Placas
Placas e Cascas (10377/10397)
2018
Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais
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1. Teoria de flexão de placas
• Uma placa é um corpo tridimensional com:
– uma das suas dimensões muito menor do que as outras duas
– a curvatura da sua superfície média na configuração de referência é nula
• Exemplos de placas:
– Tampos de mesas
– Tampas de esgoto
– Painéis laterais e telhados de edifícios
– Discos de turbinas
– Fundos de tanques
– Chão de cabinas de aeronaves
superfície média
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1. Teoria de flexão de placas 1.1. Introdução
• As placas podem classificar-se em 3 grupos:
– Placas finas com deflexões pequenas
– Placas finas com deflexões grandes
– Placas espessas
• Consideram-se placas finas quando a razão da espessura pelo
lado menor é inferior a 1/20
• Interesse em conhecer a relação entre forças e momentos
externos e deformações, tensões e deslocamentos:
– Forças de superfície:
• Forças concentradas quando atuam num ponto
• Forças distribuídas arbitrariamente por uma área finita
– Forças do corpo:
• Forças que atuam nos elementos volumétricos da placa
• Resultam de campos gravíticos ou magnéticos e, no caso de haver movimento,
da inércia da placa
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1. Teoria de flexão de placas 1.1. Introdução
• O primeiro estudo significativo das placas deu-se no anos de
1800
• Desde então, foram resolvidos muitos problemas de flexão de
placas:
– A teoria fundamental:
• Kirchhoff
• Reissner-Mindlin
• Navier
• Lévy
– Resoluções numéricas:
• Galerkin
• Wahl
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1. Teoria de flexão de placas 1.2. Comportamento geral de placas
Considere uma placa não carregada onde o plano xy coincide
com o plano médio sendo, assim, a deflexão em z igual a zero.
As componentes do deslocamento num ponto nas direções x, y e
z são u, v e w, respetivamente.
Quando, devido a carregamentos laterais/transversais, existe
deformação, a superfície média num ponto qualquer (xa,ya) tem
deflexão w.
Os pressupostos fundamentais da teoria de flexão com deflexões
pequenas (teoria clássica de placas isotrópicas, homogéneas e
finas) baseia-se na geometria das deformações.
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1. Teoria de flexão de placas 1.2. Comportamento geral de placas
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1. Teoria de flexão de placas 1.2. Comportamento geral de placas
Hipóteses de Kirchhoff (pressupostos fundamentais):
1. A deflexão da superfície média é pequena comparada com a
espessura da placa. O declive da superfície defletida é, portanto,
muito pequeno e o quadrado do declive é desprezável comparado
com a unidade;
2. O plano médio permanece sem extensão após a flexão;
3. Secções planas inicialmente normais à superfície média
permanecem planas e normais à superfície após a flexão. Isto
indica que as extensões de corte verticais, gxz e gyz, são
desprezáveis. A deflexão da placa está, assim, principalmente
associada às extensões de flexão. Conclui-se que a extensão normal
ez resultante do carregamento transversal pode ser omitido;
4. A tensão normal ao plano médio, sz, é pequena comparada com as
outras componentes e pode ser desprezada. Esta suposição torna-se
irrealista na proximidade de cargas concentradas elevadas.
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1. Teoria de flexão de placas 1.3. Relações extensão-curvatura
Por forma a perceber o problema de flexão da placa considere-
se a geometria de deformação.
Como consequência do pressuposto (3), as relações de extensão-
deslocamento são
onde gyx=gxy, gzx=gxz e gzy=gyz.
Integrando a equação de ez, tem-se
indicando que a deflexão lateral não varia na espessura da
placa.
0;;
z
w
y
v
x
uzyx eee
0;0;
z
v
y
w
z
u
x
w
x
v
y
uyzxzxy ggg
yxww ,
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1. Teoria de flexão de placas 1.3. Relações extensão-curvatura
Da mesma forma, integrando as expressões de gxz e gyz tem-se
Torna-se claro que u0(x,y) e v0(x,y) representam,
respetivamente, os valores de u e de v na superfície média.
Com base no pressuposto (2) conclui-se que u0=v0=0. Assim,
Estas equações estão de acordo com o pressuposto (3).
Substituindo estas equações nas equações das extensões obtém-
se
yxvy
wzvyxu
x
wzu ,;, 00
y
wzv
x
wzu
;
yx
wz
y
wz
x
wz xyyx
2
2
2
2
2
2;; gee
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1. Teoria de flexão de placas 1.3. Relações extensão-curvatura
A curvatura de uma curva plana é definida como a taxa de
variação do ângulo do declive da curva em relação à distância ao
longo da curva.
Devido ao pressuposto (1), o quadrado dum declive pode ser
considerado desprezável e as derivadas parciais das equações
anteriores representam as curvaturas da placa.
Assim, as curvaturas k na superfície média em planos paralelos
ao plano xz, yz e xy são, respectivamente,
onde kxy=kyx.
A última expressão também é conhecida como a torção do plano
médio em relação aos eixos x e y.
xy
xy
y
y
x
x y
w
xry
w
yrx
w
xrkkk
1;
1;
1
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1. Teoria de flexão de placas 1.3. Relações extensão-curvatura
Assim, as relações extensão-curvatura da placa podem
representar-se na seguinte forma
xyxyyyxx zzz kgkeke 2;;
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
No caso de um estado de tensão tridimensional, as tensões e as
extensões estão relacionadas pela lei de Hook generalizada,
válida para um material isotrópico homogéneo:
onde tyx=txy, tzx=txz e tzy=tyz.
E é o módulo elástico longitudinal, n é o coeficiente de Poisson e
G é o módulo elástico transversal dado por
yxzzzxyyzyxxEEE
ssnsessnsessnse 1
;1
;1
GGG
yz
yzxz
xz
xy
xy
tg
tg
tg ;;
n
12
EG
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
Substituindo ez=gyz=gxz=0, obtêm-se as relações tensão-extensão
da placa fina:
Introduzindo as curvaturas da placa, estas expressões ficam com
a forma seguinte
xyxyxyyyxx GEE
gtneen
sneen
s
;1
;1 22
2
2
2
2
22 11 y
w
x
wEzEzyxx n
nnkk
ns
2
2
2
2
22 11 x
w
y
wEzEzxyy n
nnkk
ns
yx
wEzEzxyxy
2
11 nk
nt
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
Pode ver-se que a tensão desaparece na superfície média e varia
linearmente ao longo da espessura da placa.
As tensões distribuídas pela espessura da placa produzem
momentos fletores, momentos torsores e forças de corte
verticais.
Estes momentos e forças por unidade de comprimento são
conhecidas por resultantes de tensões.
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
Da figura anterior, para a tensão sx, tem-se
Da mesma forma, para as outras tensões obtêm-se as seguintes
resultantes de tensão:
onde Mxy=Myx.
dyMdzzdydydzz x
t
tx
t
tx
2
2
2
2ss
2
2
t
t
xy
y
x
xy
y
x
zdz
M
M
M
t
s
s
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
Para as forças de corte por unidade de comprimento, tem-se
É importante notar que apesar da teoria de placas finas omitir o
efeito das deformações gxz=txz/G e gyz=tyz/G na flexão, as forças
verticais Qx e Qy não são desprezáveis.
Substituindo as equações das tensões em função dos
deslocamentos nas equações dos momentos podemos derivar as
fórmulas dos momentos fletores e torsores em função das
curvaturas e deflexões:
2
2
t
tyz
xz
y
xdz
Q
Q
t
t
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
onde D é a rigidez de flexão dada por
As forças de corte verticais Qx e Qy serão obtidas mais tarde.
2
3
112 n
EtD
2
2
2
2
y
w
x
wDDM yxx nnkk
2
2
2
2
x
w
y
wDDM xyy nnkk
yx
wDDM xyxy
2
11 nkn
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
Substituindo as equações dos momentos nas equações das
tensões pode obter-se as tensões em função dos momentos
A tensão máxima ocorre nas superfícies superior e inferior (em
z=±t/2) da placa.
Desta análise pode observar-se que existe uma correspondência
direta entre os momentos e as tensões.
Daqui se conclui que as equações de transformação das tensões
e dos momentos são análogas.
A análise do círculo de Mohr e todas as conclusões sobre as
tensões também se aplicam aos momentos.
333
12;
12;
12
t
zM
t
zM
t
zM xy
xy
y
yx
x tss
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
A determinação das tensões sz, txz e tyz através da lei de Hook
não é possível porque não se relacionam com as extensões.
As equações diferenciais de equilíbrio de um elemento de placa
sujeito a um estado de tensão genérico podem ser usadas para
obter as tensões de corte.
As equações de equilíbrio são
0
0
0
yxz
zxy
zyx
yzxzz
yzxyy
xzxyx
tts
tts
tts
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
Das duas primeiras equações as tensões de corte txz e tyz são,
depois de integrar,
Pode observar-se que as distribuições de txz e tyz na espessura da
placa variam de acordo com uma lei parabólica.
A componente sz pode calcular-se usando a terceira equação de
equilíbrio, substituindo para txz e tyz e integrando.
2
2
2
22
2
2
2
412 y
w
x
w
xz
tEdz
yx
t
z
xyxxz
n
tst
2
2
2
22
2
2
2
412 y
w
x
w
yz
tEdz
xy
t
z
xyxyz
n
tst
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1. Teoria de flexão de placas 1.4. Tensões e resultantes de tensões
A tensão normal sz varia na forma de uma equação cúbica ao
longo da espessura da placa.
Esta tensão é desprezável de acordo com o pressuposto (4).
As tensões de corte na direção z também são consideradas muito
pequenas quando comparadas com as outras tensões.
2
2
2
2
2
2
2
2323
2 341212 y
w
x
w
yx
zzttEz
ns
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
As componentes da tensão (e consequentemente as resultantes
de tensão) variam, geralmente, de ponto para ponto numa placa
carregada.
