke variabele te herkennen
in tabellen en deze voort te zetten als er sprake is van:
o Een lineair verband: (Als de onafhankelijke variabele met een vaste
hoeveelheid toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste
hoeveelheid toe of af).
o Een exponentieel verband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste
hoeveelheid toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste
factor toe of af).
71
o Een logaritmisch verband (Als de onafhankelijke variabele met een vaste
factor toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste
hoeveelheid toe of af).
o Een machtsverband of wortelverband (Als de onafhankelijke variabele met
een vaste factor toeneemt, neemt de afhankelijke variabele met een vaste
factor toe of af (machtsverband en in het bijzonder gebroken (de exponent
is negatief) of wortelverband (de exponent is een breuk)).
o Periodiek verband (De afhankelijke variabele vertoont een zich herhalend
patroon).
woordformules op te stellen MO bij lineaire en exponentiële verbanden, te denken valt
aan
𝐾𝑜𝑠𝑡𝑒𝑛 = 50 + 𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑢𝑟𝑒𝑛 ∙ 10 en 𝐺𝑒𝑙𝑑𝑏𝑒𝑑𝑟𝑎𝑔 = 1000 ∙ 1,02𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑗𝑎𝑟𝑒𝑛
[vwo] op een steeds abstracte manier te werken met lineaire (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, met 𝑎 =Δ𝑦
Δ𝑥)
en exponentiële verbanden (𝑦 = 𝑏 ∙ 𝑔𝑡).
(omgekeerd) evenredigheid te herkennen in verhoudingstabellen.VE.
te herkennen dat een gegeven verband al dan niet een verschuiving en/of vervorming
is van een van bovenstaande standaardverbanden AB . Indien dat het geval leren ze de
grafieken handmatig te tekenen, indien dat niet het geval is zetten ze digitale
gereedschappen in.GT
van de bovenstaande standaardverbanden grafieken te tekenen en karakteristieken
te benoemen.
Aanbevelingen VO bovenbouw
In de bovenbouw komt voor alle leerlingen evenredigheid in de verschillende
verschijningsvormen van een verband aan bod in een meer abstracte vorm MN.
[havo wiskunde B/vwo Wiskunde A en wiskunde B] In de bovenbouw kan er aandacht
besteed worden aan het verschuiven en vermenigvuldigen van de diverse verbanden. Op
deze manier ontstaan er nieuwe varianten die door leerlingen verkend kunnen worden.
[vwo wiskunde B] verdieping van logaritmische en exponentiële verbanden ook als e-
machten of natuurlijke logaritmes.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
van eenvoudige naar complexe patronen en verbanden.
van woordformules naar formules met variabelen.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Probleemoplossen: vinden van de regelmaat
Algoritmisch denken: hoe schets je de grafiek door middel van de transformaties
Modelleren: bij een situatie een formule opstellen
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset is een specifiekere invulling van bouwsteen 4.1: Verbanden,
verschijningsvormen en vergelijkingen.
72
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Maatschappij: vormt een context van speciale verbanden
Mens en Natuur: vormt een context van speciale verbanden
Digitale Geletterdheid: 3.2.
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
Door meer vanuit een overkoepelend perspectief de speciale verbanden te benaderen
krijg je in deze bouwsteenset meer interne samenhang en worden meer verbanden
belicht dan alleen lineair en kwadratisch.
73
Bouwsteenset 5.1: Kansen en kansverdelingen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval is er kansrekening. Hiermee kunnen we
bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en hoe waarschijnlijk uitkomsten zijn. In de eerste
leerjaren van het primair onderwijs wordt een eerste basis gelegd als het gaat om
kansbegrip. Het is nog een onbewust leerproces waarbij het ervaren centraal staat. Denk
hierbij aan het spelen van dobbelspelletjes en nadenken over de kans van bepaalde worpen
in termen als 'eerlijk', 'niet eerlijk'. Tevens wordt er op ervaringsniveau gewerkt met
combinatoriek denk hierbij bijvoorbeeld aan mogelijkheden bij kledingkeuzes.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
uit te leggen wanneer een spelletje eerlijk is (bijvoorbeeld ergens om loten, kop of
munt, steen-papier-schaar).
uit te leggen waarom bepaalde situaties meer kans hebben dan andere. Te denken
valt aan: uit een doos met 8 gele ballen en 2 rode ballen pak je met je ogen dicht een
bal. Welke kleur denk je dat die bal heeft? Waarom denk je dat? En als we er een
rode bal bijdoen en een gele bal uithalen? Leg eens uit hoe dat zit.
dat er bij 2 (keuze)mogelijkheden verschillende combinaties mogelijk zijn. Te denken
valt aan kinderen in een gezin, keuze snoepjes, combinaties kleding. Ze leren
hierover te redeneren. Aanvankelijk zal dat handelend zijn, maar kinderen die eraan
toe zijn kunnen dit in een schema weergeven MO.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het worden de activiteiten uit de onderbouw voortgezet. Deze
worden uitgebreid met het doen van kansexperimenten, het toepassen van kansbegrip
en erover te redeneren. Begrip van breuken als verhouding en procenten is hiervoor
noodzakelijk VE.
Daarnaast maken leerlingen kennis met combinatoriek in concrete situaties waarbij ze
vooral tot oplossingen komen door informele strategieën te gebruiken en te modelleren
MO.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
kansexperimenten uit te voeren (al dan niet digitaal) DG 3.2.
breukenkennis toe te passen bij het verwoorden van kansen VE. Te denken valt aan de
kans bij een zwangerschap op een jongen is 1
2 .
kennismaken met het maken van een schematische weergave MO (b.v. boomdiagram)
om aan te tonen hoeveel mogelijkheden (combinatoriek) er zijn bij een situatie van
meerdere items. Te denken aan: hoeveel verschillende combinaties kun je maken als
je 4 broeken, 2 truien en 3 paar schoenen hebt?
kansen te interpreteren bij alledaagse situaties (bijvoorbeeld weersverwachting: 'de
kans op regen vandaag is 80%').
redeneren over kansen onder andere bij bordspellen en daarover communiceren RC .
te redeneren en te communiceren over kansen.
74
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs is er een voortzetting van de activiteiten
uit het primair onderwijs. Hier vindt het bepalen van aantallen mogelijkheden plaats door
te noteren en te ordenen MO en met behulp van dit overzicht te rekenen. Leerlingen leren
dat een kans de verhouding is tussen het aantal gunstige mogelijkheden en het totale
aantal mogelijkheden en leren hiermee rekenen, bijvoorbeeld met behulp van een
boomdiagram. Kansexperimenten nemen toe in complexiteit. Ook leren leerlingen
kansexperimenten te simuleren DG 3.2.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
informatie systematisch te noteren bijvoorbeeld in roosters, boomdiagrammen,
wegendiagrammen MO en aan de hand daarvan berekenen hoeveel mogelijkheden er
zijn.
kansexperimenten op te zetten, uit te voeren en te simuleren (bijvoorbeeld met
digitale hulpmiddelen)DG 3.2.
kansen berekenen met behulp van de kansdefinitie van LaPlace).
kansbomen te maken en daarin de rekenregels ( som- en productregel) voor
kansrekening toe te passen. Zij leren daarbij bewerkingen met breuken GB toe te
passen.
formele vaktaal NE 5.1 te gebruiken.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Deze bouwstenen zijn in de bovenbouw havo, vwo relevant voor alle leerlingen en alle
wiskundevakken. Alle leerlingen maken kennis met de normale verdeling, voor havo is
kennis van de kenmerken en vuistregels voldoende. Voor vwo wiskunde A en C is er een
verdieping van het rekenen met kansen (som-, product- en complementregel) en
rekenen ze aan kansexperimenten (verwachtingswaarde en standaarddeviatie). Bij
wiskunde B op vwo wordt alleen de kansrekening behandeld die nodig is om
hypothesetoetsen met een normale verdeling te kunnen uitvoeren.
In het vmbo beperkt deze grote opdracht zich tot de onderbouw. Voor leerlingen die door
willen stromen naar havo, is het van belang om het programma van havo onderbouw te
hebben doorlopen. Dit kan in het keuze deel.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
van concreet en dicht bij de leerling (nadenken over kans op regen, redeneren
een spelletje eerlijk is of niet) naar uitvoeren van kansexperimenten en het
rekenen met kansen;
van eenvoudige naar complexe problemen;
complexere methodieken.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
75
Representeren en communiceren (communiceren)
Modelleren (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken, creatief
denken en handelen, zelfregulering)
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Natuur: omgaan met risico's (MN 4.4);
Nederlands: vaktaal (NE 5.1);
Digitale Geletterdheid: 4.4.
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
Kansen en kansverdelingen is een nieuw onderwerp binnen het primair onderwijs. Het
vermogen van om gegevens te ordenen en te verwerken en representaties te begrijpen
wordt namelijk van steeds groter belang. Om greep te krijgen op onzekerheid en toeval
is er kansrekening. Hiermee leren leerlingen bepalen welke uitkomsten mogelijk zijn en
hoe waarschijnlijk uitkomsten zijn.
76
Bouwsteenset 5.2: Data en statistiek
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Jonge kinderen zijn van nature geneigd om dingen te ordenen, te sorteren op
bijvoorbeeld kleur of vorm en te vergelijken op grootte, bijvoorbeeld de schelpen die zij
op het strand vinden of de kralen in een doos. In de eerste leerjaren van het primair
onderwijs leren ze hoe je niet alleen voorwerpen kunt ordenen, maar ook gegevens kunt
ordenen. Leerlingen leren turven, gegevens verzamelen en weer te geven in bijvoorbeeld
een beelddiagram. Ze leren over deze gegevens te redeneren en te communiceren
(uitleggen wat je kunt zien in het beelddiagram en wat niet).
