Download - Courant alternatif et circuits en régime C.A
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Courant alternatif et circuits en régime C.A.
Adapté de plusieurs sources sur Internet
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Courant alternatif (AC)
• Exprime un courant ou tension dont l’amplitude oscille entre deux niveau avec un certaine régularité
• Formes communes : sinus, carré ou triangle périodique• La forme sinusoïdales est la plus utilisée
– Forme du courant AC fourni par les centrales électriques– Utile pour l’analyse de circuits soumis à des sources AC– Permet de représenter tout autre signal (Séries de Fourier)
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Signal sinusoïdal• Tension ou courant périodique comprenant un
terme continu (constant) et un terme sinusoïdal de période T
V(t) = V + v(t) = VM cos(ωt+θ)
– VM : amplitude de crête; – ω= 2p/T : pulsation en radian/s– θ : phase à l’origine en radians
• f =1/T: fréquence en Hz
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• Trois façons de résumer l’amplitude : crête, crête-à crête et efficace
• La tension efficace correspond à celle d’un signal continu de même énergie : Vc Vc-c Veff
Propriétés de la forme sinusoidale
2/VV Meff
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Avance et retard de phase
x1(t) est en avance de phase sur x2(t) de q-x2(t) est en retard de phase sur x1(t) by q-
q tXtx M cos)(11 tXtx M cos)(
22
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Vert en avance sur bleu et rouge
Rouge en retard sur
bleu et vert
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R, L et C en régime AC
C I = C dV/dt I en avance sur V by 90°
L V = L dI/dt V en avance sur I
by 90°R V = I R V and I sont
en phase
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Série de Fourier
• Permet de représenter tout signal périodique par une combinaison de signaux sinusoïdaux :
où
10
100
kk
kk
)tksin(b
)tkcos(aa)t(s
Tp 2
0
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Série de Fourier• L’égalité d’Euler pour les nombres complexes (sin(q)
+jcos(q)=ejqpermet d’écrire
• Cela donne la forme usuelle de la série de Fourier :
où
• Chaque terme se distingue par une amplitude ck et un angle de phase q
• Conséquence importante : L`action d’un circuit sur un signal quelconque peut être décrite en termes de ck et q
2
jθjθ ee)θcos(
jee)θsin(
jθjθ
2
k
tjkk
0ec)t(s T
tjkk dte)t(s
Tc
0
01
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Analyse de circuit en régime AC
• Les lois de Kirchhoff demeurent valides, mais elles mènent à des équations différentielles pour les circuits contenant L et C.– Les méthodes des nœuds et des mailles sont difficilement
applicables directement à cause des dérivées• Ex.
0ouEvRdtdvC c
c
RCt
CRCt
C evou)e(Ev
01
R
1
C
2
K
E
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Constante de temps
)1( t
C eEv
RC
R
1
C
2
K
E
Constante de temps
• Propriété des circuits de premier ordre (R-C et R-L)• À t=RC, le signal atteint 63% de sa valeur finale en
montant ou descendant
Time
0s 50ms 100ms 150ms 200ms 250ms 300ms 350ms 400ms 450ms 500ms 550ms 600msV(2) V(1)
0V
0.5V
1.0V
SEL>>t
cC evv
0
ou
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Réponse d’un circuit à un échelon Réponse en temps Réponse en amplitude Réponse en phase
Circuit de premier ordre
Circuit de Second ordre sous -amorti
Circuit de Second ordre sur -amorti
Circuit de Second ordre critique
Commnetaires
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Valeur
initiale( t = 0)
Valeur ifnale (t )
Circuit RL E
Source
L après
charge par E
Circuit RC
E
C après charge par
E
00 iREiL
REi 0 0i
00 v Ev
Ev 0 0v
RL /
RL /
RC
RC
Réponse temporelle d’un circuit de 1er ordre contenant L ou C
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Réponse temporelle de circuits arbitraires
• Il faut résoudre la ou les équations différentielles• La solution générale comprend deux termes : un
terme transitoire et un terme permanent• On obtient chaque partie séparément
1. On suppose d’abord une source continue K0
2. On suppose ensuite une source de type K1ejot
• Les deux solution sont ensuite additionnées après avoir déterminé toute constante à partir des conditions initiales du circuit.
