Clase 4 - Lámina 1
Métodos Numéricos
para Ingenieros Químicos
Abbud Jesús Batch
CONTENIDO
Tema 1 Ecuaciones Trascendentes (2)
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
AGENDA
Clase 4 - Lámina 2
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Basados en fórmulas que requieren de un solo
valor de x para iniciar los cálculos.
Algunas veces divergen, o se alejan de la raíz a
medida que crece el número de iteraciones. Sin
embargo, en general, cuando los métodos abiertos
convergen lo hacen mucho más rápido que los
métodos cerrados.
Métodos:
Iterativo
Newton - Raphson
ECUACIONES TRASCENDENTES
Clase 4 - Lámina 3
Descompone la función original f(x) = 0 en la
suma (o resta) de dos funciones.
Si la raíz de f(x) es , entonces se cumple que:
ECUACIONES TRASCENDENTES
0
21
xgx
xfxfxf
g
Si se proporciona una aproximación inicial x0 de
la raíz , se puede definir una secuencia x1, x2,
x3,... por la relación recursiva:
ii xgx 1
El valor de la raíz puede determinarse gráfica y
numéricamente, tomando como base el hecho de
que la raíz es la intersección de las curvas x y g(x)
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 4
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO GRÁFICO
x1 x2
Raíz Exacta
f(x)
x x0
x
g(x) Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 5
ECUACIONES TRASCENDENTES
CONVERGENCIA
A partir de: ii xgx 1
y suponiendo que la solución verdadera es:
rr xgx
al restar estas dos expresiones se tiene:
irir xgxgxx 1
El teorema del valor medio de la derivada establece
que si una función g(x) y su primera derivada g’(x)
son continuas en un intervalo a < x < b, entonces
existe al menos un valor de x = dentro del
intervalo que:
ab
agbgg
'
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 6
ECUACIONES TRASCENDENTES
Pendiente de la recta
que une a g(a) y g(b).
El teorema del valor medio establece que existe al
menos un punto entre a y b que tiene una pendiente,
denotada por g’(x), que es paralela a la línea que une
g(a) con g(b).
Haciendo a = xi y b = xr, queda:
'gxxxgxg irir
donde se encuentra en alguna parte entre xi y xr.
ab
agbgg
'
Si:
'1 gxxxx irir queda:
irir xgxgxx 1
CONVERGENCIA
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 7
ECUACIONES TRASCENDENTES
ir
ir
xx
xxg
1'
i
i
E
Eg 1'
CONVERGENCIA
Si | g’(x) | < 1, entonces los errores disminuyen
con cada iteración (convergencia).
Si | g’(x) | > 1, entonces los errores aumentan con
cada iteración (divergencia).
Si g’(x) > 0, entonces las iteraciones serán
monótonas.
Si g’(x) < 0, entonces las iteraciones serán
oscilatorias.
Si | g’(x) | 1, entonces la convergencia es más
lenta.
Si | g’(x) | 0, entonces la convergencia es más
rápida.
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 8
ECUACIONES TRASCENDENTES
i
i
E
Eg 1'
CONVERGENCIA
ir
ir
xx
xxg
1'
Cuando el método converge, el
error es proporcional y menor que
el error en la iteración anterior.
Por tal razón se dice que la
iteración simple de punto fijo es
linealmente convergente.
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 9
ECUACIONES TRASCENDENTES
En un intervalo [a, b] se verifica el cambio de
signo de la función del tipo f(x) = 0, esto es:
Se descompone la función del tipo f(x) = 0 en:
Con un valor inicial x0 dentro del intervalo [a, b]
se evalúa el criterio de convergencia de la función
g(x) seleccionada, esto es:
ALGORITMO
0bfaf
xgxxf
De no cumplirse el criterio de convergencia, se
selecciona otro punto inicial x0 dentro del
intervalo [a, b].
1' xg
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 10
ECUACIONES TRASCENDENTES
Se determina un nuevo valor de x:
ALGORITMO
ii xgx 1
Se repiten las iteraciones con xi hasta que se
cumpla que:
y/o 1 ii xxxf
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 11
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
xexf x
xxf 1
xgexf x
2
Intervalo [0,1]
0bfaf
xexg '
Convergencia
x0 = 0,5
161,05,0' g
i xi g(xi)
0 0,500 0,607
1 0,607 0,5452 0,545 0,580
3 0,580 0,560
ix
i ex
1
4 0,560 0,571
5 0,571 0,565
6 0,565 0,568
7 0,568 0,566
8 0,566 0,568
9 0,568 0,567
10 0,567 0,567
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 12
ECUACIONES TRASCENDENTES
De los métodos para calcular raíces, el método de
Newton-Raphson es el más popular.
Geométricamente se basa en localizar la raíz a
partir de la tangente de la función f(x) en el
punto xi.