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
na te denken over en te bespreken RC hoe je voorwerpen en gegevens overzichtelijk
kunt ordenen en vergelijken.
gegevens te verzamelen en hiervan eenvoudige grafische representaties te maken,
bijvoorbeeld een beeld- of staafdiagram DG 1.1.
eenvoudige grafische representaties zoals een beelddiagram of staafdiagram of
turftabel af te lezen en te interpreteren.
wiskundetaal te gebruiken zoals: diagram, turven, tabel, beeld, verzamelen,
informatie, gegevens.
om te gaan met eenvoudige gegevens en tabellen en diagrammen in contexten uit
andere leergebieden (te denken valt aan de het sorteren, turven en in beeld brengen
van boomvruchten die gevonden zijn (eikels, kastanjes)) en andere wiskundige
inhouden en ze leren daarbij verschillende denk- en werkwijzen toe te passen. Te
denken valt aan representeren en communiceren RC ('Wat kun je zien in dit
beelddiagram?') en logisch redeneren LR.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het basisonderwijs maken de leerlingen kennis met nieuwe en
met complexere grafische representaties en leren ze zelf eenvoudige grafische
representaties (infographics) te maken al dan niet met behulp van ICT. Ze leren rekenen
met de centrummaten gemiddelde, modus en mediaan en de uitkomsten te
interpreteren. Daarnaast ontwikkelen de leerlingen een kritische houding ten opzichte
van data door gegevens, grafische representaties en daarbij getrokken conclusies te
schatten op waarheid (fact-checking).
77
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
gegevens te verzamelen en hiervan grafische representaties te maken op papier en
digitaal GT DG 1.1, 1.2. Bij bestaande grafische representaties (zoals infographics,
diagrammen en grafieken) leren ze voordelen en nadelen te benoemen van de
gekozen representatie, interpretaties te geven, conclusies te trekken en eventueel
voorspellingen te doen.
gegevens te verzamelen op verschillende wijzen, te denken valt aan het uitvoeren
van steekproeven.
wiskundetaal te gebruiken zoals: grafiek, gemiddelde, modus, mediaan, horizontale
x-as en verticale y-as, stijgen, dalen, scheurlijn.
in eenvoudige situaties met inzicht bij gegeven data de centrummaten, rekenkundig
gemiddelde, mediaan en modus te berekenen en te interpreteren en hierover te
redeneren.
om kritische vragen te stellen bij de wijze van onderzoek RC (o.a. in de media) DG 1.1, BU
07. Dit kan betrekking hebben op het verzamelen van informatie, de keuze van
visualisaties en in hoeverre conclusies bij de feiten correct zijn (fact-checking).
flexibel om te gaan met data en statistiek waarbij ze zowel andere wiskundige
inhouden toepassen als de verschillende denk- en werkwijzen toepassen. Te denken
valt aan vragen als 'Kun je aan de grafiek zien hoe het over een aantal jaren zal
zijn? Leg eens uit.'
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs worden de activiteiten uit het
basisonderwijs voortgezet, waarbij de grafische representaties complexer en formeler
van aard zijn. Leerlingen leren op basis van deze visualisaties trends te herkennen en
voorspellingen te doen. Daarnaast wordt voorbereid op het kwantificeren van
onzekerheid, zoals beschreven wordt in de aanbevelingen voor de bovenbouw.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
centrummaten en spreidingsmaten (waaronder de standaardafwijking) in eenvoudige
gevallen op papier en verder digitaal GT DG 1.2 te berekenen en erover te redeneren LR.
(creatieve KC 1.1) grafische representaties te interpreteren en te maken, waarbij
aandacht is voor, passend bij de data, handig gekozen assenstelsels, cumulatieve
frequenties, samengestelde tabellen en diagrammen RC. Ze leren op basis van de
grafische representaties trends te herkennen en voorspellingen te doen VVF, MO en
eventueel te interpoleren en extrapoleren.
zelfstandig de statistische cyclus te doorlopen. Dit betekent dat ze bij een
probleemsituatie 1. de juiste vragen stellen, 2. gegevens verzamelen, 3. de
resultaten presenteren in passende visualisaties, centrummaten en spreidingsmaten,
en 4. conclusies trekken op basis van de resultaten PR.
onderscheid te maken tussen correlatie en causaliteit.
waarheden van onwaarheden te onderscheiden door kritische vragen te stellen bij de
wijze van onderzoek, waarbij alle stappen van de statistische cyclus beschouwd
worden (fact-checking) AB.
78
flexibel om te gaan met data en statistiek waarbij ze zowel andere wiskundige
inhouden toepassen als de verschillende denk- en werkwijzen toepassen. Te denken
valt aan vragen als 'Welke invloed heeft de grootte van een steekproef op een
gemiddelde, modus en mediaan?, 'In welk land is de bevolkingsdichtheid groter als je
naar de data kijkt PR?'
Aanbevelingen VO bovenbouw
Informatie en statistiek is in de bovenbouw relevant voor alle leerlingen en alle
wiskundevakken, waardoor horizontale doorstroming geen probleem is. Binnen de
leerwegen zullen de contexten en daarbij gebruikte waarden verschillen qua complexiteit
en grootte. De nadruk komt meer te liggen op het ontwikkelen van een kritische blik ten
aanzien van statistische weergaven en uitspraken (o.a. fact-checking en causaliteit) AB, RC.
In de bovenbouw van havo en vwo leren leerlingen ook zelf statistische technieken te
gebruiken en hierover te redeneren PR. Hierbij wordt onzekerheid gekwantificeerd in
betrouwbaarheidsintervallen, effectgroottes, p-waardes en significantieniveaus. Dit
kritisch beschouwen geeft leerling inzicht in waarheid en leugens BU 07, in oorzaak en
gevolg MM en in het onderscheid tussen causaliteit en correlatie MN 4.4, MM 11.5. Welk vervolg
een leerling aan zijn bevindingen geeft, is onderwerp van andere leergebieden NE 5.1, MVT
1.1. Op het vwo [wiskunde A, wiskunde B en wiskunde C] gaan alle leerlingen ook zelf
hypothesetoetsen met een normale verdeling uitvoeren. Bij wiskunde A op havo en vwo
gaan leerlingen zelf een onderzoek uitvoeren (ze doorlopen de statistische cyclus) en
werken met grote datasets, waarbij gebruik wordt gemaakt van ICT. Dit onderzoek kan
goed gekoppeld worden aan andere vakken MM 12.2, zoals bijvoorbeeld maatschappijleer.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
van eenvoudige naar complexe en meer formele grafische representaties.
van het verzamelen en ordenen van gegevens, tot het verwerken hiervan in
grafische representaties.
van het lezen van grafische representaties naar het zelf maken van grafische
representaties.
van contexten dichtbij de leerling (lievelingskleuren van de schoenen) naar steeds
verder af (meest voorkomende woorden in een boek).
van het maken van representaties op papier naar het maken van representaties
met behulp van ICT.
van het aflezen van gegevens naar conclusies trekken, trends herkennen en
voorspellingen doen.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Logisch redeneren (kritisch denken, creatief denken en handelen, zelfregulering)
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
Representeren en communiceren (communiceren)
Modelleren (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken, creatief
denken en handelen, zelfregulering)
Algoritmisch denken (creatief denken en handelen)
79
Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, kritisch denken,
creatief denken en handelen, zelfregulering)
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset bouwt voort op het de vaardigheid om grafieken en
diagrammen af te lezen en te maken VVF, al dan niet met digitale hulpmiddelen GT.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Natuur: onderscheid causaliteit en correlatie MN 4.4;
Mens en Maatschappij: oorzaak en gevolg, onderscheid causaliteit en correlatie;
MM 11.5
Nederlands: vaktaal, vervolg geven aan de bevindingen; NE 5.1
Moderne vreemde talen: vervolg geven aan de bevindingen; MVT 1.1
Digitale Geletterdheid: bouwstenen DG 1.1 en 1.2
Burgerschap: inzicht in waarheid en leugens, BU 07
Kunst en Cultuur: creatieve representaties maken bouwsteen KC 1.1
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
Statistiek is een nieuw onderwerp binnen het primair onderwijs. Het gaat over het
verzamelen, verwerken, juist interpreteren en representeren van gegevens en er
conclusies aan verbinden. Hiermee leren leerlingen kritisch te reflecteren op
informatie.
80
Bouwsteenset 6.1: Veranderingen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
In de eerste leerjaren van het primair onderwijs wordt een basis gelegd als het gaat om
veranderingen. Het gaat hier vooral om het herkennen van veranderingen en hierover te
communiceren en redeneren. Een kind helpt mee tafeldekken en weet dat er elke dag 4
mensen aan tafel zitten, maar als er twee mensen meer komen eten dan weet het ook
dat er van alles twee meer nodig zijn: twee borden, bekers, messen en vorken en dat er
meer brood nodig is. Zo ook als er minder mensen aan tafel zullen zitten. Het kind
ervaart al op jonge leeftijd wat het betekent als aantallen af- of toenemen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
voorbeelden te geven van veranderingen in hoeveelheden en uit te leggen wat dit
betekent voor die hoeveelheden GB.
in eenvoudige tabellen, beelddiagrammen trends herkennen en beschrijven met
dagelijkse termen als groter worden, kleiner worden, gelijk blijven, enzovoorts NE 5.1.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs worden de activiteiten uit de onderbouw
voortgezet. In eerste instantie leren de leerlingen een model, zoals een grafiek of een
tabel bij een situatie te interpreteren en te bepalen welke verandering zichtbaar is. De
leerlingen leren kritisch te denken en te redeneren over deze verandering, bijvoorbeeld:
'Wat betekent het als de lijn op een bepaald punt in een tijd-afstand lijngrafiek heel steil
loopt?'
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
een verandering in een verschijningsvorm (grafiek, tabel, beschrijving) VVF te
herkennen en te verwoorden, te denken valt aan: af- en toename, stijgen, dalen,
constant, groei, verdubbelen, halveren, en er mee te rekenen.
in een situatie onderscheid te maken tussen vaste en variabele componenten. Te
denken valt aan een telefoonabonnement waarbij bellen binnen de bundel tegen een
vaste prijs plaatsvindt en bellen buiten de bundel tegen een tarief per minuut (SMS of
MB).
hoe een verandering in de ene verschijningsvorm van een verband (grafiek, tabel,
beschrijving) doorwerkt in de andere vorm(en). Te denken valt aan: als het tarief
(variabele component in de beschrijving) toeneemt, dan wordt de grafiek die het te
betalen bedrag weergeeft, steiler AB, VVF.
81
in voorkomende gevallen absolute en relatieve veranderingen te herkennen (de prijs
neemt met € 30,- respectievelijk 20% af), van elkaar te onderscheiden AB en te
gebruiken RC.
onderscheid te maken tussen gemiddelde verandering en momentane verandering.
