Corso di Analisi Matematica
Funzioni di una variabile
Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale
A.A. 2013/2014
Universita di Bari
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1 Generalita
2 Funzioni reali di variabile reale
3 Funzioni limitate
4 Funzioni simmetriche
5 Funzioni monotone
6 Funzioni periodiche
7 Funzioni composte
8 Funzioni invertibili, funzioni inverse
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Il concetto di funzione
Il concetto di funzione nasce per descrivere matematicamente grandezze
variabili:
la posizione o la velocita di un oggetto al variare del tempo;
la temperatura in ogni punto di una stanza;
la densita in ogni punto di un oggetto;
il prezzo di una merce nel tempo.
Deve dunque esistere una relazione tra due grandezze o meglio la
dipendenza di una grandezza da un’altra.
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Il concetto di funzione
Esempio: lo spazio percorso da un oggetto pesante lasciato cadere da una
certa altezza varia nel tempo secondo la legge:
s(t) =1
2gt2
(g accelerazione di gravita).
Si noti che ad un numero reale (ingresso o variabile indipendente) viene
associato univocamente un altro numero reale (uscita o variabile
dipendente).
In generale gli ingressi ammissibili sono soggetti a restrizioni. Nell’esempio
precedente si deve imporre t ≥ 0.
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Il concetto di funzione
Esempio di corrispondenza non univoca: siano
A l’insieme degli studenti di un corso
B l’insieme dei nomi degli studenti del corso.
La corrispondenza da A in B che ad ogni studente associa il suo
nome e univoca.
La corrispondenza da B in A che ad ogni nome associa uno studente
con quel nome non e univoca (evidentemente ci possono essere piu
studenti con lo stesso nome).
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Il concetto di funzione
Definizione
Siano A e B insiemi non vuoti. Una funzione f di dominio A a valori in B
(o di codominio B) e una corrispondenza univoca da A in B, ovvero una
legge che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B.
Si scrive:
f : A→ B x 7→ f(x)
f : x ∈ A 7→ f(x) ∈ B
Il simbolo f(x) indica il valore della funzione in x.
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Il concetto di funzione
L’immagine di f e l’insieme delle possibili “uscite”:
Im f = f(A) = {y ∈ B | ∃x ∈ A y = f(x)} ⊆ B.
Il grafico di f e l’insieme
Graf f = {(x, f(x)) ∈ A×B | x ∈ A} ⊆ A×B.
In generale il codominio di f puo essere piu grande dell’immagine di f :
puo accadere che Im f $ B.
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Funzioni reali di variabile reale
Ci occuperemo d’ora in poi delle funzioni reali di variabile reale.
Sia f : A→ B.
Se B ⊆ R f si dice reale, se A ⊆ R f si dice di variabile reale.
Ogni funzione f : N→ R si chiama successione.
Il grafico di una funzione reale di variabile reale e un sottoinsieme di
R2.
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Rappresentazione geometrica di R2
Si e visto che R e rappresentato da una retta. Analogamente l’insieme
R2 = R× R = {(x, y) | x ∈ R, y ∈ R}
ha come rappresentazione grafica un piano reale. Ad ogni punto S del
piano corrisponde una coppia di numeri reali (x, y) e viceversa:
S
x
y
Il grafico di una funzione f : D ⊆ R→ R e un sottoinsieme del piano
reale.ICD (Bari) Analisi Matematica 9 / 24
Sia f : D ⊆ R→ R. L’univocita dell’uscita f(x) ∈ R ammette
un’interpretazione geometrica.
Proprieta del grafico:
(x, y1) ∈ Graf f, (x, y2) ∈ Graf f ⇒ y1 = y2.
Ogni retta parallela all’asse delle ordinate che taglia l’asse delle
ascisse in un punto x ∈ D interseca Graf f in uno ed un solo punto.
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Funzioni limitate
Definizione
Sia f : D ⊆ R→ R.
La f si dice limitata superiormente se esiste M ∈ R tale che
f(x) ≤M ∀x ∈ D.
La f si dice limitata inferiormente se esiste m ∈ R tale che
f(x) ≥ m ∀x ∈ D.
La f si dice limitata in D se e limitata sia superiormente e che
inferiormente.
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La f e limitata superiormente (risp. inferiormente) se Im f = f(D) e
un insieme limitato superiormente (risp. inferiormente) di R.
Geometricamente: f e limitata superiormente (risp. inferiormente) se
Graf f e contenuto in un semipiano inferiore (risp. superiore)
delimitato da una retta parallela all’asse delle ascisse.
Geometricamente: f e limitata se Graf f e contenuto in una striscia
orizzontale del piano cartesiano.