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Phaseur
• Permet de contourner les équations différentielles pour trouver le terme permanent de la réponse
• Réduit l’expression d’une tension ou courant sinusoïdal à son amplitude et angle de phase (conséquence de la série de Fourier)x(t) = XM cos(ωt+φ) ↔ X = XM φ x(t) = Xejt+φ ↔ X = X φSignal dans le temps phaseur correspondant
• En régime permanent, l’information du phraseur est suffisante pour connaitre les variables d’intérêt
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Phaseurs de composants R, L et CRelation
V/IImpact de R, L, C sur V ou I pour excitation ejωt
C I = C dV/dt I = (jωC)V ωC90°
φI-φV = 90° (I en avance)
L V = L dI/dt V = (jωL)I ωL90°
φV-φ I = 90° (V en avance)
R V = RI V = R I R0° φV-φI = 0°
• Dans tous les cas, on écrire V = ZI où Z est une quantité complexe dont le phaseur est |z|arg(z)
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Impédance et loi d’Ohm généralisée
Loi d’ohm Impédance
C V = (jCω)-1 I Zc =1 / jωC
Retard de V sur I par 90°
L V = (jLω)I ZL = jLω
Avance de V sur I par 90°
R V = R I ZR = R V et I synchronisés
• La loi d’Ohm est réécrite sous forme complexe• L’impédance généralise la notion de résistance en y
ajoutant un terme de phase
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Analyse des circuits avec Z
• Toutes les lois et méthodes vues pour R sont applicables pour Z– Lois de Kirchhoff– Méthodes des nœuds et des mailles– Théorème de Thévenin et de Norton
• Cependant, le courant ou tension trouvé inclura des impédances– Aspects d’amplitude et de phase– Dépendance de
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Exemple d’analyse
• On a :
ou
Ce qui donne :
+
_
1 2
1 1s
1s + 1
2 s
4s I 1 (s ) I 2 (s ) I 3 (s )V1 I
L1
C1
R2R1
R3
II
IZIZIZZZ
IZIZZV
CRRRC
CCR
3
132
211
13321
111
0232
11
13
21
11
1
11
111
IRRjC
IjC
IR
IjC
IjC
RV
IRV
II
RRjCjC
jCjCR
3
1
2
1
3211
1111
111
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Analyse par diagramme de phase
• Les phaseurs étant des quantités vectorielles, on peut les additionner géométriquement
I= 2mA 40
–
1mF VC
+
–
1k VR
+
+
–
V=?
VR = 210-3103=2V 40 +0 = 40
VC = (210-3 )/(2p 60 10-6) = 5.31V 40 - 90 = - 50
V = = 5.67V - -40 =-29.37
Axe réel
Axe imaginaire
VR
VCV
I
|V|=
Φ = - 40
22 3152 .2315.arctg
f=60 Hz
22cR VV
R
c
VV
arctg
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Exemple de calcul de phaseur• On peut aussi utiliser l’arithmétique des nombres
complexesCircuit RLC
v
vR
vL
vC
CLR VVVV IZIZIR CL
IZI)jXR(IZZR CL
)XX(jRIVZ CL
RXXarctg
)XX(RZZ
CL
CL
22
CX
LX
C
L
1
• Connaissant V et Z, on en déduit I et chaque tension individuelle
zVZ
V
ZVI
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Fonction de réponse en fréquence
• La série de fourier permet de décrire la réaction d’un circuit à un signal d’entrée quelconque par sa réaction à Aej
• On peut caractériser sa réponse en fréquence parH(j)= Vs(j)/Ve(j)
– En général :
Les zi et les pi sont appelés les zéros et pôles de H(j)
ZeZg
Zl
ZsVgVs
Ve
H j A1
jz1
1jz2
1
jzN
1jp1
1jp2
1
jpD
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Diagramme de Bode
• La forme générale de H(j) montre qu’un circuit arbitraire peut être réalisé par la mise en cascade de systèmes plus simples
• Le diagramme de Bode donne la représentation graphique simplifiée de l’amplitude et la phase de H(j)
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Diagramme de Bode
• On utilise des coordonnées logarithmiques pour l’axe des fréquences (f=2p/) et on trace– |H(f )|=20log10|H(f)| (unité le décibel (dB)) – H(f )
• La fréquence de coupure fc est la fréquence à laquelle H() baisse de 3 dB par rapport à sa valeur maximum
• La bande passante est l’intervalle de fréquences correspondant