Te denken valt aan het onderscheid tussen trajectmeting en flitsmeting bij
snelheidscontroles en het onderscheid tussen de omvang van een bevolking en de
groei van de bevolking MM 8.1.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
De essentie van deze bouwsteenset ligt in deze fase. Hier krijgen leerlingen zicht op de
betekenis en weergave van de verandering van een verband.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
het verloop van een grafiek te beschrijven met termen als toe- en afnemend,
stijgend, dalend, steeds herhalend, minimum, maximum, lineair, constant,
exponentieel, periodiek AB, RC NE 5.1 .
het effect van een verandering bij een verband in een van de verschijningsvormen
weer te geven in elk van de andere verschijningsvormen van het verband, ook met
digitaal gereedschap GT DG 3.2.
aan te geven welk soort gedrag een grootheid in de tijd vertoont in concrete situaties.
Zij kunnen voorbeelden geven van de bijbehorende verandering (plaats, snelheid,
temperatuur, afkoeling) MMK MN 4.2.
extreme waarden van een verband te bepalen als die weergegeven worden in een
grafiek of een tabel.
de richtingscoëfficiënt van een lineair verband in verband te brengen met het
veranderingsgedrag van de afhankelijke grootheid AB en [havo, vwo] dat
andersoortige verbanden niet één richtingscoëfficiënt kennen AB.
[vwo] dat exponentiële verbanden op lange termijn altijd sneller groeien dan lineaire
en machtsverbanden.
[vwo] bij een grafiek een toenamediagram te tekenen en een hellinggrafiek te
tekenen met behulp van digitale gereedschappen.
Aanbevelingen VO bovenbouw
De toepassingen van de in de vo onderbouw aangeleerde concepten komen in de
bovenbouw van havo en vwo uitgebreid aan bod. Denk hierbij aan: differentiequotiënt,
globale hellinggrafiek tekenen, snelheid en versnelling, differentiaalquotiënt, [havo/vwo
wiskunde B] afgeleide functie berekenen, rekenregels voor differentiëren, raaklijn
opstellen, plaats, snelheid en versnelling berekenen, [vwo wiskunde B] Riemannsommen
en integralen, (rekenregels voor) integreren berekenen, tweede afgeleide.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
82
Van concreet (veranderingen analyseren in rijen figuren of getallen) naar abstract
(over veranderingen praten en redeneren).
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Representeren en communiceren (communiceren);
Probleemoplossen (probleemoplossend denken en handelen, creatief denken en
handelen, kritisch denken en zelfregulatie);
Abstraheren (oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan);
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken).
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Kennis over en vaardigheid met bouwsteenset 4.1 vormt voorkennis voor deze
bouwsteen.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en natuur: bewegingsleer, reactiesnelheid, groei van populaties: 4.2.
Mens en maatschappij: marginale groei, verval van rivieren, weersverandering,
afname van luchtdruk bij toenemende hoogte, hellingen op de bergweg.8,1 en
11.5
Nederlands: terminologie rond veranderingen. Te denken valt aan toename,
afname, gelijk blijven, snel en langzaam groeien: 5.1
Digitale geletterdheid: 3.2.
83
Bouwsteenset 6.2 Benaderingen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
De basis voor schatten en benaderen ligt in de onderbouw van het primair onderwijs. In
de eerste leerjaren maken leerlingen kennis met schatten en afronden (voor afronden zie
bouwsteen 1.2), voornamelijk in de context van het omgaan met hoeveelheden. Zo leren
ze bijvoorbeeld dat je bij een vraag als 'Waar zijn er de meeste van?' niet altijd precies
hoeft te tellen om tot een antwoord te komen. In de context van getallen leren ze
nadenken over de grootte van getallen 'ligt 28 dichter bij 20 of 30?'
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
in concrete situaties hoeveelheden tot ten minste 100 te schatten en schattend te
vergelijken. Te denken valt aan beredeneerd raden hoeveel paaseitjes in een vaas
zitten GB.
lengtes te schatten met behulp van eigen lichaamsafmetingen (hand, voet,
lichaamslengte) MMK.
de oppervlakte te benaderen door hokjes te tellen van een figuur MMK.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren krijgen schatten en benaderen veel aandacht. De schattingen
worden complexer van aard. Bovendien leren leerlingen wanneer een schatting volstaat
en wanneer een exact antwoord nodig is. Ook leren zij in situaties redeneren over
nauwkeurigheid, orde van grootte en marges.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
met inzicht de bewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen schattend
uit te voeren met zowel grotere getallen als decimale getallen GB.
verhoudingsproblemen schattend op te lossen in meer complexe contexten waarin de
verhoudingsrelatie niet direct zichtbaar is (bv.: 243 van de 1000 auto's reden te hard.
Welk deel is dat ongeveer?) VE.
de orde van grootte van een uitkomst van een berekening in te schatten
(bijvoorbeeld 23 x 32 door er 25 x 30 van te maken) en de juistheid van een
berekening op een device te controleren (inschatten of de uitkomsten wel of niet juist
kunnen zijn) GT
een keus te maken tussen exact en schattend rekenen afhankelijk van de situatie GB,
MMK.
gewicht, lengte, oppervlakte en inhoud van 3D-objecten te schatten en hierbij
eventueel referentiematen in te zetten MMK.
84
te redeneren over nauwkeurigheid, de orde van grootte en de marges bij een
gegeven situatie.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw staan wiskundige technieken centraal die een juiste inschatting van de
gezochte oplossing opleveren: benaderen, inklemmen (bijvoorbeeld de zijde van een
vierkant van 20 m2 bepalen door middel van proberen: eerst 5, dan 4, dan 4,5, dan 4,45,
enzovoort), interpoleren en extrapoleren. Deze technieken kunnen in de vorm van een of
meer algoritmen weergegeven worden AD.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
een keus te maken tussen exact en schattend rekenen in meer complexe situaties. Te
denken valt aan rekenen met π of benaderingen van π; en met bijvoorbeeld √3 als
exact getal of benaderingen van √3 GB.
het resultaat van een getrapte berekening af te ronden in overeenstemming met de
gegeven situatie en het effect te beredeneren van tussentijds afronden.
te redeneren en te rekenen met de wetenschappelijke notatie (= een afronding), ook
met een digitaal gereedschap GT.
vergelijkingen op te lossen met numerieke methoden bijvoorbeeld door gebruik te
maken van tabellen AD of grafisch numerieke apps GT. Te denken valt aan de
nulpuntbepaling van een speciaal verband VVF.
te interpoleren: (een waarde tussen twee metingen) op basis van een tabel de
waarde van de uitvoervariabele van een verband (bij benadering) bepalen bij een
waarde van een invoervariabele die niet in de tabel voorkomt en te extrapoleren
(voorspellingen doen, voortzetten wat je nog niet weet AB): op basis van een grafiek
of een tabel de waarde van een uitvoervariabele van een verband (bij benadering) te
bepalen en bij een waarde van de invoervariabele die groter of kleiner is dan de
gegeven of af te lezen waarden.
andere benaderingsstrategieën toe te passen. Te denken valt aan inklemmen of
lineaire regressie RC en hierbij digitale gereedschappen te gebruiken GT.
Aanbevelingen VO bovenbouw
[vmbo] Deze bouwstenen kennen in de bovenbouw een vervolg.
De toepassingen van de in de vo onderbouw aangebrachte concepten
komen in de bovenbouw van havo en vwo uitgebreid aan bod te
denken valt aan:
[wiskunde A] Voortzetting van technieken om te interpoleren en te extrapoleren;
[wiskunde B] Voortzetting van numerieke oplosmethoden.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
van concreet en dicht bij de leerling (aantal paaseitjes) naar abstract
(wetenschappelijke notatie);
85
van eenvoudige benaderingsstrategieën (aantal bussen) naar complexere
benaderingsstrategieën (lineaire regressie);
van verwoorden van de orde van grootte van een schatting naar de mate van
nauwkeurigheid;
van concreet rekenen met benaderingen (in de vorm van b.v. decimale getallen) naar
abstract rekenen met het exacte getallen zoals √3 en π.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Gereedschap en technologie gebruiken (kritisch denken)
Representeren en communiceren (communiceren)
Abstraheren (oriëntatie op jezelf, studie en je loopbaan)
Alle inhoudelijke bouwstenen binnen het leergebied Reken & Wiskunde zijn
voorwaardelijk voor deze bouwsteen.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Natuur: leveren contexten aan;
Mens en Maatschappij: leveren contexten aan.
86
Bouwsteenset 7.1: Gereedschap en technologie gebruiken
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Het jonge kind heeft buiten school al kennis gemaakt met allerlei gereedschappen en ook
met digitale gereedschappen. Denk daarbij aan een liniaal en ook aan touchscreens, in
het bijzonder het gebruiken van schuifbalken en scrollen van teksten maar ook het
vergroten van plaatjes. Zij leren hier op een natuurlijke manier mee omgaan. Deze
gereedschappen worden ingezet om het rekenen en andere handelingen te verlichten.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
eenvoudige (digitale) gereedschappen te bedienen en hun standaardfuncties te
gebruiken. Te denken valt aan een liniaal om rechte lijnen te kunnen trekken MMK, en
eenvoudige 3D-software om figuren te tekenen en vanuit verschillende perspectieven
te kunnen bekijken MMK.
verband te leggen tussen analoge en een digitale weergaven van een grootheid RC,
MMK.
een beschrijving van een bewerking te geven in de vorm van input – proces – output DG. In dit kader valt te denken aan sommen waarin een berekening voorgesteld wordt
met een pijlenschema.
(digitale) gereedschappen met inzicht te gebruiken in samenhang met de inhouden
uit fase 1 en in samenhang met andere denk- en werkwijzen.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere jaren van het primair onderwijs maken leerlingen kennis met de
rekenmachine en andere (digitale) gereedschappen en leren leerlingen meer over de
toepassingen en gebruik ervan, maar maken ze ook kennis met de wiskunde van de
digitale gereedschappen. Het gaat onder meer om doordacht en verantwoord gebruik van
gereedschappen en technologie. Aan bod komen vragen als: Wanneer gebruik ik welk
gereedschap? En wanneer niet? Hoe kan ik beoordelen of een gereedschap betrouwbare
uitkomsten biedt?