Estas variações são governadas pelas condições de equilíbrio da
estática.
O cumprimento destas condições estabelece certas relações
conhecidas por equações de equilíbrio.
Considere um elemento dxdy da placa sujeito a um
carregamento por unidade de área uniformemente distribuído,
p.
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
Assume-se que a inclusão do peso da placa, sendo um valor
pequeno, no carregamento p não afeta a precisão do resultado.
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
Uma vez que o elemento da placa é muito pequeno, por
simplicidade, assume-se que as componentes de força e de
momento estão distribuídas uniformemente em cada uma das
faces.
Na figura elas estão representadas por um vetor único aplicado
no centro de cada face, representando os valores médios.
Com uma mudança de posição, por exemplo da face esquerda
para a face direita, a componente do momento Mx que atua na
face negativa de x varia em valor relativamente à face positiva
de x. Esta variação pode ser representada por uma série de
Taylor truncada na primeira derivada
dxx
MM x
x
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
Usa-se a derivada parcial pois Mx é função de x e y.
Truntando todas as componentes de forma similar, obtém-se o
estado das resultantes de tensão a partir da figura.
Como o somatório das forças na direcção z tem que ser zero
obtém-se
ou seja
0
pdxdydxdy
y
Qdxdy
x
Q yx
0
p
y
Q
x
Q yx
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
O equilíbrio dos momentos em torno de x é governado por
ou
Os produtos dos termos infinitesimais, como o momento de p,
foram omitidos.
Da mesma forma, do equilíbrio dos momentos em torno de y
tem-se
0
dxdyQdxdy
y
Mdxdy
x
My
yxy
0
y
yxyQ
y
M
x
M
0
x
xxyQ
x
M
y
M
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
Finalmente, resolvendo as equações do equilíbrio dos momentos
em ordem às forças por unidade de comprimento e substituíndo
os resultados na equação do equilíbrio da força anterior resulta
em
Esta é a equação diferencial de equilíbrio para a flexão de
placas finas.
py
M
yx
M
x
M yxyx
2
22
2
2
2
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
Agora podem escrever-se expressões para as forças de corte
verticais Qx e Qy em função da deflexão w, usando as equações
acima para Qx e Qy juntamente com o resultado dos momentos
da secção 1.4:
onde
é o operador de Laplace.
wx
Dy
w
x
w
xDQx
2
2
2
2
2
wy
Dx
w
y
w
yDQy
2
2
2
2
2
2
2
2
22
yx
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1. Teoria de flexão de placas 1.5. Variação da tensão dentro da placa
Uma vez que a equação diferencial de equilíbrio da flexão de
placas contém 3 incógnitas, Mx, My e Mxy, não é possível obter
uma solução diretamente.
Os problemas de placas são, internamente, estaticamente
indeterminados.
Para reduzir o problema a uma incógnita é necessário usar as
relações momento-deslocamento.
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
A equação diferencial básica para a deflexão de placas pode ser
facilmente derivada com base nos resultados obtidos
anteriormente.
Introduzindo na equação diferencial de equilíbrio as expressões
para Mx, My e Mxy tem-se
Agrupando os termos
px
w
y
w
yD
yx
w
yxD
y
w
x
w
xD
2
2
2
2
2
222
2
2
2
2
2
2
12 nnn
D
p
yx
w
yx
w
yx
w
y
w
yx
w
x
w
22
4
22
4
22
4
4
4
22
4
4
4
22 n
0
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
e, finalmente
Esta equação, que foi derivada pela primeira vez por Lagrange
em 1811, pode ser escrita numa forma compacta
onde
Esta equação é a equação diferencial para a deflexão de placas
finas.
D
p
y
w
yx
w
x
w
4
4
22
4
4
4
2
D
pw 4
22224
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
Para determinar w, é necessário integrar esta equação com as
constantes de integração dependentes das condições de
fronteira apropriadas (ver secção seguinte).
Esta equação também pode ser escrita em função das
curvaturas:
Quando não existe carregamento lateral na placa a equação
reduz para
ou
D
p
yyxx
yxyx
2
22
2
2
2kkk
024
4
22
4
4
4
y
w
yx
w
x
w
04 w
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
Substituindo as equações das forças de corte verticais e a
equação diferencial da deflexão nas equações das tensões tzx, tyx
e sz obtém-se para estas tensões
A tensão de corte máxima, à semelhança de uma viga com
secção retangular, ocorre em z=0.
2
3
22
2
21
2
3112
412 t
z
t
Q
Et
Qz
tE xxxz
n
nt
2
3
22
2
21
2
3112
412 t
z
t
Q
Et
Qz
tE yy
yz
n
nt
3
3
2323
2
2
3
12
3
2
4
3112
341212 t
z
t
zp
Et
pzzttEz
n
ns
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
Esta pode ser representada pelas equações
Assim, a chave para determinar as componentes da tensão,
usando as fórmulas derivadas, é a solução da equação diferencial
da deflexão para w.
Outra forma de obter a equação diferencial da deflexão, é
igualar a tensão normal à placa ao carregamento superfical por
unidade de superfície na superfície superior da placa.
Assim, com z=t/2 e sz=-p, e usando a equação de sz tem-se
t
Q
t
Q y
yzx
xz2
3;
2
3max,max, tt
pw
Et
4
2
3
112 n
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
É significativo notar que a soma das componentes do momento
fletor é invariante.
Isto é
Definindo M, a função momento ou a soma do momento, por
as expressões para as forças de corte podem ser reescritas na
seguinte forma
wDy
w
x
wDMM yx
2
2
2
2
2
11
nn
wDMM
Myx 2
1
n
y
MQ
x
MQ yx
;
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
Asim, pode escrever-se a equação da placa em duas equações.
A primeira, usando a equação do equilíbrio das forças verticais e
a função momento, é
A segunda, usando a definição de função momento, é
Assim, reduz-se a equação da placa a duas equações diferenciais
parciais de segunda ordem que é por vezes preferível,
dependendo do método de solução usado.
py
M
x
M
2
2
2
2
D
M
y
w
x
w
2
2
2
2
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1. Teoria de flexão de placas 1.6. A equação da placa
Sabendo o carregamento e as condições de fronteira, pode
obter-se M da primeira equação e depois a segunda equação
fornece w.
Pode ser demonstrado que as equações acima têm a mesma
forma que as equações que descrevem a deflexão de uma
membrana esticada uniformemente e carregada lateralmente.
Desta forma, existe uma analogia entre a flexão de uma placa e
problemas de membrana, o que permite derivar inúmeras
técnicas experimentais e técnicas numéricas aproximadas.
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
A equação diferencial de equilíbrio derivada anteriormente tem
que ser satisfeita dentro da placa.
A distribuição de tensão na placa também tem que ser tal que
acomode as condições de equilíbrio em relação às forças ou
deslocamentos impostos na fronteira.
A solução da equação da placa requer que duas condições de
fronteira sejam satisfeitas em cada extremidade.
Estas podem ser uma dada deflexão e declive, ou força e
momento, ou uma combinação.
A diferença básica entre as condições de fronteira aplicadas na
placa e as das vigas é a existência de momentos torsores ao
longo das extremidades da placa.
Estes momentos podem ser substituídos por forças equivalentes.
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Pedro V. Gamboa 39
1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Vamos considerar as condições
de fronteira de uma placa
retangular com extremidades a
e b paralelas aos eixos x e y,
respetivamente.
Considerando dois
comprimentos elementares
sucessivos dy na extremidade
x=a, pode ver-se que, no
elemento do lado direito atua
um momento de torção Mxydy,
enquanto que no do lado
esquerdo atua um momento
. dydyyMM xyxy
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Na figura, os momentos estão representados como binários de
forças estaticamente equivalentes.
Assim, numa região infinitesimal da extremidade dentro da linha
a traço interrompido, pode ver-se a força para cima Mxy e a
força para baixo .
A soma algébrica destas forças pode ser adicionada à força de
corte Qx para produzir uma força transversal efetiva, por
unidade de comprimento, para uma extremidade paralela ao
eixo y, Vx.
Assim
dyyMM xyxy
2
3
3
3
2yx
w
x
wD
y
MQV
xy
xx n
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
De forma similar, pode obter-se, para uma extremidade paralela
ao eixo x, que
As equações acima devem-se a Kirchhoff: uma distribuição de
Mxy ao longo de uma extremidade é estaticamente equivalente a
uma distribuição de forças de corte.
Para além destas forças nas extremidades, também podem
existir forças concentradas, Fc, produzidas nos cantos.
yx
w
y
wD
x
MQV
xy
yy 2
3
3
3
2 n
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Considerando, por exemplo, o caso de uma placa retangular com
carregamento uniforme e com apoios simples nas extremidades,
a ação dos momentos torsores no canto (a,b) é, sabendo que
Mxy=Myx,
O sinal negativo indica o sentido para cima.
Devido à simetria do carregamento uniforme, esta força tem que
ter a mesma magnitude e sentido em todos os cantos da placa.
Assim, se estes não forem fixos, os cantos da placa descrita
tendem a levantar.
yx
wDMF xyc
2
122 n
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
As forças adicionais dos cantos para placas com diferentes
condições nas extremidades podem ser obtidas de maneira
similar; por exemplo, quando duas extremidades adjacentes
estão fixas ou livres, tem-se Fc=0, pois ao longo destas
extremidades não existe momento torsor.
Agora, pode formular-se uma variedade de situações
normalmente encontradas.
As condições de fronteira ao longo da extremidade x=a de uma
placa retangular com extremidades paralelas aos eixos x e y são
descritas em seguida.
