Conjuntos
Prof.: Antonio Carlos
Definição
• É toda coleção de objetos. A esses objetos, damos o nome de elementos.
• O nome do conjunto é dado por uma letra maiúscula.
A = { x é um número primo}B = { x é um número inteiro entre 5 e 10, inclusive}
Relações entre elementos e conjuntos
• Se um elemento está no conjunto, dizemos que ele pertence ao conjunto. Caso não esteja, dizemos que ele não pertence .
• Quando todos os elementos de um conjunto pertencem a um outro conjunto, dizemos que o primeiro conjunto está contido no segundo.
Ex.: A = { -1,0,1 }
B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4 }.
• Conjunto vazio: Não possui elementos. É representado por ou { }.
• Conjunto unitário: Possui apenas um elemento.
• Conjunto infinito: Possui um número ilimitado de elementos.
Conjuntos importantes
Subconjuntos
• Quando um conjunto está contido em outro, dizemos que ele é um subconjunto do maior.
• Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
• O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.
• Conjunto das partesÉ o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de A. É representado por P(A).
Quantos subconjuntos um conjunto possui?
O total de subconjuntos de um conjunto com n elementos é 2n .
Ex.: O conjunto A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} tem 10 elementos. O total de subconjuntos de A é 210=1024.
O conjunto dos números naturais tem infinitos elementos
e é formado pelos números que dão a noção primitiva de
contagem:
Conjuntos numéricos
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}
Conjunto dos números naturais
Acrescentando os números negativos aos naturais, formamos
o conjunto dos números inteiros, que é representado por:
Conjunto dos números inteiros
ℤ = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais é formado por todos os
números que podem ser escritos na forma de uma razão ,
com a ∈ ℤ e b ∈ ℤ*.
Conjuntos numéricos
Há números que não podem ser escritos na forma de fração,
e sua representação é decimal infinita, e não periódica. Esses
números são denominados números irracionais.
Por exemplo: , , , , etc.
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números reais
A reunião do conjunto dos números racionais com o dos
números irracionais resulta no conjunto dos números reais,
representados por ℝ.
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
Operações entre Conjuntos
União de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a união de A e B é o conjunto
formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B.
A ∪ B = {x⎪x ϵ A ou x ϵ B}
União de conjuntos
A = {0, 2, 4, 6}
B = {2, 3, 5, 7}
14243
A ∪ B = {0, 2, 3, 4, 5, 6,
7}
A região hachurada representa A ∪ B.
Intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a intersecção de A e B é o
conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A
e a B.
A ∩ B = {x⎪x ϵ A e x ϵ B}
Interseção de conjuntos
A = {0, 2, 4, 6}
B = {2, 3, 5, 7}
14243
Exercício
Resolução
Exercício
Determinar:
a) (A ∪ B) ∩ C
b) (A ∩ B) ∪ C
2. Considere os conjuntos representados abaixo.
a) Inicialmente, vamos determinar os
elementos pertencentes a cada
conjunto. Assim: A = {1, 2, 3, 4},
B = {1, 2, 6, 7} e C = {1, 3, 5, 7}
Agora, determinamos (A ∪ B):
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 7}
Depois, determinamos a intersecção
desse conjunto com C e obtemos:
(A ∪ B) ∩ C = {1, 3, 7}
Resolução
Exercício
Determinar:
a) (A ∪ B) ∩ C
b) (A ∩ B) ∪ C
2. Considere os conjuntos representados abaixo.
a) Representando em um diagrama
de Venn:
A parte laranja representa (A ∪ B) ∩ C.
Resolução
Exercício
Determinar:
a) (A ∪ B) ∩ C
b) (A ∩ B) ∪ C
2. Considere os conjuntos representados abaixo.
Resolução b) Primeiro, determinamos (A ∩ B):
A ∩ B = {1, 2}
Depois, determinamos a união desse
conjunto com C:
(A ∩ B) ∪ C = {1, 2, 3, 5, 7}
Exercício
Determinar:
a) (A ∪ B) ∩ C
b) (A ∩ B) ∪ C
2. Considere os conjuntos representados abaixo.
Resolução b) Representando em um diagrama
de Venn:
A parte azul representa (A ∩ B) ∪ C.
Operações com conjuntosDiferença de conjuntos
Dados dois conjuntos, A e B, a diferença entre A e B é o
conjunto formado pelos elementos que pertencem a A, mas
não pertencem a B.
A – B = {x⎪x ∈ A e x ∉ B}
Operações com conjuntosDiferença de conjuntos
A = {0, 2, 4, 6}
B = {2, 3, 5, 7}
14243
A – B = {0, 4, 6}
Exercício
3. Determinar A – B sabendo que:
A = {x⎪x é um número natural menor que 10} e
B = {x⎪x é um número natural e está entre 3 e 7}.
Resolução Enumerando os elementos de A e B, temos:
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {4, 5, 6}
Como a diferença de A e B é o conjunto formado pelos
elementos que pertencem a A mas não pertencem a B, temos:
A – B = {0, 1, 2, 3, 7, 8, 9}
Exercício
4. Descrever a parte azul do
diagrama por meio de
operações de conjuntos.
Resolução Observando a figura, vemos que nenhuma parte do conjunto B
está colorida, assim como nenhuma parte do conjunto C.
Devemos observar ainda que somente uma parte do conjunto A
está colorida de azul. Como essa parte representa os elementos de
A que não pertencem a B nem a C, podemos escrever a seguinte
operação para representar a parte azul
da figura: A – B – C ou A – C – B, ou ainda A – (B U C).
Aplicação das operações com conjuntos
A ∪ B
Aplicação das operações com conjuntosO número de elementos de A ∪ B é:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
A ∩ B
O número de elementos de A ∩ B é:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n(A ∪ B)