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
standaardfuncties van de rekenmachine te gebruiken GB.
specifieke representaties van bewerkingen in digitale gereedschappen. Te denken valt
aan * voor vermenigvuldiging en / voor deling.
minder gangbare (digitale) gereedschappen te bedienen en in te stellen DG 3.1. Te
denken valt aan lasermeter en fietscomputer, kompas en passer MMK.
een keuze te maken voor gereedschappen en technologie die passend zijn voor de
situatie DG.
de uitkomst van een (digitaal) gereedschap kritisch te beschouwen door de uitkomst
vooraf te schatten VB.
wiskundige bewerkingen te herkennen bij het gebruik van (digitale) gereedschappen
87
DG. Te denken valt aan vergroten, draaien en spiegelen bij fotobewerkingssoftware KC
3.1, aan aanzichten in 3D-software MMK en aan de essentie van de werking van een
routeplanner
verbanden te leggen tussen (digitale) gereedschappen en wiskundige concepten. Te
denken valt aan het verband tussen een passer en een cirkel MMK en aan het verband
tussen GPS en coördinaten MMK.
(digitale) gereedschappen met inzicht te gebruiken in samenhang met de inhouden
uit fase 2 en in samenhang met andere denk- en werkwijzen.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In deze fase leren leerlingen om te gaan met een geïntegreerd wiskundepakket of
spreadsheetpakket (zoals Geogebra of Excel) of combinaties van applicaties (zoals
Wolfram Alpha) en dit te gebruiken en toe te passen. Het gaat hier vooral om doordacht
en verantwoord gebruik van de verschillende gereedschappen van dit pakket. Aan bod
komen vragen als: Wanneer gebruik ik welk gereedschap/menu? Hoe kan ik beoordelen
of de uitkomst betrouwbaar is?
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
van de rekenmachine en ander digitaal gereedschap ook andere dan
standaardfuncties te gebruiken. Te denken valt aan breuken op de rekenmachine GB,
aan π, goniometrische verhoudingen, kwadrateren en worteltrekken op de
rekenmachine GB en het tekenen van boxplots in een spreadsheetprogramma DSK.
geïntegreerde (digitale) gereedschappen te bedienen.
afhankelijk van een situatie meerdere passende (digitale) gereedschappen in
combinatie te gebruiken en daartussen te schakelen DG 3.1.
de uitkomst(en) die door een (digitaal) gereedschap gegenereerd is (zijn), kritisch te
beschouwen door de uitkomst(en) vooraf te schatten, de mate van nauwkeurigheid
van de uitkomst aan te geven en aan te geven of een uitkomst exact of bij
benadering is VB.
wiskundige bewerkingen te herkennen bij het gebruik van (digitale) gereedschappen.
Te denken valt aan het opstellen van een cumulatieve frequentietabel DSK in een
spreadsheetprogramma, waarbij de gegevens telkens bij elkaar geteld worden.
verbanden te leggen tussen (digitale) gereedschappen en wiskundige concepten. Te
denken valt aan de binaire representatie van getallen GB, aan het verband tussen een
berekende cel in een werkblad van een spreadsheet en een wiskundige formule VVF en
aan het verband tussen een randomgenerator en het concept kans DSK.
(digitale) gereedschappen met inzicht te gebruiken in samenhang met de inhouden
uit deze fase en in samenhang met andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan
het uitvoeren van simulaties MO, het tekenen van de hellinggrafiek bij een gegeven
grafiek VB en inter- en extrapolatie met behulp van een spreadsheetprogramma VB.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Leerlingen maken kennis met de techniek die hoort bij coderen en decoderen.
Leerlingen maken kennis met minstens een programmeertaal en leren deze toepassen.
Leerlingen worden zich bewust van de technologische mogelijkheden en beheersen deze
ook en kunnen de juiste digitale toepassing kiezen voor een specifieke taak.
88
Leerlingen hebben inzicht in de technologische mogelijkheden en beperkingen van de
rekenmachine, grafische rekenmachine en/of computer.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
de toename van het aantal te gebruiken gereedschappen zowel analoog als
digitaal en de relatie daartussen.
van concreet en dichtbij de leerling (gebruik van de rekenmachine of
afstandmeter op de telefoon) naar formeel en verderaf (gebruik van een
rekenblad, spreadsheet of simulatiesoftware);
van eenvoudige naar complexe (digitale) gereedschappen en applicaties.
van het gebruiken van gereedschappen naar de kennis over gereedschappen.
van gebruik van standaardfuncties naar gebruik van bijzondere functionaliteit in
gereedschappen.
van gebruik van gegeven gereedschap naar keuze voor een of meer
gereedschappen.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
Bij deze denk- en werkwijze wordt een beroep gedaan op de volgende brede
vaardigheden:
Kritisch denken, als ze uitkomsten kritisch moeten beschouwen.
Probleemoplossen, als ze overwegen welk gereedschap past bij welke stap in de
oplossingsstrategie.
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset leent zich als context voor alle andere inhoudelijke
bouwstenen omdat er m.b.v. digitale gereedschappen de mogelijkheid tot
uitproberen en onderzoek bestaat.
Deze bouwsteenset is voorwaardelijk voor alle andere bouwstenen omdat er zowel
met als zonder (digitaal) gereedschap gewerkt moet kunnen worden.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Digitale Geletterdheid: gebruik van technologie en kennis over technologie en de
daarbij gebruikte wiskundige toepassingen, bouwsteen DG 3.1.
Mens & Natuur: Leveren contexten.
Kunst & Cultuur: fotobewerkingssoftware, bouwsteen KC 3.1
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
Deze hele bouwsteenset is nieuw. Gereedschap en technologie gebruiken wordt in de
toekomst steeds belangrijker en het aanbod ervan steeds groter en is onmiskenbaar een
factor van belang in het dagelijks leven van leerlingen en ook van hun opleiding.
89
Bouwsteenset 8.1: Probleemoplossen
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Jonge kinderen houden zich al vroeg bezig met probleemoplossen: Een zakje paaseitjes
eerlijk verdelen met je broer en zusje vraagt om een oplossing en is voor een kleuter
geen routinetaak. Zonder vaste strategieën zullen ze tot een oplossing komen,
bijvoorbeeld door uit te gaan delen of groepjes te maken en vervolgens bekijken of het
eerlijk is gegaan. In de eerste jaren van het po ligt de nadruk voor de leerlingen bij het
oplossen van problemen op het informeel zoeken naar oplossingen, vaak handelend en
via trial and error. Denk bijvoorbeeld aan een probleem als “Blikgooien: Iemand gooit
een bal naar een toren van 6 blikken (3-2-1). Hoe kan de toren daarna eruit zien? Zoek
alle mogelijkheden.” Belangrijk is dat ze over hun oplossingen communiceren met elkaar.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
problemen te begrijpen door de situatie en de vraagstelling van het probleem onder
woorden te brengen MO , RC
heuristieken (methoden bij het aanpakken van problemen) in te zetten. Te denken
valt aan
o trial-and-error: iets uitproberen en kijken hoe dat uitpakt;
o alle mogelijkheden opsommen en daaruit een keuze maken;
o van achter naar voren werken;
o een verband leggen met (eenvoudiger) verwante problemen die je al
eerder hebt opgelost;
hun aanpak onder woorden te brengen en uit te leggen aan anderen RC
hun oplossing te controleren in het licht van het gestelde probleem.
te reflecteren over (de effectiviteit en efficiëntie van) hun aanpak van het probleem.
Ze verwoorden of hun aanpak bijgesteld kan worden aan de hand van opgedane
ervaringen
'probleemlossen' in samenhang met de inhouden uit fase 1 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs krijgen leerlingen te maken met
complexere problemen. Ze hebben ook al meer inhoudelijke kennis beschikbaar om in te
zetten. Te denken valt aan problemen waarbij te veel of (ogenschijnlijk) te weinig
gegevens voorhanden zijn.
Ze leren heuristieken meer bewust toe te passen en na te denken over welke heuristiek
het meest geschikt is. Nog steeds gaat het om problemen die ze niet routinematig
kunnen oplossen. De oplossingsaanpak van leerlingen wordt formeler van aard.
90
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
bewust heuristieken toe te passen. Te denken valt aan bijvoorbeeld:
o een (gefundeerde) inschatting maken en deze controleren.
o een probleem opdelen in deelproblemen.
o van achter naar voren te werken.
o problemen op te lossen door systematisch een lijst te maken van alle
potentiële mogelijkheden te inventariseren en de juiste te selecteren
('brute force').
o een simpeler voorbeeld van het probleem maken dat opgelost dient te
worden.
o problemen op te lossen door gebruik te maken van een verwant probleem
dat eerder is opgelost.
o het probleem vanuit een ander perspectief bekijken.
'probleemlossen' in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt het aanbod uit het primair
onderwijs voortgezet. Leerlingen leren op een meer formele manier problemen op te
lossen en zijn in staat verschillende heuristieken te combineren en toe te passen. Ook de
complexiteit van de problemen neemt in deze fase toe.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
de heuristieken die zij in het primair onderwijs geleerd hebben te verfijnen en vlot en
vaardig in te zetten bij complexere problemen.
meer heuristieken toe te passen bij het oplossen van problemen. Te denken valt aan
o het maken van een wiskundig model VVF, MO.
o het gebruiken van algebraïsche methoden.
o het inzetten van digitale hulpmiddelen om snel verschillende
mogelijkheden door te rekenen of in beeld te brengen GT.
'probleemlossen' in samenhang met de inhouden uit fase 3 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Probleemoplossen is belangrijk voor alle sectoren en voor alle leerlingen van de klas.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
de toename van het aantal te gebruiken heuristieken
van concreet en dicht bij de leerling (een nieuw probleem oplossen) naar formeel
en verderaf (problemen classificeren);
van eenvoudige oplossingen naar complexe analyse en reflectie.
91
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
De volgende denk- en werkwijzen krijgen specifieke aandacht waarbij een beroep wordt
gedaan op brede vaardigheden:
Creatief denken en handelen
Kritisch denken, als ze het oplossingsproces en het resultaat kritisch moeten
beschouwen
Communiceren: het aan anderen kunnen duidelijk kunnen maken van de gevolgde
eigen aanpak, of duidelijk maken de gevonden oplossingsstrategie en oplossing de
juiste is.
Deze bouwsteenset verhoudt zich als volgt tot andere bouwstenen binnen het leergebied:
Deze bouwsteenset maakt gebruik van alle inhoudelijke bouwstenen
Deze bouwsteenset is voorwaardelijk voor alle andere bouwstenen omdat
probleemoplossen een werkwijze is waar vaak een beroep op wordt gedaan.
