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Ano 2016
CONJUNTOS Aulas 01 a 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário CONJUNTOS ............................................................................................................................................................ 2
CONCEITOS PRIMITIVOS ......................................................................................................................................... 2
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO ..................................................................................................................... 2
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA ..................................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
CONJUNTOS NOTÁVEIS ........................................................................................................................................... 2
TIPOS DE CONJUNTOS ............................................................................................................................................. 2
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTO ........................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
SUBCONJUNTOS ...................................................................................................................................................... 3
RELAÇÃO DE INCLUSÃO .......................................................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
SUBCONJUNTO PRÓPRIO ........................................................................................................................................ 3
IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS ............................................................................................................................. 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
CONJUNTO DAS PARTES.......................................................................................................................................... 4
PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 4
NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM CONJUNTO 𝑨 ......................................................................................... 4
OPERAÇÕES ............................................................................................................................................................. 5
CONJUNTO COMPLEMENTAR ................................................................................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO ..................................................................................................................... 6
PRELIMINAR 1 ......................................................................................................................................................... 6
ALGUMAS REPRESENTAÇÕES .................................................................................................................................. 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2
AULA 01
CONJUNTOS CONCEITOS PRIMITIVOS Os conceitos primitivos da teoria de conjuntos são
conjunto, elemento e pertinência.
Um elemento pertence a um conjunto .
Ex.: Uma carteira é parte de uma sala de aula.
REPRESENTAÇÃO DE UM CONJUNTO 1. Tabular – elementos listados entre chaves e
separados por vírgula (ou ponto e vírgula).
𝑨 = {𝟏, 𝟐, 𝟓, 𝟏𝟎} = {𝟏, 𝟓, 𝟏𝟎, 𝟐}
2. Diagrama de Venn – elementos dispostos no
interior de uma figura plana fechada.
3. Propriedade – elementos descritos por meio
de uma propriedade em comum.
𝑨 = {𝒙 ∈ ℕ |𝒙 é divisor de 𝟏𝟎}
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA Determina se um elemento pertence (∈) ou não
pertence (∉) a um conjunto.
Exemplo 1.1: Seja 𝐴 = {0; 1; {3,4}}. As seguintes
relações são verdadeiras:
0 ∈ 𝐴 {3,4} ∈ 𝐴
1 ∈ 𝐴 3 ∉ 𝐴
4 ∉ 𝐴 {4} ∉ 𝐴
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1.1. Dado 𝐴 = {∅, 1, 3, {4}}, julgue os itens a seguir.
a) 1 ∈ 𝐴 b) ∅ ∈ 𝐴 c) 4 ∉ 𝐴
d) 3 ∉ 𝐴 e) {4} ∈ 𝐴
AULA 02
CONJUNTOS NOTÁVEIS Conjunto Vazio(∅ 𝒐𝒖 { }) - não possui
nenhum elemento.
Conjunto Unitário - possui um único
elemento.
Obs.1: ∅ e {∅} não tem o mesmo significado, de modo
geral 𝑥 ≠ {𝑥}, para todo 𝑥.
Conjunto Universo (𝑼) – contém todos os
elementos do objeto de estudo.
TIPOS DE CONJUNTOS Finito – podemos contar seus elementos,
chegando ao fim da contagem.
Infinito – não finito.
Tablet: Ler as Obs. 1 e 2; e os exemplos seguintes.
Um conjunto fazendo “papel” de elemento
Um conjunto listado dentro de outro conjunto
deve ser visto apenas como um de seus elementos:
𝐴 = {0, 1, {3,4}} ⇒ {3,4} é um elemento de 𝐴. Isso
não significa que 3 ou 4 sejam elementos de 𝐴.
DICA: Considerando 𝐵 o conjunto que contém as
estações do ano, tem-se que 𝑣𝑒𝑟ã𝑜 ∈ 𝐵, mas o sol,
que é um “elemento” do verão, não pertence a 𝐵.
∙ 1 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 10
𝑨
Tablet: Ler a obs. 4 e os exemplos seguintes.