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Funzioni simmetriche
Definizione
Una funzione reale di variabile reale f definita in un dominio simmetrico
(tipicamente un intervallo del tipo (−a, a)) si dice
pari se
∀x ∈ Dom f f(−x) = f(x);
dispari se
∀x ∈ Dom f f(−x) = −f(x).
Il grafico di una funzione pari e simmetrico rispetto all’asse y.
Il grafico di una funzione dispari e simmetrico rispetto all’origine.
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Funzioni monotone
Definizione
Sia f : D ⊆ R→ R una funzione. Si dice che
f e monotona crescente se
∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2);
f e strettamente crescente se
∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2).
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Funzioni monotone
Definizione
Sia f : D ⊆ R→ R una funzione. Si dice che
f e monotona decrescente se
∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2);
f e strettamente decrescente se
∀x1, x2 ∈ D x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).
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Somma di funzioni e monotonia
E facile dimostrare che
La somma di due funzioni crescenti e crescente.
La somma di due funzioni decrescenti e decrescente.
La somma di una funzione crescente e una funzione strettamente
crescente e strettamente crescente.
La somma di una funzione decrescente e una funzione strettamente
decrescente e strettamente decrescente.
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Funzioni periodiche
Definizione
Sia T > 0. Una funzione f : D ⊆ R→ R si dice T–periodica o periodica
di periodo T se
∀x ∈ D f(x+ T ) = f(x).
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Funzioni composte
Definizione
Siano E,F insiemi e siano f : E → R e g : F → R due funzioni tali che
Im(f) = f(E) ⊆ F (cioe per ogni x ∈ E f(x) ∈ F ). Si definisce la
funzione composta di f e g come la funzione h (denotata con
h = g ◦ f : E → R) definita da
h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) ∀x ∈ E.
La composizione non e commutativa:
f ◦ g 6= g ◦ f.
La composizione e associativa:
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
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Composizione e monotonia
Teorema
Siano f, g : D ⊆ R→ R. Allora
f crescente e g crescente ⇒ g ◦ f crescente;
f crescente e g decrescente ⇒ g ◦ f decrescente;
f decrescente e g crescente ⇒ g ◦ f decrescente;
f decrescente e g decrescente in ⇒ g ◦ f crescente.
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Funzioni invertibili
Data f : D ⊆ R→ R, e possibile costruire una nuova funzione che porti
ogni elemento di Im f , f(x) nel corrispondente x ∈ D? Ovviamente,
occorre che dato y ∈ Im f , l’equazione f(x) = y ammetta al piu una
soluzione.
Definizione
Una funzione f : D ⊆ R→ R si dice invertibile se per ogni
y ∈ Im f = f(D) esiste un solo x ∈ D tale che f(x) = y.
Se f e invertibile, f realizza una corrispondenza biunivoca tra D e
f(D).
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Funzioni invertibili
Piu formalmente:
Definizione
Una funzione f : D ⊆ R→ R e invertibile se vale una delle seguenti
condizioni equivalenti:
1 ∀x1, x2 ∈ D, x1 6= x2 ⇒ f(x1) 6= f(x2);
2 ∀x1, x2 ∈ D, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2;
3 ∀y ∈ f(D) esiste un solo x ∈ D tale che f(x) = y.
Una funzione che soddisfa una delle condizioni 1, 2, 3 si dice iniettiva
o ingettiva.
La condizione di invertibilita equivale a chiedere che ogni retta
parallela all’asse delle ascisse intersechi il grafico di f al piu in un
punto.
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Funzioni inverse
Definizione
Data una funzione f : D ⊆ R→ R invertibile, si chiama funzione inversa
di f la funzione da Im f = f(D) in D che associa ad ogni
y ∈ Im f = f(D) l’unica soluzione x ∈ D di f(x) = y. La funzione inversa
si denota con il simbolo f−1.
f−1 : f(D) = Im f → D = Dom f y = f(x) 7→ x
Classi di funzioni non invertibili: le funzioni periodiche, le funzioni pari.
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Una classe di funzioni invertibili
Teorema
Una funzione f : D ⊆ R→ R strettamente monotona in D e invertibile in
D. Inoltre l’inversa f−1 e strettamente monotona, dello stesso tipo di f .
Proprieta:
∀y ∈ Dom f−1 f(f−1(y)) = y,
∀x ∈ Dom f f−1(f(x)) = x;
Quindi, se f e invertibile in D e f−1 e la sua inversa, allora
f−1 ◦ f = ID f ◦ f−1 = If(D)
ove IA denota la funzione identita sull’insieme A.
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