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens & Natuur: als context voor op te lossen problemen
Mens en Maatschappij: als context voor op te lossen problemen
Onderbouwing van de veranderingen in deze bouwsteenset ten opzichte van het huidige
curriculum:
Deze hele bouwsteenset is essentieel voor een goede reken-wiskundige ontwikkeling.
92
Bouwsteenset 9.1: Abstraheren
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Kinderen zijn van nature geneigd om overeenkomsten te zoeken: 'Kijk, de maan is een
rondje, net als de tafel'. Ze leren dat in verschillende vormen (lamp, kopje, rotonde) 'een
cirkel' te herkennen is en gaan het woord cirkel zelfstandig gebruiken. Zo is een cirkel
een abstract denkobject geworden. In de eerste jaren van het onderwijs zijn leerlingen
ook intensief bezig met hoeveelheden en getallen. Ze leren een hoeveelheid van zeven
weer te geven met het getal 7, deze 7 los te gebruiken van contexten en erover te
denken en redeneren. We zeggen dan dat 7 een denkobject geworden is. Leren
abstraheren is essentieel voor het leren van wiskunde.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
eerste stappen te zetten om objecten als getallen GB en vormen uit fase 1 te
abstraheren tot denkobjecten. Te denken valt aan: het leren van het denkobject
'kubus' en daarbij nieuwe voorbeelden te vinden ('die doos ziet er uit als een kubus')
MMK.
eerste stappen te zetten om bewerkingen GB uit fase 1 te abstraheren tot
denkobjecten. Te denken valt aan: optellen en aftrekken zonder context.
'abstraheren' in samenhang met de inhouden uit fase 1 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In deze fase zetten leerlingen de stap om de denkobjecten uit fase 1 en 2 op een nog
hoger abstractieniveau te bekijken en te benoemen. Een cirkel, kubus, balk, en bol zijn
allemaal ruimtelijke figuren. Bovendien maken ze kennis met het verschijnsel dat het
denkobject breuk bijvoorbeeld 3
5 als een deling gezien kan worden maar ook als een
getal.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
objecten en bewerkingen die voorkomen in de inhouden uit fase 2 te abstraheren tot
denkobjecten.
eerste stappen te zetten om denkobjecten op hoger abstractieniveau in te delen.
'abstraheren' in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
93
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
Leerlingen abstraheren verder. Ze leren over nieuwe denkobjecten van een nog 'hogere
orde' (een cirkel is een verzameling punten met gelijke afstand tot het middelpunt) en ze
leren andere denkobjecten die uit verzelfstandigde bewerkingen voortkomen
(bijvoorbeeld machten uit vermenigvuldigingen). Ook zetten ze eerste stappen om
nieuwe objecten (bijvoorbeeld variabelen) te construeren uit andere denkobjecten
(getallen). Dat is alleen mogelijk als leerlingen accepteren dat die andere denkobjecten
een werkelijkheid vormen.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
(vervolg)stappen te zetten om objecten en bewerkingen die voorkomen in de
inhouden uit fase 1, 2 en 3 te abstraheren tot denkobjecten.
verdere stappen te zetten om denkobjecten van 'hogere orde' te onderkennen. Te
denken valt aan verbanden VVF, die een beschrijving in tekst, een grafiek, een tabel
en een formule als representatie kennen.
verdere stappen te zetten om verzelfstandigde bewerkingen te abstraheren tot
nieuwe denkobjecten. Te denken valt aan 'nieuwe' getallen als machten, irrationale
wortels en logaritmen GB
stappen te zetten om nieuwe denkobjecten te construeren uit andere. Te denken valt
aan variabelen, die voortkomen uit getallen.
'abstraheren' in samenhang met de inhouden uit fase 3 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Adviezen voor abstraheren in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs:
Abstraheren is een ingewikkeld proces, waarvoor leerlingen de tijd moeten krijgen. Of
het abstraheren van inhouden tot denkobject nodig is, hangt af van het vervolg van de
leerlijn. Het is voor alle leerlingen van belang te leren abstraheren, maar de mate waarin
en aan de hand van welke inhouden hangt af van het uitstroomprofiel van de leerling en
de variant van wiskunde die beoefend wordt.
[vmbo-gt] Abstraheren komt in de bovenbouw voor leerlingen die door willen stromen
naar havo of naar een technische mbo-opleiding van niveau 4 meer aan bod dan nu het
geval is.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
een steeds hoger abstractieniveau
een uitbreiding van het aantal denkobjecten.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
Bij deze denk- en werkwijze wordt een beroep gedaan op de volgende brede
vaardigheden:
Oriëntatie op jezelf, je studie en je loopbaan.
94
De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denk- en werkwijze:
Meten en meetkunde
Getallen en bewerkingen
Verhoudingen
Variabelen, verbanden en formules
95
Bouwsteenset 10.1: Logisch redeneren
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
In de eerste leerjaren maken leerlingen al buiten rekencontexten kennis met eenvoudige
logische redeneringen die voortkomen uit een dagelijkse situatie. Ze leren beweringen
van de vorm als … dan … te begrijpen en op basis daarvan uitspraken te doen. Ook
binnen rekenen komen de eerste logische redeneringen aan bod. Te denken valt aan
redeneringen als “als twee erbij drie gelijk is aan vijf, dan is vijf eraf drie gelijk aan
twee”. Ook leren ze op basis van voorbeelden vermoedens te uiten en deze te staven aan
de werkelijkheid. Te denken valt aan redeneringen als “Zijn grote dingen altijd zwaarder
dan kleine dingen?”.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
op basis van ervaringen logische uitspraken te doen.NE 5.1
ervaringen te verzamelen om logische uitspraken te onderbouwen of weerleggen.NE 5.1
beweringen van de vorm als … dan … te begrijpen en op basis daarvan uitspraken te
doen. NE 5.1
redeneringen met behulp van als … dan … in eigen bewoordingen onder woorden te
brengen. NE 5.1
hun vermogen logisch te redeneren te ontwikkelen in samenhang met de inhouden
van fase 1 en in samenhang met andere denk- en werkwijzen.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren worden de logische redeneringen complexer van aard. Ze kennen
meer redeneerstappen. Bovendien wordt van leerlingen een wat formelere redeneerwijze
verwacht. Ten slotte zijn de inhouden waar logische redeneringen op worden toegepast
complexer. Leerlingen leren uitspraken die verkregen zijn door abstraheren te staven of
te weerleggen. Te denken valt aan “Is er bij elke keersom een deelsom te maken?” of
“Zijn alle kubussen balken of zijn alle balken kubussen?”
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
redeneringen onder woorden te brengen met gebruikmaking van (in)formele
wiskundetaal.
gegevens of voorbeelden te verzamelen om op basis van de overeenkomsten logische
uitspraken te doen en deze te staven aan meer gegevens of andere voorbeelden.
een eenvoudige logische redenering te geven op basis van beweringen, waarvan
verondersteld wordt dat ze waar zijn.
doorzien dat logisch redeneren kritisch moet gebeuren en tot fouten kan leiden. “Zijn
alle even getallen deelbaar door 6?” Het vinden van drie goede oplossingen wil niet
zeggen dat de redenering waar is voor alle even getallen.GB
hun vermogen logisch te redeneren te ontwikkelen in samenhang met de inhouden
96
van fase 2 en in samenhang met andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan:
Kloppen deze beweringen? "40% van iets is altijd meer dan 30% van iets anders" VE,
"Elk vierkant is een rechthoek" MMK, "Als je twee oneven getallen bij elkaar optelt, is
de uitkomst een even getal" GB.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs neemt de complexiteit van
redeneervraagstukken toe. Er moeten meer redeneerstappen gedaan worden, waarbij
kennis en inzicht uit de inhoudsdomeinen gebruikt moet worden. [havo, vwo] Daarbij is
een formele redeneerwijze van belang. [gt, havo, vwo] Verder leren leerlingen nieuwe
beweringen deductief af te leiden uit beweringen waarvan vastgesteld is dat ze waar zijn.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
[havo, vwo] redeneringen onder woorden te brengen met behulp van formele
wiskundetaal. RC
een complexere logische redenering te geven op basis van beweringen, waarvan
verondersteld wordt dat ze waar zijn. Te denken valt aan: "in een rechthoek snijden
de diagonalen elkaar middendoor. Elke vierkant is een rechthoek. Dus in een vierkant
snijden de diagonalen elkaar middendoor.”
redeneerfouten uit logische redeneringen te halen. Te denken valt aan: “Als je een
even getal vermenigvuldigt met een oneven getal, is de uitkomst een even getal, dus
als je een even getal deelt door een even getal, krijg je een oneven getal.”
regels binnen de wiskunde begrijpen op basis van logische structuren. Te denken valt
aan: “-1∙3 = -3, want dat is een logische voorzetting van het rijtje 2∙3 = 6, 1∙3 = 3,
0∙3 = 0”
het verschil te begrijpen tussen een logische redenering op basis van beweringen,
waarvan verondersteld wordt dat ze waar zijn en een regel die wordt afgeleid uit
overeenkomsten tussen verschillen de voorbeelden. Te denken valt aan: “Het bewijs
dat de som van de hoeken van een driehoek 180 graden is, is van een andere orde
dan het opmeten van de hoeken van een driehoek in drie verschillende driehoeken”.
hun vermogen logisch te redeneren te ontwikkelen in samenhang met de inhouden
van deze fase en in samenhang met andere denk- en werkwijzen. Te denken valt
aan: toon deze beweringen aan: "De som van de hoeken van een driehoek is 180o"
MMK, "Als een getal deelbaar is door 6, dan is hij ook deelbaar door 3" GB. "Als een
driehoek rechthoekig is, dan geldt de Stelling van Pythagoras" MMK.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Logisch redeneren is mogelijk met alle inhouden. Als het logisch redeneren achterwegen
wordt gelaten, verwordt wiskunde tot een opeenstapeling van trucjes. Verder verdient
het aanbeveling dat leerlingen leren te handelen naar het inzicht dat ze hebben
opgedaan in het logisch redeneren om zich verder te ontwikkelen tot een kritische burger BU 03.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
97
meer redeneerstappen
formeler taal
complexere inhouden
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
Bij deze denk- en werkwijze wordt beroep gedaan op de volgende brede vaardigheden:
Kritisch denken
Creatief denken en handelen
Zelfregulering
De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denk- en
werkwijzen:
Meten en meetkunde
Getallen en bewerkingen
Verhoudingen
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Nederlands: uitspraken doen, argumentatie NE 5.1
Burgerschap: kritische burger BU 0.3
98
Bouwsteenset 11.1: Representeren en communiceren
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
In de eerste leerjaren is er veel aandacht voor het representeren van hoeveelheden en
aantallen in woorden, beelden en getalsymbolen. De focus ligt hier op het gebruik van de
juiste begrippen in wiskundetaal. Ook leren leerlingen communiceren met elkaar over
bijvoorbeeld hoeveelheden GB of over hoe je eerlijk kunt meten MMK Dit representeren en
communiceren leren ze binnen alle inhouden die in deze fase worden aangeboden.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
wiskundige begrippen (meer, minder) en wiskundige symbolen ( +, -, =) te
gebruiken NE 5.1.