Como transformar de “propriedade” para “tabular”
Quando um conjunto estiver descrito na
forma 𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐵 | 𝑥 … }, interprete a primeira parte
como os “candidatos” a elementos de 𝐴, enquanto a
segunda parte (após a barra) é a sua restrição. Se um
“candidato” satisfaz a “restrição” ele está eleito e,
portanto, é elemento de 𝐴.
Exemplo: Seja 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 + 2 = 0}
𝑥 ∈ ℝ: diz que todos os reais são candidatos
𝑥 + 2 = 0 : restrição
⇒ “-2” é o único candidato que satisfaz a
restrição, portanto é eleito. Logo 𝐴 = {−2}
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 3
NÚMERO DE ELEMENTOS DE UM
CONJUNTO O número de elementos de um conjunto finito,
cardinalidade, é denotado por 𝑛(𝐴), #𝐴 ou |𝐴|.
Exemplo 2.1: Sejam 𝐴 = ∅ 𝑒 𝐵 = {2}, segue que
𝑛(𝐴) = 0; 𝑛(𝐵) = 1;
Obs.2: Elementos repetidos em um conjunto são
considerados como apenas um elemento.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1. Dado 𝐴 = {∅; 1; 3; {0; 4}}, julgue os itens a
seguir.
a) 𝑛(𝐴) = 4
b) 𝐴 é infinito
c) {4} ∈ 𝐴
d) 0 ∈ 𝐴
e) 4 ∉ 𝐴
2.2. Classifique os conjuntos a seguir em unitário,
vazio, finito ou infinito.
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥2 + 2𝑥4 + 3 = 0}
b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℕ |𝑥2 = 1}
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℝ |𝑥2 > 2}
d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ | (𝑥 + 2) (𝑥 −1
2) (𝑥2 − 1) = 0}
AULA 03
SUBCONJUNTOS RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão é uma relação entre dois
conjuntos.
A é subconjunto de B (ou A está contido em B), se
todo elemento de A é também elemento de B.
𝐴 ⊂ 𝐵 (lê-se “𝐴 está contido em 𝐵”)
𝐵 ⊃ 𝐴 (lê-se “𝐵 contém 𝐴”)
Exemplo 3.1: Sejam 𝐴 = {0, 2, 3} e 𝐵 = {1, 0, 2, 3},
observe que
Assim, temos que 𝐴 ⊂ 𝐵.
Obs.3: Basta que um elemento de 𝐴 não pertença a 𝐵
para que 𝐴 não esteja contido em B (𝐴 ⊄ 𝐵).
Exemplo 3.2: Sejam 𝐴 = {1, 2, 4} e 𝐵 = {𝑥 ∈ ℤ |𝑥 é
um número par}, como 1 ∈ 𝐴 e 1 ∉ 𝐵 temos que
𝐴 ⊄ 𝐵.
Obs.4: Lembre-se que ∅ ⊂ 𝑨 e 𝑨 ⊂ 𝑨, para qualquer
conjunto 𝐴.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3.1. Dado 𝐴 = {∅, 1, √2, {4}} e 𝐵 = {−2, 4, {1}},
julgue os itens a seguir.
a) {1} ⊂ 𝐴 f) {−2, 1} ⊂ 𝐵
b) 1 ∈ 𝐴 g) ∅ ⊂ 𝐴 e ∅ ⊂ 𝐵
c) {4} ⊂ 𝐴 h) {∅} ⊂ 𝐴
d) {1, √2} ⊂ 𝐴 i) 𝐴 ⊂ 𝐵
e) {−2, {1}} ⊂ 𝐵 j) 𝐵 ⊂ 𝐵
SUBCONJUNTO PRÓPRIO Um conjunto A, tal que 𝐴 ⊂ 𝐵, é chamado de
subconjunto próprio de B, se 𝐴 ≠ ∅ e 𝐴 ≠ 𝐵.