Ex.: |H(f)|dB
f-20dB/dec
fc
BP=[0; fc]
FH
fc
f
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• L’axe de fréquences logarithmique transforme les produits d’amplitudes en sommes
• Par ailleurs, l’usage d’une notation par phaseurs mène à la somme algébrique des angles
Diagramme de Bode
|H1(f)|dBf
-20dB/dec
fc1
BP=[0; fc1]
FH2
fc2
f
|H2(f)|dBf
-20dB/dec
fc2
BP=[0; fc2]
FH1
fc1f
|H(f)|dB
f-20dB/dec
fc1 fc2
BP=[0; fc1]
FH f
-40dB/decfc1 fc2
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• Il existe trois systèmes de base à a partir desquels on peut bâtir tous les autres :– Amplificateur à gain constant– Système de 1er ordre (pôle ou zéro réel)– Système de 2nd ordre (pôles ou zéros imaginaires conjugués)
• Utiles aussi pour décrire un système inconnu de manière approximative
Systèmes LIT remarquablesCircuits élementaires remarquables
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Système du 1er ordre
• L’équation différentielle d’entrée-sortie est exprimée par
• La réponse en fréquence correspondante est :
• Cas particuliers : z=0 ou p=0.
)t(x)t(xdtd)t(y)t(y
dtd
zp
p
z
j1j1)(H
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Filtre passe-bas du 1er ordre• Si z est nul, on a un filtre passe-bas
du 1er ordre• Réponses en fréquence :
• La réponse à l’échelon est
• p est la constante de temps
pj11)(H
)t(ue)t(y p
t
1
RC t
y(t)
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Diagramme de Bode
Si on pose p=-1/Pk, on a :
H j 1
1 jpk
dB
k
1
2
k10
10
Ptg)(Harg
P1log10
)(Hlog20
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Autres comportements d’un système du 1er ordre
• Si p est nul, on a un filtre passe-haut du 1er ordre
• Si z et p sont tous les deux différents de zéro, le comportement dépend de la position de z par rapport à p.
p
z
j1j1)(H
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Système du 2nd ordre• Décrit par une équation différentielle du second
ordre :
• Peut réaliser les fonctions de 1er ordre en accentuant les effets.
• Possède un comportement oscillatoire pour certaines valeurs de paramètres
)t(xbdt
)t(dxbdt
)t(xdb
)t(yadt
)t(dyadt
)t(yda
012
2
2
012
2
2
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Système du 2nd ordre
L’équation entrée-sortie typique est
Qu’on écrit souvent :– : facteur d’amortissement; détermine la vitesse de réaction du
système – n : fréquence naturelle; détermine la fréquence des oscillations en
mode oscillatoire
)t(xa)t(yadt
)t(dyadt
)t(yda 0012
2
2
)t(x)t(ydt
)t(dy2dt
)t(yd 2n
2nn2
2
2
0
aa
n20
1
2 aaa
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Système du 2nd ordre• Pour 0 < < 1, le système est sous-amorti. La réponse
àá un échelon a un comportement oscillatoire• Pour > 1, le système est sur-amorti. Le compor-
tement ressemble à celui d’un système du 1er ordre• Un système avec = 1 est critiquement amorti
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Ex. : Filtre RLC Passe bande
H f Vout f Vin f
j 2pf
RCj2pf 2 j 2pf
RC
1LC
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Frequency (rad/sec)
Pha
se (d
eg);
Mag
nitu
de (d
B)
Bode Diagrams
-15
-10
-5
0From: U(1)
102 103 104-100
-50
0
50
100
To: Y
(1)
-3 dB-5 dB
Système du 2nd ordre
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Passe-bas Passe-haut
Passe-bande Coupe-bande
Filtres
• Les réponses en phase ne sont pas indiquées• Les deux premiers filtre demandent des circuits de 1er
ordre et plus, les autres de 2ème ordre et plus
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Filtres du 1er ordre
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Filtres du 2nd ordre
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Filtres du 2nd ordre
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Filtres du 2nd ordre à base de résonateurs RLC