aantallen te representeren met behulp van materialen en schema's, zoals een punt op
een getallenlijn en cijfersymbolen GB.
objecten en bewerkingen te representeren en er over te communiceren in samenhang
met de inhouden uit fase 1 en in samenhang met de andere denk- en werkwijzen. Te
denken valt aan: herkennen en benoemen AB of een gegeven figuur een cirkel is of
niet MMK, gegevens representeren in een diagram DSK of andere grafische
representaties en de namen van bijvoorbeeld vlakke figuren kennen en gebruiken
MMK.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren worden de representaties complexer van aard en de communicatie
wordt formeler: leerlingen maken meer gebruik van wiskundige begrippen, formuleringen
en wiskundetaal. Leerlingen kunnen keuzes voor bepaalde representaties verantwoorden.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
dat er verschillende representaties kunnen zijn voor eenzelfde object of bewerking.
Te denken valt aan een breuk weergeven in de vorm a
b of a 𝑏⁄ GB, VE, een deling
schrijven met verschillende deeltekens ÷, : en / GB , verschillende representaties
gebruiken voor een verhouding zoals een breuk, een percentage of een omschrijving
van de vorm "… op de …" VE.
deze verschillende representaties in elkaar om te zetten.
een passende representatie te kiezen in een gegeven situatie. Te denken valt aan het
weergeven van maten (10 000 meter als afstand bij schaatswedstrijden, maar 10
kilometer als afstand bij een autorit) MMK, het weergeven van grote getallen met
'miljoen' en 'miljard' of uitgeschreven in cijfers GB , de keuze voor een bepaald
diagram om gegevens weer te geven DSK.
dat er regels zijn voor correct wiskundig taalgebruik en wat het belang is van het
correct toepassen van deze regels. Te denken valt aan het gebruik van haakjes en
wat er gebeurt bij het ontbreken van haakjes GB.
99
objecten en bewerkingen te representeren en er over te communiceren in samenhang
met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de andere denk- en werkwijzen. Te
denken valt aan gegevens in tabellen en diagrammen DSK en 2D-representaties van
3D-figuren zoals aanzichten en plattegronden MMK.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs wordt de lijn uit het primair onderwijs
voortgezet, waarbij de representaties en communicatie nog complexer en formeler van
aard zijn, ook komen er nieuwe bij. Leerlingen leren formele wiskundetaal te gebruiken
en kritisch te zijn op onjuist gebruik hiervan.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
formele vaktaal en wiskundige symbolen te herkennen en te gebruiken in gesproken
en geschreven tekst. Te denken valt aan begrippen als coördinaten, wortels en π ,
maar ook het verkort noteren van 2 x 2 x 2 naar 23 en deze uitkomst correct uit te
spreken als '2 tot de macht 3' GB. Of: gebruik van woord- of lettervariabelen in
formules VVF.
verschillende representaties van wiskundige objecten te maken met behulp van
wiskundige gereedschappen zoals passer, geodriehoek, gradenboog en digitale
gereedschappen GT.
verschillende representaties van wiskundige objecten of bewerkingen in elkaar om te
zetten. Te denken valt aan het omzetten van een formule in een tabel of een grafiek
VVF, DSK.
kritisch te zijn op representaties en dit kunnen verwoorden (fact-checking) DSK.
objecten en bewerkingen te representeren en er over te communiceren in samenhang
met de inhouden uit deze fase en in samenhang met de andere denk- en werkwijzen.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Maak onderscheid tussen uitstroomprofielen en wiskundevarianten op basis van nut en
noodzaak van formeel wiskundig taalgebruik.
Betrek correct communiceren over en met wiskunde in bijvoorbeeld profielwerkstukken.
Stem correct gebruik van representaties af met andere leergebieden.
[vmbo-gt] Voor leerlingen die willen doorstromen naar havo of een technische mbo-
opleiding van niveau 4 komen in de bovenbouw formelere representaties aan bod dan nu
het geval is. Te denken valt aan de representatie van de Stelling van Pythagoras in de
vorm a2 + b2 = c2 in plaats van in de vorm van een werkschema.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
complexiteit van representaties en begrippen.
toename van het aantal wiskundige begrippen en vaktaal.
communicatie op abstracter (formeler) niveau.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
100
Bij deze denk- en werkwijze wordt beroep gedaan op de volgende brede vaardigheden:
Communiceren
De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denk- en
werkwijzen:
Meten en meetkunde
Getallen en bewerkingen
Verhoudingen
Data, statistiek en kans
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Nederlands: woordenschat, vaktaal, communicatie NE 5.1
101
Bouwsteenset 12.1: Modelleren
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
In deze fase gaat modelleren over het beschrijven van een situatie met behulp van
reken-wiskundetaal en symbolen. Leerlingen leren schematische tekeningen te maken bij
situaties en met behulp daarvan vragen te beantwoorden. Tot slot vertaalt de leerling het
antwoord terug naar de concrete situatie. In deze fase beperkt het wiskundig modelleren
zich tot het domein getallen en bewerkingen. Een belangrijk aspect van modelleren is
een vereenvoudiging van de werkelijkheid, waardoor het antwoord kan afwijken van het
werkelijke antwoord. Dat is in deze fase niet of nauwelijks aan de orde.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
een redenering te geven met behulp van een ‘rechthoekmodel’. Te denken valt aan:
Je hebt drie rijen van vijf blokjes. Laat zien dat je deze blokjes ook kunt verdelen in
vijf rijen van drie blokjes. Antwoord: drie rijen van vijf blokjes is 3 × 5 blokjes en vijf
rijen van drie blokjes is 5 × 3 blokjes. Omdat 3 × 5 = 5 × 3 klopt het.
schematiseren van een concrete situatie. Te denken valt aan het uittekenen op de
getallenlijn bij de volgende situatie “Tijdens de gymles wordt er tikkertje gespeeld. Er
zijn 29 kinderen in het veld. De tikker tikt eerst 5 kinderen af. Daarna nog eens 6.”
vertalen van een concrete situatie, al dan niet via een schema, naar een formele
berekening. Te denken valt aan het opstellen van de berekening 29 – 5 – 6 = bij
bovenstaande situatie.
het gevonden antwoord op de berekening terug te vertalen naar de concrete situatie.
Te denken valt aan het vertalen van het getal 18 naar het antwoord op de vraag
“Hoeveel kinderen zijn er over?”, oftewel 18 kinderen.
modelleren in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere jaren van het primair onderwijs leren leerlingen meerdere schema’s en
modellen te gebruiken en een verstandige keuze hieruit te maken. Daarnaast leren ze die
ook toe te passen op andere inhouden en in complexere situaties. Wiskundig modelleren
kan nu ook op de onderwerpen verhoudingen, meetkunde en combinatoriek toegepast
worden. In deze fase komen ook situaties aan bod waarin gegevens ontbreken of meer
gegevens voorhanden zijn dan nodig.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
een concrete situatie te schematiseren waarbij leerlingen een keuze maken voor een
passend ‘schema’.
een concrete situatie, te vertalen naar een wiskundig model. Te denken valt aan een
tabel, een meetkundig plaatje of een berekening.
102
overbodige gegevens te negeren en ontbrekende gegevens aan te vullen. Te denken
valt aan 'Voor een concert is een veld van 100 m bij 50 m beschikbaar. Het concert is
volledig uitverkocht en het veld staat helemaal vol met fans. Hoeveel fans denk je dat
er aanwezig kunnen zijn?'
modelleren in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan het gebruik van een
verhoudingstabel als je wilt uitrekenen welk pak frisdrank in verhouding het
goedkoopst is VE.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs leren leerlingen in het bijzonder
wiskundige modellen te maken met variabelen en formules, en hiermee te rekenen en te
redeneren. Ook kansmodellen doen hun intrede in de vorm van berekeningen bij
boomdiagrammen. Ze leren te rekenen met en te redeneren over deze beschreven
modellen en er voorspellingen mee te doen.
Leerlingen zijn zich ervan bewust dat ze een modelleercyclus volgen (schematiseren,
maken van een wiskundig model, rekenen binnen het model, terugvertalen naar de
werkelijkheid, reflecteren op het antwoord en de gekozen route). Bij het schematiseren
laten leerlingen nu ook variabelen weg, om de werkelijke situatie te vereenvoudigen,
zodat eraan gerekend kan worden.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
te redeneren met behulp van modellen. Te denken valt aan: als de spanning in een
stroomkring twee keer zo groot wordt, neemt de stroomsterkte ook met een factor
twee toe. Of: Als we in een stroomkring met een weerstand eenzelfde weerstand
parallel schakelen, neemt de stroomsterkte met een factor twee toe. Maar als we
deze weerstand in serie bijschakelen, halveert de stroomsterkte.
een concrete situatie te schematiseren waarbij leerlingen een keuze maken voor een
passend ‘schema’ in complexere situaties. Ze leren overbodige gegevens te negeren
en ontbrekende gegevens aan te vullen.
een concrete situatie, al dan niet via een ‘schema’, te vertalen naar een wiskundig
model. Te denken valt aan een tabel, een meetkundig plaatje, een berekening, een
formule of een kansmodel. Ook maken ze keuzes in welke variabelen wel en niet
meegenomen worden in de beschrijving van het model.
de uitkomst binnen het model te vinden, terug te vertalen naar de werkelijke situatie
en kritisch te beschouwen of de juiste keuzes gemaakt zijn bij de keuze van de
variabelen en het ontwerpen van het model. Op basis van de kritische beschouwing
kunnen de keuzes aangepast worden.
modelleren in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang met de
andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan het gebruik van een
verhoudingstabel als je wilt uitrekenen welk pak frisdrank in verhouding het
goedkoopst is VE. Te denken valt aan het oplossen van optimaliseringsproblemen PR
door een model van de situatie op te stellen VVF of op basis van een tegelpatroon van
witte en zwarte tegels een formule op te stellen voor het aantal witte, zwarte en
totaal aantal tegels. VVF, MMK
103
Aanbevelingen VO bovenbouw
Adviezen over modelleren voor de bovenbouw van het voortgezet onderwijs.