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Extremidade embutida ou encastrada:
Neste caso, tanto a deflexão como o declive desaparecem na
extremidade considerada, isto é
axx
ww
;0;0
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Extremidade com apoio simples:
Neste caso, tem-se deflexão e momento fletor igual a zero na
extremidade em questão. Assim
A primeira destas equações implica que ao
longo da extremidade x=a
Desta forma as condições de fronteira podem
ter a forma equivalente
0;02
2
y
w
y
w
axx
ww
;0;0
2
2
axy
w
x
wMw x
;0;0
2
2
2
2
n
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Extremidade livre:
Neste caso, tem-se momento fletor e força de corte vertical
igual a zero na extremidade em questão. Isto é
axyx
w
x
w
y
w
x
w
;02;0
2
3
3
3
2
2
2
2
nn
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Extremidade deslisante:
Neste caso, a extremidade é livre de se mover verticalmente,
mas a rotação não é permitida. O apoio não é capaz de resistir a
qualquer força de corte. Logo
Esta condição é equivalente a uma condição
de simetria.
axyx
w
x
w
x
w
;02;0
2
3
3
3
n
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Outros tipos de condições de fronteira podem ser analisados de
forma idêntica.
Pode observar-se que as condições de fronteira podem ser de
dois tipos básicos:
– Uma condição de fronteira geométrica ou cinemática descreve
constrangimentos das extremidades relacionados com deflexão
ou declive;
– Uma condição de fronteira estática iguala as forças internas (ou
momentos) nas extremidades da placa às forças de corte
externas (ou momentos) dadas.
Desta forma, numa extremidade encastrada as duas condições
são cinemáticas; numa extremidade livre as duas condições são
estáticas; nas extremidades de apoio simples e deslizante as
consições são mistas.
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1. Teoria de flexão de placas 1.7. Condições de fronteira
Em vez de especificar condições de fronteira homogéneas, é
possível especificar outros valores de corte, momento, rotação
ou deslocamento.
Nestes casos, condições de fronteira não homogénias são
representadas substituindo os zeros das condições acima por
valores especificados.
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1. Teoria de flexão de placas 1.8. Solução da deflexão de placas
Com a equação fundamental da placa obtêm-se deflexões de
placas mas com dificuldade considerável.
É comum obter uma solução usando o método inverso. Neste
método, parte-se de uma solução assumida para w que satisfaça
a equação fundamental e as condições de fronteira.
Podem ser analisados alguns casos com a utilização de
polinómios para w em x e y com coeficientes indeterminados.
Normalmente, não é trivial escolher séries com uma forma
aceitável.
O método deste tipo mais comum é o das séries de Fourier, em
que, tendo obtido uma solução para o carregamento sinusoidal,
qualquer outro carregamento pode ser analisado através de
séries infinitas.
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1. Teoria de flexão de placas 1.8. Solução da deflexão de placas
Este método apresenta uma vantagem importante que consiste
no facto de uma única expressão ser aplicada em toda a
superfície da placa.
Os métodos de energia devem ser usados na análise de casos
gerais.
Estes dois métodos têm duas funções:
– Podem fornecer soluções “exatas” quando as configurações do
carregamento e geoemtria são simples;
– Podem ser usadas como base para técnicas aproximadas através
da análise numérica aplicada a problemas mais reais.
Outro método usado para resolver a equação da placa é o
método das diferenças finitas. Neste caso as equações são
substituídas por expressões de diferenças finitas que relacionam
w (e M) em nós distanciados por um comprimento finito.
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1. Teoria de flexão de placas 1.8. Solução da deflexão de placas
As equações, neste caso, só podem ser resolvidas
numericamente.
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1. Teoria de flexão de placas 1.8. Solução da deflexão de placas
Exemplo 1.01: Determine a deflexão e a tensão numa placa
retangular muito comprida e estreita (a>>b) que tem apoios
simples nas extremidades y=0 e y=b nas seguintes condições:
a) A placa suporta um carregamento não uniforme dado por
onde a constante p0 representa a intensidade do carregamento
ao longo da linha y=b/2, paralela ao eixo x
b) A placa suporta um carregamento uniforme de p0.
b
ypyp
sin0
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1. Teoria de flexão de placas 1.8. Solução da deflexão de placas
Exemplo 1.02: Uma placa retangular de um poço de elevador
está sujeita a momentos fletores uniformemente distribuídos
Mx=Mb e My=Ma, aplicados ao longo das suas extremidades ,
conforme mostrado na figura.
Derive a equação que governa a deflexão da superfície nos
seguintes casos:
a) Ma≠Mb;
b) Ma=-Mb.
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1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Como alternativa aos métodos de equilíbrio, a análise da
deformação e da tensão num corpo elástico pode ser feita
através de métodos de energia.
Estas duas técnicas são, respetivamente, análises newtoniana e
lagrangiana da mecânica.
Esta última, é estimada devido ao facto de que a equação
fundamental de um corpo elástico pode ser derivada através da
minimização da energia associada à deformação e ao
carregamento.
Os métodos de energia são úteis em situações que envolvem
formas irregulares, carregamentos não uniformes, secções
transversais variáveis e materiais anisotrópicos.
Vamos começar por ver as técnicas de energia através do caso
de placas finas.
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Pedro V. Gamboa 56
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
A energia de extensão guardada dentro de um corpo elástico,
para um estado de tensão genérico, é dada por
A integração extende-se a todo o volume do corpo.
Com base nos pressupostos da secção 1.2, para placas finas sz,
gxz e gyz podem ser omitidos.
Assim, introduzindo a lei de Hook, a expressão acima reduz à
seguinte forma, que envolve apenas tensões e constantes
elásticas,
ou
V
yzyzxzxzxyxyzzyyxx dxdydzU gtgtgteseses2
1
V
xy
xyxyyyxx dxdydzGEE
Ut
tnsssnsss11
2
1
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Pedro V. Gamboa 57
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Para uma placa com espessura constante, esta equação pode ser
escrita em termos da deflexão w com a ajuda das equações que
relacionam a tensão com a deflexão. Assim, com dV=dxdydz,
Integrando em z desde –t/2 a t/2 obtém-se
onde A representa a área da superfície da placa.
V
xyxyxx dxdydzGE
U 222
2
12
2
1tssnss
V
dVzyx
w
y
w
y
w
x
w
x
wEU 2
222
2
2
2
2
2
22
2
2
2122
12
1nn
n
A
dxdyyx
w
y
w
x
w
y
w
x
wDU
22
2
2
2
22
2
22
2
2
1222
1nn
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Pedro V. Gamboa 58
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Alternativamente, a equação da energia pode ser escrita na
forma
O segundo termo desta equação é conhecido como a curvatura
gaussiana.
Pode observar-se que a energia de extensão é uma função não
linear (quadrática) da deformação ou tensão.
Desta forma, o princípio da sobreposição não é válido para a
energia de extensão.
Estas equações são úteis na formulação de várias técnicas de
energia e de vários métodos de elementos finitos.
A
dxdyyx
w
y
w
x
w
y
w
x
wDU
22
2
2
2
22
2
2
2
2
122
1n
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Pedro V. Gamboa 59
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Em seguida vamos ver alguns métodos comuns de energia de
extensão baseados na energia potencial e na variação da
deformação de um corpo elástico.
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Pedro V. Gamboa 60
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Princípio do trabalho virtual
Suponha-se que um corpo elástico sofre um deslocamento
incremental arbitrário, ou seja, um deslocamento virtual.
Este deslocamento não precisa de existir nem tão pouco de ser
infinitesimal.
Quando se considera o deslocamento infinitesimal, como é
prática comum, é razoável considerar que o sistema de forças
que atua no corpo é constante.
O trabalho virtual realizado pelas forças de superfície T por
unidade de área no corpo no processo de levar o corpo do seu
estado inicial para o estado de equilíbrio é
A
zyx dAwTvTuTW
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1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Aqui A é a área limite da superfície e u, v e w são os
deslocamentos virtuais nas direções x, y e z, respetivamente.
A notação indica uma variação de um parâmetro.
A energia de extensão U adquirida por um corpo de volume V
como resultado da extensão virtual
O trabalho total realizado durante o deslocamento virtual é
zero, ou
Assim, o princípio do trabalho virtual de um corpo elástico é
V
yzyzxzxzxyxyzzyyxx dVU gtgtgteseses2
1
0 WU
WU
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1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Princípio da energia potencial mínima
Desde que os deslocamentos virtuais não alterem a forma do
corpo e que as forças de superfície sejam consideradas
constantes a equação anterior pode ser escrita na seguinte
forma:
Nesta expressão
representa a energia potencial do corpo.
A primeira equação representa a condição de energia potencial
estacionária do sistema.
Para um equilíbrio estável a energia potencial tem que ser
mínima.
0 WU
WU
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Pedro V. Gamboa 63
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Para todos os deslocamentos que satisfaçam as condições de
fronteira e as condições de equilíbrio, a energia potencial
assume um valor mínimo.
Este princípio chame-se o princípio da energia potencial mínima.
A energia potencial guardada numa placa sujeita a um
carregamento transversal distribuído p(x,y) é
No caso da placa ter uma espessura constante, esta equação
pode ser escrita
Pode explicar-se fisicamente os termos de U na expressão acima.
V A
xyxyyyxx dxdypwdxdydzgteses2
1
AA
xyxyyyxx dxdypwdxdyMMM kkk2
1
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Pedro V. Gamboa 64
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Como 2w/x2=kx representa a curvatura da placa no plano xy, o
ângulo que corresponde ao momento Mxdy é igual a –
(2w/x2)dx.
A energia de extensão ou o trabalho realizado pelo momento Mx
é então -0.5Mxkxdxdy.
A energia de extensão resultante dos momentos Mydx e Mxydy
são interpretados da mesma forma.
O princípio da energia potencial é expressa na seguinte forma:
AA
xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM kkk2
1
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Pedro V. Gamboa 65
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Método de Ritz
O método de Ritz é um procedimento conveniente para
determinar soluções com o princípio da energia potencial
mínima.
Este método é descrito para o caso da flexão elástica de placas.