TAREFA 2 – Ler, no tablet, até a página 9 e fazer os
PRATICANDO EM SALA 10 a 14, 15(1 a 4) e 16.
Tablet: Ler as obs. 7 e 8 e os exemplos seguintes.
TAREFA 1 – Leituras indicadas na aula e fazer os
PRATICANDO EM SALA 1, 2, 4, 6(a,b), 7(a,b,c), 8 e 9.
Pertinência e inclusão
Pertinência: relação entre elemento e conjunto
(Lembre-se que um conjunto pode ter outro conjunto
como um de seus elementos).
Inclusão: relação entre dois conjuntos
(sendo um deles subconjunto do outro).
ATENÇÃO! Para que um elemento seja “promovido” a
subconjunto, é necessário colocá-lo entre chaves. Se
esse elemento já for um conjunto, então ele receberá
um segundo par de chaves.
Tablet: Ler os exemplos que seguem a observação
11 e o exercício 1.
Imagine um conjunto A com todos os seus elementos.
Para formar um SUBCONJUNTO de A, basta escrever
um novo conjunto cujos elementos serão uma seleção
dos elementos de A, com qualquer quantidade.
Como criar um subconjunto?
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 4
AULA 04 IGUALDADE ENTRE CONJUNTOS Sendo 𝐴 e 𝐵 conjuntos, temos que
𝐴 = 𝐵 ⇔ 𝐴 ⊂ 𝐵 𝑒 𝐵 ⊂ 𝐴
Exemplo 4.1: Sejam os conjuntos 𝐴 = {−1, √2, 3},
𝐵 = {√2, −1, 3} e 𝐶 = {−1, √2, 3, 3, 3}, tem-se então
𝐴 = 𝐵 = 𝐶.
Obs.5: Dois conjuntos que diferem apenas na ordem
de seus elementos são iguais.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Determine se os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 4, 5} e
𝐵 = {1, (1
2)
−1, 22,
125
5} são iguais.
CONJUNTO DAS PARTES
PRELIMINAR 1 Dado o conjunto 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, temos que:
𝐴 possui um subconjunto com zero
elementos: ∅.
𝐴 possui quatro subconjuntos com um
elemento: {1}, {2}, {3} e {4}.
𝐴 possui seis subconjuntos com dois
elementos:
{1, 2}, {1, 3}, {1,4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.
𝐴 possui quatro subconjuntos com três
elementos: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}.
𝐴 possui um subconjunto com quatro
elementos: {1, 2, 3, 4} = 𝐴
Estes são todos os subconjuntos de 𝐴.
O conjunto das partes de 𝐴, ℘(𝐴), é, por
definição, o conjunto cujos elementos são todos os
subconjuntos de 𝐴.
Exemplo 4.2: Sendo 𝐴 = {1, 2, 3, 4}, tem-se que o
conjunto das partes de 𝐴 é dado por
℘(𝐴) = {∅, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4},
{2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4},
{1, 2, 3, 4}}
Obs.6: O conjunto das partes também é um
CONJUNTO.
NÚMERO DE SUBCONJUNTOS DE UM
CONJUNTO 𝑨 O número de subconjuntos de um conjunto 𝐴
é igual ao número de elementos do conjunto das
partes de 𝐴. É possível demonstrar que esse número é
obtido pela fórmula a seguir:
𝑛(℘(𝐴)) = 2𝑛(𝐴)
Tablet: PRATICANDO EM SALA 17
TAREFA 3: Ler, no tablet, o exemplo 27; e fazer os
PRATICANDO EM SALA 18(a) e 19.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5
AULA 05
OPERAÇÕES Estudaremos, primeiramente, as três operações
seguintes: União, Interseção e Diferença.
CONJUNTO COMPLEMENTAR Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos, tais que 𝑨 ⊂ 𝑩. O
conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é, por
definição, o conjunto 𝐶𝐵𝐴. Note que
𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝐶𝐵𝐴 = 𝐵 − 𝐴
Exemplo 5.4: Sejam 𝐴 = {1; 2; 3} e 𝐵 = {1; 2; 3; 4; 5},
então o conjunto complementar de 𝐴 em relação a 𝐵
é
𝐶𝐵𝐴
= {4, 5}
Obs.12: 𝐴𝑐 = 𝐶𝑈𝐴, onde 𝑈 é o conjunto universo dado
na questão.