Ontwikkel modelleervaardigheid verder bij toepassingen in de wiskundevakken en
vooral bij andere vakken. Te denken valt aan modellen die het gedrag van
natuurwetenschappelijke verschijnselen beschrijven MN 3.3, macro-economische
modellen, kansexperimenten die gemodelleerd worden met behulp van de normale
verdeling en een regressielijn bij een puntenwolk DSK.
Maak bij het bovenstaande ook gebruik van technologie GTT.
Denk ook eens aan problemen die voorkomen in wiskundewedstrijden zoals
bijvoorbeeld de wiskunde A-lympiade en de wiskunde B-dag.
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
de toename van het aantal verschillende wiskundedomeinen waaruit kennis
betrokken moet worden.
de opbouw vanuit een schematische voorstelling naar een beschrijving met
wiskundige formalismen.
geen wiskundige aannamen hoeven doen naar het zelfstandig maken van
wiskundige aannamen.
Het OT vindt het belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van elke
leerling.
Bij deze denk- en werkwijze wordt beroep gedaan op de volgende brede vaardigheden:
Creatief denken en handelen
Kritisch denken en handelen
Zelfregulering
De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denk- en
werkwijzen:
Getallen en bewerkingen
Verhoudingen
Meten en meetkunde
Variabelen, verbanden en formules
Informatie, statistiek en kans
Veranderingen en benaderingen
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Mens en Natuur MN 3.3
104
Bouwsteenset 13.1: Algoritmisch denken
Bouwsteen PO
Fase 1 (po onderbouw)
Inleiding
Als je bij het aankleden eerst je schoenen aandoet, zullen hele jonge kinderen meteen
aangeven dat het zo niet 'hoort': Als je eerst je schoenen aandoet, kun je je sokken
immers niet meer aandoen. In veel situaties leren ze dat er een vaste volgorde is, een
stappenplan dat je moet volgen. Is dat eerst vooral imiterend, daarna ervaren ze het ook
zelf bij bijvoorbeeld het maken van een wagentje van lego aan de hand van het
stappenplan in het doosje. In deze eerste fase gaat het er niet alleen om dat kinderen
kennismaken met 'vaste volgordes', maar ook dat ze de noodzaak hiervan (h)erkennen.
Dit is een eerste kennismaking met 'algoritmisch denken'.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
wat een stappenplan met een vaste volgorde is (algoritme) en leren voorbeelden te
geven uit het dagelijks leven (de routebeschrijving van huis naar school MMK, bij een
spelletje spelen de stappen volgen in je beurt).
uit te leggen of het werken volgens een vaste volgorde noodzakelijk is of niet in een
gegeven situatie. Te denken valt aan: bij een routebeschrijving MMK naar huis is een
vaste volgorde hoe je moet lopen wel belangrijk, bij het tafeldekken is dat minder
noodzakelijk. Ze denken ook na over de gevolgen als je niet volgens een vaste
volgorde werkt.
eenvoudige stappenplannen (algoritmen) te beschrijven in woorden. Te denken valt
aan een beschrijving van de volgorde waarin je je kleren aantrekt en hoe je een
figuur maakt met een vouwblaadje.
algoritmisch te denken in samenhang met de wiskundige inhouden uit fase 1 en in
samenhang met de andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan jonge kinderen
die een route maken MMK voor een robotje door te programmeren GT.
Fase 2 (po bovenbouw)
Inleiding
In de hogere leerjaren van het primair onderwijs leren de leerlingen niet alleen
algoritmen herkennen en uit te voeren, maar ook eenvoudige algoritmen zelf te
schrijven. Denk aan algoritmes van vaste procedures die ze leren (cijferen, kortingen
berekenen) en het schrijven van eenvoudige programmeertaal. Ook leren ze deze
beschrijvingen steeds meer formeel te noteren.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
uit te leggen wat een algoritme is en eenvoudige algoritmen op formele wijze te
beschrijven met een opeenvolging van instructies en met als-dan-formuleringen. Te
denken valt aan het beschrijven van de stappen bij cijferen GB.
van eenvoudige problemen een oplossingsstrategie als een algoritme te beschrijven.
Te denken valt aan een algoritme om uit te rekenen wat je voor iets moet betalen als
je een bepaald percentage korting krijgt VE.
105
algoritmisch te denken in samenhang met de inhouden uit fase 2 en in samenhang
met de andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan het beschrijven van de wijze
waarop je een opgave met meerdere rekenbewerkingen GB doet, beschrijven hoe je
een patroon met specifieke karakteristieken kunt voortzetten VVF.
Bouwsteen VO onderbouw
Inleiding
In de onderbouw van het voortgezet onderwijs bouwen de leerlingen voort op hun kennis
en vaardigheden die ze in het primair onderwijs hebben opgedaan. Ze leren gebruik te
maken van alle structuren die in een formeel beschreven algoritme voor kunnen komen,
zoals herhalingen, wiskundige bewerkingen, aantal te nemen stappen en
voorwaardelijkheid. Tevens maken leerlingen kennis met hoe instellingen en bedrijven
algoritmen gebruiken MM 3.1.
Kennis en vaardigheden
Leerlingen leren:
algoritmen op formele wijze te beschrijven, bijvoorbeeld het beschrijven van een
algoritme om de grootste gemene deler van twee positieve getallen te bepalen GB.
de programmeertaal van de digitale gereedschappen die ze tot hun beschikking
hebben en die daartoe geschikt zijn te gebruiken en hiermee eenvoudige
programma’s DG 3.2 te schrijven. Te denken valt aan een programma dat een
vergelijking oplost VVF, VB.
zich een voorstelling te maken van algoritmen die instellingen en bedrijven gebruiken
om een gepersonaliseerd aanbod van producten, diensten en content te doen MM 3.1.
algoritmen voor standaardprocedures en problemen van een specifiek type,
kwalitatief met elkaar te vergelijken op effectiviteit en efficiëntie. Te denken valt aan:
het vergelijken van een algoritme dat de grootste gemene deler van twee getallen
door middel van systematisch uitproberen bepaalt met het algoritme van Euclides.
algoritmisch te denken in samenhang met de inhouden uit deze fase en in samenhang
met de andere denk- en werkwijzen. Te denken valt aan beschrijving van het
inklemmen bij het oplossen van een vergelijking VVF of [havo/vwo] van het vinden van
alle priemgetallen lager dan een gegeven getal met behulp van een honderdveld
waarop veelvouden kunnen worden weggestreept (de Zeef van Eratosthenes) GB.
Aanbevelingen VO bovenbouw
Adviezen voor algoritmisch denken in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs:
Een leerling die zich in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs verder wenst te
bekwamen in algoritmisch denken, kan een informaticavak volgen. In die vakken
komt ook het coderen van algoritmen aan bod, zodat een computer een algoritme
kan uitvoeren.
[havo/vwo] Verder kent informatica een aanzienlijke uitbreiding van kennis over
algoritmen. Algoritmisch denken in de bovenbouw van het voortgezet onderwijs kan
zich in het leergebied Rekenen & Wiskunde beperken tot gebruik en onderhoud.
Verder is het van belang dat leerlingen leren te handelen naar het inzicht dat ze
hebben opgedaan in het gebruik van algoritmen die instellingen en bedrijven
hanteren.
106
Toelichting
In de opbouw van de bouwsteenset is de complexiteit terug te zien in:
complexiteit van situaties die een algoritme bevatten.
Van het herkennen van een algoritme naar het beschrijven ervan.
toename van het aantal wiskundige begrippen en vaktaal.
Wijze van beschrijvingen wordt formeler.
Het OT vindt het heel belangrijk dat het aanbod elk moment aansluit op het niveau van
elke leerling.
Bij deze denk- en werkwijze wordt een beroep gedaan op de volgende brede
vaardigheden:
Kritisch denken
Communiceren
De inhouden van de volgende bouwsteensets zijn dienend voor deze denk- en
werkwijzen:
Meten en meetkunde
Getallen en bewerkingen
Verbanden, variabelen en formules
Veranderingen en benaderingen
Deze bouwsteenset hangt samen met de volgende leergebieden:
Nederlands: woordenschat, vaktaal, communicatie NE 5.1
Digitale geletterdheid DG 3.2
Mens en Maatschappij MM 3.1
107
BIJLAGE 1: BEGRIPPENLIJST
Abstraheren Het uit probleemsituaties isoleren van specifieke
overeenkomsten en verschillen, zodat deze als nieuwe,
opzichzelfstaande entiteiten kunnen worden onderzocht
Automatiseren Het vrijwel routinematig uitvoeren van rekenhandelingen
Begripsvorming Het verwerven van inzicht met betrekking tot een concept
Wiskundige denk- en
werkwijzen
Domeinonafhankelijke reken- en wiskundevermogens van
een leerling Beheersing van routinevaardigheden en van
domeinonafhankelijke vaardigheden als
probleemoplossen en logisch redeneren maken deel uit
van wiskundige denk- en werkwijzen
Complexe getallen Een complex getal wordt weergegeven wordt als a + b ∙ i
waarbij i 2 = − 1.
Complexiteit Hoe moeilijk een reken-/wiskundige taak is die leerlingen
moeten (kunnen) uitvoeren
Concept Een reken- en/of wiskundig begripselement, zoals Getal,
Verhouding en Verandering, dat in het hoofd van een
leerling deel uit maakt van een mentaal netwerk
Construeren Een figuur vervaardigen met behulp van niet meer dan
een rechte liniaal, een passer en schrijfgerei
Context Een betekenisvolle situatie waarbinnen rekenen en
wiskunde kan worden toegepast of waarbinnen rekenen
en wiskunde kan worden geleerd
Denkniveau
Handelingsniveau
Geeft weer in welke mate een bekwaamheid in
leerlinggedrag zichtbaar is of moet zijn
Diagram Een schematische, grafische weergave van een proces of
van een aantal grootheden en hun onderlinge verband
Domein Een samenhangende verzameling inhouden
Examenprofiel Natuur & techniek, natuur & gezondheid, economie &
maatschappij en cultuur & maatschappij in havo en vwo
Tien beroepsgerichte profielen in het vmbo
Formeel rekenen Rekenen dat als voorkennis voor wiskunde dient.