Primeiro escolhe-se uma solução para a deflexão w na forma de
uma série que contém os parâmetros indeterminados amn
(m,n=1,2,...).
A deflexão escolhida tem que satisfazer as condições de
fronteira geométricas.
As condições de fronteira estáticas não precisam de ser
respeitadas.
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Pedro V. Gamboa 66
1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Obviamente, uma escolha apropriada para a expressão da
deflexão é importante para que se obtenha uma solução precisa.
Por isso, é desejável assumir uma expressão para w que seja
quase idêntica à verdadeira superfície defletida da placa.
Depois, usando a solução selecionada, determina-se a energia
potencial em termos de amn.
Para que a energia potencial seja mínima no equilíbrio tem que
se ter
Desta forma tem-se um sistema de equações algébricas que são
resolvidas para os parâmetros amn.
0,,011
mnaa
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1. Teoria de flexão de placas 1.9. Métodos de energia de extensão
Depois, introduzindo os valores obtidos na expressão assumida
para a deflexão, obtém-se a solução para um dado problema.
Geralmente, amn inclui um número finito de parâmetros e, por
isso, os resultados finais são apenas aproximados.
Obviamente, se o w assumido for “exato”, a solução também
será “exata”.
As vantagens do método de Ritz prendem-se com o facto de ser
relativamente fácil tratar problemas com diferentes condições
de fronteira nas extremidades da placa.
Este método, é assim, um dos mais simples para resolver
deflexões de placas e cascas através de uma calculadora.
A aplicação das técnicas de energia de extensão em problemas
de flexão em placas serão apresentadas mais tarde.
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2. Placas retangulares 2.1. Introdução
• Neste capítulo vão considerar-se as tensões e deflexões em
placas retangulares finas
• Como visto no capítulo anterior, o elemento de placa
retangular é um modelo excelente para desenvolver relações
básicas em coordenadas cartesianas
• Por outro lado, vamos ver que placas sujeitas à flexão levam
frequentemente a soluções na forma de séries que não são
viáveis para cálculos manuais de valores numéricos
• Isto é, as deflexões e momentos são, muitas vezes, descritos
por séries infinitas complicadas
• Estes cálculos são, obviamente, realizados com facilidade por
um computador
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2. Placas retangulares 2.1. Introdução
• As placas retangulares são, geralmente, classificadas de
acordo com o tipo de apoios usados:
– Placas com apoios simples
– Placas encastradas ou embutidas
– Pacas com mistura de condições de apoio
– Placas em fundações elásticas
– Placas contínuas:
• Estas placas consistem, normalmente, em placas isoladas suportadas
por vigas ou colunas intermédias
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Considere uma placa retangular de lados a e b com apoios
simples em todas as extremidades e sujeita a um carregamento
p(x,y).
A origem das coordenadas é colocada no canto superior esquerdo
como mostra a figura.
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Em geral, a solução do problema de flexão faz uso das séries de
Fourier seguintes para a carga e deflexão:
onde pmn e amn representam os coeficientes a determinar.
Este método foi introduzido por Navier em 1820.
As deflexões têm que satisfazer a equação diferencial para a
deflexão de placas com as seguintes condições de fronteira
1 1
sinsin,m n
mnb
yn
a
xmpyxp
1 1
sinsin,m n
mnb
yn
a
xmayxw
byyy
wwaxx
x
ww
,000;,000
2
2
2
2
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Pode, facilmente, constatar-se que a equação da deflexão
cumpre estes constrangimentos e que os coeficientes amn têm
que satisfazer a equação diferencial da deflexão.
A solução correspondente ao carregamento p(x,y) requer, assim,
que se determine pmn e amn.
Para perceber melhor a equação de w considere que a superfície
defletida verdadeira da placa é uma sobreposição de curvas
sinusoidais de m e n configurações diferentes nas direções x e y,
respetivamente.
Os coeficientes amn da série são as coordenadas centrais
máximas das curvas seno e os m’s e os n’s indicam o número de
meias curvas seno nas direções x e y, respetivamente.
Por exemplo, o termo a12sin(x/a)sin(2y/b) está ilustrado na
figura anterior.
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Aumentando o número de termos na série aumenta-se a precisão
do resultado.
Para um caso de carregamento genérico procede-se da seguinte
forma.
Para determinar os coeficientes pmn, cada lado da equação do
carregamento é multiplicado por
e integrado entre os limites 0,a e 0,b:
dxdyb
yn
a
xm sinsin
1 10 0
0 0
sinsinsinsin
sinsin,
m n
b a
mn
b a
dxdyb
yn
a
xm
b
yn
a
xmp
dxdyb
yn
a
xmyxp
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Pode mostrar-se por integração direta que
Então, os coeficientes da expansão de Fourier dupla são
O cálculo de amn na equação de w requer que se substituam as
equações de p e de w na equação diferencial de deflexão da
placa.
nn
nn
bdy
b
yn
b
yn
mm
mm
adx
a
xm
a
xm
b
a
2
0sinsin
2
0sinsin
0
0
b a
mn dxdyb
yn
a
xmyxp
abp
0 0sinsin,
4
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Assim, obtém-se
Esta equação tem que ser válida para todos os x e y.
Então conclui-se que
ou
1 1
4224
0sinsin2m n
mnmn
b
yn
a
xm
D
p
b
n
b
n
a
m
a
ma
02
4224
4
D
p
b
n
b
n
a
m
a
ma mn
mn
0
222
4
D
p
b
n
a
ma mn
mn
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Daqui, resolvendo em ordem a amn, tem-se
Finalmente, substituindo este resultado na equação do w,
obtém-se a equação da superfície de deflexão da placa:
onde pmn já foi obtido anteriormente.
222
4
b
n
a
mD
pa mn
mn
1 1
2224sinsin
1
m n
mn
b
yn
a
xm
b
n
a
m
p
Dw
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2. Placas retangulares 2.2. Solução de Navier (placa retangular com apoios simples)
Pode observar-se que, sendo |sin(mx/a)|≤1 e |sin(ny/b)|≤1
para todos os x e y e m e n, a série é convergente.
Desta forma, esta equação é uma solução válida para a flexão de
placas retangulares com apoios simples sujeita a vários tipos de
carregamento
Na próxima secção serão apresentadas várias aplicações do
método de Navier para casos particulares.
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Quando uma placa retangular está sujeita a um carregamento
uniformemente distribuído, p(x,y)=p0, os resultados da secção
anterior são um pouco simplificados.
A equação do pmn depois da integração dá
ou
ou ainda
nmmn
ppmn cos1cos1
42
0
nm
mnmn
pp 1111
42
0
,3,1,16
2
0 nmmn
ppmn
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Como pmn=0 para valores pares de m e n, estes só tomam valores
ímpares.
Substituindo pmn na equação de amn, obtém-se
Em termos físicos, a placa carregada uniformemente tem que
defletir numa forma simétrica.
Esta configuração resulta quando m e n são ímpares.
,3,1,sinsin116
2226
0
nmb
yn
a
xm
b
n
a
mmn
D
pw
m n
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=b/2) e o
seu valor é
ou
As componentes do momento obtêm-se substituindo a equação
acima nas equações dos momentos.
m n
nm
b
n
a
mmn
D
pw
2sin
2sin
1162226
0
m n
nm
b
n
a
mmn
D
pw
222
2
1
2
1
6
0 1116
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Assim
m n
xb
yn
a
xm
b
n
a
mmn
b
n
a
m
pM
n
sinsin
16222
22
4
0
m n
yb
yn
a
xm
b
n
a
mmn
b
n
a
m
pM
n
sinsin
16222
22
4
0
m n
xyb
yn
a
xm
b
n
a
mabM
ncoscos
11162224
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Pode observar-se que os momentos fletores Mx e My são zero em
(x=0,x=a) e (y=0,y=b), respetivamente.
No entanto, o momento torsor Mxy não desaparece nas
extremidades nem nos cantos da placa.
A presença de Mxy causa uma alteração da distribuição das
reações nos suportes.
Lembremos, no entanto, que o princípio de St. Venant permite
considerar a distribuição de tensão inalterada em secções
distantes das extremidades e cantos.
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Exemplo 2.01: Um painel de parede quadrado, sujeito a um
diferencial de pressão p0, pode considerar-se que tem apoios
simples em todas as suas extremidades.
Determine:
a) A deflexão máxima;
b) O momento máximo;
c) A tensão máxima.
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Exemplo 2.02: Um painel do chão de
um armazém, com lados a e b, tem
apoios simples em todas as
extremidades.
Determine as reações nos apoios
assumindo que o material do armazém
está distribuído pelo chão todo por
forma a criar o seguinte carregamento
onde p0 representa a intensidade da
carga no centro da placa, como
mostra a figura.
b
y
a
xpyxp
sinsin, 0
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2. Placas retangulares 2.3. Solução de Navier (vários carregamentos)
Exemplo 2.03: Determine as equações da superfície elástica de
uma placa retangular com apoios simples em duas situações:
a) A placa está sujeita a uma carga P distribuída uniformemente
numa área 4cd;
b) A placa suporta uma carga pontual em x=x1,y=y1.
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Na secção anterior viu-se que o cálculo dos momentos fletores
com o método de Navier tem um convergência lenta com o
aumento do número de termos da série.
Um método importante que resolve este problema foi
desenvolvido por Lévy em 1900.
Outra vantagem da solução de Lévy é que em vez de usar uma
série dupla usa uma série única.
Em geral, é mais fácil realizar cálculos numéricos com séries
únicas do que com séries duplas.
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
O método de Lévy é aplicável à flexão de placas retangulares
com condições de fronteira particulares em duas axtremidades
opostas (por exemplo, x=0 e x=a) e condições de fronteira
arbitrárias nas restantes extremidades (y=±b/2).