Para os exemplos a seguir, considere os conjuntos
𝑈 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} , 𝐴 = {1; 2; 3} , 𝐵 = {3; 4; 5} e
𝐶 = {7}.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Considere os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 3},
𝐵 = {{1, 2, 3}}, 𝐶 = {1, 2, 3, 4} e 𝐷 = {0, 2, 4, 6}.
Complete a tabela (TABELA FEITA EM SALA).
TAREFA 4: Ler as páginas 11 a 23; Fazer os
PRATICANDO EM SALA 21, 22, 25, 26, 27, 28.
Tablet: Ler observação 15
UNIÃO 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5}
𝑈 ∪ 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} = 𝑈
EXEMPLOS:
𝑥 ∉ (𝐴 ∪ 𝐵) ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵
OBSERVAÇÕES:
Obs.7: Um elemento não pertence
à união de dois conjuntos se não
pertencer a nenhum deles.
Tablet: Ler observação 18
INTERSEÇÃO 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∈ 𝐵}
𝐴 ∩ 𝐵 = {3}
𝑈 ∩ 𝐵 = {3, 4, 5} = 𝐵
𝐵 ∩ 𝐶 = ∅
EXEMPLOS:
𝑥 ∉ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 𝑜𝑢 𝑥 ∉ 𝐵
OBSERVAÇÕES:
Obs.8: Dados os conjuntos 𝐴 e 𝐵,
dizemos que 𝐴 e 𝐵 são disjuntos se
os conjuntos 𝐴 e 𝐵 não têm
elementos em comum, isto é
𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.
Obs.9: Para que um elemento não
pertença à interseção entre dois
conjuntos, basta que ele não
pertença a um deles.
DIFERENÇA 𝐴 − 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑥 ∉ 𝐵}
𝐴 − 𝐵 = {1; 2}
𝐵 − 𝐴 = {4, 5}
𝐴 − 𝑈 = ∅
EXEMPLOS:
OBSERVAÇÕES:
Obs.10: Ao calcular a diferença
entre dois conjuntos, você está
respondendo à seguinte pergunta:
“Quais são os elementos do
primeiro conjunto que não são
elementos do segundo conjunto?”.
Obs.11: Em geral, 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴.
Tablet: Ler observação 23
Complementar
A palavra “complementar” é atribuída a tal operação
para passar a ideia de complemento. O conjunto
complementar de 𝐴 em relação a 𝐵 é o conjunto que
contém os elementos que faltam a um subconjunto
de 𝐵, no caso, 𝐴, para que tenhamos 𝐴 = 𝐵.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 6
AULA 06
NÚMERO DE
ELEMENTOS DA UNIÃO
PRELIMINAR 1 Sejam 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos finitos, representados
pelo diagrama de Venn abaixo:
Note que,
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
𝑛(𝐴) = 𝑥 + 𝑦 ;
𝑛(𝐵) = 𝑦 + 𝑧
Se calcularmos 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) teremos:
𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) = (𝑥 + 𝑦) + (𝑦 + 𝑧)
= 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
Observe que os elementos da interseção (𝐴 ∩ 𝐵)
estão sendo contados duas vezes. Portanto, precisam
ter sua quantidade subtraída da soma obtida. Isto é:
Sendo 𝐴 e 𝐵 dois conjuntos finitos, o número de
elementos da sua união é dado pela relação a seguir.
