CONJUNTOS e
CONJUNTOS NUMÉRICOS
MATEMÁTICA
Prof. Mário Hanada
FEVEREIRO - 2010
http://professormariohanada.blogspot.com
PARTE - 04/04
Prof. Mário Hanada
Ideia de intervalos entre dois números reais
Como podemos representar geometricamente todos os números reais entre 0 e 2 ?
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS
0 2
Localizemos os seguintes números reais na reta real: 12
1
1
2
3
4
3
4
515,0 15,1 99,1 04,0 6543545,0 78,0
85,0 748102,1 2 E se continuarmos enumerando todos os números reais entre 0 e 2…..?
Os números reais 0 e 2 estão excluídos da questão. Logo a representação é uma “bolinha” vazia para cada um deles.
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS
Na questão anterior, como podemos representar não geometricamente, mas por uma propriedade
característica, todos os números reais entre 0 e 2 ?
0 2
Representação:
( )2,0 ou { }20/ <<∈ xIRx ou ] [2,0
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
Então podemos representar rapidamente um intervalo real
Representar geometricamente e também por uma propriedade todos os números reais entre -3 e 1/2, incluindo o 1/2.
Exemplo:
3− 2/1
Representação por uma propriedade característica:
ou ou
−
2
1,3
≤<−∈
2
13/ xIRx
−
2
1;3
Então vamos agora estudar : INTERVALOS REAIS
geometricamente:
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
a) Intervalo ABERTO de extremos a e b
a b
Considere dois números reais a e b, com ba <
Representação: ( )ba, ou { }bxaIRx <<∈ / ou ] [ba,
Exemplo:
2 5
Representação:
( )5,2 ou { }52/ <<∈ xIRx ou ] [5,2
Intervalo ABERTO de extremos 2 e 5.
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
b) Intervalo FECHADO de extremos a e b.
a b
Considere dois números reais a e b, com ba <
Representação: ou
Exemplo: 24
2 5
Representação: ou
Intervalo FECHADO de extremos 2 e 5.
{ }bxaIRx ≤≤∈ / [ ]ba,
{ }52/ ≤≤∈ xIRx [ ]5,2Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
c) Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos a e b.
a b
Considere dois números reais a e b, com ba <
Representação: ou
Exemplo:
2− 3
Representação: ou
Intervalo fechado à esquerda (ou aberto à direita) de extremos -2 e 3.
{ }bxaIRx <≤∈ /
{ }32/ <≤−∈ xIRx
[ [ba,
[ [3,2−Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
d) Intervalo fechado à direita ou (aberto à esquerda) de extremos a e b.
a b
Considere dois números reais a e b, com ba <
Representação:
=
Exemplo:
Representação: =
Intervalo fechado à direita (ou aberto à esquerda) de extremos e
( ]ba, { }bxaIRx ≤<∈ / ] ]ba,=
2− .2
2− 2
{ }22/ ≤<−∈ xIRx ] ]2;2−Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
e) Intervalo fechado de extremo inferior a
a
Considere um número real a
Representação: =
Exemplo: k é um número real maior ou igual a
=
7
7
INTERVALO INFINITO
ou, mais infinito e fechado em a :
[ )+∞,a { }axIRx ≥∈ / [ [+∞,a
Representação: ==[ )+∞,7 { }7/ ≥∈ kIRk [ [+∞,7
ou Semi-reta direita, fechada, de origem a
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
f) Intervalo aberto de extremo inferior a
a
Considere um número real a
Representação:
=
Exemplo: Intervalo incomensurável aberto a esquerda em
=
7
7
INTERVALO INFINITO
ou, mais infinito e aberto em a :
{ }axIRx >∈ /
Representação: == { }7/ >∈ xIRx
( )+∞,a ] [+∞,a
( )+∞,7 ] [+∞,7
ou Semi-reta direita, aberta, de origem a
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
g) Intervalo fechado de extremo superior a
a
Considere um número real m
Representação:
=
Exemplo: Intervalo fechado de extremo superior
=
5−
5−
INTERVALO INFINITO
ou, menos infinito e fechado em a :
Representação: ==
( ]a,∞− { }amIRm ≤∈ / ] ]a,∞−
( ]5,−∞− { }5/ −≤∈ xIRx ] ]5,−∞−
ou Semi-reta esquerda, fechada, de origem a
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IRINTERVALOS REAIS
h) Intervalo aberto de extremo superior a
a
Considere um número real a
Representação: =
Exemplo: um número real negativo
=
x
0
INTERVALO INFINITO
ou, menos infinito e aberto em a :
Representação:
==
{ }axIRx <∈ /
{ }0/ <∈ xIRx
( )a,∞− ] [a,∞−
( )0,∞− ] [0,∞−
ou Semi-reta esquerda, aberta, de origem a
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Vamos estudar agora as OPERAÇÕES COM CONJUNTOS que serão muito utilizados ao longos desses próximos 3 anos no ENSINO MÉDIO.
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS
Determine:
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=B
a) BA∩
BA∪
BA−
AB −
CA
Bb)
c)
d)
e)
Exemplo:
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS
Resolução :
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Ba) BA∩
1− 1
0 5B
A
ATENÇÃO!!! Coloque os números -1, 1, 0 e 5 em ordem nas retas
1− 0 1 5
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CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS
Resolução :
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Ba) BA∩
1
0 5B
A1−
BA∩
Resposta do item a): ou{ }10/ <≤∈ xIRx
[ [1,0=∩ BA
=∩ BA ou =∩ BA [ )1,0Prof. Mário Hanada
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Resolução :
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Bb)
1
0 5B
A1−
Resposta do item b): ou
ou
BA∪
BA∪
( ]5,1−
{ }51/ ≤<−∈ xIRx
] ]5,1−=∪BA
=∪ BA
=∪BAProf. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS
Resolução :
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Bc)
1
0 5B
A1−
Resposta do item c): ou
ou
BA−
BA−
{ }01/ <<−∈ xIRx
=− BA
=− BA
=− BA
1− 0 1 5
( )0,1−] [0,1−Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS
Resolução :
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=Bd)
1
0 5B
A1−
Resposta do item d): ou
AB −
AB −
=− AB
=− AB1− 0 1 5
{ }51/ ≤≤∈ xIRx
[ ]5,1Prof. Mário Hanada
CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS ][IROperações com INTERVALOS
Resolução :
Dados:
e{ }11/ <<−∈= xIRxA [ ]5,0=B
e) CA
B
Resposta do item d):
Não se define, pois CA
BBA⊄
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