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
A solução total consiste na solução homogénia wh da equação
e da solução particular wp da equação
com a seguinte forma
024
4
22
4
4
4
y
w
yx
w
x
w
D
p
y
w
yx
w
x
w
4
4
22
4
4
4
2
ph www
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Uma vez que
é independente do carregamento, pode derivar-se uma única
expressão para wh que seja válida para placas retangulares com
duas condições de fronteira particulares em dois lados opostos.
Obviamente, para cada carga específica p(x,y) tem que se obter
uma solução para wp.
A solução homogénea é escolhida com a forma geral seguinte
onde fm(y) tem que ser obtida de forma a satisfazer as condições
nos apoios em y=±b/2 e satisfazer a equação acima
04 hw
1 cos
sin
m
mh
a
xma
xm
yfw
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Vamos descrever o método assumindo
que os lados opostos da placa
retangular em x=0 e x=a têm apoios
simples como mostra a figura.
Neste caso a equação anterior fica
Esta equação cumpre as condições de
fronteira para apoios simples ao longo
das extremidades de x.
1
sinm
mha
xmyfw
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Para completar a solução, temos que aplicar as condições de
fronteira nos dois lados arbitrários com y=±b/2.
Substituíndo a equação de wh em 4w=0, tem-se
Para que esta equação seja válida em todos os x é preciso que
A solução geral desta equação é
0sin2,3,1
4
2
22
4
4
m
mmm
a
xmf
a
m
dy
fd
a
m
dy
fd
02
4
2
22
4
4
m
mm fa
m
dy
fd
a
m
dy
fd
a
ym
ma
ym
ma
ym
ma
ym
mm yeDyeCeBeAf
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Ou usando identidades hiperbólicas
A solução homogénea fica, assim,
Onde Am, Bm, Cm e Dm são constantes que serão determinadas
mais tarde para casos especificados.
a
ymyD
a
ymyC
a
ymB
a
ymAf mmmmm
coshsinhcoshsinh
1
sincoshsinhcoshsinhm
mmmmha
xm
a
ymyD
a
ymyC
a
ymB
a
ymAw
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Pode observar-se que as condições de fronteira para apoios
simples são respeitados nas extremidades x=0 e x=a se a solução
particular for expressa com a série de Fourier única
onde km(y) são funções de y apenas.
Vamos expandir p(x,y) também com um série de Fourier
onde
1
sinm
mpa
xmykw
1
sin,m
ma
xmypyxp
a
m dxa
xmyxp
ayp
0sin,
2
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Substituindo para wp e p(x,y) na equação 4w=p(x,y)/D e
notando a validade da expressão resultante para todos os valores
de x entre 0 e a, obtém-se
Depois de determinar uma solução particular, km, desta equação
diferencial ordinária, pode calcular-se wp.
O método é ilustrado com o seguinte exemplo típico.
D
pk
a
m
dy
kd
a
m
dy
kd mm
mm
4
2
22
4
4
2
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Placa retangular com apoios simples e carregamento uniforme
Neste caso p(x,y)=p0 pelo que a equação de pm(y) fica
Logo, a equação de km fica
A solução particular desta equação é
,3,14 0 mm
ppm
Dm
pk
a
m
dy
kd
a
m
dy
kdm
mm
0
4
2
22
4
4 42
Dm
apkm 55
4
04
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
A solução para wp fica, então,
Esta solução representa a deflexão de uma tira com
carregamento uniforme com apoios simples e paralela ao eixo x.
Também pode ser escrita na seguinte forma
A condição que diz que a deflexão da placa tem que ser
simétrica em relação ao eixo x (tem que ter os mesmos valores
para –y e +y) é satisfeita pela equação de wh se Am=Dm=0.
1
55
4
0 sin14
m
pa
xm
mD
apw
xaaxxD
pwp
3340 224
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Depois, adicionando a contribuição de wp tem-se
Esta equação satisfaz a equação fundamental da flexão de
placas e as condições de apoios simples em x=0 e x=a.
As condições de fronteira em falta são
,3,155
4
0 sin4
sinhcoshm
mma
xm
Dm
ap
a
ymyC
a
ymBw
200
2
2 by
y
ww
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Se aplicarmos estas condições à equação de w obtém-se duas
expressões, que serão satisfeitas para todos os x se
onde
04
sinh2
cosh55
4
0 Dm
apbCB mmmm
0sinhcosh2
mmmmm
mm CCb
B
a
bmm
2
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
A solução destas equações dá as seguintes constantes
A deflexão da superfície da placa pode, desta forma, ser escrita
m
mm
Dm
bapmapB
cosh
tanh455
3
0
4
0
m
mDm
apC
cosh
244
3
0
,3,15
5
4
0
sin2
sinhcosh2
12cosh
cosh2
2tanh1
1
4
m
m
m
m
m
mm
a
xm
b
y
a
ym
b
y
m
D
apw
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
A deflexão máxima ocorre no centro da placa (x=a/2,y=0),
tomando o valor de
Uma vez que
a deflexão máxima da placa fica com a forma seguinte
O primeiro termo representa a deflexão máxima wmax do meio de
uma tira com apoios simples e carregamento uniforme.
,3,15
2
1
5
4
0max
cosh2
2tanh1
14
m m
mm
m
mD
apw
32
519
5
,3,15
2
1
m
m
m
,3,15
2
1
5
4
0
4
0max
cosh2
2tanh14
384
5
m m
mm
m
mD
ap
D
apw
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
O segundo termo é uma série de convergência rápida.
Por exemplo, no caso de uma placa quadrada (a=b e m=m/2),
a deflexão máxima é
Pode ver-se que, mesmo mantendo apenas o primeiro termo da
série, a solução obtida é precisa até ao terceiro algarismo
significativo.
Introduzindo a notação na equação da deflexão máxima
D
ap
D
ap
D
apw
4
0
5
4
0
4
0max 00406.000025.068562.0
4
384
5
,3,15
2
1
51cosh2
2tanh14
384
5
m m
mm
m
m
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Pode escrevere-se
De uma forma idêntica à secção anterior podem derivar-se
expressões para os momentos, forças de corte e tensões da
placa.
Os momentos máximos na placa também podem escrever-se na
forma
0,
2
4
01max y
ax
D
apw
0,
2
2
03max,
2
02max, ya
xapMapM yx
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Valores numéricos para os coeficientes 1, 2 e 3 são mostrados
na tabela abaixo para várias razões de aspecto b/a. Pode ver-se
que, à medida que b/a aumenta, wmax e Mx,max aumentam
enquanto My,max diminui.
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Exemplo 2.04: Uma janela de um prédio alto, é aproximada por
uma placa retangular com 3 extremidades com apoios simples e
1 encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme
devido ao vento com intensidade p0.
Derive uma expressão para a deflexão da superfície.
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Exemplo 2.05: Um carregamento uniforme p0 atua numa varanda
retangular com apoios simples nos lados opostos x=0 e x=a, com
o lado y=b livre e a extremidade y=0 encastrada.
Descreva a derivação da expressão para a deflexão w.
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2. Placas retangulares 2.4. Solução de Lévy (placa retangular)
Exemplo 2.06: Derive uma expressão para a superfície defletida
de um painel de chão muito longo e estreito sujeito a um
carregamento uniforme p0.
Assumir que x=0, x=a e y=0 têm apoios simples.
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2. Placas retangulares 2.5. Solução de Lévy (carregamentos não uniformes)
Vamos aplicar o método de Lévy a casos de placas retangulares
com carregamentos não uniformes que são apenas função de x.
Assumindo que as extremidades x=0 e x=a têm apoios simples, o
carregamento é expresso com a série de Fourier
onde
Usando o procedimento da secção 2.4 obtém-se
,2,1
sinm
ma
xmpxp
a
m dxa
xmxp
ap
0sin
2
,2,1
44
4
sinm
mp
a
xm
m
p
D
aw
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2. Placas retangulares 2.5. Solução de Lévy (carregamentos não uniformes)
Esta expressão representa a deflexão de uma tira sujeita a um
carregamento p(x) e satisfaz a equação 4w=p(x)/D bem como
as condições de fronteira de apoios simples em x=0 e x=a.
Assumindo que as duas extremidades arbitrárias y=±b/2 também
têm apoios simples.
A expressão total da deflexão fica
onde as constantes Bm e Cm são determinadas com as condições
em y=±b/2: w=0 e ∂2w/∂y2=0.
Assim
,2,144
4
sinsinhcoshm
mmm
a
xm
Dm
ap
a
ymyC
a
ymBw
,2,144
4
sinsinhcosh2
1cosh
cosh2
2tanh1
m mm
mmm
a
xm
a
ym
a
ym
a
ym
m
p
D
aw
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2. Placas retangulares 2.5. Solução de Lévy (carregamentos não uniformes)
onde m=mb/2a, como
anteriormente.
Introduzindo uma dada
distribuição de p(x) pode obter-
se pm e depois calcular-se w.
Os momentos e tensões são
determinadas pela forma usual.
Valores de pm para alguns casos
de distribução de p(x) estão
mostrados na figura.
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2. Placas retangulares 2.5. Solução de Lévy (carregamentos não uniformes)
Por exemplo, considere-se a flexão de uma placa carregada
hidrostaticamente:
Esta equação juntamente com a anterior representa a deflexão.
Considerando uma placa quadrada (a=b), a deflexão no centro
da placa (x=a/2,y=0) é
Este resultado é metade da deflexão de uma placa retangular
com apoios simples sujeita a um carrgamento uniforme.
,2,112
sin2 10
0
0
mm
pdx
a
xm
a
xp
ap
ma
m
D
apw
4
000203.0
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Vamos considerar uma placa
retangular com apoios simples
em todas as extremidades
sujeita a momentos distribuídos
simétricos em y=±b/2.