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
Exemplo 6.1: Dados os conjuntos 𝐴 = {{1, 2}; 3; 4; 5}
e 𝐵 = {3, 4, 1, {1}}, tem-se que
𝑛(𝐴) = 4, 𝑛(𝐵) = 4; 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 2
Então
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) − 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 4 + 4 − 2
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 6
Lembrando que 𝐴 ∪ 𝐵 = {{1, 2}; 3; 4; 5; 1; {1}}
Obs.13: Se 𝐴 e 𝐵 são disjuntos (𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 0), então
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵)
ALGUMAS REPRESENTAÇÕES A seguir, você verá alguns diagramas de Venn.
Eles representam algumas das possíveis relações
entre dois conjuntos A e B.
Note que eles têm uma ou mais de suas partes
escurecidas, que ilustram a expressão que os
antecede.
𝐴 ∪ 𝐵
𝐴 ∩ 𝐵
Somente em 𝐴 ou (𝐴 − 𝐵)
𝐴 𝐵
𝑥 𝑦 𝑧
{3, 4}
Problemas e diagramas
Para resolver grande parte dos problemas que
envolvem contagem de elementos ou número de
elementos, deve-se recorrer ao diagrama de Venn.
Porém, no interior dos diagramas, muitas vezes não
serão listados os elementos de cada conjunto, mas
sim a quantidade de elementos que cada “pedaço” do
conjunto possui.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 7
Somente em 𝐵 ou (𝐵 − 𝐴)
(Três conjuntos) Somente em B ou
B A C
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Sejam 𝐴 e 𝐵 conjuntos, tais que 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 68,
𝑛(𝐴) = 30 e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵) = 12. Determine o número de
elementos do conjunto 𝐵.
6.2. Em uma pesquisa sobre preferência musical,
foram entrevistadas 40 pessoas. Elas optaram entre
rock, pop ou sertanejo, podendo escolher nenhuma,
uma, duas ou três entre as opções. Sabendo que,
5 pessoas escolheram os três estilos musicais
10 pessoas escolheram rock e pop
Nenhuma escolheu apenas rock e sertanejo
7 escolheram pop e sertanejo
20 escolheram rock
20 escolheram pop
12 escolheram sertanejo
Determine o número de pessoas que não escolheu
nenhum dos três estilos musicais.
6.3. Os alunos de uma turma cursam alguma(s) dentre
as disciplinas Matemática, Física e Química. Sabendo
que:
o número de alunos que cursam apenas
Matemática e Física excede em 5 o número de
alunos que cursam as três disciplinas;
existem 7 alunos que cursam Matemática e
Química, mas não cursam Física;
existem 6 alunos que cursam Física e Química,
mas não cursam Matemática;
o número de alunos que cursam exatamente
uma das disciplinas é 150;
o número de alunos que cursam pelo menos
uma das três disciplinas é 190.
Com base nessas informações, determine o
número de alunos que cursam as três disciplinas.
EXTRA
CAIU NO VEST 1. As preferências musicais são referência para o
conhecimento das pessoas, já que essas preferências
revelam quem as pessoas são e o que querem ou não
ser. Assim, as escolhas nem sempre se ligam a
critérios musicais, mas ao que a música representa
para cada pessoa ou para o grupo sociocultural em
que ela se insere. Em uma pesquisa sobre gosto
musical, foram obtidos os dados apresentados na
tabela a seguir:
1. Os dados na tabela mostram que, entre os
jovens participantes da pesquisa, o número
de alunos que revelaram preferência por mais
de um tipo musical é 59.
2. Mais de 135 jovens revelaram preferência por
apenas um dos tipos de música pesquisados.
3. O número total de jovens participantes da
mencionada pesquisa é 205.
2. Para preencher vagas disponíveis, o departamento
de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44
TAREFA 5: Ler as páginas 33 a 44; Fazer os
PRATICANDO EM SALA 29, 30, 32, 33, 34, 35 e 37
EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1, 2, 6, 8, 12,
14, 16, 19 e 20
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 8
candidatos, solicitando, entre outras informações, que
o candidato respondesse se já havia trabalhado:
I – em setor de montagem eletromecânica de
equipamentos;
II – em setor de conserto de tubulações urbanas;
III – em setor de ampliações e reformas de
subestações de baixa e de alta tensão.