108
Functioneel rekenen Rekenen dat dient om situaties uit de praktijk het hoofd
te bieden.
Gegevens of data Onbewerkte letters, cijfers en andere of andersoortige
symbolen die voor iemand geen betekenis hebben.
Grafiek Een visuele representatie van een hoeveelheid gegevens
waarbij de relatie tussen die gegevens zichtbaar is
gemaakt.
Herleiden Een formule of vergelijking in een eenvoudigere vorm
uitdrukken
Informatie Al dan niet bewerkte gegevens die voor iemand betekenis
hebben en die bijdragen aan diens kennis ergens van.
Inhoud Onderwerpen uit het leergebied Rekenen & Wiskunde die
deel uit maken van een curriculum
Leerlijn Een beredeneerde opeenvolging van leerdoelen, inhouden
en wiskundige denk- en werkwijzen die leidt tot een
bepaald einddoel
Leerstof Wat er door leerlingen te leren valt
Bestaat uit inhoud en wiskundige denk- en werkwijzen
Leerweg Basisberoepsgerichte, kaderberoepsgerichte, gemengde
en theoretische leerweg in het vmbo
Memoriseren Het uit het hoofd leren (inprenten) en kunnen
reproduceren van rekenfeiten, zoals optellingen tot
twintig en de tafels van vermenigvuldiging.
Onderwijssector Primair onderwijs, (voortgezet) speciaal onderwijs,
voortgezet onderwijs, vmbo, havo, vwo
Ontwikkelingslijn Volgens welke route een leerling leert of geleerd heeft
Som Wat je krijgt als je twee getallen (termen) optelt
Rekenen & wiskunde Verzamelnaam voor alle vakken en leerdomeinen met
rekenen en/of wiskunde in hun naam in alle sectoren
Tevens naam van het ontwikkelteam
Toepassing Gebruik van kennis, inzicht en denk- en werkwijzen om
een probleem in een bepaalde praktijksituatie op te
lossen.
109
Uitstroomperspectief Een perspectief voor leerlingen op uitstroom in een sector
in het voortgezet onderwijs
Wiskundevariant Wiskunde A, B, C en D
110
BIJLAGE 2: BRONNENLIJST
Boaler, J. (2016). Mathematical Mindsets. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.
Boswinkel, N., & Schram, E. (2012). De Toekomst Telt. Enschede: SLO.
Charles, R. I. (2005). Big Ideas and Understandings as the Foundation for Elementary
and Middle School Mathematics. NCSM Journal of Mathematics Education Leadership,
7(3), 9-24.
Deloitte. (2014). Mathematical sciences and their value for the Dutch economy.
Amsterdam: Platform Wiskunde Nederland.
Dewey, J. (1910). How we think. Boston: D.C Heat & Co.
Drijvers, P, Streun, A. van, & Zwaneveld, L, (2016) Handboek wiskundedidactiek.
Amsterdam: Epsilon Uitgaven.
Eerde, H.A.A. van (2009). Rekenen-wiskunde en taal: een didactisch duo. Panama-Post -
Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 28 (3), (pp. 19-32) (14
p.).
European Commission. (2011). Mathematics Education in Europe: Common Challenges
and National Policies. Brussel: Education, Audiovisual and Culture Executive Agency
Eves, H. (1969). An introduction to the history of mathematics. New York: Holt, Rinehart
and Winston.
Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en rekenen. (2008). Over de drempels met
rekenen. Enschede: SLO.
Feskens, R., Kuhlemeier, H., & Limpens, G. (2016). Resulaten PISA-2015. Arnhem: Cito.
Folmer, E., Koopmans - van Noorel, A, & Kuiper, W. (Red.). (2017). Curriculumspiegel
2017. Enschede: SLO.
Freudenthal, H. (1968). Why to teach mathematics so as to be useful. Educational
Studies in Mathematics, 1, 3-8.
Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenology of mathematical structures.
Dordrecht: Reidel.
Gilmore, C., Göbel, S.M., & Inglis, M. (2018). An introduction to mathematical cognition
Oxford: Routledge.
Gravemeijer, K. (2005). Revisiting ‘Mathematics education revisited’. Freudenthal, 100,
pp. 106-113.
Gravemeijer, K., Stephan, M., Julie, C. et al.(2017). What Mathematics Education May
Prepare Students for the Society of the Future? International Journal of Science and
Mathematics Education. 15(Suppl 1): 105. https://doi.org/10.1007/s10763-017-9814-6
Gravemeijer, K. P. (2016). Reken-wiskundeonderwijs voor de 21e eeuw: Zet vooral in op
kennis die een aanvulling is op wat de computer al kan. Tijdschrift voor remedial
teaching, 24(3), 20-22.
111
Gijzen, W., Buter, A., Hereijgens, C., & Weessies, H. (2015). Over de grenzen van de
referentieniveaus - een versneld aanbod in de hele basisschool. Rotterdam: Wijnand
Gijzen Onderwijsadvies.
Hirsch, E.D. (2016). Why knowledge matters. Rescuing our children from failed
educational theories. Cambridge MS: Harvard Education Press.
Hoeven, M. van der, Schmidt, V., Sijbers, J., Silfhout, G. van, Woldhuis, E., & Leeuwen,
B. van. (2017). Leerplankundige analyse PISA 2015. (2017). Enschede: SLO.
Hoogland, K. (2016). Images of numeracy: investigating the effects of visual
representations of problem situations in contextual mathematical problem solving.
Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven.
Hutten, O., Van den Bergh, J., Van den Brom-Snijders, P., & Van Zanten, M. (2014).
Rekendidactiek meten en meetkunde (2e ed.). Amersfoort, Nederland: Thieme
Meulenhoff.
Inspectie van het Onderwijs. (2017). Peil.onderwijs: Taal en rekenen aan het einde van
het basisonderwijs. Utrecht: Inspectie van het Onderwijs.
Inspectie van het Onderwijs (2017). De Staat van het Onderwijs 2015/2016. Utrecht:
Inspectie van het Onderwijs.
Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. (2009). Rekenonderwijs op de
basisschool: Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse
Akademie van Wetenschappen.
Nelissen, J. M. (2007). Recent onderzoek naar transfer. Reken-wiskundeonderwijs:
onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 26(1), 11-18.
Nelissen, J. M. (2015). Big ideas. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling,
praktijk, 34, 98-101.
Ohlsson, S. (2011). Deep Learning: How the Mind Overrides Experience. Cambridge:
Cambridge University Press.
Oonk, W., & De Goeij, E. T. (2006). Wiskundige attitudevorming. Tijdschrift voor
nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 25(4), 37-39.
Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Den Engelsen, M., Lek, A., & Van Waveren Hogervorst, C.
(2011). Rekenen-wiskunde in de praktijk: Kerninzichten. Groningen/Houten: Noordhoff
Uitgevers.
Platform Onderwijs 2032. (2016). Ons Onderwijs2032 Eindadvies. Den Haag: Platform
Onderwijs 2032.
Platform Wiskunde Nederland. (2012). Formulas for Insight and Innovation,
Mathematical Sciences in the Netherlands; Vision document 2025. Amsterdam: Platform
Wiskunde Nederland.
Platform Wiskunde Nederland. (2014). Tussen wal en schip. Wiskundig-didactisch
onderwijsonderzoek in Nederland. Amsterdam: Platform Wiskunde Nederland.
112
Rijborz, D. (2018). Op zoek naar een vakoverstijgende didactiek voor rekenen-wiskunde
en aardrijkskunde op de lerarenopleiding basisonderwijs. Volgens Bartjens -
Ontwikkeling en Onderzoek, 47(5), 41-50.
Ruijssenaars, A.J.J.M. et al. (2004). Rekenproblemen en Dyscalculie. Rotterdam:
Lemniscaat B.V.
Schmeier, M. (2017). Effectief rekenonderwijs op de basisschool. Huizen: Uitgeverij Pica.
Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on
processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in
Mathematics, 22(1), 1-36.
Siegler, R.S., Duncan, G.J., Davis – Kean, P.E., Duckworth, K., Claessens A., Engel, M.
Susperreguy, M.I., & Chen M. (2012). Early predictors of high school mathematics
achievement. Psychological Science, 23(7), 691-697.
Sjoers, S. (2017). Sterke rekenaars in het basisonderwijs. Amersfoort: CPS
Onderwijsontwikkeling en advies.
SLO. (z.j.). Cursus Curriculumontwerp. Geraadpleegd op 17 mei 2018 van
http://www.cursuscurriculumontwerp.slo.nl/ariadne/loader.php/projects/slo/leergangond
erwijsontwerpen/site/kennisbank/Doorlopende_leerlijnen.docx/.
Streefland, L. (1982). Subtracting fractions with different denominators. Educational
Studies in Mathematics, 13(3), 233-255.
Streun, A. van (2001). Het denken bevorderen. Geraadpleegd op 8 oktober 2018 van
www.rug.nl.
Treffers, A. (1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in
mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Treffers, A. (2008). Het voorkomen van ongecijferdheid. Reken-wiskundeonderwijs:
onderzoek, ontwikkeling, praktijk 27(3/4), 15-18.
UNESCO. (2012). Challenges in basic mathematics education. Parijs: UNESCO.
Vernieuwingscommissie wiskunde cTWO. (2013). Denken & doen: wiskunde op de havo
en vwo per 2015. Utrecht: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs
Willingham, D.T. (2008). Critical thinking. Why is it so hard to teach? Arts Education
Policy Review, 109(4), 21-32.
Willingham, D.T. (2012). When can you trust the experts? How to tell good science from
bad in education. Hoboken NJ: John Wiley & Sons, Inc.
Zanten, M. van, & Notten, C. (Red.). (2017). Rekenen-wiskunde in de 21e eeuw.
Enschede/Utrecht: SLO/Panama.
Zanten, M. van. (2017). Leerplankundige verkenning van TIMSS-trends. Enschede: SLO.
Zanten, van M (2018). Klopt dit wel?, Volgens Bartjens, 37(5), 22 – 26.