Vamos descrever os momentos
pela série de Fourier
2sin
1
by
a
xmMxf
m
m
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Nesta expressão, Mm representa os coeficientes a determinar
As condições de fronteira são
a
m dxa
xmxf
aM
0sin
2
2
20
,000
2
2
2
2
byxf
y
wD
byw
axxx
ww
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Para se obter a solução deste problema é necessário assumir que
a superficie de deformação tem a forma já obtida anteriormente
Com p0=0 e m=1,2,3,..., tem-se
Esta equação cumpre a equação 4w=p/D e as primeiras
condições de fronteira, como já foi visto.
As segundas condições de fronteira são satisfeitas quando w=0.
,3,155
4
0 sin4
sinhcoshm
mma
xm
Dm
ap
a
ymyC
a
ymBw
1
sinsinhcoshm
mma
xm
a
ymyC
a
ymBw
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Colocando m=mb/2a, como anteriormente, tem-se
de onde se tira
Agora, a equação da deflexão fica
0sinh2
cosh mmmm
bCB
mmm
bCB tanh
2
1
sincoshtanh2
sinhm
mma
xm
a
ymb
a
ymyCw
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x),
na terceira condição de fronteira tem-se
Daqui obtém-se
A deflexão fica, então,
11
sinsincosh2m
m
m
mma
xmM
a
xmC
a
mD
m
mm
Dm
aMC
cosh2
1
sinhcoshtanh2cosh
sin
2 m
mm
m a
ymy
a
ymbM
m
axm
D
aw
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Os momentos e as tensões são obtidas a partir desta expressão.
No caso de termos momentos uniformemente distribuídos
f(x)=M0, obtém-se
Substituindo esta equação, juntamente com a definição de f(x),
na terceira condição de fronteira tem-se
Para o caso de uma placa quadrada (a=b), a deflexão e
momentos no centro da placa são
m
MMm
04
12
0 sinhcoshtanh2cosh
sin2
m
m
m a
ymy
a
ymb
m
axm
D
aMw
00
2
0 256.0394.00368.0 MMMMD
aMw yx
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
A deflexão ao longo do eixo de simetria é dada por
Quando a››b, pode colocar-se tanhm≈m e coshm≈1, e a
expressão acima reduz a
É curioso que este resultado seja igual ao da deflexão no centro
de uma tira de comprimento b sujeita a dois momentos iguais e
opostos nas extremidades.
No caso de uma placa com momentos anti-simétricos, (My)y=b/2=-
(My)y=-b/2, pode derivar-se a expressão da deflexão de forma
idêntica modificando a terceira condição de fronteira.
0sincosh
tanh1
122
0
ya
xm
mD
abMw
m m
m
D
bM
a
xm
mD
bMw
m
2
0
,3,1
2
0
2
1sin
1
2
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2. Placas retangulares 2.6. Momentos distribuídos nas arestas
Nesse caso tem-se
O caso genérico pode ser derivado como uma combinação de
situações simétricas e anti-simétricas.
As soluções com momentos distribuídos simétricos e anti-
simétricos são úteis para resolver problemas com variadas
condições de fronteira nas extremidades.
2/
2/
2
2
2/
2/
2
2
byy
by
byy
by
My
wDM
y
wD
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2. Placas retangulares 2.7. Método da sobreposição
A deflexão e a tensão numa placa retangular com qualquer
condição nas extremidades e carregamento arbitrário podem ser
determinadas pelo método da sobreposição.
De acordo com este método, um problema complexo pode ser
primeiro substituído por várias situações mais simples em que
cada uma pode ser resolvida pelo método de Navier ou pelo
método de Lévy.
As deflexões obtidas por cada caso simplificado são, depois,
adicionadas de forma a que a equação fundamental 4w=p/D e
as condições de fronteira sejam satisfeitas no problema
original.
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2. Placas retangulares 2.7. Método da sobreposição
Considere-se, por exemplo, a flexão de
uma placa sujeita a um carregamento
lateral com uma extremidade encastrada
e as outras com apoios simples.
A solução começa com o pressuposto de
que todas as extremidades têm apoios
simples.
Depois, um momento fletor ao longo da
aresta y=0 é aplicado com uma magnitude
adequada para eliminar as rotações
devido ao carregamento lateral.
O exemplo seguinte é usado para ilustrar
o método.
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2. Placas retangulares 2.7. Método da sobreposição
Exemplo 2.07: Uma placa retangular tem as arestas opostas x=0
e x=a com apoios simples e as outras duas y=±b/2 encastradas.
A placa está sujeita a uma carga uniformemente distribuída com
intensidade p0.
Derive uma expressão para a superfície defletida e para os
momentos.
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
A energia de extensão U associada à flexão de uma placa é dada
por
O trabalho realizado pela força transversal na superfície p(x,y)
pode ser representado por
onde A é a área da superfície da placa.
A
dxdyyx
w
y
w
x
w
y
w
x
wDU
22
2
2
2
22
2
2
2
2
122
1n
A
wpdxdyW
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
A energia potencial =U-W fica, então,
A aplicação deste método pode ser ilustrado através da flexão
de uma placa retangular com lados a e b encastrada em todas
as extremidades e sujeita a um carregamento uniforme p0.
A
dxdywpDyx
w
y
w
x
w
y
w
x
wD 212
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
n
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
As condições de fronteira são
Integrando por partes o último termo da equação da energia de
extensão obtém-se
byyy
ww
axxx
ww
,000
,000
AS
A
dxdyyx
w
x
wdx
x
w
yx
wdxdy
yx
w
yx
w2
3222
ASS
A
dxdyy
w
x
wdy
y
w
x
wdx
x
w
yx
wdxdy
yx
w
yx
w2
2
2
2
2
2222
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
De acordo com as condições de fronteira, os dois primeiros
integrais são idênticos.
Assim
Desta forma, a energia de extensão da flexão fica
Assumindo que a deflexão tem a seguinte forma
as condições de fronteira são cumpridas.
0
22
2
2
2
2
A
dxdyyx
w
y
w
x
w
A
dxdyy
w
x
wDU
2
2
2
2
2
2
b
yn
a
xmaw
m n
mn
2cos1
2cos1
1 1
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
Substituindo este resultado na equação da energia obtém-se
de onde
que é válida para r≠s.
b a
m n
mnb
yn
a
xm
a
ma
DU
0 01 1
2
22 2
cos12
cos42
dxdya
xm
b
yn
b
n2
2
2 2cos1
2cos
1 1
2
2244
4 2332m n
mnab
n
a
m
b
n
a
mabDU
1 1 1
4
1 1 1
4
22r s n
snrn
m r s
msmr aab
naa
a
m
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
O trabalho realizado por p0 é
ou
Das condições de minimização /amn=0, tem-se
que é válida para r≠n e r≠m.
dxdyb
yn
a
xmapW
b a
m n
mn
0 0
1 1
0
2cos1
2cos1
1 1
0
m n
mnaabpW
1
4
1
42244
4 222334r
rn
r
mrmn ab
na
a
ma
b
n
a
m
b
n
a
mabD
00 abp
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
Retirando todos os termos excepto o primeiro a11, esta equação
dá
No caso de uma placa quadrada (a=b), a11=p0a4/(324D).
A deflexão máxima ocorre no centro da placa e é obtida através
da substituição de a11 na equação da deflexão.
Este resultado é cerca de 1.5% maior do que o valor obtido
usando o método da Secção 2.7 para uma placa encastrada, que
é mais elaborado.
244
4
011
233
1
4
b
a
b
aD
apa
D
apw
4
0max 00128.0
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
É de notar que o resultado é muito preciso, tendo em conta que
só foi usado um termo da série.
De um modo geral, a utilização de tão poucos termos não
resulta numa precisão tão grande no método de Ritz.
Calculando a deflexão da placa considerando sete parâmetros
a11, a12, a21, a22, a13, a31 e a33 obtém-se o seguinte sistema de
equações:
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
A solução deste sistema de equações lineares para uma placa
quadrada (a=b) dá
Substituindo estes valores na equação da deflexão, a deflexão
máxima é obtida no centro da placa com o valor
Este valor é exatamente igual ao que seria obtido com o método
da Secção 2.7.
4
4
033
4
4
031134
4
022
4
4
021124
4
011
400020.0
400268.0
400189.0
401184.0
411774.0
D
apa
D
apaa
D
apa
D
apaa
D
apa
D
apw
4
0max 00126.0
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2. Placas retangulares 2.8. Método de Ritz
Exemplo 2.08: Uma porção retangular (a×b) do chão de uma
oficina tem as suas extremidades encastradas e suporta uma
carga P aplicada na posição x=x1, y=y1.
Determinar a deflexão máxima da placa.
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3. Métodos numéricos 3.1. Introdução
• Nos capítulos anteriores foram usados métodos de equilíbrio e
de energia para problemas de flexão de placas
• Nalguns casos, estas soluções analíticas não são possíveis e é
necessário recorrer a métodos numéricos aproximados
• Estes métodos numéricos permitem ao engenheiro resolver
problemas práticos, com formas e carregamentos reais
• Os métodos numéricos mais importantes são:
– O método das diferenças finitas
– O método dos elementos finitos
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
O método das diferenças finitas substitui a equação diferencial
da placa e as expressões que definem as condições de fronteira
com equações de diferenças equivalentes.
A solução de um problema de flexão reduz-se, assim, à solução
simultânea de um conjunto de equações algébricas escritas para
todos os nós definidos dentro da placa.
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
As expressões das diferenças finitas podem ser obtidas a partir
da definição da primeira derivada da função y=f(x) com respeito
a x:
O índice n representa um ponto arbitrário na curva.
Num intervalo Dx=h esta expressão representa uma aproximação
à derivada
Dyn é a primeira diferença avançada de y no ponto xn,
x
yy
dx
dy nn
xn D
D
1
0lim
h
yy
h
y
dx
dy nnn
n
D
1
n
nnndx
dyhyyy
D 1
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
A primeira diferença atrasada em n é
As diferenças centrais contêm nós colocados simetricamente em
relação a xn.
Assim, a primeira diferença central é
Um procedimento idêntico a este pode ser usado para se
obterem as derivadas de ordem superior.