Analisados os testes, o departamento concluiu que
todos os candidatos tinham experiência em pelo
menos um dos setores citados anteriormente e que
tinham respondido afirmativamente:
28 pessoas à alternativa I;
4 pessoas somente à alternativa I;
1 pessoa somente à alternativa III;
21 pessoas às alternativas I e II;
11 pessoas às alternativas II e III;
13 pessoas às alternativas I e III.
1. Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3
setores.
2. Somente 36 candidatos têm experiência no
setor de conserto de tubulações urbanas.
3. Apenas 15 candidatos têm experiência no
setor de ampliações e reformas de
subestações.
3. Um posto de abastecimento de combustíveis vende
gasolina comum(GC), álcool anidro (AA) e óleo diesel
(OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes,
cada entrevistado declarou que seus veículos
consomem pelo menos um dos produtos citados, de
acordo com a tabela abaixo. Considere que não
existem carros bicombustíveis.
Produto Proprietários de veículos que consomem o
produto
GC 120
AA 75
GC e OD 60
AA e OD 50
GC e AA 30
GC, AA e OD 20
1. 35 clientes possuem apenas veículos que
consomem OD.
2. Pelo menos dois produtos são consumidos
pelos veículos de mais de 120 clientes.
3. 10 clientes possuem mais de um veículo,
sendo que pelo menos um desses veículos
consome GC e o outro consome AA, mas não
possuem nenhum veículo que consome OD.
QUESTÕES EXTRAS
1. Acerca do conjunto 𝑃 = {0; ∅; 1; {−3; −1; 1}}. É
correto afirmar que
a) {∅} ⊄ 𝑃.
b) {−1} ∈ 𝑃.
c) {−3; −1; 1} ⊄ 𝑃.
d) o número de subconjuntos unitários de 𝑃 é 5.
e) o número de elementos do conjunto das partes de
𝑃 é 8.
2. Cada um dos 51 professores de uma escola leciona
em, pelo menos, um dos três prédios, 𝐴, 𝐵 e 𝐶, que a
escola possui. A distribuição de aulas aos professores
foi feita de seguinte modo:
32 professores lecionam no prédio 𝐴;
30 professores lecionam no prédio 𝐵;
29 professores lecionam no prédio 𝐶;
17 professores lecionam nos prédios 𝐴 e 𝐵;
18 professores lecionam nos prédios 𝐴 e 𝐶
13 professores lecionam nos prédios 𝐵 e 𝐶.
Quantos professores lecionam nos três prédios da
escola?
a) 8
b) 14
c) 27
d) 31
e) 43
3. O número de elementos de um conjunto 𝑋 pode
ser denotado por 𝑛(𝑋). Sendo 𝐴, 𝐵 e 𝐶 conjuntos tais
que 𝑛(𝐴 ∪ 𝐵) = 23, 𝑛(𝐵 − 𝐴) = 12, 𝑛(𝐶 − 𝐴) = 10,
𝑛(𝐵 ∩ 𝐶) = 6 e 𝑛(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 4, tem-se que
𝑛(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶) − 𝑛(𝐴 ∪ 𝐶) é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
4. Uma pesquisa que foi realizada com 200 jovens
com o objetivo de identificar como anda a prática
esportiva identificou que:
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 9
Dos 120 jovens que não praticam esportes,
75% são do sexo feminino;
Dos 200 jovens que responderam à pesquisa,
o número de homens é igual ao número de
jovens que praticam esportes.
Com base nessas informações, determine o número
de jovens do sexo masculino que praticam esportes.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. CCCEC
2.1. CEEEC
2.2. a) VAZIO b) FINITO c) INFINITO d) FINITO
3.1. CCECCECCEC
4.1. São iguais
5.1. EM SALA
6.1. 𝑛(𝐵) = 50
6.2. 5
6.3. 11
CAIU NO VEST 1. ECC
2. CCC
3. CEC
QUESTÕES EXTRAS 1. C
2. A
3. C
4. 50