La pendiente de dicha tangente en xi es
equivalente a la primera derivada de f(xi), es
decir:
1
1'
ii
ii
ixx
xfxfxf
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
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Clase 4 - Lámina 13
ECUACIONES TRASCENDENTES
1
1'
ii
ii
ixx
xfxfxf
0,0
1,0
0 xi 1
x
f(x)
xi+1
xi+1-xi
f(xi)
f’(xi)
0
1
1' xf
xfxx i
ii
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Iterativo
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Clase 4 - Lámina 14
ECUACIONES TRASCENDENTES
Truncando la primera derivada se obtiene una
versión aproximada:
En la intersección con el eje x, f(xi+1) debe ser
igual a cero, entonces rearreglando queda:
Además de la derivación geométrica, también se
puede derivar a partir de la serie de Taylor.
donde se encuentra en alguna parte del intervalo
entre xi y xi+1.
...!2
''!1
'
2
11
1
iiii
iii
xxf
xxxfxfxf
iiiii xxxfxfxf 11 '
1
1' xf
xfxx i
ii
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 15
ECUACIONES TRASCENDENTES
CONVERGENCIA
A partir de la serie de Taylor:
suponiendo que la solución verdadera xr = xi+1, y
que f(xi+1) = f(xr) = 0, se tiene:
Truncando la serie original, con f(xi+1) = 0, se tiene :
Y restando las dos expresiones anteriores, queda:
2
11
1!2
''!1
' iiii
iii
xxf
xxxfxfxf
2
2'''0 ir
irii
xxfxxxfxf
iiii xxxfxf 1'0
2
12
'''0 ir
iri
xxfxxxf
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 16
ECUACIONES TRASCENDENTES
CONVERGENCIA
2
12
'''0 ir
iri
xxfxxxf
Si hay convergencia, entonces xi y se deberían
aproximar a la raíz xr, por lo que queda:
r
r
i
i
xf
xf
E
E
'2
''2
1
Cuando el método converge, el error es proporcional
al cuadrado del error anterior. Esto significa que el
número correcto de cifras decimales se duplica
aproximadamente en cada iteración. A este
comportamiento se le llama convergencia cuadrática.
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
2
12
'''0 i
ii
EfExf
Clase 4 - Lámina 17
ECUACIONES TRASCENDENTES
CONVERGENCIA
Comparando los algoritmos del método iterativo
general y el método de Newton-Raphson, se puede
deducir el criterio de convergencia de éste último:
Se estableció que la convergencia ocurre cuando
| g’(x) | < 1, por lo que g’(x) es:
ii xgx 1
'
1
i
i
iixf
xfxx
i
i
iixf
xfxxg
'
22
2
'
''
'
'''1'
i
ii
i
iii
ixf
xfxf
xf
xfxfxfxg
1
'
''2
i
ii
xf
xfxf
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 18
ECUACIONES TRASCENDENTES
Aunque en general el método es muy eficiente,
hay situaciones en las que converge lentamente
como consecuencia de la naturaleza de la función.
DESVENTAJAS
Cuando hay un punto de inflexión en la vecindad
de la raíz.
Cuando hay un mínimo o máximo local, en cuyo
caso el método oscila alrededor de dicho punto.
Cuando hay raíces múltiples.
Métodos abiertos
Iterativo
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Raphson
Clase 4 - Lámina 19
ECUACIONES TRASCENDENTES
En un intervalo [a, b] se verifica el cambio de
signo de la función del tipo f(x) = 0, esto es:
Con un valor inicial x0 dentro del intervalo [a, b]
se evalúa el criterio de convergencia:
ALGORITMO
0bfaf
De no cumplirse el criterio de convergencia, se
selecciona otro punto inicial x0 dentro del
intervalo [a, b].
1
'
''2
i
ii
xf
xfxf
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 20
ECUACIONES TRASCENDENTES
Se determina un nuevo valor de x:
ALGORITMO
Se repiten las iteraciones con xi hasta que se
cumpla que:
y/o 1 ii xxxf
'
1
i
i
iixf
xfxx
Métodos abiertos
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Raphson
Clase 4 - Lámina 21
1025,0
5,0'
5,0''5,02
f
ff
ECUACIONES TRASCENDENTES
EJEMPLO NUMÉRICO
xexf x
Intervalo [0,1]
0bfaf
Convergencia
x0 = 0,5
1' xexf
xexf ''
i xi f(xi) f'(xi) xi+1
0 0,500 0,107 -1,607 0,566
1 0,566 0,001 -1,568 0,567
2 0,567 0,000 -1,567 0,567
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
Clase 4 - Lámina 22
AGENDA
ASIGNACIÓN 2
Para:
Métodos abiertos
Iterativo
Newton-
Raphson
23xexf x
utilice métodos cerrados y abiertos que resuelvan
dicha ecuación trascendental dentro del intervalo
[-1,1] y con una tolerancia de 10-4 sobre el valor
de x.
Detallar todas las consideraciones, decisiones y
pasos para la resolución de la función planteada
con cada método aplicado, y discutir los
resultados obtenidos en base a la experiencia
de sus aplicaciones.