Vamos, daqui para a frente, considerar apenas as diferencças
centrais.
n
nnndx
dyhyyy
1
n
nnndx
dyhyyy
11
2
1
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
A segunda derivada pode ser escrita usando a representação de
diferença da primeira derivada:
A segunda diferença central em xn, depois de substituir os
resultados das primeiras diferenças na expressão acima, é
A terceira diferença central é
nnn
n
yyydx
ydh 2
2
22 DD
n
nnnnnnnnnndx
ydhyyyyyyyyyy
DD 2
22
11111
2 2
1111
23 22 nnnnnnnn yyyyyyyy
21122112 222
1
2
1
2
1 nnnnnnnnnn yyyyyyyyyy
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
ou
e a quarta diferença central é
n
nnnnndx
ydhyyyyy
3
33
2112
3 222
1
1
22
1
2
11
2224 22 nnnnnnnn yyyyyyyy
211112 2222 nnnnnnnnn yyyyyyyyy
n
nnnnndx
ydhyyyyy
4
44
2112 464
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
Vamos ver o caso da função de deflexão w(x,y) de duas
variáveis.
Considerando uma placa retangular e colocando Dx=Dy=h,
divide-se a placa numa malha quadrada.
Aqui, os índices x e y indicam a direção em que as diferenças são
calculadas.
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
As primeiras e segundas derivadas parciais serão
Com base na definição de derivada parcial, as expressões acima
podem escrever-se para um ponto 0 da seguinte forma
why
ww
hx
wyx
11
y
w
hyx
ww
hy
ww
hx
wxyx
2
22
22
22
22
2 111
312
1,,
2
1ww
hyhxwyhxw
hx
w
422
1,,
2
1ww
hhyxwhyxw
hy
w
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
e
301222
2
21
,,2,1
wwwh
yhxwyxwyhxwhx
w
402222
2
21
,,2,1
wwwh
hyxwyxwhyxwhy
w
876524222
2
4
1
2
11wwww
hww
hw
hyx
wxxyx
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
As derivadas mistas são
40234023
2
32
3
21
211
wwwh
wwwh
whyx
wxxxxyx
783165322
2
1wwwwww
h
7842653
2
32
3
222
11wwwwww
hw
hyx
wxy
402
2
4
22
422
4
211
wwwh
whyx
wxyx
432108765424
1wwwwwwwww
h
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
Tendo à disposição as várias derivadas na forma de
aproximações de diferenças finitas, pode facilmente obter-se as
equações de diferenças finitas equivalentes às equações da
placa.
Para referência, alguns operadores de diferenças finitas estão
representados em esquema na figura seguinte.
O ponto central em cada esquema é o ponto de referência de
cada operador.
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
Podem derivar-se fórmulas similares quando os nós não estão es
paçados uniformemente.
No caso de uma malha retangular com Dx=h e Dy=k, pode
substituir-se o h por k nas derivadas de w em relação a y
anteriores.
Por exemplo,
42312
1
2
1ww
ky
www
hx
w
40222
2
30122
2
21
21
wwwky
wwww
hx
w
876542
2
4
1
2
111wwww
hkww
hkw
khyx
wxxyx
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
O operador 2w fica
A menos que seja especificado, daqui para a frente serão
considerados apenas nós equidistantes (Dx=Dy=h).
Os operadores de diferenças em coordenadas cartesianas x e y
estão bem adaptadas para resolver problemas com domínios
retangulares.
Quando a placa tem contornos irregulares são necessários
operadores especiais junto à fronteira.
Uma das malhas não cartesianas para estas condições é a malha
triangular.
40223012
2 21
21
wwwk
wwwh
w
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3. Métodos numéricos 3.2. Diferenças finitas
Se a placa tiver a forma de um paralelogramo, é conveniente e
mais preciso usar coordenadas paralelas às arestas da placa.
A malha polar é usada em situações em que existem formas axi-
simétricas.
Os operadores de diferenças finitas em qualquer sistema
coordenado são obtidos através da transformação das equações
que relacionam as coordenadas x e y nesse sistema.
Em todos os casos, o procedimento para determinar as deflexões
e os momentos é o mostrado a seguir.
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Podemos, agora, transformar a
equação diferencial da placa
fletida numa equação algébrica.
Vamos escrever esta equação
para um nó interior; o ponto 0
por exemplo.
Referindo ao operador 4, a
equação de diferenças finitas
correspondente à equação
fundamental da placa é
D
p
hwwwwwwwwwwwww 0
40432187651211109
12082
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Expressões idênticas são escritas para todos os nós dentro da
placa.
Ao mesmo tempo, as condições de fronteira têm que ser
convertidas para a forma de diferenças finitas.
O conjunto de equações de diferenças finitas é, depois, resolvido
para se obterem as deflexões.
Como método alternativo ao problema da flexão da placa, a
equação fundamental da placa pode ser substituída por duas
equações de segunda ordem, como já foi visto anteriormente.
A aplicação do operador 2 a estas equações no ponto 0 dá
0204321
14 p
hMMMMM
D
M
hwwwww 0
204321
14
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Outras equações idênticas são escritas para o resto dos nós dentro
da placa.
A solução do problema requer que se determine os valores de M e
w de forma a satisfazer as equações algébricas e as condições de
fronteira.
No caso de uma placa com apoios simples em todas as arestas, M e
w são zero nessas arestas e, por isso, pode resolver-se o primeiro
grupo de equações independentemente do segundo para
determinar todos os valores de M dentro da fronteira.
O segundo conjunto é resolvido depois.
Para placas com outras condições de fronteira (encastramento,
livre, combinações, etc.) é necessário resolver todas as equações
em simultâneo.
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Em placas com condições de fronteira mistas os valores de M
podem ser diferentes nas arestas.
A deflexão w, neste caso, obtém-se mais facilmente através do
primeiro método.
Tendo os valores de M e w disponíveis nos nós, podem derivar-se
as expressões dos momentos e forças de corte.
No ponto 0, estes são
420310222 wwwwww
h
DM x n
310420222 wwwwww
h
DM y n
876524
1wwww
h
DM xy
n
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
e
As tensões são facilmente obtidas como anteriormente.
O método das diferenças finitas é melhor compreendido através de
alguns exemplos numéricos.
312
1MM
hQx
422
1MM
hQy
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Exemplo 2.04: Uma janela de um prédio alto, é aproximada por
uma placa retangular com 3 extremidades com apoios simples e 1
encastrada. A placa está sujeita a um carregamento uniforme
devido ao vento com intensidade p0.
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Exemplo 2.05: Determine a deflexão e os momentos em vários
pontos de uma placa quadrada de lado a com todas as arestas
encastradas sujeita a um carregamento uniformemente distribuído
p0. Considere h=a/4 e utilize duas formas de solução:
a) Aplicação das duas equações de segunda ordem;
b) Aplicação da equação fundamental.
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Exemplo 2.06: Um chão, em que metade do mesmo suporta um
carregamento uniforme, é representado por uma placa contínua
com as arestas opostas (y=±a/2) encastradas e as outras
(x=0,x=2a) com apoios simples. O meio da placa (x=a) também
tem um apoio simples. Obter as deflexões nos pontos 1, 2 e 3.
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Exemplo 2.07: Considere o caso de uma placa retangular
carregada uniformemente com duas arestas contíguas com apoios
simples, a terceira livre e a quarta encastrada. Use o método das
diferenças finitas com h=a/4 para determinar w em vários pontos.
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Exemplo 2.07:
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3. Métodos numéricos 3.3. Solução das equações (diferenças finitas)
Exemplo 2.07:
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
O método dos elementos finitos tem-se desenvolvido em
simultâneo com os computadores digitais e o aumento do interesse
nos métodos numéricos.
Este método permite a estimativa das tensões e deflexões numa
placa com um grau de facilidade e de precisão nunca antes
possível.
No método dos elementos finitos, a placa é discretizada num
número finito de elementos (normalmente com forma triangular
ou retangular) ligados nos nós e em fronteiras inter-elemento
hipotéticas.
Assim, o equilíbrio e a compatibilidade têm que ser verificadas em
cada nó e ao longo das fronteiras entre elementos.
Existem vários métodos de elementos finitos.
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
Vamos, apenas, ver o método comum de deslocamentos finitos
onde o conjunto das equações algébricas fundamentais é expresso
em termos dos deslocamentos nodais indeterminados.
Vamos, primeiro, definir uma série de parâmetros relevantes para
um elemento finito de uma placa isotrópica.
As derivações baseiam-se no pressuposto da teoria de pequenas
deflexões.
Em geral, a placa pode ter qualquer forma e qualquer
carregamento.
Considere-se uma placa fina que é substituída por um conjunto de
elementos finitos triangulares.
As propriedades de um elemento discreto vão designar-se de e.
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
Matriz de deslocamentos
Os deslocamentos nodais {}e estão relacionados com os
deslocamentos dentro do elemento através da função de
deslocamento {w}e dada por
onde a matriz [P] é uma função da posição a determinar
posteriormente para um elemento específico.
Esta matriz é, muitas vezes, referida como a função de forma.
É conveniente que a função de forma seja escolhida de modo a
que o campo de deslocamentos reais seja representado com a
maior precisão possível.
ee Pw
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
Matrizes de extensão, de tensão e de elasticidade
Fazendo uso da definição de extensão, define-se a matriz de
extensão generalizada-deformação da seguinte forma
ou
onde a matriz [B] terá que ser calculada.
T
exy
y
x
yx
w
y
w
x
w
2
2
2
2
2
2
g
e
e
ee B e
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
A relação tensão-extensão generalizada, das relações de Hook, é
ou
Os momentos estão relacionados com as tensões da seguinte
forma,
exy
x
x
exy
y
xEz
g
e
e
n
n
n
nt
s
s
2100
01
01
1 2
ee Dz es *
2
2
t
t
xy
y
x
dzz
M
M
M
s
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
Substituíndo o resultado da tensão nesta expressão tem-se a
relação momento-extensão generalizada
ou
A matriz de elasticidade para uma placa isotrópica é, então,
As relações tensão-extensão e, consequentemente, a matriz de
elasticidade são diferentes para materiais ortotrópicos ou
anisotrópicos.
e
t
te dzDzM e
2
2
*2
ee DM e
2100
01
01
112*
12 2
33
n
n
n
n
EtD
tD
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3. Métodos numéricos 3.4. Propriedades do elemento finito
Devido a variadas causas (contração, variações de temperatura,
etc.) podem existir extensões iniciais dentro da placa.
No caso de uma placa com carregamento transversal e aquecida as
matrizes de tensão e momento ficam, respetivamente
e
onde {e0}e é a matriz de extensão térmica.
ee D 0
* ees
ee DM 0ee
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
Uma forma conveniente de derivar as expressões que governam o
elemento finito e as suas caraterísticas baseia-se no princípio da
energia potencial.
A variação da energia potencial D da placa completa é
onde n é o número de elementos de espessura uniforme que
constitúem a placa, A é a área da superfície de um elemento e p a
carga lateral por unidade de área.
Esta expressão pode reescrever-se na seguinte forma
011
DDDDD n
A
n
A
xyxyyyxx dxdywpdxdyMMM gee
01
DDn
A
e
T
e dxdywpMe
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
ou, recorrendo à equação de {M}e e de {e}e, na forma
ou ainda
Colocando a matriz de rigidez do elemento como
e a matriz das forças nodais do elemento devido à carga
transversal como
01
DDn
A
ee
TT
e dxdyPpBDB
01
Dn
A
T
e
TT
e dxdypPBDB
A
T
e dxdyBDBK
A
T
e pdxdyPQ
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
ou, se considerarmos extensões iniciais,
a equação fica
Uma vez que as mudanças em {}e são independentes e arbitrárias,
esta equação pode reduzir-se a
para o equilíbrio de forças nodais do elemento.
Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições
dos elementos e obtém-se
A
T
A
T
e pdxdyPdxdyDBQ 0e
01
Dn
A
eee
T
e dxdyQK
eee QK
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
Para a placa completa é necessário juntar todas as contribuições
dos elementos e obtém-se
Esta equação tem que ser válida para todos os {D}.
Daqui, as equações que governam a placa completa são
onde
0D QKT
QK
n
eKK1
n
eQQ1
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
Pode ver-se que a matriz de rigidez da placa [K] e o vetor das
forças nodais {Q} são obtidos pela sobreposição de todas a
matrizes de rigidez e vetores de forças nodais do elemento,
respetivamente.
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
O procedimento genérico para resolver o problema de flexão da
placa com o método dos elementos finitos é:
1. Determinar [K]e para cada elemento de acordo com as suas
propriedades. Gerar a matriz global [K].
2. Determinar {Q}e para cada elemento de acordo com a carga
aplicada. Gerar a matriz global {Q}.
3. Determinar os deslocamentos nodais satisfazendo as condições
de fronteira:
{}=[K]-1{Q}.
4. Determinar as extensões no elemento:
{e}e=[B]{}e.
5. Determinar os momentos e as tensões no elemento:
{M}e=[D]{e}e ; {s}e=z[D*]{e} e.
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3. Métodos numéricos 3.5. Método dos elementos finitos
O procedimento fica mais claro quando as características de um
dado elemento forem derivadas.
Os elementos mais comuns na flexão de placas, cada um
necessitando de tipos diferentes de função de deslocamento, são
apresentados em seguida.
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
O elemento triangular pode
facilmente acomodar fronteiras
irregulares.
Também pode ter dimensão variável
para permitir elementos pequenos em
regiões com concentração de tensão.
Por isso, ele é usado extensivamente
no método dos elementos finitos.
Considere-se um elemento da placa
triangular ijm coincidente com o
plano xy.
Os nós são numerados no sentido
anti-horário.
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Cada deslocamento nodal do elemento tem três componentes:
- uma deflexão na direção z (w);
- uma rotação em torno do eixo x (qx);
- uma rotação em torno do eixo y (qy).
As rotações estão relacionadas com as derivadas da deflexão da
seguinte forma
O sentido positivo das rotações é determinado pela regra da mão
direita.
x
w
y
wyx
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Função de deslocamento
A matriz de deslocamento nodal para um elemento é
A função de deslocamento, que define o deslocamento em
qualquer ponto dentro do elemento ijm, é escolhida como sendo
um polinómio do terceiro grau modificado com a seguinte forma
o que permite um tratamento teórico relativamente simples.
Tymxmmyjxjjyixii
m
j
i
e www qqqqqq
3
9
22
8
3
7
2
65
2
4321 yaxyyxaxayaxyaxayaxaawe
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
O número de termos é igual ao número de deslocamentos nodais do
elemento.
Esta função mantém continuidade dos deslocamentos mas não das
derivadas.
No entanto, para casos práticos de engenharia a solução com base
nesta função é aceitável na maior parte dos casos.
Uma função de deslocamento de décima oitava ordem,
correspondente a um triângulo de 6 nós, permite melhores
resultados, mas a análise é mais extensa.
Quando os coeficientes a são conhecidos, a função dá o
deslocamento em todas as posições da placa.
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Os deslocamentos nodais podem escrever-se:
ou
Daqui, a solução para as constantes a é
aCe
eCa 1
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Pode ver-se que a matriz [C] depende do valor das coordenadas dos
pontos nodais.
A função de deslocamento pode, agora, escrever-se
onde
Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se
eee CLPaLw 1
322322 ,,,,,,,,1 yxyyxxyxyxyxL
9
2
1
040020000
620200000
026002000
a
a
a
yx
yx
yx
e e
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
ou
A matriz extensão-deslocamento generalizada fica
sendo que
aHe e
eee CHB e1
1 CHB
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Matriz de rigidez
Substituindo a matriz [B] na equação de [K]e obtém-se
onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.
Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o
integral para obter a matriz de rigidez do elemento.
11
CdxdyHDHCK
A
TT
e
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Forças nodais externas
As forças nodais resultantes do carregamento transversal na
superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e ou usando
intuição física.
A matriz das forças nodais do elemento é
onde Qz, Qqx e Qqy representam a força lateral na direção z, o
momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento
por unidade de comprimento em torno de y, respetivamente.
Tymxmzmyjxjzjyixizi
m
j
i
e QQQQQQQQQ
Q
Q
Q
Q qqqqqq
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
A determinação das forças nodais do elemento é demonstrada no
exemplo seguinte.
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Exemplo 2.08: O elemento 123 representa uma porção de uma
placa elástica fina sujeita a uma carga uniforme de intensidade p0.
Determine o vetor de forças nodais.
Assuma que o peso do elemento é desprezável.
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3. Métodos numéricos 3.6. Elemento finito triangular
Exemplo 2.08:
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Vamos ver agora o elemento retangular.
Para garantir, pelo menos, o cumprimento aproximado da
continuidade das derivadas, são usadas três componentes do
deslocamento nodal como anteriormente.
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Função de deslocamento
A matriz de deslocamento nodal para um elemento é
A função de deslocamento, que define o deslocamento em
qualquer ponto dentro do elemento ijmn, é escolhida como sendo
um polinómio do terceiro grau com a seguinte forma
Tynxnnymxmmyjxjjyixii
n
m
j
i
e wwww qqqqqqqq
3
12
3
11
3
10
2
9
2
8
3
7
2
65
2
4321
xyayxayaxya
yxaxayaxyaxayaxaawe
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Os deslocamentos nodais são dados por
onde [C], uma matriz de 12 x 12, depende das coordenadas nodais
e é obtida da mesma forma que para o elemento triangular.
Daqui, a solução para as constantes a é
A função de deslocamento pode, como anteriormente, escrever-se
onde, agora,
aCe
eCa 1
eee CLPw 1
33322322 ,,,,,,,,,,,1 xyyxyxyyxxyxyxyxL
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Substituindo a função de deslocamento nas extensões tem-se
ou
A matriz extensão generalizada-deslocamento fica
com
12
2
1
22 660440020000
606200200000
060026002000
a
a
a
yxyx
xyyx
xyyx
e e
aHe e
eee CHB e1
1 CHB
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Matriz de rigidez
Substituindo a matriz [B] na equação de [K]e obtém-se
onde as matrizes [H], [D] e [C] já são conhecidas.
Depois de multiplicar as matrizes dentro do integral, calcula-se o
integral para obter a matriz de rigidez do elemento.
No caso de os lados a’ e b’ do elemento serem paralelos aos eixos x
e y, respetivamente, o integral pode ser calculado diretamente,
pois os limites de integração são independentes.
Assim, tem-se
11
CdxdyHDHCK
A
TT
e
RkkkkRba
EtK e
43212
3
2
1
1''180
nn
n
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Os coeficientes [k1], [k2], [k3] e [k4] e a matriz [R] são:
Corrigir Matrizes
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Forças nodais externas
As forças nodais resultantes do carregamento transversal na
superfície podem ser obtidas da expressão para {Q}e.
A matriz das forças nodais do elemento é
onde Q = {Qz, Qqx, Qqy} representam a força lateral na direcção z, o
momento por unidade de comprimento em torno de x e o momento
por unidade de comprimento em torno de y, respetivamente.
Os deslocamentos, as extensões e as tensões são obtidas usando o
procedimento descrito em 3.4.
n
m
j
i
e
Q
Q
Q
Q
Q
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3. Métodos numéricos 3.7. Elemento finito retangular
Exemplo 2.09: Considere uma placa quadrada de lado a com duas
arestas opostas (y=0 e y=a) com apoios simples e as outras duas
arestas encastradas.
Determine o valor máximo de w sabendo que a placa está sujeita a
um carregamento uniforme de intensidade p0. Considere a=2m e
n=0,3.